Jean-Louis CAYATTE

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1 Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ Chapire 4 La durée du chômage Quand on parle de la durée du chômage, si l on n y prend pas garde, on confond facilemen la durée moyenne du chômage (réponse à la quesion : quand on devien chômeur, pendan combien de emps le rese--on en moyenne?) e l ancienneé moyenne au chômage (réponse à la quesion : depuis combien de emps les chômeurs acuels son-ils au chômage, en moyenne?). Or, on le verra, l ancienneé moyenne es neemen supérieure à la durée moyenne. Pour bien comprendre cela, nous commençons, dans ce chapire, par formaliser la durée du chômage. Nous revenons d abord sur sa naure aléaoire (secion ). Puis nous inroduisons la noion de probabilié insananée de sorir du chômage (secion 2) e celle de foncion de survie (secion 3). Nous appliquons ensuie ces noions à nore modèle du chapire 2 (secion 4). Secion. Naure aléaoire de la durée du chômage Revenons à la définiion du chômeur donnée au chapire. Un chômeur es défini par deux propriéés : a) il n a pas d emploi ; b) il en cherche un. La deuxième propriéé fai du chômeur un individu don l acivié es la recherche d emploi. Or une acivié de recherche a deux caracérisiques : a) elle prend du emps ; b) le emps qu elle prend es aléaoire : quand on cherche, on ne sai pas quand on va rouver. La durée du chômage se présene donc comme une variable aléaoire. Dans ce chapire, nous ne nous demandons pas (encore) quels son les faceurs qui déerminen cee durée (a priori, ils son nombreux, les uns enan à la personne du chômeur, les aures à l éa de l économie). Nous nous conenons pour l insan d êre précis sur les différenes probabiliés qu on peu avoir en êe lorsqu on parle de la durée aléaoire du chômage. Commençons par définir la probabilié insananée de sorir du chômage. Secion 2. La probabilié insananée de sorir du chômage Inuiivemen, si une nouvelle enreprise annonce qu elle s insalle dans elle région, on voudrai dire quelque du genre : la siuaion des chômeurs de cee région s améliore, ou mieux : les perspecives des chômeurs de cee région deviennen meilleures, ou plus echniquemen : leur probabilié de sorir du chômage s accroî. Mais il fau écrire cee probabilié propremen. C es ce que nous faisons dans cee secion.. Le processus de sorie du chômage Commençons avec une hypohèse rès arificielle, mais rès provisoire : supposons qu on ne puisse devenir chômeur ou sorir du chômage que le er jour de chaque mois. Raisonnons ensuie sur une personne qui devien chômeur le er janvier. En veru de nore hypohèse arificielle, elle ne pourra pas en sorir avan le er février. A cee dae, soi elle en sorira, soi elle y resera pour un mois supplémenaire au moins. Nous exprimons cela en disan que cee personne a une ceraine probabilié h de sorir du chômage le er février (e donc une probabilié h d y reser). Comme on vien de le dire, dans ce chapire, nous n essayons pas de préciser les déerminans de h. Nous admeons simplemen que cee probabilié exise. Pour fixer les idées, posons, par exemple, h = %. Le er février donc, de deux choses l une : soi cee personne sor du chômage, e cesse donc d êre chômeur ; soi elle n en sor pas. Alors, a) elle y rese alors au moins jusqu au er mars ; b) le er mars, elle a, à nouveau, une ceraine probabilié d en sorir. Il n y a aucune raison que cee probabilié soi la même que celle du er février. Supposons, par exemple, h 2 = 6%. Alors, le er mars donc, de deux choses l une : soi elle sor du chômage, e cesse donc d êre chômeur ; soi elle n en sor pas, e y rese alors au moins jusqu au er avril. Le er avril, elle a une ceraine probabilié d en sorir, par exemple h 3 = 5%. Ec. La suie de ces probabiliés 2 ( h, h,..., h,...) caracérise complèemen le processus de sorie du chômage. Il n y a aucune resricion sur ces probabiliés, sinon, par définiion d une probabilié, probabilié de la durée du chômage. h. Voyons commen on dédui de ces probabiliés la loi de Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ --

