Intégration sur un intervalle quelconque MP

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1 ntégrtion sur un intervlle quelconque MP 9 décembre 22 Dns ce chpitre, on définit l notion de fonction continue pr morceu et intégrble sur un intervlle quelconque. Cel nous permettr de donner un sens à des epressions telles que e 2 d ou ln d... Tble des mtières Fonctions continues pr morceu, positives et intégrbles 2. Définition de l intégrle, premières propriétés Premiers critères d intégrbilité, premiers clculs ntégrles de Riemnn et intégrles remrqubles Comprison des fonctions intégrbles positives Comprison d une série à termes positifs à une intégrle Eercices Fonctions continues pr morceu réelles ou complees intégrbles 2. Définition Clculs prtiques et propriétés Propriétés Eercices ntégrtion pr prties et chngement de vribles 4 3. ntégrtion pr prties Chngements de vribles ntégrles et primitives : intégrles impropres 8 5 Colles 2 6 De brèves questions 23 7 Quelques corrigés 28 Document disponible sur mpceznne.fr ou univenligne.fr sous le nom ntegrtion.pdf

2 Fonctions continues pr morceu, positives et intégrbles Rppels :. On dit que f définie sur un segment [, b] de R est continue pr morceu sur [, b] s il eiste une subdivision de ce segment, ( =,,..., n = b), telle que chque restriction de f à ] i, i+ [ soit prolongeble en une fonction continue sur [ i, i+ ]. 2. On dit que f, définie sur un intervlle quelconque de R est continue pr morceu sur, si s restriction à tout segment contenu dns est continue pr morceu sur ce segment. Question : donner un eemple de fonction continue pr morceu sur ], [ n dmettnt ps de prolongement continu pr morceu sur [, ].. Définition de l intégrle, premières propriétés Si f est une fonction continue pr morceu, positive et définie sur un segment = [, b], lors pour tout segment J, f f et de plus, J f = sup f. J J Cette observtion permet d ffirmer que l définition qui suit (dns lquelle devient un intervlle quelconque) générlise l définition de l intégrle des fonctions continues pr morceu à des intervlles quelconques. Définition fonctions positives intégrbles Soit f une fonction continue pr morceu et positive sur un intervlle. On dit que f est intégrble (ou sommble) sur ssi il eiste M > tel que pour tout segment J, f M. On pose lors J f = sup f. J J l intégrle de f est définie comme l borne supérieure des intégrles de f sur les compcts [,b]... 2

3 Remrques fondmentles si est un intervlle borné (de bornes et b) sur lequel f est continue pr morceu, si f est positive et intégrble sur, lors, f est ussi intégrble sur [, b], [, b[, ], b[, ], b] et toutes les intégrles coïncident. deu fonctions continues pr morceu positives qui différent en un nombre fini de points, sont toutes deu intégrbles ou toutes deu non intégrbles ; leurs intégrles sont égles lorsqu elles sont définies. Eercice premiers eemples. Sur = [, + [, étudier l intégrbilité des fonctions :, 2,. 2. Montrer que e, est intégrble sur [, [. 3. Etudier l intégrbilité des fonctions α, sur =], ], sur [, [. Eercice 2 Soit f une fonction continue pr morceu positive sur [, + [. Les propositions suivntes ont elles un lien logique (condition nécessire ( ) ou suffisnte ( )) vec l proposition : f est intégrble sur [, + [ :. f est bornée sur [, + [. 2. f pour limite en l eiste tel que f est décroissnte sur [, + [. Que penser de l impliction : f pour limite l en + et f est intégrble sur [, + [ l =? 3

4 Théorème propriétés immédites de l intégrle L ensemble des fonctions continues pr morceu et positives intégrbles sur est stble pr ddition et multipliction pr les réels positifs ; si f et g sont continues pr morceu et positives intégrbles sur, λ un réel positif : (f + g) = f + g λf = λ f; si f et g sont continues pr morceu et positives intégrbles sur, si f g sur, lors f g Démonstrtion : ces trois propriétés découlent de l définition et des propriétés de l borne supérieure..2 Premiers critères d intégrbilité, premiers clculs Théorème 2 Soit f une fonction continue pr morceu sur un intervlle, à vleurs positives. f est intégrble sur ssi il eiste M > et une suite de segments, ([ n, b n ]) n, telle que [ n, b n ] = et f M; n [ n,b n] [ n,b n] Dns ce cs, pour toute suite croissnte de segments, ([ n, b n ]) n, telle que n [ n, b n ] =, on f = lim f = sup f. n + n [ n,b n] Démonstrtion Théorème 3 réunion d intervlles Soit f une fonction continue pr morceu sur un intervlle, à vleurs positives, et un point de. Alors, f est intégrble sur ssi elle est intégrble à l fois sur + = [, + [ et sur = ], ]. Dns ce cs : f = f + f. + Théorème 4 Utilistion de primitives : clcul prtique Soit f une fonction continue pr morceu sur un intervlle (=], b[, [, b[, ], b]) à vleurs positives, et F une primitive (générlisée) de f sur. Alors : 4

