Une transformation f du plan est une fonction du plan dans lui-même qui, à tout point M associe un point M bien défini.

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1 Transformations d plan FICHE Dans ce cors, on va étdier des transformations d plan P : Une transformation f d plan est ne fonction d plan dans li-même qi, à tot point M associe n point M bien défini f : M a M P P Si f ( M ) = M on dit qe M est l image de M par la transformation f, o assi qe M est n antécédent de M par f Si, por n certain point M d plan, f ( M ) = M, on dit qe M est n point fixe, o invariant de la transformation f Si F est ne figre d plan (n ensemble de points qelconqe), on appelle image de F par f et on note f (F) l ensemble des points de la forme f (M ) lorsqe M décrit F Si f ( F) = F, on dit qe F est globalement invariante par f Cela ne signifie pas forcément qe tos les points de F sont fixes par f Exemples : Un segment [ AB ] est globalement invariant par la symétrie centrale dont le centre AB est n point fixe par cette transformation est le milie de [ AB ], mais sel le milie de [ ] Une droite ( AB ) est globalement invariante par la translation de vecter AB alors qe cette transformation n a acn point fixe Soient F et F dex figres et f ne transformation Si l on prove qe, qel qe soit le point M de F, f (M ) appartient à F, on ara prové qe f ( F ) F Si l on doit prover qe f ( F) = F il reste à prover qe tot point de F est bien l image d a moins n point de F Exemple : La transformation qi, à tot point M d plan associe le point M li-même s appelle la transformation identiqe, o l identité, et se note id Por cette transformation, tos les points sont invariants Étant données dex transformations f et g, on pet définir la transformation composée de f et de g : La transformation composée de f et de g, notée gof, est la transformation qi à tot point M gof ( M ) = g f ( M ) d plan associe le point ( ) ( ) Si f : M a M g : M a M, alors gof : M a M En effet ( gof )( M ) = g( f ( M )) = g( M ) = M Si f, g et h sont trois transformations : ( hog ) of = ho( gof ) En général gof fog Lorsqe gof = fog, on dit qe les transformations f et g commtent De pls totes les transformations considérées par la site seront bijectives Une transformation f d plan est bijective (o ne bijection) si tot point N d plan a n antécédent niqe par f

2 Contre-exemple : Soit D ne droite et p la projection orthogonale sr D p est ne transformation qi n est pas bijective En effet, tos les points de D ont ne infinité d antécédents alors qe les points qi ne sont pas sr D n ont acn antécédent Le caractère bijectif d ne transformation f permet de définir sa réciproqe f La réciproqe f d ne transformation bijective f est la transformation qi, à tot point N associe son niqe antécédent par f f est ne transformation bijective et ( f ) = f fof = f of = id Si f et g sont dex transformations bijectives, gof est bijective et ( ) gof = f og En effet, soit M n point qelconqe d plan, M son niqe antécédent par g et M l niqe antécédent de M par f M est l niqe antécédent de M par gof : f : M a M g : M a M, alors gof : M a M De pls : ( f og )( M ) = f ( g ( M )) = f ( M ) = M ; on a donc bien ( ) = f og gof Dans la site de ce cors, «transformation» signifiera por nos «transformation bijective»

