Fiche N 8 : Matrices.

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1 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes de la forme a a a a a a A a a a 1,1 1, 1,p,1,,p,1,,p où ai, j La matrice A est dite de format (,p) Le coefficiet a i, j est celui situé sur la lige i et sur la coloe j La matrice A s écrit aussi sous la forme (a ) i, j 1 i 1 L esemble des matrices à liges et p coloes (doc de format (,p)) est oté L esemble des matrices à 1 lige et p coloes est oté L esemble des matrices à liges et 1 coloe est oté L esembles des matrices à liges et coloes se ote ( ) atrice carrée : Ue matrice carrée d ordre est u élémet de, ( ),p( ) Exercice 81 : Exercice 8 : Doer ue matrice A telle que : A,( ) ; B 4,( ) ; C,( ) ; D,1( ) Compléter les poitillés : 1 4 A B 0 1 C D A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) a 1,1 a, b, b, c 1, d,1 d, Iformatique : : Le format d ue matrice s obtiet à l aide de l istructio size La matrice A sous scilab sera otée [ 1 4;1 4; 1 4) 50

2 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 atrice ulle : O appelle matrice ulle de format (,p) la matrice dot tous les coefficiets sot uls Elle est otée O,p Si p,elle est otée plus simplemet O : O,p zeros(, p) atrice idetité (ou uité) : O appelle matrice idetité la matrice (carrée) de format (, ) otée I telle que : 1 si i j I (e i, j) 1 i où ei, j I liges : I eye(, ) 1 j 0 si i j coloes Exercice 8 : Exercice 84 : Ecrire les matrices suivates : O, ; O 4,4 ; O 5,1 ; O ; I ; I et I 6 Ecrire les matrices suivates sous forme de tableau rectagulaire : i j A (i j) 1 i B ( 1) 1 i C (c i,j) 1 i où ai,j 0 si i j ; 1 j 1 j 1 j Exercice 85 : Trouver ue écriture sous la forme A (a i, j) 1 i pour 1 j 1 4 A Propositio (admise) : Egalité de matrices : Soiet A (a i, j) 1 i et B (b i, j) 1 i deux matrices de,p( ) A B si et seulemet si i 1;, j 1;p, ai,j bi,j 1 1 Autres matrices particulières : O appelle matrice triagulaire supérieure toute matrice carrée de la forme O appelle matrice triagulaire iférieure toute matrice carrée de la forme a a a 0 a, a 0 0 a 1,1 1, 1, 1,, a1,1 0 0 a,1 a, 0 a a a,1,1, O appelle matrice diagoale toute matrice carrée de la forme a1, a, a, Ue matrice diagoale est doc et O est I est 51

3 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Exercice 86 : Compléter les équivaleces suivates à l aide d ue coditio sur a i, j A (a ) diagoale si et seulemet si i, j 1 i 1 j A (a ) triagulaire supérieure si et seulemet si i, j 1 i 1 j A (a ) triagulaire iférieure si et seulemet si i, j 1 i 1 j Trasposée d ue matrice : Soiet A (a ) ue matrice de,p( ) i, j 1 i 1 O appelle trasposée de la matrice A la matrice de p,( ) otée t A (b i, j) 1 i p défiie par : 1 j b a pour (i, j) 1,p 1, : t A s'écrit A' i, j j,i éthode : t A est la matrice obteue à partir de A e échageat les liges avec les coloes Exercice 87 : Doer t A das les cas suivats : 1 A A A A A atrices symétrique : O appelle matrice symétrique toute matrice carrée A telle que t A A Elle est égale à sa trasposée Exercice 88 : Doer u exemple de matrice symétrique de format (,) puis de format (4,4) puis compléter A B Si ue matrice est symétrique alors les coefficiets de chaque côté de la diagoale pricipale sot Exercice 89 : Compléter : A (a ) symétrique si et seulemet si i, j, a i,j i, j 1 i 1 j 5

