TS Fonction exponentielle (1)

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1 TS Foctio potill () I Costructio d l potill ) Itroductio O démotr physiqu das l étud d la radioactivité (abordé èr ) qu si N(t) désig l ombr d oyau désitégrés à l istat t, o a : N(t) = N(t) où désig u costat qui dépd d l élémt radioactif cosidéré U tll rlatio qui rli u foctio t sa dérivé s appll u équatio différtill O put primr N(t) foctio d t sous la form N(t) = N() p( t) où p désig u foctio applé «foctio potill» D ombruss autrs situatios d physiqu (par mpl l étud d la prssio atmosphériqu) coduist à ds équatios différtills d la mêm form f (t) = k f (t) t doc écssitt l utilisatio d la foctio potill ) Propriété Il ist u t u sul foctio f défii t dérivabl sur tll qu f ' f t f () = 5 ) Utilisatio d la calculatric Nous admttros qu la foctio potill put s primr à l aid ds foctios usulls (c st c qu l o appll u «foctio trascdat») O put pas calculr «à la mai» l imag par la foctio potill d u rél autr qu Aussi dvos-ous avoir rcours à la calculatric pour calculr l imag d u rél autr qu Par mpl, pour «calculr» p (3), o dvra procédr aisi : calculatric TI : o doit tapr d l 3 ENTER O obtit l affichag ^ 3 calculatric Casio : o doit tapr SHIFT l 3 EXE La touch l s réfèr à u foctio qui sra étudié plus tard applé «foctio logarithm épéri» t qui sra défii à partir d l potill E fft, pdat très logtmps, o commçait par étudir la foctio logarithm épéri t c st sulmt après qu l o défiissait la foctio potill à partir d la foctio logarithm épéri O trouv p (3) =, (ombr irratiol) O obtit aisi u valur approché d p (3) Il faut otr qu crtais calculatrics plus récts t coforms au ouvau programm ot u touch «potill» (l logarithm épéri s obtit faisat d puis appuyat sur la touch «potill») 3 ) Démostratio II Rlatio foctioll Nous admttros qu si f st u foctio défii t dérivabl sur tll qu f ' f t f () =, alors f ) Propriété fodamtal s aul pas sur C résultat sra démotré das l paragraph VIII à la fi du chapitr L istc st admis sas démostratio coformémt au programm L uicité sra démotré das l paragraph VIII à la fi du chapitr 4 ) Défiitio L uiqu foctio f défii t dérivabl sur tll qu potill» t st oté «p» O otra qu d après ctt défiitio : f ' = f t f () = st applé «foctio la foctio p st dérivabl sur (autrmt dit o admt qu la foctio st dérivabl sur ) t p' p ; p (o lit «l imag d par la foctio potill st égal à» ou «l potill d st égal à») (, y) O dit qu : p ( + y) = p () p (y) l potill d u somm st égal au produit ds potills ; la foctio potill trasform u somm produit ) Démostratio O fi u rél y p( y) O pos ( ) p( ) La foctio st défii sur La foctio p( + y) st dérivabl sur

2 Sa dérivé st la foctio p ( + y) = p ( + y) st l quotit d du foctios dérivabls sur, p s aulat pas sur R Doc st dérivabl sur p( ) p( y) p( ) p( y) '( ) p( ) = Doc st costat sur Il ist doc u rél k tl qu () = k Doc p( + y) = k p() E appliquat l égalité () à c qui st impossibl, o aurait alors p p, soit D où la propriété p st à valurs strictmt positivs p st dérivabl sur doc ll cotiu sur p() = t p s aul pas Doc il st impossibl d trouvr u rél tl qu p() p état positiv, p st strictmt positiv sur (grâc à la cotiuité) III Propriétés algébriqus d l potill ) Propriété (fodamtal) Éocé p ou cor, O choisit = O obtit : p(y) = k p() = k = k D où la propriété 3 ) Coséqucs p s aul pas sur p () > Démostratio p s aul pas sur La méthod qui va êtr posé st particulièr à ctt foctio-là O a vu la propriété fodamtal d la foctio potill qui s prim sous la form d u phras, y p p y p y () quatifié : Il st possibl d particularisr y par rapport à das la rlatio () (pricip d spécialisatio) O appliqu la rlatio fodamtal avc y = (, y) p ( + y) = p () p (y) Démostratio fait das l paragraph II Gééralisatio,,, p p p p Ctt formul put s démotrr utilisat u récurrc évidt O put écrir ctt formul utilisat ls symbols mathématiqus d somm t d produit sous la form suivat : ) Propriété Éocé p i i i p i (l symbol désig l produit) i i O obtit : p p p soit O va raisor par l absurd Si la foctio p s aulait sur, il istrait u rél tl qu p p () p p( ) p( ) 3 4