5 f est intégrble sur ssi F est bornée sur ; dns ce cs, f = lim F (t) lim F (t). t b t Remrque : prgrphe 4. on fer ttention lorsqu on considérer les fonctions de signe quelconque ; voir le Corollire 5 crctéristion des fonctions intégrbles Soit f une fonction continue pr morceu et positive sur [, b[ où b est soit un réel, soit +. On note F () = f(t) dt Alors, les propositions suivntes sont équivlentes : f est intégrble sur [, b[; F () dmet une limite λ R lorsque tend vers b; il eiste une suite (b n ) n de limite b, et telle que F (b n ) n converge ; Dns le cs où elles sont vérifiées, [,b[ f = lim b F () = lim b bn f(t) dt = lim f(t) dt. n Eercice 3. Clculer, si elles ont un sens les intégrles 2. Prouver que l intégrle qui suit un sens 3. Que penser des intégrles dt, t 2 + R e t2 dt + t 2 dt. ln d, ln d, ln n d? 4. L fonction f : ln prolongée pr f() =, est elle intégrble sur [, ]? 5. L fonction f : ln prolongée pr f() = ce que vous voulez, est elle continue pr morceu sur [, ]? Est elle intégrble sur [, [ et sur [, [? 6. L fonction f : e est-elle intégrble sur R? 5

6 .3 ntégrles de Riemnn et intégrles remrqubles. Les résultts qulittifs sur les intégrles de Riemnn doivent être connus : il est d illeurs impossible d y échpper, elles seront le point d ncrge de l pluprt de nos comprisons. En ce qui concerne les intégrles de Bertrnd, il est indispensble de les reconnître et préférble connître les résultts ou de les retrouver très vite. Théorème 6 intégrles de Riemnn Soient α > et f(t) = t α. Alors f est intégrble sur ], ] ssi α < ; f est intégrble sur [, + [ ssi α >. si α <, ],] f = f(t) dt = ( α) si α =, f(t) dt ln si α >, f(t) dt (α ) α. si α >, [,+ [ f = (α ) si α =, f(t) dt ln si α <, f(t) dt α α. On étend, sns utre forme de procès, ces résultts u fonctions f() = les intervlles ], + ], [ +, + [: est intégrble sur ], + ] ssi α < ; ( ) α est intégrble sur [ +, + [ ssi α > : ( ) α ( ) α sur Eercice 4 intégrles de Bertrnd Etudiez l intégrbilité sur ], /2], ]/2, ], ], e] et enfin sur [e, + [ des fonctions t ln t ; t t ln t ; t t ln t α ; t ln t ; t t α ln t ; t t α ln β t ; Pour l seconde ligne, on pourr procéder pr comprisons (user du théorème 7). Ces résultts ne sont ps eplicitement u progrmme, mis vous devez les retrouver rpidement ; cel suppose entre utre que vous voyez/reconnissiez imméditement les primitives des fonctions t, pr eemple. t ln tα 6

7 .4 Comprison des fonctions intégrbles positives. Le prgrphe qui précède nous permet de reconnître quelques fonctions intégrbles en reconnissnt leurs primitives. l est lors possible d étudier d utres clsses de fonctions pr comprison. Nous disposons des théorèmes suivnts, nlogues u théorèmes sur les séries à termes positifs : Proposition 7 comprison Soient f et g deu fonctions continues pr morceu sur, si f g, et si g est intégrble sur, lors f est intégrble sur, et f g. Eercice 5 Montrer que les fonctions continues pr morceu et positives suivntes sont intégrbles sur :. e 2, vec = [, + [, 2. t t( + t2 ) ; Théorème 8 comprisons Soient f et g, deu fonctions positives et continues pr morceu sur = [, b[. Si f = O(g()) et si g est intégrble sur, lors f est églement intégrble sur. b Si f g()), lors f est intégrble sur ssi g est intégrble sur. b Eercice 6 Les fonctions suivntes sont elles intégrbles sur =? Si oui clculer leurs intégrles vec éventuellement l ide de votre clculette ou de MAPLE... t t2 + lorsque =], + [. t( + t4 ) ( ) 2. t cos 2, lorsque =], π/2]. t 3. t ( + t) 3, lorsque =], [. t 2 ( t) 4. t, sur ], b[. (b t)(t ) Eercice 7. Montrer que f : t ln(sin(t)) est intégrble sur ], π]. 2. Fctoriser X 2m et en déduire le produit m kπ k= sin( 2m ). 3. En comprnt l intégrle f à une somme bien choisie, clculez l (dessinez!). [,π] Eercice 8 Prouver l intégrbilité et clculer si possible. f() = e/ sur = [, + [ f() = ln2 + 2 sur = [, + [... Montrer que f(t)dt = 2 f(t)dt. 3. f() = ln sur =], [. 7

