Nombres complexes Sessions antérieures

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1 ème aée Maths Nombres complexes Sessos atéreures Aée scolare 9 - A LAATAOUI Exercce N (SP) Das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé ( Ouv ; ; ) o cosdère les pots A et B d affxes respectves a et où a est u ombre complexe doé dfféret de Sot f l applcato de P \ {B} das P qu à tout pot M d affxe z, assoce le pot M d affxe z telle z a que : z ' = z - Motrer que les affxes des pots varats par f sot les solutos de l équato E: z z+ a = a) O suppose que a=+e θ 3 où θ, Résoudre l équato E b) Mettre sous forme trgoométrque chacue des solutos de E 3 Das cette questo o suppose que a = - Sot M u pot de P \ {B} d affxe z et M le pot z = f(z) a) Motrer que ( ubm, ) + ( ubm, ') ( ) BM, BM ' E dédure que la dem drote [BA) est ue bssectrce de l agle ( ) b) Motrer que z est magare pur s et seulemet s z = c) E dédure la costructo du pot M mage d u pot M du cercle trgoométrque prvé du pot B Exercce N (SC) Das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé drect ( O,, j), o cosdère les pots A et B d affxes respectves et et o désge par P le pla P prvé du pot A Sot f l applcato de P das P qu à tout pot M de P d affxe z assoce le pot M d affxe z tel ( ) que : z' = z a) Sot C le pot d affxe Détermer le pot f( C ) b) Sot ζ le cercle de cetre O et de rayo Motrer que pour tout pot M de ζ \ { A}, o a : f( M) = B Détermer l esemble des pots varats par f 3 Sot M u pot quelcoque du pla prvé de la drote (AB) et du cercle ζ O désge par M l mage de M par la symétre orthogoale d axe (AB) et par M l mage de M par f a) O désge par z et MM ' z les affxes respectfs des vecteurs MM ' et AM AM z MM ' z z Motrer que = E dédure que les vecteurs MM ' et AM sot orthogoaux z AM z b) Motrer que les vecteurs MM ' et BM ' sot orthogoaux c) E dédure ue costructo géométrque du pot M Complexes Sessos atéreures ème Maths 9 wwwespacemathscom

2 Exercce N 3 (SP3) Das l esemble C des ombres complexes o cosdère l équato 3 E : z + 3 d z+ + d = d ( ) ( ) Où d est u ombre complexe doé de module a) Vérfer que est ue soluto de E d b) Résoudre alors l équato E d Das le pla complexe rapporté à u repère orthoormé drect ( Ouv ; ; ) M, N d affxes respectves ; - ; - + d ; - d o cosdère les pots A, B, a) Calculer MN et détermer le mleu de [MN] b) E dédure que lorsque d vare, les pots M et N apparteet à u cercle fxe que l o précsera c) Das le cas où AMN est u tragle, motrer que O est le cetre de gravté du tragle AMN d) E dédure les valeurs de d pour lesquelles le tragle AMN est socèle de sommet prcpal A Exercce N (SC3) 3 O cosdère das C l équato (E) suvate : ( ) ( ) ( ) a) Motrer (E) admet ue soluto magare pure que l o détermera b) Résoudre (E) das C c) Doer la forme expoetelle de chacue des solutos de (E) Sot θ u réel et E θ l équato : E : z 3+ z z 8 = 3 θ θ 3θ ( E ) : z e ( 3 + ) z + e ( + 3) z 8e = a) Démotrer que : θ ( ze θ ) seulemet s z est soluto de E θ b) E dédure les solutos de l équato ( E ) suvate : ( ) ( ) 3 z z z + 8 = 3 Représeter das le pla rapporté à u Ouv ; ; repère orthoormé drect ( ) sot les sommets d u polygoe réguler Exercce N 5 (SP) est soluto de (E) s et les mages des solutos des équatos (E) et ( E ) et vérfer qu elles Sot a u ombre complexe o ul et E l équato z z+ + a = Résoudre das l esemble C des ombres complexes l équato E Ouv ; ;, o cosdère les pots A et B Le pla complexe état rapporté à u repère orthoormé drect ( ) d affxes respectves + a et a O pose a= a+ a ; a et a réels a) Motrer que les pots O, A et B sot algés s et seulemet s a = b) Motrer que les vecteurs OA et OB sot orthogoaux s et seulemet s a = 3 O suppose que a= e α où α, x x x x x x a) Vérfer que pour tout réel x, o a : + e = cos e et e =s e b) E dédure l écrture sous forme expoetelle de chacu des ombres complexes + a et a c) Détermer a pour que les pots O, A et B formet u tragle socèle rectagle e O Complexes Sessos atéreures ème Maths 9 wwwespacemathscom

