LES COMPLEXES. Il existe plusieurs formes pour écrire un nombre complexe z. Selon le contexte, une est plus appropriée qu'une autre.

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1 1A LES COMPLEXES Objectifs Connaître les diérentes formes d'un nombre complexe. Savoir résoudre une équation complexe. Savoir linéariser un sinus ou un cosinus. Dénition 1. On note C l'ensemble des nombres dits complexes. Sa construction 1 est assez technique. Pour simplier, disons qu'un nombre purement imaginaire a été inventé par les mathématiciens ; ce nombre purement imaginaire noté i est tel que : ı = 1 Cette lettre i a été choisie car c'est la première lettre du mot imaginaire. Il existe plusieurs formes pour écrire un nombre complexe z. Selon le contexte, une est plus appropriée qu'une autre. 1 Forme algébrique C'est la forme "classique" des nombres complexes. Dénition. On a pour tout nombre complexe z C : a est appelé partie réelle de z et on note : b est appelé partie imaginaire de z et on note : z = a + ib, (a, b) R a = Re(z) b = Im(z) Dénition 3. Soit z = a + ib un nombre complexe alors son conjugué est : z = a ib. On a : z + z = Re(z) et z z = i Im(z) Exemple 1. z = + 3i est un nombre complexe et on a : Re(z) = et Im(z) = 3 1. On peut retrouver cette construction complète dans les livres de mathématiques pour classe préparatoire d'il y a quelques années 1 JA-JMB-ML

2 1A Deux nombre complexes z et z sont égaux si et seulement si Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ). On dénit la somme de z = a + ib et z = a + ib de manière naturelle en additionnant les parties réelles et les parties imaginaires. z + z = (a + a ) + i(b + b ) Le produit de z et z utilise la propriété i = 1 : zz = (aa bb ) + i(ab + a b) Le quotient z z est obtenu en multipliant le dénominateur z par son conjugué z. A partir de ces formules on peut vérier (à faire en exercice) que : z + z = z + z zz = zz ( z z ) = z z Plan complexe et forme trigonométrique.1 Plan complexe A chaque nombre ( complexe z, on peut associer un point M dans le plan muni d'un repère orthonormé O, i, ) j, dont les coordonnées sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. On dit alors que M est l'image de z et que z est l'axe du point M. Figure 1 Représentation graphique d'un complexe JA-JMB-ML

3 1A Figure Quelques points et leur axe respectif Graphiquement, le point M' d'axe z et le point M d'axe z sont symétriques par rapport l'axe des réels purs. Figure 3 Nombre complexe conjugué. Forme trigonométrique La forme trigonométrique est une forme plus agréable pour certaines notions géométriques. Dénition 4. On a pour tout nombre complexe z C : z = ρ (cos(θ) + i sin(θ)) ou sous forme condensée : ρ est appelé module de z et on a : z = [ρ; θ] θ est appelé argument de z et on a : ρ = z = a + b = zz 3 JA-JMB-ML

4 1A L'argument de z est déterminé à π près. cos (θ) = a ρ θ = arg(z) sin (θ) = b ρ Figure 4 Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique Exemple. z = i = ( ( π ) ( π )) cos + i sin Exponentielle complexe Dénition 5. L'idée de génie de Léonhard Euler a été de dénir l'exponentielle complexe en posant : pour tout θ R : e iθ = cos(θ) + i sin(θ) Cette dénition est justiée par le fait que l'exponentielle complexe vérie la même propriété fondamentale que l'exponentielle réelle : Théorème 1. Pour tout θ, θ R on a : e iθ.e iθ = e i(θ+θ ) dem : Corollaire. Pour tout θ, θ R on a : 1 e iθ = e iθ ; eiθ e iθ = e i(θ θ ) Corollaire 3. Pour tout θ R et pour tout n N, on a : ( e iθ) n = e inθ. Sous forme trigonométrique cette relation s'écrit : (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Cette formule est appelée formule de De Moivre. 4 JA-JMB-ML

