Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

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1 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre par récurrece que u < pour 0 E effet c est vrai pour 0 et si o suppose que pour u etier 0, o a u <, alors () u + u u u <, car u 0 < u Et doc l hypothèse de récurrece est vraie au rag + ) Quel est le sige de u pour 0? Pour 0, o a u + (u )u D après la questio précédete, o a u < et doc u < 0 O e déduit que u + a le sige opposé à u Comme u 0 > 0, o e déduit par récurrece que pour 0, u a le sige de ( ) 3) Motrer que la suite ( u ) est décroissate C est la coséquece de () 4) La suite ( u ) coverge-t-elle? Quelle est sa limite? Mêmes questios pour la suite (u ) La suite ( u ) est décroissate (questio précédete) et est miorée par 0 O e déduit qu elle coverge vers l R Comme 0 u < et que cette suite est décroissate sa limite l est das [0, [ O remarque maiteat qu o a u + f ( u ) avec f (x) x( x ) cotiue, o déduit par passage à la limite que f (l) l, d où l 0 Doc ( u ) coverge vers 0 O e déduit que (u ) coverge vers 0 aussi 5) Motrer que u est jamais ul et que lim u + u O motre par récurrece que (u ) e s aule pas E effet u 0 0 et si pour u etier 0, o a u 0, alors u + (u )u 0 car u < u 0 O a pour 0, u + u u Calcul de limite ) Soit u etier positif ou ul et 0 < x <, o pose f (x) a) Motrer que pour x ]0, [, f (x) x+ x x k

2 O calcule x f (x) x k+ + k x k + f (x) + x + O e déduit l égalité ( x) f (x) x + et pour x, () f (x) x+ x b) E écrivat le développemet limité de f au voisiage de x à l ordre, motrer les égalités ( + ) ( + )( + ) k, k O pose x + u D ue part, le développemet limité de f ( + u) est la somme des développemet limités de ( + u) k, pour k 0,, Comme o a ( + u) k + ku + k(k ) u + O(u 3 ), o e déduit f ( + u) + k u + k(k ) u + O(u 3 ) D autre part par (), o a f ( + u) ( + u)+ ( + ( + )u + ( + )u / + ( + )( )u 3 / + O(u 4 )) u u ( + ) ( + )( ) ( + ) + u + u + O(u 3 ) Par uicité du développemet limité de f e x, o obtiet e idetifiat ( + ) k(k ) ( + )( ) +, k, k La première égalité e ous appred rie La secode correspod à la première égalité demadée das l éocé Efi e multipliat la derière égalité par et e ajoutat la deuxième, o a ( + )( ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) k k(k )+ k + (( )+3), 3 qui est l égalité souhaitée ) Motrer que : x > 0, x x < l( + x) < x Pour u > 0, o a u < + u < O obtiet les iégalités souhaitées e itégrat sur l itervalle u [0, x] 3) E déduire la limite de la suite u Les élémets de la suite (u ) sot clairemet strictemet positifs O peut doc écrire l u l + k

3 O utilise les iégalités de la questio précédete avec x k/, k 0,,, o e déduit k k k l u Les égalités établies au )b) coduiset à + 4 ( + )( + ) 3 l u + Les deux extrémités de l ecadremet coverget vers / quad ted vers l ifii, doc (l u ) coverge vers / et e appliquat la foctio cotiue x exp x, o coclut que la suite (u ) coverge vers exp(/) e 3 Covergece de séries Étudier la covergece des séries de terme gééral a) e +, b) ( + ) / /, c), d) ( ) l, e) ( ), f) ( ) + ( ) a) O calcule le développemet limité e + e exp l + e exp e e exp ( ) + O e e + O ( + O ( ) 3 e exp ( ) + O ) e ( ) + O Comme la série de terme gééral (/) diverge et que la série de terme gééral (/ ) est absolumet covergetre o e déduit que la série diverge comme somme d ue série divergete et d ue série covergete b) E otat que les quatités (l )/ et (l( + )/) tedet vers 0 quad ted vers l ifii, o calcule a ( + ) / / exp l( + ) exp l l( + ) l( + ) + + O + l + O l l( + /) l( + ) + O O l + O l( + ) + O 3 O l + O l( + ) 3