3 Démostratio O appliqu la rlatio fodamtal avc y = O obtit l égalité p() p( ) = p() = D où : p( ) p( ) 3 ) Propriété 3 Éocé p( ) p( y) p( y) Démostratio O appliqu la rlatio fodamtal avc t y O obtit l égalité p( y) = p() p( y) cas : = p( ) (covtio) = p() 3 cas : < O pos : = p( ) p( ) ' p( ) ' p( ' ) p( ' ) = p( ) = p() 5 ) Propriété 5 r cas O appliqu la propriété précédt pour écrir : 4 ) Propriété 4 Éocé p( ) p( y) p( ) p( y) p( y) Éocé p( ) p( ) p( ) p( ) Démostratio r cas : > p( ) p p p facturs p( ) trms = p() 5 Démostratio p( ) p propriété p p Doc p p p p car p 6

4 Rappl ) Coséqucs a a a a t b sot du réls qulcoqus Par coséqut, la formul qui vit d êtr démotré gééralis la formul p( ) p( ) Gééralisatio au racis -ièms, p( ) p 5 ) Formul récapitulatif p ( + y) = p () p (y) p( ) p( ) p( ) p( ) p p IV Ss d variatio d la foctio potill ) Propriété p > Or p = p doc p() > Doc p() > O déduit qu la foctio potill st strictmt croissat sur p a < p b a < b p a = p b a = b 3 ) Applicatio au équatios t au iéquatios Empl : Résoudr das l équatio : p ( + ) = p 3 () () + = 3 = Doc l smbl ds solutios d () st S Empl : Résoudr das l iéquatio : p (3 ) > p ( + 3) () () 3 > + 3 > 4 Doc l smbl ds solutios d () st S 4 ; 4 ) Étuds ds sigs d prssios avc ds potills Empl : Étudir l sig d p() suivat ls valurs d Méthod : Pour étudir l sig d ctt prssio, o résout du iéquatios t u équatio p() > () p() < () p() = (3) () p() > > () p() < < (3) p() = = O put drssr l tablau d variatio d la foctio potill + + Sig d p() + Sig d p() + Variatio d p Empl : Étudir l sig d p() + suivat ls valurs d 7 p st toujours positif doc p() + > 8

5 V Notatio défiitiv ) Nombr d Népr O pos = p () Grâc à la calculatric, o trouv =, st u ombr qui a i écritur décimal fii i écritur fractioair C st u ombr irratiol O l désig comm par u lttr Ctt otatio st du au mathématici suiss Lohard Eulr (73) ) Propriété D après la propriété 4 sur ls posats, p( ) p( ) p() 6 ) Réécritur ds propriétés algébriqus d l potill y y y y Comm ls propriétés d l potill sot aalogus à clls d puissacs, la otatio s avèr particulièrmt pratiqu pour ls calculs VI Rpréstatio graphiqu d la foctio potill ) Tablau d valurs (avc la calculatric) 3 ) Gééralisatio O gééralis à posat p( ) O lit «potill» ou «posat» C st désormais ctt otatio qui sra préfértillmt mployé 4 ) Valurs particulièrs,4539 ; ) Tracé 3 4 p (valurs arrodis au diièm),367 ;,,4,7 7,4, 54,6 ; ; 7,389 ; 3,855 ; 3 54,598 C 5 ) Réécritur d qulqus propriétés avc ctt otatio ' j O i La foctio potill st cotiu sur doc la courb st tracé sas lvr l crayo 9

6 3 ) Brachs ifiis L étud ds brachs ifiis sra vu plus tard avc ls limits Néamois, o put déjà obsrvr qu la courb d la foctio potill s rapproch d plus plus d l a ds abscisss sas jamais l touchr O dit qu la courb d la foctio potill admt l a ds abscisss pour asymptot horizotal C 4 ) Tagts particulièrs au poit d absciss p' p La tagt au poit d absciss a pour équatio y soit y = + j O i VII Logarithm épéri C ) Démostratio O rappll l tablau d variatio d la foctio potill + j O i Variatio d p limit + limit au poit d absciss Nous vrros plus tard ls limits suivats qu l o put déjà aisémt comprdr : p' p La tagt au poit d absciss a pour équatio y Ctt tagt pass par l origi du rpèr d où l tracé soit y = (la courb d la foctio potill admt l a ds abscisss pour asymptot horizotal ) U gééralisatio du corollair du théorèm ds valurs itrmédiairs qui sra vu plus tard prmt d affirmr qu pour tout rél a strictmt il ist u uiqu rél tl qu p () = a, c qui s écrit lagag mathématiqu quatifié : a *! tl qu p () = a Autrmt dit, pour tout rél a > admt u uiqu atécédt par la foctio p, c qu l o voit aisi das l tablau d variatio