3 Isométries d plan : les définitions FICHE Les premières transformations axqelles on va s intéresser sont les isométries Une isométrie f d plan est ne transformation d plan qi conserve les distances, c est-à-dire qe : por tos les points M et N d plan, si M et N désignent lers images par f, on ara MN = M N On pet démontrer qe les isométries transforment respectivement n segment, ne demidroite, ne droite, n cercle en n segment, ne demi-droite, ne droite, n cercle Pls précisément, f désignant ne isométrie : l image d segment [ AB ] est le segment [ f ( A) f ( B) ] ; ces dex segments ont la même longer ; l image de la droite( AB ) est la droite ( f ( A) f ( B) ) ; l image d cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre f (A) et de rayon r On dit qe les isométries conservent le parallélisme parce qe les images de dex droites parallèles sont dex droites parallèles On dit q elles conservent la perpendiclarité parce qe les images de dex droites perpendiclaires sont dex droites perpendiclaires On dit q elles conservent les miliex parce qe si I est le milie d segment [ AB ] f (I) est le milie de [ f ( A) f ( B) ] Pls généralement les isométries conservent les barycentres Cela signifie qe si G est le barycentre des points pondérés A ; ), A ; ) A ; α ), son image (G) f ( ) ; α ) ( A k k f est le barycentre des points pondérés ) ( α ( α ( k k ( f ( A ) ; α, ( ( A ) ; α ) f On dit q elles conservent les angles non orientés parce qe si l on ne tient pas compte de l orientation les angles AB ˆ C et A Bˆ C sont égax (A, B et C désignent des points distincts et A, B et C désignant lers images Les isométries qi conservent l orientation des angles s appellent des déplacements Les isométries qi renversent l orientation des angles s appellent des antidéplacements o des retornements La composée de dex déplacements o de dex antidéplacements est n déplacement La composée d n déplacement et d n antidéplacement, o d n antidéplacement et d n déplacement est n antidéplacement Il apparaîtra dans ce cors q il existe dans le plan qatre sortes d isométries : les translations, les rotations, les symétries axiales et les symétries glissées Les translations et les rotations sont des déplacements, les symétries axiales et les symétries glissées sont des antidéplacements

4 Voici les définitions correspondantes : Soit n vecter d plan La translation de vecter, notée t, est la transformation qi, à tot point M d plan, associe le point M tel qe M M = La réciproqe de la translation de vecter est la translation de vecter La composée de dex translations est ne translation : t ot = t + = t ot La translation de vecter 0 est l identité : t = id 0 Une translation atre qe id n a pas de point fixe v v v : t = t Soit n point d plan et α n angle orienté La rotation de centre et d angle α, notée r est la transformation qi, à tot point M d plan, associe le point M tel qe M = M si ;α M = et tel qe M = M M ; sinon et ( M ) = α Si α = 0 [ π], r ; α est l identité Si α 0 [ π] Si α π [ π ], r; α n a qe comme point fixe =, r ; α est la symétrie centrale de centre, notée s La réciproqe de la rotation de centre et d angle α est la rotation de centre et d angle α : r ; α = r ; α Il est facile de composer dex rotations de même centre : r or = r r or ; α ; β ; α+ β = ; β ; α

5 En particlier s os = id s = s : α Propriété Si A et B sont dex points distincts d plan, et A et B lers images respectives par ara : ( ) = α AB ; A B Soit ne droite d plan La symétrie axiale d axe, notée s, est la transformation qi, à tot point M d plan, associe le point M tel qe M = M si M et tel qe soit la M M si M médiatrice de [ ] r ; α, on

6 A la place de «symétrie axiale», on pet assi dire «réflexion» o «symétrie orthogonale» La réciproqe de la symétrie axiale d axe est elle-même : s = s ; s os = id Les points fixes de s sont les points de Soit ne droite d plan et n vecter directer de La symétrie glissée d axe et de vecter, notée s ;, est la transformation t os s ; = t os = s ot s ; os ; = t Une symétrie glissée n a pas de point fixe La réciproqe de la symétrie glissée d axe et de vecter est la symétrie glissée d axe et de vecter

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8 Composée de dex symétries axiales FICHE 3 Soient D dex droites d plan Dans cette fiche nos allons composer les symétries axiales s et s d axes respectifs D Cas où les droites D sont parallèles Soit M n point qelconqe d plan Soient O et O ses projetés orthogonax respectifs sr D Notons M = s ( M ) et M = s ( M ) O est le milie de [ M ] O est le milie de [ M M ] On a alors : M M = OO M ce qi s écrit assi M M = O M ce qi s écrit assi M M = M O Il n est pas difficile de montrer qe le vecter O O ne dépend pas d choix d point M mais dépend niqement des droites D La composée s os est donc la translation de vecter O O La composée s os de dex symétries axiales d axes D parallèles est ne translation dont le vecter est perpendiclaire à ces droites Si O O est n vecter perpendiclaire à D avec O D et O D, le vecter de cette translation est O O Remarqes ) Saf dans le cas où D sont confondes et où s os s os = id =, s et s ne commtent pas : s os est la translation de vecter O O et s os est la translation de vecter O O ) Tote translation pet donc être décomposée, d ne infinité de manières différentes possibles, comme la composée de dex symétries axiales d axes parallèles entre ex et perpendiclaires a vecter de la translation

