Deuxième séance de regroupement PHR004

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1 Deuxième séance de regroupement PHR4 Rappels de cours (Leçons 3 à 5) Commentaires sur les exercices Questions / Réponses

2 Dynamique du point matériel

3 Rappels On nomme "Référentiel" un système d'axes, pouvant constituer un repère des coordonnées, lié à un observateur muni d'une horloge fournissant la date t. Il existe des référentiels privilégiés: référentiels d inertie, dans lesquels le mouvement d une particule libre est rectiligne et uniforme Le référentiel galiléen est identique au référentiel d inertie, il vérifie donc la loi d inertie : si une particule est libre, son vecteur vitesse est constant

4 Loi fondamentale de la dynamique Définitions : Une particule libre est gouvernée par la loi : Lorsque la particule n est plus libre de toutes dp contraintes extérieures (non-isolée) : P Cte La loi fondamentale de la dynamique consiste à définir la force comme étant l'action de l extérieur à chaque instant sur la particule : def P = m v = vecteur quantité de mouvement L = r P = r mv = vecteur moment cinétique dp P = m v = Cte = F dp = = m a

5 Principe de relativité de GALILÉE t i = i' ; j = j' ; k = k' Si le référentiel R est galiléen, il en est de même du référentiel R qui se déplace à vitesse constante et sans rotation propre dans R. R un référentiel galiléen, R : un référentiel qui se déplace dans le référentiel R à la vitesse constante, sans rotation propre, M un point défini par : OM = r dans R O'M = r' dans R' dr doo' dr' t, r = OO' + r' = + v V = cte v' dv dv dv' = + F = F' a a' Les référentiels R et R sont équivalents pour la description de la mécanique V

6 Forces, travail, puissance et énergie

7 Les lois de Newton Ce sont des lois qui permettent de lier étroitement les deux notions de force et de mouvement. Loi d'inertie : si un corps mobile n'est soumis à aucune force, il continue éternellement à se déplacer dans la même direction et à la même vitesse d p dv v = cte p = mv = cte = m = a = Loi du mouvement (Formule [1.3] corrigée dans le cours) Loi d'égalité ou d actions réciproques F = F F ext dp = = ma A sur B B sur A

8 Travail d'une Force Travail d'une Force : W Énergie de mouvement Énergie cinétique : Ec Énergie potentielle (qui peut créer le mouvement) : Ep Énergie mécanique totale d'un système : E = T + V = Ec +Ep M 1 Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement (élémentaire) dr F M θ dr M dr dw = F dr W θ = π/ = F.drcos( F,dr) = F.drcos θ = dw dr = M M1 F dr Le travail W est égal à la circulation de la Force le long du parcours M 1 M dw < θ > π/ F Travail résistant F dw = dw = F.dr cos θ θ < π/ dr F dw > Travail moteur

9 Travail élémentaire en coordonnées cartésiennes Le travail est une grandeur scalaire, sa valeur peut être considérée comme la somme des travaux effectués lors d'un déplacement quelconque décomposé en des trajets parallèles aux axes x, y, z respectivement. dr = dx i + dy j + dz k dw = F dx + F dy + F dz F F i F j F k = x + y + x x y z z dw = dw + dw + x y dw z Travail élémentaire en coordonnées cylindriques: dr = dr ur + rdθ uθ + dz k dw = Fr dr + Fθ r d θ+ Fz dz F F u F u F k = r r + θ θ + z

10 Puissance instantanée Energie cinétique dw P = dw dr dw = F dr P = = F = F v C'est le travail fourni par unité de temps: Dans un référentiel d inertie, on considère un point matériel de masse m animé d une vitesse v. Son énergie cinétique est et sa dérivée par rapport au temps est : dec E 1 c = mv dv = mv = vm γ= vf = PuissancedelaForce Si la puissance est positive, la force est motrice, si la puissance est négative, la force est résistante. Si plusieurs forces sont appliquées à m, on a : de c = F v = P i i i i i

