SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

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1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer la suite (u ) qui vaut u = pour les termes pairs et u = pour ceux d idice impair. Il s agit d ue suite de réels positifs qui est jamais décroissate car o a u k < u k+ pour tout k 3. Cépedat, cette série coverge vers 0, car 0 u pour tout.. Toute suite croissate et majorée est borée C est vrai, démotros-le. Soit (u ) ue suite réelle croissate et majorée. Cela sigifie que u u + pour tout et qu il existe u ombre réel M tel que u M pour tout. Puisque la suite est croissate, tous les termes sot plus grads ou égaux à u 0 et o a doc u 0 u M pour tout 0. Pour obteir ue bore, il suffit doc de choisir le maximum etre u 0 et M, autremet dit : u max{ u 0, M }. 3. Si la suite (u ) coverge alors u + u 0 quad +. C est vrai. E effet, supposos que la suite (u ) coverge vers la limite l. O va démotrer que, das ce cas, les différeces etre deux termes cosécutifs de la suite tedet vers 0. Pour faire cela o se sert de l astuce usuelle de sommer et de rester la valeur de l : u u + = u l + l u + u l + u + l. État doé ε > 0, posos ε = ε. Puisque la limite de la suite u est l, il existe u etier positif ε tel que, pour tout ε o a u l < ε. Par coséquet, si ε + u u + u l + u + l ε + ε = ε + ε = ε. Cela motre que u u + ted vers 0. Das la questio suivate o verra que la réciproque est pas vraie. 4. Si u + u 0 quad + alors (u ) coverge. C est faux. Suivos l idicatio de l éocé et cosidéros la suite u = l(). Par les propriétés usuelles de la foctio logarithme : ( ) + u + u = l( + ) l() = l.

2 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE Puisque la suite + coverge vers lorsque ted vers l ifii et que la foctio l(x) est cotiue e x =, o a u + u l() = 0. O dispose doc d ue suite telle que u + u ted vers 0. Mais u = l() e coverge pas, car le logarithme est pas boré.. Exercice. La suite u = est divergete : elle ted vers l ifii. E effet, état doée u ombre réel M quelcoque, le terme u [M]+ = [M] +, où [M] représete la partie etière de M, est plus grad que M.. Puisque ( + 3) pour tout et que l o viet de voir que cette derière suite ted vers l ifii, il e va de même pour u = ( + 3). 3. La suite u = ( ) est divergete. E effet, supposos par l absurde qu elle ait ue limite l. Preos ε =. Par défiitio, il existe tel que u l pour tout. Les seules valeurs possibles de la suite état et, la limite l doit apparteir e même temps à l itervalle de cetre et de rayo et à celui de cetre et de rayo, ce qui est impossible car ces itervalles e se coupet pas. 4. La suite u = est covergete : sa limite est 0. E effet, il s agit + d ue suite à termes positifs qui est toujours plus petite que, dot la limite est 0. Pour répodre aux questios qui restet, o va d abord éocer ue propositio qui ous sera utile : Propositio.. Soiet (u ) ue suite réelle qui coverge vers l R et f : R R ue foctio cotiue e l. Alors la suite f(u ) coverge vers f(l). 5. La suite u = l( ) est divergete : elle ted vers. O est teté d appliquer ici le critère que l o viet de voir. La limite de la suite u = lorsque est 0, mais la foctio logarihtme est pas défiie e 0. Cépedat, o sait que l(x) ted vers lorsque x La suite u = exp( ) est covergete : sa limite vaut. E effet, la + suite coverge vers 0 car elle satisfait aux iégalités 0 < < + + pour tout. Puisque la foctio expoetielle est cotiue e 0, o a exp( ) exp(0) = La suite u = si( ) est covergete : sa limite vaut 0. O suit le même schéma que das la questio précédéte : la suite ted vers 0 et puisque le sius est cotiu e 0, o a : si( ) si(0) = 0.. Plus gééralemet, ce raissoemet motre qu ue suite qui pred ue ifiité de fois deux valeurs distictes e peut pas être covergete.