3 Exercce N 6 (SP5) Das le pla complexe rapporté à u repère orthoormé drect ( Ouv ; ; ), o doe le pot A d affxe Sot l applcato f de P das P qu à tout pot M d affxe z assoce le pot M d affxe z tel que : + + z' = z+ Détermer la ature de f et précser ses élémets caractérstques Sot le pot l affxe du pot M d affxe O pose pour tout eter aturel, M f ( M ) M et par a) Motrer que = e l affxe du vecteur b) Motrer que pour tout de N, = e AM c) E dédure l esemble des valeurs de pour les quelles les pots A, M et Exercce N 7 (SP6) θ est u réel de l tervalle [, [ ; o pose pour tout ombre complexe z ( ) ( )( θ θ) f ( z) z e z e θ = a) Vérfer que f ( + ) = θ b) E dédure les solutos z et z das C de l équato f ( z) θ = Das le pla complexe, rapporté à u repère orthoormé drect ( Ouv ; ; ) = O désge par + M sot algés o cosdère les pots A, B et M d affxes respectves, 3 et + e θ a) Motrer que lorsque θ vare das [, [, M vare sur u cercle ( C ) de cetre A dot o précsera le rayo b) Détermer les valeurs de θ pour les quelles la drote (BM) est tagete au cercle ( C ) Exercce N 8 (SP7) Sot θ u réel de l tervalle ], [ Résoudre l équato e θ = Das le pla complexe, rapporté à u repère orthoormé drect ( Ouv ; ; ) o cosdère les pots A, M et N d affxes respectves + ; + e θ et e θ, a) Motrer que les vecteurs AM et AN sot orthogoaux b) Motrer que lorsque θ vare das ], [, les pots M et N varet sur u cercle ( C ) que l o détermera 3 a) Détermer e focto de θ l are A (θ ) du tragle AMN b) Détermer la valeur de θ pour la quelle l are A (θ ) est maxmale et placer das ce cas les pots M et N sur le cercle ( C ) où θ est u réel de l tervalle ] [ z 3 Complexes Sessos atéreures ème Maths 9 wwwespacemathscom

4 ème aée Maths Nombres complexes - Sessos atéreures Corrgé Aée scolare 9 - A LAATAOUI Exercce : Sot f l applcato de P \ {B} das P qu à tout pot M d affxe z, assoce le pot M d affxe z telle z a que : z ' = z - M est u pot varat par f f(m) = M z = z a z - ( ) = za z² z = za z² z+ a= a) ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ θ θ ², ou z z+ + e = z + e = z = e = e z = e z = e z = + e θ ou z = e θ b) * θ θ θ θ θ θ θ + θ z' = + e = + e = e e + e = cos + e = cos + e θ 5 5 = cos + cos θ s θ θ θ < car < + < cos + > ( cos) * θ z'' = e = + e = e e + e = cos e θ θ θ θ θ θ θ θ θ = cos cos s + θ θ > car < < cos 3 a) ( ubm, ) + ( ubm, ') arg( z ) + arg ( z' )[ ] arg( z ) ( z' ) [ ] z + Or z' = ( z ) ( z' ) = z ( ubm, ) + ( ubm, ') ( ) BA=u BM BA BM u ubm ubm BA BM (, ) + (, )( ) (, )( ) + (, ')( ) (, ')( ) [BA) est ue bssectrce de l agle ( BM, BM ') Complexes Sessos atéreures ème Maths 9 wwwespacemathscom

5 b) z est magare pur z+ z+ z+ z+ z' =z' = = zz z+ z =zz z+ z+ z z z z zz = zz = z = z = c) M ζ (O, ) \ {B} z = et z z est magare pur M ' Ov ; ( ) As M ' [ Bt) Ov, ( ) Où [Bt) est symétrque de [BM) par rapport à (AB) Exercce : Sot f l applcato de P das P qu à tout pot M de P d affxe z assoce le pot M d affxe z tel ( ) que : z' = z a) C() et C = f( C ) d affxe ( ) z' = = = C = B f( C ) = B b) M de ζ \ { A} OM = et M A z = et z ( ) z z z z z' = = = = = M = f( M ) = B z z z z M est u pot varat par f f( M ) = M 3 a) ( ) z = z² z/ = zzz/ z( z z) = z = ou z = z M ( Ou, ) \{ A} z b) c) ( ) z z MM ' z' z z zz magare pur = = = = IR z z z AM ( z)( z) z ( ) z z MM ' z' z z z z magare pur = = = = IR z z' + ' ( ) zz BM z + réel z réel MM ' AM MM ' BM ' 5 Complexes Sessos atéreures ème Maths 9 wwwespacemathscom

6 M (d) ζ, où (d) est la perpedculare à(am ) e M et ζ est le cercle de damètre [B M ] Exercce 6 : Sot l applcato f de P das P qu à tout pot M d affxe z assoce le pot M d affxe z tel que : + + z' = z+ + f : M(z) M (z ) tel que : z' = ( z ) z' = e ( z ) D où f est la rotato de cetre A et d agle dot ue mesure est M = + f M ; ( ) = aff AM = z - M () et ( ) a) ( ) = z = e z = e M z et ( ) b) Motros par récurrece que pour tout de IN, = e 6 Complexes Sessos atéreures ème Maths 9 wwwespacemathscom

7 Pour =, = z = = e Pour, supposos que = e et motros que = + e ( + ) ( ) + + = + = = = = E effet : ( ) z e z e e e e As : IN, = e c) A, M et M sot algés AM et AM sot coléares = = e est réel = k, k IN = k, k IN est u multple de 7 Complexes Sessos atéreures ème Maths 9 wwwespacemathscom