Exercices 2. Trigonométrie et nombres complexes... Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques.

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1 Exercices Trigonométrie et nombres complexes Rappels de trigonométrie et de géométrie, nombres complexes et équations algébriques. Trigonométrie et nombres complexes Trigonométrie Nombres complexes Calculs Inégalités Équations atypiques Équations du second degré ou s y ramenant Racines n-ièmes Application à la géométrie plane Sujets de réflexion Indications

2 PCSI Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et. Certains énoncés sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercices notés et sont particulièrement délicats. 1. Trigonométrie 1. [ Un grand classique ] ( ind ) ( π ) ( ) ( ) 3 5 ( π ) Simplifier le produit p = sin sin π sin 14 π en le multipliant par cos. 14. [ Une belle et inutile équation ] ( ind ) Résoudre dans R l équation 4cos (x) sin (x) 3 = [ Lignes trigonométriques de π/5 ] ( ind ) On cherche à calculer cos(π/5) et sin(π/5). a) Résoudre dans R l équation cos(3x) = sin(x). b) En déduire les valeurs de sin(x) et cos(x) pour x = π/5.. Nombres complexes.1. Calculs 4. [ Forme polaire d une somme géométrique ] ( ind ) Soient α R et z = e iα. Écrire 1 + z + z sous forme polaire. 5. [ Module ] ( ind ) Soient n N strictement supérieur à 1 et z 1,..., z n des nombres complexes non nuls de même module. Montrer que le nombre suivant est réel : (z 1 + z )(z + z 3 ) (z n 1 + z n )(z n + z 1 ) z 1 z z n 6. [ Une équation trigonométrique ] ( ind ) Soit θ R et z θ = sin(θ) + i cos (θ). a) Déterminer le module et un argument de z θ. On discutera en fonction des valeurs de θ. b) Déterminer l ensemble des nombres réels θ tels que z θ = z θ 1. LLG PCSI Exercices

3 PCSI [ Paramétrage de U ] ( ind ) On note U, l ensemble des nombres complexes de module 1. a) Soit z U \ {1}. Démontrer que z + 1 est un imaginaire pur. z 1 b) Vérifier que, λ R, 1 + λi U. Étudier la réciproque. 1 λi c) Soit z C. Démontrer que, u U \ {1}, z uz R. Étudier la réciproque. 1 u 8. [ Des réels ] ( ind ) Soient a et b de module 1 tels que a ±b. a) Prouver que 1 + ab a + b R. z + abz (a + b) b) Montrer que pour tout z C, R i. a b 9. [ Fonctions symétriques ] ( ind ) Soient a,b,c C de module 1. Montrer que a + b + c = ab + bc + ac. 10. [ Modules ] ( ind ) Déterminer les nombres complexes z tels que z, 1/z et 1 + z soient de même module. 11. [ Posé à l X ] ( ind ) Soient a,b et c dans U tels que a c. a) Montrer que a(c b) b(c a) R +. b) Donner une interprétation géométrique de ce résultat... Inégalités 1. [ Un peu de géométrie ] ( ind ) a) Soit z C. Montrer que Im(z) > 0 z i < z + i. b) Soient a,b deux nombres complexes distincts. Décrire géométriquement l ensemble des z C tels que z a < z b. z c) Déterminer l ensemble des nombres complexes z tels que < 1. z 1 LLG PCSI Exercices 3

4 PCSI [ L inégalité triangulaire généralisée ] ( ind ) Soient n et z 1, z,..., z n appartenant à C. a) Prouver que z z n z 1 + z + + z n. b) Montrer que l inégalité du (a) est une égalité si et seulement si arg(z 1 ) = arg(z ) = = arg(z n ). 14. [ Inégalités ] ( ind ) Prouver que pour tous nombres complexes z et z, on a : a) 1 z + z z + z ; b) z + z ( 1 + z )( 1 + z ). 15. [ Modules de 1 + z et 1 + z ] ( ind ) On note U l ensemble des nombres complexes de module 1. a) Soit z U tel que 1 + z < 1. Montrer que 1 + z > 1. b) Soient u et v deux complexes tels que u = v 1. Établir que u + v 1 ou u + v > [ Valeur absolue d une somme géométrique ] ( ind ) Soient n N et z C \U. Montrer que 1 z n+1 1 z 1 z n+1 1 z 17. [ Deux inégalités sur les modules ] ( ind ) a) Prouver que (a,b) C, a + b a + b + a b. 4 b) En déduire que pour tous z 1, z, z 3 et z 4 dans C, on a z k z i + z j. k=1 1 i<j [ Épreuve écrite X-PC 008 ] ( ind ) Soit λ R \Z. Montrer que, pour tout entier naturel n 1, on a n 1 e ikλπ 1 sin(λπ) k=0 19. [ Racines n-ièmes ] ( ind ) Soient n N \ {0,1}, ω = exp ( ) iπ n et (a,b) C. Montrer que : a + b n n 1 k=0 a + ω k b LLG PCSI Exercices 4

