Exercices 3. Sommes, produits et coefficients binomiaux. Manipulation des symboles Σ et Π, formules usuelles.

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1 Exercices 3 Sommes, produits et coefficients binomiaux Manipulation des symboles Σ et Π, formules usuelles 3 Sommes, produits et coefficients binomiaux 1 1 Sommes 11 Techniques de calcul 1 Enfer trigonométrique 3 13 Enfer des sommes doubles et même plus! 4 Produits 5 3 Coefficients binomiaux 6 4 Indications 8

2 Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et Certains énoncés sont tirés des annales des concours oral et écrit ; leur provenance est le plus souvent précisée Les exercices notés et sont particulièrement délicats 1 Sommes 11 Techniques de calcul 1 [ Sommes en vrac ] ind Simplifier les sommes : a 1 ; b 1 1 ; c n ln ; d = + 1! [ Simplification d une somme ] ind Pour tout x 0[π], on pose cotanx = cosx/sinx cotangente de x { } π a Montrer que x ; Z, tanx = cotanx cotanx ] π b Soit α, π [ Déduire du a une expression simplifiée de u n = 1 α tan 3 [ Calculs sans filet! ] ind Calculer les sommes suivantes : a b ; ; c d! ; + ; e f ln1 + 1/ ; x sin cosx 4 [ La formule d Abel ] ind Soient a et b deux suites de nombres réels Pour tout entier naturel n, on pose a La formule d Abel S n = a b, A n = a, B n = i Vérifier que N, b = B B 1 b ii En déduire que, pour tout n 1, S n = a n B n + a a +1 B iii En déduire une expression simplifiée de b Une majoration souvent utile On suppose que a est décroissante à termes positifs et qu il existe M R tel que n N, B n M Établir que n N, S n Ma 0 c Application à une somme trigonométrique LLG PCSI Exercices 3

3 i Établir que x 0[π], sinx 1 sinx/ sinx ii En déduire que x 0[π], 1 sinx/ 1 Enfer trigonométrique 5 [ Un quotient de sommes ] ind Simplifier, pour n N et des valeurs de x à préciser : F n = cosx + cos3x + cos5x + + cosn + 1x sinx + sin3x + sin5x + + sinn + 1x 6 [ Une variation ] ind Soient θ ]0,π[ et n N Simplifier la somme U n = cos θcosθ 7 [ Sommes trigonométriques ] ind Simplifier les sommes suivantes : a S n = 1 π cos ; b S n 3 = 1 π cos 3 8 [ Posé à Centrale ] ind On pose pour x π/[π] et n N, S n x = cosx cos x Simplifier S nx puis résoudre S n x = 0 9 [ Une généralisation ] ind Soit n 1 Simplifier la somme S n = cos + 1π n [ Noyaux de Dirichlet et de Féjer ] ind Soient n N et θ R Simplifier les sommes suivantes : a D n θ = e iθ ; b F n θ = 1 D n θ n + 1 = n Les fonctions D n et F n sont appelées n-ièmes noyaux de Dirichlet et de Féjer LLG PCSI Exercices 3 3

4 13 Enfer des sommes doubles et même plus! 11 [ Une intervertion ] ind N 1 Démontrer l égalité N n=0 =n+1 1 N 1 = 1 [ Sommes classiques ] ind Simplifier les sommes suivantes : a i + j ; b i j ; 13 [ BAba ] ind Calculer les sommes suivantes : a U n = maxi, j ; 1 i,j n b V n = 1 i,j n i j ; c W n = i j ; 1 i j n d X n = i ; e Y n = i j 14 [ Autour de la série harmonique ] ind Posons, pour tout n N 1, S n = et u n = S Établir que n 1, u n = n + 1S n n 15 [ Astuce ] ind En l écrivant sous la forme d une somme double, simplifier 16 [ Formule du multinôme ] ind Établir que, pour m,n N N et z 1,, z n C n : z z m n = 1,,m N 1 + +m =n n! 1! m! z 1 1 z m m 17 [ Sommes de Gauss ] ind iπ Soit n un entier naturel impair On pose ω = exp n a Soit r Z Calculer ω r en fonction de r et G = b Montrer que l application φ : Z C, définie par φ = ω pour tout Z, est n-périodique c Soit j Z Montrer que ω +j = G d Montrer que GG = n et en déduire G ω LLG PCSI Exercices 3 4

