TD 1 Rappels mathématiques et expressions rationnelles

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1 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD TD Rppls mthémtiqus t xprssions rtionnlls A. Notions mthémtiqus d s. Prouvz l prmièr loi d D Morgn : A (B C) = (A B) (A C). Ls nsmls suivnts sont-ils stls pour l opértion indiqué? Si l répons st négtiv, donnz lur clôtur. ) L nsml ds ntirs nturls pour l ddition. ) L nsml ds ntirs nturls pour l soustrction. c) L nsml ds ntirs rltifs pour l soustrction. d) L nsml ds ntirs impirs pour l multipliction. ) L nsml ds ntirs négtifs pour l soustrction. f) L nsml ds ntirs négtifs pour l multipliction. g) L nsml ds intrvlls d N pour. h) L nsml ds intrvlls d N pour.. Comm ls rltions sont ds nsmls, on put prlr d frmtur d un rltion (nsml) pr un utr rltion (opértion). - l frmtur réflxiv trnsitiv d un rltion R, noté R * st l frmtur d R pour ls rltions d réflxivité t d trnsitivité, - l frmtur trnsitiv d R st noté R + Donnz l frmtur réflxiv trnsitiv d l rltion R = {(, ), (, c), (, d), (d, d), (d, ), (, ), (, )}. Soit un nsml E. On définit sur P(E) l rltion inir R : X R Y X t Y ont l mêm nomr d élémnts. Montrz qu R st un rltion d équivlnc. 5. Soint R t R dux ordrs prtils sur un mêm nsml E. Montrz qu R R st églmnt un ordr prtil. 6. Montrz qu l nsml Q ds nomrs rtionnls st infini dénomrl.. Montrz pr induction l théorèm suivnt : Soit A un nsml fini. P(A) = A. 8. Montrz pr l surd l théorèm suivnt : Soit R un rltion inir défini sur un nsml fini A, t soint t dux élémnts d A. S il xist un chmin d vrs dns R, lors il xist un chmin d longuur u plus A. / 8

2 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD B. Exprssions rtionnlls Ls xprssions rtionnlls sur un lpht Σ sont tous ls mots construits sur l lpht Σ {(, ),,, *} : () t chqu élémnt d Σ st un xprssion rtionnll, () si α t β sont ds xprssions rtionnlls, lors (αβ) st ussi un xprssion rtionnll, () si α t β sont ds xprssions rtionnlls, lors (α β) st ussi un xprssion rtionnll, () si α st un xprssion rtionnll, lors α* st ussi un xprssion rtionnll, (5) rin d utr n st un xprssion rtionnll hormis ls points () à (). On dit qu dux xprssions rtionnlls sont équivlnts si lls définissnt l mêm lngg. Soint u t v dux xprssions rtionnlls. Ls églités suivnts puvnt êtr démontrés :. * =. u*u* = u*. (u v)* = u*(u v)*. u = u = u 8. (u*)* = u*. (u v)* = (u vu*)*. uu* = u*u 9. u(v w) = uv uw 5. (u v)* = (u*v*)*. uu* = u* 0. (u v)w = uw vw 6. (u v)* = u*(vu*)* 5. u v = v u. (uv)*u = u(vu)*. (u v)* = (u*vu*)* u* 6. u u = u. (u v)* = (u* v)* 8. (u v)* = (u*v)*u* 9. Ls ffirmtions suivnts sont-lls vris? Expliquz pourquoi : ) **** ) ** ** = * * c) ** c*d* = d) cd ((cd)*)* 0. Montrz ls églités suivnts n utilisnt ls idntités ci-dssus : ) ((**)*(**)*)* = ( )* ) (*)* (*)* = ( )* c) ( )*( )* = *( )*. Pour chcun ds lnggs suivnts, donnz un xprssion régulièr rprésntnt son complémnt. ) ( )* ) (( )( ))*. Soit Σ = {, }. On souhit décrir pr un xprssion rtionnll l lngg L comm suit : L = {w {, }* w contint, t l sous-chîn n figur ps dns w n dhors d l sous-chîn } En justifint vos réponss, indiquz pour chcun ds xprssions suivnts si ll décrit ffctivmnt L ou non. ) ( ) + (*)* ) ( )*( )* c) (* ()*)(* ()*). Soit Σ = {, }. Donnz un xprssion rtionnll définissnt ls lnggs sur Σ décrits pr ls définitions suivnts : ) l lngg d tous ls mots contnnt u moins (i.. occurrncs d l lttr ). ) l lngg d tous ls mots contnnt u plus. c) l lngg d tous ls mots contnnt un nomr d divisil pr. d) l lngg d tous ls mots n contnnt ps l fctur.. Donnz un xprssion rtionnll définissnt l lngg L = {w {, }* w contint mis ps } Indiction : un mot w du lngg put êtr décomposé n w = *uv où u st un chîn qui finit pr t n contint ps t v st un chîn qui commnc pr t n contint ps. 5. Soit Σ = {, }. Donnz un xprssion rtionnll définissnt l lngg complémntir du lngg défini pr **( )* / 8

