Comportement d une suite

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1 CHAPITRE 6 Comportemet d ue suite ACTIVITÉS Activité L aire ajoutée (celle d u carré compese exactemet l aire elevée a p 6 ; p 5 ; p 6 6 b La suite (p est géométrique de raiso car la logueur de la lige brisée est le double de celle du segmet iitial Pour tout etier aturel o ul, p + c Oui, car p 500 pour 8 Oui, car p pour Par costructio, à partir de la figure, o augmete la «largeur» du quart de l augmetatio précédete :, +, + +, , et pour tout etier (, < 6 + < 7 Coclusio : la «largeur» e peut pas dépasser 7 cm Activité (page La surface coloriée est itérieure au triagle équilatéral du départ : so aire e dépasse pas p 5 5 ; p ; p O peut cojecturer que : p p p 5 p Or, la suite géométrique des puissaces de est croissate (q > et avec ue calculatrice, 9,7 Il est doc possible d obteir ue surface coloriée dot le périmètre est supérieur à 5 m Activité b Ω(6 ; 6 d B ; 7, C 7 ; 7, D 7 ; 9, E 9 ; 9, F 9 ; 8, G 8 ; 8, H 8 ; 9 6, I 9 6 ; 9 6 O peut cojecturer que les termes de la suite sot de plus e plus «grads» mais qu ils e dépasset jamais 6 a + u + u u b < 6 > u > 0, soit u u > 0 + c Pour tout etier aturel, le terme de rag + est strictemet supérieur au terme précédet Chapitre 6 Comportemet d ue suite 65

2 PROBLÈME OUVERT Boris a choisi au départ le ombre 0 Les trois suites sot défiies par + u + 0 Atoie est parti d u ombre strictemet iférieur à 0, Boris est parti d u ombre strictemet supérieur à 0 O peut visualiser cela e traçat, comme das l activité, les droites d équatios y x et y x + 0, sécates au poit Ω(0 ; 0 EXERCICES Applicatio (page 9 a La foctio racie carrée est strictemet croissate sur [0 ; + [ : la suite ( est strictemet croissate b Pour tout etier aturel, + 5 > 0 : la suite (u est strictemet croissate a Pour tout etier aturel o ul, + < 0 : la suite ( est strictemet décroissate à partir de l idice Remarque : u 0 u b f( avec f(x x x + 5 f (x > 0 : f est strictemet croissate sur [0; + [, (x + doc la suite ( est strictemet croissate a Pour tout etier aturel, > 0 et < : la suite ( est strictemet décroissate b Pour tout etier aturel, + ( ( > 0 5 ; doc la suite ( est strictemet croissate à partir de l idice 5 Remarque : la foctio x (x 5 est strictemet croissate sur [5; + [ Pour tout etier aturel o ul, + + > : la suite (u est strictemet croissate 5 et 6 et 0 u u u u u 0 0 O peut cojecturer que la suite ( est strictemet décroissate et que lim u 0 7 et 0 u 0 u u u u O peut cojecturer que la suite ( est strictemet croissate et que lim u 8 et 0 u u 0 u u u O peut cojecturer que la suite ( est strictemet croissate et que lim u 0 u u u 0 u u La suite pred alterativemet les valeurs et Elle est pas mootoe 66