2 Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ 2. Loi de probabilié de la durée du chômage Noons D la variable aléaoire durée du chômage. Sous nore hypohèse arificielle, cee durée es un nombre enier de mois :, 2 Calculons la probabilié de chacune de ces durées possibles. La probabilié que la durée du chômage soi de mois (exacemen) es : { } { } p = Pr D = = Pr sorir à la dae = h soi % dans nore exemple numérique. La probabilié que le chômage dure 2 mois (exacemen) es égale à : p 2 Pr{ D 2} Pr{ ne pas sorir à la dae } Pr{ sorir à la dae 2} ( h ) h = = = = 2 soi,9, 6 =,54 ou 54% dans nore exemple numérique. La probabilié que le chômage dure 3 mois (exacemen) es égale à : p = Pr D = 3 3 { } Pr{ ne pas sorir à la dae } Pr{ ne pas sorir à la dae 2} Pr{ sorir à la dae 3} ( h )( h ) h = = 2 3 soi,9, 4,5 =,8 ou 8% dans nore exemple numérique. Plus généralemen, la suie des probabiliés ( h, h2,..., h,...) perme de calculer la disribuion de probabilié ( p, p2,..., p,...) de D : D = h ( h ) h2 ( h )( h2 ) h3... ( hi ) h... i= D = où p p p p... p Inversemen, si nous nous éions donné la disribuion de probabilié (, 2, 3,... ) ( %, 54%,8%,... ) iré la suie (,,...,,...) ( %, 6%, 5%,... ) 2 n= n = p p p = nous en aurions h h h =. Vous pouvez facilemen le vérifier. Il es donc équivalen de se donner l une ou l aure. L expression «probabilié se sorir du chômage à la dae» es donc ambiguë, car elle n indique pas si vous parler de p. la probabilié chômage à la dae, condiionnelle au fai d êre encore chômeur à cee dae. h ou de h es la probabilié de sorir du chômage à la dae si on y es encore à cee dae. C es la probabilié de sorir du p es la probabilié de sorir du chômage à la dae, au momen où on y enre. la probabilié Avan d aller plus loin, voyons mainenan commen nous débarrasser de l hypohèse arificielle selon laquelle on ne peu enrer e sorir du chômage qu à des daes données. 3. Le passage au emps coninu On peu remplacer le mois de nore hypohèse précédene par une unié de emps plus coure : la semaine, la journée, l heure ou la seconde. Cela ne modifierai pas la naure de nore modèle. Cela ne ferai que modifier les probabiliés h e p : celles-ci deviendraien d auan plus peies que la durée pendan laquelle on ne peu pas sorir du chômage serai coure. Mais an que la période reenue a une ceraine durée, le défau de nore hypohèse arificielle subsise : cee durée, si peie soielle, a l inconvénien d êre arbiraire. Il fau donc passer à la limie, en faisan endre cee durée vers, de manière à définir une probabilié de sorir du chômage à l insan, quel qu il soi. Malheureusemen, en oue rigueur, la probabilié de sorir du chômage à l insan exacemen, donc au cours d une période de durée nulle, ne peu êre égale qu à. On défini donc, à la place de la suie de probabiliés h, don les valeurs son, non pas des masses h, une foncion coninue ( ) de probabilié comme avec nore hypohèse arificielle, mais des densiés de probabilié, condiionnelles au fai d êre encore chômeur Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ -2-

3 Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ à cee dae. h( ) s inerprèe de la manière suivane : si es une durée rès coure, la probabilié qu une personne encore au chômage à la dae en sore enre les daes e + es sensiblemen égale à h( ), courammen appelé probabilié insananée de sorir du chômage. h( ) s appelle foncion de risque (hazard funcion) e sa valeur, aux de risque (hazard rae). C es en effe un aux (par unié de emps) : par exemple h( ) = % par mois (à la dae ) signifie que la probabilié de sorir du chômage au cours de la journée qui commence à la dae, soi une durée d un renième de mois, es de l ordre de N.B. Pour vous persuader que ( ) h( ) =,, 33% 3 h n es pas une probabilié, mais un aux, vérifions qu il peu êre supérieur à. Pour cela, changeons d unié de emps, passons du mois à l année. La probabilié de sorir du chômage au cours de la journée ne saurai êre modifiée par ce changemen d unié. En revanche, la durée devien, ou, si on raisonne sur des mois égaux, elle es divisée par 2, an- 365 dis que le aux de risque es muliplié par 2, donc égal à,2. Comme sous nore hypohèse arificielle, à parir de la foncion de risque, on sai calculer la loi de probabilié de la durée. La variable aléaoire durée du chômage D peu désormais prendre n impore quelle valeur réelle non négaive. D cesse donc d êre une variable discrèe e devien une variable coninue. Chaque durée possible a alors une densié de probabilié p( ). Il rese vrai qu inversemen, à parir d une foncion de densié p( ) donnée, on sai calculer la foncion de risque h( ) correspondane. La densié p( ) e le aux de risque h( ) son donc deux manières équivalenes de caracériser la durée du chômage. 4. Exemple numérique Reenons le mois comme unié de emps. Donnons-nous une foncion de risque, par exemple h( ), 2 =. C es une foncion croissane : la probabilié insananée de sorir du chômage augmene au fur e à mesure que le emps passe. Nous aurions pu, ou aussi bien, reenir une foncion décroissane, ou une foncion plus compliquée, non monoone (la suie des h de nore exemple numérique précéden n éai pas monoone). Des calculs (qui ne nous inéressen pas ici) permeen d en déduire la foncion de densié correspondane : ( ) p 2, =,2e. La seule chose qui nous inéresse ici, c es que ces deux foncions, don les graphes son représenés sur les figures e 2, on des allures rès différenes, mais représenen une même réalié Figure La foncion de risque h( ),2 =. Figure 2 La densié de la durée du chômage correspondane. 5. La durée moyenne du chômage Connaissan la loi de probabilié de la durée du chômage, on en dédui son espérance mahémaique : ( ) ( ) E D = p d Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ -3-

