Interpolation & Intégration Numérique. Laydi M.R. Rédaction provisoire 2004-ENS2M

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1 Intrpolation & Intégration Numériqu Laydi M.R. Rédaction provisoir 4-ENSM

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3 Sommair I Intrpolation Généralités 7. Exmpl introductif Cadr abstrait Elémnt ni Fonctions d intrpolation Dgré d un élémnt ni Exmpls n dimnsion D. Intrpolation d Lagrang Intrpolation d Hrmit Elémnt ni cubiqu d Hrmit Exrcics Elémnt ni rationnl Autr xmpl d élémnt ni P Elémnt ni P d typ Hrmit Intrpolation d Lagrang sur ds rctangls 9. Elémnt ni d dgré un sur un rctangl Un contr xmpl Elémnt ni d dgré sur un rctangl Elémnt ni d Srndip d dgré Intrpolation d Lagrang sur ds triangls 4. Elémnt ni d dgré un sur un triangl Autr élémnt ni d dgré un Elémnt ni d dgré sur un triangl II Intégration Numériqu 7 Intégration numériqu à un dimnsion.. Transformation d référnc

4 4 SOMMAIRE. Quadratur d Nwton Formul du point miliu Formul (à points) ds trapèzs Formul (à points) d Simpson Quadratur d Gauss Gauss à point Gauss à points Gauss à points Intégration numériqu sur un rctangl Formul : Gauss à points Gauss à points Formul : Gauss à points Trapèz à points Intégration numériqu sur un triangl Transformation d référnc Formul du cntr Formul du miliu ds arêts

5 I Intrpolation

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7 Généralités. Exmpl introductif Chrchons, pour l xmpl, un fonction p dé ni sur un sgmnt = [x ; x ] ; x > x, t prnant ds valurs p i R, i d = ; ayant la form suivant: 8 >< qu l on put écrir brièvmnt >: p (x ) = p x pdx = p x ; (.) p (x ) = p L i (p) = p i ; i d: (.) p p p x X pdx = p x x x 7

8 8. GÉNÉRALITÉS Il st évidnt qu il ya un in nité d fonctions réalisant ls conditions du systèm (.). Par contr, si nous n xons la form, disons par xmpl qu la fonction rchrché p appartint à un crtain spac P d dimnsion ni d, alors il srait possibl, mais pas toujours, d n trouvr un t un sul. Car, si nous désignons par fb j ; j dg un bas d P, alors p qui s écrirait p = dx j b j dvrait véri r, compt tnu d (.), l systèm 8 b >< (x ) + b (x ) + b (x ) = p x x x b dx + b dx + b dx = p : x >: x x b (x ) + b (x ) + b (x ) = p j= Sous form matricill on a b (x ) b (x ) b (x ) x x x b dx b dx b dx C A x x x b (x ) b (x ) {z b (x ) } M ou ncor M = A p p p A; p L xprssion d la matric M = (m i;j ) sous form réduit s écrit : m i;j = L i (b j ), i; j d: L xsitnc, alors, d un sul solution p P n st garanti qu lorsqu la matric M st invrsibl : Si M = alors = : Dit autrmnt, sans mntion xplicit ds élémnts d la bas, l systèm (.) n admt un sul solution qu si la proposition suivant Si fp P : L i (p) =, i dg alors p = (.) st satisfait. df C st l cas, par xmpl, pour P = P = spac ds polynôms d dgré. En t L p P : (p) =, p (x ) = L ) p (x) = c (x x (p) =, p (x ) = ) (x x ) pour un crtain constant c R. Et par suit si L (p) =, x x pdx = ) c (x x ) (x x ) dx = ) c = ) p = : x x 6=

