Éléments de probabilités

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1 Chapitre 1 Élémets de probabilités 1.1 Notio d expériece aléatoire Défiitio 1 Ue expériece, dot o coait les issues possibles, est appelé expériece aléatoire s il est impossible de savoir à l avace quelle e sera l issue. Exemple 1 jeux de hasard (pile ou face, dé, loto, roulette, etc) sexe d u efat à aitre poit d impact d u projectile temps d attete d u cliet au guichet d ue baque courbe des puissaces appelées sur le réseau EDF pedat ue période doée durée de vie d u atome radioactif... Défiitio 2 L esemble de toutes les issues possibles est appelé l uivers des possibles (ou simplemet uivers) associé à cette expériece. Il est gééralemet oté Ω et ses élémets ω. Exemple 2 Pour u tirage à pile ou face o a Ω = {P,F}. Pour u lacer de dé o a Ω = {1,2,3,4,5,6}. Pour u problème de temps d attete o peut predre Ω = R + (= [0,+ [) (même si de faço plus réaliste o peut majorer le temps d attete à 8 heures par exemple et plutot predre Ω = [0,8]). O peut aussi predre Ω = R + pour la durée de vie d u atome radioactif. Ituitivemet u évèemet est l occurece d u résultat ou d u esemble de résultats parmi les résultas possibles. Aisi o pose Défiitio 3 O appelle évèemet u sous-esemble de Ω. Chaque sous esemble de Ω coteat u seul élémet, c est à dire ue seule issue possible est appelé évéemet élémetaire. Exemple 3 Aisi, si o ote ω 1,...,ω chaque issue possible, l uivers est alors Ω = {ω 1,...,ω } et chaque {ω i } est alors u évéemet élémetaire. Par exemple si o lace u dé, l uivers est Ω = {1,2,3,4,5,6} et l évèemet {6} est l évèemet élémetaire obteir u 6". Toujours pour u lacer de dé, l évèemet A = {2,4,6} est l évèemet obteir u ombre pair". Das le problème de temps d attete (Ω = R + ) l esemble A =]3,+ [ est l évèemet attedre plus de 3 heures". Das l expériece aléatoire tirer au hasard vers la Terre avec le super cao laser ouvellemet istallé sur la lue", o peut predre Ω = la sur f ace de la Terre et le sous-esemble A costitué de l aire située à 5 km à la rode du poit de latitude 49.08N et de logitude 06.10E est l évèemet tirer sur la ville de Metz".... ATTENTION : Parfois u évèemet élémetaire peut e jamais arriver das la réalité. Il peut être e sorte que virtuel", mais écessaire pour obteir ue descriptio simple et pratique de l expériece. O pourra doc cosidérer que l esemble de tous les évèemets est l esemble P(Ω) costitué de tous les sous-esembles de Ω. O dit l esemble de toutes les parties de Ω. ATTENTION : Quad Ω est fii o peut toujours cosidérer P(Ω) comme l esemble de tous les évèemets. Mais c est souvet FAUX QUAND Ω EST INFINI. L esemble de tous les évèemets est alors u esemble A iclu das P(Ω) mais parfois strictemet plus petit. U tel esemble A doit vérifier certaies boes propriétés cocerat l itersectio, la réuio et le passage au complémetaire, si tel est le cas o appelle ça ue tribu, ou ecore ue σ-algèbre. O dit alors que (Ω,A ) est u espace probabilisable. Exemple 4 (Ω,P(Ω)) est u espace probabilisable. 1

