Primitives et intégrales

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1 DOCUMENT 37 Primitives et itégrles O désige pr I u itervlle de R o vide et o réduit à u poit.. Primitives d ue foctio Défiitio 37.. O dit qu ue foctio f : I R possde ue primitive sur I, ou est primitivble sur I, s il existe ue foctio F : I R dérivble sur I et telle que, pour tout x I, F (x) = f(x). Toute foctio F dérivble sur I et telle que F = f est ppele ue primitive de f sur I. O désiger prfois pr PR(I) l esemble des pplictios de I ds R primitivbles. Propositio 37.. Soit f ue foctio primitivble sur I. () Si F est ue primitive de f sur I lors l foctio G : I R est ue primitve de f sur I si et seulemet si G F est costte sur I. () Pour chque x I et chque c R il existe ue uique primitive F de f telle que F (x ) = c. Preuve. ) Si G F est costte sur I lors l reltio G = (G F ) + F etrie que G est dérivble sur I et pour tout x I, G (x) = F (x) + (G F ) (x) = F (x) = f(x). L foctio G est doc bie ue primitive de f sur I. Réciproquemet, si G est ue primitive de f sur I lors, pour tout x I, (G F ) (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = et, I étt u itervlle, G F est costte sur I. ) Soit F ue primitive de f sur I. Pour toute primitive G de f il existe λ R tel que G = F + λ et G(x ) = c F (x ) + λ = c λ = c F (x ) ce qui motre que G : I R défiie pr G(x) = F (x) F (x ) + c est l uique primitive de f pret l vleur c e x. Remrque. ). Si I est ps u itervlle les ffirmtios. et. de l propositio précédete peuvet être fusses. Pr exemple, les foctios F et G de R ds R défiies pr F (x) = l x, G(x) = l x si x < et G(x) = F (x) si x > sot dérivbles sur R et, pour tout x, F (x) = G (x) = x. Les foctios F et G sot doc des primitives sur R de x mis l x foctio G F est ps costte sur R et F () = G() =. ) Toute foctio défiie sur I est ps primitivble. E effet, les foctios dérives vérifiet le théorème des vleurs itermédiires (voir le documet 6). L stisfctio de ce théorème est doc ue coditio écessire pour posséder ue primitive et si f(i) est ps u itervlle lors 4

2 4 37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES o est certi que f ps de primitive sur I. Pr exemple, l foctio prtie etière est ps primitivble sur R. Il existe des foctios vérifit le théorème des vleurs itermédiires et qui e sot ps des foctios dérivées. Ds le documet 7, o costruit ue foctio défiie sur [, ], stisfist ce théorème et cotiue e ucu poit. Cette foctio est ps ue dérivée cr si ue dérivée est défiie sur u itervlle lors l esemble des poits où elle est cotiue est dese ds so itervlle de défiitio (Documet 6). 3) Il existe des foctios primitivbles o cotiues et même o borées u voisige d u poit. Pr exemple, soit f : R R défiie pr Cette foctio est dérivble sur R et F (x) = x si si x et F () =. x F (x) = x si x x cos x si x et F () =. L foctio f = F estprimitivble sur R et est borée sur ucu voisige de. 4) O désige pr f(x)dx l esemble des primitives de f mis ce symbole désige prfois ue primitive de f d où ue certie mbiguité de cette ottio. Propositio 37.. Pour tout itervlle I, PR(I) est u espce vectoriel sur R. Preuve évidete. Ce résultt permet de trouver des primitives pr combiiso liéire de foctios élémetires primitivbles. O obtiet ces derières foctios e list de droite à guche u tbleu dot les dérivées usuelles. Pr exemple ue primitive sur R de x si x + 3 x + 4 est x cos x + 3 l x + 4x et toute foctio polyôme est primitivble. Remrque. Si PR(I) est bie u sous espce vectoriel de l espce vectoriel des foctios défiies sur I, e revche ce est ps ue sous lgèbre. E d utres termes, u produit de foctios dérivées est ps écessiremet ue foctio dérivée. Exemple. Soit f et g de R ds R défiies pr f() = g() = et, pour x, f(x) = x si x, g(x) = x cos x. Les foctios f et g sot dérivbles sur R vec f () = g () = et, pour x, f (x) = x si x + cos x, g (x) = x cos x si x. Si h : R R est défiie pr h(x) = f (x) + g (x) 4x lors h() = et h(x) = pour x. Cette foctio h est doc ps primitivble et doc u mois l ue des foctios (ss doute les deux) (f ) ou (g ) est ps ue foctio dérivée.. Primitives et itégrle d ue foctio cotiue.. Défiitio et propriétés. Nous vos vu que toute foctio dmettt ue primitive sur u itervlle vérifie le théorème des vleurs itermédiires et l o sit que ce théorème est stisfit pr les foctios cotiues. Nous dmettros le théorème suivt dot différetes preuves serot vues ds l prtie Complémets de ce documet. Théorème 37.. Toute foctio cotiue sur u itervlle I possde des primitives sur I.

3 . PRIMITIVES ET INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE 43 Lemme 37.. Soit f ue foctio primitivble sur I et et b deux élémets de cet itervlle. Le ombre rel F (b) F () est idépedt de l primitive F de f. Preuve. C est ue coséquece immédite de l propositio 37. Défiitio 37.. Soit f ue foctio yt ue primitive F sur I et, b I. Le ombre réel F (b) F () est ppelé itégrle etre et b de f et o ote Remrques. ) Ds l ottio F (b) F () = f(x)dx. f(x)dx l vrible x est muette et peut être remplcée pr toute utre vrible ss occurrece ds f. O pr exemple f(u)du. ) Il résulte imméditemet de l défiitio que f(x)dx = et f(x)dx = f(x)dx = b f(t)dt = Propositio Soit f ue foctio yt ue primitive F sur I et I. L foctio G de I ds R défiie pr G(x) = x f(t)dt est dérivble sur I et est l primitive de f pret l vleur u poit. Preuve. O G(x) = F (x) F () d où l dérivbilité de G sur I vec G (x) = F (x) = f(x). De plus G() = F () F () =. Remrque. Si o remplce l otio d itégrle itroduite ici pr celle d itégrle de Riem lors o est certi que G est dérivble e x I seulemet si f est cotiue e x et o lors G (x ) = f(x ). Pr exemple l foctio prtie etière de x est itégrble u ses de Riem sur R mis x x E(t)dt est seulemet dérivble sur R Z et cette foctio est doc ps ue primitive de l foctio prtie etière (qui est ps primitivble sur R). Ds l suite, ous llos étudier les propriétés de l itégrle d ue foctio cotiue mis de ombreux résultts s étedet fcilemet u cs des foctios primitivbles. O désiger pr C (I, R) l espce vectoriel réel des foctios cotiues sur I. Propositio (L reltio de Chsles) Soit, b et c trois élémets de I et f ue foctio cotiue sur I. O f(x)dx = c f(x)dx + c Preuve. Soit F ue primitive de f sur I. L églité cherchée est ue utre fço d écrire F (b) F () = F (b) F (c) + F (c) F ().

