Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions.

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1 Fiches de cours nlyse 4 ème Sciences epérimentles Limites et continuité Limites et comprison de fonctions. L et L ' sont des réels. désigne soit un réel, soit +, soit Premier théorème de comprison Soit f et g deu fonctions telles que lim f = L et lim ' g = L. Si u voisinge de on f g lors L L'. Conséquences : Deuième théorème de comprison Soit f et g deu fonctions : si u voisinge de on : g f f et lim f =+, lors lim g =+ g et lim g =, lors lim f = Théorème des gendrmes Soit f, g et h trois fonctions : si u voisinge de on : g f h vec lim g = L et lim h= L, lors lim f = L. Limites des fonctions trigonométriques : Pge 1 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

2 Limites et composition Théorème :, et c désignent des réels ou + ou. Soit g et h deu foctions telles que g h eiste u voisinge de. Si lim h = et lim g = c lors lim g h= c. Conséquences : Théorème (dit «des vleurs intermédiires») Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu réels de I. Pour tout réel k compris entre f( ) et f( ), il eiste u moins un réel c compris entre et tel que f() c = k. Autrement dit, l éqution f( ) = k dmet u moins une solution comprise entre et. Interpréttion grphique Corollir1 : Si f est une fonction continue sur un intervlle [;] et telle que f() f() < 0 lors il eiste u moins un réel c de ], [ tel que f(c) = 0. Pge 2 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

3 Corollire2 : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [ ; ], lors, pour tout réel k compris entre f( ) et f( ), l éqution f( ) Fonction continue et monotone sur un intervlle Théorème : = kdmet une solution unique dns [ ; ]. Si f est une fonction continue et strictement croissnte sur[, ] lors f( [, ] ) = [f(), f()] Si f est une fonction continue sur et strictement décroissnte sur[, ] lors f( [, ] ) = [f(), f()] Soit f une fonction continue et strictement croissnte sur un intervlle I. Soit f une fonction continue et strictement décroissnte sur un intervlle I. Fonction strictement monotone Si f est une fonction strictement monotone sur un intervlle I lors : * f est une ijection de I sur f(i) * L fonction f -1, réciproque de f, est une ijection de f(i) sur I et on : * l fonction f -1 est strictement monotone sur f(i) et le même sens de vrition que f. *Les coures représenttives de f et f -1, dns un repère orthonormé, sont symétriques pr rpport à l première issectrice du repère. Et Si f est continue sur I, lors s fonction réciproque est continue sur f(i) Pge 3 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

4 Dérivilité Dérivée d une fonction composée Propriété 1: g est une fonction dérivle sur un intervlle J. u est une fonction dérivle sur un intervlle I tel que, pour tout de I, u() pprtient à J. Alors l fonction f = g o u est dérivle sur I, et pour tout de I :f () = g (u()) u () Conséquence1: Soit u une fonction dérivle sur un intervlle I et n un entier reltif différent de 0 et de 1. Alors l fonction u n est dérivle : en tout point de I, lorsque n 2, en tout point de I où u ne s nnule ps lorsque n -1. De plus : (u n ) () = n[u()] n 1 u () Conséquence2: u est une fonction dérivle et strictement positive sur un intervlle I. Alors l fonction f = u est dérivle sur I, et f () = u () 2 u(). Dérivée d une fonction réciproque Théorème : Si f est une fonction dérivle et strictement monotone sur un intervlle I, et si f ' () 0 pour tout de I lors : L fonction f -1, réciproque de f, est dérivle sur f ( I ); Accroissements finis Théorème 1 : (théorème de Rolle) Soit f une fonction continue sur un intervlle fermé orné [,] et vérifint : f() = f() Si f est dérivle sur ],[ lors il eiste u moins un élément o de ],[ tel que f'( o ) = 0 Théorème 2 : (théorème des ccroissements finis) Soit f une fonction continue sur un intervlle fermé orné [,] Si f est dérivle sur ],[ lors il eiste u moins un élément o de ],[ tel que : Pge 4 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

