Kit de survie : - Bac STL STI2D

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1 Kit de survie : - Bc STL STID Inéglités - Étude du signe d une expression Opértions sur les inéglités Règles usuelles : Pour tout : x < y x + < y + même sens Pour tout k > : x < y kx < ky même sens Pour tout k < : x < y kx > ky sens contrire Pour x et y de même signe : x < y x > y sens contrire Pour x > et y > : x < y x < y même sens Pour x > et y > : x < y x < y même sens Si f croissnte * : x < y f(x f(y même sens Si f décroissnte * : x < y f(x f(y sens contrire (* sur un intervlle contennt x et y Exemple : Schnt que 3 < x < 5, que peut-on en conclure pour 3 x? 3 < x < 5 5 < x < 3 < 3 x < 3 x < Inéglités clssiques Pour tout x : cos x ; sin x c Signe de x + ( On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : signe de près le Ü ½ ½ Ü Ò µ ¼ Ò d Signe de x + x + c ( On clcule l discriminnt = 4c (suf cs évidents Si <, on pplique l règle : toujours du signe de Ü ½ ½ Ü ¾ Ü Ò Si =, on clcule l rcine doule : x = On pplique lors l règle : toujours du signe de et s nnule pour x = x Ü ½ ܽ ½ Ü ¾ Ü Ò ¼ Ò Si >, on clcule les deux rcines : x = et x = + On pplique lors l règle : signe de à l extérieur des rcines Ü ½ ܽ ܾ ½ Ü ¾ Ü Ò ¼ Ò µ ¼ Ò (on suppose que x < x TSTL TSTID PBrchet - / 5

2 e Utilistion des vritions d une fonction pour déterminer son signe Les cs les plus clssiques : (minimum positif (mximum négtif + + (f croissnte (f décroissnte f Pour les utres expressions : Pour étudier le signe d une expression A(x (qui n est ps du premier, ni du second degré et près voir fctorisé u mximum sur un intervlle I, on résout l inéqution A(x (on cherche ce qui nnule l expression et où mettre le(s signe(s + Exemple : Étude du signe de (3 ln x sur I = ]; + [ 3 ln x 3 ln x ln(e 3 x e 3 x On en conclut que l expression s nnule pour x = e 3 et qu il fut mettre le signe + pour < x < e 3 : x e ln x + Étude de fonction Limites Limite d une somme : ( + ( l l l l + l ( + ( + + ( l ( + ( + ( + ( + + Limite d un produit : + ( ( ( l l ( ( + ( ( l l l> + l< + ( ( l> ( ( + ( ( + l< + + ( ( + ( ( + Limite de l inverse : ( l l ( ± Limite d un quotient : ( + + ( Pour les quotients (utres que les fonctions rtionnelles en ±, on sépre l frction : ( ( = ( ( TSTL TSTID PBrchet - / 5

3 Formes indéterminées : Les deux cs de forme indéterminée sont : ( + ( + Polynômes et fonctions rtionnelles en ± : ; ( ( ± En ±, l limite d une fonction polynôme est égle à l limite de son terme de plus hut degré En ±, l limite d une fonction rtionnelle est égle à l limite du quotient des termes de plus hut degré du numérteur et du dénominteur (ne ps oulier de simplifier le quotient des termes de plus hut degré vnt de déterminer l limite Asymptotes Si lim f(x = ± lors l droite d éqution x = est une symptote verticle à C f x Si lim f(x = lors l droite d éqution y = est une symptote horizontle à C f en ± x ± c Position reltive de deux coures Pour déterminer l position reltive entre deux coures C f et C g, on étudie le signe de f(x g(x (méthode ussi vlle pour les symptotes horizontles : si f(x g(x pour tout x d un intervlle I, lors C f est située u dessus de C g sur I si f(x g(x pour tout x d un intervlle I, lors C f est située en dessous de C g sur I d Dérivtion Dérivées des fonctions usuelles : f(x = f (x = f(x = x + f (x = f(x = x f (x = f(x = x f (x = x f(x = x 3 f (x = 3x f(x = x f (x = x f(x = x f (x = x 3 f(x = x 3 f (x = 3 x 4 f(x = x f (x = x f(x = cos x f (x = sin x f(x = sin x f (x = cos x Opértions sur les fonctions dérivles : Fonction Fonction dérivée Fonction Fonction dérivée f + g f + g f f f k f (k réel k f f f g f g + f g f g f f f g f g g e Tngente Si f est dérivle en lors une éqution de l tngente à C f u point d scisse est : y = f(+f ((x (le coefficient directeur de l tngente est égle à l vleur de l dérivée Pour déterminer les scisses des éventuels points de C f où l tngente dmet un coefficient directeur égl à m, il suffit de résoudre l éqution f (x = m 3 Fonctions logrithme népérien et exponentielle Existence ln x n existe que si x > e x existe pour tout réel x Exemple : L fonction f définie pr f(x = ln (x n est définie que sur ] ; + [ cr il fut que x soit strictement positif TSTL TSTID PBrchet - 3/ 5