3 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 3 8. La suite u = cos( π ) est divergete. Rappelos que le cosius est πpériodique, doc la suite e pred que les valeurs 0 (pour impair), (pour multiple de 4) et (pour pair, mais o multiple de 4). Ue telle suite e peut pas être covergete, comme o l a vu das la troisième partie de cet exercice. 3. Exercice 3 Pour résoudre les questios de cet exercice o utilisera pricipalemet le théorème qui affirme que la limite d ue somme (resp. d u produit) de suites covergetes est la somme (resp. le produit) des limites.. La suite u = ( ) + est divergete. E effet, o a vu e cours que si ue suite est covergete, alors toute sous-suite extraite est covergete de la même limite. Par coséquet, pour motrer que u est divergete il suffit d exhiber deux sous-suites extraites ayat des limites distictes : les termes pairs u = + coverget vers, tadis que ceux d idice impair, u + = + ot limite. +. La suite u = cos( ) + est covergete : sa limite vaut. D u côté, la suite coverge vers 0 et puisque la foctio cosius est cotiue e 0, o a : cos( ) cos(0) =. De l autre côté, 0 car le terme gééral est toujours positif et plus petit que. O e déduit que la somme de deux suites coverge vers + 0 =. 3. La suite u = 3i+4 + est covergete : sa limite est. Puisqu il s agit maiteat d ue suite complexe, o étudie séparémet la partie réelle et la partie imagiaire. O a u = a + b i avec a = 4 + et b = 3. État doé que a et que b 0, la suite u coverge vers le ombre complexe + 0i =. 4. La suite u = cos( )( + ) est covergete : sa limite vaut. Par le 3 même raisoemet que l o a utilisé das la deuxième partie, la suite cos( ). De l autre côté, +. Puisque les deux limites sot 3 fiis, la limite de u est le produit des limites, c est-à-dire :. =. 4. Exercice 4 Das cette partie, le critère fodametale pour démotrer la covergece d ue suite sera le théorème des gedarmes. Ceci affirme que lorsque a u b pour tout et que a et b coverget vers la même limite, disos l, la suite u est aussi covergete de limite l.. La suite u = ( ) est covergete : sa limite vaut 0. E effet, les suites et coverget vers 0 et l o a u pour tout.

4 4 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. La suite u = si() est covergete de limite 0. O sait que le sius d u ombre réel pred des valeurs comprises etre et. Cela ous permet d obteir l ecadremet u. O e déduit que u 0 car les suites et coverget vers La suite u = cos()+3 est covergete : sa limite vaut 0. E effet, le cosius d u ombre réel preat des valeurs comprises etre et, o a u 4. Les suites et 4 coverget vers 0, doc il e va de même pour u. 4. La suite u = ei est covergete de limite 0. Pour le voir, o peut faire appel à l idetité e i = cos() + si()i. O doit alors traiter la suite complexe u = a + b i, où a = cos() et b = si(). Les questios précédetes motret que tat a que b coverget vers 0, doc u Exercice 5 Soit u = P () ue suite dot le terme gééral est défii comme u quotiet Q() de deux polyômes P et Q. E factorisat le umérateur et le déomiateur par la puissace la plus haute, o motre que : a. Si deg(p ) = deg(q), alors (u ) coverge vers le quotiet des coefficiets pricipaux de P et de Q. b. Si deg(p ) > deg(q), alors (u ) est divergete. E fait, la suite ted vers + si le quotiet des coefficiets pricipaux de P et Q est positif et vers sio. c. Si deg(p ) < deg(q), alors (u ) coverge vers 0. E pratique, pour calculer la limite d u quotiet de polyômes, il suffit de comparer les dégres du umérateur et du déomiateur.. La suite u = + est covergete de limite /. E effet, e divisat 3 tout par, o obtiet : u = +. D u côté, la limite de + est 3 ; de l autre côté, 3 ted vers. O e déduit que u.. La suite u = 3+ est covergete de limite 0 car le degré du déomiateur est plus grad que celui du 3 + umérateur. 3. La suite u = 5 +7 ted vers + car le degré du umérateur est supérieur au degré du déomiateur et que le quotiet des coefficiets 4 pricipaux est positif. 4. La suite u = +( ) est pas u polyôme e, mais o peut appliquer la même méthode pour calculer sa limite. E divisat par ( ) le umérateur et le déomiateur, o obtiet u = lorsque ted vers l ifii, doc (u ). ( ) + ( ), qui ted vers

5 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 5 6. Exercice 6. Ici o recotre u premier exemple de suite pour laquelle le théorème qui affirme que la limite d ue somme des suites est la sommes des limites doe ue répose idetermiée, à savoir. Das otre cas, la suite u = est divergete : elle ted vers. Pour le démotrer, o multiple et divise par + : = ( )( + ) + = = + +. Puisque la suite ( ) du umérateur ted vers et que le déomiateur coverge vers, o e déduit que ted vers.. La suite u =! est covergete : sa limite vaut 0. E effet, ue petite astuce ous permet d écrire le terme gééral sous la forme! ( )( ) = = ( )( ) ( ). Puisque tous les facteurs sot plus petits que, o peut remplacer les [ ] premiers par pour obteir l iégalité! [/] + < ( ) ( ). Esuite, o observe que si i /, alors i < / = /, doc les facteurs qui restet sot tous plus petit que /. Par coséquet : 0 <! ( ) [/] <. La suite majorate covergeat vers 0, il e va de même pour u. 3. La suite u = si(!) est covergete : sa limite est 0. E effet, + puisque le sius d u ombre réel est toujours compris etre et, o a si(!) et par coséquet le umérateur de la suite vérifie 3 si(!). O e déduit que 3 si(!) e o coclut grâce au théorème des gedarmes. 7. Exercice 7 Le but de cet exercice est de démotrer u critère de covergece pour les suites à termes positifs, à savoir : Propositio 7. (Règle de d Alembert). Soit (u ) ue suite de ombres réels strictemet positifs telle que la suite ( u + u ) coverge vers u réel a.

