Cours sur les fonctions usuelles

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1 Cours sur les fonctions usuelles c Emmanuel Vieillard Baron, Table des matières Préambule Fonctions logarithmes, eponentielles et puissances. Logarithme néperien Eponentielle néperienne Logarithme de base quelconque Eponentielle de base a Fonctions puissances Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et eponentielles.... Fonctions circulaires réciproques. Rappels succints sur les fonctions trigonométriques Fonction Arcsinus Fonction Arccosinus Fonction Arctangente Formulaire de trigonométrie réciproque[hors Programme] Fonctions hyperboliques. Définitions et premières propriétés Sinus et Cosinus hyperboliques Tangente hyperbolique Formulaire de trigonométrie hyperbolique Fonctions hyperboliques inverses Fonction argument sinus hyperbolique argsh Fonction Argument cosinus hyperbolique argch Fonction Argument tangente hyperbolique argth Epression à l aide du logarithme Fonction eponentielle complee 6 Proposition Propriétés du logarithme). n a :,y) R + ) lny) = ln + lny + ln/) = ln ),y) R + ) ln = ln lny y + n Z ln n = n ln Proposition Limites au bornes du domaine de définition). ln + et ln + Définition Nombre de Neper). Il eiste un unique réel noté e et appelé nombre de Néper tel que ln e =. Proposition 5. n a : ln + ln + ln) ln + ) Proposition 6 Inégalité de conveité). n a : Préambule n suppose ici connue les propriétés élémentaires liées à la dérivabilité des fonctions réelles d une variable réelle. Ces propriétés seront redémontrées au chapitre??. n admet aussi le résultat suivant, qui lui aussi sera redémontré au chapitre??. ],+ [ ln + ) Proposition. Soit f une application dérivable sur un intervalle I de R et qui possède une dérivée strictement positive sur I respectivement strictement négative) alors : f est bijective. Sa réciproque g est dérivable sur J. Pour tout point a de I et b = fa), on a : g b) = fa). Fonctions logarithmes, eponentielles et puissances. Logarithme néperien e 5 ln) + Rappelons que toute fonction continue sur un intervalle I de R possède une primitive. n pourrait montrer, mais c est difficile, que l on ne peut eprimer avec les fonctions usuelles, sur primitive sur R + de la fonction. Définition Logarithme népérien). n appelle logarithme népérien et on note ln l unique primitive s annulant en de la fonction / définie sur R +. ln) = Proposition. ln est continue sur R +. ln est dérivable sur R + et : ln : R + R + ln est C a sur R +. ln est strictement croissante et concave. dt t ln = a n dit qu une fonction est C sur un intervalle I de R si elle est dérivable et si toutes ces dérivées sont dérivables. Ces dérivées sont donc toutes continues) Corollaire. Soit u : I R + une fonction dérivable où I est un intervalle de R. La fonction lnu)) est dérivable sur I de dérivée, pour tout I : ln u)) = u ) u). Eercice La tangente en e,) passe par l origine du repère.. Eponentielle néperienne Proposition 7 Eponentielle néperienne). La dérivée de la fonction logarithme néperien ln est strictement positive sur R +. ln défini donc une bijection de R + sur son image R. L application réciproque est appelée fonction eponentielle néperienne et notée ep. n a : ep : R R + y ep y y R + ln epy) = y epln ) = ep est continue sur R. ep est dérivable sur R de dérivée égale à elle même : ep est C sur R. ep = ep

2 Corollaire Quelques conséquences immédiates). ep est une fonction strictement croissante de R dans R + et telle que,y) R R + En particulier ep est strictement positive). ep réalise une bijection de R dans R +. n a : ep) = ep) = e y = ep) = ln y Proposition 8 Propriétés de la fonction eponentielle).,y R ep + y) = ep )epy) ep ) = ep,y R ep y) = ep) epy) n Z epn) = ep) n Proposition. La fonction log a est de classe C sur R + et on a : + log a) = lna Si a ];+ [, log a est strictement croissante et concave). Si a ];[, log a est strictement décroissante et convee).. Eponentielle de base a Définition Eponentielle de base a). Soit a R + \ {}. La fonction log a, si a ];+ [ resp. si a ];[) a une dérivée strictement positive resp. strictement négative sur R +). log a définit donc une bijection de R + sur R. n appelle eponentielle de base a, et on note ep a, la fonction définie de R dans R + comme application réciproque de log a : n a : ep a : R R ep lna) D après la formule, epn) = ep.n) = e n. n conviendra de noter pour tout R, e = ep). y R + ln a ep a y) = y ep a ln a ) = Proposition 9 Limites au bornes du domaine de définition). Proposition. n a : Proposition. n a : ep et ep + + ep ep + + ep + ep Proposition. Soit a R + \ {} : ep a ) = ep lna)) Proposition 5. Soit a R + \ {}. Alors : ep a = ep a = a,y R ep a + y) = ep a )ep a y),y R ep a y) = ep a ) ep a y) ep a ) = ep a n Z ep a n) = ep a ) n Notation S inspirant de la dernière égalité de la propriété précédente, si a R + \ {} et si R, on notera a = ep a ) = ep lna) e 5 ln) + ep) n retrouve la notation précédente ep = e. Remarquons aussi que = ep ln) =. Avec ces notations, la propriété précédente devient : Proposition 6. Soient a,b R +. Alors :,y R,y R a +y = a a y a y = a a y a = a ab) = a b a b ) = a b. Logarithme de base quelconque Définition Logarithme de base a). Soit a un réel strictement positif et différent de : a R + \{}. n appelle logarithme en base a et on note log a la fonction définie par : log a : R + R ln ln a Si a =, on obtient le logarithme décimal qu on note log. Si a = e, log a = ln. Eercice Soit n N. Le nombre de chiffres nécessaire pour écrire n en base est égale à la partie entière de + log n. a < a < a < a Proposition. Soit a R + \ {}. Alors : log a = log a a =,y R + +,y R + log a y) = log a + log a y log a /) = log a ) log a = log y a log a y.5 Fonctions puissances Notation Pour R + et y R, on définit y par : y = ep y ln ) + n Z log a n = n log a