5 1A dem : Un autre résultat important est : Théorème 4. Pour tout θ R, e iθ = e iθ Ce théorème sert en particulier à calculer les modules des nombres complexes qui apparaissent sous la forme d'une somme d'exponentielles complexes grâce à la formule : z = zz Exemple 3. Soit z = Ae iϕ + Be iψ avec A, B, ϕ, ψ R. Calculer z. 4 Forme exponentielle des nombres complexes Dénition 6. Soit z un nombre complexe : posons r = z et θ = arg z. On a donc, en utilisant l'exponentielle complexe : z = r(cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ L'écriture z = re iθ s'appelle la forme exponentielle du nombre complexe z. Exemple 4. z = i = ( ( π ) ( π )) cos + i sin = 4 4 π ei 4 Théorème 5. Pour tout z, z C, zz = z. z ; arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) ; ( z ) arg = arg(z) arg(z ) z Exemple 5. Calculer (1 i) 33 z z = z z ; 5 Quelques propriétés utiles savoir! Propriété 1. Soit et alors : Propriété. Soit et alors : z 1 = a 1 + ib 1 = ρ 1 (cos(θ 1 ) + i sin(θ 1 )) z = a + ib = ρ (cos(θ ) + i sin(θ )) a 1 = a b z 1 = z 1 = b ρ 1 = ρ θ 1 = θ + kπ, k Z z 1 = ρ 1 (cos(θ 1 ) + i sin(θ 1 )) z = ρ (cos(θ ) + i sin(θ )) z 1 z = [ρ 1 ρ ; θ 1 + θ ] 5 JA-JMB-ML

6 1A Propriété 3. Soit et alors : z 1 = ρ 1 (cos(θ 1 ) + i sin(θ 1 )) z = ρ (cos(θ ) + i sin(θ )) [ ] z 1 ρ1 = ; θ 1 θ z ρ Propriété 4. Soit z = ρ (cos(θ) + i sin(θ)) et n N alors Propriété 5. Dite Formules d'euler. z n = [ρ n ; nθ] cos x = eix + e ix sin x = eix e ix i 6 Racines carrées d'un nombre complexe Remarquez les "s", ce n'est pas une erreur! Il existe bien deux racines carrées pour chaque nombre complexe. C'est ce que nous allons voir ici. Cependant, il faut bien préciser, qu'à cause de cette double existence, il est hors de question d'utiliser la notation classique, pour noter les racines carrées d'un complexe. En eet cette notation représente en fait la notation de la fonction racine carrée x R + x R +, bijection réciproque de la fonction x R + x R +. Cette fonction racine carrée étant une bijection, il existe une unique racine carrée pour tout nombre réel positif. Voici pourquoi nous n'utilisons pas cette notation pour les complexes. Comment faire alors? Et bien tout simplement en écrivant en toutes lettres : "les racines carrées de z sont... et...". 6.1 Recherche des racines carrées par la forme algébrique Soit z = a + ib, (a, b) R un nombre complexe quelconque. Chercher les racines carrées de z revient à résoudre l'équation Z = z, Z étant lui même aussi un nombre complexe que l'on écrit Z = x + iy avec bien entendu (x, y) R. On a alors : Z = (x + iy) = x y + ixy Puisque l'on a :Z = z alors la propriété sur l'égalité de deux nombres complexes nous permet d'écrire les deux premières équations suivantes : { x y = a xy = b sur l'égalité des parties réelles et des parties imaginaires des deux nombres complexes. Une troisième égalité est possible, celle concernant l'égalité des modules, à savoir : Z = Z = ( x + y ) = z = a + b x + y = a + b 6 JA-JMB-ML

