GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS LE PLAN

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1 GEOETRE ELEENTRE DNS LE PLN. SES DE GEOETRE PLNE 1. Théorème de Thalès D 3 3 D D D vec 1, et 3 parallèles : vec 1, parallèles : Les triangles 1 1 et sont homothétiques, En notant h 1 l homothétie de centre et de rapport k, l image de par h est ngles géométriques Un angle géométrique est non orienté, sa mesure est donnée par un réel positif. On assimile usuellement l angle et sa mesure. 1 Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures vaut 90 et sont complémentaires Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180 et sont supplémentaires 1

2 d d d d ngles opposés par le sommet ngles à cotés perpendiculaires ngles alternes externes : d parallèle à d : Deux angles à cotés perpendiculaires sont ou égaux, ou supplémentaires θ ngles alternes internes : d parallèle à d : θ et Triangles 31. édiatrices, médianes, hauteurs, bissectrices édiatrices est la droite qui passe par La médiatrice d un segment [ ] le milieu de [ ] et qui est perpendiculaire à ( ) l ensemble des points équidistants de et de.. est Triangle, médiatrices et cercle circonscrit au triangle Les trois médiatrices d un triangle se coupent en un point qui est à égale distance des trois sommets, c est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. édiane Une médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui coupe le segment opposé en son milieu. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en G centre de gravité du triangle. e point G isobarycentre des points,, est tel que G + G + G 0 1 Pour tout point, on a G ( + + ) 3 En particulier si O est l origine d un repère, on a : 1 OG ( O + O + O ) ce qui permet de calculer l abscisse 3 x + x + x et l ordonnée de G. Par exemple xg 3 Par extension, pour une plaque plane de surface S, cela donnera x G S xdxdy S dxdy et y G S Triangle, médianes et centre de gravité S G ydxdy dxdy

3 Hauteurs Une hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au segment opposé. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. Triangle et ses hauteurs issectrices : Les bissectrices des angles d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle 3. Propriétés dans le triangle rectangle Si est un triangle rectangle en : Relation de Pythagore : a b + c, alors Si est le milieu de l hypothénuse [ ] ˆ c coté adjacent cos a hypothénuse sin ˆ ˆ coté opposé tan cos ˆ coté adjacent ˆ b coté opposé sin a hypothénuse c a b 33. Propriétés dans un triangle quelconque La somme des mesures des angles dans un triangle vaut onséquence : La somme des mesures des angles dans un quadrilatère vaut 360 Relation de Pythagore généralisée (l Kashi) a b + c bccos a b c abc Loi des sinus : R où S est l aire du sin sin sin S triangle et R le rayon du cercle circonscrit au triangle c ˆ Â a b 3

4 1 vec p ( a+ b+ c) demi-périmètre du triangle et r le rayon du cercle inscrit: S p( p a)( p b)( p c) S pr 4. ercles et angles inscrits Soit un cercle de centre O, et deux points du cercle. [ ] est une corde qui partage en deux arcs de cercle 1 et. vec le dessin ci-contre : 1 et sont des angles inscrits dans qui interceptent la même corde [ ]. L angle O est un angle au centre. lors 1 1 O et O (si la mesure des angles est en degrés) et 1 1 O 1 et sont supplémentaires Soit (TT ) la tangente au cercle en.on dit aussi que les angles T et T ' sont inscrits dans et qu ils interceptent la même. corde [ ] vec le dessin ci-contre : T 1 O et T ' O T 1 1 O T 1 et T ' En résumé : si deux angles géométriques inscrits dans interceptent la même corde, alors ils sont soit égaux, soit supplémentaires. T ( ) Longueur de l arc : si mes O alors la longueur de est égale à R radians,. GEOETRE PLNE VETORELLE ET FFNE 1. ases et repères, changement de repère 11. ases et repère cartésien Deux vecteurs non colinéaires du plan forment une base du plan (vectoriel). ette base est orthonormée (ou orthonormale)si les deux vecteurs de la base sont orthogonaux et si chacun des deux vecteurs est unitaire (c est à dire a une norme égale à 1) 4

