FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7

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1 EC 4A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES THEOREMES DE PYTHAGORE ET DE THALES EXERCICES CORRECTION EXERCICE N 1 : Figure 1 : ABC est rectangle en A, donc, BC² = AB² + AC² BC² = 5² + 7² BC² = AB = 5, AC = 7, BC =? BC² = 74 BC = BC 8,6 Figure 2 EFG est rectangle en E, donc, FG² = EF² + EG² 7² = 2² + EG² 49 = 4 + EG² EF = 2, FG = 7, EG =? EG² = 49 4 = 45 EG = = 3 EG 6,7 Figure 3 IHJ est rectangle en I, donc, HJ² = IH² + IJ² HJ² = 2² + 3² HJ² = = 13 IH = 2, IJ = 3, (HJ = ) JK = 4, HK =? HJK est rectangle en J, donc, HK² = JH² + JK² HK² = ² HK² = = 29 HK = HK 5,4 Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 1/15

2 Figure 4 : WXY est rectangle en X, donc, WY² = WX² + XY² WY² = 3² + 3² WY² = = 18 WX = 3, WY =? WY = WY 4,2 Figure 5 ABC est un triangle équilatéral donc AB = BC = AC = 3 HC = 1,5 AHC est rectangle en H, donc, ABC est un triangle équilatéral AC² = HA² + HC² AC = 3, AH =? 3² = HA² + 1,5² 9 = HA² + 2,25 HA² = 9 2,25 = 6,75 HA = HA 2,6 Figure 6 C est sur le cercle de diamètre [BA] donc le triangle BCA est rectangle en A. Le rayon est de 2, le diamètre [BA] est donc de 4. BCA est rectangle en C, donc, BA² = CB² + CA² 4² = 2,5² + CA² Le cercle a pour rayon 2 16 = 6,25 + CA² BC = 2,5, AC =? CA² = 16 6,25 = 9,75 CA = CA 3,1 EXERCICE N 2 : Nommons ABCD un carré de côté a. ABC est rectangle en B, donc, AC² = BA² + BC² AC² = a² + a² AC² = 2a² AC = = Ainsi, la diagonale d un carré de côté a, a pour longueur Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 2/15

3 EXERCICE N 3 : Nommons ABC un triangle équilatéral de côté a. Soit H le pied de la hauteur issue de A. On a BH =. ABH est rectangle en H, donc, AB² = HB² + HA² a² = + HA² a² = + HA² HA² = a² - = = HA = Ainsi, la hauteur d un triangle équilatéral de côté a, a pour longueur : EXERCICE N 4 : AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm. Dans le triangle ABC, AC est le plus grand côté. On calcule séparément : AC 2 = 10² = 100 AB² + BC² = 6² + 8² = = 100 On constate que AC² = AB² + BC², donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABC est rectangle en B. ST = 4cm, TM = 5cm, SM = 7cm. Dans le triangle STM, SM est le plus grand côté. On calcule séparément : SM 2 = 7² = 49 ST² + TM² = 4² + 5² = = 41 On constate que SM² ST² + TM², donc d après la conséquence du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle STM n est pas rectangle. QT = cm, TR = cm, QR = 4cm. QR 2 = 4² = 16, QT² = ² = 5, TR² = ² = 11 Donc dans le triangle QTR, QR est le plus grand côté. On calcule séparément : QR 2 = 4² = 16 QT² + TR² = ² + ² = = 16 On constate que QR² = QT² + TR², donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle QRT est rectangle en T. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 3/15

4 EXERCICE N 5 : Figure 1 : (LM) // (NP), LP = 3, MQ = 6,5, PQ = 2, QN=? Les droites (MN) et (LP) se coupent en Q et (LM) // (NP), donc d après le QP QN PN théorème de Thalès, on a :. QL QM LM QP QN QL QM 2 QN 2 3 6,5 6, Donc QN 2, Figure 2 : (ST) // (UV) SR = 3, RU = 3, TR = 2, RV =? Les droites (SV) et (TU) se coupent en R et (ST) // (UV), donc d après le RS RT ST théorème de Thalès, on a :. RV RU VU RS RT RV RU 3 2 RV Donc RV 4, Figure 3 : (GH) // (EF) DE = 4, DG = 3, DH = 3,5, HF =? Les droites (GE) et (HF) se coupent en D et (GH) // (EF), donc d après le DG DH GH théorème de Thalès, on a :. DE DF EF DG DH DE DF 3 3,5 4 DF 4 3,5 14 Donc DF 3 3 H [DF] donc DF = DH + HF, d où HF = DF DH 3, Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 4/15