4 Lien entre ln x et e x y = e x ln y = x ln (e x = x ; e ln x = x (pour x > c Vleurs prticulières ln = ; ln e = e = ; e = e ; e = e d Propriétés lgériques Si > et > : ln( = ln + ln ; ln ( ( = ln ; ln = ln ln Pour tout entier n, ln ( n = n ln ; ln = ln Pour tous réels et : e e = e + ; Pour tout n Z, (e n = e n e = e ; e e = e Exemples (: Si x >, ln = ln(x = ln x x Pour tout x, (e x e 3x = e x e 3x = e x e Signe de ln x et de e x Signe de ln x : Si < x < lors ln x est strictement négtif Si x > lors ln x est strictement positif ln = Signe de e x : pour tout réel x, e x est strictement positif f Équtions et inéqutions Si > et > : ln = ln = ; ln < ln < ; ln ln e = e = ; e < e < ; e e ln x = x = e ; ln x < < x < e ; ln x > x > e Si > : e x = x = ln ; e x < x < ln ; e x > x > ln Remrque : Pour les équtions et inéqutions vec logrithme, ne ps oulier de commencer pr définir les conditions d existence (les expressions contenues dns un logrithme doivent être strictement positives Exemples d équtions et d inéqutions : ln x + ln = 5 Condition d existence : x > Avec cette condition : { } ln x + ln = 5 ln (x = 5 x = e 5 x = e5 e 5 S = ln (x + Condition d existence : x + > x > Avec cette condition : ln (x + x + e x e S = ] ; e ] e x e x 3 = X X 3 = vec X = e x = 6 ; X = ou X = 3 TSTL TSTID PBrchet - 4/ 5

5 D où, e x = (impossile ou e x = 3 x = ln 3 S = {ln 3} e x < 5e x e x < 5 e x ex < 5 (cr e x > x < ln 5 x < ln 5 S = g Limites Sitution en + : lim ln x = + x + ln x Pour tout entier n >, lim x + (on dit que x n est plus fort que ln x en + x n = ; lim x + x n ln x = + ] ; ln 5 [ lim x + ex = + e x Pour tout entier n >, lim x + x n = + ; lim x n x + e x = (on dit que e x est plus fort que x n en + : on en déduit que e x est ussi plus fort que ln x en + Méthode générle en cs de FI en + : Mettre le plus fort en fcteur en hut et en s Exemples : ( ln x lim ln x x = lim x x + x + x ln x = cr lim = et lim x + x x = + x + lim x + 3ex x = lim (3 x + ex x x e x = + cr lim x + e x = et lim x + ex = + x lim x + e x + = lim x x + e x x ( + = cr lim e x x + e x = et lim + x + e x = Sitution en : x lim ln x = x> Pour tout entier n >, x lim x n ln x = x> Méthode générle en cs de FI en vec un logrithme : on essie de fire pprître x n ln x Exemple : lim + ln x = lim ( + x ln x = + cr lim = + et lim x ln x = x x x x x x x x> x> x> x> Sitution en : lim x ex = Pour tout entier n >, lim x xn e x = Méthode générle en cs de FI en vec un exponentiel : on essie de fire pprître x n e x Exemple : lim ( x ex x + = lim x x e x + e x = cr lim x x e x = et lim x ex = h Dérivées (ln x = x ; (ln u = u u (e x = e x ; (e u = u e u (u > Exemples : [ ln(x + ] = x x + ; [e x ] = e x i Puissnces Pour tous réels et vec > : = e ln ; ln ( = ln Pour tout réel k > : x = k x = k (dns ] ; + [ Exemples : x = 5 ln ( x = ln 5 x ln = ln 5 x = ln 5 ln TSTL TSTID PBrchet - 5/ 5