3 9 et u u 0 0 u u u 5 6 La suite ( est pas mootoe O peut cepedat cojecturer que lim u, 0 < 0 > 0 > 0 8, soit m < > 0 5, soit m < 0 6 > 0 6 > 000, soit m < + < 0 0 < 5 + < < +, soit m < < < < 0 6 > 0 6, soit, avec ue calculatrice, m 5 0 < + < < < 0 soit m > 0, 6 Cosidéros la suite des aires e cm : u 5, u 5, u 5 6 Par costructio, ( est la suite géométrique de premier terme u 5 et telle que, pour tout etier aturel, 5 < 0,0 5 < 0,0 > 500 Avec ue calculatrice : 5 0 et D où m 7 L aire du carré est alors égale, e cm, à 5 et le côté 6 mesure 5 soit 5 0,078 cm 6 7 a Pour tout etier, doc < 0 b f( où f est la foctio affie strictemet décroissate sur [0 ; + [ défiie par f(x x + La suite ( est doc (strictemet décroissate a u m 0 5 m 0 5 m Le plus petit etier aturel m tel que u m 0 5 est doc b La suite état décroissate, pour tout 00 00, u m 0 5 et ] ; 0 5 [ u m A m A m A Quel que soit le ombre A, o trouve u idice m à partir duquel, la suite état décroissate, tous les termes sot iférieurs à A : lim u 8 a La foctio défiie par f(x x est strictemet croissate sur [0 ; + [ : ( est strictemet croissate Les termes de la suite sot clairemet positifs Or 000,7 ; doc m 5 et pour tout etier aturel 5, I b Pour tout etier aturel, est strictemet positif et + 5 > : la suite est strictemet croissate Avec ue calculatrice :,5 9 0 et, ; doc, à partir de l idice m, tous les termes de la suite sot das l itervalle I 9 Pour tout etier aturel, + 5 (5 < 0 : la suite est strictemet décroissate Avec ue calculatrice : et ; doc, à partir de l idice m 9, tous les termes de la suite sot das l itervalle I EXERCICES Activités de recherche (page 5 Étude d ue suite défiie par récurrece Les outils : Représetatio de foctios affies Propriétés des suites géométriques Ses de variatio d ue suite Les objectifs : Savoir visualiser ue suite Utiliser ue suite géométrique pour étudier le comportemet d ue suite Vérifier ue accumulatio Chapitre 6 Comportemet d ue suite 67

4 a v 0 u 0 Pour tout etier aturel, v + + u + v + (u v : la suite (v est géométrique de raiso b v c La raiso est strictemet comprise etre 0 et : la suite (v est strictemet décroissate a Pour tout etier aturel, v + et + v + v < 0 : la suite ( est strictemet décroissate Pour tout etier aturel, + b Pour tout etier aturel, > 0, doc > c < <,000 0 < < 0 > 0 Avec ue calculatrice : 8 9 et 6 8 ; d où m 5 5 Étude d ue lige brisée Les outils : Propriétés d u triagle équilatéral Propriétés des suites géométriques Somme des premiers termes d ue suite géométrique L objectif : Savoir étudier le comportemet d ue somme a Tous les triagles sot rectagles avec u agle aigu de mesure π : ce sot des demi-triagles équilatéraux d, d b OA OA 0, OA OA, et A 0 A OA 0, A A OA A 0 A Par costructio, pour tout etier aturel, d + d : la suite (d est géométrique de raiso c d 0 et pour tout etier aturel, d a Pour tout etier aturel, + d > 0 : la suite ( est strictemet croissate b d d 0 a Pour tout etier aturel, > b lim + 0 : o peut cojecturer que lim u, c est-à-dire A 0 A 6 Narratio de recherche Le calcul des premiers termes permet de cojecturer que la suite ( est la suite des etiers aturels à partir de Preuve : Cosidéros la somme s ( + s ( + + ( + + ( ( + ( + s + ( D où, pour tout etier aturel o ul, s + La suite est clairemet croissate et lim u + 7 Narratio de recherche ( + Pour tout etier, ( + + ( + + D où, pour tout etier aturel, > ( + < : la suite ( est strictemet décroissate O peut cojecturer que lim u 0 Pour cofirmatio : < > 0 6, doc < 0 6 dès que > 0 De la même maière, pour tout ombre A (A 0, 0 < < dès que dépasse A A 8 TP Ue approche dombre d or a u 5, u 5 8, u 6, u 7, u 8, u 9 55, u 0 89 b O peut cojecturer que la suite ( est croissate et que lim + + a v 0 u, v u u, v 0 u u u, v 5, v 8 5, v 5 8, v 6, v 7, v 55 8, v b O peut cojecturer que la suite (v est pas mootoe et que lim v L,68 a i a b c v a + b c : + est remplacé par b c : est remplacé par + b a v : v est remplacé par v TP Au voisiage de la limite a À la lige 7, u 0 pred la valeur b C est la foctio qui permet de «passer» de à + car f( + c La boucle foctioe tat que u I ]L r ; L + r[ Elle s arrête dès que u I d L : c est le passage de à + : L : o icrémete l idice (il deviet + e I ],99;,0[, soit r 0,0 Les termes de la suite appartieet à I à partir de l idice I ],9998;,000[, soit r 0,000 Les termes de la suite appartieet à I à partir de l idice I ] 0 6 ; [, soit r 0 6 Les termes de la suite appartieet à I à partir de l idice 6 f O remplace la lige par F (x x + et o saisit L 68

