Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Transcription

1 Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π = ; 4) U = + ; 5) U = + si ² + 6) U = + cos ; 7) U = ( ² ( ) ; 8) U = ; 9) U = ² ;0) U = + - ² Exercice ) Motrer par récurrece que ;! ) O cosidère la suite ( U ) ou U = + a) Motrer que U est majoré par 3 b) Motrer que U est covergete. Exercice 3! +! +.+! Soit U ue suite réelle défiie sur par U 0 = a, U + = ) Détermier les valeurs de a pour les quelles U est costate. O suppose pour toute la suite de l exercice que a = ) Motrer que, o pose V = U et W = U + a) Détermier le ses de variatio sur + de f : x b) Motrer par récurrece que la suite V est décroissate. + U + x c) Motrer que V > d) O déduire que la suite V coverge et préciser sa limite. e) E remarquat que W = f ( V ), motrer que W coverge vers ue limite que l o précisera ; Quelle est alors la limite de U 4) Soiet α et β les solutios de f (x) = x avec α < β Soit la suite T défiie sur par T = U β U α a) Motrer que la suite T est géométrique et préciser sa limite. b) Exprimer U e foctio de et retrouver sa limite. Exercice 4 Soit ( U ) la suite défiie par U0 =, U + = U + + U + U ) a) Motrer que pour tout o a : U > 0 b) Motrer que U est croissate c) Motrer que lim U = + ) a) : U o a U + > U + b) Retrouver que lim U = + 3) Soit ( V ), la suite défiie par, V = U + - U a) Motrer que : ; V +. b) E déduire que V est covergete et détermier sa limite. Page Tous droits réservés selmi.ali 008

2 Exercice 5 U Soit U la suite défiie sur par U 0 doée et U + = ) Quelle coditio doit satisfaire U 0 pour que U soit défiie. ) O pose U 0 = si α 0 ; α 0 π, π a) Motrer qu il existe u uique α π, π tel que U = si α b) Etudier U si α 0 = π 6 c) Motrer que α 0 π, π si α = si² α π 4 d) Trouver ue relatio de récurrece etre α + et α e) O pose β = α - π 6 Motrer que β est ue suite géométrique.exprimer β e foctio de puis U e foctio de. Calculer alors la limite de U Exercice 6 Soit ( U ) la suite défiie par U 0 = U = et U + = U + + U ) Motrer que o a U et e déduire lim U ) Motrer que o a U ² - U + U - = ( ) 3) O cosidère la suite ( V ) défiie par o a V = U + 4) Pour tout etier aturel p ; o pose a p = V p et b p = V p+ a) Motrer que V + - V = ( ) U +. U b) E déduire la mootoie de chacue des suites a p et b p c) Motrer que les deux suites a p et b p sot adjacetes. O ote l = lim a p p + 5) a) Motrer que lim V = l b) Calculer la valeur de l Exercice 7 U 0 = 0 + U U + = 3 + U ² ) Motrer que ;0 U < ) a) Motrer que o a U + > + U E déduire que U est croissate. b) Motrer que U est covergete. c) Soit V = ( U k+ U k ) ;( ); motrer que lim V = + k = 0 3) a) Motrer que ; 0 < - U + < (- U ) b) E déduire que ; - U. Calculer lim U U. Calculer lim (V + - V ) Page Tous droits réservés selmi.ali 008

3 4) Soiet x = et y = ( ) U ; a) Etudier la mootoie de la suite x. E déduire qu elle est covergete b) Vérifier que x + = x + / + puis calculer lim x c) Etudier lim y Exercice 8 A/ U = + 3 et V = U + 3 U ; ) Motrer que U est décroissat, e déduire que U est covergete. O ote l sa limite ) Exprimer V e foctio de puis calculer lim V.E déduire l 3) a) Pour ; calculer S = V k e foctio de. k = 0 b) Soit S = U k ;. Motrer que S = k = B/ ; 0, π o pose t = ( + )( tgx) ) Soit x = 0, π 6, Motrer que 0 t U. E déduire lim t π ) Soit x = 4 ;π Motrer que t est divergete. 3) Soit x = π 4 O pose s = k = 0 Exercice 9 Soit la suite U défiie sur par U = - et U + = U + U + U ² ;.3 - U E déduire lim S t k ² + Calculer s e foctio de puis lim s ) a) Motrer que pour tout b) Motrer que U est décroissate. E déduire qu elle est covergete et calculer sa limite. ) a) Motrer que pour tout de, U + + ( U + ) b) E déduire que U + - x 3) Soit f (x) = + x + x² a) Motrer que \ { } o a f b) Motrer que f est croissate sur [,0 ] + c) E déduire que,- + - U - + et retrouver la limite de U 4) Motrer que la suite V défiie sur par V = k U k est divergete k = Page 3 Tous droits réservés selmi.ali 008

