Fonctions exponentielles.
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- Floriane Gaudet
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1 Foctios epoetielles. Chatal Meii 22 février 2008 Das cette eposé ous supposeros bie sûr coues les otios de limites, cotiuité, dérivabilité et les propriétés usuellemet asociées (par eemple compositio de limite, lie etre le sige de la dérivée et les variatios de la foctio, dérivée de foctios composées, etc). Mais surtout ous supposeros coue la foctio logarithme épérie, ce choi est motivé au paragraphe.3. Résolutio d ue équatio différetielle. O cherche à détermier s il eiste des foctios dérivable sur R qui satisfot (E k ) f = kf, f(0) =. L équatio f = kf apparait par eemple si f(t) désige le ombre moye de oyau radioactifs présets das ue populatio macroscopique à l istat t. O peut remarquer que si k = 0 alors il eiste ue uique solutio qui est la foctio costate égale à. Nous supposeros doc das la suite que k est o ul.. Première coditio écessaire. Propositio. Si il eiste ue solutio de (E k ) alors elle est uique. Preuve. Soiet f et f 2 deu solutios et posos pour tout réel, g() = f ()f 2 ( ). Par hypothèses sur f et f 2, g est dérivable sur R et g () = f ()f 2 ( ) f ()f 2( ) = kf ()f 2 ( ) kf ()f 2 ( ) = 0. g est costate sur R et g(0) =. Ceci ous permet d e déduire que les foctios solutios f et f 2 e s aulet pas sur R et que f () = /f 2 ( ). E particulier pour f = f 2 o obtiet f 2 () = /f 2 ( ) soit fiallemet f = f 2 pour f et f 2 solutios quelcoques de (E k )..2 Deuième coditio écessaire. Propositio.2 Si f solutio de (E k ) alors pour tout couple (, y) de réels f( + y) = f()f(y). Preuve. Nous avos déjà vu das la preuve précédete que f e s aulait pas sur R et que f( ) = /f(). Cosidéros la foctio auiliaire g défiie sur R par g() = f( + y)f( ) alors g est dérivable sur R et g () = kf( + y)f( ) kf( + y)f( ) = 0, g est costate et g(0) = f(y)..3 Eistece d ue solutio. La démostratio directe de l eistece d ue solutio de cette équatio est pas simple. O peut déjà remarquer que les foctios coues e début de classe termiale (foctio polyomiale, fractio ratioelle, racie, trigoométrique) e sot pas solutio de cette équatio. O peut aussi remarque qu il suffit de le faire pour k = puisque si f est solutio de (E ), la foctio f k ( ) = f(k ) est solutio de (E k ). Ue preuve possible pour motrer l eistece d ue solutio de (E ) est de motrer que la suite de foctios (u ) avec u () = ( + ) (qui est autre que la suite qui apparait lors de l applicatio de la méthode d Euler pour la résolutio approchée de (E )) coverge sur R vers ue foctio qui est dérivable et solutio de (E ). Cette
2 démostratio est détaillée das le documet d accompagemet des programmes de termiale ES et S accessible par eemple sur (o y lira aussi u tete sur la radioactivité). O peut aussi se reporter à la première épreuve écrite de Si o veut e doer les grades liges.. Motrer que pour tout > et pour tout etier aturel, ( + ) état u réel fié, itroduire pour >, v () = ( ) et motrer que les suites (u ()) > et (v ()) > sot adjacetes. (u ()) > croissate avec u + () = ( ) ( (+)(+/)) et. (v ()) > décroissate avec v () = /u ( ). u () v () ted vers 0 avec 2 u() v puis 0 v () () u () 2 v (). 3. O appelle ep la limite de la suite (u ()). 4. Motrer que pour h <, ep( + h) ep()( + h) avec ( ) + +h ( ) ( = + h + (+/)) puis. et u passage à la limite. 5. Motrer que pour h <, ep( + h) ep()/( h) avec l iégalité précédete. 6. Coclure à la dérivabilité de la foctio ep et qu elle est sa propre dérivée. E coséquece ous e choisiros pas ce poit de vue et supposeros coue la foctio logarithme épérie, otée l, aisi que ses propriétés. 2 Foctio epoetielle. 