5 EXERCICES Etraîemet (page 58 DE TÊTE 0 u 0 5, u 6, u 7, u 8, u 9, O cojecture que la suite est strictemet croissate f( avec f(x x + 5 : f est affie strictemet croissate, il e est de même pour la suite ( u 0, u, u, u 5, u 7, O cojecture que la suite est strictemet décroissate f( avec f(x x + : f est affie strictemet décroissate, il e est de même pour la suite ( u, u, u 6, u 8, O cojecture que la suite est strictemet décroissate f( avec f(x x Sur ]0 ; + [, f est dérivable et f (x x < 0 : f est strictemet décroissate, il e est de même pour la suite ( Deux termes cosécutifs sot de siges cotraires (et o uls : la suite est pas mootoe lim u 0 5 lim u 6 lim u 7 lim u 8 u 0 005, u 0 I 9 u , u 00 I SENS DE VARIATION 0 Corrigé das le mauel v + v ( + 0( Pour 5, v + v > 0 : la suite ( est strictemet croissate f (x 6x 60x + 5 6(x 9(x x f (x La suite ( est strictemet décroissate u, ; u 0,5 ; u 0,7 88 ; ; u 0, Le calcul des premiers termes fait peser que la suite est strictemet décroissate, + + ( +,,, ( +, ( + (0, Pour tout etier aturel, + est du sige du triôme 0, Δ, ; le triôme admet doc deux racies : 5, < 0 et + 5, 0,5 0, 0, Le triôme est strictemet positif pour : la suite ( est strictemet croissate à partir de l idice 5 Si ( est croissate, alors f est croissate u 7 u 6 u 5 u u u u 0 A B f C D E F G La suite ( est strictemet croissate et f est pas mootoe 6 La suite semble tedre vers De même, la suite semble tedre vers 7 Pour tout etier aturel, + + > 0 : la suite ( est strictemet croissate ( + ( + ; > > 0 Le triôme + 0 admet deux racies, < 0 et 6,9 ; il est doc strictemet positif pour 6 Il existe doc bie des termes de la suite supérieurs à 0 : tous ceux d idice supérieur ou égal à 6 De même : + > f(x f est strictemet croissate sur [9; + [ : la suite ( est strictemet croissate à partir de l idice 9 f (x < 0 sur ]0; + [, doc f est strictemet x décroissate sur ]0 ; + [ Chapitre 6 Comportemet d ue suite 69