5 Un repère cartésien du plan est constitué d un point appelé origine du repère et d une base. Soit ( i, j) une base du plan vectoriel et (O, i, j) un repère du plan affine (ensemble de points). -- tout vecteur u, on peut faire correspondre un unique couple (x, tel que u xi + yj (x, sont les coordonnées de u dans la base ( i, j) -- tout point, on peut faire correspondre un unique couple (x, tel que O xi + yj + zk (x, sont les coordonnées de dans le repère (O, i, j). Exemple : si,, sont trois points distincts non alignés, cela signifie que a) dans la base (, ) le vecteur a pour coordonnées (ou composantes) (,-1),, le point a pour coordonnées (,-1) b) dans le repère ( ) 1. hangement de repère Etant donnés deux repères R ( Oi,, j) et R ( O, i, j ), si un point a pour coordonnées (x, dans le repère R et (x,y )dans le repère R, quel est le lien entre (x, et (x,y )? O, i et j étant tels que OO ai + bj, i i + j, j γ i + δ j O xi + yj et O xi + yj or O OO + O donc xi + yj ai + bj + ( x i j ) y ( + + γi + δ j ) De l unicité de la décomposition dans la base ( i, j) x a + x + γ y, en déduit que y b+ x + δ y Si R est l ancien repère et R le nouveau repère, ces formules donnent les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. es formules de changement de repère ne sont pas à connaître «par cœur» mais à savoir retrouver rapidement Exemple.1 :Soit R ( Oi,, j) un repère orthogonal dans lequel i j et j 1 On considère la courbe d équation x + y + x dans ce repère Pour avoir un repère orthonormé, il faut considérer i i et alors i 1, on peut utiliser R ( Oi,, j ) avec j j 1 x x D où O xi + yj xi + yj x i + y j donc y y j i (e) devient alors ( x + ) + y 4 soit ( x + ) + y 4 ce qui montre que est un cercle dont le centre a pour coordonnées(- ;0) dans le repère R ( Oi,, j ) et rayon 5

6 13. oordonnées polaires Le plan étant orienté, soit O un point du plan appelé pôle, soit i un vecteur unitaire, (Ox) ( O, i ) un axe appelé axe polaire. Soit un point quelconque différent de O, soit u un vecteur directeur de ( O ) unitaire, et θ tel que ( iu, ) θ. On note r (parfois ρ ) le réel tel que O ru. Le couple ( r, θ ) est appelé un couple de coordonnées polaires de. Si ( r, θ ) est un couple de coordonnées polaires de, alors, pour tout entier relatif k, ( r, θ + kπ ) est aussi un couple de coordonnées polaires de u θ O i O ru avecr> 0 x Si ( r, θ ) est un couple de coordonnées polaires de, alors, ( r, θ + π ) est aussi un couple de coordonnées polaires de Si ( ρ, ϕ ) est un couple de coordonnées polaires de, alors O ρ θ + π u O i O ru avecr> 0 x Lien coordonnées polaires-coordonnées cartésiennes Soit R ( Oi,, j) un repère orthonormé. Pour tout réel θ, on peut définir u( θ ) cosθi + sinθ j vecteur unitaire tel que ( iu, ) θ et v( ) u( π ) cos( π ) i sin( π θ θ + θ + + θ + ) j Soit v( θ ) sinθi + cosθ j, ce vecteur est unitaire et directement orthogonal à u( θ ). ( O, u θ, v θ ) est un repère orthonormé (il est en fait Le repère ( ) ( ) l image de R par la rotation de centre O et d angle θ. r, θ est un couple de coordonnées polaires de, alors Si ( ) v( θ ) j i θ u( θ ) O ru θ ( ) et donc x rcosθ y rsinθ On en déduit que r x + y et si x 0, tanθ y x Remarque : on peut avoir ici r>0 ou r<0 mais O r. Produit scalaire 1. Définition et propriétés Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls uetv Et si u 0 ou si v 0 alors uv. 0 Remarque : uv. est un réel est défini par uv. u v cos ; ( u v) 6

7 Propriétés : uv. vu. (symétrie) uu. u ou encore u u (car cos ( uu ; ) 1) ( u 1+ u ). v uv. + uv. (1) (bilinéarité) 1 ( u1). v ( u1. v) découle de (1) avec u0 donc et ( u1+ u). v u1. v+ u. v découle de (1) avec 1 Deux vecteurs uetv sont orthogonaux si et seulement si uv. 0 u + v ( u + v ) u + uv. + v u + uv. + v u v ( u v ) u uv. + v u uv. + v 1 On en déduit uv. u+ v u v 4. Produit scalaire et projections Soient uetv deux vecteurs non nuls, et, et trois points tels que u, et v Soient D le projeté orthogonal de sur () et E le projeté orthogonal de sur () lors. D E E D. D E > 0 D E. D E < 0 onséquences : Projection vectorielle : Soit d une droite vectorielle dirigée par un vecteur u unitaire. Pour tout vecteur v du plan, le projeté π ( v ) de v sur d s écrit (à retenir) π v vu u ( ) ( ). v π ( v ) d u unitaire Projection orthogonale (ponctuelle) : Soit un point, d une droite passant par et dirigée par un vecteur u unitaire. Soit un point quelconque du plan. Le projeté orthogonal p() de sur d est tel que. uu (à retenir) ( ) d u unitaire 3. Produit scalaire dans une base orthonormale Soient ( i, j) une base orthonormale, u de coordonnées (x, et v de coordonnées (x,y ) dans la base ( i, j ). 7