9 .. CADRE ABSTRAIT 9. Cadr abstrait D manièr plus général, l problèm d l intrpolation sur un domain R N ; N N, consist à détrminr un fonction t un sul p :! R, dans un spac donné P ; d dimnsion ni d df = dim (P ) N, prnant ds valurs p i R ayant la form: 8 < : L (p) = p :: :: :: L d (p) = p d où ls L i sont ds applications linéairs d P à valurs dans R. Désignons ct nsmbl (.4) df = fl i (:) : P! R, i d = dim (P )g ; qu on appllra l nsmbl ds dgrés d librté. Alors, compt tnu d touts cs notations, on a : Théorèm - L systèm (.) admt un solution t un sul p P si t sulmnt si la condition (.) a liu.. Elémnt ni Dé nition - On dira dans c cas qu l triplt (; P ; ) st un élémnt ni. Exmpl - On a déjà vu qu l triplt 8 >< >: = [x ; x ] ; P = P df = spac ds polynôms d dgré = fl ; L ; L g, où L (p) = p (x ) ; L (p) = st un élémnt ni. Par contr, si on chang L (p) = x x pdx t L (p) = p (x ) x x pdx; par L (p) = p 8 (x ) ; x = (x + x ) étant l point miliu d ; la propriété (.) n a plus liu. Puisqu la fonction d P suivant : p (x) = (x x ) (x x ) st tll qu : 8 < : L (p) = p (x ) = L (p) = p 8 (x ) = x x x = L (p) = p (x ) =

10 . GÉNÉRALITÉS sans qu ll soit idntiqumnt null. L triplt 8 < : = [x ; x ] ; P = P df = spac ds polynôms d dgré = fl ; L ; L g, où L (p) = p (x ) ; L (p) = p 8 (x ) t L (p) = p (x ) x x x n st donc pas un élémnt ni..4 Fonctions d intrpolation Proposition - Soit (; P ; ) un élémnt ni. Alors, il xist un bas fn i ; i dg d l spac P, tll qu : où étant la matric d Kronckr, i.. L i (N j ) = i;j i; j d; (.) si i = j i;j = si i 6= j : D plus p = dx i= L i (p)n i 8p P : (.6) Indication - La fonction N n st rin d autr qu la solution, dans P, du systèm (.4) dans l cas particulir 8 L >< (N ) = L (N ) = : : >: L d (N ) = où p = t p i = pour i = ; ::; d: L cas général s déduit sans pin. Par aillurs, l nsmbl fni ; i dg st libr. Car, dx i= dp i Ni = ) L k i Ni = L k (), k d i= ) dx i L k (Ni ) = ) k = : i= k;i k

11 .. DEGRÉ D UN ÉLÉMENT FINI On n déduit donc, comm P st un spac d dimnsion d, qu l nsmbl fni ; i dg st bin un bas d P. Alors, pour tout p P dp 9 p = d P i= i N i ) L k (p) = L k i Ni i= ) L k (p) = P d i L k (Ni ) = k : i= k;i, k d >= ) p = >; dx i= L i (p) N i : Dé nition - On appllra fonctions d bas d P ls d fonctions N ; ::; N d, dé nis par (.). Dé nition - On appllra opératur d P -intrpolation sur, l opératur I (:) qui à tout fonction u, dé ni sur, associ la fonction d P I (u) = Rmarqu - Rmarqur qu : dx i= L i (u)n i : I (u) = u 8u P : Rmarqu - Rmarqur sourtout, qu la solution du problèm (.) s obtint immédiatmnt dx p = p i Ni : i=. Dgré d un élémnt ni On a bsoin d introduir l spac ds polynôms P k, k N sur R: P k = Esp k + ; x; ::; x k dim(p k ) = k + sur R : P k = Esp fx y, i N, + k g dim(p k ) = k + sur R : P k = Esp fx y z, i N, + + k g dim(p k ) = = k + = (k + ) (k + ) (k + ) (k + ) (k + ) = 6 réls. Par xmpl N k P k dim(p k ) P = Esp f; x; yg P = Esp ; x; y; x ; xy; y 6 P = Esp f; x; y; zg 4 P k l sous-spac ds polynôms d dgré k n ls N variabls x ; x ; ::; x N à co cints

12 . GÉNÉRALITÉS Dé nition 4 - On dira qu (; P ; ) st un élémnt ni d dgré P st un spac d dgré k N, i.. lorsqu k lorsqu P k P t P k+ " P : Exmpl - Par xmpl, l spac P = Esp f; jxj g st un spac d dgré.