4 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 atrice atisymétrique : O appelle matrice atisymétrique toute matrice carrée A (a ) telle que i 1;, j 1;, a j,i a i,j i, j 1 i 1 j Exercice 810 : La matrice suivate A est atisymétrique Détermier les coefficiets maquats A Idicatio : O respectera la coditio ai, j aj,i Exercice 811 : A Doer u exemple de matrice atisymétrique de format (,) puis de format (4,4) puis compléter B Si ue matrice est atisymétrique alors les coefficiets de chaque côté de la diagoale pricipale sot et ceux de la diagoale pricipale sot Opératios sur les matrices ultiplicatio par u réel : Soit A (a ) ue matrice de,p( ) et u réel i, j 1 i 1 O appelle produit de la matrice A par le réel la matrice de A ( a ) : *A i, j 1 i 1,p( ) otée A défiie par : Remarque ultiplier ue matrice par u réel, c est multiplier chaque coefficiet de cette matrice par ce réel Exercice 81 : Effectuer les calculs suivats : Remarque : si 1 la matrice A otée A est appelée opposée de la matrice A Exercice 81 : Doer la matrice opposée des matrices suivates 0 4 A A B B 1 5

5 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Additio de deux matrices de même format Soiet A (a ) et B (b i, j) 1 i deux matrices de,p( ) i, j 1 i 1 1 O appelle somme de la matrice A et de la matrice B la matrice de A B (a b ) : A B i, j i, j 1 i 1,p( ) otée A B défiie par : Exercice 814 : Calculer les sommes suivates quad elles existet et vérifier sous scilab : : Tapez cette derière opératio sous scilab, que costatez-vous? Coclusio : Remarque Si A,p( ), A ( A) Différece de deux matrices : Soiet A (a ) et B (b i, j) 1 i deux matrices de,p( ) i, j 1 i 1 1 A B A ( B) (a b ) : A B i, j i, j 1 i 1 Exercice 815 : Effectuer la différece suivate Produit de deux matrices (formats compatibles) Soiet A (a ) ue matrice de,p( ) et B (b i, j) 1 i ue matrice de p,q( ) i, j 1 i 1 1 O appelle produit de la matrice A par la matrice B la matrice de p ( ) otée AB défiie par : AB (c i, j) 1 i avec ci, j ai,kb k, j pour (i, j) 1, 1,q : A*B k1,q 1 j q Remarque : Le coefficiet situé sur la lige i et la coloe j de la matrice AB est obteu e «multipliat la lige i de la matrice A par la coloe j de la matrice B» 54

6 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Exemple : La figure ci-après motre commet calculer les coefficiets c 1 et c de la matrice produit AB si A est ue matrice de type (4,), et B est ue matrice de type (,) Exercice 816 : 1 1 A A l aide de la figure précédete, calculer les différets coefficiets 1 4 B C A B 7 0 c de la matrice C où C AB i, j Exercice 817 : sous scilab : Effectuer les produits AB et BA quad cela est possible das les cas suivats et vérifier vos résultats 1 A B A B A A 1 1 B B A x B y z 0 1 AB 0 0 Que remarquez-vous das ce cas? Remarques : Attetio : le produit matriciel présete des différeces avec le produit de deux ombres L ordre das le produit est essetiel Le produit AB a de ses que si le ombre de coloes de A est égal au ombre de liges de B O dit que les formats de A et B sot compatibles ((,p) et (p,q) das cet ordre De même, le produit AB peut exister sas que le produit BA existe Si AB et BA existet tous les deux, ces produits e sot pas forcémet égaux O dit que la multiplicatio des matrices est pas commutative E gééral AB BA 55

7 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Exercice 817 : Soiet A et B deux matrices carrées d ordre Que peut-o dire de l équivalece suivate? AB O A O ou B=O Remarque : La règle «u produit de facteurs est ul ssi» Opératios sur les matrices : Règles de calcul Règles relatives à l additio : Soiet A, B et C trois matrices de,p( ) A B B A L additio est commutative (A B) C A (BC) A B C L additio est associative O,p A A O,p A O,p est l élémet eutre de l additio de,p( ) A ( A) ( A) A O,p Toute matrice admet u opposé A B C A C B AC BC A B Règles relatives à la multiplicatio par u réel : Soiet A, B deux matrices de 0A O,p,p( ) et, deux réels O O,p,p 1A A ( )A A A (A B) A B ( A) ( )A Règles relatives à la multiplicatio matricielle AI IA A pour tout A ( ) I est élémet eutre pour la multiplicatio matricielle Soiet A,p( ), B p,q( ) et C q,r ( ) et, deux réels A(BC) (AB)C ABC La multiplicatio est associative ( A)B (AB) A( B) Soiet A,p( ), B p,q( ) et C p,q( ) A(BC) AB AC La multiplicatio est distributive par rapport à l additio 56