2. Défiitio et premières coséqueces. Défiitio 2. La foctio epoetielle est la bijectio réciproque de la foctio logarithme épérie, elle est otée ep. Propositio 2.2. ep(0) = 2. La foctio epoetielle est dérivable sur R et ep = ep. Preuve. La première assertio découle directemet du fait que ep est la bijectio réciproque de l et de l() = 0. La deuième résulte du théorème de la bijectio que l o applique à la foctio l (rappel : si ue foctio f est bijective d u itervalle I sur u itervalle J = f(i), dérivable et de dérivée e s aulat pas alors sa bijectio réciproque f est dérivable sur J et (f ) (y) = f (f (y)).). Remarque 2.3 Nous savos maiteat que (E ) admet ue uique solutio qui est la foctio epoetielle. De même avec la remarque faite das le paragraphe.3 (E k ) admet ue uique solutio qui est ep(k). Propositio 2.4. (, y) (R) 2 ep( + y) = ep() ep(y). 2. r Q, R, ep(r) = (ep()) r. 3. ep() = e et r Q ep(r) = e r. Preuve. Ceci peut se voir comme ue coséquece directe de la défiitio de la foctio ep comme bijectio réciproque de la foctio l et de l(ab) = l a + l b pour tous réels strictemets positifs a et b ; aisi que l((ep()) r ) = r l(ep()) = r. Si la foctio logarithme est pas coue, la première assertio peut se voir comme ue coséquece du fait que la foctio ep est solutio de (E ) et de la propositio.2. La deuième assertio, se motre d abord pour les etiers puis les etiers relatifs et efi pour les ratioels (comme ce qui a été fait pour la foctio logarithme). O ote e = ep() et 3 découle de 2. Remarque 2.5 ep(r) coïcide avec e r pour tout ratioel r et la foctio ep obéit au rêgles de calculs des puissace, e coséquece o état la otatio e = ep() à tout réel. 2
3 2.2 Etude de la foctio epoetielle. Propositio 2.6. La foctio ep est défiie sur R, strictemet croissate et à valeurs das R lim + e = +, lim e = 0. e 3. lim + = +, lim e = 0. Preuve. La première assertio est ue coséquece directe du fait que la foctio l est strictemet croissate de R + sur R et de la défiitio de ep comme bijectio réciproque. Les deu autres des limites aalogues pour la foctio e l. Si l o détaille par eemple = + : e = e( l ) l ( = e ) et lim = 0, o termie avec la lim + + l compositio des limites. O peut aussi e doer ue preuve directe, rappelos que ous savos à ce stade que la foctio ep e s aule pas, elle est dérivable sur R, égale à sa dérivée et efi que ep(a + b) = ep(a) ep(b). Nous pouvos alors e déduire que la foctio ep est strictemet positive (ep() = (ep( 2 ))2 ) dot o déduit l assertio. 0 < doc < e et pour tout > N, e > e N, ce qui doe lim + e = +. e = /e pour la limite lorsque ted vers. E étudiat les variatios de la foctio e o peut motrer que pour tout réel, e (ceci peut aussi se motrer e utilisat la coveité -voir plus bas-) puis que pour tout > 0, e = ( e /2) 2 ( 2 )2 et o a e = +. Efi e = e ous doe la derière limite. lim + Remarque 2.7 Si o fait le choi d ue preuve directe de l eistece de la foctio epoetielle ous pouvos maiteat motrer que c est ue bijectio de R sur R +. Propositio 2.8 La foctio ep est ue foctio covee. Preuve. Elle est deu fois dérivable sur l ouvert R et de dérivée secode la foctio ep qui est positive. Corrolaire 2.9 La courbe représetative de la foctio ep est au dessus de ses tagetes. E particulier R +, ep +. Doer l allure de la courbe représetative de la foctio ep e eploitat asymptote, brache parabolique, courbe au dessus tagete. O peut aussi oter ue autre propriété géométrique de la courbe représetative de la foctio ep : elle est à sous-tagete costate. C est-à-dire que das u repère orthoormé de base (O, ı, j), si l o ote M u poit de la courbe, m so projeté orthogoal sur l ae des abcisses et T le poit d itersectio de la tagete à la courbe au poit M avec l ae des abcisses, alors T m = ı. 3 Les foctios epoetielles. Défiitio 3. Soit a u réel strictemet positif et différet de. O appelle epoetielle de base a l applicatio défiie sur R par ep( l a). Elle est otée ep a. Remarque 3.2. La foctio epoetielle est la foctio epoetielle de base e. 2. Si les foctios logarithmes de base a sot coues alors o peut défiir ep a comme la bijectio réciproque de la foctio log a. Propositio 3.3 r Q, a > 0, ep a (r) = a r. Preuve. ep a (r) = ep(r l a) = (ep(l a)) r = a r. Défiitio 3.4 a R +, R, a = ep( l a). O otera que cette défiitio est qu ue etesio au réels de ce qui était déjà cou pour les ratioels. 3