4 PRIMITIVES ET INTÉGRALES Propositio (Liérité de l itégrle) Soit f et g deux foctios cotiues sur I. Pour tout (λ, µ) R et tout (, b) I (λf(x) + µg(x))dx = λ f(x)dx + µ g(x)dx. Preuve. O utilise l défiitio de l itégrle et le fit que si F et G sot des primitives de f et g sur I lors λf + µg est ue primitive de λf + µg. Propositio (Positivité de l itégrle) Soit f ue foctio cotiue et positive sur I = [, b]. Si < b lors ulle sur [, b]. f(x)dx et f(x)dx = si et seulemet si f est idetiquemet Preuve. Soit F ue primitive de f sur I. Comme l foctio f est positive, F est croisste et < b implique F () F (b) d où Si f(x)dx. f(x)dx = lors F () = F (b) et l foctio F étt croisste, elle est costte sur [, b] et s dérivée f est idetiquemet ulle. L réciproque est évidete. Remrques. ) L propositio est ecore vrie si f est ps cotiue. Si o cosidère l itégrle u ses de Riem, l première ffirmtio de l propositio est toujours vrie mis l secode peut être fusse si f est ps cotiue. Pr exemple, E(x)dx = et l foctio prtie etière est ps idetiquemet ulle sur [, ]. Cepedt, si o cosidére l itégrle de Riem d ue foctio yt ue primitive lors o peut fire l même démostrtio qu ici et le résultt est doc vri. ) O peut résumer les deux propositios précédetes e dist que f forme liéire positive sur C (I, R). f(x)dx est ue Corollire 37.. Soit f et g deux foctios cotiues sur I = [, b]. Si pour tout x [, b], f(x) g(x) lors f(x)dx g(x)dx, l iéglité stricte yt lieu si et seulemet si il existe x [, b] tel que f(x ) < g(x ). Preuve. Il suffit d ppliquer l propositio 37.6 à l foctio cotiue et positive h = g f. Corollire 37.. L pplictio est u produit sclire sur C (I, R). (f, g) C (I, R) f g = f(x)g(x)dx Peuve. E utilist l propositio 37.5 o voit que (f, g) f g est ue forme biliéire qui est évidemmet symétrique. L propositio 37.6 etrie qu elle est de plus défiie positive.

5 . PRIMITIVES ET INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE 45 Remrque. O peut déduire du corollire précédet l iéglité de Cuchy-Schwrz qui est vérifiée pr toute forme biliéire symétrique et positive : Si f et g sot cotiue sur [, b] lors f(x)g(x)dx ( f(x) dx) ( g(x) dx), l églité yt lieu si et seulemet si il existe λ R tel que f = λg. O déduit de ce résultt u cs prticulier (p = q = ) de l iéglité de Mikowski ( (f(x) + g(x)) dx) ( f(x) dx) + ( g(x) dx). (Pour l preuve, prtir de (f + g) = f + g + fg.) Ue preuve directe de l iéglité de Cuchy-Schwrz se trouve ds le documet du fscicule coscré u triôme du secod degré. Corollire (L iéglité des ccroissemets fiis) Soit f ue foctio dérivble sur [, b] vec < b. S il existe (m, M) R tel que lors m f (x) M m(b ) f(b) f() M(b ). Preuve. Il suffit d ppliquer le corollire 37.. Exercice. Etudier l suite (I ) défiie pour > pr I = π (si x) dx. Si x [, π ] lors si x et (si x) (si x) +. Le corollire 37. etrie que I I + π. L suite croisste et mjorée I est doc covergete. d où O π x si x (voir Documet 33) d où ( π x) (si x) π ( π x) dx I. Ue primitive sur [, π ] de x ( π x) est ( π ) π + I π π ( π x) dx = ( π ) et lim I = π. + x + et et doc + (π ) + = π + Remrques. ). Attetio! L preuve de l propositio 37.6 utilise le fit qu ue foctio yt ue dérivée positive sur u itervlle est croisste sur cet itervlle. L preuve très élémetire de l iéglité des ccroissemets fiis doée ici suppose doc ussi ce résultt lors que souvet il est démotré e utilist l églité ou l iéglité des ccroissemets fiis. O peut

6 PRIMITIVES ET INTÉGRALES ussi remrquer que l églité des ccroissemets fiis ussi été utilisée pour motrer que deux primitives d ue même foctio diffèret d ue costte. Si o utilise l itégrtio u ses de Riem lors l preuve de l propositio 37.6 est très simple et utilise ps l iéglité des ccroissemets fiis mis toutes les foctios dérivées e sot ps itégrbles u ses de Riem. ). Comme pour l propositio 37.6 o e peut ps supprimer l hypothèse de cotiuité ds le corollire 37. si l o veut que l secode ffirmtio soit toujours vrie vec l itégrle u ses de Riem. Corollire Soit f ue foctio cotiue sur I = [, b]. O f(x)dx f(x) dx. Preuve. Si f est cotiue sur [, b] lors f l est ussi et, pour tout x (, b], f(x) f(x) f(x). Le corollire 37. termie l preuve. Propositio (Iéglité et églité de l moyee) Soit f et g deux foctios cotiues sur I = [, b], l foctio f étt positive. Si m = if x I g(x) et M = sup x I g(x) lors () m et () il existe c [, b] tel que f(x)dx f(x)g(x)dx M f(x)g(x)dx = g(c) f(x)dx Preuve. ). O pour tout x I, m g(x) M d où, l foctio f étt positive sur I, m f(x) f(x)g(x) M f(x). L pplictio du corollire 37. chève l preuve de l double iéglité. ). Le résultt est évidet si f est idetiquemet ulle sur I. Sio m f(x)g(x)dx / f(x)dx M. Le théorème des vleurs itermédiires etrie l existece d u c [, b] tel que g(c) = f(x)g(x)dx/ f(x)dx > et doc Remrques. ). L double iéglité de l propositio précédete reste vrie si m est u miort et M u mjort de f sur I. ). Si f est égtive lors l pplictio à f de l première prtie de l propositio coduit à : M f(x)dx et l églité de l moyee est ecore vrie. f(x)g(x)dx m f(x)dx