2 1.2 Vocabulaire des évéemets Soit E ue expériece aléatoire et Ω l uivers des possibles associé à cette expériece. Soit (Ω, A ) u espace probabilisable associée à cette expériece (o pesera toujours à (Ω,P(Ω)) même si, e toute rigueur, ça peut être différet). o a, pour A,B des sous-esemble de Ω (c-àd des évèemets), A,B A, Défiitio 4 Ω est l évèemet certai. /0 (l esemble vide) est l évèemet impossible. A B est l évèemet A est réalisé ou B est réalisé" ( ou" iclusif comme veut l usage e fraçais). A B est l évèemet A est réalisé et B est réalisé". Le complémetaire de A, Ā = Ω \ A, est appelé l évèemet complémetaire de A. C est l évèemet qui est réalisé que si A e l est pas. O dit que deux évèemet sot icompatibles si, par défiitio, A B= /0 (c-à-d A disjoit de B c-à-d A B c-à-d B Ā). 1.3 Notio de probabilité Soit E ue expériece aléatoire et Ω l uivers des possibles associé à cette expériece. Soit (Ω, A ) u espace probabilisable associée à cette expériece (o pesera toujours à (Ω,P(Ω)) même si, e toute rigueur, ça peut être différet). Défiitio 5 O dit que P est ue probabilité sur l espace probabilisable (Ω,A ) si P est ue applicatio de A das [0,1] vérifiat 1. P(Ω) = 1 2. Si (A i ) i N est ue suite d évèemets deux à deux icompatibles (c-à-d (A i ) i N est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits) o a P( A i ) = P(A i ) i i O dit alors que (Ω,A,P) est u espace de probabilité. Das le cas où Ω est fii o peut simplifier la défiitio. O a Défiitio 6 (CAS Ω FINI) Si Ω est ue esemble fii o dit que P est ue probabilité sur l espace probabilisable (Ω,P(Ω)) si P est ue applicatio de P(Ω) das [0,1] vérifiat 1. P(Ω) = 1 2. Si A et B sot des évèemet icompatibles o a P(A B) = P(A) + P(B). Exemple 5 Pour u uivers fii Ω = {ω 1,ω 2,...,ω }, o défiit la probabilité "équiprobable" e doat à chaque évèemet élémetaire ue probabilité égale c-à-d, pour tout i variat de 1 à, P({ω i } = 1, état le cardial de Ω. ombre d élémets das A O a doc, pour tout évèemet A, P(A) = ombre d élémets das Ω C est la probabilité qui régit le lacer de pièce de moaie ou le lacer de dé, si la pièce ou le dé e sot pas truqués. Si o dispose d ue pièce truquée qui tombe deux fois plus sur face" que sur pile" o a Ω = { f, p} avec P({ f }) = 3 2 et P({p}) = 1 3. C est égalemet la probabilité décrivat, par exemple, le tirage d ue boule das ue ure coteat 20 boules blaches et 10 boules oires. O déduit aisémet de la défiitio les propriétés suivates Propositio 1 1. Pour tout évèemet A, 0 P(A) P(/0) = Si A B alors P(A) P(B). 4. P(Ā) = 1 P(A). 5. Pour tout évèemet A et B o a P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Démostratio. Le faire e exercice. Remarque 1 (CAS Ω FINI) Pour u uivers fii Ω = {ω 1,ω 2,...,ω } le fait de coaitre tous les P({ω i }) pour i variat de 1 à détermie etièremet P. E effet si A est u évèemet il peut s écrire A = {ω j1,ω j2,...,ω jp } avec p et o a P(A) = P({ω j1 }) + P({ω j2 }) P({ω jp }), puisque les {ω i } sot des évèemets deux à deux idépedats. 2