5 Théorème 3 : Soit f une fonction continue sur un intervlle fermé orné [,], dérivle sur ],[ On suppose qu'il eiste deu réels m et M tels que : m f'() M pour ],[ Théorème 4 : Soit f une fonction dérivle sur un intervlle I. On suppose qu'il eiste un réel k strictement positif tel que pour I Primitives Définition : f est une fonction définie sur un intervlle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivle sur I et telle que pour tout I, F () = f(). Théorème : Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Propriétés : Addition : Si F et G sont des primitives respectives, sur un intervlle I, des fonctions f et g. Alors (F + G) est une primitive sur I de (f + g). Si F est une primitive de f sur un intervlle I et si k est une constnte réelle fiée, lors kf est une primitive sur I de kf. Ensemle des primitives d une fonction Théorème : f est une fonction définie sur un intervlle I. 1. Si F est une primitive de f sur I, lors toutes les fonctions F() + k, où k est un réel quelconque, sont des primitives de f sur I. 2. Si F et G sont deu primitives de f sur I, lors il eiste un réel k tel que pour tout de I, G() = F() + k. Primitive prennt une vleur donnée en un point donné Théorème : Soit f une fonction définie et continue sur un intervlle I. Pge 5 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

6 Soit 0 un réel pprtennt à I et y 0 un réel quelconque, il eiste une primitive G et une seule de f telle que G( 0 ) = y 0. Primitives de fonctions usuelles On otient des primitives de fonctions usuelles pr lecture inverse du tleu des dérivées. Dns les tleu suivnts, k désigne un réel quelconque. Fonction f définie pr Primitives F de f définie pr sur I f() = c (où c est une constnte) f() = n (n Z * ) f() = 1 n (n Z * et n 1) F() = c + k F() = n + 1 n k F() = -1 n 1 1 n 1 + k I = IR I = IR I = ]0 ; + [ ou I = ]- ; 0[ f() = 1 F() = 2 + k I = ]0 ; + [ Cs prticulier : si f() = 1 ², on otient comme primitive : F() = -1 + k. en notnt 1 n = -n (n ς), on otient comme primitive, en utilisnt l même epression que dns l deuième ligne : F() = 1 -n + 1 -n k = n 1 1 n 1 + k. Dns ce deuième tleu, on note D u le domine de définition de l fonction u, et D v celui de v. Fonction f Primitives de f sur cu où c 3 cu + k D u u + v u + v + k D u D v u u n où n Z \{-1} 1 n + 1 un k D u si n > 0 D u \{ tels que u() = 0} si n<0 u u 2 u + k D u \{ tels que u() 0} u (v o u) v o u + k D u o v Pge 6 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

7 Etude des fonctions Eléments géométrique et périodicité. Point d'infleion Définition: Soit (C) l coure représenttive d une fonction f dns un pln rpporté à un repère (C) est un point d'infleion de (C) si (C) trverse s tngente en I.. Un point I de Théorème: Soit 0 un réel et f une fonction deu fois dérivle sur un intervlle ouvert contennt 0.Si f '' s'nnule en 0 en chngent de signe lors le point M 0 d'scisse 0 de l coure représenttive (C) de f est un point d'infleion de (C). L e de symétrie Théorème: Soit f une fonction définie sur un domine D inclu dns IR et soit (C) s coure représenttive reltive à un repère orthogonl. L droite dont une éqution est = est un e de symétrie pour l coure (C) si et seulement si pour tout de D on : (2 - ) D et f(2 - ) = f() Centre de symétrie Théorème: Le pln est reporté à un repère crtésien.soit I le point de coordonnées (, ) et (C) l coure représenttive d'une fonction f définie sur un domine D inclus dns IR.Le point I est un centre de symétrie de (C) si et seulement si pour tout de D on : (2 - ) D et f(2 - ) =2 - f() Fonctions périodiques Définition: Soit une fonction numérique définie sur un domine D inclus dns IR.L fonction f est périodique s'il eiste un réel non nul tel que pour tout de D on it: ( + ) D et f( + ) = f() Voculire: Le réel indiqué ci-dessus est ppelé une période de f. Le petit réel T strictement positif vérifint: pour tout de D: (+T) D et f(+t) = f(), s'ppelle l période de f. Dns ce cs on dit que f est est une fonction périodique de période T. Pge 7 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