5 PCSI Équations atypiques 0. [ Une équation atypique ] ( ind ) Soit a un réel, on considère l équation (E) : z + z = a d inconnue z C. a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a pour que (E) possède au moins une solution réelle. b) Résoudre (E). Discuter en fonction de a, et donner dans chaque cas le nombre de solutions, dire si elles sont réelles, conjuguées, etc... On présentera le résultat final dans un tableau. 1. [ Autour de l exponentielle ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) e z = 7 ; b) e z = i ; c) e z = 1 + i ; d) e z + e z = 1 ; e) e z + e z = i.. [ Lieux géométriques ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes ( ) z 1 a) Re = 0 ; b) Im z i ( z 1 z i ) = 0 ; c) Re ( z 3) = Im ( z 3). 3. [ Divertissements ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) z = z ; c) z = 7 z ; e) z + z = z ; g) z 3z = +3i ; b) z 3 = z ; d) z +8 z 3 = 0 ; f) z 5 = 16z ; 4. [ Une équation atypique ] ( ind ) Soit α R. Résoudre dans C l équation z + z = α + i..4. Équations du second degré ou s y ramenant 5. [ Classique ] ( ind ) Résoudre sur C l équation (E) : ( z + 1 ) + ( z z 1 ) = [ Une équation à paramètres ] ( ind ) Soit λ et θ deux paramètres réels, λ 0. Calculer le module et l argument des racines de l équation : z C, z (λcos(θ) + i sin(θ)) z + λ 1 = 0 LLG PCSI Exercices 5

6 PCSI [ Conditions sur les racines ] ( ind ) Soit (p, q) C, avec q 0. Montrer que les racines de l équation z + pz + q = 0 ont le même module si et seulement si p /(4q) [0,1]. 8. [ Module des racines d une équation ] ( ind ) Soit m C. On note α et β les deux solutions de l équation z + mz + 1 = 0. a) Soient z et z, deux nombres complexes et u, une racine carrée complexe du produit zz. Démontrer que z + z = z + z u + z + z + u b) En déduire que α + β = m m [ Equations dont les racines sont de module un ] ( ind ) Soient (a,b) C et (E) : z + az + b = 0. Déterminer une CNS pour que (E) admette deux racines de module égal à un..5. Racines n-ièmes 30. [ Résolution d une équation ] ( ind ) Soit n N n 1. Résoudre dans C l équation z k = 0. k=0 31. [ Questions enchaînées ] ( ind ) ( ) z + 1 n a) Résoudre dans C l équation = 1. z 1 ( ) z + i n b) En déduire les solutions dans C de = 1. z i ( ) z + 1 n c) Soit θ R tel que θ 0[π/n]. Résoudre dans C l équation = e inθ. z 1 d) En déduire les solutions dans C de l équation ( ) z + 1 n ( ) z 1 n + = cos(nθ) z 1 z + 1 On traitera le cas général, θ R sans aucune restriction. 3. [ Racines septièmes de l unité ] ( ind ) Soit ω une racine septième de l unité distincte de 1. Simplifier ω 1 + ω + ω 1 + ω 4 + ω3 1 + ω 6. LLG PCSI Exercices 6

7 PCSI [ Etude d une équation ] ( ind ) ( ) 1 i z n Soit π < α < π. Résoudre dans C l équation = 1 i tan(α) 1 + i z 1 + i tan(α). 34. [ Trois équations ] ( ind ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (z + i ) 3 + i z 3 = 0 ; b) z 4 z 3 + z z + 1 = 0 ; c) z 4 z 3 z z + 1 = 0 en posant Z = z + z [ Une équation d ordre n ] ( ind ) Soit n 1. Résoudre dans C l équation 1 + z + z + + z n 1 + z n = [ Racines cinquièmes de l unité ] ( ind ) Soit α une racine cinquième de l unité différente de 1. Prouver l égalité ( α + α + 1 )( α 3 + α + 1 )( α 4 + α + 1 ) = α(α + 1) 37. [ Une expression de tan(π/5) ] ( ind ) En résolvant (1 i z) 5 (1+i z) 5 = 0 de deux manières différentes, déterminer une expression sous forme de radicaux de tan(π/5)..6. Application à la géométrie plane 38. [ Racines carrées et géométrie ] ( ind ) Soit z, un nombre complexe non nul. On désigne par M, le point d affixe z et par P et Q, les images des racines carrées complexes de z. a) Pour quelles valeurs de z les points M, P et Q sont-ils deux à deux distincts? b) On suppose que M, P et Q sont deux à deux distincts. i) Pour quelles valeurs de z les trois points sont-ils alignés? ii) Pour quelles valeurs de z les droites (MP) et (MQ) sont-elles perpendiculaires? 39. [ Questions d alignement ] ( ind ) Le plan affine euclidien P est muni d un repère orthonormé direct R. a) Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes respectives 1, z et i z soient alignés. b) Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes respectives 1, z et z soient alignés. c) Déterminer les nombres complexes z tels que les trois points d affixes respectives z, 1 z et z soient alignés. LLG PCSI Exercices 7