8 .5 Comprison d une série à termes positifs à une intégrle. Théorème 9 Soient f : [, + [ R +, continue pr morceu. Alors, Si f est intégrble sur [, + [, pour toute suite ( n ) n, de limite +, l série des intégrles f est convergente. [ n, n+] S il eiste une suite ( n ) n et de limite + telle que l série des intégrles [ n, n+] f converge, lors f est intégrble sur [, + [. Remrque : nous vons là deu énoncés dont l un entrîne l réciproque de l utre pour peu que l ensemble que décrit ne soit ps vide : () f, (P (f), Q(f, )). (2) f, (, Q(f, ) P (f)). Démonstrtion Eercice 9 Mettre en œuvre cette idée dns les cs suivnts : sin t. L fonction est elle intégrble sur [, + [? t 2. Construire une fonction f : [, + [ R, continue et intégrble telle qu il eiste une suite ( n ) n, de limite + pour lquelle lim f( n ) = Pour quelles vleurs de λ l fonction f définie pr f() = e + e 2λ sin 2, est elle intégrble sur [, + [? On fer cette question près voir étudié les chngements de vribles. Le théorème suivnt déjà énoncé vec l étude des séries numériques est d une importnce cpitle. l permet l étude des séries de l forme f(k) lorsque f est monotone et positive. L idée est que l on peut comprer le terme générl f(k) de l série à l intégrle de f sur les intervlles [k, k], [k, k + ] de longueur. Théorème Soit f une fonction positive continue pr morceu, décroissnte sur l intervlle [n, + [, lors : pour tous m, n tels que n m n, n+ n n f(t) dt f(p) f(t) dt; m p=m L série de terme générl u n = f(n), converge ssi l fonction f est intégrble sur [n, + [. De plus, si f est intégrble, f(t)dt f(p) f(t)dt n+ n+ m n 8

9 sinon, n n f(p) f(t)dt n p=n n Eercice. Soient f et g deu fonctions continues pr morceu et strictement positives sur [, + [. Montrer que, si g est intégrble, ( ) f() = o(g()) f(t) dt = o g(t) dt On suppose que h est une fonction de clsse C et strictement positive sur [, + [, vec, h () lim + h() =. () Montrer que l série de terme générl h(n) converge et donner un équivlent de son reste d ordre n. (b) Donner un développement à trois termes du reste de l série ln(k + )e k2 ln k. Eercice k. Soient µ un réel non nul, et h une fonction de clsse C et strictement positive sur [, + [, telle que h () lim + h() = µ. () Soit g définie pr h(t) = e µt g(t). Montrer que (b) Montrer que g g n n h(t) dt = e µ h(n) + µ = o(), en déduire que, n n h(t) dt n + n n e µt (g(t) g(n)) dt, e µ h(n). µ 2. Donner, lorsque l série de terme générl h(n) converge, un équivlent de son reste d ordre n. llustrtion : étudier l série ke k ; Eercice 2. Soient f et g deu fonctions continues pr morceu et strictement positives sur [, + [. Montrer que, si g n est ps intégrble, ( ) f() = o(g()) f(t) dt = o g(t) dt

10 2. On suppose que h, est une fonction de clsse C et strictement positive sur [, + [, telle que h () lim + h() = +. () Montrer que l série de terme générl h(n) diverge et donner un équivlent de s somme prtielle d ordre n. (b) Donner un équivlent, puis un développement à trois termes (puissnces de n) de.6 Eercices Eercice 3 intégrle de Guss n k k. k=. Que pensez vous de l inéglité (pour t > n) ( + t n) n e t? 2. On note W n l intégrle de Wllis : W n = π/2 cos n t dt. Justifier que nw n W n = W W. Donner un équivlent de W n. 3. On pose A n = + () Justifier l eistence de A n ; d ) n et B n = ( + 2 n n (b) Montrer que A n = n W 2n 2 et que B n = n W 2n+. (c) Déterminer les limites de ces deu suites. (d) Montrer que (e) Que vut Eercice 4 l fonction Γ d Euler On pose, pour réel, B n Γ() = n + e 2 e 2 d A n. d? e t t dt. ) n ( 2 d. n. Préciser l intégrbilité de l fonction sous le signe somme (et donc l ensemble de définition de Γ.) 2. Montrer que Γ( + ) = Γ(). En déduire, pour tout entier nturel n, Γ(n). On reviendr sur cette fonction...

11 2 Fonctions continues pr morceu réelles ou complees intégrbles 2. Définition Définition sur. 2 On dit que f continue pr morceu sur est intégrble sur, ssi f est intégrble Soit f une fonction à vleurs réelles. On note f + et f les fonctions définies pr { f + () = sup(f(), ) f () = sup( f(), ). On se fer un plisir de constter que f() = f + () f (), f() = f + () + f (), f + () = (f() + f() )... 2 Théorème intégrle d une fonction intégrble Soit f une fonction à vleurs réelles et continue pr morceu sur un intervlle. f est intégrble sur ssi les fonctions positives f + et f le sont. Dns ce cs on pose : f = f + f. Soit f une fonction à vleurs complees et continue pr morceu sur. f est intégrble sur ssi les fonctions à vleurs réelles R(f) et m(f) le sont. Dns ce cs on pose : f = R (f) + i m(f). Remrques : lorsque f est positive on retrouve l intégrle définie u prgrphe précédent ; lorsque est un segment vous retrouvez l intégrle de votre jeunesse.