4 Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ Dans nore exemple numérique, on calcule E ( D ) = 8,9 mois, ce qui s inerprèe de la manière suivane : si un grand nombre de personnes enren au chômage avec la même foncion de risque ( ),2 mois. h =, elles reseron au chômage, en moyenne, pendan 8,9 Oure la foncion de risque e la foncion densié, il exise une roisième e dernière foncion caracérisique de la durée du chômage : la foncion de survie. Secion 3. La foncion de survie On es souven inéressés par la probabilié qu une personne au chômage aujourd hui y soi encore x mois plus ard. Pour écrire cee probabilié, commençons par nous inéresser à une caégorie de chômeurs souven mise en avan dans les commenaires des publicaions saisiques : les chômeurs de longue durée.. Le chômage de longue durée La définiion inernaionale du chômeur de longue durée es : personne au chômage depuis 2 mois ou plus. Il es équivalen de dire : chômeur don l ancienneé (au chômage) es supérieure ou égale à 2 mois. Quelle es la probabilié, pour une personne qui enre au chômage, de devenir chômeur de longue durée? C es la probabilié que la durée de son chômage aeigne ou dépasse 2 mois : { D } ( ) Pr 2 = 2 p d Cee probabilié es donc représenée par la surface comprise enre la courbe de la densié e l axe horizonal, à droie de l abscisse Figure 3 La probabilié d êre chômeur de longue durée. Dans nore exemple numérique, on calcule que cee probabilié es de 24%. Ce qui s inerprèe de la manière suivane : une personne qui enre au chômage avec la foncion de risque h( ) =,2 a 24% de chances d y êre encore 2 mois plus ard ; si un grand nombre de personnes enren au chômage avec la même foncion de risque h( ),2 =, 24% d enre elles deviendron chômeurs de longue durée ; si un grand nombre de personnes enren au chômage avec la même foncion de risque h( ), 2 l ancienneé a = 2 mois. 2. Généralisaion =, 24% d enre elles aeindron Mais la quesion que nous nous sommes posée pour le chômage de longue durée peu êre posée pour n impore quelle durée du chômage. De manière générale, on appelle foncion de survie la foncion S ( ) qui donne la probabilié que la durée du chômage aeigne : ( ) Pr{ } ( ) S = D = p x dx Comme vous le voyez, la foncion de survie se dédui de la foncion de densié de manière unique, e inversemen. Foncion de survie, foncion de densié e foncion de risque son rois manières équivalenes de caracériser une durée du chômage. La figure 4 représene la foncion de survie S ( ) de la durée D don la foncion de risque es représenée sur la figure e la foncion de densié sur la figure 2 : Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ -4-