11 Théorème de l énergie cinétique : La variation d énergie cinétique d un point matériel se déplaçant entre les points A et B s écrit : tb Δ E = E (B) E (A) = F v t t B A c c c i i t i A t B = F dr = F dr = W i i i i AB i i t i La variation d énergie cinétique d un point matériel se déplaçant entre les points A et B est égale à la somme des travaux des forces appliquées effectués lors de ce déplacement. A Δ Ec = E c(b) E c(a) = WAB i

12 Forces conservatives Forces dissipatives Une force est dite conservative si pour tous les points A et B le travail pour aller de A en B ne dépend pas du chemin suivi entre A et B Toutes les forces transformant l énergie mécanique en une autre forme (chaleur, rayonnement...) sont dissipatives Exemples de forces dissipatives : Force de frottements solides Force de frottements liquides Si la force est conservative on peut définir une fonction de l espace E p (x,y,z) qui ne dépend que du point M(x,y,z) de l espace considéré

13 Energie potentielle La fonction E p (r) = E p (x,y,z) est l énergie potentielle au point M(x,y,z) La relation suivante n est vraie que si la force F(r) est conservative : B Δ p = p p = A E E (B) E (A) F dr Si le point de départ ou référence est toujours le même (surface de la Terre par exemple en mécanique, ou l'infini pour les forces électrostatiques) alors : p B = p O E(B) E(O) Fdr L'énergie potentielle du point B est égale à une constante moins le travail pour aller du point de référence au point B. On dit que l'énergie potentielle est définie à une constante additive près.

14 Relation entre énergie potentielle et force =Δ = ΔE = = Δr F = grad E p Ep( B) Ep( A) Ep F dr F F p de dr p

15 Deux types d énergie : Récapitulatif Energie cinétique E c : liée au mouvement Energie potentielle E p : liée à la position Energie mécanique E = Ec + Ep L'énergie mécanique se conserve (est constante) si les forces sont conservatives ΔE = ΔE c +Δ E p =

16 Les oscillateurs

17 Différents types d oscillateurs Oscillateur libre non amorti Oscillateur forcé sur un système non amorti Oscillateur libre sur un système amorti par frottements visqueux Cas des faibles frottements : le régime pseudo périodique Cas des forts frottements : le régime apériodique Cas limite : l amortissement critique Oscillateur forcé sur un système amorti par frottements visqueux (Exercice n 4 L : AFM)

18 Oscillateur mécanique libre non amorti Horizontal Vertical R F = k x x P + R + F = ma P X x T P x dv K x = m a = m = m d x x d x + K x = d x + ω x = m A : amplitude x() t = A cos ( ω ot +ϕ) avec ϕ: Phase ω pulsation = π f = K m Attention à la CE : P+T= K x + m g = PFD : Attention force de rappel : T = - K * (allongement total) P+ T=ma d x mg KΔ x = m d x mg K( x+ x ) = m d x mg Kx Kx= m

19 Oscillateur mécanique libre non amorti Oscillateur horizontal ou vertical, on aboutit toujours à la même équation différentielle Ne négliger jamais un paramètre si on ne vous le demande pas explicitement N oublier pas la condition d équilibre à chaque fois que vous avez affaire à un ressort vertical L allongement Δx est toujours compté par rapport à la longueur à vide du ressort l Dans toutes les équations différentielles relatives aux oscillateurs, il faut toujours s arranger pour avoir le facteur 1 qui précède la dérivée seconde x ii, le facteur qui précède x est ω

20 (ox) F Oscillateur mécanique forcé non amorti Diapason en vibrations entretenues R masse P T ressort A cos x + B sin x = C cos x + D sinx A = C et B = D amplitude Fo m ω o - ω ( ) Résonance Excitations sinusoïdales T+F+P+R=ma Projection sur l'axe des x d x Kx + F o sin ωt = m d x F + ω o x = m sin ω t Intuitivement la masse va osciller à la même pulsation que la force appliquée : ( ) ω x t = A sin ( t + ϕ ) F A ( ω o o ω ) sin ( ωt + ϕ) = sin ωt m F A ( ωo ω ) (cos ϕ) sin ωt + A( ωo ω )(sin ϕ) cos ωt = o sin ωt m Fo m ωo o ω ο ω pulsation o A( ω ω ) sin ϕ = ϕ = F A = o Fo A( ωo ω ) cos ϕ = m( ωo ω ) m