7 + La foctio logarithm épéri sra étudié plus tard Pour l istat, ous ous cottros d utilisr la otatio l quad ous auros bsoi Variatio d p a + 5 ) Mis gard O prêtra atttio qu o a défii l logarithm épéri d u rél strictmt positif O put aussi l voir sur la courb potill L logarithm épéri d u rél égatif ist pas Néamois, si l o tap l sur la calculatric, cll-ci affich u résultat qui st u ombr compl imagiair pur Nous pliquros pas c résultat ctt aé ) Défiitio t otatio 6 ) Logarithm décimal L uiqu rél tl qu p () = a st applé «logarithm épéri» d a t st oté l a 3 ) Empls p () = doc l = p () = doc l = Cs du valurs sot à coaîtr par cœur Pour d autrs ombrs, o utilis la calculatric (touch spécial) Sur la calculatric TI 8 : touch l Sur la calculatric Casio Graph 35+ : touch l Par mpl, l =, Nous étudiros pas commt trouvr u tll valur sas la calculatric (i commt fait la calculatric pour trouvr u tll valur) ; l calcul d u logarithm épéri «à la mai» sra pas pliqué ctt aé 4 ) Applicatio au équatios t iéquatios avc potill Empl : Résoudr das l équatio : p () = () () = l Doc l smbl ds solutios d () st S l Empl : Résoudr das l équatio : p () < 3 () () < l 3 Doc l smbl ds solutios d () st S ; l 3 E scics physiqus o utilis l logarithm décimal (ou logarithm d bas ) L logarithm décimal d u rél strictmt positif oté log st défii à partir du logarithm épéri l par la formul log l Il corrspod à la touch log d la calculatric VIII Démostratio d l uicité d la foctio potill ) Lmm Éocé Si f st u foctio défii t dérivabl sur tll qu f () f ( ) = Démostratio O cosidèr la foctio défii sur par () = f () f ( ) () = f () f ( ) + f () [ f ( )] = f () f ( ) f () f ( ) = f () f ( ) f () f ( ) = O déduit qu st costat sur Or () = f () f () = f ' = f t f () = alors Doc () = c qui ous prmt d écrir f () f ( ) = ) Coséquc Si f st u foctio défii t dérivabl sur tll qu f ' = f t f () = alors f s aul pas sur 3 4

8 3 ) Démostratio d l uicité das la défiitio d l potill O souhait démotrr qu s il ist u foctio f défii t dérivabl sur tll qu f st uiqu Supposos qu ls foctios f t f vérifit ls coditios posés : f ' f t f f ' f t f f O pos (o sait qu f s aul pas sur ) f st l quotit d foctios dérivabls sur, f s aulat pas sur Doc st dérivabl sur f ' f f f ' f f f f ' f f formul d dérivé d u quotit O déduit qu st costat sur f Or f Doc st costat égal à Par suit, f f La solutio du problèm posé st doc uiqu IX Valurs approchés d ) Formul d approimatio affi tagt (admis sas démostratio) Pour u foctio f dérivabl u rél, o a : f ' = f t f () =, alors f ( ) f ( ) f '( ) pour «proch» d Ctt formul s itrprèt facilmt d maièr graphiqu (t la «justifi» du mêm coup) : au voisiag du poit d absciss la courb d la foctio f st quasimt cofodu avc la tagt c poit (qui a pour y f ( ) f '( )) équatio ) Applicatio à la foctio potill O prd f = p O prd u rél h fié strictmt positif «proch» d O va appliqur ctt formul plusiurs étaps èr étap : o prd = h t f ( h) f () hf '() Comm f () t f '(), la formul d approimatio affi tagt do f ( h) h étap : o prd = h t h f ( h) f ( h) hf '( h) f ( h) f ( h) hf ( h) f ( h) h f ( h) f ( h) h 3 étap : o prd = 3h t h f (3 h) f ( h) hf '( h) f (3 h) f ( h) hf ( h) f (3 h) h f ( h) 3 f (3 h) h tc O put démotrr par récurrc qu * f ( h) h 3 ) Applicatios umériqus f O va choisir u tir aturl o ul t u ombr rél strictmt positif h tl qu h (doc, fait, pour u tir aturl fié, o a : h ) h =,5 t = f (),5,5, 5 doc,5 h =, t = 5 f (), 5 5,,49 doc,49 h =, t = f (),,,59 doc,59 h =, t = f (),,,7 doc,7 h =, t = f (),,,769 doc,

9 4 ) Tracé approché d la courb d la foctio potill U méthod aalogu à cll mployé pour détrmir ds valurs approchés d prmttrait d tracr la rpréstatio graphiqu d la foctio potill d maièr approché par ds «morcau» d tagts Ctt méthod, qui sra pas décrit ici, s appll la méthod d Eulr 7