3 Définition 5 Fonction puissance). Soit a R. n appelle fonction puissance d eposant a, la fonction définie sur R + par : ϕ est la fonction constante égale à. ϕ = Id. ϕ a : R + R a Proposition. Les fonctions sin, cos et tan sont C sur leur ensemble de définition et : n N sin n) = sin + n ) n N cos n) = cos + n ) ) \ + Z tan = + tan = cos Proposition 7. n a : = a R a = + a,b R a+b = a b + a R a = / a,y R + a R y) a = a y a + a,b R a ) b = ab + a R ln a ) = a ln Proposition 8. Soit a R. La fonction ϕ a : a définie sur R + est : continue sur R +. dérivable sur R + et : + ϕ a ) = a a C sur R +. Si a >, ϕ a est croissante et si a <, ϕ a est décroissante. Si a > ou si a <, ϕ a est convee et si < a <, ϕ a est concave. cos Si a >, on peut prolonger ϕ a par continuité en en posant ϕ a ) =. Si a >, ϕ a est même dérivable en : ϕ a ) =. Si < a <, ϕ a) + et le graphe de ϕ a possède donc une tangente verticale à l origine. Proposition 9. Soit a R. Alors : + si a > a si a = + si a < et a si a > si a = + si a < sin 5 5 / Attention Pour dériver une fonction de la forme w) = u) v) là où elle est définie et dérivable...), il faut au préalable la mettre sous la forme w) = ep v) lnu))) puis utiliser la formule de dérivation des fonctions composées. A titre d eercice, on essaiera de montrer que : Eercice w ) = w) v ) lnu)) + v) u ) u).6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et eponentielles Proposition. Soient α, β, γ >. Alors : ln) γ β + β ln γ ). Fonction Arcsinus Proposition Fonction arcsinus). La fonction sinus a une fonction dérivée strictement positive ] ; [. Elle définit donc une bijection de [ ; ] sur [;]. La bijection réciproque est appelée fonction arcsinus et est notée arcsin : n a : arcsin : [,] [ ; ] y arcsin y y [,] [, ] arcsin est strictement croissante sur [,]. arcsin est impaire. arcsin est continue sur [,]. arcsin est dérivable sur ],[ et : ],[ arcsin = sinarcsin y) = y arcsin sin ) =. arcsin est C sur ],[. arcsin réalise une bijeion de [,] dans [ /,/] arcsin sin Corollaire. Soient α, β, γ >. Alors : e α β + + β e α Fonctions circulaires réciproques. Rappels succints sur les fonctions trigonométriques Commençons par un rappel sur les fonctions trigonométriques :

4 . Fonction Arccosinus Proposition Fonction arccosinus). La fonction a une fonction dérivée et strictement négative sur sur ];[. Elle définit donc une bijection de [;] sur [; ]. La bijection réciproque est appelée fonction arccosinus et est notée arccos : arccos : [,] [,] y arccos y n a : y [,] [,] cos arccos y) = y arccos cos ) = tan arccos est strictement décroissante sur [, ]. arccos est continue sur [,]. arccos est dérivable sur ],[ et : ],[ arccos = Arctan arccos est C sur ],[. arccos réalise une bijection de [,] dans [,].5 Formulaire de trigonométrie réciproque[hors Programme] Proposition 5. n a : [,] sin arcsin ) = cos arcsin ) = ],[ tanarcsin ) = [,] cos arccos ) = sin arccos ) = [,] \ {} tan arccos ) = tanarctan ) = cos arctan ) = + sin arctan ) = + arccos cos Proposition 6. n a : [,] arcsin + arccos = arctan + arctan = { si > si < Fonctions hyperboliques. Définitions et premières propriétés.. Sinus et Cosinus hyperboliques Définition 6 Sinus et Cosinus hyperboliques). n définit les fonctions sinus hyperbolique sh et cosinus hyperbolique ch sur R par : ch : R R e + e et sh : R R e e Toute fonction f : I R R se décompose de manière unique en la somme d une fonction paire et d une fonction impaire :. Fonction Arctangente Proposition Fonction arctangente). La fonction artangente a une fonction dérivée strictement positive sur ] ; [. Elle définit donc une bijection de [ ; ] sur R. La bijection réciproque est appelée fonction arctangente et est notée arctan : arctan : R R y arctan y n a : ], [ arctan est strictement croissante sur R. arctan est impaire. arctan est continue sur R. arctan est dérivable sur R et : tan arctan ) = arctan tan ) = arctan = + arctan est C sur R. arctan réalise une bijection de R dans ] /,/[. I f) = f) + f )) + f) + f )) et f) + f )) est paire, f) + f )) est imapire. Les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sont respectivement la partie paire et la partie impaire de la fonction eponentielle dans cette décomposition. Proposition 7. n a : ch + sh = e ch sh = e ch sh = Proposition 8. ch est sh sont de classe C sur R et : ch = sh et sh = ch Proposition 9. sh est impaire, strictement croissante et s annule en. ch est paire et strictement positive. n a : ch + et ch + + sh + + et sh