13 Exmpls n dimnsion D. Intrpolation d Lagrang On s donn sur un sgmnt d R un nsmbl d (n + ) points distincts fx ; x ; :::; x n+ g ; n N, comm indiqué sur la gur ci-dssous x x :: x n x n+ On lui associ l spac P df = P n t l nsmbl ds dgrés d librté df = fl ; ::; L n+g, tl qu : L i (p) df = p (x i ) ; i n + : Proposition -L triplt (; P ; ) st un élémnt ni d dgré n; dit d Lagrang, t l opératur d intrpolation associé st n+ X I (u) = u (x i ) Ni : (.) i= Indication - Il st facil d voir qu ls fonctions d bas associés à l nsmbl sont N i (x) = k=n+ Y k= k6=i k=n+ Y k= k6=i (x x k ) (x i x k ) ; i n + :

14 4. EXEMPLES EN DIMENSION D Intrpolation d u (x) = cos (x) par I (u) ; polynôm d dgré ; aux points x = ; x = :; x =. Montrr qu I (u) (x) = + 4 x : Intrpolation d u (x) = cos (x) par I (u) ; polynôm d dgré ; aux points x = ; x = :; x = ; x 4 =. Montrr qu I (u) (x) = x 4 x + :

15 .. INTERPOLATION DE HERMITE. Intrpolation d Hrmit Soit x ; x dux points consécutifs d un sgmnt. On s donn, à chaqu point, n + forms linéairs sur P = P n+ ; n N : 8 >< >: On montr qu : x x L (p) = p (x ) ; L (p) = p (x ) ; L (p) = p 8 (x ) ; L 4 (p) = p 8 (x ) ; L (p) = p () (x ) ; L 6 (p) = p () (x ) ; : : L n+ (p) = p (n) (x ) ; L n+ (p) = p (n) (x ) : Proposition - (; P ; ) st un élémnt ni d dgré n+, dit d Hrmit, t l opératur d intrpolation associé st I (u) = nx k= u (k) (x ) Nk+ + u (k) (x ) Nk+ : Indication - Pour cla, on rmarqu d abord qu dim (P n+ ) = n + Card ( ) = (n + ) ) d = dim (P n+ ) = Card ( ) : Il rst à montrr la propriété (.). En t, pour p P, on obtint : L k+ (p) = p (k) (x ) = k n ) 9q P n : p (x) = q (x) (x x ) n+ L k+ (p) = p(k) (x ) = k n ) 9q P n : p (x) = q (x) (x x ) n+ : Et donc 9q ; q P n : p (x) = q (x) q (x) (x x ) n+ (x x ) n+ P n+ : Or p P n+, alors cci n st possibl qu si q (x) = ou q (x) = ; i.. lorsqu p (x) = 8x :

16 6. EXEMPLES EN DIMENSION D.. Elémnt ni cubiqu d Hrmit L xmpl classiqu st clui d l élémnt ni cubiqu. Il corrspond au cas particulir où n = ; i. 8 < : P = P = fl ; L ; L ; L 4g : L (p) = p (x ) ; L (p) = p (x ) ; L (p) = p 8 (x ) ; L 4 (p) = p 8 (x ) ; x x 4 On véri facilmnt, n utilisant la fonction auxiliair y (x) = x x h ; h = x x ; qu ls fonctions d intrpolation sont : N = y y + ; N = y + y N = h y y + y ; N 4 = h y y : L opératur d intrpolation associé st I (u) = u (x ) N + u (x ) N + u 8 (x ) N + u 8 (x ) N 4 : Intrpolation d u (x) = cos (x) par I (u) ; polynôm d dgré d Hrmit; aux points x = :; x = :.