12 2.2 Clculs prtiques et propriétés On retrouve pour des fonctions intégrbles complees le pendnt du théorème (4) : Théorème 2 Utilistion de primitives Soit f une fonction continue pr morceu sur un intervlle (=], b[, [, b[, ], b]) à vleurs complees, et F une primitive (générlisée) de f sur. Si f est intégrble sur, lors F est bornée sur ; F dmet des limites en + et b, f = lim F (t) lim F (t). t b t + Attention cet énoncé n est ps identique à celui du théorème (4), et il se peut qu une primitive soit bornée sns que pour utnt l fonction soit intégrble. Cel fer l objet d une étude ultérieure vec l notion d intégrle impropre (section 4). Donnons un eemple : Eercice 5. Vérifier que l fonction t sin t [ π [ n est ps intégrble sur t 2, +. [ π [ 2. Justifier que ses primitives sont bornées sur 2, + et qu elles dmettent des limites en +. Eercice 6 Vérifiez l intégrbilité des fonctions et clculez lorsque cel un sens les intégrles : R+ 2 ( + 2 ) 2 d, ( 2 ) 2 d [,+ [ indiction pur l première : chercher une reltion de récurrence entre les termes de l suite L k = + ( + t 2 ) k dt. 2.3 Propriétés Théorème 3 L ensemble (, K) des fonctions intégrbles sur, est un K espce vectoriel. L intégrle définit une forme linéire sur (, K), (f + g) = f + g et αf = α f. Si f est intégrble sur = [, b[, ], b[, ], b]... on, pour tout c, Si f est intégrble sur, b f(t)dt = c f(t)dt + f f. b c f(t)dt. 2

13 Remrque nous vons énoncé pour f intégrble sur, f f. Cel ne dispense ps de précution lorsqu on écrit une intégrle sous l forme b φ(t) dt sns connître l ordre entre les bornes. Dns l ignornce, ou lorsque b, on fer vec sgcité usge de l formule à connître pr, b φ(t) dt b où l fonction m vérifie φ(t) m(t) sur [, b]. 2.4 Eercices Eercice 7 le lemme de Riemnn φ(t) dt b m(t) dt. Soit f une fonction en esclier sur [, b]. Montrer que l suite des intégrles pour limite. b e int f(t) dt 2. Montrer que le même résultt est vri pour toute fonction en esclier puis pour toute fonctiion f continue pr morceu sur l intervlle [, b]. indiction : on rppelle que si f est une fonction cpm sur un intervlle compct [,b], pour tout ε >, il eiste une fonction en esclier telle que pour tout [, b], f() e() ε. 3. On considère mintennt f intégrble sur R. Montrer que () pour tout ε >, il eiste un intervlle compct [, b] tel que f ε, f ε, (b) En déduire que ],] b lim n [b,+ [ e int f(t) dt =. Eercice 8 Soit f une ppliction de de clsse C sur ], ] et continue en telle que Montrer que f est de clsse C sur [, ]. corrigé en 7 tf (t) f(t) + f() = t O(t 2 ). 3

14 3 ntégrtion pr prties et chngement de vribles 3. ntégrtion pr prties Rppel : Théorème 4 intégrtion pr prties Soient f et g deu fonctions de clsse C pr morceu, continues sur un intervlle. On sit que pour tout SEGMENT [, b], f g = [f(t)g(t)] b fg. [,b] [,b] * Que devient cette formule pour un intervlle quelconque? Considérons pr eemple = [α, β[. Pour tout b, on : f g = [f(t)g(t)] b α [α,b] Mis que dire du pssge à l limite? On peut pr eemple observer que si fg et f g sont toutes deu intégrbles, les deu intégrles ynt une limite, l quntité [f(t)g(t)] b α dmet elle ussi une limite lorsque tend vers β. Ainsi, pr pssge à l limite nous obtenons f g = lim [f(t)g(t)] b α fg. b β Comme trois termes sont en jeu, il y C 2 3 = 3 jeu d hypothèses pour obtenir cette formule ; on risonner donc de fçon nlogue dns chque cs prticulier pour eploiter l ipp en restnt prudent sur le pssge à l limite. l se peut ussi que [α,β[ f g it un sens sns que pour utnt ni [α,β[ fg, ni l prtie toute intégrée n dmettent de limite, l formule d ipp sur [α, β[ n donc ps de sens. Pr contre l somme des termes du membre de droite dmet une limite qui permet de clculer l intégrle [α,β[ f g qui seule eiste (il y donc compenstion voir ci-dessous). Eercice 9 Clculer les intégrles suivntes : Eprimer, clculer ou donner une reltion de récurrence :. J p = + t p e t2 dt; p N 2. K p = + t p cos(t) dt; p N, p tp ln(t) dt; 4. Eistence et clcul de l intégrle : ln p d. ],[ 5. Eistence et clcul de l intégrle : R+ [α,b] ln ( + 2 ) 2 d. fg. 4

15 3.2 Chngements de vribles Théorème 5 chngement de vrible, version Soient φ : [, b] R, une fonction de clsse C une fonction continue f : E, où est un intervlle contennt φ([, b]) et E un espce normé, lors : b f(φ(t))φ (t) dt = φ(b) φ() f() d. (3.) Démonstrtion : On note F une primitive de f sur l intervlle. En écrivnt, dns l première intégrle f(φ(t))φ (t) = d (F φ(t)), l bobinette cherr. dt * Que devient cette formule lorsque l fonction est cpm (et l intervlle quelconque)? Théorème 6 chngement de vrible, version 2 Soient un intervlle de R, f une fonction continue pr morceu sur et φ une bijection de clsse C de J sur. Alors, l fonction f est intégrble sur ssi f φ φ est intégrble sur J et f = f φ φ. J si une des conditions précédentes et remplie est si J est un intervlle d etrémités, b on écrit : b f(φ(t))φ (t) dt = limb φ lim φ f() d. Démonstrtion 3 questions, 3 étpes : d où sort l vleur bsolue? peut on étendre l formule (3.) à des fonctions non continues? peut on l étendre à des fonctions intégrbles sur des intervlles non compcts? Une bijection continue d un intervlle de R dns un utre est strictement monotone. Cette remrque intervient tout u long de l démonstrtion. Elle conduit tout d bord à envisger deu cs pour l formule (3.) du chngement de vrible sur un segment : si φ, b φ() φ(b) et notre formule est, vec φ >, f(φ(t))φ (t) dt = f() d [,b] φ([,b]) si φ, b φ(b) φ() et notre formule est, vec φ <, cette fois : f(φ(t))φ (t) dt = f() d [,b] φ([,b]) 5