8 PCSI [ Etude d une configuration ] ( ind ) Soit ABCD un carré et G un point de ]BC[. On construit deux carrés extérieurs à ABCD, de côtés respectifs [BG] et [GC]. On note I,J et K les centres des carrés de côtés GC, GB et AB. Prouver, par un calcul d affixe, que les droites (BI) et (KJ) sont orthogonales. Que dire des longueurs BI et JK? 41. [ Quadrilatères ] ( ind ) Soit ABCD un quadrilatère convexe du plan P. On construit à l extérieur de chacun des côtés du quadrilatère des triangles rectangles isocèles APB, BQC, CRD et DSA. Démontrer que les droites (PR) et (QS) sont perpendiculaires et que les longueurs PR et QS sont égales. 4. [ Construction du pentagone régulier ] ( ind ) On pose ω = exp ( ) iπ 5 et α = ω + ω 1. a) Justifier que 1+ω+ω +ω 3 +ω 4 = 0, et en déduire une équation du second degré dont α est racine. b) En déduire la valeur de cos(π/5) c) On pose Φ = (nombre d or). i) Vérifier que Φ = Φ + 1. Quelle est l abscisse des points d intersection des cercles d équations respectives x + y = 1 et (x + 1) + y = Φ? ii) Soient A,B et C les points d affixes respectives 1, 1 et i. Calculer la distance BC. En déduire une construction à la règle et au compas du pentagone régulier. 43. [ Sa majesté équilatérale ] ( ind ) Soient A, B, C trois points deux à deux distincts d affixes a, b, c. a) Prouver que ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement si a + j b + j c = 0, et équilatéral indirect si et seulement si a + j c + j b = 0. b) Prouver que ABC est un triangle équilatéral si et seulement si a + b + c = ab + ac + bc 44. [ Un problème d alignement ] ( ind ) Soit a un nombre complexe avec a = 1. On note z 1, z,..., z n les racines de l équation z n = a. Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont (1 + z 1 ) n,..., (1 + z n ) n sont alignés. 3. Sujets de réflexion 45. [ Posé à l X ] ( ind ) Soit ABC un triangle quelconque. On construit à l extérieur de chacun des côtés du triangle des triangles équilatéraux AC B, BA C et CB A. Démontrer que les centres de gravité des trois triangles équilatéraux forment un triangle équilatéral. LLG PCSI Exercices 8

9 PCSI Indications 1. [ Un grand classique ] En utilisant à répétition la formule de duplication sin(θ) = cos(θ)sin(θ), aboutir à p = 1/8.. [ Une belle et inutile équation ] Exprimer toutes les quantités en fonction de y = 4cos (x). L ensemble des solutions est ( π 3 + π ) ( π Z 6 + π ) Z 3. [ Lignes trigonométriques de π/5 ] Au (a), remarquer que l équation peut s écrire cos(3x) = cos(π/ x). Pour le (b), on pourra remarquer que cos(3x) = 4cos 3 (x) 3cos(x) et sin(x) = sin(x)cos(x) Poser ensuite α = cos(π/10) ; en déduire que cos(3 π/10) = sin( π/10) implique que β = sin(π/10) est solution de 4β + β 1 = 0. On trouve cos(π/5) = , sin(π/5) = [ Forme polaire d une somme géométrique ] Série géométrique puis angle-moitié : on trouve (cos(α) + 1)e iα. 5. [ Module ] Écrire les z k sous forme polaire. En notant θ k un argument de z k, on trouve que le nombre vaut ( ) ( ) ( ) n θ1 θ θ θ 3 θn θ 1 cos cos cos 6. [ Une équation trigonométrique ] Au (a), on trouve z θ = cos(θ)e i (θ+ π ). Au (b), élever au carré les modules ; on trouve ( S = π ) ( 7π ) 1 + πz 1 + πz 7. [ Paramétrage de U ] Écrire (par exemple) les éléments de U sous forme exponentielle e i t avec t R. LLG PCSI Exercices 9