6 x,9 = x = (,9 = e,9 ln Pour tout x, (3 x = ( e x ln 3 = ln 3 e x ln 3 = ln 3 3 x 4 Primitives F est une primitive de f sur un intervlle I si F est dérivle sur I et si pour tout x de I, F (x = f(x Si F est une primitive de f sur intervlle I lors toutes les primitives de f sur I sont de l forme F (x = F (x + C où C est une constnte réelle Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I Primitives des fonctions usuelles : (F représente une primitive de f f(x = F (x = x f(x = x F (x = x3 3 f(x = x F (x = x f(x = x F (x = x f(x = x F (x = x f(x = x 3 F (x = x4 4 f(x = x 3 F (x = x f(x = F (x = ln x x f(x = ex F (x = e x f(x = sin x F (x = cos x f(x = cos x F (x = sin x f(x = sin(x + F (x = cos(x + f(x = cos(x + F (x = sin(x + Formules générles : forme de f une primitive de f exemples U U U U U U 3 U U (U(x U U 3 (U(x U U 3 U f(x = cos x sin x F (x = f(x = 4(4x + F (x = f(x = (sin x (4x x F (x = (x 3 + x f(x = U (7x + F (x = 3 (7x + (U(x > ln U f(x = 4 F (x = ln (4x + (4x + U e U e U f(x = e x F (x = e x Recherche prtique d une primitive : Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules Pour utres fonctions, il fut d ord identifier l forme qui ressemle le plus à l fonction Si on l forme excte, on utilise directement l formule correspondnte Dns le cs contrire, on écrit l forme excte qu il fudrit pour l fonction f et on rectifie en multiplint pr le coefficient déqut Exemple : Soit f définie pr f(x = e 3x+4 On pense à l forme U e U (dont une primitive est e U On écrit que f(x = 3 5 Clcul intégrl 3 e3x+4 forme excte Soit f une fonction continue sur un intervlle I : Pour tous et de I : Une primitive de f est donc F définie pr F (x = 3 e3x+4 f(x dx = [F (x] = F ( F ( où F est une primitive de f sur I Exemple : ln 3 e 3x dx = [ e 3x] ln = e 3 ln e = e ln(3 = e ln(8 = 8 = 7 TSTL TSTID PBrchet - 6/ 5

7 Propriétés de l intégrle : Pour f et g continues sur un intervlle I et pour, et c de I : f(x dx = f(x dx c c f(x dx + f(x dx = f(x dx (Reltion de Chsles (f + g(x dx = f(x dx + g(x dx (linérité de l intégrle Pour tout réel k, (kf(x dx = k Si et si f(x sur [, ] lors Si et si f(x sur [, ] lors Si et si f(x g(x sur [, ] lors f(x dx (linérité de l intégrle f(x dx f(x dx f(x dx Vleur moyenne d une fonction sur un intervlle g(x dx Si f est continue sur [, ], l vleur moyenne de f sur [, ] est égle à f(x dx Clculs d ires f et g sont deux fonctions continues sur [, ] Si pour tout x [, ], f(x g(x lors l ire de l prtie du pln comprise entre les coures de f et g et les droites d éqution x = et x = est égle à g(x f(x dx en unités d ire ( intégrle de l plus grnde moins l plus petite Si pour tout x [, ], f(x lors l ire de l prtie du pln comprise entre l coure de f, l xe des scisses et les droites d éqution x = et x = est égle à f(x dx en unités d ire Si pour tout x [, ], f(x lors l ire de l prtie du pln comprise entre l coure de f, l xe des scisses et les droites d éqution x = et x = est égle à f(x dx en unités d ire Remrques : Pour voir l ire en cm, il fut multiplier le résultt en unités d ire pr : (l vleur en cm d une unité sur l xe des scisses (l vleur en cm d une unité sur l xe des ordonnées Pour déterminer l ire entre deux coures, il fut d ord connitre leur position reltive sur l intervlle en question fin de svoir quelle est l plus grnde et l plus petite 6 Suites Suites géométriques On psse d un terme u terme suivnt en multiplint toujours pr le même nomre q ppelé rison de l suite Pour tout n : U n+ = q U n ; U n = q n U ; U n = q n p U p Si pour tout n, Un+ U n = constnte lors (U n est une suite géométrique de rison égle à l constnte U p + U p+ + + U n = U p qn p+ de termes qn = er terme q q (pour q Exemple : Soit (U n l suite géométrique de er terme U = 5 et de rison = U 4 = q 4 U = 4 5 = 8 ; U = q U = 5 = 5 Pour tout n, U n = q n U = 5 n U + U + + U 8 = 5 9 = 555 TSTL TSTID PBrchet - 7/ 5

