Coefficients de Fourier Cahier d'exercices no 1. Les énoncés de 4 à Les énoncés et les solutions des exercices 4 à

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1 Coefficiets de Fourier Cahier d'exercices o Les éocés de 4 à Les éocés et les solutios des exercices 4 à

2 Les éocés de 4 à Exercice (Correspod à l exercice 4 du chapitre coefficiets de Fourier) Voici ue portio de la courbe représetat ue foctio f Doer la période, la pulsatio et la fréquece Exercice (Correspod à l exercice 5 du chapitre coefficiets de Fourier) Doer das chaque cas la période, la pulsatio et la fréquece t Acos( t) + Bsi( t) t Acos(t) + Bsi(t) t Acos(t) + Bsi(t) t Acos(t) + Bsi( t) Exercice (Correspod à l exercice 6 du chapitre coefficiets de Fourier) Calculer les coefficiets de Fourier de la foctio f qui est de période telle que : f (t) si t < et f (t) si t < Exercice 4(Correspod à l exercice 7 du chapitre coefficiets de Fourier) Doer ue primitive de la foctio t e t Calculer te t dt Exercice 5 (Correspod à l exercice 8 du chapitre coefficiets de Fourier) Calculer e foctio de : t cos(t)dt tsi(t)dt t cos(t)dt tsi(t)dt

3 Exercice 6(Correspod à l exercice 9 du chapitre coefficiets de Fourier) Calculer e foctio de I t cost dt J tsi t dt Doer I, I, I,I4,J,J,J, J4 Exercice 7(Correspod à l exercice du chapitre coefficiets de Fourier) Dire das chaque cas si la foctio est paire, impaire, i paire i impaire )cos(t) )si(t) )cos(t)si(t) 4)cos si(t) 5)si cos(t) 6)si [ si(t) ] 7)si t + cost 8)si t + si t 9) ta(t) [ ] [ ] ) si t )si t )si t )x 4)x 5)x + x 6) f est ue foctio impaire, g est ue foctio impaire: h (t)f (g (t)) 7) f est ue foctio impaire, g est ue foctio paire: h (t)f (g (t)) 8) f est ue foctio impaire, g est ue foctio paire: h (t)g (f (t)) 9) f est ue foctio impaire, h (t) [f (t)] p+ pour 'importe quel etier p ) f est ue foctio impaire, h (t) [f (t)] p pour 'importe quel etier p Exercice 8 (Correspod à l exercice du chapitre coefficiets de Fourier) Doez les valeurs des itégrales suivates : t si(t)dt t cos(t)dt Exercice 9 (Correspod à l exercice du chapitre coefficiets de Fourier) La foctio f est paire de période ;f (t) si t < f (t) si t < La période de g est et g(t) t si < t < Calculer les coefficiets de Fourier de f et de g Doer leurs valeurs pour,,,, 4, 5

4 Les éocés et les solutios des exercices 4 à Exercice (Correspod à l exercice 4 du chapitre coefficiets de Fourier) Voici ue portio de la courbe représetat ue foctio f Doer la période, la pulsatio et la fréquece Réposes La période est La pulsatio est : La fréquece est Exercice (Correspod à l exercice 5 du chapitre coefficiets de Fourier) Doer das chaque cas la période, la pulsatio et la fréquece t Acos( t) + Bsi( t) t Acos(t) + Bsi(t) t Acos(t) + Bsi(t) t Acos(t) + Bsi( t) Réposes Foctio Période Pulsatio Fréquece t Acos( t) + Bsi( t) t Acos(t) + Bsi(t) t Acos(t) + Bsi(t) t Acos(t) + Bsi( t)

5 4 Exercice (Correspod à l exercice 6 du chapitre coefficiets de Fourier) Calculer les coefficiets de Fourier de la foctio f qui est de période telle que : f (t) si t < et f (t) si t < Solutio a dt si(t) a cos(t)dt si est pair cos(t) cos b si(t)dt si est impair Exercice 4(Correspod à l exercice 7 du chapitre coefficiets de Fourier) Doer ue primitive de la foctio t e t Calculer te t dt Solutio e t te t dt te t e t dt e e t e e e 4 Exercice 5 (Correspod à l exercice 8 du chapitre coefficiets de Fourier) Calculer e foctio de l'etier o ul : t cos(t)dt tsi(t)dt t cos(t)dt tsi(t)dt Solutio tsi(t) si(t) cos(t) t cos(t)dt dt t cos(t) cos(t) si t tsi(t)dt + dt +

6 5 Exercice 6 (Correspod à l exercice 9 du chapitre coefficiets de Fourier) Calculer e foctio de l'etier o ul: I t cost dt J tsi t dt Doer I, I, I,I4 J,J,J, J4 Solutio tsi(t) si(t) I t cos(t)dt dt si est pair I si est impair t cos(t) cos(t) J tsi(t)dt + dt si est pair J si est impair cost cos cos() si t + cos() 4 I 9 J 4

7 6 Exercice 7 (Correspod à l exercice du chapitre coefficiets de Fourier) Dire das chaque cas si la foctio est paire, impaire, i paire i impaire )cos(t) )si(t) )cos(t)si(t) 4)cos si(t) 5)si cos(t) 6)si [ si(t) ] 7)si t + cost 8)si t + si t 9) ta(t) [ ] [ ] ) si t )si t )si t )x 4)x 5)x + x 6) f est ue foctio impaire, g est ue foctio impaire: h (t)f (g (t)) 7) f est ue foctio impaire, g est ue foctio paire: h (t)f (g (t)) 8) f est ue foctio impaire, g est ue foctio paire: h (t)g (f (t)) 9) f est ue foctio impaire, h (t) [f (t)] p+ pour 'importe quel etier p ) f est ue foctio impaire, h (t) [f (t)] p pour 'importe quel etier p Réposes Paire impaire paire impaire Exercice 8 (Correspod à l exercice du chapitre coefficiets de Fourier) Doez les valeurs des itégrales suivates : t si(t)dt t cos(t)dt Réposes ( secodes: secode par itégrale) t si(t)dt t cos(t)dt

8 7 Exercice 9 (Correspod à l exercice du chapitre coefficiets de Fourier) La foctio f est paire de période ;f (t) si t < f (t) si t < La période de g est et g(t) t si < t < Calculer les coefficiets de Fourier de f et de g Doer leurs valeurs pour,,,, 4, 5 Réposes ( miutes) Coefficiets de Fourier de la foctio f f (t) si t < f (t) si t < b pour a dt dt Pour : si si(t) a f (t)cos(t)dt cos(t)dt si est pair + si est pair si si (k + ) ± si est impair si est impair ak pour tout etier k + (k + ) ak+ (k + ) pour tout etier p : si k est pair si k est impair a(p) + a4p+ (4p + ) a (p + ) + a 4p + (4p + ) 4 5 a 5

9 8 Les coefficiets de Fourier de g La période de g est et g(t) t si < t < O remarque que la foctio g est impaire a, a pour Pour : t cos(t) b tsi(t)dt + si est pair b + si est impair cos(t) dt cos