5 Figure 4 : LGHM est un carré GH = 10, KL = HI = 3, HJ =? LGHM est un carré donc (GH) (GL) et (GH) (HM) Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles Donc (GL) // (HM) GHLM est un carré donc GH = HM = ML = GL = 10 K [GL] donc GL = GK + KL, d où GK = GL KL = 10 3 = 7 Les droites (GH) et (KJ) se coupent en I et (GK) // (HJ), donc d après le IH IJ HJ théorème de Thalès, on a :. IG IK GK IH HJ IG GK 3 HJ 3 10 Donc HJ EXERCICE N 6 : Figure 1 : CB = 1,2, BA = 3, AE = 5 ED = 2, (BE) // (CD)? Les droites (BC) et (ED) se coupent en A. Calculons séparément : AB AC 3 1,2 4, AE 5 5 AD On remarque que AB AC AE AD De plus les points A, B, C et A, E, D sont alignés dans le même ordre, on en conclut, d après la réciproque du théorème de Thalès que les droites (BE) et (CD) sont parallèles Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 5/15

6 Figure 2 : JG = 2,5, FG = 1,5, GI = 5 GH = 4, (FJ) // (IH)? Les droites (FH) et (JI) se coupent en G. Calculons séparément : GF 1, GH GJ GI 2, GF GJ On remarque que GH GI on en conclut, d après la conséquence du théorème de Thalès que les droites (JF) et (HI) ne sont pas parallèles. EXERCICE N 7 : Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 6/15

7 EXERCICE N 8 : Figure (1) : impossible Figure (2) : on reconnaît un parallélogramme dont l aire est de m², soit Figure (3) : on reconnaît des rectangles dont l aire est donnée par, on obtient, soit 7m² Figure (4) : on reconnaît deux triangles : un équilatéral et un rectangle Le triangle rectangle a pour hypoténuse, d après le théorème de Pythagore, Donc le triangle équilatéral a pour côté 5cm, sa hauteur est, d après le théorème de Pythagore : L aire de la figure est donc de :, soit environ 16,8 Figure (5) : on reconnaît des triangles rectangles et un trapèze, on obtient donc :, soit 274 Figure (6) : on procède par soustraction de l aire du rectangle par l aire des 3 triangles rectangles, on obtient donc :, soit 825. Figure (7) : déterminons la hauteur du trapèze : Notons cette hauteur, on a donc L aire de la figure est donc de, soit 60. EXERCICE N 9 : Figure (1) : on reconnaît un demi cercle dans un quart de cercle, on obtient donc :, soit environ 9,82m² Figure (2) : On reconnaît un carré dans un cercle, Notons le côté du carré, alors d après le théorème de Pythagore : L aire de la figure est donc de, soit environ 4,6cm². Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 7/15

8 Six problèmes de type concours : Problème n 1 : F [BG] donc BG = BF + FG = = 5 On sait que EBFG est un rectangle Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont de même longueur, et ses angles sont droits Ainsi, EB = CG = 10, EC = BG = 5 et. BCG est rectangle en G, donc, BC² = GC² + GB² BC² = 10² BC² = BC² = 125 BC = BC 11,2 A [DF] et (DF) // (CG) donc (AF) // (CG) Les droites (CA) et (GF) se coupent en B et (AF) // (CG), donc d après le BA BF AF théorème de Thalès, on a :. BC BG CG BA BF BC BG BA Donc BA AB 4,5 Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 8/15

9 Problème n 2 : A est un point du cercle de diamètre [BC] donc le triangle ABC est rectangle en A. ABC est rectangle en A, donc, BC² = AB² + AC² 5² = 3² + AC² 25 = 9 + AC² AC² = 25 9 = 16 AC = AC = 4cm On sait que (AB) (AC) et (AC) (NQ) Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors les deux droites sont parallèles entre elles Donc (AB) // (NQ) Les droites (AN) et (BQ) se coupent en C et (AB) // (QN), donc d après le CN CQ NQ théorème de Thalès, on a :. CA CB AB CN CQ CA CB 1 CQ Donc CQ 4 QC cm. 5 4 Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 9/15

10 Problème n 3 : 1) 2) On sait que O est le centre du parallélogramme Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu Donc O est le milieu de [BD] Dans le triangle BDE, on sait que A est le milieu de [ED] et O est le milieu de [BD] Or, dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé, les trois médianes sont concourantes au centre de gravité et ce point de concours est situé sur la médiane à 2/3 du sommet Donc, (EO) et (AB) sont deux médianes, elles se coupent ne F donc F est le centre de gravité du triangle BDE. Ainsi, AF = AB/3 3) Les droites (FB) et (IO) se coupent en A et (IF) // (OB), donc d après le AF AI FI théorème de Thalès, on a :. AB AO BO AF AI AB AO Or, d après la question 2, 1 AO 2 Ainsi, AC AI 2 AC AF AB AI AI AI donc 2 AO 1 AC AC 2 1 AI 1 donc. 3 AC 6 AB 3 1 AB 3, et comme O est le milieu de [AC], De même, les droites (DH) et (IO) se coupent en A et (HI) // (DO), donc AH AI HI d après le théorème de Thalès, on a :. AD AO DO AH AI AH AI AI 2 1 D où 2 AD AO AD AC AC Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 10/15

