Fiche d exercices 7 : Intégrales et primitives

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1 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Itégrals t propriétés Ercic O cosidèr ls foctios f ( ) + t f ( ). E utilisat la défiitio d u itégral, calculr : Ercic (a) f ( ) d (c) f ( ) (b) g ( ) d (d) g ( ) 5 5 f. Soit f la foctio défii sur [- ; ] par ( ) O ot C la courb rpréstativ d f.. Vérifir qu la courb C st u dmi-crcl d ctr O t d rayo.. E déduir la valur d d. Ercic Soit f la foctio affi par morcau défii sur [- ; ] par sa courb rpréstatio C. f d.. Calculr ( ). Détrmir la valur moy d f() sur [- ; ]. d d Ercic Soit f la foctio affi par morcau défii sur [- ; ] par sa courb rpréstatio C. Ercic 5 f.. Justifir qu ( ) d /9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs - Détrmir u cadrmt d f ( ) d, f ( ) d t ( ) f d.. E déduir u cadrmt d ( ) Soit la foctio f défii sur R par : f ( ) f d. O désig par C sa courb rpréstativ das l pla mui d u rpèr orthoormal d uité graphiqu cm.. Tracr C. + I d.. Pour α rél o ul, o pos f ( ) (a) Justifir l istc d I. (b) Dor l sig t u itrprétatio graphiqu d I. (c) Rpréstr graphiqumt I.. O défiit sur N* la suit (u ) par : u f ( ) (a) Dor pour tout d N*, l sig d u. (b) Motrr qu pour tout d N* : I u I d d avc I f ( )

2 Ercic 6 Pour tout tir d N*, o cosidèr l itégral : I + d. (a) Etudir pour tout ],+ [, ls variatio d (I ). (b) Démotrr qu, pour tout N*, I. Coclur sur la atur d la suit. Démotrr qu l o a :. E déduir la limit d I. Ercic 7 π < I + Pour N*, soit I si( ). Démotrr qu pour tout N* :. Qull st la limit d I? <. O chrchra pas à calculr I. I π Ercic 8 O cosidèr la foctio f défii sur [ ; ] par : f + ( ) ( + ) O ot D l domai compris tr l a ds abscisss, la courb C t ls droits d équatio t. O approch l air du domai D calculat la somm d airs d rctagls.. (a) Das ctt qustio, o découp l itrvall [; ] quatr itrvalls d mêm loguur. sur l itrvall ;, o costruit u rctagl d hautur f ( ) sur l itrvall ;, o costruit u rctagl d hautur f sur l itrvall ;, o costruit u rctagl d hautur f sur l itrvall ;, o costruit u rctagl d hautur f Ctt costructio st illustré ci-après. L algorithm ci-dssous prmt d obtir u valur approché d l air du domai D ajoutat ls airs ds quatr rctagls précédts : Variabls : k st u ombr tir S st u ombr rél Iitialisatio : Affctr à S la valur Traitmt : Pour k allat d à Fi pour Sorti : Affichr S Affctr à S la valur k S + f Dor u valur approché à - près du résultat affiché par ct algorithm. (b) Das ctt qustio, N st u ombr tir strictmt supériur à. O découp l itrvall [; ] N itrvalls d mêm loguur. Sur chacu d cs itrvalls, o costruit u rctagl procédat d la mêm maièr qu à la qustio. (a). Modifir l algorithm précédt afi qu il affich sorti la somm ds airs ds N rctagls costruits. O appll I ( + ) /9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs - d. (a) Détrmir l sig d I. (b) Etudir ls variatios d f() puis dor u cadrmt d I sur [ ; ].. Soit g la foctio défii sur R par ( ) ( ) g (a) Démotrr qu g st u primitiv d la foctio f sur R. (b) Calculr l air A du domai D, primé uités d air.