4 Remarque 3.5 Pour la défiitio de la foctio epoetielle de base a, ous sommes restés ici das la logique de coaissace de la foctio logarithme épérie (et uiquemet celle-la). Si le choi avait été fait d ue costructio directe de la foctio epoetielle, o peut défiir la foctio epoetielle de base a comme l uique solutio f k ( ) = ep(k ) de l équatio différetielle de départ (E k ) et a = f k () = ep(k). A ce stade de la leço il parait raisoable d avoir doé u om à la bijectio réciproque de la foctio epoetielle et avec la bijectivité de la foctio ep, ous avos a R + \ {} et pour tout a strictemet positif o égal à il eiste u uique réel o ul k(= l a) tel que a = ep(k), o a doc ecore ep a () = ep( l a). De plus ep a (r) = ep(kr) = (ep(k)) r = a r pour tout ratioel r. Propositio 3.6 Soiet a et b des réels strictemet positifs,. R, l(a ) = l a. 2. (, y) (R) 2, a +y = a a y, a y = (a ) y, R (ab) = a b. 3. La foctio a est dérivable sur R et de dérivée la foctio l a a. Preuve. Toutes les démostratios se fot aisémet e reveat à la défiitio a = ep( l a) et e utilisat les propriétés de la foctio epoetielle. O peut aussi oter que les assertios et 2 sot vraies pour et y ratioels et o coclue par cotiuité. Propositio 3.7 Pour tout réel α (i) lim + e = +, (ii) lim α α e = 0. Preuve. ( ) (i) Si α 0 c est immédiat. Si α > 0 alors e e α = α α ( α α )α e. O sait que lim y y + y = + et o motre que lim y + yα = + ce qui ous permet de coclure par compositio des limites. O peut aussi ecore utiliser que e α = e α l = e ( α l ) et lim + l = 0. (ii) Pour < 0, α e = ( )α e et o coclue avec (i). 4 Autres caractérisatios. 4. Equatio différetielle. Théorème 4. Soit k u réel alors l esemble des foctios dérivables sur R solutios de est { Ce k C R}. y = ky Preuve. Ces foctios covieet et réciproquemet si f est ue solutio alors o motre que la foctio auiliaire g défiie sur R par g() = f()e k est costate. Remarque 4.2 O otera que l o retrouve ici le problème de départ à la différece que la valeur de la foctio e 0 est pas imposée. 4.2 Equatio foctioelle. Théorème 4.3 L esemble des foctios dérivables satisfaisat l équatio foctioelle (, y) (R) 2 f( + y) = f()f(y) sot la foctio ulle, la foctio costate égale à et les foctios epoetielles de base a. 4
5 Preuve. Ces foctios covieet. Réciproquemet si f est ue solutio alors f(0) = f(0) 2 doc f(0) = 0 ou f(0) =. E fiat arbitrairemet le réel et e dérivat o obtiet f ( + y) = f (y)f() soit e particulier pour y = 0 f () = f (0)f(). Avec le théorème 4. il eiste ue costate C tel que f() = Ce f (0). Nécessairemet C = f(0), ous avos alors deu cas : f(0) = 0 alors f est la foctio ulle. f(0) = alors f est la foctio costate égale à si f (0) = 0 ou bie la foctio epoetielle de base a = e f (0) si f (0) 0. 5 Applicatios.. Comme dit e itroductio l équatio différetielle y = ky apparait e radioactivité mais aussi par eemple das ue modélisatio simple de croissace de populatio (modèle de Malthus) où k = k k d (k et k d état respectivemet le tau de aissace et de déces). L équatio foctioelle f( + y) = f()f(y) apparait das l étude des lois de probabilité sas mémoire (durée de vie sas vieillissemet, temps d attete). Si T désige la variable aléatoire, la loi de T est dite sas mémoire si P (T >t) (T > t + h) = P (T > h). E otat f(t) = P (T > t) o obtiet f(t + h) = f(t)f(h). ( + 2. lim + ) = e l(+y). O utilise que lim y 0 y = puis la cotiuité de la foctio ep e. O otera que cette applicatio a pas lieu d apparaitre si o a choisi de costruire directemet la foctio ep puisqu elle est précisemmet défiie comme limite de cette suite. 