11 4a) En utilisant 4/ 3 = 1 + 1/3, les points R et T sont obtenus en reportant respectivement AF et AH à partir de B et D. 4 / 3 = 1 + 1/ 3 = 1 + 2/ 6 donc le point S est obtenu en reportant deux fois AI à partir de C. 4b) Les droites (BR) et (CS) se coupent en A. Calculons séparément : AB AB 3 AR AB AC AC 3 AS AC AB AC On remarque que AR AS De plus les points A, B, R et A, C, S sont alignés dans le même ordre, on en conclut, d après la réciproque du théorème de Thalès que les droites (BC) et (RS) sont parallèles On sait que ABCD est un parallélogramme Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles Donc (AD) // (BC) et (AB) // (DC) On sait que (AD) // (BC) et (BC) // (RS) Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors les deux droites sont parallèles entre elles Donc (AD) // (RS) De même avec les droites (DT) et (CS) sécantes en A, on montre que (DC) // (TS) puis que (AB) // (TS) On sait que (AD) // (RS) et T (AD) dont (AT) // (RS) On sait que (AB) // (TS) et R (AB) dont (AR) // (TS) On sait que (AT) // (RS) et (AR) // (TS) Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme Donc ATSR est un parallélogramme Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 11/15

12 Problème n 4 : Le quadrilatère ABJI est un trapèze de bases [AI] et [BJ]. Les diagonales [AJ] et [BI] se coupent en M. La distance du point M à la droite (AB) est HM. On donne en centimètres : AI = 6, BJ = 5 et AB = 4. 1) On sait que (HM) (AB) et (AI) (AB) Si deux droites sont parallèles à la même troisième, alors elles sont parallèles entre elles Donc (AI) // (HM) De même, avec (HM) (AB) et (BJ) (AB), on montre que (HM) // (BJ) Les droites (AH) et (IM) se coupent en B et (HM) // (AI), donc d après le BH BM HM théorème de Thalès, on a :. (*) BA BI AI De même, les droites (BH) et (JM) se coupent en A et (HM) // (BI), donc AH AM HM d après le théorème de Thalès, on a :. (**) AB AJ BJ HM BH HM AH 2) D après (*),, et d après (**),, on en déduit que : AI BA BJ AB HM HM BH AH BH AH AB 1. AI BJ BA AB AB AB 3) Comme HM HM AI BJ 1, on a HM HM 5 1 donc HM 6 HM HM Ainsi, 1, d où HM ) D après (**), HM AH, donc 11 AH d où BJ AB AH Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 12/15

13 Problème n 5 : Les instruments autorisés sont le compas, l équerre et la règle graduée. a) b) Démontrons que ACE est un triangle isocèle : ABCD est un carré donc (AB) (BC). E (AB) et E est sur le cercle de centre B passant par A, donc B est le milieu de [AE]. B est le milieu de [AE] et (AB) (BC), on en déduit que (BC) est la médiatrice de [AE]. C appartient à la médiatrice de [AE] donc CA = CE. CA = CE donc le triangle CAE est isocèle en C Démontrons que ACE est un triangle rectangle : 1 ère méthode : (AC) est une diagonale du carré ABCD donc = 45. CAE est isocèle en C donc. Ainsi = 45. Dans un triangle, la somme des mesures des angles est de 180 donc donc le triangle ACE est rectangle en C. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 13/15

14 2 ème méthode : ABCD est un carré donc AB = BC. Ainsi, C est un point du cercle de rayon [AB] ([AE] est un diamètre de ce cercle) On en déduit que le triangle AEC est rectangle en E 3 ème méthode : ABC est rectangle en B, donc, AC² = AB² + BC² AC² = 5² + 5² AC² = = 50 AC = ACE est isocèle en C donc AC = CE = Dans le triangle AEC, AE est le plus grand côté. On calcule séparément : AE 2 = 10² = 100 AC² + CE² = ² + ² = = 100 On constate que AE² = AC² + CE², donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ACE est rectangle en C. 2 b) L est un point du cercle de diamètre [BE] donc le triangle BLE est rectangle en L. On sait que (AC) (CE) et (BL) (CE) Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles On en conclut que (AC) // (BL) 3) Dans le triangle ACE, on sait que B est le milieu de [AE] et (AC) // (BL) D après le théorème de la droite des milieux : dans un triangle, la droite passant par le milieu d un côté et parallèle à un deuxième côté, coupe le troisième côté en son milieu Donc L est le milieu de [EC] Dans le triangle ACE, on sait que B est le milieu de [AE] et L est le milieu de [EC] D après le théorème de la droite des milieux : dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié du troisième côté Donc BL = AC =. Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 14/15

15 Problème n 6 : Dans le triangle ABC, rectangle en B, d après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC² 7² = AB² + AB² 49 = 2AB² AB² = L aire du triangle ABC est de : L aire des deux demi cercle de diamètre BC et AB est de : L aire du demi cercle de diamètre AC est de : Donc l aire des surfaces grisées est de :, soit 12,25cm². Théorèmes de Pythagore et de Thalès : exercices correction Page 15/15