7 . PRIMITIVES ET INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE 47 E pret ds l propositio précédete, f égle à l foctio costte de vleur, o obtiet le corollire suivt dot o pourr doer ue iterpréttio géométrique près voir iterprété l itégrle e terme d ire. Corollire Soit g ue foctio cotiue sur I = [, b], < b. Si m = if x I g(x) et M = sup x I g(x) lors () et () il existe c [, b] tel que Remrques. ) Si o explicite m(b ) g(x)dx M(b ) g(x)dx = (b )g(c). g(x)dx à l ide d ue primitive de g, o voit que l ffirmtio. est rie d utre que l iéglité des ccroissemets fiis. ) L églité de l moyee et le corollire précédet ot des iterpréttios grphiques bie coues. Il est difficile de les plcer ici cr o ps ecore doé l iterpréttio géométrique de l itégrle... Itégrtio pr prties. Propositio Soit u et v deux foctios yt des dérivées cotiues sur I = [, b]. O : u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)] b (e désigt pr [u(x)v(x)] b l qutité u(b)v(b) u()v(). u(x)v (x)dx. Preuve. L foctio produit uv est dérivble sur I et (uv) = u v + u v, ce qui etrie e prticulier l cotiuité de l foctio (uv) sur I. Les trois foctios, (uv), u v et u v, sot doc cotiues sur I et l propositio 37.5 etrie qu ue primitive de u v est obteue e fist l différece etre ue primitive de uv et ue primitive de u v. O peut doc écrire : u (x)v(x)dx = = ([u(x)v(x)] u(x)v (x))dx ([u(x)v(x)] dx = [u(x)v(x)] b u(x)v (x)dx u(x)v (x))dx Remrque. E géérl, o utilise l propositio précédete pour clculer u (x)v(x)dx et il est prfois itéresst de predre pour foctio u l primitive de u ulle e ou e b. Pr exemple : (x b ) (x )(x b)dx = [ (x b)] b (x ) ( b)3 dx = 6

8 PRIMITIVES ET INTÉGRALES si o pred u(x) = (x ) et o ps u(x) = x x. Exercice (Secod théorème de l moyee) Soit f ue foctio cotiue sur [, b], g ue foctio de clsse C sur [, b], décroisste et positive. Motrer qu il existe c [, b] tel que f(x)g(x)dx = g() c f(x)dx + g(b) c Solutio. Soit F l primitive de f sur [, b] telle que F () =. Pr itégrtio pr prties o : d où F (x)g (x)dx = [F (x)g(x)] b f(x)g(x)dx = F (b)g(b) = F (b)g(b) F (c) f(x)g(x)dx = F (b)g(b) F (x)g (x)dx f(x)g(x)dx, g (x)dx = F (b)g(b) F (c)(g(b) g()) vec c [, b] pr pplictio de l églité de l moyee cr g est égtive sur [, b]. remrqut que F (b)g(b) F (c)(g(b) g()) = F (b)g(b) F ()g() F (c)(g(b) g()) o obtiet le résultt cherché. = g() c f(x)dx + g(b) c f(x)dx Questio. Avec des hypothèses plus fibles, o peut motrer ds le cs de l itégrtio u ses de Riem qu il existe d [, b] tel que f(x)g(x)dx = g() d Existe-t-il ue démostrtio simple de ce résultt vec les hypothèses ci-dessus?.3. Chgemet de vribles. Propositio Soit ϕ ue foctio de clsse C sur u itervlle [, b], f ue pplictio cotiue sur ϕ([, b]). O f(ϕ(x))ϕ (x)dx = ϕ(b) ϕ() f(x)dx Preuve. Soit F ue primitive de f sur ϕ([, b]). L foctio composée F ϕ est dérivble sur [, b] et (F ϕ) = ϕ (f ϕ). L foctio F ϕ est doc ue primitive de l pplictio g = (f ϕ).ϕ cotiue sur [, b]. O g(x)dx = cr f est cotiue sur [ϕ(), ϕ(b)] ϕ([, b]). f(ϕ(x))ϕ (x)dx = [F ϕ] b = F (ϕ(b)) F (ϕ()) = ϕ(b) ϕ() f(x)dx E

9 . PRIMITIVES ET INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE 49 E géérl, o pplique l propositio précédete sous l forme suivte. Corollire Soit f ue foctio cotiue sur [, b] et ϕ ue foctio de clsse C sur u itervlle [α, β] tel que ϕ(α) =, ϕ(β) = b et ϕ([α, β]) = [, b]. O : β α f(ϕ(x))ϕ (x)dx = L hypothèse ϕ([α, β]) = [, b] est ps à égliger comme le motre l exemple suivt. Soit à clculer I = dx (qui vut rcsi = π ). Si l o pred ϕ défiie x 4 pr ϕ(t) = si t lors o à bie I = π 4 cos t dt mis ps I = cos t 9π 4 cos t dt cr l foctio cos t t cos t cos t est ps défiie sur [, 9π 4 ]. E prtique, ce problème se pose rremet cr l pplictio ϕ est le plus souvet bijective et o utilise lors le résultt suivt. Corollire Soit f ue foctio cotiue sur [, b] et ϕ ue bijectio de clsse C sur le segmet de bores ϕ () et ϕ (b). O : ϕ (b) ϕ () f(ϕ(x))ϕ (x)dx = Le chgemet de vribles permet de doer ue propriété des itégrles des foctios pires ou impires isi que des foctios périodiques. Corollire () Soit f ue foctio cotiue sur R. Si f possède ue période T lors pour tout x R, x +T T f(x)dx = x () Soit g ue foctio cotiue sur I = [, ], >. Si g est pire lors et si g est impire g(x)dx = g(x)dx =. g(x)dx Preuve. Pour. utiliser l reltio de Chsles et le chgemet de vribles défiie pr ϕ(x) = x + T. Pour. o pr l reltio de Chsles le chgemet de vribles ϕ(x) = x chève l preuve. g(x)dx = g(x)dx + g(x)dx et