9 Cas où les droites D sont sécantes Soient v et v des vecters directers de D respectivement Appelons O le point d intersection de D Notons M = s ( M ) et M = s ( M ) Spposons qe M Nos avons alors : ( OM ; OM ) = ( v ; OM ) et ( O M ; OM ) = ( OM ; v ) d où ( OM ; OM ) = ( OM ; OM ) + ( OM ; OM ) = ( v ; OM ) + ( OM ; v ) = ( v ; v ) D atre part : OM = OM et O M = OM d où OM = OM Le point O est fixe por la transformation s os s os est donc la rotation de centre O et d angle ( ; v ) v La composée s os de dex symétries axiales d axes D sécants en O est ne rotation de centre O Si v et v sont des vecters directers respectifs de D et de D, l angle de cette rotation est ( ; v ) v

10 Remarqes ) L angle ( ; v ) v dépend des droites D mais pas des vecters directers v et v choisis sr ces droites Si par exemple on remplace v par v, on a : ( v ; v ) = ( v ; v) + ( v ; v ) = ( v ; v ) [ π ] car ( ; v ) = π [ π] ) Saf dans le cas où D sont perpendiclaires et où centrale de centre O, s et s ne commtent pas : os s os est ne rotation d angle ( ; v ) v v s os = sos = s (symétrie s est ne rotation d angle ( ; v ) v et 3) Tote rotation pet donc être décomposée, d ne infinité de manières différentes possibles, comme la composée de dex symétries axiales d axes sécants a centre de cette rotation 4) On verra qe tote isométrie d plan pet être obtene en composant ne, dex o trois symétries axiales

11 Isométries d plan fixant n point FICHE 4 Théorème Soit f ne isométrie et O n point d plan L isométrie f se décompose d ne manière niqe sos la forme translation et g désigne ne isométrie laissant O fixe f = tog, où t désigne ne Preve Soit f = tog ne telle décomposition, à spposer q elle existe On doit avoir f ( O) ( tog) ( O) = t( O) = La translation t ne pet donc être qe la translation de vecter Of (O) De pls f = tog d où g = t of Ce qi précède montre qe la décomposition f = tog est, si elle existe, niqe Posons maintenant t = et g = t of g est bien ne isométrie comme la composée de t Of (O ) dex isométries g ( O) = t of ( O) = t f ( O) = De pls ( ) ( ) O Finalement tog = to( t of ) = tot of = f dans le théorème donc O est bien n point fixe de g Ceci montre l existence de la décomposition citée Le théorème montre q ne isométrie qelconqe pet tojors être obtene, et ce d ne infinité de manières (le choix de O est libre), comme composée d ne isométrie laissant n point fixe et d ne translation Le théorème sivant va décrire totes les isométries ayant a moins n point fixe Théorème ) Une isométrie fixant trois points A, B et C non alignés est l identité ) Une isométrie distincte de l identité fixant a moins dex points distincts A et B est la symétrie axiale d axe (AB) 3) Une isométrie ne fixant qe le point A est ne rotation de centre A et d angle non nl Preve Soit f ne isométrie ) Spposons qe f fixe trois points A, B et C non alignés Soit M n point qelconqe d plan et M son image par f f conservant les distances, on doit avoir AM = AM, BM = BM et CM = CM Si M M, les trois points A, B et C devraient être tos les trois sr la médiatrice de [ M M ], ce qi est impossible pisq ils ne sont pas alignés On a donc M = M et tos les points sont donc fixes : f = id

12 ) Spposons qe f fixe dex points A et B distincts Soit C n point qi n est pas sr la droite (AB) D après ), f ( C) = C C car sinon on arait f = id f conservant les distances, on doit avoir AC = AC et BC = BC, donc la droite (AB) est la médiatrice de [ C C ] Considérons l isométrie g = s of On voit qe g ( A) = A, g ( B) = B et ( AB) = s AB f C = s AB C ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) C g( C) D après la partie ) de notre théorème g s AB of = id d où, en composant avec ( AB) = ( ) s : s ( AB) o( s( AB) of ) ( s( AB) os( AB) ) of = idof = f = s( AB) oid = s( AB) = 3) Spposons qe f ne fixe qe le point A Soit B n point distinct de A, B = f (B) et la B f conservant les distances, on doit avoir AB = AB, ce qi signifie qe A Considérons l isométrie g = sof On voit qe g ( A) = s ( f ( A) ) = s ( A) = A et qe g ( B) = s ( f B ) = s B ( ) ( ) = B On pet donc appliqer à g ce qe l on a montré dans la partie ) o la partie ) Si g était l identité, on arait f = s ce qi est impossible pisqe f n a q n sel point fixe On a donc g = s of = s ( AB ) d où f = sos ( AB ) : les droites et (AB) étant sécantes en A, f est ne rotation de centre A médiatrice de [ B ]