21 Oscillateur mécanique libre amorti R f = αx i F = k x + Force de frottement F +f+ P+R=ma Projection sur l'axe des x x P K x α x = m x K α mx + Kx+ α x = x+ x + x = m m ω λ Equation caractéristique : r + λr+ ω = Discriminent : Δ= 4λ 4ω

22 Oscillateur mécanique libre faiblement amorti Discriminent négatif ( ) i ( ) ( i ) Δ= 4λ 4ω = 4 ω λ = 4 ω λ = ω λ > Solutions complexes de l équation caractéristique: r1 = λ i ω λ = λ i Ω r = λ + i ω λ = λ + i Ω Solution générale de l équation différentielle : x t e A t B t -λ () = t [ cos Ω + sin Ω ] ( Ω ϕ ) -λt x(t) = X M e cos t + x(t) x(t + T) : l amplitude des oscillations diminue avec le temps Mouvement pseudo périodique λ Ω= ω λ = ω < ω T 1 ω π π π ω = = = = > Ω ω λ λ λ 1 1 ω ω T T Pseudo pulsation Pseudo période

23 Oscillateur mécanique libre fortement amorti Discriminent positif ( ) ( ) Δ= 4λ 4ω = λ ω = β Solutions réelles de l équation caractéristique: ( ) ( λ β) r1 = λ + β < α avec β = λ ω et λ = r = < m Solution générale de l équation différentielle : x(t) = Ae Régime Apériodique Pas d oscillations ( λ β) t ( λ β) + Le temps de relaxation le plus grand τ 1 = imposera la λ β décroissance de l exponentielle. + C e 1 resonnateur3.swf t

24 Régime critique Discriminent nul λ Δ = 4λ 4ω = r = = λ = ω Solution générale de l équation différentielle : ( ) = ( + ) x t At B e ω t τ c. 1 = ω Temps de relaxation pour le régime critique : 1 = τ c ω Le temps de relaxation pour le régime apériodique est toujours plus important que celui du régime critique. Si on désire un retour rapide à l équilibre (pour les amortisseurs d une voiture par exemple) on a un intérêt de se rapprocher le plus possible du régime critique.

25 Oscillateur mécanique forcé et amorti (1/) F Excitation sinusoïdale + Force de frottement Ressort horizontal. Projection sur l'axe des x : ii i ii i On peut poser : x(t) = x m cos(ωt + ϕ) et résoudre l équation : T+f +F+ P+R=ma i Kx α x + F cosω t= mx α K F x + x + x = cosωt x + λ x + ω x = A cosωt m m m ( ) ( ) ( ) m m m ω x cos ω t +ϕ λx ωsin ω t +ϕ + ω x cos ω t +ϕ = A cosωt f ii Plus simple : passage au nombre complexe Déterminer x(t) = Déterminer les valeurs de : x et ϕ () iϕ iωt iωt x t = x e e = x e x i iωt x() t = x i ω e = i ω x() t ii x t x e x t F() t = F e = A e m iωt () = ω = ω () iωt Ft () iωt

26 Oscillateur mécanique forcé et amorti (/) Equation du mouvement : ii Rappel mathématique : Dans notre cas : i iϕ ( ) iωt iωt iωt x + λ x + ω x = A e ω + iωλ+ω x e = A e iϕ x = x e = x e = ( ( ω ω ) + iωλ ) ( ) i ( ) x A (( ω ) ) ω + iωλ z = a + i b z = a + b z z = = arg = arg arg = x = ( ω ω ) ( ω ω ) 1 1 z z et z z1 z z z 1 A (( ) ) ω ω + 4ω λ A ϕ = arg( Z) = arg = arg( A) arg( ( ω ω ) + iωλ) ϕ= arg ω ω + ωλ tgϕ = λω ϕ = arctg λω