8 lors uv. xx + yy et x ui., y uj. On en déduit que uu. u x + y D où u x + y or d après la définition du produit scalaire uu. u pplications : si dans un repère orthonormé, ( x ; y ) et ( ; ) x y, alors x x + y y ( ) ( ) si u est un vecteur non nul, alors les deux vecteurs unitaires (c est à dire dont la norme est égale à 1) colinéaires à u 1 1 sont u et u.donc si u a pour coordonnées (x,, alors le seul vecteur colinéaire à u, de u u même sens que u 1 1 est v u ( xi + yj) x + y x + y Le produit scalaire permet, au signe près, de préciser l angle de deux vecteurs. En effet, de la définition, on uv. xx + yy déduit cos ( uv ; ) ssoit cos ( uv ; ) pour u (x, et v (x,y ) u v x + y x' + y' 3. Déterminant de deux vecteurs Dans la suite, on supposera que le plan est orienté, c est à dire que ( i, j) étant une base, on a choisi un sens ( de i vers j, ou de j vers i ) comme étant le sens positif. Le sens positif usuellement adopté est celui inverse des aiguilles d une montre. j i + sens positif ou sens direct Une base est dite directe si les vecteurs de la base sont donnés dans l ordre correspondant à celui du sens positif Par exemple avec le dessin ci-contre ( uv, ) est une base indirecte et ( vu u v j, ) est une base directe. La seule mesure de l angle orienté ( uv, ) qui appartient à ] π; π ] s appelle la mesure principale de ( uv, ). Le déterminant de deux vecteurs non nuls uetv est défini par Det ( uv, ) u vsin( uv, ) Det ( uv, ) Soit sin( uv, ) u v Si l un des vecteurs est nul alors le déterminant est nul. i + Propriétés : Det (antisymétrie) car sin(, ) sin( uv, ) 0 si et seulement si uetv ( vu, ) Det ( uv, ) vu Si deux vecteurs uetv sont non nuls alors : Det ( uv, ) 8 sont colinéaires

9 En effet Det ( uv, ) ( uv, ) 0[ π ] 0 si et seulement si sin( uv, ) signifie : il existe un entier relatif k tel que ( uv, ) 0 c est à dire si et seulement si ( uv, ) 0 [ π ] kπ L aire du parallélogramme construit sur u etv L aire du triangle construit sur u etv est égale à ( Det uv, ) est égale à Det ( uv, ) 1 v u alcul du déterminant Soient ( i, j) lors Det ( uv, ) x x xy xy y y une base orthonormée directe, u (x, et v (x,y ) dans la base ( i, j ). Propriété : u (x, et v x x (x,y ) sont colinéaires si et seulement 0 y y soit xy xy 0 Remarque : si la base utilisée n est pas orthonormée l expression du déterminant n est plus xy xy mais la propriété reste vraie 4. Droites dans le plan 41.Droite vectorielle et droite affine Soit u un vecteur non nul, la droite vectorielle D engendrée par u est l ensemble de tous les vecteurs colinéaires à u. On note D { λu / λ } Une droite affine est un ensemble de points. Dans le plan, dans la plupart des cas, elle est donnée à l aide deux points, ou à l aide d un point et d un vecteur directeur ou à l aide d un point et d un vecteur normal. Le mot droite, sans précision, renvoie à une droite affine 4.Equation cartésienne d une droite Premier cas : D est une droite passant par un point ( x, y ) et dirigée par u (, ) ( x, D si et seulement et u sont colinéaires ( x, D si et seulement Det (,u) 0 x x Donc ( x, D si et seulement 0 x x y y y y x y x + y 0 est une équation cartésienne de D du type ax by c 0 soit ( ) ( ) avec ( ab, ) ( 0,0) u D Deuxième cas : D est une droite passant par ( x, et ( x, y ) On peut se ramener au cas précédent en utilisant u (, ) ( x x ; y y ) 9