3 1.4 Probabilités coditioelles Défiitios Défiitio 7 Soit (Ω,A,P) u espace de probabilité. Soit A u évèemet de probabilité o ulle. O défiit l applicatio P A de A das R + P(A B) par, pour tout B A, P A (B) = P(A) O dit que P A (B) est la probabilité que l évéemet B soit réalisé sachat que A l est déjà. O ote souvet P A (B) par P(B A) et o dit probabilité de B sachat A". O l appelle probabilité coditioelle (relative à A). Propositio 2 P A est ue probabilité sur l espace probabilisable (Ω,A ). Démostratio. Le faire e exercice. Remarque 2 Soit A A l esemble costitué de tous les sous-esembles de Ω s écrivat X A avec X A. O a alors : P A est ue probabilté sur l espace probabilisable (A,A A ). Das le cas où Ω est fii, o a A A = P(A). Propositio 3 Soiet A et B deus évèemets de probabilité o ulle. O a Démostratio. Le faire e exercice. Exemple 6 P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Deux machies M1 et M2 fabriquet des tiges. Elles produiset respectivemet 1/3 et 2/3 de la productio. La machie M1 sort 5% de tiges défectueuses et M2 e sort 6%. Soit les évéemets A : «la tige est fabriquée par M1», B : «la tige est fabriquée par M2» et D : «la tige est défectueuse». 1. Quelle est la probabilité que la tige soit fabriquée par M1? 2. O tire ue tige de la productio de M1. Quelles est la probabilité qu elle soit défectueuse? 3. O tire ue tige de la productio. Quelle est la probabilité pour qu elle proviee de M1 et qu elle soit défectueuse? 4. O tire ue tige de la productio. Quelle est la probabilité pour qu elle soit défectueuse? 5. Quelle est la probabilité qu ue pièce défectueuse ait été fabriquée par M1? 6. Trouver les probabilités de tous les évèemets élémetaires. Solutios : 1. C est P(A) = 1/3. 2. C est p(d A) = 5/ C est P(A D) = p(d A)P(A) = 1/ C est P(D) = P((A D) (B D)) = P(A D) + P(B D) = P(D A)P(A) + P(D B)P(B) = 17/ C est P(A D) = P(A D) P(D) Évèemets idépedats = = Défiitio 8 Soit (Ω,A,P) u espace de probabilité. Deux évèemets A et B sot dits idépedats si, par défiitio, Par la formule des probabilités coditioelles o obtiet P(A B) = P(A) P(B). Propositio 4 Soiet A et B deux évèemets de probabilité o ulles. A et B sot idépedats SI et SEULEMENT SI 1. P(A B) = P(A) P(B) 2. P(B A) = P(B) 3. P(A B) = P(A) Doc deux évèemets sot idépedats si et seulemet si la réalisatio de l u iflue e rie sur la réalisatio de l autre. ATTENTION : L idépedace et l icompatibilité sot deux otios totalemet différetes! La propositio suivate e apporte ue preuve. Propositio 5 Si A et B sot des évèemets icompatibles, chacu de probabilité o ulle alors ils e sot pas idépedats. Démostratio. A et B sot icompatibles c-à-d A B= /0 et doc P(A B) = 0. Or A et B sot de probabilité o ulle doc P(A) P(B) 0 et doc P(A) P(B) P(A B) c-à-d A et B e sot pas idépedats (ou ecore A et B sot dépedats). 3

4 1.5 Variables aléatoires Défiitio Défiitio 9 Soit (Ω,A,P) u espace de probabilité. Ue variable aléatoire X est ue foctio de Ω das R telle que, pour a,b R et a b, o a X 1 ([a,b]) = {ω Ω tels que X(ω) [a,b]} est u élémet de A. Das otre cas ous auros jamais à vérifier la coditio car ous e cosidèreros que des variables aléatoires classiques dot o admettra qu elles vérifiet la coditio. Exemple 7 Pour l expériece pile ou face", Ω = {p, f }, o peut cosidérer la variable aléatoire X défiie par X( f ) = 0 et X(p) = 1. Pour l expériece aléatoire 2 lacers de dé" (ou lacer de 2 dé" c est la même chose) o a Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...,(6,5),(6,6)} soit 36 élémets tels que (i, j) sigifie i est le résultat du premier lacer, j