5 Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ Figure 4 La foncion de survie S ( ) correspondan à la foncion de risque h( ),2 Une foncion de survie a 3 propriéés remarquables : S = p d =. a) la première es évidene : ( ) ( ) b) la deuxième aussi : ( ) S es une foncion décroissane de.. Sur la figure 4, l espérance mahémaique de la durée du chô- b) la roisième se démonre. Nous l admerons : S ( ) d = E ( D ) mage se présene donc comme la surface comprise enre le graphe de ( ) a : =. S e l axe horizonal. Si nous noons a l ancienneé d un chômeur, S ( a ) se li : probabilié que la personne qui enre au chômage aeigne l ancienneé ( ) Pr{ } ( ) S a = D a = p x dx a Ainsi, si un grand nombre de personnes deviennen chômeurs à la dae avec la même foncion de risque, donc de survie, la proporion d enre elles qui seron encore au chômage à la dae es S ( ). Nous serons égalemen amenés à le dire dans l aure sens : à la dae, il rese une proporion ( ) S a des personnes enrées au chômage à la dae a. Secion 4. Applicaion Déerminons les foncions de risque, de densié e de survie des chômeurs de nore modèle du chapire 2. Dans ce chapire, nous avons présené un marché du ravail sur lequel la durée qui sépare 2 appariemens sui une loi exponenielle de paramère k = fu ( ) où ( ) U es le nombre des chômeurs à la dae. Ce paramère k rese consan an que le nombre de chômeurs rese consan. On démonre que la foncion de risque d une loi exponenielle de paramère k es jusemen ce paramère k, c es-à-dire une foncion consane. En d aures ermes, la probabilié insananée que l un quelconque des U ( ) chômeurs de la dae sore du chômage es donc égale à k. Sous nore hypohèse d homogénéié (cf. chapire 2), ous les chômeurs on la même probabilié de sorir du chômage. Alors la probabilié insananée de sorir du chômage, pour un chômeur donné, es le produi de la probabilié k que quelqu un sore, par la probabilié /U ( ) que ce soi lui, soi k fu ( ) f U = U = ( ) Dans nore modèle donc, un chômeur a une foncion de risque consane, indépendane donc du nombre des chômeurs e de la dae. La seule loi de probabilié qui présene une foncion de risque consane h( ) ( ) = f es la loi exponenielle de paramère f. La durée f D du chômage sui donc une loi exponenielle, avec pour foncion de densié : p( ) = fe f, pour foncion de survie : S ( ) = e e pour espérance mahémaique : Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ -5-

6 Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ E ( D) = f Si un grand nombre de chômeurs on la même foncion de risque, f = 2% par mois, ils resen donc au chômage en moyenne 5 mois. Représenons les rois foncions h( ), p( ) e S ( ) de nore exemple numérique où f = 2% Figure 5 La foncion de risque consane h( ) f 2% = =. De oues les foncions de risque, la foncion consane es inconesablemen la plus simple p = fe =, 2e. f,2 Figure 6 La foncion de densié correspondane ( ) La densié es régulièremen décroissane, conrairemen à celle qu on avai représenée à la figure 2, qui n éai pas monoone S e e = =. f,2 Figure 7 La foncion de survie correspondane ( ) La foncion de survie a la même forme que la foncion de densié : c es la foncion de densié divisée par f, ou mulipliée par E ( D ). La foncion exponenielle es la seule à présener une elle paricularié. En d aures ermes, les hypohèses que nous avons posées au chapire 2 déerminen complèemen la durée du chômage. Cee durée es simple à formaliser, en pariculier sa foncion de risque, e donc la probabilié insananée de sorir du chômage. En revanche, Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ -6-

7 Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ elle es un peu pariculière : la foncion de densié es parou décroissane, e la foncion de survie a la même forme que la foncion de densié. Ce ne son pas là des nécessiés logiques, mais des implicaions de nos hypohèses. Nous aurons à nous demander si ces hypohèses son jusifiées. Mais pour l insan, conenons-nous de les comprendre. * * * Dans ce chapire, nous avons monré que la foncion de risque h( ), la foncion de densié p( ) e la foncion de survie S ( ) son rois manières équivalenes de caracériser la durée D du chômage. Déerminer l une quelconque de ces rois foncions, c es déerminer les deux aures e la durée moyenne du chômage E ( D ). Dans nore modèle, la durée du chômage sui une loi exponenielle de paramère f, donc d espérance E ( D) / = f e la probabilié insananée de sorir du chômage es f, quelle que soi la dae, quel que soi le nombre des chômeurs, qu il soi donc sur sa rajecoire d équilibre ou sur une rajecoire d ajusemen. Il n y a pas lieu de disinguer une durée du chômage d ajusemen e une durée d équilibre, une probabilié insananée de sorir du chômage d ajusemen e une d équilibre. Avec les idées désormais claires sur la durée du chômage, nous pouvons à présen aborder la formalisaion de l ancienneé moyenne. Mais auparavan, nous allons monrer un rappor inéressan enre aux de chômage e durée moyenne du chômage. Tel es l obje du chapire 5. Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ -7-