Chapitre 2 : Limites et asymptotes

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1 I Eercices 1 Limites sans indétermination Calculer les ites des fonctions suivantes, et préciser lorsque la courbe représentative de f (notée (C f )) admet une asymptote horizontale ou verticale. 1. f() en f() en f() en +. ( + 1) 2 4. f() + 1 en f() ( + 3) 5 en f() ( + 3) 5 en. 7. f() (4 2) 2 en f() en. 9. f() en f() 3 2 en 2 par valeurs inférieures. 11. f() f() en 1 par valeurs inférieures. en 1 par valeurs supérieures. 13. f() 5 en 2 par valeurs inférieures f() 5 4 en 2 par valeurs supérieures. 2 Réponses 2 Limite en l infini d un polynôme ou d une fraction rationnelle Calculer les ites des fonctions suivantes, et préciser lorsque la courbe représentative de f (notée (C f )) admet une asymptote horizontale. 1. f() , en f() + 3 en f() 4 + en. 4. f() 2 2 en f() 2 5 en f() 4 24 en. 2 ( + 1) Aide 2 (3 + 1)2 7. f() en +. Réponses (2 3) 3 L.BILLOT 1 DDL

2 3 Limites indéterminées Pour chaque ite il faut trouver la bonne méthode. C est difficile au début, puis avec l epérience... Calculer les ites suivantes 1. + sin. sin cos sin sin cos. 4 Asymptotes obliques Aide Réponses 1. On considère la fonction définie sur R { 2; 2} par : f() , et 2 4 on appelle (C f ) sa courbe représentative dans un repère du plan. (a) Montrer que la droite ( ) d équation y 2 1 est asymptote à la courbe en +. (b) Étudier les positions relatives de (C f) et de ( ). 2. On considère la fonction f définie sur R { 2} par f() 2 3. On note + 2 (C f ) sa courbe. (a) Déterminer des réels a, b et c tels que : f() a + b + c + 2. (b) En déduire que (C f ) admet une asymptote en et donner l équation de cette asymptote. 3. On donne la fonction f définie sur ] ; 0] [4; + [ par : f() 2 4. Montrer que la droite d équation y 2 est asymptote à la courbe représentative de f en + 4. (a) Montrer que la courbe représentative de la fonction g, définie par g() admet une asymptote oblique en +. (b) Déterminer sur quel ensemble l écart entre la courbe et l asymptote est inférieur à un centième d unité. Aide Réponses L.BILLOT 2 DDL

3 II Aide 2 Limite en l infini d un polynôme ou d une fraction rationnelle Première méthode : Je mets le terme de plus haut degré en facteur, je simplifie dans le cas d une fraction, puis je calcule la ite. Deuième méthode : J applique une des règles suivantes : La ite en l infini d un polynôme est égale à la ite de son terme de plus haut degré. La ite en l infini d une fraction rationnelle est égale à la ite du quotient de ses termes de plus haut degré. 3 Limites indéterminées Quelques méthodes pour lever une indétermination : Les règles de comparaison de fonctions : inégalités, théorème des gendarmes. Utilisation possible : ites en l infini d une fonction trigo. L epression conjuguée. Utilisation possible : ites avec des sommes ou des différences contenant des racines. à la définition du nombre dérivé. Utilisation possible : ites d un quotient en un point. (avec éventuellement des différences au numérateur et au dénominateur) Factorisation. Utilisation possible : ites en l infini avec des racines, ou ites en un point de fractions. Aide spécifique à chaque question : 1. Comparaison. 2. Comparaison (gendarmes). 3. Epression conjuguée. 4. Nombre dérivé. 5. Nombre dérivé ou epression conjuguée. 6. Factorisation. 7. Factorisation. Attention, si < 0, Factorisation. 9. Nombre dérivé. 10. Comparaison. 11. Comparaison. L.BILLOT 3 DDL

4 4 Asymptotes obliques Rappel de cours : Soit f une fonction et (C f ) sa courbe représentative, alors les deu propriétés suivantes sont équivalentes : La droite (d) d équation y a + b est asymptote à (C f ) en + ssi (f() (a + b)) 0 La droite (d) d équation y a + b est asymptote à (C f ) en + ssi il eiste une fonction ϕ telle que : f() a + b + ϕ() avec ϕ() 0 (La fonction ϕ représente l écart entre la courbe et la droite.) Même chose si je remplace + par. Méthodes : Si dans le tete on me donne l équation de l asymptote, alors je simplifie l epression de f() (a + b), puis je calcule la ite. Si on ne me donne pas l équation, j essaie de reconnaître la forme a + b + ϕ(). Pour déterminer les positions relatives, j étudie le signe de la différence : f() (a + b). L.BILLOT 4 DDL