est le résultat du secod". O peut alors défiir de ombreuses variables aléatoires, par exemple la variable X défii par X(i, j) = i + j, somme des résultats des 2 lacers (ou des 2 dés). la variable Y défii par Y (i, j) = i j l écart etre les résultats des deux lacers. Notatios : Pour a,b R, a b, a ou b évetuellemet ifii, o défiit X 1 ([a,b]) = {ω Ω tels que X(ω) [a,b]} = {ω Ω tels que a X(ω) b} l esemble des élémets de Ω tels que X(ω) est compris etre a et b. O ote aussi cet esemble par {a X b}. Si a = o ote alors cet esemble par {X b} et si b = + par {X a}. Si a = b o ote {X = a} l esemblr des ω tels que X(ω) = a. O omet parfois les accolades. A partir de toute variable aléatoire X o va défiir ue probabilité sur u espace probabilisable dot l uivers est R. Comme R est ifii la questio du choix d ue tribu A se pose car, pour des raisos que l o e peut exposer ici, o e peut pas predre P(R) tout etier. O défiit la tribu B composée de tous les sous-esembles de R obteus par ue suite, évetuellemet ifiie, d itersectios, de réuio ou de passage au complémetaire sur des itervalles de type [a,b]. B est appelé l esemble des borélies. Défiitio 10 Soit X ue variable aléatoire défiie sur l espace de probabilité (Ω,A,P). O défiit alors ue loi de probabilité P X sur l espace probabilisable (R,B) par P X ([a,b]) = P(X 1 ([a,b]). (R,B,P X ) est alors u espace de probabilité. Par les otatios précédetes o a doc P X ([a,b]) = P(a X b) et o dit probabilité pour que la valeur de X soit comprise etre a et b". P X est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X ou plus simplemet loi de X Détermiatio de la loi d ue variable aléatoire Foctio de répartitio Défiitio 11 Soit X ue variable aléatoire défiie sur l espace de probabilité (Ω, A, P). La foctio de répartitio de X est la foctio F X : R R défiie, pour tout x R, par F X (x) = P(X x) Propositio 6 (Propriétés de la foctio de répartitio) 1. F X ( ) := lim F X(x) = 0 x 2. F X (+ ) := lim F X(x) = 1 x + 3. F X détermie complètemet P X. Exemple 8 Pour X défiie par X( f ) = 0 et X(p) = 1 das l expériece pile ou face" o a F X (x) = 0 si x < si 0 x < 1 1 si x 1 4

5 Foctio de desité Pour la prochaie otio ous avos besoi d u peu plus de vocabulaire de théorie des esembles. U esemble déombrable est u esemble ifii mais que l o peut éumérer, c-à-d où chaque élémet peut-être étiqueté" par u ombre etier. U esemble déombrable est doc de la forme {ω 1,ω 2,ω 3,...,ω k,...}. U esemble discret est soit u esemble fii, soit u esemble déombrable. Si u esemble ifii est pas déombrable o dira qu il est cotiu. Si toutes les valeurs possibles que peut predre ue v.a. doée X formet u esemble discret o dira que X est ue variable aléatoire discrète. Sio o dit que X est ue variable aléatoire cotiue (c-à-d que X peut predre ue ifiité o déombrable de valeurs). Exemple 9 Les v.a. décrites à l exemple 7 sot toutes discrètes. Si o cosidère pour uivers tous les étudiats de l uiversité de Metz et que l o cosidère la v.a. qui à tout étudiat associe so sexe (codé 1 pour u homme, 2 pour ue femme), c est ecore ue v.a. discrète puisque les seules valeurs possibles sot 1 ou 2. Toujours sur les étudiats, la v.a. qui à chacu associe leur performace