4 Exercice 0 Soit la suite U défiie par U 0 = et, U U + = U ² ) Motrer que o a : 0 Erreur! Siget o défii. U ) a) Motrer que U est décroissat. b) E déduire que U est covergete et déduire sa limite 3) Motrer que o a : U + U + 7 U Retrouver alors la limite de la suite U. 4) Soit la suite S défiie sur par S = U k. k=0 Motrer que la suite S est majorée et déduire qu elle est covergete. 5) Soit la suite V défiie par V 0 = et V + = U + V ², a) Motrer que V est croissate et que pour tout de o a V + V U. b) E déduire que V est covergete et doer u ecadremet de sa limite. Exercice x Soit f la foctio défiie sur + par f (x) = 3 ) Motrer que f est décroissate sur + ) O cosidère la suite U défiie sur par U 0 [ 0 ;3] et pour tout U + = f ( U ) a) Motrer que pour tout etier U [ 0 ;3]. b) Détermier la valeur de U 0 pour que U soit costate. 3) Das la suite o pose U 0 = 0 a) Motrer que pour tout etier ( U + ) et ( ) U ot même sige b) E déduire que pour tout etier, V = U et U + 4) O pose que pour tout etier, U et W = U + a) Motrer que V est croissate et W est décroissate. b) Déduire que V et W sot covergetes. 5) Soit α = lim + V et β = lim + W a) Motrer que α - β = α β / ( α+ β ) b) E déduire que α = β = Exercice Soit la suite U défiie sur par U = ) Motrer que U est décroissat et miorée. ) Motrer que U + = U + E déduire lim U 3) O cosidère la suite ( S ) défiie par : S = ² +..+ = k= Motrer que S = - U + 4 E déduire lim S k k ; Page 4 Tous droits réservés selmi.ali 008

5 4) Soit la suite V défiie par V = (si x) - avec x 0, π 6 a) Motrer que o a V U E déduire lim V b) Motrer que ; V + = V si x + ( six) 5) Soit la suite W défiie sur par W = + si x + 3 si ² x + + (si x) - a) Motrer que ; W. ( si x) = si x six - V si x b) E déduire lim W Exercice 3 Soit ( U ) la suite défiie sur par U = et ( ), U + = + ² U ) a) Calculer U et U 3 b) Motrer par récurrece que o a : < U < + Calculer alors lim U c) Motrer que ( U ) est strictemet croissate. ) pour tout, o pose V = U et W = V a) Calculer W et motrer que, W + = W + b) Motrer par récurrece que o a W c) E déduire que les suites( W ) et ( V ) sot covergetes et doer la limite de chacue. 3) O pose S = ² k = ( k W k ) pour tout a) Motrer que o a - S + b) E déduire que S est covergete et doer sa limite. Exercice 4 Soit θ 0, π U 0 = 0 et ( U ) la suite réelle défiie sur par 4 U + = 8+ (cos θ) U ² ) Das cette questio o suppose que θ = 0 a) Calculer U et U b) O pose V = U ² pour tout Motrer que la suite ( V ) est arithmétique puis calculer lim S c) O pose S = k + U ² pour tout Ecadrer S puis calculer lim S k = 0 Page 5 Tous droits réservés selmi.ali 008

6 Das la suite de l exercice o suppose que θ 0, π 4 )a) Motrer que pour tout o a 0 < U < si θ b) Etudier la mootoie de la suite ( U ), E déduire quelle est covergete et calculer sa limite 4 3) O pose W = U ² -. Pour tout si²θ a) Motrer que( W ) est ue suite géométrique puis calculer U e foctio de et θ b) Retrouver alors la limite de U lorsque ted vers + 4) O pose ( t ) la suite réelle défiie sur par : t 0 = 0 t + = 6 + t ² Utiliser ce qui précède pour calculer t e foctio de puis calculer lim t Page 6 Tous droits réservés selmi.ali 008