3 Ercic 9 O cosidèr la foctio f défii sur [ ; ] par :. O pos I f ( ) f ( ) ( + ) d (a) Itrprétr géométriqumt l rél I. (b) Soit u t v ls foctios défiis sur [; ] par u ( ) t ( ) Vérifir qu f ( u ' v + uv ' ) v. (c) E déduir la valur act d l itégral I.. O do l algorithm ci-dssous. Variabls : k t sot ds tirs aturls S st u ombr rél Etré : Dmadr à l utilisatur la valur d Iitialisatio : Affctr à S la valur Traitmt : Pour k allat d à - k Affctr à S la valur S + f Fi pour Sorti : Affichr S O ot s l ombr affiché par ct algorithm lorsqu l utilisatur tr u tir aturl strictmt positif comm valur d. (a) Justifir qu s rprést l air, primé uités d air, du domai hachuré sur l graphiqu ci-dssous où ls trois rctagls ot la mêm largur. (b) Qu dir d s fouri par l algorithm proposé lorsqu dvit grad? Primitivs Ercic O cosidèr du foctios f t F défiis sur I. Das chaqu cas, motrr qu F st u primitiv d f sur I. F + ( ) + 5. ( ) ( )( ). F( ) ( + ) f I R 8 f ( ) ( + ) + 5. F ( ) ( ) I R 6 f I R \{5} ( 5). F ( ) ( ) f I ; + 5 Ercic Dor u primitiv sur l itrvall I d chacu ds foctios suivats :. ( ) 5 5 f + + I R 7. f ( ) + I ;+ +. ( ) ( + )( + 7) f I R f I R. ( ) ( ) 6 f I ;+ 5. ( ) ( ) + 6. ( ) Ercic f 6 I R Dor u primitiv sur l itrvall I d chacu ds foctios suivats :. f ( ) si( ) cos ( ). ( ) cos( + ) I R f I R. f ( ) si π π I ; cos. f ( ) cos si I R 5. f ( ) si I R /9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs -

4 Ercic Dor u primitiv sur l itrvall I d chacu ds foctios suivats :. f ( ) I ] ;+ [ l. ( ) ( ) f I ] ;+ [ si cos. f ( ) cos + I ] π; π[. f ( ) ta π π I ; f ( ) + + I R Ercic Soit la foctio f défii sur R par : f ( ) g défii sur R par : g( ). Calculr I f ( ). Soit I g( ) d. d. Calculr I + I + t déduir la valur d I. + Ercic 5 O cosidèr la foctio f défii par : 7 f ( ) Détrmir ls ombrs réls a t b tls qu, pour tout élémt d l smbl d f : a b f ( ) E déduir u primitiv F d la foctio f sur l itrvall ] ;+ [. Ercic 6 Soit f ( ) cos. Motrr qu pour tout R o a f ( ) cos cos si π. E déduir la primitiv F tll qu F.. Ercic 7 Calcul d itégrals Calculr ls itégrals suivats : (a) ( t ) dt (b) ( t t) dt (c) t dt t Ercic 8 Calculr ls itégrals suivats : Ercic 7 (a) dt t t Calculr ls itégrals suivats :. I d π (b) ( cost ) dt (c) ( si( t ) ) π 6 5. M 5 d. J + d 6. N si. ( ) ( ) K cos d π d 7. O ( + ). L d 8. P + d Ercic 8 ( ) O cosidèr la foctio f défii sur R par f ( ) f. +. Vérifir qu pour tout, ( ). E déduir la valur d l itégral f ( ) + J d.. d dt /9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs -

5 Ercic 9. Détrmir a, b t c tl qu pour tout - :. E déduir I d Ercic 5 ( ) Calculr ls itégrals suivats : Ercic l l (a) ( t ) dt. Résoudr l iéquatio l t l. f a + ( ) ( ) b (b) t t t dt (c) t + dt. (a) Soit f défii sur ]; + [ par ( ) ( l ). Calculr f ' ( ) pour tout >. (b) E déduir l d.. Motrr qu l o a t dt l t + + Problèms d sythès Ercic (dvoir survillé) O s propos d détrmir u valur approché à - près d l itégral L f ( ) d où f st la foctio défii sur [; ] par f ( ). Démotrr qu pour tout [; ] : f ( ). Soit J t K ls itégrals défiis par : ( ) J + d ; K f ( ) d + c (a) Calculr J t motrr qu J. (aid : u primitiv d ( + ) st d la form ( a b) + ). (b) Utilisr l cadrmt d la qustio. pour démotrr qu : K 6 (c) Démotrr qu J + K L. (d) E déduir u cadrmt d L, puis dor u valur approché d L à - près. Ercic (dvoir survillé) O cosidèr la suit ( ) défii pour tout tir aturl o ul par : t cos tdt. (a) Motrr qu la suit ( ) st à trm positifs. + (b) Motrr qu tout N t pour t [; ] o t cost t cost. (c) E déduir ls variatios d la suit ( ). (d) Qu put-o déduir quat à la covrgc d la suit ( )?. (a) Démotrr qu pour tout tir aturl o ul,. + (b) E déduir la limit d la suit ( ). Ercic (dvoir survillé) O cosidèr la suit (u ) défii pour tout tir aturl o ul par : u ( t t) dt. Motrr qu pour tout tir aturl o ul, u.. (a) Démotrr qu pour tout rél t d l itrvall [; ] t pour tout tir aturl o ul : t (b) E déduir qu pour tout N,. Détrmir la limit d la suit (u ). ( t) ( t) u. + 5/9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs -

6 Ercic 5 (Baccalauréat Nouvll Calédoi Mars ) ; + par : Soit f la foctio défii sur l itrvall ] [ f ( ) l Soit C la courb rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthoormal. Soit A l air, primé uités d airs, d la parti du pla compris tr l a ds abscisss, la courb C t ls droits d équatios rspctivs t. O utilis l algorithm suivat pour calculr, par la méthod ds rctagls, u valur approché d l air A (voir figur ci-après). Variabls : k t sot ds tirs aturls U, V sot ds ombrs réls Iitialisatio : U prd la valur V prd la valur N prd la valur Traitmt : Pour k allat d à - k Affctr à U la valur U + f + Fi pour Sorti : Affichr U Affichr V Affctr à V la valur k + V + f +. (a) Qu rpréstt U t V sur l graphiqu précédt? (b) Qulls sot ls valurs U t V affichés sorti d l algorithm (o dora u valur approché d U par défaut à - près t u valur approché par cès d V à - près)? (c) E déduir u cadrmt d A.. Soit ls suits (U ) t (V ) défiis pour tout tir o ul par : U f V ( ) + f + + f f + f + + f f + + f O admttra qu pour tout tir aturl o ul, U A V (a) Trouvr l plus ptit tir tl qu V U < (b) Commt modifir l algorithm précédt pour qu il prmtt d obtir u cadrmt d A d amplitud ifériur à,?. Soit F la foctio dérivabl sur ] ; + [ par : F( ) (a) Motrr qu F st u primitiv d f sur ] [ (b) Calculr la valur act d A. Ercic 6 (dvoir survillé) l ; +. ( ) O cosidèr la foctio f défii sur l itrvall I ] ; + [ par : f ( ). (a) Etudir ls variatios d f sur l itrvall I. (b) E déduir l sig d f() lorsqu décrit I. ; +. (a) Vérifir qu la foctio F défii sur ] [ par F( ) ( ) l primitiv d f sur I. (b) Justifir qu F st strictmt croissat sur [ ;+ [ (c) Démotr qu l équatio ( ). l + st u F admt u uiqu solutio, oté α sur l itrvall [ ;+ [. Dor u cadrmt d α à - près. O cosidèr ls foctios g t h défiis sur ] ; + [ par g( ) t h ( ) l +. Soit C g t C h lurs courbs rpréstativs.. (a) Rpréstr C g t C h. Qulls sot ls coordoés d A, itrsctio d C h avc l a ds abscisss? (b) O ot A l air du domai délimité par C g t C h. t ls droits d équatio t. Démotrr qu A. 5. t st u ombr supériur à. O ot A t l air du domai délimité par C g t C h. t ls droits d équatio t t. O vut détrmir u valur d t tll qu : A A t (a) Démotrr qu A t ( t ) l t. (b) Coclur. 6/9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs -

7 Ercic 7 (dvoir survillé) Ercic 8 (dvoir survillé) Ercic (dvoir survillé) Ercic 9 (dvoir survillé) 7/9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs -

8 Ercic (dvoir survillé) Ercic (dvoir survillé) Ercic (dvoir survillé) 8/9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs -

9 Sujts baccalauréat Ercic Métropol Réuio Sptmbr 6 Ercic Podichry Avril 6 9/9 Fich d rcics 7 : Itégrals t primitivs Mathématiqus trmial S obligatoir - Aé scolair 6/7 PHYSIQUE ET MATHS Souti scolair t Cours particulirs -