8 Limite de q n vec q > si < q < lors lim n + qn = si q > lors lim n + qn = + si q = lors lim n + qn = Exemples ( : n lim 3 = + cr 3 > n + lim 3 ( ( n + n ( = 3 cr < <, donc lim n n + = et lim ( n n + = c Détermintion du plus petit entier n tel que q n (si q > ou tel que q n (si < q < Méthode : on isole q n et on utilise que ln (q n = n ln q Exemples : Recherche du plus petit entier n tel que n 3 : n 3 ln ( n ln(3 n ln ln 3 n ln 3 ln ln 3 Or, 55 Le plus petit entier qui convient est donc ln Recherche du plus petit entier n tel que, 8 n, :, 8 n, ln (, 8 n ln(, n ln, 8 ln, n Or ln, ln, 8, 64 Le plus petit entier qui convient est donc 7 Équtions différentielles Équtions différentielles de l forme y + y = (cr ln > ln, ln, 8 (cr ln, 8 < Les solutions de l éqution différentielle y + y = sont les fonctions f définies pr f(x = k e x Les solutions de l éqution différentielle y + y = sont les fonctions f définies pr f(x = k e x + Exemple : : Résolution de y + 4y = 8 ( = 4 ; = 8 Les solutions sont définies pr f(x = k e x + = k e 4x = k e 4x + Recherche de l solution prticulière telle que f( = : Cel revient à déterminer k tel que f( = 5 k e + = 5 k = 3 L solution prticulière cherchée est donc définie pr f(x = 3 e 4x + Équtions différentielles de l forme y + ω y = Les solutions de l éqution différentielle y + ω y = sont les fonctions f définies pr f(x = A cos (ωx + B sin (ωx Exemple : : Résolution de y + 4y = (on ω = 4 : on peut prendre ω = Les solutions sont définies pr f(x = A cos (x + B sin (x Recherche de l solution prticulière telle que f( = 3 et f ( = : f( = 3 A cos + B sin = 3 A = 3 Pour tout x, on f (x = A sin (x + B cos (x f ( = A sin + B cos = B = B = L solution cherchée est définie pr f(x = 3 cos (x + sin (x TSTL TSTID PBrchet - 8/ 5

9 8 Complexes Forme lgérique - Clculs dns C Tout complexe s écrit de fçon unique sous l forme lgérique z = + i ( et réels vec i = est l prtie réelle et est l prtie imginire Le conjugué de z est z = i Pour écrire un quotient de complexes sous forme lgérique : si le dénominteur est de l forme i, on multiplie en hut et en s pr i ; si le dénominteur est de l forme + i, on multiplie en hut et en s pr le conjugué du dénominteur Exemples de clculs dns C : 3i(3 + 4i = 3i + i = + 3i ( + i = + i + (i = + 4i 4 = 3 + 4i 3 i = 3 i i i = 3i = 3i + i ( + i(3 i 6 4i + 3i i = = 3 + i (3 + i(3 i 3 + = 8 i 3 Résolution de l éqution + iz + 3i = z : + iz = z + iz = ( + 3iz + 3i = ( + iz z = + i = i i i = + i i = + 5 Propriétés sur les conjugués : z + z = z + z ; z z = z z ; ( z z = z (z z Forme trigonométrique - Module et rguments Pour z = + i ( et réels : Le module de z est : z = + cos θ = prtie rélle = z module Si z, tout réel θ tel que sin θ = prtie imginire = z module est un rgument de z On note rg z = θ + kπ (k Z Pour tout θ, on pose e iθ = cos θ + i sin θ e iθ e iθ = e i(θ+θ ; e iθ = e iθ e iθ ; = e i(θ θ ; e iθ e iθ = ; (e iθ = e iθ ; e i(θ+kπ = e iθ ( e iθ n = e inθ Si un complexe non nul dmet r comme module et θ comme rgument lors z = r e iθ (forme trigonométrique ou forme exponentielle Si z = r e iθ vec r > lors z = r et rg z = θ + kπ r e iθ = r e iθ (vec r > et r > r = r et θ = θ + kπ Exemple de pssge de l forme lgérique à l forme trigonométrique : 3 Soit z = 3 + i z = ( cos θ = 3 + = sin θ = θ = π 6 D où z = π ei 6 Exemple de pssge de l forme trigonométrique à l forme lgérique : z = 4e i π ( ( π ( π ( 4 = 4 cos + i sin = i = + i TSTL TSTID PBrchet - 9/ 5