8 Brnches infinies Définition: Soit f une fonction et (C) s coure représenttive dns un pln rpporté à un repère d'éqution y = + ( et étnt deu réels) est une symptote à l coure (C) si :.L droite ou Dns le cs ou différent de 0 l droite est ppelée symptote olique. On utilise souvent les résultts suivnts: 1) L coure représenttive d'une fonction f dmet une symptote olique u voisinge de ; si et seulement si, il eiste un couple (,) de IR*IR tel que: 2) L coure représenttive d'une fonction f dmet une symptote olique u voisinge de ; si et seulement si, il eiste un couple (,) de IR*IR tel que: Retenons : Cf dmet unesymptotedéqution ' : y= lim f () = 0 Cf dmetunebpdedirection(,) Oi + f () lim = Cf dmetunebpdedirection(, Oj) + Cf dmetunebpdedirectioncelledeldroitedéq ' : y=. 0 lim(() f ) = + Cf dmet unesymptotedéqution ' : y=. + Pge 8 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

9 Clcul intégrl Définition : Soit f une fonction continue sur un intervlle ouvert I, F l une de ses primitives et, deu réels pprtennt à I. On ppelle intégrle de f entre et le nomre F() F(). Ce nomre est noté : f ( ) d. f ( ) d se lit ussi : «somme de à de f() d» ou «intégrle de à de f() d». Propriété : Soient et deu réels tels que, f une fonction définie et continue sur l intervlle [ ; ], et C s coure représenttive dns un repère orthogonl (O ; i, j ). Si pour tout de [ ; ], f() 0, lors f( ) d = f( d ) est l ire, en unités d ire, du domine compris entre l coure C, l e des scisses et les droites d équtions : = et =. Propriétés de l intégrle Linérité : Pour tous réels et d un intervlle I et tout réel k, (1) ( f ( ) + g( )) d = f ( ) d + g ( ) d (2) kf ( ) d = k f ( ) d Reltion de Chsles Pour tous réels, et c de I, f ( ) d + c f ( ) d = c f ( ) d. Prité et périodicité : f est une fonction continue sur un intervlle contennt et - Si f est pire sur[ - ; + ], lors + f()d = 2 f()d - 0 Si f est impire sur[ - ; + ], lors + - f()d = 0 Sif est une fonction continue sur R, périodique de période T. Pour tout réel : + T T f()d = f()d 0 Pge 9 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

10 Soient f et g deu fonctions continues sur le même intervlle [ ;]. Si, pour tout de [ ;], f() 0 lors Si, pour tout de [ ;], f() g() lors ò f()d 0. ò f()d ò g()d. Signe de l intégrle : f 0 et f 0 et f 0 et f 0 et f (t) dt 0 f (t) dt 0 f (t) dt 0 f (t) dt 0 Vleur moyenne d une fonction continue Définition : Soit f une fonction continue sur [ ; ]. L vleur moyenne de f sur [ ; ] est le réel m= 1 f()d ò. - Soient f une fonction continue sur un intervlle I et et deu réels de I. Si, pour tout de I, m f() M et, lors : m ( ) ò f()d M ( ). Si, pour tout de I, f () M, lors f () d M. Intégrtions pr prties Soient u et v deu fonctions dérivles à dérivées continues sur un intervlle I et et deu réels de I. On : () v'()d = [ u() v() ] u u'() v() d. Pge 10 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