10 4 37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 3. Applictios ) Défiitio de ouvelles foctios. L foctio logrithme épérie peut être défiie sur R + comme l primitive de l foctio cotiue t t ulle u poit : l x = x O peut ussi défiir l foctio rct sur R comme primitive de T ulle e : + t rct x = x dt t. dt + t. L foctio isi obteue est ue bijectio de R sur ] π, π [ ce qui permet, e utilist l théorie des foctios réciproques d voir l foctio tgete sur ] π, π [. Voir le documet 8 pour plus de détils. Il fut remrquer que ces défiitios utiliset u résultt o trivil : toute foctio cotiue sur u itervlle possède ue primitive. ) Clcul d ires et de volume. Ce poit est bordé ds l prtie Complémets 4. Clcul prtique d itégrles et de primitives Le clcul prtique des itégrles et des primitives utilise essetiellemet des itégrtios pr prties et des chgemets de vribles. Souvet o se rmèe u clcul d ue primitive d ue frctio rtioelle et o verr ds l prtie complémets commet détermier ce type de primitive. Remrquos l emploi u peu busif du mot clcul cr si f est ue foctio cotiue sur [, b], x [, b] x f(t)dt est ue foctio bie défiie et f(x)dx u ombre réel bie détermié. Le problème précis est plutôt de doer ue expressio de x [, b] l ide des foctios élémetires et d écrire x f(t)dt à f(x)dx e bse ou e utilist des frctios, des rdicux, e, π,... O pourr ussi réfléchir à l sigifictio du clcul scht que l est défiie pr dx x. 6 dx x + = l 4.. Utilistio de l itégrtio pr prties. Si, sur I = [, b], u est l dérivée cotiue d ue foctio u et si v ue dérivée cotiue lors u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)] b u(x)v (x)dx.

11 4. CALCUL PRATIQUE D INTéGRALES ET DE PRIMITIVES 4 O ussi u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u(x)v (x)dx, ce qui sigifie que les primitives sur I de x u (x)v(x) sot obteues e joutt à x u(x)v(x) ue primitive quelcoque de x u(x)v (x) O utilise e prticulier l itégrtio pr prties lorsque l foctio f se présete sous l forme f(x) = g(x)h(x), l foctio g étt l dérivée cotiue d ue foctio u coue et l foctio h yt ue dérivée cotiue h plus simple que h. Exemple. Clculer x si xdx. Avec u (x) = si x et v(x) = x o obtiet : x si xdx = x cos x + et ue secode itégrtio pr prties doe : x si xdx = x cos x + x si x Pr ue méthode semblble, o peut clculer x cos xdx. si xdx = x cos x + x si x + cos x. P (x) cos xdx, P (x) si xdx, P (x)e x dx, où P est ue foctio polyôme. Pr exemple, si P est u polyôme de degré p et m R lors P (x)e mx dx = e mx [ m P (x) m P (x) ( ) p m p+ P (p) (x)]. Exemple. Si f possède sur I ue dérive cotiue lors l itégrtio pr prties vec u (x) = et v(x) = f(x) doe f(x)dx = xf(x) xf (x)dx ce qui peut être itéresst si l o sit clculer ue primitive de x xf (x). Pr exemple, sur I = R +, l xdx = x l x dx = x l x x. O explicite de l même fço + x dx, rccos xdx, rct xdx,... vec chque fois u itervlle I à préciser. Exemple 3. L itégrtio pr prties permet prfois d obteir ue reltio de récurrece pour le clcul du terme géérl d ue suite d itégrles. O trouve ds tout livre pour le DEUG ou les Clsses Préprtoires le clcul des itégrles de Wllis I = π cos xdx = π si xdx. (Fire le chgemet de vrible t = π x pour costter l églité des deux itégrles.)

12 4 37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES Cosidéros ici, pour >, u =! ( x) e x dx. O fcilemet u = e et pr ue itégrtio pr prties, vec u (x) = v(x) = e x, u = [ ( x)+ e x ] + ( + )! Pr ue récurrece immédite, u + = e ( x) + e x dx = ( + )! + p= p!. ( + )! + u +. Déduisos ue coséquece itéresste de cette reltio. Sur [, ],! ( x) et d où et doc! ( x) e x! ex u! e = lim e x dx = e! p= p!. e! Exemple 4. Pour le clcul des primitives des frctios rtioelles, il est utile de coitre pour >, dx I = ( + x ). O I = rct x et ue itégrtio pr prties coduit à x I = ( + x ) + x ( + x dx ) + d où si o remrque que Si mitet o cosidère I + = x ( + x ) + ( )I x ( + x ) + = ( + x ) ( + x ) +. J = dx ( x ) sur u itervlle I ], [ lors o peut motrer que cette suite vérifie l même reltio de récurrece que (I ) (mis I J!). Exemple 5. Itégrtio pr prties itérée.

13 4. CALCUL PRATIQUE D INTéGRALES ET DE PRIMITIVES 43 Si u et v sot de clsse C,, sur I lors o u () (x)v(x)dx = ( ) k u ( k ) (x)v (k) (x) + ( ) k= Pour l preuve, o écrit les k églités, k, u ( k) (x)v (k) (x) = u ( k ) (x)v (k) (x) Esuite o clcule k= u ( k) (x)v (k) (x)dx et près u chgemet d idice et ue simplifictio o obtiet l formule cherchée. u(x)v () (x)dx. u ( k ) (x)v (k+) (x)dx. Exemple 6. L formule de Tylor vec reste itégrl. C est ue pplictio clssique de l itégrtio pr prties, voir l exposé cocert les formules de Tylor. Ue utre pplictio est l mjortio de l erreur ds le clcul pproché de l itégrle d ue foctio de clsse C pr l méthode des trpèzes. O utilise ue double itégrtio pr prties qui motre que pour ue foctio h de clsse C sur [, b] (x )(x b)h (x)dx = h(x)dx. 4.. Utilistio du chgemet de vribles. Rppelos le résultt théorique justifit le chgemet de vribles. Soit ϕ ue foctio de clsse C sur u itervlle [, b], f ue pplictio cotiue sur ϕ([, b]). O f(ϕ(x))ϕ (x)dx = ϕ(b) ϕ() Cette églité permet de clculer l ue des itégrle coisst l utre et e prtique o recotre doc deux cs. Cs. O veut clculer g(x)dx ou ue primitive de l foctio g sur I = [, b] et o remrque que pour ue foctio ϕ de clsse C sur I o peut écrire g(x) = f(ϕ(x))ϕ (x) vec ue foctio f cotiue sur ϕ(i). Si F est ue primitive de f sur ϕ(i), o doc g(x)dx = f(ϕ(x))ϕ (x)dx = Pour tout x I, o peut ussi écrire : x g(t)dt = x f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() ϕ(x) ϕ() f(x)dx = F (ϕ(b)) F (ϕ()). f(t)dt = F (ϕ(x)) F (ϕ()). Ue primitive de g sur I est doc F ϕ. Illustros cel pr u exemple simple e utilist les ottios usuelles. Soit à clculer π cos 3 xdx.