6 6 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE (i) Si a <, alors la suite coverge vers 0. (ii) Si a >, alors la suite ted vers +. O fera la démostratio e plusieurs étapes :. Doos des exemples de suites pour lesquelles a = 0, et. Premièremet, soit u = +!. Alors u + = + u ( + )! +! = + ( + ) coverge vers a = 0 car il s agit d u quotiet de polyômes dot le déomiateur est de degré plus grad que le umérateur. Deuxièmemet, preos u =, Alors u + = u + coverge vers a = lorsque ted vers l ifii. Troisièmemet, o peut cosidérer la suite u =. E effet : u + + lim = lim + u + + = lim + + =.. Supposos que u + u coverge vers a <. O utilisera d abord la défiitio de suite covergete pour coclure que (u ) est décroissate à partir d u certai rag. E effet, si l o pred ε = a, alors il existe u etier positif N tel que pour tout > N, u + u a a a a 3a < u + u < u + u < a + a < + a. Par hypothèse a <, doc +a <. Alors la deuxième iégalité etraîe que u + u < pour tout N, autremet dit la suite (u ) est décroissate à partir de l idice N. O a doc ue suite décroissate et miorée (par 0). D après le théorème que l o a vu e cours, (u ) coverge vers ue limite l 0 car tous les termes de la suite sot positifs. Supposos par l absurde que la limite était pas 0. Alors u + lim = lim + u + = l + u lim + u l =, ce qui cotredit l hypothèse a <. Par coséquet, (u ) est ue suite covergete dot la limite vaut 0.. Sigalos que, quad il s agit d étudier la covergece, la situatio est la même que si l o avait ue suite décroissate dès le début.

7 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 7 3. Supposos maiteat que a > et choisissos u ombre réel b tel que < b < a. Par défiitio de limite, il existe u etier positif 0 tel que u + u > b pour tout 0. E écrivat u sous la forme u = u u u u u 0 + u 0 u 0, o voit que u u 0 b 0 pour tout 0. Or la suite miorate est ue costate fois ue suite géométrique de raiso plus grad que, doc elle ted vers l ifii. O e déduit que u + elle aussi. 4. Lorsque a = o e peut rie dire sur la covergece de la suite. Cosidéros les exemples u =, que l o a déjà vu das la première partie, et v =. Das le premier cas, il s agit d ue suite de limite 0, tadis que das le deuxième la suite diverge. Par cotre, la limite des quotiets succesifs est das le deux cas : u + lim = lim + u + + = = lim + + v + = lim. + v 8. Exercice 8 Rappelos que l o dit que deux suites réelles (u ) et (v ) sot adjacetes si les trois propriétés suivates sot satisfaites : a. (u ) est croissate. b. (v ) est décroissate. c. v u coverge vers 0 lorsque ted vers l ifii. Comme o l a démotré e cours, si deux suites réelles sot adjacetes, alors elles coverget et ot la même limite. Das otre situatio, o a u = +! +! + +!, v = u +!. Vue la défiitio précédete, il faut d abord vérifier que la suite (u ) est croissate. E effet, [ u + u = +! + + ] (! + + ( + )!! + + )! = ( + )! > 0, doc u + > u pour tout et la suite est (strictemet) croissate.

8 8 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE Esuite, regardos ce qui se passe avec (v ). Calculos la différece [ ] ( v + v = u + + u + ) ( + )!! = (u + u ) + ( + )!! = ( + )!! = ( + )! 0 pour tout, doc v v + et il s agit d ue suite décroissate. Il e ous reste à prouver que la trosième coditio. O a v u = et la! limite de cette suite est bie 0 car 0 <.! Par coséquet, (u ) et (v ) sot des suites adjacetes. D après le théorème rappelé au début o e déduit qu elles coverget vers la même limite Exercice 9 Le but de cet exercice est de motrer que la suite défiie par u ombre réel u 0 > 0 et par la récurrece u + = ) (u + au, où a est u ombre réel positif quelcoque, coverge vers la racie carrée de a.. C est u simple calcul, qui utilise que les idetités pour le carré d ue somme et d ue soustractio : u + a = ( u + a ) a = ) (u + a + a a 4 u 4 u ) ) (u a + (u a au = (u a) = 4 u = 4 4u. Pour motrer que si > alors u a, il suffit d utiliser l idetité de la questio précédete. E effet, u + a = (u a) 0 4u car le terme á droite est le quotiet d u ombre réel o égatif par u ombre réel positif. Par coséquet, u + a pour tout 0, ce qui reviet à dire u a pour tout. Prouvos maiteat que la suite (u ) est décroissate. Comme d habitude, calculos la différece u + u = ) (u + au u = ( ) a u. u 3. C est le ombre e!