16 Dns les deu cs on [,b] f(φ(t)) φ (t) dt = φ([,b]) f() d. (3.2) Venons en u cs où f est continue pr morceu, ps nécessirement continue : notons (σ i ) une subdivision du segment [, b] ttchée à f, et τ i = φ (σ i ). Comme φ est strictement monotone, l ordre des points de l subdivision est identique ou strictement inversé. Ainsi (τ i ) i est elle une subdivision de [c, d] = φ ([, b]) qui est ttchée à l fonction continue pr morceu f φ φ. Cel donne sens à f(φ(t)) φ (t) dt = f() d. [τ i,τ i+]ou[,τ i+,τ i] [σ i,σ i+] En effet, du fit de l monotonie de φ, les fonctions considérées sont continues sur les intervlles d intégrtion et l formule (3.) s pplique. L reltion de Chsles fit le reste : [,b] n f(φ(t)) φ (t) dt = i= [τ i,τ i+]ou[,τ i+,τ i] n f(φ(t)) φ (t) dt = i= [σ i,σ i+] f() d une fonction φ une fonction φ non monotone ; φ([.6,.8]) contient φ(.6) Venons en à un intervlle quelconque et à l intégrbilité : Supposons f intégrble sur et montrons que f φ φ l est sur J. L formule (3.2) ppliquée à f montre que l fmille f(φ(t)) φ (t) dt = f() d [,b] φ([,b]) est bornée lorsque le segment [, b] est contenu dns J; l fonction f(φ(t)) φ (t) est donc intégrble sur J. Supposons mintennt f(φ(t)) φ (t) intégrble sur J. Un segment quelconque [c, d] de est de l forme φ([, b]) où [, b] J (c est ici que l hypothèse de bijectivité de φ intervient) : l même formule que ci-dessus montre que f(φ(t)) φ (t) dt = f() d [,b] est bornée. f est donc intégrble sur. [c,d] 6

17 Eercice 2. Clculer + t( + t2 ) dt Corrigé en 7 vec indictions pour l emploi de MAPLE ou d une T. 2. Justifier l intégrbilité de t sur [, + [ et clculer son l intégrle sur cet intervlle. 3. Justifier l intégrbilité de t sur [, [ et clculer son l intégrle sur cet intervlle. Eercice 2 à propos de l démonstrtion du théorème Que viennent fire ici les 2 figures? Celle de droite présente-t-elle un intérêt? 2. Si dns le théorème 6, on omet l hypothèse φ bijective (on grde φ de clsse C ) que reste-t-il? Eercice 22. (CCP) Justifier l eistence de l intégrle suivnte et l clculer J = d Clculer de même 2π 3. Considérons l intégrle () Justifier son eistence ; (b) Clculer l limite de ( n ); (c) n = 2 + b 2 sin 2 t dt; t 2n ln( t n ) dt. 7

18 4 ntégrles et primitives : intégrles impropres On sit (théorème 4,) que si f est une fonction continue pr morceu et positive sur = [, b[ lors, f est intégrble sur [, b[ ssi F () = f(t) dt dmet une limite réelle lorsque tend vers b; Lorsque f est une fonction à vleurs réelles ou complees, on vu que (théorème 2) et que, de plus f intégrble F () = f(t) dt dmet une limite lorsque tend vers b [,b[ f = lim b F () = lim b f(t) dt. Mis à l inverse l eistence de l limite de F en b ne prouve ps que f soit intégrble sur [, b[ (suf si f est réelle et positive). sin t Eemple fondmentl : Nous verrons (eercice) que l fonction n est ps intégrble t sur [, + [. Nous llons prouver que nénmoins, l primitive dmet une limite en +. sin t t dt, Définition 3 Soit f une fonction continue pr morceu non nécessirement intégrble sur [, b[ (intervlle borné ou ps!). Si l fonction f(t) dt, dmet une limite en b, on dit que f dmet une intégrle impropre ou intégrle générlisée sur [, b[, notée b f(t)dt = lim b f(t) dt. On dit encore que l intégrle converge ou même encore qu elle est semi-convergente lorsque f n est ps intégrble ; lorsque f est intégrble et que cette limite est égle à l intégrle précédemment définie (voir le théorème 4) on dit lors que l intégrle est bsolument convergente.. Eercice 23 Eistence de sin t t. Montrer que sin t n est ps intégrble sur [, + [. t ndictions : comprer (k+)π sin t dt t u terme générl d un série divergente ; dt (pour le clcul ptienter jusqu u prochin chpitre). 2. Montrer que cette même fonction dmet une intégrle impropre sur [, + [ ndiction : montrer que l série de terme générl kπ (k+)π kπ est une série lternée qui converge, pour coller à l démonstrtion précédente, ou bien intégrer pr prties (cel sert dns bien des cs) ; sin t t dt 8