8 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Soiet A,p( ), B,p( ) et C p,q( ) (A B)C AC BC Remarque : L équivalece AB AC B C e s applique pas sas iformatio sur la matrice A O verra das u chapitre ultérieur les coditios que doit vérifier A pour que l équivalece soit vraie Règles relatives à la traspositio : Soiet A, B deux matrices de t (A B) t A t B,p( ) et u réel t ( A) ( t A) t ( t A) A Soiet A,p( ) et B p,q( ) (AB) B A t t t Preuve : Puissace d ue matrice carrée Défiitio : Soit A ( ) et k O pose : 0 A I et k A A A A : A ^ k fois * Cas particulier à coaître : p, I p I et O p O Règles de calcul : Soit m m A A A m (A ) A m A p( ) et m, deux etiers Remarque : Pour les matrices, les règles suivates sot e gééral FAUSSES mais bie coues des étudiats A B (AB) (A B) A AB B 57

9 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Défiitio : O dit que A et B commutet lorsque AB BA Exercice 817 : O suppose que A et B commutet otrer que : 1 (A B) A B AB A et B commutet pour tout etier aturel aisi que B et A (AB) A B puis gééraliser à (AB) A B où désige u etier aturel Complémets sur les matrices diagoales et triagulaires La somme de deux matrices triagulaires supérieures est triagulaire supérieure Le produit d ue matrice triagulaire supérieure par u réel est triagulaire supérieure Le produit de deux matrices triagulaires supérieures est triagulaire supérieure Toute puissace d ue matrice triagulaire supérieure est triagulaire supérieure Les propriétés précédetes restet vraies si o remplace triagulaire supérieure par triagulaire iférieure ou par diagoale Exercice 818 : otrer la propriété suivate : si d d D alors d D d p 0 0 d p 1 p p 0 d où p désige u etier aturel o ul Remarque Ne jamais appliquer l idée précédete si la matrice est pas diagoale La règle a a a a a a A a a a 1,1 1, 1,p,1,,p,1,,p A m a a a a a a a a a m m m 1,1 1, 1,p m m m,1, 1,1 m m m,1,,p est e gééral FAUSSE mais bie coue!!! Coclusio : La matrice puissace m d ue matrice carrée A est doc presque jamais obteue e élevat chaque coefficiet de la matrice A à la puissace m Le seul cas autorisé est celui des matrices diagoales Exercice 819 : Calculer : (Vérificatio scilab) 58

10 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Opératios sur les matrices Das les exercices suivats, o pourra après avoir fait les calculs de «tête» vérifier ses propositios e utilisat scilab Exercice 80 : Soiet A, B, C les matrices suivates : 1 A B C 1 Calculer si c est possible : AB, BA, AC, CA, C(A-B), C(A+I ), A+B, t (A B), t A t B, t BA, t A Exercice 81 : Détermier toutes les matrices diagoales A d ordre vérifiat l équatio A A I O Exercice 8 : Soit D l esemble des matrices a b c d telles que ad bc 1 otrer que cet esemble est stable pour la multiplicatio matricielle (Ceci sigifie que le produit de deux élémets quelcoques de D est ecore u élémet de D) Exercice 8 : a b c d d a b c Soit E l esemble des matrices carrées de la forme : c d a b b c d a 1 otrer que la somme et le produit de deux élémets de E est u élémet de E Exercice 84 : Résoudre das ( ) l équatio : X X Puissace d ue matrice carrée : les différetes méthodes éthode 1 : par récurrece directe Exercice 85 : Cojecturer A puis prouver le résultat par récurrece das les cas suivats a 0 0 A 0 b c B : B s'écrit oes(,) Exercice 86 : 0 4 O cosidère la matrice A doée par : A 1/ 0 1/ 4 1/ O pose B (A I) et cojecture otrer par récurrece que 1 C (I A) Cojecturer B et A B ( 1) C pour tout etier aturel C pour etier aturel puis prouver votre 59