13 Écritre complexe des déplacements FICHE 5 On va travailler dans le plan mni d n repère orthonormé direct ( ; e, e ) O Écritre complexe des translations La translation t de vecter associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = z + z, où z désigne l affixe de Écritre complexe des rotations La rotation r de centre et d angle α, est la transformation qi, à tot point M d affixe z ; α le point M d affixe z = e iα ( z z z + ) Preve Si z = z, la formle proposée donne bien z = z z z M Si z z, est n complexe dont le modle doit valoir = et dont n argment z z M doit valoir ( M ; M ) = α d après la définition de la rotation z z iα On a donc = e et la formle annoncée z z Por résmer, on voit qe les translations et les rotations d plan ont ne écritre complexe de la forme z = az + b, a et b étant des complexes avec a = Dans la cas de la translation : a = et b = z iα iα Dans la cas de la rotation : a = e et b = z ( e ) Réciproqement, si ne transformation d plan a ne écritre complexe de la forme z = az + b, a et b étant des complexes avec a =, on va montrer qe c est ne translation o ne rotation En effet, si a =, il s agit d ne translation t de vecter d affixe b b Si a la transformation admet por sele point fixe le point d affixe z = a En sostrayant membre à membre les égalités z = az + b on obtient z z = a( z z) et z = az + b pisqe a = on pet écrire a sos la forme rotation de centre et d angle α iα a = e La transformation est donc bien ne

14 Composée de dex rotations α β i i Soient f et g dex rotations d écritres complexes respectives z = e z + b et z = e z + b, la transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe ( e i b + ) e iβ ( e iα z b ) b e i( α+ β ) z β = + b + = + z C est ne transformation dont l expression complexe est bien de la forme A = Si α β = 0 [ π] Si α β 0 [ π ] +, A = et gof est ne translation +, A et gof est ne rotation d angle α + β Composée d ne rotation et d ne translation α z = Az + B avec i Soit f ne rotation d écritre complexe z = e z + b et g ne translation d écritre complexe z = z + b La transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe e iα z b ) b e iα = + + = ( b + ) z ( z + b gof est donc ne rotation d angle α Composée d ne translation et d ne rotation Soit f ne translation d écritre complexe z = z + b et g ne rotation d écritre complexe iα z = e z + b La transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z e iα ( z b ) b e iα z ( e iα = + + = + b b + ) gof est donc ne rotation d angle α Description des déplacements d plan On pet maintenant décrire, avec l aide des théorèmes de la fiche 4, l ensemble des déplacements d plan En effet le théorème décrivant les isométries fixant n point nos a indiqé qe les sels déplacements fixant a moins n point étaient l identité et les rotations Si n déplacement f ne fixe acn point, il pet, comme tote isométrie, se décomposer sos la forme f = tog, où t désigne ne translation et g désigne ne isométrie laissant n point O fixe g doit être n déplacement sinon f = tog serait n antidéplacement g ne pet donc être qe l identité o ne rotation Si g est l identité, f est ne translation Si g est ne rotation, f = tog est ne rotation : ce cas n est pas possible si f ne fixe acn point En conclsion : les déplacements d plan sont les translations et les rotations

15 Écritre complexe des antidéplacements On rappelle qe le plan mni est d n repère orthonormé direct ( ; e, e ) O FICHE 6 Ecritre complexe des symétries axiales La symétrie axiale s dont l axe passe par le point et admet le vecter v comme vecter directer associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = e i ( z z ) θ + z désigne ne mesre de l angle ( e ; v) où θ 0 v θ e Preve Soit 0 la droite contenant et parallèle à l axe des abscisses et soit s la symétrie d axe 0 L isométrie s os est la rotation r ; θ de centre et d angle θ Pisqe r s os s = s os os r ; θ =, on a : ( ) = ; θos Déterminons d abord l écritre complexe de s Si M est n point d affixe z, appelons Mson image par s et z son affixe z Spposons z z et calclons z z z z z z z z z M M = M donc = = = = z z z z z z M arg z z z z = = arg ( z z ) arg( z z ) = arg( z z ) arg( z z ) = arg( z z ) + arg( z z ) ( e ; M ) + ( e ; M ) = 0 pisqe ( e ; M ) = ( e ; M )