17 .. EXERCICES 7. Exrcics.. Elémnt ni rationnl Soit 8 = [x ; x ] ; >< = fl ; L g où L (p) = p(x ), L (p) = p(x ) >: P = p; p (x) = a + a x 8a ; a R ; où q (x) = (x x ) + x x : q (x) x x Montrr qu (; P ; ) st un élémnt ni d dgré. Donnr l nsmbl ds fonctions d intrpolation... Autr xmpl d élémnt ni P Soit 8 = [x ; x ] ; >< x = fl ; L ; L g où L (p) = p(x ), L (p) = x x p (s) ds; L (p) = p(x ) x >: P = P : x x Montrr qu (; P ; ) st un élémnt ni d dgré. Véri r qu 8 >< >: N y y = 4 N = + y N +y y = 4 sont ls fonctions d bas d P. ; y (x) = x x x x x :

18 8. EXEMPLES EN DIMENSION D.. Elémnt ni P d typ Hrmit On associ à P = P l nsmbl = fl ; L ; L g, tl qu : 8 < L (v) = v (x ) L : (v) = v 88 (x ) L (v) = v (x ) x x x Montrr qu (; P ; ) st un élémnt ni d dgré. Véri r qu ls fonctions d intrpolation sont N (x) = x x ; N (x) = (x x ) (x x ) ; N (x) = x x : x x x x

19 Intrpolation d Lagrang sur ds rctangls. Elémnt ni d dgré un sur un rctangl Soit un rctangl d sommts consécutifs S x comm indiqué ci-dssous y ; S x y ; S x y ; S 4 x4 y 4 y 6 S 4 S S S - x L sns d l orintation ds sommts st invrs d clui ds aiguills d un montr. On lui associ l spac P = Q df = Esp f; x; y; xyg = fl ; L ; L ; L 4g où L j (p) = p (S j ) ; j = ; ; ; 4: L triplt (; P ; ) st un élémnt ni d dgré : Véri cations : 9

20 . INTERPOLATION DE LAGRANGE SUR DES RECTANGLES sont 8>< On a bin dim (P ) = Card ( ) = 4 t ls fonctions d intrpolation dans P >: N (x; y) = (x x ) (y y ) (x x ) (y y ) ; N (x; y) = (x x 4) (y y 4 ) (x x 4 ) (y y 4 ) ; N (x; y) = (x x ) (y y ) (x x ) (y y ) ; N 4 (x; y) = (x x ) (y y ) (x 4 x ) (y 4 y ) : Pour l dgré, il st clair qu P P " P :. Un contr xmpl Considérons maintnant, au liu ds valurs aux sommts du rctangl, l nsmbl ds forms = fl ; L ; L ; L 4g, tl qu : L (p) = p S+S ; L (v) = p S+S ; L (v) = p S+S4 ; L 4 (v) = p S4+S : y 6 S 4 S y M = y+y4 4 S x M = x+x S - x Ici dim (P ) = Card ( ) = 4; mais (; P ; ) n st pas un élémnt ni, car la propriété (.) n a pas liu. En t, la fonction véri sans qu ll soit idntiqumnt null. p (x; y) = (x x M ) (y y M ) p P : L j(p) = ; j = ; ; ; 4;. Elémnt ni d dgré sur un rctangl Soit un rctangl d sommts consécutifs S x y ; S x On introduit ls points ds miliux comm indiqué ci-dssous S = S + S ; S 6 = S + S, S 7 = S + S 4 y ; S x y ; S 4 x4 y 4 ;, S 8 = S 4 + S, S 9 = S + S + S + S 4 4.

21 .4. ELÉMENT FINI DE SERENDIP DE DEGRÉ y x On lui associ P = Q df = Esp ; x; y; x ; xy; y ; x y; xy ; x y ; = fl i ; i 9g où L i (p) = p (S i ) ; i 9: Montrr qu l triplt (; P ; ) st un élémnt ni d dgré..4 Elémnt ni d Srndip d dgré On l obtint par la supprssion du noud intériur S 9. Soit P = Esp ; x; y; x ; xy; y ; x y; xy ; = fl i ; i 8g où L i (p) = p (S i ) ; i 8: y x Montrr qu l triplt (; P ; ) st égalmnt un élémnt ni d dgré.