5 18 [ Une identité polynomiale ] ind iπ Soient n 1 et ω = exp n a Soit z C Montrer que sz = b En déduire que 1π 1 cos n n z + ω n = n z n + 1 = 0 Produits 19 [ Produits en cascade ] ind Soient a V = 1 i,j n b W = 1 i j n i j ; i j ; c X = 1 i j n d Y = 1 j i n i j ; i j ; e Z = Calculer V En déduire W Exprimer W en fonction de X et Y Montrer, sans calcul, que X = Y En déduire X puis Z i j 0 [ Comportement asymptotique d une suite ] ind Soit u n une suite de nombres réels strictement positifs telle que n N, Montrer que u n n + 0 u n+1 u n n n + 1 [ Calcul d un produit infini ] ind Pour tout n, on pose u n = n 3 1 = a Trouver une suite d entiers relatifs v 1 telle que, b En déduire une simplification de u n c En déduire la limite de u n lorsque n tend vers l infini = v v 1 [ Calcul de la somme d une série ] ind Soit a ]0,π[ Simplifier puis déterminer la limite quand n tend vers + de a ln cos LLG PCSI Exercices 3 5

6 3 [ Des entiers cachés ] ind On considère la suite réelle de terme général 3 Coefficients binomiaux F n = n n Démontrer que F n est un entier pour tout entier naturel n 4 [ Une simplification ] ind Soit p N Simplifier la somme S = p 1 n n p 5 [ Produit des coefficients d une ligne du triangle de Pascal ] ind n n On note a n = Montrer que n N a n, = nn a n 1 n! 6 [ Binome ] ind Soit p,n N n avec p n, montrer que = n p n p p =p 7 [ Les fondamentaux ] ind Soit n, p N tel que p n Donner une expression simple de chacune des sommes suivantes : n a S 1 = ; n b S = 1 ; c S 3 = n ; p n n d S 4 = ; p 1 n e S 5 = ; + 1 f S 6 = p =p 8 [ Réveil binomial ] ind On considère les deux sommes U n = n 1 et V n = n a Vérifier que U n + i V n = 1 + i n et en déduire des expressions simplifiées de U n et de V n b Redémontrer que U p+1 = V p = 0 par un changement d indice 9 [ Une curiosité binomiale ] ind Observez bien : 1 + = 1 + ; 1 + = 3 + = 8 + 9; = = Le but de l exercice est de généraliser, de montrer que pour tout n N, il existe un entier naturel α n tel que 1 + n = α n + α n + 1 Soit n N a En utilisant la formule du binôme, montrer qu il existe deux entiers a n,b n N tels que : { 1 + n = a n + b n 1 n = a n b n b Etablir alors que a n b n = 1n, et en déduire le résultat attendu LLG PCSI Exercices 3 6

7 30 [ Sommes de 3 en 3 ] ind Pour tout entier naturel n, on pose S 1 = 3n, S = 3 3n a Calculer S 1 + S + S 3, puis S 1 + j S + j S 3 et S 1 + j S + j 4 S b En déduire les valeurs de S 1, S et S 3 et S 3 = 3n [ Quatre à quatre ] ind Calculer les sommes suivantes : a A n = n ; b B n = n ; c C n = 0 4 n n 4 3 [ Formule d inversion de Pascal ] ind { a Soit p,n N avec p n Montrer que 1 n n 0 si p < n, = =p p 1 si p = n n b Soient u n et v n des suites telles que n N, v n = u Montrer que n N, u n = 1 n n v 33 [ Sommes binomiales ] ind 5 On pose x R, Px = 1 + x 10 et s = 1 10 a Exprimer s en fonction de Pi + P i En déduire la valeur de s b Généraliser au calcul de la somme s n = 1 n c Généraliser au calcul de la somme σ n = 1 3n 3 34 [ Une variation sur Vandermonde ] ind Démontrer l égalité suivante 1 n = 1 n n n 35 [ Posé à l X en MP ] ind Soit n N Établir que n n + j = j n j j j j =0 j =0 LLG PCSI Exercices 3 7

