EXERCICES PRIMITIVES ET CALCUL INTÉGRAL Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako ; 16 )

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1 EXERCCES PRMTVES ET CALCUL NTÉGRAL Sit MathsTCE d Adama Traoré Lycé Tchiqu Bamako EXERCCE : Trouvr u primitiv d chacu ds foctios f défiis par ) f () 6 ; ) f () ) f () 9 ; ) f () 7 ) f () ( )( ) ; 6 ) f () (6)( ) 7 ) f () ( ) 6 ; 8 ) f () ( ) 9 ) f () 7 ( ) ; ) f () ( ) ) f () ( ) 7 ; ) f () ( ) ) f () ( ) ; ) f () ( ) 6 ) 7 ) 9 ) ) f ( ) ; 6 ) ( ) ( ) f ; 8 ) ( ) f ; ) ( ) ( ) ( ) f ; ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) Ercics Primitivs Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu ( 9) f ( ) f ( ) ) f ( ) ; ) f ( ) ) 7 ) 9 ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ; 6 ) f ( ) ( 7 ) ( 7) cos f ( ) ; 8 ) f ( ) si cos si si f ( ) ; ) f ( ) cos si cos f ( ) si ; ) f ( ) si( ) f ( ) cos ; ) f ( ) cos(6 ) ) ) ) f ( ) cos 6si si cos ; ) f ( ) cos 6 ) f ( ) si cos si(6 ) ; 7 ) f ( ) si 6

2 EXERCCE : - Calculr ls itégrals suivats A ( ) d ; B ( )( 6 ) d ; K ( ) C d ; D d ) d 6 E d ; T ) ( ; ( F d ; ( ) cos G ( ) d ; J d si L si cos d ; ( ) d ; K N ; P d ; D 6 d ; L ( ) l d ta ( ) d ; H ( ) d ta( ) d l Q d ; R co( ) d V d ; d ; U ( ) d ; K ( ) d W ; X cos ( si ) d ; W ta( ) d cos( ) ( ) d ; J ( ) d ; 6 L d ; L d ; ( ) A d ; B ( ) d ; E cos d ; K si d ; M cos si d ; d N ; P d ; 6 S cos (cos ) d ; d T ; Q ( ) d ; ( ) P d ; K ( ) d D ( ) d ; T ( ) d ; ( ) 6 7 G d ; U si t cost dt ; Y ( ) d ; Z l d EXERCCE : E utilisat la formul d itégratio par partis calculr ls itégrals K si d ; J d ; M ( ) d ; d P ( ) d ; T l t dt ; S d P l d ; C d ; l H d ; ( ) F t l t dt ; cos d ; t H t dt ; ( ) J t t sit dt ; cos(l ) R d ; V si () d K cos() d ; J ( ) d ; l ; K si d Ercics Primitivs Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

3 EXERCCE : Soit la foctio f défii par f ( ) ) Trouvr ls réls a ; b t c tls qu ( ) 7 f ( ) a b ) Trouvr la primitiv F d f prat la valur ) E déduir f ( ) d c ( ) EXERCCE : Soit Soit la foctio f défii par ) Trouvr ls réls a t b tls qu ) E déduir f ( ) d f ( ) f ( ) a 6 ( ) b ( ) EXERCCE 6: f ( ) ) Soit la foctio f défii par ( ) a a) Trouvr ls réls a t b tls qu pour tout -, f ( ) d ) b) E déduir l calcul d ( b ( ) ) Soit la foctio g défii par g ( ) ( ) a) Trouvr ls réls a, b t c tls qu pour tout, J d ) b) E déduir l calcul d ( g ( ) a b c ) Soit la foctio f défii par f ( ) a) Détrmir l smbl d défiitio d f b) Trouvr ls réls a t b tls qu, a b f ( ) K d c) E déduir l calcul d Ercics Primitivs Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

4 EXERCCE 7: ) O pos ( )cos d t J ( )si d a) Calculr J puis J b) E déduir ls valurs d t d J ) Détrmir ls réls a ; b t c tls qu pour tout rél strictmt a b c positif o ait : ( ) ) Calculr d ; déduir utilisat l itégratio par parti l calcul ( ) l( ) d J d ( ) ) Soit a) Calculr d b) Pour tout tir aturl, utilisat u itégratio par partis, c) Calculr foctio d E déduir EXERCCE 8: Pour tout tir aturl > ; o pos : d t d ) a) Calculr b) Calculr ) Comparr décroissat à l aid d u itégratio par partis t ) a) E procédat par cadrmt, établir qu : b) Etudir la limit d la suit ( ) lorsqu E déduir qu la suit ( ) st ) a) Démotrr qu, pour tout ombr d [ ; ] o a : ( ) b) Déduisz du résultat précédt qu : ( ) ( ) c) Détrmir la limit d la suit ) ( Ercics Primitivs Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