6 9 Faux :, < u 00 < 50 f( avec f(x x f est strictemet croissate sur [0; + [ doc la suite ( est strictemet croissate v g( avec g(x x + x + La foctio g est défiie est dérivable sur ] ; + [ I 5 g (x > 0 doc g est strictemet croissate sur I (x + et la suite (v est strictemet croissate 5 m m 5 m m f( avec f(x La foctio f est défiie x + est dérivable sur ] ; + [ doc sur I ]0 ; ] f (x < 0 sur I, doc f est strictemet décroissate (x + sur I, et la suite ( est strictemet décroissate Pour tout aturel, > 0 et < u 0, doc ]0 ; ] 56 +, soit u f( avec f(x + x La foctio f est défiie et dérivable sur ]0; + [ f (x < 0 sur ]0; + [, doc f est strictemet décroissate x sur ]0 ; + [ La suite ( est strictemet décroissate Pour tout etier aturel, > et u, doc ] ; ] 57 Corrigé das le mauel 58 v 0 0, v, v, v 9, v 6 w 0 0, w 0, w 0, w 0, w 0 O cojecture la stricte croissace de ces deux suites, qui résulte de la stricte croissace, sur [0 ; + [, des deux foctios associées, la foctio carré x x et la foctio liéaire x 0x v > > 00 ; N 00 w > > 000 ; N 000 v > > 000 ; N 000 w > > ; N N < N : c est ecore vrai v > 0 p > 0 p ; N 50 p w > 0 p > 0 p ; N 0 p N > N 0 p > 50 p 0 p > 0 p 0 p > N est doc toujours supérieur à N pour p > 59 i 0,85 i 0 i 5 0,85 5 i 0 i 0,85 i 0 ; i < 0, 0 i 0 0,85 < 0,0 Avec ue calculatrice : 0,85 0,0 et 0,85 5 0,087, doc o doit placer au mois 5 plaques ; > 0 : la suite (u est + strictemet croissate Pour tout etier aturel, > 0 doc u < 5 < 0 6 > 0 6 Avec ue calculatrice, o obtiet 0 6 u 0,95 u La suite ( est géométrique de premier terme et de raiso 0,95 0, < ,95 < 0,5 Avec ue calculatrice : 0,95 0,5 et 0,95 0,8 ; doc e 0, la populatio sera, pour la première fois, iférieure à habitats 6 Corrigé das le mauel 6 a La suite (P est arithmétique car la productio augmete régulièremet d ue même quatité b P 6 P + 5r 000 P + P + + P 6 (P + P , doc P + P et P et r 00 c P P ( doc au bout de 8 aées a Q 5 Q, 7 05 b Q Q, 8, doc au bout de 9 aées 6 Corrigé das le mauel 65 d d 0 d < 00 d 0 < 00 > 00 7 Doc 7 heures sot écessaires à l élimiatio de 99 % du médicamet 66 u, u, u O peut cojecturer que : pour tout etier aturel, ( La cojecture est vraie pour le rag suivat AVEC LES TICE 67 b La suite ( semble strictemet croissate c est de la forme + 0,00 a Les termes sot strictemet positifs + b v +,00 > : la suite ( est strictemet croissate 000, ,00,06 70

7 ROC Restitutio orgaisée de coaissaces Predre toutes les iitiatives 68 + > 0 u + > 0 Pour tout etier aturel, > 0, doc : si pour tout, + > 0, alors u + > 0 et la suite ( est strictemet croissate a Si pour tout etier aturel, > 0 et + < 0, u alors la suite ( est strictemet décroissate b Pour tout etier aturel, > 0 et + > : u la suite ( est strictemet croissate Pour tout etier aturel, v > 0 et v + + v + + < : la suite (v est strictemet décroissate 69 Le calcul des premiers termes semble motrer que pour tout etier aturel o ul, Remarquos (raisoemet par récurrece e Termiale que si alors No, car la somme 5 est iférieure à 5 0 EXERCICES Approfodissemet (page 6 7 Pour tout etier aturel, > 0 et + < : la suite ( est strictemet décroissate Avec ue calculatrice :, et, , doc le premier idice cherché est, pour la suite (V, 6 d Avec 0 0, o trouve pour la suite (U et 59 pour la suite (V O peut cojecturer que les termes de la suite (V «s approchet» beaucoup plus vite de la limite que ceux de la suite (U 7 u, u 5, u u u 0, doc o peut cojecturer que la suite (, qui est pas mootoe, pred de maière cyclique les trois valeurs, et 5 das cet ordre u 0, u, u 5, u, u 5 v 0, v 5, u 9 9, u 65 7, u 8 La lecture des premiers termes permet de cojecturer que les deux suites sot croissates a U + + b V + v ( v V La suite (V est géométrique de raiso et de premier terme V 0, doc pour tout etier aturel, V + c U Le premier idice cherché est, pour la suite (U, V , Doc, u 0 u u 6 u, u u u 7 u +, u u 5 u 8 u + 5 La suite ( est dite périodique, de période 7 + u ; la suite (u est géométrique de raiso v + v + > 0 : la suite (v est strictemet croissate D autre part, la somme des aires coloriées e vert est iférieure à l aire du triagle, doc pour tout etier aturel, v < Chapitre 6 Comportemet d ue suite 7