10 PCSI [ Des réels ] Écrire a et b sous forme exponentielle. 9. [ Fonctions symétriques ] Utiliser le fait que a = 1 a = 1/a. 10. [ Modules ] Montrer que les solutions sont nécessairement de module un. Rechercher z sous forme polaire : z = e i t avec t R. On aboutit à cos(t) = 1/. On trouve { j, j }. 11. [ Posé à l X ] a) Écrire les trois nombres sous forme exponentielle et passer à l arc moitié. b) Reconnaître le théorème de l angle au centre : O C (CA, CB) = (OA, OB)[π] A B 1. [ Un peu de géométrie ] Se rappeler que z a est la distance entre les points M(z) et A(a). Aux questions (b) et (c), on trouve des demi-plans ouverts. 13. [ L inégalité triangulaire généralisée ] Raisonner par récurrence sur n. 14. [ Inégalités ] Appliquer judicieusement l inégalité triangulaire. 15. [ Modules de 1 + z et 1 + z ] Au a), écrire z sous forme exponentielle : z = e i t. On a 1+z = (1+cos(t)) et 1+z = 4cos (θ). Poser, si c est possible, z = u/v au b) et appliquer le (a) [ Valeur absolue d une somme géométrique ] Remarquer que x C \ {1}, 1 x n+1 n = 1 x x k k=0 Application à x = z puis inégalité triangulaire et enfin application de la relation à x = z. 17. [ Deux inégalités sur les modules ] Au (a), appliquer l inégalité triangulaire en remarquant que a = a + b Au (b), appliquer le (a) une première fois : + a b et b = a + b a b 4 z k z 1 + z + z 1 z + z 3 + z 4 + z 3 z 4 k=1 puis une seconde fois : Conclure par l inégalité triangulaire. z 1 z + z 3 z 4 z 1 + z 3 (z + z 4 ) + z 1 + z 4 (z + z 3 ) LLG PCSI Exercices 10

11 PCSI [ Épreuve écrite X-PC 008 ] Appliquer la formule de la série géométrique. 19. [ Racines n-ièmes ] Remarquer que na = puis appliquer l inégalité triangulaire. n 1 k=0 ( ) a + ω k b, nb = n 1 k=0 ( ) b + ω k a 0. [ Une équation atypique ] Se ramener à une équation du second degré à la première question. Poser z = x + i y avec (x, y) R au (b). On trouve : Valeurs de a Solutions complexes de (E) a < 1 4 a = 1 4 Deux solutions non réelles et conjuguées : 1 ± i 3 4 a. Une solution réelle et deux solutions non réelles et conjuguées : 1, 1 3 ± i 4 a. 1 4 < a < 3 4 Deux solutions réelles et deux solutions non réelles et conjuguées : 1± 4a+1, 1 ± i 3 4 a. a = 3 4 a > 3 4 Deux solutions réelles : 3, 1. Deux solutions réelles : 1 ± 4a [ Autour de l exponentielle ] Écrire z sous forme algébrique pour les trois premières équations. Aux d) et e), poser y = e z et se ramener à une équation du second degré en y.. [ Lieux géométriques ] Rechercher les solutions sous forme : algébrique aux (a) et (b), polaire au (c). On trouve un cercle privé d un point au (a), une droite privée d un point au (b) et la réunion de trois droites au (c). 3. [ Divertissements ] Chercher les solutions sous forme polaire aux a), b) et c). Au d), commencer par vérifier que les solutions sont nécessairement réelles ou imaginaires pures. Au e), écrire z sous forme trigonométrique. Écrire z sous forme polaire au f) et sous forme algébrique au g). 4. [ Une équation atypique ] Rechercher les solutions sous forme algébrique. Si α = 0, l équation n a pas de solution. Si α > 0, l équation admet une unique solution : z = α 1 α + i. Si α < 0, l équation n admet aucune solution. LLG PCSI Exercices 11