5 III Correction 1 Limites sans indétermination donc ( + 1)2 + donc } 1 donc ( + 1) 0. 2 donc La courbe (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en donc ( + 5), donc ( + 3)5. 6. ( + 3) +, donc ( + 3) (4 2), donc (4 2) (2 1) + donc donc La courbe (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en < donc donc 2 < 2 < La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation 2. donc < L.BILLOT 5 DDL

6 < donc < 1 +. < La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation > donc > 1. > La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation < < donc < La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation > > donc > La courbe (C f ) admet une asymptote verticale d équation 2. 2 Limite en l infini d un polynôme ou d une fraction rationnelle 1. Première méthode ( : f() ). 2 3 Or 3 + et ( ) 2 3 Deuième méthode : Première méthode ) : f() ( ( ) ( ) Or Deuième méthode : et , donc f() +. ( 2 1 ) 2, donc f() 1 2. Donc la courbe (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 1 2 en. Remarque : La deuième méthode étant plus rapide, j utiliserais dorénavant celleci dans les calculs. Mais attention : Cette méthode ne s applique qu en + ou - l infini. Cette méthode ne s applique ppas lorsque l on a des fonctions racines, trigonométriques, logarithmes... L.BILLOT 6 DDL

7 (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en ( + 1) (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 2 en. (3 + 1) 2 7. (2 3) (C f ) admet une asymptote horizontale d équation y 0 en +. 3 Limites indéterminées 1. Pour tout R, sin 1, donc + sin 1. Or 1 +, donc + sin Pour tout R, 1 sin 1, donc si > 0, on a : 1 Or 1 1 sin 0 et 0, donc 0. sin Pour tout > 1, ( 3 + 1)( ) ( 3) ( + 1) Or 3 + et et , donc f() f(a) 4. Rappel : si f est dérivable en a alors f (a). a a La fonction cos est dérivable en 0 et sa dérivée est : sin, cos 1 cos cos 0 donc : sin La fonction + 1 est dérivable en 0 et sa dérivée est : , (1 2 ) 2 12 ) 1 2 ( Pour > 0, Or + et ( ) 1, donc L.BILLOT 7 DDL.

8 7. Ici est négatif, donc 2. Pour < 0, ) ( ) ( Or et. ( ) > 0, donc f() 8. 3 annule le numérateur et le dénominateur, donc il sont tous les deu factorisables par 3. Pour tout 3, ( 3)(2 + 1) 2 9 ( 3)( + 3) Donc La fonction sinus est dérivable sur R et sa dérivée est la fonction cosinus, donc sin 0 sin sin 0 cos Pour tout R, sin 1, donc 4+sin 5 donc et 4 + sin sin Or +, donc sin Pour tout R, cos 1, donc 2 5 cos 2 5, or 2 5 +, donc 2 5 cos +. 4 Asymptotes obliques 1. (a) Pour tout R { 2, 2}, f() (2 1) (2 1)( 2 4) (2 4) +, donc (f() (2 1)) 0 et la droite ( ) d équation y 2 1 est asymptote à la courbe en +. (b) J étudie le signe de f() (2 1)) est un trinôme du second degré dont les racines sont 2 et 2. Donc : 3 est positif et la courbe est au dessus de son asymptote sur 2 4 ] ; 2[ ]2; + [ 3 est négatif et la courbe est en dessous de son asymptote sur ] 2; 2[. 2 4 (Les intervalles sont ouverts, car ce sont des valeurs qui annulent le dénominateur.) L.BILLOT 8 DDL

9 2. (a) Pour tout 2, a+b+ c (a + b)( + 2) + c J identifie les cœfficients du numérateur avec ceu de 2 3 a 1 2a + b 1 2b + c 3 a 1 b 3 c 3 a2 + (2a + b) + 2b + c , donc f() , ce qui donne : (b) f() , avec donc (C f) admet la droite d équation y 3 comme asymptote en. 3. f() ( 2) 2 4 ( 2) ( 2 4 ( 2))( ( 2)) ( 2) ( 2) Or 2 4 donc ( 2) 0. + et ( 2) +, Donc la droite d équation y 2 est bien asymptote à la courbe représentative de f en + 4. (a) Pour tout R, g() , et 0, donc la droite 2 d équation y est asymptote oblique en + à la courbe. (b) L écart entre deu courbes est donnée par la valeur absolue de la différence, donc je résous f() ] ; 20] [20; + [. L.BILLOT 9 DDL