7 1A Cette égalité est sympathique pour peu que a + b soit un carré parfait car alors a + b sera un entier. Ainsi on obtient le système des trois équations suivant : x y = a xy = b x + y = a + b En additionnant la première et la troisième on obtient alors : x = a + a + a a + b x = ± + b N'ayez pas peur, n'oubliez pas que dans la plupart des exemples proposés, a + b est un entier, ce qui simplie vraiment l'écriture de x. Ainsi x obtenu, nous aurons les deux expressions de y grâce la deuxième équation du système ou grâce à la diérence de la 3ème équation et de la 1ère, puis en se servant des signes respectifs de s et y connus puisque l'on connaît le signe du produit xy, on a : ou y = b x = ± b a+ a +b y = a + b ) a y = ± a + b a qui nous fournit alors les deux couples solutions de notre équation Z = z. Ces deux couples sont les deux racines carrées de z. Ainsi les racines carrées de z sont : a + a x = + + b a + a x = + b b et b y = + a+ y = a +b a+ a +b ou Voyons ceci sur un exemple : a + a x = + b b y = a+ a +b Exemple 6. Chercher les racines carrées de z = 3 4i. et a + a x = + + b b y = a+ a +b 7 JA-JMB-ML

8 1A Recherche de la racine carrée par la forme trigonométrique C'est une technique très élégante mais qui n'est possible qu'à condition que l'argument de l'inconnue complexe z dont on cherche les racines carrées, soit un angle remarquable, c'est dire π 4, π 3, π, ou un de leurs multiples. Sinon, cette méthode n'a pas d'intérêt! Étudions cette exemple : Exemple 7. Chercher les racines carrées de z = + i. Sous forme trigonométrique z s'écrit : z = [ 1; π ] 4 Chercher les racines carrées de z revient résoudre l'équation X = z où X C c'est dire que : X = [ρ; θ] et donc que X = X X = [ ρ ; θ ]. Ainsi on obtient le système suivant : { { ρ = 1 θ = π 4 + kπ ρ = 1 θ = π 8 + kπ On voit qu'il y a solutions car k variant dans Z les autres sont cycliques. D'où nos deux solutions, racines carrées de z : ] [ k = 0 z 1 = k = 1 z = 1; π [ 8 1; π 8 + π = 9π 8 ] Il n'est même pas très intéressant de les remettre sous forme algébrique, à moins que cela soit réellement indispensable, car π/8 qui est bien un angle remarquable, n'a en revanche pas des valeurs de cos et sin connues. 7 Racine nième de l'unité Chercher les racines nièmes de l'unité c'est résoudre l'équation z n = [ρ n, nθ] = 1. Ainsi, les n solutions sont : ρ = 1 et θ = kπ/n où k 0,..., n 1. Exemple avec n = 10, on a 10 racines 10ème de l'unité qui sont z k = [1, kπ/5] k variant de JA-JMB-ML

9 1A Figure 5 Racine 10ème de l'unité On voit que les 10 racines 10ème de l'unité forment un polygone régulier à 10 côtés appelé décagone. 8 Racine nième d'un complexe quelconque En fait de complexe quelconque, il faut pouvoir l'écrire sous forme trigonométrique grâce un angle remarquable. Sinon l'exercice est pratiquement impossible à résoudre. Supposons donc que ce nombre complexe z = [ρ, θ], où θ est un angle remarquable. Alors, chercher les racines nièmes de z c'est résoudre Z n = z où Z = [r, ϕ]. Les solutions sont donc : Z k = [ n ρ, θ n + kπ n ] où k 0,..., n 1. Exemple 8. Chercher les racines 5ème de z = 1 + i. 9 Savoir résoudre une équation complexe 9.1 Equation du second degré Dans ce paragraphe, on s'occupe de l'équation complexe : az + bz + c = 0, (a, b, c, z) C C 3 Le seul souci, dans la volonté de vouloir écrire les racines du discriminant de cette équation, c'est la notation! D'autant plus, on l'a vu dans le paragraphe précédent, que des racines carrées pour ce discriminant, il y en a deux! Théorème 6. On appelle discriminant de l'équation complexe az + bz + c = 0, la quantité complexe suivante : = b 4ac Il n'existe pas de relation d'ordre dans C, c'est dire qu'on ne peut savoir pour deux nombres complexes z 1 et z si z 1 < z ou si z 1 > z. De ce fait, on ne discute pas des solutions suivant 9 JA-JMB-ML