16 z z On a donc : = et z z z z = z z, égalité valable même si = z Il reste à composer s avec r ; θ por trover s = r ; θ os s M M r M a M a ; : z iθ iθ : θ : z z = e ( z z ) = e ( z z ) Représentation complexe des symétries glissées La symétrie glissée s ; = t os dont l axe passe par le point et admet le vecter v comme vecter directer associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe ( z z ) + z z iθ z = e + où θ désigne ne mesre de l angle ( e ; v), d où le résltat Por résmer, on voit qe les symétries axiales et les symétries glissées d plan ont ne écritre complexe de la forme z = az + b, a et b étant des complexes avec a = Dans la cas de la symétrie axiale: Dans la cas de la symétrie glissée : iθ a = e et b = e i θ z + z iθ a = e et iθ b = e z + z + Réciproqement, si ne transformation d plan a ne écritre complexe de la forme z = az + b, a et b étant des complexes avec a =, on pet montrer q il s agit d ne symétrie axiale o ne symétrie glissée Dans le cas où la transformation admet n point fixe la preve est facile En sostrayant z = az + b membre à membre les égalités on obtient z z = a( z z) En écrivant a z = az + b sos la forme axiale iθ e, on voit qe z = e i ( z z ) θ + z z : c est bien l écritre d ne symétrie Comment reconnaître ne symétrie axiale et ne symétrie glissée Soit ne transformation f d écritre complexe z = az + b, a et b étant des complexes avec a = Si f est ne symétrie axiale, por tot point M, le milie de [ Mf (M )] doit être fixe, en particlier le milie de [ Of (O)] doit être fixe Réciproqement si le milie de [ (O)] Of est fixe alors f est ne symétrie axiale pisq ne symétrie glissée n a acn point fixe b f (O) a por affixe b et le milie de [ Of (O)] a por affixe b b f est ne symétrie axiale si et selement si : = a + b, condition qi s écrit assi : a b + b = 0 On pet également retrover cette condition en considérant qe, si f est ne symétrie axiale, fof = id tandis qe si f est ne symétrie glissée f = s = t os, on ara fof = t Cette dexième méthode permet de pls de déterminer le vecter à partir de l écritre complexe d ne symétrie glissée ;

17 Composée de dex symétries axiales Soient f et g dex symétries axiales d écritres complexes respectives z = a z + b et z = a z +, la transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe b z = a ( a z + b ) + b = a az + a b + b C est ne transformation dont l écritre complexe est bien de la forme z = Az + B avec A = pisqe A = a a et A = a a = a a = a a = C est donc n déplacement (translation o rotation) comme on l a v dans la fiche 3 Composée d ne symétrie axiale o d ne symétrie glissée et d ne translation Soit f ne symétrie axiale o glissée d écritre complexe z = a z + b avec a = et g ne translation d écritre complexe z = z + b La transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe ( b ) z = ( a z + b ) + b = a z + + b gof est donc ne symétrie axiale o glissée Composée d ne translation et d ne symétrie axiale o d ne symétrie glissée Soit f ne translation d écritre complexe z = z + b et g ne symétrie axiale o glissée d écritre complexe z = a z + b avec a = La transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe ( a b ) z = a ( z + b) + b = a z + + b gof est donc ne symétrie axiale o glissée Description des antidéplacements d plan On pet maintenant décrire, avec l aide des théorèmes de la fiche 4, l ensemble des antidéplacements d plan En effet le théorème décrivant les isométries fixant n point nos a indiqé qe les sels antidéplacements fixant a moins n point étaient les symétries axiales Si n antidéplacement f ne fixe acn point, il pet, comme tote isométrie, se décomposer sos la forme f = tog, où t désigne ne translation et g désigne ne isométrie laissant n point O fixe g doit être n antidéplacement sinon f = tog serait n déplacement g ne pet donc être q ne symétrie axiale f = tog est alors ne symétrie axiale o glissée : pisqe f ne fixe acn point, c est ne symétrie glissée En conclsion : les antidéplacements d plan sont les symétries axiales et les symétries glissées