4 Le premier terme (/ ) est le terme gééral d ue série covergete De même le terme restat doe ue série absolumet covergete E effet la suite (l( + )/ /4 ) coverge vers 0 et doc il existe ue costate C telle que Doc, l( + ) C /4, l( + ) dot la somme coverge c) Il s agit d ue série géométrique de raiso a / satisfaisat a < La série est doc covergete (sa somme est ) d) et e) Les séries coverget par critère spécial des séries alterées E effet les suites (/ l ) et (/ ) sot positives décroissates et tedet vers 0 f) La suite (/( + ( ) )) est pas décroissate, le critère spécial des séries alterées e s applique doc pas O utilise u développemet limité de la foctio x /( + x) au, poit x 0 pour calculer Doc + ( ) + ( ) ( ) + ( ) C 3/ ( ) + O ( ) + O 3/ ( ) + O 3/ Le premier terme est le terme gééral d ue série covergete (par e) ) Le secod terme est le terme gééral de la série harmoique qui est divergete Efi le derier terme est le terme gééral d ue série covergete car / α est covergete pour α > Au fial la série est divergete 4 Moyee de Cesàro Soit (u ) 0 R ue suite covergeat vers l R ) Rappeler la défiitio de la covergece O dit que (u ) R coverge vers ue limite l R si pour tout ε > 0, il existe u etier 0 0 tel que pour tout etier > 0, o a u l < ε ) Motrer que la suite (u ) est borée, ie : il existe M 0 tel que : N, u M La suite (u ) état covergete, o peut lui appliquer la défiitio précédete avec ε Il existe l R et u etier 0 0 tel que pour > 0, o ait u l < E particulier, > 0 u l + Il y a u ombre fii d etiers positifs 0 O e déduit que la suite u est borée par M max{ u 0, u,, u 0, l + } 3) Pour 0, o pose s u 0 + u + + u Motrer que la suite (s ) coverge vers l + 4

5 D où Soit ε > 0 Il existe 0 tel que pour k > 0 o ait u k l < ε Ceci état dit o a pour > 0, s l s l u 0 + u + + u + ( + )l + (u 0 l) + (u l) + + (u l) + + ( u 0 l + u l + + u l ) + ( u 0 l + u l + + u 0 l ) + + ( u 0 + l + u 0 + l + + u l ) Das la première somme, o majore u k l par M + l, pour k 0,, 0 Das la secode somme, o a k > 0 et o peut utiliser u k l < ε D où s l ( 0 + )(M + l ) + + ( 0)ε + et le membre de droite est majoré par ε pour assez grad ( 0 + )(M + l ) + + ε 5 Développemet de Taylor Soit f : R R de classe C O suppose que f et f sot borées, c est-à-dire qu il existe α, β 0 tels que x R, f (x) α et f (x) β ) Motrer que : h > 0, x R, f (x) α h + βh Soiet x R et h > 0, o applique la forme de Taylor Lagrage à l ordre à f etre les poits x et x + h Il existe c ]x, x + h[ tel que d où f (x + h) f (x) + f (x)h + f (c)h, f (x + h) f (x) f (x) h E utilisat les bores sur f et f, o e déduit f (x) α h + hβ f (c)h ) Pour quelle valeur de h obtiet-o la meilleure iégalité? O cherche h > 0 tel que le membre de droite de l iégalité précedete soit miimal O pose g(h) α/h + hβ/ Ue étude succite de la foctio g idique qu elle atteid so miimum e h α/β Ce miimum vaut alors αβ Calcul de sommes ) Calculer la somme de la série k(k + ) Il suffit d écrire k k(k + ) k k +, 5

6 o e déduit pour, k k(k + ) k + k k +, et la somme coverge vers quad teds vers l ifii ) O admet que k π Calculer la somme de la série de terme gééral O ote que k + k k k + (k + ) k(k + ) k + (k + ) k π / Et e utilisat la questio ), o coclut k + (k + ) π k(k + ) π 3 3 k 3) Déduire de la questio précédete la valeur de la somme k (k + ) k Il suffit de développer le terme gééral de la série de la questio précédete : La questio ) etraîe alors k k + (k + ) k(k + ) k (k + ) k k (k + ) π 3 3