10 Autres exemples clssiques d utilistion de l forme trigonométrique : Clcul de ( i Il est hors de question de fire le clcul sous forme lgérique On détermine d ord l forme trigonométrique de z = i : z = + = cos θ = = sin θ = = θ = π 4 D où z = e i π 4 ( i = z = ( e i π 4 = 64 e i3π = 64 (cos ( 3π + i sin ( 3π = 64 Soit z = + i et z = 3 + i Clculer l forme trigonométrique de z, z et z En déduire l vleur de ( z π ( π cos et sin En clculnt le module et un rgument de z et z, on montre que z = e i π 4 π z = ei 4 z e i π = e i( π 4 π 6 = e i π π Ainsi 6 est un rgument de z z Or, z ( ( ( ( + i + i 3 i i 6 = = = z 3 + i 4 4 ( z π prtie rélle de z cos = 6 + = module de z z 4 Donc, ( z π prtie imginire de z sin = 6 = module de z z 4 et que z = e i π 6 On en déduit que c Complexes et géométrie Le pln complexe est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v ( x L ffixe du point M est z y M = x + iy L ffixe du milieu I de [AB] est z I = z A + z B L ffixe du vecteur ( x V est z y V = x + iy z AB = z B z A ; z U + V = z U + z V ; z k U = k z U ( Si M est d ffixe z lors z M = OM et rg z M = u, OM (z z M M rg z M v O u Si A et B sont deux points distincts d ffixes ( z A et z B : l distnce AB est égle à z B z A et u, AB = rg (z B z A z B z A B rg (z B z A v O u A TSTL TSTID PBrchet - / 5

11 Pour déterminer l nture d un tringle ABC, il suffit de clculer ses côtés vec AB = z B z A, Pour montrer que deux vecteurs U et V sont colinéires, il suffit de montrer qu il existe un réel k tel que z V = k z U Pour montrer que trois points A, B et C sont lignés, il suffit de montrer qu il existe un réel k tel que z AC = k z AB Pour montrer que les droites (AB et (CD sont prllèles, il suffit de montrer qu il existe un réel k tel que z CD = k z AB L ensemle des points M d ffixe z tels que z z A = r (r > est le cercle de centre A et de ryon r (cr z z A = r AM = r L ensemle des points M d ffixe z tels que z z A = z z B (z A z B est l méditrice du segment [AB] (cr z z A = z z B AM = BM Exemple : Soit A et B les points d ffixe z A = + i et z B = 4i L distnce OA est égle à z A = + = 8 L distnce OB est égle à z B = + 4 = 4 L distnce AB est égle à z B z A = 4i ( + i = + i = + = 8 On en déduit que le tringle OAB est rectngle et isocèle en A cr AO = AB et AO + AB = OB Si on veut une mesure de l ngle cos θ = 8 = sin θ = 8 = = = ( u, OA, il suffit de déterminer un rgument de z A : θ = π 4 ( u, OA = π 4 + kπ L ngle entre les vecteurs AB et AC est tel que ( AB, AC = rg C ( z AC (vec A B et A C z AB v O u A rg ( z AC z AB B 9 Proilités Loi inomile On ppelle épreuve de Bernoulli toute expérience létoire ne présentnt que deux issues possiles (contrires l une de l utre On ppelle schém de Bernoulli toute répétition d épreuves de Bernoulli identiques et indépendntes Exemple : Lncer un dé vec pour issues contrires otenir un 6 et ne ps otenir un 6 est une épreuve de Bernoulli Lncer le dé fois est un schém de Bernoulli (on répète l épreuve de Bernoulli Remrques : Les deux issues contrires d une épreuve de Bernoulli se note en générl S (pour succès et S L proilité que S soit rélisé est noté en générl p (l proilité de S est lors ( p Pour s ssurer que l on ien ffire à un schém de Bernoulli, il fut vérifier que chque expérience prise isolément n dmet que deux issues possiles (contrires l une de l utre, que le succès toujours l même proilité d pprître et qu il y ien indépendnce entre chcune des épreuves de Bernoulli successives TSTL TSTID PBrchet - / 5