14 PRIMITIVES ET INTÉGRALES O cos 3 x = ( si x) cos x d où π cos 3 xdx = π ( si x) cos xdx = ( u )du = [u u3 3 ] = 3 e yt posé u = si x et remplcé cos xdx pr du. O peut ussi dire que sur tout itervlle de R, ue primitive de x cos 3 x est l foctio x si x si3 x. 3 Cs. O veut clculer g(x)dx ou ue primitive de l foctio g sur I = [, b] et o remrque qu il existe ue foctio ϕ yt les deux propriétés () ϕ est de clsse C sur [α, β] (ou [β, α]), vec ϕ(α) = et ϕ(β) = b ; () o coit explicitemet ue primitive Γ de x g(ϕ(x))ϕ (x) sur [α, β]. O g(x)dx = β α g(ϕ(x))ϕ (x)dx = Γ(β) Γ(α). Si l o veut ue primitive de g lors il est utile de supposer que ϕ est ue bijectio de [α, β] (ou de [β, α]) sur [, b] et o lors pour x [, b] : x g(t)dt = ϕ (x) ϕ () g(ϕ(t))ϕ (t)dt = Γ(ϕ (x)) Γ(ϕ ()) et ue primitive de x g(x) est doc x Γ(ϕ (x)). Doos u exemple de ce cs d utilistio du chgemet de vribles e utilist les ottios usuelles. Soit à clculer x dx. Posos x = si t, t [ π, π ], et remplços dx pr cos tdt. bijectio de clsse C etre [ π, π ] et [, ] et o : L foctio sius rélise ue x dx = = π π π π π si t cos tdt = cos tdt π cos t + si t dt = [ + t 4 ] π π = π. (Cette itégrle se clcule ussi pr itégrtio pr prties vec u = x ) Si mitet o veut expliciter ue primitive de x x sur [, ] lors o écrit : x dx = si t cos tdt = cos tdt = = cos t + dt = si t 4 si(rcsi x) cos(rcsi x) + t = si( rcsi x) 4 + rcsi x = x x + rcsi x + rcsi x.

15 4. CALCUL PRATIQUE D INTéGRALES ET DE PRIMITIVES 45 Remrques. ). Pr u chgemet de vrible logue o peut clculer ue itégrle du type c x dx si c et b c. Pour le clcul de x c dx sur u itervlle [, b] coteu ds ], c ] ou [ c, + [ o peut poser u = cosh x. Les itégrles du type c b αx + βx + γdx vec et b covebles et = β 4αγ > peuvet se rmeer ux types précédets près u chgemet de vribles ffie. ). Aucue des deux foctios x rcsi x et x x x est dérivble ux poits et. E revche, leur somme l est cr c est ue primitive de x x sur [, ]. Cet exemple illustre le crctère seulemet suffist de l propositio usuelle dot l dérivée d ue somme. L méthode du chgemet de vribles est ecore illustrée pr les exemples suivts. Exemple 7. Détermitio des primitives sur R de g : x si x cos p x, l u des etiers ou p étt impir. Supposos pr exemple p = q +. O peut écrire g(x) = si x( si q x) cos x et si F est ue primitive de l foctio polyôme f : x x ( x q ) lors ue primitive G de g sur R est défiie pr G(x) = F (si x). Si et p sot tous les deux pirs o e peut plus utiliser l mthode précédete et, e géérl, o liérise g à l ide des formules d Euler. Exemple 8. Primitives de x t x. L foctio tgete est défiie et cotiue sur tout itervlle de l forme ] π +kπ, π +kπ[, k Z. Le problème précis est doc de trouver ue primitive de l foctio tgete sur l u de ces itervlles, pr exemple sur ] π, π [. Remrquos que si F est ue primitive de l foctio tgete sur cet itervlle lors x ] π + kπ, π + kπ[ F (x kπ) est ue primitive de l foctio tgete sur ] π + kπ, π + kπ[. Pour x ] π, π si x [, o t x = cos x ce qui motre que sur cet itervlle l foctio tgete est l dérivée de l foctio x l cos x = l cos x = l. Ue primitive de cos x l foctio tgete sur ] π, π [ est doc x cos x. Questio : trouver ue primitive de l foctio tgete sur ] π + 5π, π + 5π[. Exemple 9. Chgemet de vribles ffie. C est le cs lorsque ϕ(x) = αx + β, α, et o lors sur u itervlle à préciser, Pr exemple : () π 4 f(αx + β)dx = α si xdx = π αb+β α+β f(x)dx et si xdx = [ cos x] π = ; f(αx + β)dx = α

16 PRIMITIVES ET INTÉGRALES () dx + x = dx ( + ( x ) ) = dx + ( x ) = (3) Sur tout itervlle e cotet ps et tout N, dx = l x si = (x ) = si >. (x ) dx + x = [rct] = π 4. Exemple. Frctios rtioelles e cosius et sius ; règles de Bioche. Soit F (x, y) ue frctio rtioelle à deux idétermiées et à coefficiets ds R. L pplictio F : x F (cos x, si x), défiie sur ue réuio d itervlles, est ppelée ue frctio rtioelle e cosius et sius. Les règles suivtes, dites règles de Bioche, permettet de rmeer le clcul d ue primitive de F sur u itervlle de so esemble de défiitio à celui d ue primitive d ue frctio rtioelle. O e trouve ue preuve ds tout bo ouvrge pour les clsses préprtoires (Rmis, Deschmps, Odoux : pge 46, Arudiès, Frysse : pge 39) () Si F ( x) = F (x), o pose ϕ(x) = cos x; () Si F (π x) = F (x), o pose ϕ(x) = si x; (3) Si F (x + π) = F (x), o pose ϕ(x) = t x. Ds les trois cs, F (x) = g(ϕ(x))ϕ (x) vec g qui est ue frctio rtioelle à ue idétermiée. Si G est ue primitive de g lors x : G(ϕ(x)) est ue primitive de F (x). Il fut ds chcu des cs, et surtout ds le troisième, bie préciser les esembles de défiitio des foctios cosidérées. Mitet, si l o est ds ucu des trois cs précédets lors ϕ(x) = t x rmèe ecore le clcul d ue primitive de F (x) à celui d ue primitive d ue frctio rtioelle. Rppelos les formules dot les foctios circulires de x e foctio de t = t x : cos x = t t + t, si x =, t x = + t + t t, (t x ) = + t. Exemples. ). Clculer l foctio f : x si x + si x dx. Il fut d bord préciser les itervlles sur lesquels si x + si x est défiie et cotiue. O = si x + si x = si x( + cos x) x πz ou x ( π 3 + πz) (4π 3 + πz). Si l o pose X = πz π 3 Z 4π 3 Z lors f est défiie et cotiue sur R X et o e cherche ue primitive sur u itervlle I tel que I X =. Si le problème est de clculer f(x)dx lors o doit voir [, b] X =. O remrque que f( x) = f(x) d où le chgemet de vrible u = cos x. O peut écrire dx si x + si x = si xdx si x + si x cos x = du ( u )(u + ).