10 1A le signe de et on a un seul cas : z 1 = b a z = b + a Évidemment, nous n'avons pas le droit d'écrire car est un nombre complexe. En fait on utilise simplement la notation pour montrer que les formules ne sont pas diérentes de celles vues sur les réels. De plus, puisque'on a le choix entre racines carrées pour, et bien on choisit celle que l'on veut en conservant la même dans le calcul de z 1 et z. Exemple 9. Résoudre l'équation complexe : z + (1 4i)z + i 5 = 0 9. Equation de degré supérieur ou égal à trois Bien entendu, pour les équations complexes de degré supérieur ou égal à 3, nous utilisons les mêmes techniques que pour les équations réelles, à une diérence près cependant, pour la recherche des racines "évidentes". Si le texte nous dit que l'équation en question admet une racine réelle pure ou imaginaire pure, on peut par identication la trouver en écrivant explicitement sa forme et en remplaçant dans l'équation de départ. Cela peut, la plupart du temps, nous permettre de la trouver assez facilement.puis en utilisant par exemple, la méthode de division euclidienne, qui fonctionne aussi pour les polynômes complexes, on cherche les solutions de l'autre morceau. 10 Linéarisation des cosinus et des sinus Linéariser c'est transformer un produit en somme. En particulier ici c'est transformer un cos n (x) ou un sin n (x) en somme de cos(nx) et de sin(nx). Cette technique est très utile pour le chapitre de Calcul Intégral. Pour linéariser des cosinus et des sinus, on utilise les formules d'euler et celle du binôme de Newton. Le mieux pour illustrer cette notion, est de traiter un exemple. Exemple 10. Linéariser cos 3 (x). ( e cos 3 ix + e ix (x) = ) 3 = 1 3 [ (e ix ) 3 + 3(e ix ) (e ix ) 1 + 3(e ix ) 1 (e ix ) + (e ix ) 3] = 1 [ e 3ix + e 3ix + 3 ( e ix e ix + e ix e ix)] 8 = 1 [ e 3ix + e 3ix + 3 ( e ix + e ix)] 8 = 1 [ ( ) ( )] e 3ix + e 3ix e ix + e ix = 1 4 cos (3x) + 3 cos (x) 4. c'est dire x si la racine est réelle pure où iy si elle est imaginaire pure 10 JA-JMB-ML

11 1A Linéariser sin 3 (x). sin 3 x = eix e ix i = 1 [ e 3ix e 3ix + 3 ( e ix + e ix)] 8i = 1 [ ( ) ( )] e 3ix e 3ix e ix e ix i 6i 8i i i = 1 4 sin (3x) + 3 sin (x) 4 11 JA-JMB-ML

12 1A Exercices sur les complexes Exercice 1. Écrire sous forme algébriques les nombres complexes : e i π 3, e i π 4, e i π, e iπ, e i π 3, e i π 4, e i π, e iπ Exercice. écrire sous forme d'exponentielle complexe : i, i, 1+i, 1 i, 1 i, 1 + i 1 i, 3+i, 3 i ( Exercice 3. calculer z = 1 + ) 13 3i et ( 3 i) (année scolaire en cours) Exercice 4. soient z 1 = 1 + i et z = 1 + i 3 et z 3 = z 1 z. 1. Déterminer le module et un argument de z 1, z, z 3.. En déduire les valeurs exactes de cos 7π 7π et sin 1 1. Exercice 5. soient z 1 = 6 (1 + i) et z = ( 1 + i ) 3 1. Calculer le nombre complexe z 1 z sous forme algébrique.. Calculer le module et l'argument de z 1, z, z 1 z 3. En déduire cos π 1 et sin π 1. Exercice Montrer que 1 + cos θ = cos θ. En déduire le module et l'argument de z 1 = 1 + cos θ + i sin θ, θ ]0, π[. Déterminer le module et l'argument de z = 1 cos θ i sin θ, θ ]0, π[ 3. Simplier Z = z 1 z Exercice 7. Trouver les nombres complexes z tels que a) z 1 z + 1 R ; b) z 1 z + 1 ir. Exercice 8. soient z 1 et z deux nombres complexes de module 1. Montrer que le nombre complexe z = z 1 + z est réel. 1 + z 1 z Exercice 9. montrer que pour tout z C {1} et tout n IN, 1+z +z + +z n = 1 zn+1 1 z ( ) z + ab z a + b Exercice 10. soient a et b de module 1 et z C. Montrer que : Re = 1 a b Exercice 11. montrer que j = j et que 1 + j + j = 0 Exercice Résoudre dans C l'équation z z 1 = i. Donner la solution sous forme algébrique. 1 JA-JMB-ML