22 . INTERPOLATION DE LAGRANGE SUR DES RECTANGLES

23 4 Intrpolation d Lagrang sur ds triangls 4. Elémnt ni d dgré un sur un triangl Soit un triangl d sommts consécutifs S x comm indiqué ci-dssous y 6 y ; S x y ; S x y S T s TT T = T T = s S T Ss = TT hhhhhhhhhhhhh T - x L sns d l orintation ds sommts st toujours invrs d clui ds aiguills d un montr. On lui associ P = P = fl ; L ; L g où L i (p) = p (S i ) ; i = ; ; : L triplt (; P ; ) st un élémnt ni d dgré. On a bsoin, pour détrminr ls fonctions d intrpolation, d introduir qulqus notations utils par la suit. Soit i un polynôm d P, tl qu

24 4 4. INTERPOLATION DE LAGRANGE SUR DES TRIANGLES : i = équation d la droit passant par S i+ t S i+, i =: Pour xr ls idés, posons : (M) = dt (S S ; S M) = x x x x y y y y (M) = dt (S S ; S M) = x x x x y y y y (M) = dt (S S ; S M) = x x x x y y y y = (y y ) (x x ) (x x ) (y y ) ; = (y y ) (x x ) (x x ) (y y ) ; = (y y ) (x x ) (x x ) (y y ) : Introduisons i (M) = i (M), i = ; ; ; i (S i ) Cs scalairs i (M) sont applés ls coordonnés barycntriqus du point x M par rapport aux sommts du triangl. Ls fonctions y i : M! i (M), i = ; ; ; sont ls fonctions coordonnés barycntriqus. Il st facil d voir qu (M) = Air MS S Air, (M) = Air S S S Air MS S, (M) = S S S Air Air MS S : S S S Rmarqur, qu : i (S j ) = i;j, i; j = ; ; : Ls fonctions d intrpolation sont donc : N i = i, i = ; ; : 4. Autr élémnt ni d dgré un Considérons maintnant, au liu ds valurs aux sommts du triangl, l nsmbl ds valurs aux points miliux M i. i.. = fl ; L ; L g, tl qu : L (p) = p M C {z} A ; L (p) = p S +S M {z} S +S C A ; L (p) = p M {z} S +S C A :

25 4.. ELÉMENT FINI DE DEGRÉ SUR UN TRIANGLE y 6 T S TT s T T s T T TT hhhhhhhhhhhhh S s S T - x L triplt (; P ; ) st égalmnt un élémnt ni d dgré : Ls fonctions d intrpolation sont N i = i ;, i = ; ; ; où ls i désignnt ls fonctions coordonnés barycntriqus par rapport aux sommts du triangl. Véri cations pour i = L (N S ) = +S ((S)+(S)) L (N S ) = +S ((S)+(S)) L (N S ) = +S ((S)+(S)) = (S ) = (S ) = (S ) (S ) = ; (S ) = ; (S ) = ; donc L j(n ) = ;j ; j = ; ; : D manièr similair on obtint L j(n ) = ;j t L j(n ) = ;j ; j = ; ; : 4. Elémnt ni d dgré sur un triangl Soit un triangl d sommts consécutifs S ; S ; S. On introduit ls points ds miliux comm indiqué ci-dssous S 4 = S + S ; S = S + S, S 6 = S + S

26 6 4. INTERPOLATION DE LAGRANGE SUR DES TRIANGLES y 6 T TT s s T TT s4 hhhhhhhhhhhhh s T s TT 6 s T - x L triplt (; P ; ) st égalmnt un élémnt ni d dgré : Ls fonctions d intrpolation sont N i = i ( i ) ;, i = ; ; ; N 4 = 4 ; N = 4, N 6 = 4 où ls i désignnt toujours ls fonctions coordonnés barycntriqus par rapport aux sommts du triangl.