18 Homothéties FICHE 7 Définition Soit n point d plan et k n réel non nl L homothétie de centre et de rapport k, notée h ; k est la transformation qi, à tot point M d plan, associe le point M tel qe M = km Cas particliers et premières propriétés Si k =, h ; k = id Si k, est le sel point fixe de h ; k Si k =, h ; k = s Les symétries centrales sont assi les homothéties de rapport - h ; k h / est ne bijection ; la bijection réciproqe est ; k Si A et B sont dex points, et A et B lers images par, on a : A = ka et h ; k B = kb, d où par différence : A B = k AB et donc A B = k AB Une homothétie de rapport k mltiplie donc les distances par k et les aires par k Les seles homothéties qi sont des isométries sont l identité ( k = ) et les symétries centrales ( k = ) On pet démontrer qe les homothéties transforment respectivement n segment, ne demidroite, ne droite, n cercle en n segment, ne demi-droite, ne droite, n cercle Pls précisément, en conservant les notations précédentes : l image d segment [ AB ] est le segment [ A B ] et A B = k AB ; l image de la droite( AB ) est la droite ( A B ) qi est parallèle à ( AB ) ; l image d cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A et de rayon k r Les homothéties conservent le parallélisme, la perpendiclarité, les miliex, les barycentres et les angles orientés (qe ler rapport soit positif o négatif) Écritre complexe des homothéties L homothétie h ; k de centre et de rapport k est la transformation qi, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = k( z z ) z + Preve Il sffit de tradire l égalité vectorielle M = km On obtient donc ne écritre complexe de la forme z = kz + b avec b = ( k) z

19 La transformation d écritre complexe z = az + b, où a est n réel non nl et b n complexe est : l identité si a = et b = 0 ; ne translation si a = et b 0 ; ne homothétie de rapport a si a Preve Il sffit de vérifier qe si a la transformation est bien ne homothétie de rapport a b En posant z =, on a z = az + b et en faisant la différence membre à membre avec a z = az + b, on obtient z z = a( z z) : il s agit bien de l homothétie de centre et de rapport a Composée d ne homothétie et d ne translation Soit f ne homothétie de rapport k ( ) d écritre complexe z = kz + b et g ne translation d écritre complexe z = z + b La transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = ( kz+ b ) + b = kz + ( b + b ) gof est donc ne homothétie de rapport k Composée d ne translation et d ne homothétie Soit f ne translation d écritre complexe z = z + b et g ne homothétie de rapport k ( ) d écritre complexe z = kz + b La transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = k( z + b ) + b = kz + ( kb + b ) gof est donc ne homothétie de rapport k Composée de dex homothéties Soient f et g dex homothéties d écritres complexes respectives z = kz + b et z = k z + b, la transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = k ( kz + b) + b = kkz + ( kb + b ) C est ne transformation dont l expression complexe est de la forme z = Kz+ B où K est n réel Si K = k k =, gof est ne translation Sinongof est ne homothétie de rapport K = k k Remarqe En général, gof fog Si gof et donc également fog sont des homothéties, on pet montrer qe les centres de f, g, gof et fog sont alignés