5 EXERCCE 9: Soit la foctio f défii par f ( ) l( ) O s propos d calculr : ) Qul st l sig (λ)? λ ( λ) f ( ) d, où λ R b ) Trouvr du ombrs réls a t b tls qu pour tout rél, a ) Calculr J ( λ) λ d ) f ' état la foctio dérivé d f, calculr ) Calculr (λ) EXERCCE : f f ' Soit f u foctio umériqu cotiu sur [ ;] t tll qu pour tout d [ ;] f ( t) dt Soit F u primitiv d f sur [ ;] ) Prouvr qu : ) f( ) d ) E déduir qu : ( ) d F ( F( ) d f ) E déduir qu : [ ) ] f ( d ( d ) Soit h défii par h ) Démotrr qu pour élémt d N, o a : h( ) ( ) EXERCCE : ) Soit la foctio f cotiu sur [ ;] tll qu, pour tout rél d [ ;] o a : Démotrr qu : l, f ( ) f ( ) d l ) Pour tout tir aturl o do si( ) d a) Calculr lim ( o rmarqura qu [,], si( ) ) b) Trouvr u rlatio d récurrc tr t c) E déduir ( ) lim Ercics Primitivs Pag sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

6 EXERCCE : Soit la foctio f défii sur R par Calculr f ( ) d, puis f ( ) d Qull st la valur moy d f sur l itrvall [; m] EXERCCE : Pour tout tir aturl o ul, o défiit : m f ( ) t m u rél supériur à ) (l d -/ a/ justifir l istc d ctt itégral b/ Calculr c/ Démotrr la rlatio : pour, (o pourra ffctur u itégratio par partis) -/ l tir aturl o ul état fié, o ot F u primitiv d la foctio a (l ) sur l itrvall ] ; [ a/ Démotrr qu la foctio ta F ) st dérivabl sur R t plicitr sa foctio dérivé b/ E déduir ls propriétés suivats : ( t t - Pour tout tir aturl o ul F ( ) F () t dt - Pour tout tir aturl o ul dicatio : pour la duièm propriété, cadrr d abord t t sur [ ; ] EXERCCE : Das l pla mui d u rpèr orthoormé, o cosidèr la foctio f défii sur R par f ( ) t ) diqur sas calcul '( ) t f () t dt f ; ) Etudir ls variatios d f ; ) Démotrr qu pour tout ombr rél : f ( ) l( ) l E déduir qu la droit d équatio : y l st u asymptot à la courb (C f ) d f ) Costruir das l pla la courb (C f ) d f Ercics Primitivs Pag 6 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

7 EXERCCE : L but d l rcic st d motrr qu l ombr, bas ds logarithms épéris, st pas u ombr ratiol Parti A : Soit f la foctio défii sur R par : f() O désig par (C f ) la courb rpréstativ d f das u pla mui d u rpèr O ; i ; j d uité graphiqu cm orthoormé ( ) -/ Etudir ls variatios d f ; o précisra ls limits d f t -/ Costruir la courb (C f ) das l pla -/ Utilisr u itégratio par partis pour calculr : f ( ) d Qull st l itrprétatio géométriqu d Parti B : Pour tout tir aturl supériur ou égal à, o pos : -/ a/ Motrr qu, pour tout d [ ;] b/ Eprimr foctio d l tir : J c/ Déduir d a/ t d b/ qu l o a : d d pour -/ Utilisr u itégratio par partis pour motrr qu pour tout o a : ( ) -/ Pour tout tir o pos k! a/ Eprimr k à l aid d k b/ Calculr k (o pourra utilisr la èm qustio d la parti A) E déduir, procédat par récurrc sur, qu k st u ombr tir pour c/ Utilisr l b/ t l -/ c/ pour motrr qu, qulqu soit l tir, l ombr (! ) k st u tir -/ a/ Soit p t q du ombrs tirs strictmt positifs! p Motrr qu, pour q, l ombr st u ombr tir q b/ E déduir, à l aid du -/ b/ t -/ c/ qu st pas u ombr ratiol Ercics Primitivs Pag 7 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

8 EXERCCE 6: Soit ( ) la suit défii par ) Calculr t si d (o idiqu qu si si si ) ) Sas calculr, démotrr qu la suit ( ) st décroissat ) A l aid d u itégratio par partis d démotrr qu N ) a) Calculr 9 ; t 7 b) E déduir qu : EXERCCE 7: Pour tout tir aturl o pos d ) A l aid d u itégratio par partis trouvr u rlatio tr t ) Calculr ) Calculr EXERCCE 8: Pour tout tir aturl o pos cos d ( ) ) Détrmir ls réls a t b tls qu acos( ) bcos( ) cos( ) si( ) si( ) E déduir l calcul d d cos( ) ) A l aid d u itégratio par parti démotrr qu ( ) Ercics Primitivs Pag 8 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu

9 EXERCCE 9: O s propos d trouvr sas ls calculr séparémt ls trois itégrals cos d ; J si d ; K si cos d ) Calculr J t J K ) Eprimr cos foctio d cos t si E déduir la valur d puis clls d ; J ; K J K EXERCCE : O pos cos d si ; si si d t ) Calculr ) Calculr ) E déduir EXERCCE : O cosidèr ls itégrals défiis cos d t J si d ) a) Motrr qu l itégral put s écrir : cos (cos cos si ) d b) A l aid d u itégratio par partis, motrr qu si d J c) Motrr aussi qu l itégral J put s écrir : J cos d ) a) Motrr qu b) Motrr qu J J c) E déduir ls valurs ds itégrals t J Ercics Primitivs Pag 9 sur 9 Adama Traoré Profssur Lycé Tchiqu