8 4 Indications 1 [ Sommes en vrac ] a Sommer par paquets de deux termes consécutifs, on trouve n b On trouve 0 c Télescopage Décomposer le log en factorisant l expression en n + 1 On trouve ln n d Télescopage Utiliser la décomposition : + 1! = ! 1 On trouve 1 n + 1! [ Simplification d une somme ] Pour le a, partir de cotanx = 1/tanx Pour le b utiliser le a lorsque 0 pour aboutir à un télescopage On trouve u n = 1 α n cotan n cotanα 3 [ Calculs sans filet! ] a Remarquer que = = b Poursuivre dans cet esprit : = c Rechercher une suite primitive d Utiliser la formule sinacosb = sina + b + sina b e On cherchera une suite primitive sous la forme a + b f Partir de = [ La formule d Abel ] Au a iii, le a ii aboutit à des sommes géométriques On trouve n+1 n 1 + Au b, appliquer le a ii et l inégalité triangulaire Utiliser des sommes d exponentielles au c 5 [ Un quotient de sommes ] Considérer les parties réelle et imaginaire de S n = e i x + e 3i x + + e n+1x F n est définie si et seulement si x 0[π/n] et dans ce cas, on a F n = cotannx 6 [ Une variation ] On a U n = Re cosθe iθ Discuter sur θ pour appliquer la formule de la série géométrique LLG PCSI Exercices 3 8

9 7 [ Sommes trigonométriques ] Après tout calcul : 3sinnπ/3 a S n = Re e iπ/3 / = 3 n ; b La somme est géométrique, S n = 1 4 n 3 8 [ Posé à Centrale ] e i x On a S n x = Re Discuter sur x pour appliquer la formule de la série géométrique cosx 9 [ Une généralisation ] L expression est la partie réelle de e i +1π/n+1 Appliquer la formule de la série géométrique pour simplifier cette somme, passer à l arc moitié et après une deux formules trigonométriques, aboutir à S = 1/ 10 [ Noyaux de Dirichlet et de Féjer ] a D n est une somme géométrique de premier terme e inθ et de raison e iθ Si θ 0[π], alors b Si θ 0[π], alors sinn + 1/θ D n θ = sinθ/ n + 1sinθ/F n θ = Im e iθ/+iθ On obtient à nouveau une série géométrique, etc 11 [ Une intervertion ] Effectuer une interversion 1 [ Sommes classiques ] Rechercher parmi les deux manières de sommer celle qui vous semble la plus abordable n 1nn + 1 a i + j = i n i + j j 1 = ; i=1 j =1 j j 1 nn 13n + n + 1 b i j = = ; 4 j =1 13 [ BAba ] a U n = b V n = i i=1 j + nn + 14n 1 i = ; 6 i=1 = n n + 1 ; 4 c W n = j i = nn 1 i=1 j =i 6 n + 1nn 1 d X n = i n i = ; i=1 6 e Y n = 1 V n i = n n 1 3n + 4 i=1 ; LLG PCSI Exercices 3 9

10 14 [ Autour de la série harmonique ] Intervertir l ordre de sommation dans S n 15 [ Astuce ] Montrer que = Puis sommer d abord sur j 1 j n 16 [ Formule du multinôme ] Raisonner par récurrence sur m 17 [ Sommes de Gauss ] a Discuter sur sa raison ω r afin d appliquer la formule de la série géométrique Si r = 0[n], la somme vaut n ; sinon, elle vaut 0 b Simple vérification : Z, φ + n = φ c On somme sur une période cf le a donc le résultat est indépendant de j d Partir de GG = j =0 ω +j ω j = j =0 ω ω j = ω n 1 ω j j =0 18 [ Une identité polynomiale ] Au a, développer z + ω n par la formule du binôme et intervertir les deux signes sommes Évaluer en une valeur de z bien choisie l identité du a pour prouver le b 19 [ Produits en cascade ] On trouve V = n! n, W = n! n ; W = enfin Z = X n! = n!n 1 XY n! 4 et X = Y par symétrie, d où X = n!n 1 n! = n! n+1, et 0 [ Comportement asymptotique d une suite ] Encadrer u n 1 [ Calcul d un produit infini ] a La suite définie par N, v = convient b Après télescopage, u n = n + n + 1 3nn + 1 c Déduire du b que u n n + 3 LLG PCSI Exercices 3 10