20 Similitdes directes FICHE 8 Définition Soit n point d plan, α n angle orienté et k n réel strictement positif La similitde directe de centre, d angle α et de rapport k, est la composée oh Cas particliers et premières propriétés On vérifiera pls loin qe r oh; = h; kor ; α k ; α r ; α ; k Avec k =, on retrove les rotations comme similitdes directes particlières On considère également les translations comme étant des similitdes directes particlières Bien entend les translations n ont ni centre, ni angle, ni rapport mais sont définies par ler vecter Ainsi tos les déplacements sont considérés comme des similitdes directes Avec α = 0, on retrove les homothéties de rapport positif comme similitdes directes particlières Avec α = π, on retrove les homothéties de rapport négatif Ainsi tos les homothéties sont considérés comme des similitdes directes Remarqe : ne homothétie de centre et de rapport k ( k < 0) est considérée comme ne similitde directe de centre, d angle π et de rapport lorsqe l on parle d rapport d ne telle homothétie k = k Il fat donc être prdent Les propriétés des similitdes directes décolent des propriétés des rotations et des homothéties Une similitde directe de rapport k mltiplie les distances par k et les aires par Les similitdes directes transforment respectivement n segment, ne demi-droite, ne droite, n cercle en n segment, ne demi-droite, ne droite, n cercle Pls précisément, avec les notations habitelles : l image d segment [ AB ] est le segment [ A B ] et A B = kab ; l image de la droite( AB ) est la droite ( A B ) ; l image d cercle de centre A et de rayon r est le cercle de centre A et de rayon kr Les similitdes directes conservent le parallélisme, la perpendiclarité, les miliex, les barycentres et les angles orientés Écritre complexe des similitdes directes La similitde directe de centre, d angle α et de rapport k est la transformation qi, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = ke iα ( z z ) z + k Preve Il sffit de tradire la définition, en tilisant l écritre complexe des homothéties et des rotations On obtient donc ne écritre complexe de la forme z = az + b avec iα a = ke b = ( a) z

21 La transformation d écritre complexe z = az + b, où a est n complexe non nl et b n complexe est : l identité si a = et b = 0 ; ne translation si a = et b 0 ; ne similitde directe de rapport a et d angle arg( a ) si a Preve Il sffit de vérifier qe si a la transformation est bien ne similitde directe de rapport a = k et d angle arg( a ) = α b En posant z =, on a z = az + b et en faisant la différence membre à membre avec a iα z = az + b, on obtient z z = a( z z ) = ke ( z z ) : Il s agit bien de l écritre complexe de la similitde directe de centre, d angle α et de rapport k Composée de dex similitdes directes Soient f et g dex similitdes directes d écritres complexes respectives z = az + b et z = az + b, la transformation gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z = a ( az + b) + b = aaz + ( ab + b ) C est ne transformation dont l expression complexe est de la forme z = Az + B où A est n complexe non nl C est donc ne similitde directe Composée de dex similitdes directes de même centre Si f et g ont le même centre et ont por écritres complexes respectives z z = a ( z z ) et z z = a ( z z ), la similitde directe gof associe, à tot point M d affixe z le point M d affixe z z = a a ( z z ) ce qi montre : qe son centre est ; qe f et g commtent ( gof = fog ) Ce même calcl permet de vérifier qe la réciproqe de la similitde directe de centre, d angle α et de rapport k est la similitde directe de centre, d angle -α et de rapport k k

22 TP - Gropes de transformations FICHE 9 On rappelle qe totes les transformations considérées sont bijectives Définition Un grope de transformations d plan est n ensemble G de transformations d plan possédant les propriétés sivantes : ) G contient la transformation identiqe id ) Si f et g sont des éléments de G, gof est assi n élément de G 3) Si f est n élément de G, sa réciproqe f est assi n élément de G Exemples L ensemble de totes les translations d plan est n grope L ensemble de tos les déplacements d plan est n grope L ensemble de totes les isométries d plan est n grope L ensemble de totes les similitdes directes d plan est n grope L ensemble contenant totes les translations et les homothéties d plan est n grope Exercice Soit F ne figre d plan L ensemble de totes les isométries d plan telles qe est n grope f ( F) = F Déterminer ce grope dans le cas où : F est n triangle isocèle non éqilatéral ; F est n triangle éqilatéral ; 3 F est n rectangle non carré ; 4 F est n losange non carré ; 5 F est n carré ; 6 F est n hexagone réglier Por chaqe cas, dresser la table de Pythagore d grope

23 Composée de dex isométries ANNEXE Translation Rotation Symétrie axiale Translation Translation Rotation Symétrie axiale o glissée Rotation Rotation Rotation o Symétrie translation axiale o Symétrie axiale Symétrie glissée Symétrie axiale o glissée Symétrie axiale o glissée Symétrie axiale o glissée Symétrie axiale o glissée glissée Rotation o translation Rotation o translation Symétrie glissée Symétrie axiale o glissée Symétrie axiale o glissée Rotation o translation Rotation o translation Dans ce tablea, id est considérée comme ne translation (et non comme ne rotation) Les déplacements sont écrits en vert et les antidéplacements en roge