sur ue course de 100m est cotiue, e effet ue valeur possible est 12 s mais ue autre est 12 s 3 dixièmes, ue autre 12 s 3 dixièmes 6 cetièmes, ue autre 12 s 3 dixièmes 6 cetièmes 5 millièmes, etc. O suppose évidemmet, de faço irréaliste, que l o dispose d u chroomètre de précisio ifiie. De faço plus réaliste o sera souvet obligé de discrétiser ue telle variable. E effet si o dispose d u chroo précis au cetième et e supposat que persoe e mette plus de 30s à courir le 100m, la v.a. e pourra au plus que 3000 valeurs différetes. Et doc ue v.a. discrète. Si X est ue v.a. discrète fiie c-à-d si X e peut predre qu u ombre fii de valeurs distictes. O ote x 1,x 2,...,x ces valeurs. O a alors Ω = {X = x i } et {X = x i } {X = x j } = /0 si i j (e effet ω {X = x i } X(ω) = x i. Doc X(ω) x j puisque x i x j et doc ω {X = x i }). Doc les {X = x i } pour i allat de 1 à formet ue famille d évèemet deux à deux icompatibles. O a doc 1 = P(Ω) = P( {X = x i }) = P(X = x i ) Défiitio 12 Soit X ue v.a. discrète fiie sur l espace de probabilité (Ω,A,P). Soiet x 1,x 2,...,x les valeurs distictes pouvat être prises par X. { P(X = xi ) si x = x La foctio f X (x) = i pour u i etre 1 et s appelle foctio de desité de la v. a. X. 0 si x x i pour tous les i etre 1 et Propositio 7 Avec les otatios de la défiitio précédete o a et doc f X défiie complètemet P. P(X x) = F X (x) = f X (x i ) = P(X = x i ) i t. q. x i x i t. q. x i x Si X est ue v.a. discrète ifiie (déombrable) formules e remplaçat par +. Avec u peu de précautios o peut défiir les mêmes otios et écrire les mêmes Si X est ue v.a. cotiue Défiitio 13 Soit X ue v. a. discrète sur l espace de probabilité (Ω,A,P). S il existe f X telle que P(X x) = F X (x) = x f X (u) du o dit que f X est la foctio de desité de X. ATTENTION : Il existe des v. a. cotiues dot la foctio de répartitio e peut pas être défiie par ue foctio de desité Espérace et variace CAS d ue v.a. discrète CAS d ue v.a. cotiue Défiitio 14 Soit X ue v.a. discrète fiie sur l espace de probabilité (Ω,A,P). Soiet x 1,x 2,...,x les valeurs distictes pouvat être prises par X. E (X) = de X. Var(X) = x i f X (x i ) = (x i E (X)) 2 f X (x i ) = est appelée variace de X. x i P(X = x i ) est appelée espérace (x i E (X)) 2 P(X = x i ) Défiitio 15 Soit X ue v.a. cotiue sur l espace de probabilité (Ω,A,P), admettat ue foctio de desité f X. E (X) = Var(X) = X. + + x f X (x) dx est appelée espérace de X. (x E (X)) 2 f X (x) dx est appelée variace de Das tous les cas l écart-type est la racie carrée de la variace. 5

6 1.6 Lois de probabilités usuelles Lois discrètes Loi équiprobable Ue variable aléatoire discrète fiie X preat les valeurs distictes x 1,...,x est de loi équiprobable si, par défiitio, P(X = x k ) = 1 Pour tous les k = 1,...,. Exemple type O lace u dé équilibré à faces et X est la variable aléatoire qui vaut le ombre de poit idiqué sur la face supérieure. Paramètres Loi de Beroulli Espérace : E (X) = 1 x k k=1 Variace : Var(X) = 1 k k=1x ( x k ) 2 k=1 Ue variable aléatoire discrète fiie X est de loi de Beroulli de paramètre p, (0 p 1) si, par défiitio, X pred les valeurs 0 ou 1 et P(X = 1) = p et P(X = 0) = (1 p) = q. Exemple type O lace ue pièce