13 1A Soient M, O et A les points d'axes respectives z, 0, 1 ; on suppose que ces trois points z sont distincts. Interpréter géométriquement le module et un argument de z 1 = i et retrouver la solution de l'équation du 1.. Exercice 13. Trouver les racines carrés de z 1 = i, z = 4i 3, z 3 = 16 30i. Exercice 14. Résoudre dans C les équations suivantes d'inconnue z. 1. z + (5 11i) z 9i = 0.. z 4 15(1 + i)z i = z 3 4iz (7 + i) z 6 + 1i = 0 sachant qu'elle admet une solution réelle. 4. z 3 (1 + 14i)z + ( 58 + i)z + 68i = 0 sachant qu'elle admet une racine imaginaire pure. 5. z 4 + λ z (1 + cos θ) cos θ + λ 4 (1 + cos θ) = 0 où λ R, θ [0; π]. Exercice 15. linéariser : 1. cos 5 x. cos x sin 3 x Exercice 16. Trouver les racines cubiques de i et de 11 + i. Exercice Résoudre z 3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1, j, j. Calculer 1 + j + j et en déduire les racines de 1 + z + z = 0.. Résoudre z n = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1, ε,..., ε n 1. En déduire les racines de 1 + z + z + + z n 1 = 0. Calculer, pour p N, 1 + ε p + ε p + + ε (n 1)p. Exercice 18. Pour tout z C on pose P (z) = z Factoriser P (z). En déduire les solutions de l'équation P (z) = 0 ( ) 4 z En déduire les solutions de l'équation = 1 z 1 Exercice 19. Résoudre dans C, l'équation : z 4 = 1 i 1 + i 3 Exercice 0. Trouver les racines quatrième de 81 et -81. Exercice Montrer que pour tout nombre complexe z 1, et tout n N, à connaître.. Soit θ un nombre réel. on pose Z n = 1 + e iθ + e iθ + + e niθ = (a) Simplier l'expression de Z n. n k=0 z k = 1 zn+1 1 z. Formule n e ikθ. k=0 13 JA-JMB-ML

14 1A (b) En déduire des expressions simples de : C n = 1 + cos(θ) + cos(θ) + + cos(nθ) = n cos(kθ) k=0 et S n = sin(θ) + sin(θ) + + sin(nθ) = On pourra considérer C n + is n. (c) Calculer de même : n sin(kθ). k=0 D n (α) = cos(α) + cos(α + θ) + cos(α + θ) + + cos(α + nθ) = n cos(α + kθ) k=0 3. Déduire également de la question 1. que la somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle. Exercice. Soit n N, 1. Résoudre z n + z n + 1 = 0.. Résoudre (z 1) n = (z + 1) n, montrer que les solutions sont des imaginaires purs. Exercice 3. Préambule : on rappelle le résultat suivant : soit a et b deux nombres complexes et soit P = ab et S = a + b, alors a et b sont les deux solutions de l'équation X SX + P = 0. On pose ω = e iπ Soit A = ω + ω + ω 4 et B = ω 3 + ω 5 + ω 6, calculer A + B et A.B.. Utiliser le préambule pour en déduire A et B. 14 JA-JMB-ML