19 3. Montrer que le reste vérifie : sin t t Eercice 24 Soit f() = α e i. dt = O( ).. Pour quelles vleurs de α est elle intégrble sur [, + [. 2. Montrer que pour α [, [ l intégrle est semi-convergente. Comprer lors π/2 f(t) dt π/2 t α e it dt et π/2 t α e it dt. 3. L question qui tue : () l intégrle t cos t 4 dt -t-elle un sens? π (b) Trouver une fonction f telle que lim + f = + et que l intégrle f(t) dt converge. π Eercice 25 nture des intégrles impropres : + + e ln sin d ( sin + ) d voir corrigé en 7 + sin ln 2 + d Eercice 26 intégrles de Fresnel * Le but de l eercice est de clculer les limites en +, des intégrles de Fresnel définies pour t >, pr. () Prouver que C(t) = t c = cos(u 2 ) du et S(t) = sont des intégrles semi-convergentes ; (b) On pose, pour p, t cos(u 2 ) du et s = sin(u 2 ) du. (p+)π u p = sin(u 2 ) du. pπ sin(u 2 ) du, Montrer que l série de terme générl u p est une série lternée, en déduire le signe de s somme. 9

20 (c) On introduit φ(t) = t eiu2 du. Comprer φ(t) à C(t) et S(t). En déduire, en prticulier que φ est bornée. 2. Soit K(t) = [, t] [, t]. On considère l intégrle double sur ce compct définie pr : e i(2 +y 2) d dy. K(t) () Eprimez l de deu fçons. (b) Pour T >, on pose (T ) = T T ( ) e i(2 +y 2) d dy K(t) dt. Montrer que (T ) dmet une limite en +. (c) En déduire les vleurs des intégrles de Fresnel : c et s. ndictions : Penser u chngements de vrible (D, 2D), u séries lternées, à Fubini (ou à un de ses théorèmes si vous n êtes ps intimes), à l vleur moyenne d une fonction ynt une limite..., 2

21 5 Colles Eercice 27. L fonction tnh ( + ) est elle intégrble sur [, + [? Si oui donner un équivlent en + de X tnh ( + ) d. 2. L intégrle + + cosh sin 2 d -t-elle un sens? Penser à l comprer à une série. Eercice 28 Soit f : R C, une fonction de clsse C, intégrble sur R insi que s dérivée.. Montrer que pour tout nturel p, f( + p) +p+ +p f(t) dt + penser à intégrer pr prties une fonction (...) f (t)... +p+ +p f (t) dt; 2. En déduire que l fonction g() = p Z f( + p) est définie sur R et -périodique. Eercice 29. L fonction f : t sin2 t t 5/2 + de + f(t)dt 2. Montrer que g : t sin t t 2 est elle intégrble sur ], + [? Si oui, donner un équivlent en est ussi intégrble sur un vois de +, et que + 3. Que dire de + sin t h(t) dt lorsque h(t) = t 2? voir corrigé en 7 ( + ) g(t) dt = + f(t) dt Eercice 3 On considère une fonction f : R + R, de clsse C 2 telle que f, f, f soient de crrés intégrbles sur [, + [.. Vérifier que f 2 + f 2 f 2 = (f + f + f ) 2 ((f + f ) 2 ) 2. En déduire que et étudier le cs d églité. Eercice 3 + (f 2 + f 2 f 2 ). Construire une fonction f : [, + [ R, continue pr morceu et intégrble telle qu il eiste une suite ( n ) n, de limite + pour lquelle lim f( n ) = Pour quelles vleurs de λ l fonction f définie pr est elle intégrble sur [, + [? f() = e + e 2λ sin 2, 2

22 3. Soit g continue pr morceu et intégrble sur [, + [. Montrer que, il eiste une suite ( n ) n de limite + telle que lim g( n ) =. si g dmet une limite en +, cette limite est nulle ; Eercice 32 d près un sujet E3. On pose G() = sin(t2 ) dt et H() = cos(t2 ) dt. () Montrer que les fonctions t cos(t 2 ) et t sin(t 2 ) ne sont ps intégrbles sur [, + [. (b) Etblir que G() = cos(2 ) 2 En déduire l eistence de lim + G(). cos(t 2 ) + 2t 2 dt. (c) Montrer que H dmet églement une limite l en On définit une fonction pire en 2π périodique f, en posnt f() sur [, π]. On note o /2 + ( n cos(n) + b n sin(n)), s série de Fourier. () Justifier que l définition de f est cohérente, l fonction obtenue est-elle de clsse C pr morceu? (b) Préciser et b n pour n. (c) Montrer que les coefficients n vérifient n série de Fourier de f? (d) Clculer n= n et n= 2 n. D. Que peut en on conclure qunt à l n3/2 22