11 Logrithme népérien Définition Soit f l fonction définie sur ]0 ; + [ pr : f() = 1. Cette fonction est continue sur ]0 ; + [ et dmet lors des primitives sur ]0 ; + [. Définition : L fonction logrithme népérien, notée ln, est l unique primitive de l fonction 1 définie sur ]0 ; + [ et qui s nnule en 1. Conséquences ln 1 = 0 et ln e = 1. vec e 2,71 L fonction logrithme népérien est dérivle sur ]0 ; + [ et pour tout > 0, ln () = 1 Pour tout > 0, 1 > 0, donc l fonction ln est strictement croissnte sur ]0 ; + [. sens de vrition et équtions, inéqutions coure représenttive de l fonction ln : Propriété : Pour tous réels et strictement positifs, ln > ln équivut à > ln = ln équivut à = Conséquences : Pour tout réel strictement positif : ln = 0 équivut à = 1 ln < 0 équivut à 0 < < 1 ln > 0 équivut à > 1 Pge 11 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

12 Propriétés lgériques Pour tous réels et strictement positifs, ln( ) = ln + ln Remrque : Cette propriété se générlise u cs d un produit de trois, qutre, fcteurs. C est-à-dire : Si 1, 2,, n sont des réels strictement positifs lors ln(... )=ln +ln +...+ln 1 2 n 1 2 n Propriétés : Pour tous réels et strictement positifs : ln 1 = - ln() pour tout n IN, ln( n ) = n ln() ln = ln() ln() ln( ) = 1 2 ln() Etude de l fonction ln Retenons : lim ln = +, + lim 0 ln = -. lim + ln = 0 + lim ln = lim 0 ln(1+) = 1 Pour tout entier n strictement positif, ln lim + n = 0 et n lim ln = 0 0 Tleu de vrition de l fonction ln Pge 12 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

13 Coure représenttive On note e m l seule solution de l éqution ln = m. Dérivée de ln u Propriété : Si u est une fonction dérivle et strictement positive sur un intervlle I, lors l fonction ln u est dérivle sur I et : (ln u) = u u. Primitive de u u Propriété : u est une fonction dérivle sur un intervlle I, ne s nnulnt ps sur I. Alors, une primitive sur I de l fonction u est l fonction : u ln(u()) si u() > 0 sur I ; ln(-u()) si u() < 0 sur I. Pge 13 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

14 Fonction eponentielle Définition : On ppelle fonction eponentielle, notée ep, l fonction qui à tout réel ssocie le réel strictement positif y tel que lny=. On donc pour tout y> 0, = lny e = y L fonction eponentielle, insi définie est l réciproque de l fonction logrithme népérien. Conséquences : 0 1 e = 1 et e = e. Pour tout réel, ln(e ) =. ln Pour tout réel > 0, e =. Pour tout réel, e > 0 Propriétés lgériques. L fonction ep est dérivle sur R et ep'() = e Pour tous réels et ep( + ) = ep() ep() Générlistion: pour tous réels 1, 2,, n, ep( ) = ep( ) ep( )... ep( ) 1 2 n 1 2 n Conséquences : Montrer que Pour tous réels et, et tout entier reltif n, 1 ep(- ) = ep() ep() ep( - ) = ep() ( ) n ep(n) = ep() pour tout n ZZ Vritions et coure de l fonction e. Pge 14 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

15 L fonction ep est définie dérivle sur R, et Or e ep'() = e > 0, pour tout réel donc l fonction ep est strictement croissnte sur R lim e 0 = et lim e + =+ T.V : Coure représenttive ( C ) Equtions et inéqutions. L fonction ep étnt strictement croissnte sur R : Donc pour tous réels et : e > e > e = e = Des limites à connître. lim + e =+ lim e = 0 - lim 0 e 1 = 1 Pour tout entier strictement positif n, Pge 15 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui

16 e lim =+ + n n et lim e = 0 Fonction composée ep O u. Dérivée de ep O u Théorème : si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, lors l fonction composée U (e )' = u' e u u e est dérivle sur I et : Primitive de u e U Théorème : si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, lors une primitive de u e u sur I est e u Pge 16 Fiches proposées pr : Mr Adelsset Ltoui