17 4. CALCUL PRATIQUE D INTéGRALES ET DE PRIMITIVES 47 O et A = [ u ] u= d où ( u )(u + ) = A u + + B u + C + u = 4 3, B = [ (u + )( + u) ] u= = 6, C = [ (u + )( u) ] u= =, ( u )(u + ) = 4 3 u u + u +. Filemet, du ( u )(u + ) = 6 l u + l + u l u + 3 d où, sur u itervlle I coveble et compte teu de cos x = cos x, dx si x + si x = 6 l( cos x) + l( + cos x) l cos x +. 3 b). Clculer ue primitive de g : x cos3 x si 5 x. L foctio g étt défiie sur D g = R πz, le problème précis est de clculer ue primitive de l restrictio de g à u itervlle I disjoit de πz. O remrque que g(π x) = g(x) d où le chgemet de vrible u = si x. O écrit : cos 3 x si 5 x dx = ( si x) cos x u si 5 dx = x u 5 du = 4u 4 + u si 4 x + si x = 4 ( + cot x) + ( + cot x) = 4 = 4 cot4 x + 4. c). Clculer L foctio h : x dx + si x. + si x u = t x et du = dx + u d où + si x = est défiie sur R et les régles de Bioche coduiset à poser e suppost pr exemple x ] π, π[. O + si x = + u + u + u du = 3 = 3 rct 3 (u + ) du [ (u + 3 )] + + u + u = + u + u

18 PRIMITIVES ET INTÉGRALES L foctio G : x rct (t x ) est doc ue primitive de g sur ] π, π[. Cette foctio g étt cotiue sur R, elle possède ussi des primitives sur R et ous llos doer l idée permettt d e obteir ue. O lim x π rct (t x ) = π et lim 3 x π+ Si o défiie ue foctio ecore otée G sur ] π, 3π[ pr rct (t x ) si x ] π; π[ G(x) = rct (t x ) + π ) si x ]π; 3π[ 3 π si x = π 3 rct (t x ) = π. 3 lors G est ue primitive de g sur ] π, 3π[ et pr géérlistio de cette méthode o peut expliciter ue primitive de g sur R. Remrque. Le clcul de du doe u exemple de primitive du type + u + u dx x + bx + c vec = b 4c <. Pr u chgemet de vrible ffie o rmèe ce clcul à celui de du = rct u. + u Exemple. Autres chgemets de vribles clssiques. ). Clcul de F (x, ( x + b cx + d ) )dx où N, F (X, Y ) est ue frctio rtioelle et d bc. O détermie d bord les itervlles sur lesquels l foctio x F (x, ( x + b cx + d ) ) est cotiue et o pose u = ( x + b cx + d ). O obtiet x = du b cu et dx doit être remplcé pr u d bc ( cu du. O est doc rmeé u clcul d ue primitive de l frctio rtioelle ) F ( du b cu, d bc u)u ( cu. Ce clcul est souvet log, le lecteur pourr e fire l expériece ) vec x x(3x + ) x (x + ) dx = 5 x + x l x 4 x 8 sur I =], [ ou I =], + [. ). Clcul de F (x, x + bx + c)dx où F (X, Y ) est ue frctio rtioelle. x x

19 5. COMPLéMENTS 49 O détermie d bord les itervlles sur lesquels l foctio x F (x, x + bx + c) est cotiue. O fit u chgemet de vribles à l ide des foctios circulires ou des foctios hyperboliques, le choix étt dicté pr les siges de et de = b 4c. Ce chgemet de vribles rmèe le clcul à celui d ue primitive d ue frctio rtioelle. Lorsque > o peut ussi poser x + bx + c = x + u d où x = u c b u et dx = bu u c (b u ) du, ce qui motre que l o est ecore ue fois rmeé u clcul d ue primitive d ue frctio rtioelle. 5. Complémets 5.. Toute foctio cotiue possède ue primitive. Nous llos discuter ds cette prtie différetes preuves du théorème suivt, dmis ds l première prtie de ce documet. Théorème 37.. Toute foctio cotiue sur u itervlle possède ue primitive. Démotros d bord u lemme qui permet de se restreidre à u segmet. Lemme 37.. Si ue foctio f défiie sur u itervlle I possède ue primitive sur tout segmet iclus ds I lors f ue primitive sur I. Preuve. Il suffit de cosidérer le cs où I est ps u segmet. Tout itervlle est ue réuio déombrble d ue suite croisste de segmets; pr exemple, R = [, ], ], b[= [ +, b ]. N N Soit J ue suite croisste de segmets o réduits à u poit et telle que I = J, x J et F l primitive de f sur J telle que F (x ) =. Si m lors F m est l restrictio de F à J m (Propositio37.). O peut doc défiir ue foctio F : I R pr F (x) = F (x) si x J. L foctio F prologe toutes les foctios F et c est l primitive de f sur I telle que F (x ) =. E effet si x I il existe telle que x J. Si x est ps ue bore de I, o peut supposer que x est ps ue bore de J. Les foctios F et F coïcidt sur l itérieur de J, F est dérivble e x et F (x) = F (x) = f(x). Mitet si x est ue bore de I, pr exemple s bore iférieure, lors J cotiet u itervlle du type [, y[ qui est ouvert ds I. O e déduit comme précédemmet que F () = F () = f() Preuves ss théorie de l itégrtio. L idée géérle de l méthode est l suivte. Il existe des fmilles de foctios primitivbles sur tout itervlle de R, pr exemple les foctios ffies pr morceux ou les foctios polyômes. Si ue foctio f est ue limite d ue suite de foctios primitivbles f lors o peut espérer que l limite d ue suite de primitives des f soit ue primitive de f. Précisos ce derier poit. Propositio 37.. Soit I u segmet et f ue suite de foctios cotiues sur I qui coverge uiformémet vers ue foctio f. Si chque foctio f posséde ue primitive sur I lors f posséde ue primitive sur I. Preuve. Soit x I et F l primitive de f sur I telle que F (x ) =. L suite F (x ) est trivilemet covergete et le théorème usuel sur l dérivtio des suite de foctios etrie que l suite F est uiformémet covergete vers ue foctio F : I R vec F (x) = f(x).