12 p S Étnt donné une épreuve de Bernoulli où l proilité d otenir un succès S est p et le schém de Bernoulli consistnt à répéter n fois de mnière indépendnte cette épreuve p S p S Si note X l vrile létoire qui à chque issue possile du schém de Bernoulli ssocie le nomre de fois où est ppru un succès S, l loi de proilité de X est ppelée loi inomile de prmètres n et p et est notée B(n, p p n p S p épreuves S S Proilité d otenir k succès ( k n : p(x = k = ( n k p k ( p n k (Le coefficient ( n k s otient vec l clcultrice : n ncr k Espérnce de X : E(X = np Vrince de X : V (X = np( p Écrt-type de X : σ(x = np( p Exemple : Si on lnce 7 fois de suite un dé et si on note X le nomre de 6 otenus, on répète 7 fois l épreuve de Bernoulli : otenir un 6 (proilité : 6 - ne ps otenir un 6 X suit donc l loi inomile de prmètres n = 7 et p = 6 L proilité d otenir exctement trois fois un 6 est égle à : ( 7 3 ( 6 3 ( L proilité de n otenir que des 6 est égle à : ( L proilité de n otenir ucun 6 est égle à : ( 5 6 L espérnce de X (nomre moyen de 6 que l on peut espérer otenir en répétnt un grnd nomre de fois l expérience létoire est égle à np = 7 6 Loi uniforme On dit qu une vrile létoire X suit l loi uniforme sur [ ; ] lorsque pour tout intervlle I, inclus dns [ ; ], l proilité de l événement X pprtient à I est égle à l ire du rectngle de se I et de huteur I Si une vrile létoire X suit l loi uniforme sur [ ; ] lors pour tous réels et β inclus dns [ ; ], on : p ( X β = β β p (X = p ( X = p (X β = p (β X = β β p (X = = (on les mêmes résultts vec des inéglités strictes Si une vrile létoire X suit l loi uniforme sur [ ; ] lors l espérnce de X est égle à + TSTL TSTID PBrchet - / 5

13 c Loi exponentielle On dit qu une vrile létoire X suit l loi exponentielle de prmètre λ sur [ ; + [ lorsque pour tout intervlle I, inclus dns [ ; + [, l proilité de l événement X pprtient à I est égle à l ire sous l coure sur I de l fonction f définie pr f(x = λ e λx f(x = λ e λx I On donc p (X I = x I λ e λx dx Si une vrile létoire X suit l loi exponentielle de prmètre λ sur [ ; + [ lors pour tous réels et β inclus dns [ ; + [, on : p ( X β = β λ e λx dx = [ e λx] β f(x = λ e λx β p (X = p ( X = λ e λx dx = [ e λx] f(x = λ e λx p (X β = p ( X β = β λ e λx dx = [ e λx] β f(x = λ e λx (on les mêmes résultts vec des inéglités strictes Si une vrile létoire X suit l loi exponentielle de prmètre λ sur [ ; + [ lors l espérnce de X est égle à λ β Exemple : L durée de vie X (en heures d un composnt électronique suit l loi exponentielle de prmètre λ =, 6 sur [, + [ L proilité qu un de ces composnts pris u hsrd it une durée de vie inférieure à heures est donnée pr : p(x < =, 6e,6x dx = [ e,6x] = e,6 L proilité qu un de ces composnts pris u hsrd it une durée de vie supérieure à 5 heures est donnée pr : p(x > 5 = 5 d Loi normle, 6e,6x dx = [ e,6x] 5 = e,3 On dit qu une vrile létoire X suit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lorsque pour tout intervlle I l proilité de l événement X pprtient à I est égle à l ire sous l coure sur I de l fonction f définie pr f(x = σ π e,5 f(x ( x µ σ I TSTL TSTID PBrchet - 3/ 5