10 Troisième cas : D est une droite passant par ( x, y ) admettant ( a,b) ( x, ( xy, ) D si et seulement. v 0 donc : D a( x x ) + b( y y ) 0 En développant on trouve une équation cartésienne de D du type ax by c 0 Réciproquement, si D a pour équation ax by c 0 v ab, est un vecteur normal à D directeur de D et ( ) v comme vecteur normal. + + avec ( ab, ) ( 0,0) + + avec ( ab, ) ( 0,0) alors u ( b, a) est un vecteur v D Dans un repère orthonormé soit D une droite non parallèle à (O d équation y mx+ p Le réel m est la pente de D. Le réel p est l ordonnée à l origine. Si D est une droite de pente m, alors m tg où (, i u), u étant un vecteur directeur de D Si D est une droite de pente m, alors v(1; m) est un vecteur directeur de D y ( tg ) x+ p Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1.(cf. exercice GE1) O p i Ordonnée à l origine Droite y mx+ p 1 unité Pente m de la droite Dans le cas où la droite est non parallèle à (O, si elle est donnée par deux points ( x, y ) et (, ) trouver rapidement une équation de la droite en écrivant que appartient à () si et seulement si la pente de () est égale à la pente de () y y y y c est à dire si et seulement si x x x x Exemple : avec (4 ;-4) et ( ;5) cela donne y x 4 9 soit y+ 4 ( x 4 ) x y on peut 43. Représentation paramétrique Soit D est une droite passant par un point ( x, y ) et dirigée par u (, ) ( x, D si et seulement et u sont colinéaires Donc ( x, D si et seulement si il existe un réel k tel que ku 10

11 Donc ( x, x x + k y y + k D si et seulement si il existe un réel k tel que ( k ) est une représentation paramétrique de D x x + k y y + k Remarques : --à partir de la représentation paramétrique, si 0 et 0, on peut obtenir rapidement une équation cartésienne x x + k x x y y en éliminant k entre les deux égalités ou ( x x) ( y y y + k --on obtient une représentation paramétrique du segment [ ] en écrivant : x, y k 0;1 tel que k ( ) [ ] si et seulement si il existe un réel [ ] 44. Distance d un point à une droite Soit D une droite d équation ax by c 0 lors la distance de 0 à la droite D est égale à 5. ercles dans le plan + + avec ( ab, ) ( 0,0) et ( ; ) d ( ; D) 0 x y un point quelconque ax + by + c a + b Le cercle de centre et son rayon R est l ensemble des points tels que R Dans une base orthonormée ( i, j) x, y ( xy, ) R : si ( ) Donc ( ) + ( ) ( xy, ) x x y y R L équation cartésienne du cercle de centre ( x, y ), de rayon R est ( ) ( ) Ou encore x + y x x yy R + x + y 0 (démonstration voir exercices) x x + y y R ercle donné par un diamètre : lorsque le cercle est donné par un diamètre [ ], pour avoir l équation cartésienne, on écrit : ( xy, ) si et seulement si et sont orthogonaux d où ( x,. 0 en développant le produit scalaire, on obtient l équation cartésienne du cercle. j i 11

12 Paramétrage d un cercle : on considère le cercle de centre et son rayon R ( xy, ), alors x x + y y R.On en déduit qu il existe un unique réel θ appartenant à x x Rcosθ x x + Rcosθ c est à dire y y Rsinθ y y + Rsinθ x x + Rcosθ y y + Rsinθ x x + y y R soit ( ) ( ) [ 0; π [ tel que Réciproquement : pour tout point ( xy, ) pour lequel il existe θ appartenant à [ 0; π [ tel que On a ( ) ( ) x x + Rcosθ y y + Rsinθ θ [ 0; π [ est un paramétrage du cercle de centre et de rayon R ntérêt d un paramétrage : exemples --- calcul de la vitesse d un point se déplaçant sur un cercle Si un point mobile (x, se déplace sur un cercle de centre et de rayon R suivant une loi horaire θ () t, t>0 dx x() t x + Rcos θ ( t) dt On a, à tout instant t, le vecteur vitesse est donné par v, soit y() t y + Rsinθ () t dy dt x' () t R( sin θ( t) ) θ'( t) v, on remarque que, à tout instant (). t vt () 0, le vecteur vitesse est y' () t R( cos θ() t ) θ'( t) orthogonal à () t (t) et vt () R θ '( t). En dérivant une deuxième fois, on peut avoir une expression de l accélération. ---calcul d une intégrale curviligne 1