20 4 37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES Remrque. Ce résultt sigifie que l esemble des foctios cotiues primitivbles sur I est fermé ds l esemble des foctios défiies sur I mui de l topologie de l covergece uiforme. O e peut ps remplcer l covergece uiforme pr l covergece simple. Pr exemple, sur I = [, ], l suite de foctios primitivbles x x coverge simplemet vers l foctio f défiie pr f(x) = si x [, [ et f() =. Cette foctio est ps primitivble. Mitet si o coit l coséquece suivte du théorème de Stoe-Weierstrss : Toute foctio cotiue sur u segmet est limite uiforme d ue suite de foctios polyômes, lors il suffit de dire que toute foctio polyôme possède ue primitive sur tout itervlle et ppliquer l propositio 37. pour obteir ue preuve du théorème 37.. Sio, o remplce les foctios polyômes pr des foctios plus simples, les foctios ffies pr morceux. Défiitio Ue foctio f est dite ffie pr morceux sur I = [, b] si f est cotiue sur I et s il existe ue subdivisio = < <... < i <... = b, i, telle que f soit ffie sur [ i, i+ ], i. U poit i de l subdivisio vec i ser dit guleux si f est ps ffie sur [ i, i+ ]. Lemme Toute foctio ffie pr morceux sur I = [, b] possède ue primitive sur [, b]. Preuve. Pr récurrece sur le ombre k de poits guleux de f. Si k = lors f est ffie et possède doc ue primitive. Supposos le résultt vri pour toute foctio ffie pr morceux défiie sur u segmet et yt k poit guleux. Soit f, ffie pr morceux, vec k poits guleux <... < k. Posos =, k+ = b. Soit F l primitive de f sur [, k ] telle que F ( k ) = et G l primitive de f sur [ k, k+ ] vérifit G( k ) =. Désigos pr H l foctio ffie pr morceux de [, b] ds R qui prologe F et G. Il est clir que si x [, b] { k } lors H est dérivble e x et H (x) = f(x). Au poit k, H possède ue dérivée à guche égle à F ( k ) = f( k ) et ue dérivée à droite qui vut G ( k ) = f( k ). L foctio H est doc dérivble e k et est ue primitive de f sur [, b]. Lemme Toute foctio cotiue sur I = [, b] est limite uiforme d ue suite de foctios ffies pr morceux. Preuve. Soit ε >. L foctio f étt uiformémet cotiue sur [, b], il existe η > tel que (x, y) I et x y < η impliquet f(x) f(y) < ε/. Soit p u etier tel que b η, p ( i ) l subdivisio de [, b] défiie pr i = + i b, i p. Cosidéros l pplictio p ffie pr morceux g qui coïcide vec f ux poits i, i p, et qui est ffie sur chque segmet [ i, i+ ], i p. Soit x [, b]. Il existe u etier i [, p ] et λ [, ] tel que x = λ i + ( λ) i+. E utilist le crctère ffie de g, o f(x) g(x) = λf(x) + ( λ)f(x) λg( i ) ( λ)g( i+ ) λ f(x) g( i ) + ( λ) f(x) g( i+ ) λε/ + ( λ)ε/ = ε.

21 5. COMPLéMENTS 4 Mitet ppelos g ue pplictio ffie pr morceux sur I telle que, pour tout x I, f(x) g (x) <. Pour tout ε > il existe u etier tel que ε. Si et x I lors d où l covergece uiforme de (g ) vers f. f(x) g (x) < ε A l ide des deux lemmes précédets et de l propositio 37. o obtiet fcilemet ue utre preuve du théoréme Preuves à l ide de l itégrtio. Il existe de ombreuses théories de l itégrtio, l itégrtio des foctios réglées, l itégrtio u ses de Riem et l itégrtio u ses de Lebesgue étt les plus coues. Ces théories et des théories voisies serot qulifiées d usuelles ds l suite. E géérl, o cosidère u segmet [, b] et chque théorie de l itégrtio ssocie à certies foctios f, défiies sur [, b] et dites itégrbles sur [, b], u ombre réel ppelé l itégrle de l foctio f sur [, b] et oté O démotre esuite des résultts logues à ceux éocés ds les propositios 37.4, 37.5 et 37.6 du début de ce documet. O motre ussi que si f est cotiue sur [, b] lors f est itégrble sur [, b] et l vleur de so itégrle est l même pour toute les théories usuelles de l itégrtio. Le résultt suivt, vri ds toute théorie usuelle de l itégrtio, coduit imméditemet à ue ouvelle preuve du théorème 37.. Propositio 37.. Soit f ue foctio itégrble sur [, b]. Pour tout x [, b], f est itégrble sur [, x] et si f est cotiue u poit x lors F : x x f(t)dt est dérivble u poit x et F (x ) = f(x ). E prticulier, si f est cotiue sur I lors F est dérivble sur I et F = f. Remrques. ) Si ds l propositio précédete, f est ps cotiue u poit x, lors F peut être o dérivble e x (Exemple : x F (x ) f(x ) (Exemple x x ) Si f est itégrble sur [, b] lors x E(x)dx et x Z) ou dérivble e x vec f(t)dt vec f(t) = si t et f() = u poit ). f (x)dx = f(b) f() ds toute théorie usuelle de l itégrtio mis les foctios dérivées e sot ps toujours itégrbles u ses de Riem. C est pr exemple le cs de l foctio f : R R défiie pr f() = et f(x) = x si x si x qui est dérivble sur R mis qui est itégrble sur ucu segmet cotet cr s foctio dérivée est ps borée u voisige de. Il existe même des foctios yt ue dérivée borée o itégrble u ses de Riem, pr exemple l foctio de Volterr. Si l o cosidère l itégrle de Lebesgue et s géérlistio pr Dejoy ou si o utilise l méthode de ce documet vec les primitives lors toute foctio dérivée est itégrble. Voir l ouvrge de Chmbdl et Overt, Cours de Mthémtiques Spéciles, exercices