truquée dot la probabilité de pile est p et X est la variable aléatoire qui vaut 1 pour pile et 0 pour face. Autre exemple type O tire ue boule das ue ure coteat 1 boules gagates et 2 boules perdates et X est la variable aléatoire qui vaut 1 pour ue boule gagate et 0 pour ue boule perdate. O ote alors p = P(X = 1) = et q = P(X = 0) = Paramètres Espérace : E (X) = p Variace : var(x) = p(1 p) = pq Loi Biomiale Ue variable aléatoire discrète fiie X est de loi Biomiale de paramètre et p, (0 p 1) si, par défiitio, X pred les valeurs k = 0,1,..., et P(X = k) = C k p k (1 p) k Pour tous les k = 0,1,...,.. où C k =! est le ombre de possibilité de choisir k élémets parmi. k!( k)! Exemple type O tire boules (avec remise) das ue ure coteat 1 boules gagates et 2 boules perdates et X est la variable aléatoire qui compte le ombre de boules gagates. O ote alors Notatio X est de loi B(, p). Paramètres Loi Hypergéométrique Espérace : E (X) = p Variace : var(x) = p(1 p) = pq p = et q = (1 p) = Ue variable aléatoire discrète fiie X est de loi Hypergéométrique de paramètre et 1, 2 si, par défiitio, X pred les valeurs k = 0,1,..., et P(X = k) = Ck 1.C k 2 C Pour tous les k = 0,1,..., Exemple type O tire boules (sas remise) das ue ure coteat 1 boules gagates et 2 boules perdates et X est la variable aléatoire qui compte le ombre de boules gagates. O ote alors Notatio X est de loi H(; 1, 2 ). Paramètres Espérace : E (X) = = p N = 1 + 2, p = Variace : var(x) = N N 1 1 N (1 1 N ) = N p(1 p) N 1 6

7 1.6.2 Loi discrètes ifiies (Déombrables) Loi de Poisso Ue variable aléatoire discrète X est de loi de Poisso de paramètre λ > 0, si, par défiitio, X pred toutes valeurs k N et P(X = k) = e λ λ k Pour tous les k N. k! Exemple type : File d attete X est la variable aléatoire qui compte le ombre d idividu se présetat das u edroit doé pedat u temps doé. Notatio X est de loi P(λ). Paramètres Loi cotiue Loi ormale Espérace : E (X) = λ Variace : var(x) = λ Ue variable aléatoire cotiue X est de loi Normale de paramètre µ et σ, si, par défiitio, X pred toutes valeurs x R et sa foctio de desité est ( ) f X (x) = 1 1 x µ 2 σ 2π e 2 σ. O l appelle aussi Loi de Gauss ou Loi de Laplace-Gauss. Sa foctio de desité est appelée gaussiee. Notatio X est de loi N (µ, σ). Paramètres Espérace : E (X) = µ Variace : Var(X) = σ 2 Ecart-type : σ(x) = σ Défiitio 16 La loi ormale cetrée réduite, otée N (0,1), est la loi ormale de paramètre µ = 0 et σ = 1 ; sa foctio de desité est f (x) = 1 e 1 2 x2. 2π. Propositio 8 Si X est ue variable aléatoire de loi N (µ,σ) alors la variable aléatoire Z = X µ σ est de loi N (0,1). Foctio de répartitio de N (0,1) Si la variable aléatoire Z est de loi N (0,1) sa foctio de répartitio est F Z (x) = P(Z x) = 1 2π x e 1 2 x2 dx. Elle représete l aire sous la courbe de la foctio de desité f Z etre et x. FIG. 1.1 Graphe de la desité gaussiee et aire représeté par la foctiuo de répartio Cette foctio de répartitio état très difficile à calculer, o trouve sa valeur das ue table : Remarque 3 Si Z est ue variable aléatoire de loi N (0,1) 1. P(Z > α) = 1 F(α) ; 2. P(α < Z β) = F(β) F(α) ; 3. P( Z > α) = 2(1 F(α)) ; 7

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