3. lim + k k! = e. Ceci peut se motrer à l aide de la formule de Taylor-Lagrage. 4. Si o se limite à ]0, ] o peut motrer de faço plus élémetaire que pour tout etier strictemet positif k k! < e < k k! +!. Pour cela o itroduit les foctios h et g, défiies sur [0, ] par h () = e k k! et g () =! h (). Elles sot dérivables et h () = h (), g () = g (). Puis o motre l iégalité ci-dessus par récurrece sur. Si o détaille cette récurrece pour obteir le sige de g, cela doe : Soit (H ) l assertio ]0, ] g () > 0. g () = + 2 e, g est strictemet croissate sur [0, l 2] et strictemet décroissate sur [l 2, ]. g (0) = 0 et g () = 3 e > 0 doc (H ) est vérifiée. Motros que pour, (H ) implique (H + ). g + est dérivable sur [0, ], de dérivée g. Avec l hypothèse (H ), g + est strictemet positive sur l itervalle ouvert ]0, [ et par cotiuité de g + sur l itervalle fermé [0, ], g + est stritemet croissate sur [0, ]. g + (0) = 0 o a doc (H + ). O a (H ) vraie, pour tout, (H ) implique (H + ) doc (H ) est vraie pour tout etier. 5. e = lim + k!, o utilise le résultat ci-dessus avec =. De plus l iégalité k! < e < k! +!. permet de motrer que e est pas ratioel. Sio e = p q avec (p, q) (N ) 2 et pour = q q q! q k! < p (q )! < q! k! + ce qui est impossible car q q! k! et p (q )! sot etiers. 5
6 6. Avec la coveité de la foctio ep o peut motrer que pour tous réels strictemets positifs a i, (a a ) / (a + a ). (a a ) / = ep ( l(a a ) ) et l iégalité de coveité ous doe que ( ) ep (l a + l a ) (a + a ). 6 Commetaires. Cela a pas dû vous échapper mais ous isistos sur la fait que das cette leço, r est cou que pour r ratioel tat que l o a pas défiies les epoetielles de base a. Nous avos teté autat que possible de préseter deu approches possibles de la foctio epoetielle tout e idiquat otre préférece. A vous bie sûr de faire votre choi tout e faisat bie attetio à la cohérece de votre eposé. Si o a choisi de défiir directemet la foctio epoetielle, o peut alors défiir la foctio logarithme épérie comme sa bijectio réciproque mais o peut aussi supposer costruite la foctio l comme primitive sur R + de s aulat e. Das ce derier cas, il faut peser à motrer qu elles sot bijectios réciproques l ue de l autre ; o itroduit la foctio g défiie sur R par g() = l(ep )) qui est dérivable et de dérivée g () = ep ep = (dérivatio des foctios composées) et g(0) = 0 doc g() =. Nous avos choisi de e pas pousser très loi l étude de l équatio foctioelle e e cherchat pas à réduire le plus possible les hypothèses (par eemple e e supposat sur f que la cotiuité -hypothèse qui peut ecore être affaiblie, la coclusio restat la même-) puisque jusqu à préset ceci est l objet d ue autre leço. Repportez vous à cette leço si vous souhaitez etoffer cette partie. Pour motrer que e = lim + k! o peut aussi itroduire les suites (U ) = ( k! ) et (V ) = (U +! ) et motrer qu elles sot adjacetes. O obtiet aisi leur covergece mais il faut pouvoir justifier que cette limite est e. Résoudre le problème de départ (E k ) est ce qu o appelle résoudre le problème de Cauchy de doée (0, ) pour l équatio différetielle y = ky. Plus gééralemet ous savos que pour l équatio y (t) = a(t)y(t)+b(t) avec a et b foctios cotiues sur u itervalle ouvert I de R le problème de Cauchy de doée (t 0, y 0 ) I R admet ue uique solutio défiie sur I. (Qu e est-il du problème de Cauchy pour y = f(t, y) avec f cotiuemet dérivable sur u ouvert de R 2?) Ue coséquece du théorème 4. est que l esemble de solutios de y = ky est u espace vectoriel de dimesio, ce qui est aussi u résultat bie cou. 6
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