5 6 5 sh ch Proposition. n a : ch + sh = e ch sh = e ch sh = Proposition. n a :,y) R ch + y) = ch chy + sh shy ch y) = ch chy sh shy sh + y) = sh chy + ch shy sh y) = sh chy ch shy Proposition. n a : ch = ch + sh = ch = + sh sh = sh ch Proposition 5. n a :,y) R ch ch y = [ch + y) + ch y)].. Tangente hyperbolique 6 Définition 7 Tangente hyperbolique). La fonction tangente hyperbolique, notée tanh, est définie sur R par : tanh : R R sh ch Bien définie car la fonction ch est strictement positive sur R. Proposition. tanh est de classe C sur R et : Proposition. tanh est impaire. n a : tanh = tanh = ch tanh + et tanh Proposition 6. n a :,y) R Proposition 7. n a :,y) R sh shy = [ch + y) ch y)] sh chy = [sh + y) sh y)] ch = ch + ) sh = ch ) ch + ch y = ch + y ch y ch ch y = sh + y sh y sh + shy = sh + y ch y sh shy = sh y ch + y th + thy th + y) = + th thy th thy th y) = th thy th ± Proposition 8. Pour tout R, posant t = th, on a : th = t + t sh = t t ch = + t t. Fonctions hyperboliques inverses.. Fonction argument sinus hyperbolique argsh. Formulaire de trigonométrie hyperbolique Proposition 9 Fonction argument sinus hyperbolique). La fonction sinus hyperbolique est de dérivée strictement positive sur R. Elle définie donc une bijection de R sur son image : R. L application réciproque est appelée argument sinus hyperbolique et notée argsh : n a : argsh : R R y argsh y sh t argsh est continue sur R. H + = {,y) : y argsh est dérivable sur R et : = } H = {,y) : y = } sh argsh ) = argsh sh ) = argsh = + ch t argsh est C sur R. Proposition. argsh est strictement croissante sur R. argsh réalise une bijection de R dans R. argsh est impaire. n a : argsh + + et argsh

6 Proposition. n a : argsh = ln + ) + Argsh sh.. Fonction Argument tangente hyperbolique argth Proposition 5 Fonction Argument tangente hyperbolique). La fonction tangente hyperbolique est sa dérivée strictement positive sur R. Elle définit donc une bijection de R sur son image ],[. L application réciproque est appelée Argument tangente hyperbolique est est notée argth. n a : argth : ],[ R y argth y ],[ t R argth est continue sur ],[. argth est dérivable sur ],[ et : tanhargth ) = argth tanht) = t.. Fonction Argument cosinus hyperbolique argch Proposition Fonction Argument cosinus hyperbolique). La fonction cosinus hyperbolique est de dérivée strictement positive sur R +. Elle définie donc une bijection de R + sur son image [,+ [. L application réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée argch. n a : argch : [,+ [ R y argch y [,+ [ t R + argch est continue sur [,+ [. argch est dérivable sur ],+ [ et : ch argch ) = argch cht) = t argth est C sur ],[. ],[ argth = Proposition 6. argth est strictement croissante sur ], [. argth réalise une bijection de ],[ dans R. argth est impaire. n a : argth + et argth Proposition 7. n a : ],[ argth = ) + ln ],+ [ argch = argch est C sur ],+ [. Proposition. argch est strictement croissante sur [, + [. argch réalise une bijection de ],+ [ dans R. n a : argch + + Proposition. n a : argch = ln + ) th Argth. Epression à l aide du logarithme 5 Fonction eponentielle complee Définition 8. Soit I un intervalle de R et f une application de I dans C de parties réelle et imaginaire et y : t I f t) = t) + iy t) Argch ch Si t I, on dit que f est dérivable en t lorsque et y le sont. Si tel est le cas, on définit f t ) par : f t ) = t ) + iy t ) Proposition 8. Soit ϕ une fonction définie et dérivable de I dans C. la fonction f définie sur I par : t I f t) = e ϕt) est dérivable sur I et : t I f t) = ϕ t)e ϕt)