9 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 9 O viet de voir que u a, ce qui etraîe u a u a u a u u 0. O e déduit que u + u 0, doc (u ) est décroissate. 3. Le raissoemet ci-dessus motre que (u ) est ue suite décroissate et miorée par a. D après le critère de covergece que l o a vu e cours, (u ) est ue suite covergete. Notos l sa limite. Afi de calculer la valeur de l o utilise la relatio de récurrece. O a : ( ) lim u = lim u + = + + lim u + + a lim + u et par coséquet l satisfait à l équatio l = ( l + a ) l = l + a l l l = a, d où lim + u = a, ce que l o voulait démotrer. 0. Exercice 0 Das cet exercice o va travailler avec ue suite (x ) telle que x 0 = 0 et que le terme x + est l image du terme précédet par la foctio réelle f(x) = x3 9 + x Il s agit de motrer que cette suite coverge vers le seul poit fixe de la foctio f das l itervalle [0, /].. Soit g(x) = x 3 3x + = 0. C est ue foctio cotiue. Comme g(0) = > 0 et g(/) = (/) 3 3/ + = 3/8 < 0, le théorème de Bolzao 4 implique qu il existe ue racie α de l équatio x 3 3x+ = 0 das l itervalle [0, /]. Esuite, pour motrer qu il y e a pas d autres, il suffit de voir que la foctio g est décroissate etre 0 et /, ce qui découle du fait que la dérivée g (x) = 3x 3 es égative car x < si x [0, /].. E fait, l équatio f(x) = x équivaut à celle que l o viet d étudier : f(x) = x x3 9 + x = x x3 9 x = 0, ou ecore x 3 3x + = 0 e multipliat par 9 les deux termes. O e déduit que α est le seul poit fixe de f das l itervalle [0, /]. 4. Rappelos l éocé : Soit g : [a, b] R ue foctio cotiue. Si g(a) et g(b) e sot pas de même sige, alors il existe au mois u réel c [a, b] tel que g(c) = 0. C est u cas particulier du théorème des valeurs itermédiaires.

10 0 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 3. La coditio f(r + ) R + est triviale à vérifier : si x > 0 alors x 3 > 0 et x > 0, doc f(x) est la somme de trois termes positifs. Puisque x = f(0) = /9 > 0, tous les termes de la suite (u ) sot o égatifs. Motros maiteat que f est croissate. E effet, la dérivée f (x) = x état toujours positive, f est croissate sur tout R. E déduissos que la suite (x ) est croissate, c est-à-dire x x + pour tout 0, par récurrece sur. Il suffit doc de vérifier que cette propriété est vraie pour = 0 et que si elle est vraie pour u etier quelcoque, alors il va de même pour +. La premiére étape est déjà faite car x 0 = 0 < x = f(0) = /9. Supposos que x < x + pour u etier fixe. Puisque la foctio f est croissate, cela etraîe f(x ) < f(x + ), doc x + < x +. Cela motre que la suite (u ) est croissate. 4. Le calcul évidet motre que f(/) = ( ) = = 4 <. E déduissos que 0 x < / pour tout 0, à ouveau par récurrece. Das la première étape, il y a rie à faire car x 0 = 0 vérifie bie 0 x 0 < /. Supposos doc que 0 x < / pour u etier fixé. Alors 0 x + = f(x ) car la foctio f evoie des ombres o égatifs e des ombres o égatifs, et x + = f(x ) < f(/) < / car x < / par hypothèse et l o viet de démotrer que f est croissate. 5. Les questios 3 et 5 motret que (u ) est ue suite croissate majorée. Par coséquet, d aprés le critére que l o a vu e cours, elle est covergete. Sa limite l satisfait à la relatio l = lim x + = lim f(x ) = f( lim x ) = f(l), la derière égalité état justifiée par la cotiuité de la foctio f est cotiue. Doc f(l) = l, autremet dit l est u poit fixe de f. D u autre côté, l appartiet à l itervalle [0, /] à cause des iégalités 0 x < /. Par coséquet, la seule valeur possible de l est α, come o l a vu das la questio.