27 II Intégration Numériqu 7

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29 9 L calcul approché ds intégrals, sur R N ; st basé sur ds formuls, dits d quadratur, d typ : g (x) dx ' jj XN i k=! k g (x k ) (4.) où jj désign la msur d dans R N ; ls x k sont ds points choisis dans t ls! k sont ds co cints d pondération, d sort qu pour un crtain dgré n: g (x) dx = jj XN i k=! k g (x k ) 8g P n n x:

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31 Intégration numériqu à un dimnsion L princip classiqu st clui qui consist à rmplacr la fonction par son intrpolé d Lagrang d dgré n. Plus précismnt, d (.), on obtint g (x) dx = n+ X n+ X g (x k ) N k dx = B N k dxc jj jj k= k= A g (x k) :! k Donc n+ X g (x) dx =! k g (x k ) 8g P n : (.) jj k=.. Transformation d référnc L calcul ds! k s simpli par l utilisation du changmnt d variabl b = [ ; ] F! x = F () : F () = S + S +. F () = S = F () = S = En t, n utilisant k = F S + S (x k ) = x k S S dx = jj d où jj = S S ;

32 . INTÉGRATION NUMÉRIQUE À UNE DIMENSION l calcul s ramèn sur b d la manièr suivant : g (x) dx = g (F ()) jj jj jj d = g F () d jbj n+ X! k g (x k ) = k= n+ X n+ X! k g (F ( k )) =! k g F ( k ) k= Or F étant a n t g un polynôm d dgré n n x, donc g F st un polynôm d dgré n n t on a : k= n+ X g () d =! k g ( jbj k ) 8g P n n : (.) b k=. Quadratur d Nwton.. Formul du point miliu On appliqu (.) avc n = g () d =! jbj A 8g P. b {z} b S x = S+S S = Pour g () = ; on trouv la valur d!! g ( ) = g () d {z} {z } = )! = : La formul, n fait, st xact pour ls polynôms d dgré. Car, l égalité a liu pour g () =! {z} Par contr pour g () =! {z} g ( ) = g ( ) 6= g () d : {z} g () d :

33 .. QUADRATURE DE NEWTON On obtint nalmnt : jj g (x) dx = g S+S 8g P... Formul (à points) ds trapèzs On appliqu (.) avc n = B C g () d =! jbj A +! g b A 8g P : {z} x = S = x = S = Ls valurs rchrchés d! t d! : Pour g () = t g () = ; on trouv g () = :! g ( ) +! g () = g () d {z} g () = :! g ( ) +! g () = {z} Par contr pour g () = )! +! = g () d )! +! = 9 >= )! =! = : >; En conclusion g () = :! {z} jj g ( ) +! {z} g () 6= {z} g () d : g (x) dx = (g (S ) + g (S )) 8g P.. Formul (à points) d Simpson On appliqu (.) avc n = B C g () d =! jbj A +! g b {z} A +! A 8g P : {z}

34 4. INTÉGRATION NUMÉRIQUE À UNE DIMENSION x = S = x = S+S = x = S = L calcul ds! k s fait d manièr analogu : g () = :! g ( ) +! g () +! g () = g () d {z} {z} g () = :! g ( ) +! g () +! g () = {z} {z} g () = :! g ( ) +! g () {z} +! g () = {z} )! +! +! = g () d )! +! = g () d )! +! = 9 >= ) >;! =! = 6 t! = 4 6 : La formul rst valabl pour g () = g () = :! {z} 6 Par contr pour g () = 4 g () = 4 :! {z} 6 g ( ) +! {z} 4 6 g ( ) +! {z} 4 6 On n déduit nalmnt qu jj g () +! {z} {z} 6 g () +! {z} {z} 6 g (x) dx = 6 g (S ) + 4g. Quadratur d Gauss Ell s bas sur ls m racins ; ::; m d l équation d m d m m = : g () = {z} g () 6= {z} g () d : g () d : S+S + g (S ) 8g P. La formul d quadratur corrspondant st xact pour ls polynôms d dgré m : i.. mx g (x) dx =! k g (x k ) 8g P m où x k = F ( jj k ) : k=