12 PCSI [ Classique ] { 1 i Penser à A + B = (A + i B)(A i B). On trouve, 1 + i } 1 i, 1 + i. 6. [ Une équation à paramètres ] Les racines valent (λ ± 1)e ±iθ. 7. [ Conditions sur les racines ] Le cas où p = 0 est trivial. Si p 0, poser λ = p /(4q). Le discriminant de l équation est alors p (1 1/λ) et ses racines s écrivent p( 1 ± µ)/ où µ est une racine carrée de 1 1/λ. Comme p 0, elles sont de même module si et seulement si 1 ± µ le sont. Conclure. 8. [ Module des racines d une équation ] Prouver l égalité des carrés au a). Au (b), remarquer que D après les relations coefficients-racines, on a m = α + β et αβ = 1 Appliquer le (a) à z = α, z = β et u = [ Equations dont les racines sont de module un ] L équation (E) admet deux solutions de module égal à un si et seulement si b = 1 et a [0,4]. Procéder b par Analyse-Synthèse. 30. [ Résolution d une équation ] Appliquer la formule de la série géométrique. Les solutions sont les racines n-ièmes de l unité sauf 1 et [ Questions enchaînées ] Au (a), on trouve les i cotan(kπ/n) pour k 1,n 1. Déduire le (b) du (a) sans calcul, en remarquant les égalités z+i = i ( i z+1) et z i = i ( i z 1). Poser Z = ( z+1 z 1 )n et établir que z est solution de l équation initiale si et seulement si Z est racine d une quation algébrique du second degré. On verra alors apparaître l équation du c). 3. [ Racines septièmes de l unité ] Exploiter la périodicité des puissances de ω ainsi que la relation 1 + ω + + ω 6 = 0. On trouve. 33. [ Etude d une équation ] Écrire le second membre sous forme polaire afin d en déterminer une racine n-ième particulière. Si α 0 ou (α = 0 et n impair), les solutions sont les tan(α/n kπ/n) pour 0 k n 1. Si α = 0 et n pair, en posant n = m, les solutions ont la même expression qu au cas précédent, pour k 0,m 1 \ {m }. LLG PCSI Exercices 1

13 PCSI [ Trois équations ] Penser à la série géométrique pour la seconde équation. On aboutit à une équation du second degré en Z au (c). On trouve : a) b) { 1 i, 1 + i ( ) + 3 ( + 3 ), 1 + i ( ) 3 ( 3 ) { } e iπ/5,e 3iπ/5,e 7iπ/5,e 9iπ/5. }. c) { j, j, 3 5, 3 + } [ Une équation d ordre n ] Par la formule de la série géométrique, pour z 1, 1 + z + z + + z n 1 + z n = (z n 1) z + 1 z [ Racines cinquièmes de l unité ] Exploiter l égalité 1 + α + α + α 3 + α 4 = [ Une expression de tan(π/5) ] En développant par la formule du binôme, on aboutit à une équation bicarrée. En posant Z = (1 i z)/(1 + i z), on est ramené à Z 5 = 1. On trouve donc les solutions sous deux formes et après identification, on obtient l expression de tan(π/5) au moyen de radicaux : tan(π/5) = [ Racines carrées et géométrie ] Au (a), on trouve z C \ {0,1}. Au (b), la réponse est R +. Au (c), on trouve U \ {1}. 39. [ Questions d alignement ] Appliquer la CNS d alignement. On trouve : a) Le cercle de centre (1 i )/ et de rayon /. b) L axe réel. c) La réunion des deux droites verticales définies par Re(z) = ±1/ et de l axe des abscisses. 40. [ Etude d une configuration ] Travaillez dans le repère orthonormé direct (A, AB, AD). 41. [ Quadrilatères ] Travaillez dans un repère orthonormé direct quelconque du plan en utilisant des rotations pour trouver les affixes de P, Q, R, S en fonction de celles de A, B, C, D. 4. [ Construction du pentagone régulier ] a) On trouve α + α 1 = 0. b) Comme α = e iπ/5 + e iπ/5 = cos(π/5) > 0, on en déduit que cos(π/5) = α 5 1 =. 4 c) Construction à la règle et au compas du pentagone régulier. i) L abscisse des points d intersection de C 1 et C est x = Φ = = cos(π/5). 4 LLG PCSI Exercices 13

14 PCSI ii) Par Pythagore on trouve que BC = 5/. Soient C 3 le cercle de centre C et de rayon 1/ et D l intersection entre (BC) et C 3. Alors on a BD = BC + CD = 5/ + 1/ = Φ. Ainsi C, qui a pour centre B, passe par le point D. Finir la construction. 43. [ Sa majesté équilatérale ] Traduire (AB, AC) = π/3[π] et AB = AC en c a b a = eiπ/3. Se souvenir que 1 + j + j = [ Un problème d alignement ] Écrire a puis les z k sous forme polaire. LLG PCSI Exercices 14