11 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 éthode : Par ue récurrece sur la forme de la matrice Exercice 87 : Soit la matrice A Calculer A et A otrer par récurrece que pour tout etier aturel, A s écrit sous la forme A partir des relatios obteues das sur (a ) et (b ), e déduire l expressio de Exercice 88 : Soit la matrice A otrer par récurrece que pour tout etier aturel, A partir des relatios obteues das 1 a 1et A s écrit sous la forme : a, e déduire l expressio de 1 a b A e foctio de A 0 1 a a a a 1 A e foctio de A a 1a a éthode : Par l utilisatio d u polyôme aulateur Exercice 88 : O doe la matrice suivate 1 6 A Calculer A² et motrer qu il existe deux réels a et b que l o détermiera tels que A aa bi otrer par récurrece que pour tout etier aturel, il existe u réel u tel que : 1 A u A u I Préciser à l aide de la ature de la suite (u ) 4 E déduire l expressio de u puis A e foctio de Ue autre versio du même exercice ( ou commet varier les plaisirs ) 1 Calculer A² et motrer qu il existe deux réels a et b que l o détermiera tels que A aa bi Soiet (u ) et (v ) les deux suites défiies par les relatios de récurrece : u 0, v 1, u u v, v u otrer par récurrece que pour tout etier aturel, A ua vi 60

12 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 a) O pose x u v otrer que pour tout etier aturel, o a x 1 Coclusio? b) O pose y u v otrer que la suite (y ) est géométrique puis doer l expressio de so terme gééral e foctio de c) Déduire de b) et c) les expressios de u et d) Déduire l expressio de A e foctio de v e foctio de éthode 4 : Par la formule du biôme de ewto : ECE éthode 5 : Par la décompositio de A sous la forme A PBP 1 : Fiche 1 matrice iversible Applicatios du calcul matriciel aux suites Exercice 89 : O cosidère les suites les relatios de récurrece :, u et u u 10v v1 u 6v v 1 défiies par leurs premiers termes u0 v0 1 et par 1 otrer qu il existe ue matrice A telle que u1 u A v v 1 Vérifier qu il existe ue matrice J telle que A I J Calculer J et e déduire A pour tout etier 4 E déduire les expressios de u et v e foctio de (**) Iformatique : : Programmer le calcul du vecteur coloe u v pour choisi par l utilisateur Travaux pratiques Exercice 80 : Soit A la matrice Calculer A : otrer qu il existe A 4 1 A (a,b,c) tel que : A aa ba ci O Déduire de qu il existe ue matrice B (dot o doera les coefficiets) telle que AB I 4 A-t-o BA I? a) 61

13 Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Exercice 81 : D après ESC optio Techo (adapté) Soiet les matrices A B I (a) Calculer les produits matriciels A( A I) et B( B I) (b) E déduire la valeur de A puis celle de B Puis doer sas démostratio A et B pour * (c) Calculer AB aisi que BA Coclusio? O ote das toute la suite W A B (a) Calculer les produits d icoue X das,1( )? A 1 et 0 B 1 Que peut o coclure cocerat l équatio AX O,1 0 (b) E déduire sas calculer W que 0 W (c) Détermier les eufs coefficiets de W (a) E utilisat les relatios obteues e 1, motrer que W A 4B (b) otrer par récurrece que pour tout etier aturel o ul : W A B Das toute la suite de cet exercice, pour tout réel x, o ote H(x) la matrice défiie par : H( x) A xb 5 (a) Calculer le produit H (x) 1 0 (b) otrer que pour tous réels x et y : H( x) H( y) H( xy) (c) E déduire par récurrece sur, que pour tout etier aturel o ul : ( H( x)) H( x ) (d) Quelle relatio retrouve-t-o e preat x =? Expliquer avec soi 6