11 [ Calcul de la somme d une série ] Le produit p n = se calcule en commençant par remarquer que On trouve que en utilisant sinx x n a cos a p n sin n = 1 p a n 1 sin n 1 ln cos a sina sina = ln n sina/ n ln n + a x 0 sin 0 = cos0 = 1 limite du taux d accroissement du sinus en 0 3 [ Des entiers cachés ] Appliquer la formule du binôme : n F n = = 0 p n n On peut aussi raisonner par récurrence en remarquant que n N, F n+ = F n+1 + F n p 5 p 4 [ Une simplification ] On a n n p n = p p Par la formule du binôme, on trouve 0, sauf si p = 0 5 [ Produit des coefficients d une ligne du triangle de Pascal ] Simplifier les factorielles 6 [ Binome ] Simplifier le produit des deux coefficients binomiaux et retrouver la formule du binôme 7 [ Les fondamentaux ] a Dériver x 1 + x n On trouve S 1 = n n 1 b En utilisant la même fonction, on trouve S = nn 1 n c Utiliser a et b On trouve S 3 = nn + 1 n d Simplifier le produit des coefficient en revenant aux factorielles On trouve S 4 = p n p e Utiliser x 1 + x n On trouve S 5 = n+1 1 n + 1 f On voit le résultat sur le triangle de Pascal et on peut formaliser par une récurrence sur n On trouve : n + 1 S 6 = p + 1 LLG PCSI Exercices 3 11

12 8 [ Réveil binomial ] Écrire 1 + i n sous algébrique puis sous forme polaire On trouve que nπ n N, U n = n cos Au b, en effectuant le changement d indice n, on obtient U p+1 = U p+1 9 [ Une curiosité binomiale ] Au a, séparer les indices pairs des indices impairs dans la formule du binôme Au b, distinguer deux cas selon parité de n 30 [ Sommes de 3 en 3 ] Appliquer la formule du binôme aux calculs de n, de 1 + j 3n et de 1 + j 3n Remarquer que N, j 3 = 1, j 3+1 = j, j 3+ = j, j 3 = 1, j 3+1 = j, j 3+ = j On trouve 3S 1 = 8 n + 1 n, 3S = 8 n + 1 n j + j = 8 n 1 n et 3S 3 = 3S = 8 n 1 n 31 [ Quatre à quatre ] a Utiliser les dérivées polynôme S inspirer de l exercice 7 b Idem c Utiliser les racines quatrièmes de l unité S inspirer de l exercice 30 3 [ Formule d inversion de Pascal ] Au a, simplifier les quotients de factorielles et faire apparaître la formule du binôme Au b, on calculera le membre de droite en utilisant l égalité du a 33 [ Sommes binomiales ] Au a, développer Px par la formule du binôme Remarquer que, dans l expression Pi + P i, les termes d indices impairs se simplifient, que reste-t-il? Considérer le polynôme Px = 1 + x n pour au b Le c est plus délicat On utilisera les racines cubiques de l unité 34 [ Une variation sur Vandermonde ] Adapter la preuve de la formule de Vandermonde utilisation d un polynôme 35 [ Posé à l X en MP ] Deux pistes : Identification de coefficients cf la preuve donnée dans le cours de la formule de Vandermonde Utiliser le polynôme PX = 1 + X n 1 + X n n + j j n j Utiliser la relation de Vandermonde = puis effectuer une interversion dans la j j somme double obtenue LLG PCSI Exercices 3 1