8 v v < 0,00 < 0 > 0 soit 0 75 a pour 6 : la suite ( est croissate à partir du rag 6 b u 9 et ( est croissate à partir du rag 6 Doc pour tout etier aturel, si 9, alors > 0 a v + v + 0( , soit pour tout etier aturel, v + v b Si 9, alors > 0 doc v + v > 0 : la suite (v est strictemet croissate à partir du rag 9 c v 7 et v 6, et (v est strictemet croissate à partir du rag 9, doc, à partir du rag, v > 0 76 a N ( 0,0 N 0 0,987 6 N 0 : N k 0,987 6 N k b La suite (N est géométrique de raiso 0,987 6 Pour tout aturel, N (0,987 6 N 0 c Pour tout aturel, N est strictemet positif De plus, N N 0,987 6 < : la suite (N est strictemet décroissate (0, ,0 Avec ue calculatrice : (0, ,0 et (0, ,97 La suite (N état strictemet décroissate, les fragmets ot etre 7 et 7 siècles 77 a + 0 : la suite ( est croissate b 78 b O peut cojecturer que lim u a O peut cojecturer que lim u b Les suites semblet toujours coverger vers et u 0 > 0 et a Pour tout etier aturel p o ul, u p et v p sot strictemet positifs u p > v p v p < p + 5p u p + p + < Le triôme p + p + est toujours strictemet positif u p > v p p + p < 0 p ]0 ; + 5[ Or cet itervalle e cotiet pas de ombre etier ; il existe pas de ombre m tel que : p m, u p > v p ; soit ecore : pour tout etier aturel o ul, < v w p > v p v p < p + 5p w p p + p + < p + p < 0 Le triôme p + p est toujours strictemet égatif (Δ < 0 et a < 0 Coclusio : Pour tout etier aturel p o ul, u p < v p < w p b Les suites ( et (w ot pour limite 0 quad ted vers + O peut cojecturer qu il e est de même pour la suite (v ( p + 0 p 0 Cette équatio e peut avoir des solutios etières que si Δ p est le carré d u ombre etier impair Or parmi les ombres, 8, 80, 800, 8000, , et , seuls les deux premiers covieet Les couples cherchés sot doc ( ; 0 et ( ; 8 Le cetre du cercle est aussi le cetre de gravité et l orthocetre de tous les triagles Doc le premier (plus grad triagle a pour hauteur,5 cm, pour côté cm et pour aire (e cm : a 7 La suite (a des aires est géométrique de raiso et de premier terme 7 ; doc pour tout etier aturel o ul, a 7 7 Aisi : a 0, Avec ue calculatrice : , et Doc 7 triagles ot ue aire supérieure à 0, mm 7

9 EXERCICES Travail e autoomie (page 6 A u 5, u 7 8, u 7 7, u 5 a ( + + ( + b + est clairemet strictemet égatif : la suite ( est strictemet décroissate B La suite semble croissate et de limite C a f (x 6x(x + x(x + 6x (x + (x + Sur [0 ; + [, f est strictemet positive sauf e 0 où elle s aule f est doc strictemet croissate sur [0 ; + [ b Il e résulte que la suite ( est strictemet croissate a Pour tout etier aturel, doc < 0 et < b >,999 9 > 0, > 0,000 + > > > m 8 D a c 8 +, b, < doc < < 0 5 > 0 5 Avec ue calculatrice : 8 9 et 6 8 ; doc m soit m 7 E a x, f(x g(x x x + x(x + > 0 b, > + doc + > 0 a + ( + ( + b, > 0 et + ( + ( + ( + + < : la suite est strictemet décroissate a b, + > 0 doc < c 0 < + < 0 + > 0 ; doc m 0 00 Chapitre 6 Comportemet d ue suite 7