23 6 De brèves questions. Eemples et contre-eemples : un dessin pour comprendre, une définition précise pour s entrîner. Un eemple de fonction intégrble et continue sur [, + [ qui n dmet ps pour limite en +. Un eemple de fonction continue et intégrble sur [, + [ telle qu il eiste ( n ) n de limite + vec lim f( n ) = + 2. À propos de chngements de vrible : Dns une intégrle de l forme b F (cos, sin, tn ) d, je pose t = tn(/2), sns utre forme de procès. VRA ou FAUX? Si dns une intégrle de l forme b F (cos, sin, tn) d, F étnt une fonction rtionnelle, je pose t = tn(/2), je remplce lors tn, cos, sin et d pr : d = 2 dt + t 2 tn = cos = sin = Dns une intégrle de l forme b F (ch, sh, th) d, je pose u = et sns utre forme de procès. 3. Les énoncés suivnts sont ils vris (pourquoi?) ou fu (pourquoi?) : L fonction t cos(t) Si l fonction t 2 est intégrble sur [, + [; X X f(t) t 2 dmet une limite lorsque X tend vers +, lors t f(t) Si f est réelle et si l fonction X X f 2 (t) t 2 dmet une limite lorsque X tend vers +, lors t f 2 (t) dt dt t 2 t 2 est intégrble sur [, + [; est intégrble sur [, + [; 4. Les intégrles suivntes sont elles définies comme intégrles de fonctions cpm sur un segment, comme intégrles de fonctions intégrbles sur un intervlle, comme intégrles générlisées? = ln d, J = ln d, K = 23 ln d, L = ln d

24 M = sin(/) d, N = cos(/) d, O = sin(/) d; 5. Vri ou fu : Si f est une fonction continue sur R [, b], lors b f(, t) dt est continue sur R. Si f est une fonction continue sur R [, + ], et si l fonction b f(, t) dt est définie sur R, lors elle est continue sur R. 6. Vri ou fu : Soit f une fonction définie sur ], [. Si f est continue sur tout compct de ], [, elle est continue sur ], [. Soit f une fonction cpm définie sur ], [. Si f est intégrble sur tout compct de ], [, elle est intégrble sur ], [. Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur ], [. Si (f n ) n converge uniformément sur tout compct de ], [, elle converge uniformément sur ], [. Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur ], [. Si (f n ) n converge simplement sur tout compct de ], [, elle converge simplement vers l même limite sur ], [. 24

25 Les mêmes, vec les réponses :. Eemples et contre-eemples Un eemple de fonction intégrble et continue sur [, + [ qui n dmet ps pour limite en +. Un eemple de fonction continue et intégrble sur [, + [ telle qu il eiste ( n ) n de limite + vec lim f( n ) = + 2. à propos de chngements de vrible : Dns une intégrle de l forme b F (cos, sin, tn) d, je pose t = tn(/2), sns utre forme de procès. Que nenni, que nenni : je commence pr me souvenir des règles de Bioche et pose t = sin ou t = cos ou t = tn, si cel ne mrche ps, en désespoir de cuse, je poseri t = tn(/2), et m pprêteri à clculer et à clculer et à clculer... dns une intégrle de l forme b F (cos, sin, tn) d, si je pose t = tn(/2), je remplce lors tn, cos, sin et d pr : d = 2 dt + t 2 tn = 2t t 2 cos = t2 + t 2 sin = 2t + t 2 Dns une intégrle de l forme b F (ch, sh, th) d, je pose u = et sns utre forme de procès. C est cceptble (bien que des chngements nlogues u ch v proposés pour les fonctions rtionnelles en cos, sin soient ussi opérnts) Les énoncés suivnts sont ils vris (pourquoi?) ou fu (pourquoi?) : L fonction t cos(t) t 2 est intégrble sur [, + [; oui cr cos(t) t 2... t 2 Si l fonction X X f(t) t 2 dmet une limite lorsque X tend vers +, lors t f(t) dt t 2 est intégrble sur [, + [; Ps de rison : l eistence de cette limite pour une fonction complee ou réelle de signe quelconque n ssure ps l intégrbilité (prendre pr eemple ici, f(t) = t sin t). Si f est réelle et si l fonction X f 2 (t) X t 2 dt dmet une limite lorsque X tend vers +, lors t f 2 (t) t 2 est intégrble sur [, + [; Oui, cr pour une fonction positive, l eistence d une telle limite ssure que les primitives sont bornées sur l intervlle d intégrtion (ici [, + [) et que l fonction est intégrble sur Les intégrles suivntes sont elles définies comme intégrles de fonctions cpm sur un segment, comme intégrles de fonctions intégrbles sur un intervlle, comme intégrles générlisées? 25

26 = ln d, l fonction ln est intégrble sur ], ]; en effet c est une fonction de signe constnt il suffit de montrer que ses primitives dmettent une limite en. J = ln d : l fonction ln dmet un ppc sur le segment [, ]; K = ln d : l fonction ln est intégrble sur ], ]. En effet où l on peut choisir /2 + α <... ln = α ( ln = o /2+α /2+α L = ln ln d : l fonction est de signe constnt sur ], ], s vleur bsolue est minorée pr / u voisinge de. L intégrle n eiste donc ni comme intégrle de fonction intégrble, ni comme intégrle générlisée... M = sin(/) d : l fonction n dmet ps de prolongement cpm sur [, ]; pr contre elle est continue sur ], ], mjorée en vleur bsolue pr qui est intégrble, elle est donc intégrble sur ], ]. N = cos(/) d : l fonction est continue sur [, + [; Est elle intégrble? Non cr u voisinge de cos(/) qui n est ps intégrble... +, Admet elle une intégrle impropre? Non plus et c est immédit cr f est positive sur [2/π, + [ et n est ps intégrble (les deu notions se confondent). O = sin(/) d : Même risonnement que ci-dessus Vri ou fu : Si f est une fonction continue sur R [, b], lors F : b f(, t) dt est continue sur R. oui cr t f(, t) est continue sur A compct de R; f(, t) est continue donc cpm sur = [, b] f(, t) sup (ζ,τ) A [,b] f(ζ, τ) = M R. En effet, f étnt continue elle est bornée sur le compct A [, b]. L constnte M est pr illeurs intégrble sur le segment [, b]. F est donc continue sur tut compcte de R et sur R. Si f est une fonction continue sur R [, + ], et si l fonction b f(, t) dt est définie sur R, lors elle est continue sur R. Non, cel ne suffit plus. 6. Vri ou fu : Soit f une fonction définie sur ], [. Si f est continue sur tout compct de ], [, elle est continue sur ], [. Oui, l continuité en est ssurée cr... Soit f une fonction définie sur ], [. Si f est intégrble sur tout compct de ], [, elle est intégrble sur ], [. Non, prendre / continue sur tout [, b] ], [... ), 26