22 4 37. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 5.. Itégrles et ires. Ds cette prtie, ous e cosidèreros (suf metio du cotrire) que des foctios positives sur I. Si f est ue telle foctio {(x, y) R x I, y f(x)} ser ppelé l surfce située sous le grphe de f. L objet de cette prtie est d étblir des lies etre f(x)dx et l ire de l surfce située sous le grphe de f, l foctio f étt supposée cotiue. Ss coissce précise de l otio d ire d ue surfce o e peut évidemmet ps démotrer que f(x)dx est l ire de l surfce située sous le grphe de f, mis seulemet doer quelques rgumets justifit cette iterpréttio géométrique de l itégrle. Nous llos e doer trois. Si le premier et le secod sot destiés des élèves de clsses termiles ou de L, le troisième est beucoup plus covict. Argumet Si f est ffie sur I = [, b] lors l surfce située sous le grphe de f est u trpèze et o peut vérifier que l ire de ce trpéze clculé à l ide de l logueur de ses cotés coïcide vec O peut géérlisé cel u cs d ue foctio ffie pr morceux et pr ue méthode semblble retrouver l ire d u trigle à l ide du clcul itégrl. O peut ussi cosidérer l foctio f : [, R] R, R >, défiie pr f(x) = R x et costter que R f(x)dx est bie égl à l ire hbituelle d u qurt de disque de ryo R. Argumet Ici ous supposos voir ue idée ituitive de l ire d ue surfce qui est u élémet de R +. E prticulier o dmet que pour le rectgle cette ire est égle à so ire usuelle et que si S S lors l ire de S est iférieure à l ire de S. Pour tout x [, b], désigos pr A(x) l ire de l surfce située sous le grphe de l restrictio de f à [, x]. Soit x [, b[, h > tel que x + h b, m = if x [x,x +h] f(x) et M = sup x [x,x +h] f(x). E utilist les propriétés dmises de l ire o d où mh A(x + h) A(x ) Mh m A(x + h) A(x ) M. h L foctio f étt cotiue e x, si h ted vers, les deux foctios de h, m et M tedet vers f(x ) (pourquoi?). O peut fire u risoemet logue vec h < et l foctio F est doc dérivble e x vec F (x ) = f(x ). Comme A() = o A(x) = x f(x)dx et e prticulier A(b) = E suppost de plus l foctio mootoe sur [, b], l preuve précédete est plus simple. Argumet 3

23 5. COMPLéMENTS 43 Propositio 37.. Si f est ue foctio cotiue sur [, b] lors b lim f( + k b ) = k= Preuve. Soit ε >. L foctio f étt uiformémet cotiue sur [, b], il existe η > tel que (x, x ) [, b] et x x < η impliquet f(x) f(x ) < ε b. Soit N vérifit b η. Cosidéros, posos x k = + k b, k, et remrquos que b f( + k b xk+ ) = f(x k )dx. O b L suite ( b k= k= x k f( + k b ) f(x)dx = xk+ k= x k xk+ k= x k xk+ k= x k (f(x k ) f(x))dx f(x k ) f(x) dx ε dx = ε. b f(x k )) > coverge doc vers f(x)dx et o peut remplcer ds l expressio de cette suite, x k pr u élémet quelcoque de l itervlle [ + k b, + (k + )b ]. O peut iterpréter b f(x k ) pr l ire de rectgles dot l réuio est, pour k= grd, voisie de l surfce située sous le grphe de f. O peut méliorer ce résultt e désigt pr m k et M k l bore iférieure et le bore supérieure de l foctio cotiue f sur le segmet [ + k b, + (k + )b ] et cosidérer s b b = m k et S = M k. k= E remrqut que m k et M k sot de l forme f(x k ) et f(x k ) lors ue démostrtio logue celle de l propositio 37. motre que et s lim s = lim S = f(x)dx S ( ) f(x)dx ( ). Chque s (resp. S ) est l ire d ue réuio r (resp. R ) de rectgles et l surfce située sous le grphe de f est comprise etre r et R. Les deux reltios ( ) et ( ) fourisset de bos rgumets pour iterpréter k= f(x)dx comme étt l ire située sous le grphe de f.

24 PRIMITIVES ET INTÉGRALES Ds l théorie de l itégrle de Riem, b k= f(x k ) vec x k [ + k b, + (k + ) b ] est ppelé ue somme de Riem. Les somme s et S sot des sommes de Drboux Primitives des frctios rtioelles. Toute frctio rtioelle P (X) Q(X) à coefficiets ds R détermie ue foctio à vleurs réelles, x P (x), défiie sur u esemble de l Q(x) forme R {,..., } où les i sot les zéros du polyôme Q, ussi ppelés pôles de l frctio rtioelle. Ue frctio rtioelle est cotiue sur tout itervlle I e cotet ucu de ses pôles et possède doc sur chque itervlle de ce type ue primitive. Chque primitive d ue frctio rtioelle sur u itervlle peut être explicitée à prtir de s décompositio e élémets simple. Les différetes étpes pour clculer ue primitive de x P (x) sur u itervlle I sot Q(x) les suivtes. () O divise P pr Q : P(X)=Q(X)E(X) +R(X), deg(r) < deg(q). Mitet o peut écrire P (X) R(X) = E(X) + vec deg(r) < deg(q). Q(X) Q(X) () O décompose le polyôme Q e fcteurs irréductibles ds R(X) : Q(X) = k(x ) l... (X ) l (X + b X + c ) k... (X + b m X + c m ) km, chque triôme X + b i X + c i yt ucu zéro réel. (3) O motre qu il existe trois suites fiies de ombres réels (A i,j ), (B i,j ), (C i,j ) telles que P (X) Q(X) = E(X) + A, X... A, X A,l (X ) l + A,l (X ) l + B, X + C, X B,k X + C,k + b X + c (X + b X + c ) k B m, X + C m, X B m,k m X + C m,km + b m X + c m (X + b m X + c m ). km Cette décompositio est ppelée l décompositio e élémets simples de l frctio rtioelle P (X) (ds le corps des frctios rtioelles à coefficiets ds R). Q(X) (4) Il reste mitet à détermier ue primitive de chque élémet simple. A Pour les élémets simples du type c est fcile, voir l exemple 9. (X ) p BX + C Pour obteir ue primitive des élémets simples du type (X o écrit + bx + c) p BX + C (X + bx + C) p = B [ X + b (X + bx + c) p + C/B b (X + bx + c) p ].

25 5. COMPLéMENTS 45 L détermitio d ue primitive du premier terme est immédite et il reste à clculer ue primitive d ue frctio rtioelle du type (X + bx + c) p vec b 4c <. Pr u chgemet de vribles ffie o se rmèe u cs d ue frctio rtioelle du type (X + ) p et le clcul pr récurrece de l ue de ses primitives fit l objet de l exemple 3.