35 .. QUADRATURE DE GAUSS.. Gauss à point Ctt formul st idntiqu à la formul du point miliu : jj g (x) dx = g S+S 8g P, car d d = ) =, x = F ( ) = S + S :.. Gauss à points g () d =! g ( jbj ) +! g ( ) 8g P : Détrmination ds k t ds x k : b d d d = ) d + 4 = ) = ) = p ) x = F ( ) = S S = p + ) x = F ( ) = S S p! p! + + S + S ; + S + S : S x x = p S = p Détrmination ds! k : p! p! g () = :! g +! g = g () d )! +! = p! p! g () = :! g +! g = g () d ) p! + p! = p p 9 >= )! =! = : >;

36 6. INTÉGRATION NUMÉRIQUE À UNE DIMENSION Rmarqur qu la formul rst valabl pour g () = t pour g () = : g () = :! {z} g () = :! {z} Par contr pour g () = 4 :! {z} On conclusion g g p! +! {z} p! g 9 p 9 p! +! {z} +! {z} g g p! = p! g p 9 p! 6= 9 g () d = g () d g () d : jj g (x) dx = (g (x ) + g (x )) 8g P.. Gauss à points g () d =! g ( jbj ) +! g ( ) +! g ( ) 8g P : b Détrmination ds k t ds x k : d d d = ) d = ) 4 64 = ) = : = r r ; = ; = ) x k = F ( k ) k : S x x x S = = = q q Détrmination ds! k :

37 .. QUADRATURE DE GAUSS 7 r! r! g () = :! g +! g () +! g = g () d )! +! +! = {z} r! r! g () = :! g +! g () +! g = g () d )! +! = {z} p p r! r! g () = :! g +! g () +! g = g () d ) {z} (! +! ) =! =! = 8 t! = 8 8 : 9 >= ) >; Rmarqur qu la formul rst valabl pour g () = s ; s = ; 4; : r! r! g () = :! {z} g +! g () +! {z} g = g () d {z} {z} p p r! r! g () = 4 :! {z} g +! g () +! {z} g = g () d {z} {z} r! 9 r! g () = :! {z} g +! g () +! {z} g = {z} {z} p Par contr pour g () = 6 : r!! {z} g +! {z} g () +! {z} {z} 8 9 p g ( ) 6= 7 g () d g () d : 7 En conclusion jj g (x) dx = 8 ( g (x ) + 8 g (x ) + g (x )) 8g P :

38 8. INTÉGRATION NUMÉRIQUE À UNE DIMENSION

39 6 Intégration numériqu sur un rctangl L approximation d l intégral I = g (x; y) dxdy = g (x; y) dxdy jj j j j j s déduit facilmnt à partir d cll obtnu n dimnsion un. Plus précismnt, on évalu la prmièr intégral n supposant y constant : I = Xn! i g (x i ; y) dy 8g (:; y) Ps x j j i= En calculant d la mêm manièr la duxièm intégral, on obtint un formul d typ : Xn Xn I =! i! jg (x i ; y j ) 8g Ps x Ps y i= j= ou ncor n X n B g (x; y) dxdy =! k g jj P k k=! i! j où {z} (x i;y j) C A 8g P x s P y s P x s P y s = Esp fx y ; ; N, s ; s g : 6..4 Formul : Gauss à points Gauss à points 4X g (x; y) dxdy =! k g (P k ) 8g P x P y jj k= 9

40 4 6. INTÉGRATION NUMÉRIQUE SUR UN RECTANGLE b y P 4, g 4 = 4 P, g = 4 y P, g = 4 P, g = 4 b 8 a x x a p 8 p >< x = F ;! = p >< y = F ;! = p x = F ;! = y = F ;! = >: >: F () = a a + a+a F () = b b + b+b 6.. Formul : Gauss à points Trapèz à points g (x; y) dxdy = jj 6X! k g (P k ) 8g P x P y k=

41 4 b y P 4,g 4 = 6 P,g = 8 6 P 6,g 6 = 6 b 8 >< >: y a x = F P,g = 6 P,g = 8 6 x x q ;! = 8 8 < x = F q () ;! = 8 8 x = F ;! = 8 F () = a a + a+a : x P,g = 6 a y = F ( ) ;! = y = F () ;! = F () = b b + b+b