14 Remrque : L ire totle sous l coure est égle à (on dit que f est une densité de proilité et l coure est symétrique pr rpport à l espérnce µ On donc l sitution suivnte : Aire=,5 µ p (X µ =,5 p (X µ =,5 Si une vrile létoire X suit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lors pour tous réels et β, on : p ( X β = TI : DISTR (nd+vars ; normlcdf (, β, µ, σ CASIO : Menu STAT ; DIST ; NORM ; NCD vec Lower : ; Upper : β ; σ : σ ; µ : µ p (X = TI : normlcdf ( 99,, µ, σ CASIO : NCD vec Lower : 99 ; Upper : ; σ : σ ; µ : µ β p (X β = TI : normlcdf (β, 99, µ, σ CASIO : NCD vec Lower : β ; Upper : 99 ; σ : σ ; µ : µ clcultrice Vleurs remrqules : p (µ σ < X < µ + σ =, 68 p (µ σ < X < µ + σ =, 95 p (µ 3σ < X < µ + 3σ =, 997 Exemple : (pour tester s clcultrice Si X suit l loi normle d espérnce µ = 58 et d écrt-type σ = 6, on doit voir : p (5 X 64, ; p (X 55, ; p (X 6, 5493 Exemple : Le dimètre X des rres métlliques sortnt d un telier suit l loi normle d espérnce mm (le dimètre ttendu et d écrt-type,8 mm Un client refuse d cheter des tues dont le dimètre ne serit ps compris entre,9 mm et, mm On cherche à déterminer le pourcentge de tues cceptés pr le client p (, 9 X,, 888, donc 88,8% des tues sont cceptés pr le client Exemple 3: Une vrile létoire suivnt une loi normle est telle que p (X < =, 67 et p (X < 3 =, 59 On peut en déduire que p (X > = p (X =, 933 et p ( < X < 3 = p (X < 3 p (X < =, 9 β Échntillonnge Intervlle de fluctution à 95% Étnt donné une popultion dns lquelle l proportion connue d un certin crctère est p Si on prélève, vec remise, un échntillon de tille n dns cette popultion lors il y 95% de chnce (dns certines conditions que l proportion f du crctère u sein de cet échntillon pprtienne à l intervlle : [ ] p( p p( p p, 96 ; p +, 96 n n Cet intervlle est ppelé intervlle de fluctution à 95% de l échntillon ssocié à l proportion p TSTL TSTID PBrchet - 4/ 5

15 Prise de décision à prtir d un intervlle de fluctution Étnt donné une popultion dns lquelle on suppose que l proportion d un certin crctère est p Si on prélève, vec remise, un échntillon de tille n dns cette popultion et si l fréquence réelle oservée f du crctère dns cet échntillon est comprise dns l intervlle de fluctution lors on dit qu on ccepte u seuil de 95% l hypothèse que l proportion réelle du crctère dns l popultion est ien p (dns le cs contrire, on dit qu on rejette l hypothèse Exemple : Un cndidt pense que 5% des électeurs lui sont fvorles On prélève vec remise un échntillon de 5 électeurs : 47% des électeurs interrogés de cet échntillon se déclrent fvorle u cndidt en question L intervlle de fluctution de l échntillon ssocié à l proportion de 5% est [, 476 ;, 564] cr :, 5, 48, 5, 48, 5, 96, 476 et, 5 +, 96, , 47 étnt en dehors de l intervlle de fluctution, on peut rejeter u seuil de 95% l hypothèse du cndidt selon lquelle 5% des électeurs lui sont fvorles c Estimtion pr un intervlle de confince On cherche à connitre une estimtion de l proportion p inconnue d un certin crctère u sein d une popultion Pour cel, on prélève vec remise un échntillon de tille n u sein de l popultion et on note f l proportion oservée du crctère u sein de l échntillon Il y lors 95% de chnce (dns certines conditions que l proportion p du crctère u sein de l popultion totle soit comprise dns l intervlle : [ ] f( f f( f f, 96 ; f +, 96 n n Cet intervlle est ppelé intervlle de confince à 95% ssocié à l proportion f Exemple : Un sondge rélisé sur un échntillon de personnes ttriue à un cndidt un score de 8% L intervlle de confince à 95% ssocié à cette proportion oservée de 8% dns l échntillon est [5, 6% ;, 3%] cr :, 8, 8, 8, 8, 8, 96, 56 et, 8 +, 96, 3 TSTL TSTID PBrchet - 5/ 5