3 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD TD Automts à étts finis. On considèr l lpht Σ = {, }. Donnz un xmpl d utomt M, détrminist ou non, dns ls cs suivnts : ) M n ccpt ucun mot. ) M ccpt tous ls mots sur l lpht Σ. c) M n étts t ccpt tous ls mots d Σ. d) M n étts t n ccpt qu l mot vid. ) M n ccpt qu ls mots formés vc un sul lttr d Σ. f) L xprssion rtionnll corrspondnt srit * *.. Construisz ds utomts finis détrminists ou non ccptnt ls lnggs suivnts : ) {w {, }* chqu d w st imméditmnt précédé t imméditmnt suivi pr un }. Notr qu l mot doit êtr ccpté. ) {w {, }* w n contint ni ni }. c) {w {, }* w contint ou }. d) {w {, }* w contint à l fois t }. Notz qu ls mots t doivnt êtr ccptés. ) {w {, }* w un nomr impir d t un nomr impir d }. f) {w {, }* w contint t l prmièr occurrnc d n doit ps êtr précédé d }. g) {w {, }* w contint un sul fois l sous-chîn, t l sous-chîn n figur ps dns w n dhors d }. h) {w {,, c}* w n contint ps c}.. Crctérisz pr un xprssion rtionnll l lngg ccpté pr chcun ds utomts suivnts : ) ) / 8

4 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD TD Détrministion. Détrminisz ls utomts suivnts. Quls lnggs rconnissnt-ils? ) ) 5 6 c) d) Pour chcun ds xprssions rtionnlls suivnts, construisz un utomt non détrminist simpl ccptnt l lngg corrspondnt. Détrminisz ct utomt t décrivz commnt fonctionn l utomt détrminist résultnt. ) ( )* ( )* ) ( )*( ). Construisz ls dux utomts détrminists ccptnt rspctivmnt ls dux lnggs suivnts : ) L = {w {, }* w contint } ) L = {w {, }* w contint un nomr pir d } Montrz commnt construir dirctmnt à prtir d cs dux utomts détrminists, l utomt détrminist ccptnt c) L = L L c-à-d L = {w {, }* w contint t un nomr pir d } d) L = L L c-à-d L = {w {, }* w contint ou un nomr pir d } / 8

5 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD TD Crctéristion t minimistion. Donnz un xprssion rtionnll décrivnt l lngg rconnu pr ls utomts suivnts. ) 5, ) 6 5 c) 8, 6 Soit M = (K, Σ, δ, s, F) un utomt fini détrminist. On not M(q), pour q K, l utomt (K, Σ, δ, q, F). On dit qu p t q sont dux étts équivlnts d M, t on not p q, ssi L(M(p)) = L(M(q)). Formllmnt, p q ssi w Σ* tl qu (p, w) M * (f, ) t (q, w) M * (f, ), on f F f F. En prtiqu, on clcul ls clsss d équivlnc slon puis on fit l fusion. st clculé comm l limit d ( i ) i N. p i q ssi w Σ* w i tl qu (p, w) M * (f, ) t (q, w) M * (f, ), on f F f F.. Minimisz ls utomts suivnts : ) ) c) 5 6, 5, 6, 5 / 8

6 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD Soit L Σ* un lngg t x, y Σ* dux mots. On dit qu x t y sont équivlnts suivnt L, t on not x L y, si pour tout mot z d Σ* : xz L ssi yz L Théorèm d Myhill Nrod : Soit L Σ* un lngg rtionnl. Il xist un utomt détrminist ynt Σ* / L étts ccptnt L. Pour un lngg L, l utomt stndrd M = (K, Σ, δ, s, F) st défini d l mnièr suivnt : K = { [x], x Σ* } F = { [x], x L } s = [] δ : défini pr δ([x], ) = [x]. Soit L l lngg défini pr l xprssion rtionnll ( )* ( c)* (c )*. ) Clculz ls clsss d équivlnc suivnt L, ) Détrminz l utomt stndrd corrspondnt à L.. Mêms qustions pour L = { w {, }* w st pir t w n contint ps }. 6 / 8