42 4 6. INTÉGRATION NUMÉRIQUE SUR UN RECTANGLE

43 7 Intégration numériqu sur un triangl On rchrch égalmnt ds formuls d typ : g (x; y) dxdy = jj XN i k=! k g (P k ) 8g P n, pour un triangl d sommts cosécutifs S (x ; y ) ; S (x ; y ) ; S (x ; y ) t d surfac jj : 7..6 Transformation d référnc Comm n dimnsion D, on montr qu la formul rchrché st équivalnt à XN i g (; ) dd =! k g bpk 8g P n n ; (7.) jbj b k= où b désign l triangl d sommts b S (; ) ; b S (; ) ; b S (; ) t bp k = F (P k ) ; F étant la fonction réciproqu d la transformation F : (; ) b F! (x; y) = F (; ) : F (; ) = S + S + S ( ) : 4

44 44 7. INTÉGRATION NUMÉRIQUE SUR UN TRIANGLE y S R F S å S S x å å S å S car jj Y En t, la valur du jacobin d x; y par rapport à, st J = ; = dt! S S ; S S Donc Par suit = S S = S! S g (x; y) dxdy = jj X! k g (P k ) = k= J x; y = jj = S S = S! S g F (; ) jj dd = g F (; ) dd b b b XN i XN i! k g F bpk =! k g F bpk k= Comm F st a n t g st un polynôm d dgré n n x; y, on n déduit qu g F st un polynôm d dgré n n ; t la rlation (7.) a liu. k= 7..7 Formul du cntr g (x; y) dxdy '! g (P ) jj où P désign l cntr d gravité du triangl ; d sommts consécutif S ; S ; S, i.. P = S + S + S :

45 4 S T TT T TT P S T TT S hhhhhhhhhhhhh T Comm F ; = P, alors bp = F (P ) = ; ; t donc, d manièr équivalnt, on a : g (; ) dd '! g bp jbj b Pour g (; ) =, la formul conduit à! g bp = g (; ) dd = )! = : jbj b Mais, ctt formul rst valabl pour ls polynôms d dgré : g (; ) = :! {z} g (; ) = :! {z} Par contr g (; ) = :! {z} En conclusion : g bp g bp g bp 9 = jbj b = jbj 6= jbj b b g (; ) dd = g (; ) dd = g (; ) dd = d d = ( ) ( ) " ( )! " ( ) d d = d d = ( ) " # # ( ) 4 4 = = # = 6

46 46 7. INTÉGRATION NUMÉRIQUE SUR UN TRIANGLE jj g (x; y) dxdy = g (P ) 8g P Formul du miliu ds arêts X g (x; y) dxdy '! k g (P k ) jj où k= P = S+S ; P = S+S ; P = S+S : y 6 T S T T P s T T sp T T TT hhhhhhhhhhhhh S s P S T - x Comm F ; C {z} A = P ; F ; C {z} A = P ; F ; C {z} A = P bp bp bp on obtint : Alors g (; ) = : g (; ) = : g (; ) = : g (; ) dd ' jbj b X k=! g bp +! g bp +! g bp! g bp +! g bp +! g bp! g bp +! g bp +! g bp! k g bpk ; R = jbj b R = jbj b R = jbj b g (; ) dd = g (; ) dd = g (; ) dd = 9 >= ) >;! +! +! =! +! =! +! =

47 47 D où! =! =! = : On a aussi g (; ) = :! {z} g bp +! g bp +! {z} g bp {z} 4 4 g (; ) = :! {z} g bp +! g bp +! {z} g bp {z} 4 g (; ) = :! {z} g bp +! g bp +! {z} g bp {z} 4 4 En conclusion : jj g (x; y) dxdy = R = jbj b R = jbj b R = jbj P g (P k ) 8g P. k= b g (; ) dd = 6 g (; ) dd = g (; ) dd = 6