7 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD TD 5 Rtionlité Pour montrr qu un lngg st rtionnl, on put : - donnr un xprssion rtionnll, - construir un utomt à étts finis, détrminist ou non, - utilisr ls propriétés d stilité. Pour montrr qu un lngg st non rtionnl, on put : - utilisr ls propriétés d stilité t un risonnmnt pr l surd, - utilisr l lmm d l étoil. L clss ds lnggs rtionnls st stl pour l union, l concténtion, l étoil d Kln, l intrsction t l complémntir. Pour montrr qu un lngg L st non rtionnl, on fit l risonnmnt pr l surd suivnt : - supposr L rtionnl ; - détrminr L rtionnl tl qu L op L = L (op {,., *,, complémntir}), L connu non rtionnl ; - L op L rtionnl pr stilité, L connu non rtionnl, donc contrdiction. Crctéristion ds lnggs rtionnls (lmm d l étoil) : Soit L un lngg rtionnl. L st donc rconnu pr un utomt M à k étts. z L, z k, u, v, w Σ* tls qu z = uvw, uv k, v > 0 t i 0, uv i w L.. Est-c qu l lngg L = {w {, }* w pir t w n contint ps } st rtionnl? Pourquoi?. Complémnt t inclusion d lnggs. ) Montrz qu l complémntir d un lngg non rtionnl st non rtionnl. ) Si L st un lngg rtionnl t qu on L L, st c qu cl impliqu qu L st rtionnl? c) Si L st un lngg non rtionnl t qu on L L, st c qu cl impliqu qu L st non rtionnl?. Est-c qu l clss ds lnggs non rtionnls st stl pr ) union? ) intrsction? c) étoil d Kln?. À l id du lmm d l étoil, montrz qu ls lnggs suivnts sont non rtionnls : ) { n n prmir} ) L lngg ds plindroms sur {, }* c) { p q p N, q N, q p} 5. Ls lnggs suivnts sont-ils rtionnls? ) {c n n > } ) {w ()* w 000} c) { [ n] n N} où [r] st l prti ntièr d r d) {w {, }* v {, }*, w = vv T } où v T st l mot v dns lqul on prmuté ls t ls 6. Soit L un lngg sur Σ. On not - prf(l) = {w Σ* y Σ*, wy L} - suff(l) = {w Σ* y Σ*, yw L} - L R = {w Σ* w R L}. Montrz qu si L st rtionnl, prf(l), suff(l) t L R l sont ussi. / 8

8 L Informtiqu Lyon LifLF Théori ds lnggs formls Exrcics d TD TD 6 Lnggs lgériqus. Soit Σ = {, }. Construisz ls grmmirs corrspondnt ux lnggs : ) * ) ( ) ( )* c) ( )* d) ( )* ( )*. Soit Σ = {, }. Construisz ls grmmirs régulièrs corrspondnt ux lnggs : ) ( )* ( )*. G = (V, Σ, R, S) un grmmir régulièr vc : - V = { S, X, Y } - Σ = {, } - R = { S X Y, X S, Y S } Construisz l utomt à étts finis corrspondnt u lngg ngndré pr G.. Soit l utomt à étts finis M : Construisz l grmmir régulièr ngndrnt l lngg rconnu pr M. 5. Montrz qu ls lnggs suivnts sont lgériqus : ) L = { m n m n} ) L = { m n c p d q m + n = p + q} c) L = {w {,}* w contint dux fois plus d qu d } d) L = {uv u, v {,}*, u = v } 6. Soit l utomt à pil M = {K, Σ, Γ, Δ, s, F} vc - K = {s, f} - F = {f} - Σ = {, } - Γ = {} - Δ = {((s,,),(s,)), ((s,,),(s,)), ((s,,),(f,)), ((f,,),(f,)), ((f,,),(f,))} ) Ecrivz touts ls suits d trnsitions possils à prtir d l ntré. ) Vérifiz qu,, L(M), t qu,, L(M). c) Qul st l lngg L(M)?. Construisz l utomt à pil ccptnt ls lnggs suivnts : ) L = { n n } ) L = {w {,}* w contint dux fois plus d qu d } c) L = { m n c p m > n + p t m, n, p > 0} 8. Montrz qu l clss ds lnggs lgériqus n st ps stl pr ) intrsction, ) complémnttion. 9. Montrz qu ls lnggs suivnts n sont ps lgériqus : ) L = {w {,, c}* w = w = w c } ) L = {www w {, }*} 8 / 8