27 Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur ], [. Si (f n ) n converge uniformément sur tout compct de ], [, elle converge uniformément sur ], [. Non, prendre n Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur ], [. Si (f n ) n converge simplement sur tout compct de ], [, elle converge simplement vers l même limite sur ], [. oui, étudier (f n ()) n en [, b] ], [. 27

28 7 Quelques corrigés correction de l eercice 8. Dérivbilité en. f(t) f() On poser φ(t) =. En dérivnt, il vient : t φ (t) = tf (t) (f(t) f()) t 2 Cette dernière fonction est définie et continue sur ], ], bornée sur un voisinge de (cr c est un O() en ) elle est donc bornée sur ], ] (à démontrer en détils). Une fonction continue et bornée sur ], ] est intégrble sur cet intervlle ( u M, M intégrble sur un intervlle borné).. On observe lors que lim φ(t) = lim (φ() + t ) φ (s) ds = φ() + φ (s) ds. Comme le tu de vrition de f dmet une limite en, f y est dérivble. Continuité de l dérivée en. Revenons à notre reltion initile : divisons tf (t) f(t) + f() = O(t 2 ), f f(t) f() (t) = = + O(t) t t pr pssge à l limite : lim f (t) = f () ce qui est l continuité de f en... Le reste suit. correction de l eercice 2.. Clculons + t( + t2 ) dt. L fonction f définie pr f(t) = est intégrble sur ], ] cr elle est continue t( + t2 ) sur cet intervlle et f(t) t t. De l même fçon, elle est intégrble sur [, + [ cr f(t) t + t. 3/2 Effectuons le chngement de vrible u = t, t = φ(u) = u 2, qui donne dt = φ (u)du = 2u du et φ (], + [) =], + [. Comme l fonction f est intégrble sur ], + [, il en v de même de f φ φ sur ], + [ et l on Décomposons + + t( + t2 ) dt = f φ(u) φ (u) du = 2 ( + u 4 ) en éléments simples : + u 4 = /4 2 ( u + 2 ) + 2 ( u + 2 ) u 2 + u 2 + /4 u 2 + u 2 2 ( + u 4 ) du. 28

29 Le code MAPLE pour l décomposition en éléments simples : f := -> /(t^(/2)*(+t^2)); J := nt(f(t), t =.. infinity); vlue(%); convert(/(+u^4), prfrc, u, 2^(/2)); /4 2 + u 2 u 2 + u 2 + /4 convert(/(+u^4), prfrc, u, (-)^(/4)); ssume(u, rel); Re(%); (/4 + /4 i) 2 (/4 /4 i) i 2 2 u 2 u 2 + i 2 2 ( u + 2 ) 2 + u 2 u 2 + u 2 + (/4 + /4 i) 2 + (/4 /4 i) i u 2 u 2 + i 2 2 ( u + 2 ) /4 u 2 + u 2 + /4 u 2 + u 2 L fonction convert permet de nombreuses trnsformtions lgébriques et syntiques. ci convert(/(+u 4), prfrc, u, (-) (/4)) ; provoque l décomposition en éléments simples (prfrc) de l frction rtionnelle pr rpport à l vrible u sur le corps engendré pr les rtionnels et une rcine qutrième de - ; 29

30 le code T pour l décomposition en éléments simples : 2. 3

31 correction de l eercice 25.. On ne se préoccupe pour l instnt (énoncé) que de l eistence de l intégrle impropre donc de l convergence de X e ln sin d. On pensé ipp, chngement de vrible, on se rbt sur un découpge de l intervlle vec l reltion de Chsles : X n (k+)π X e ln sin d = e ln sin d + e ln sin d π k= kπ (n)π ( ) X vec nπ X (n + )π soit n = Ent. π L idée est que si l série converge, on v pouvoir étblir l eistence d une limite prce que le terme restnt pour limite. - On note u k = (k+)π e ln sin d, on voit que l série est du signe de ( ) k ; kπ - lim u k =. En effet, u k = (k+)π kπ u k e ln kπ e ln sin d (k+)π kπ sin d = cste e ln kπ - Pr illeurs, on étudie l différence vec le chngement de vrible u = + π (comme on pu le fire dns le cours pour sin t dt) : t u n+ u n = = = (k+2)π (k+)π (k+2)π (k+)π (k+2)π (k+)π e ln sin d e ln sin d (k+)π kπ (k+2)π (k+)π e ln sin d ( e ln(u) e ln(u π) ) sin d < e ln(u π) sin(u π) du L série ( u n vérifie donc le CSSA, elle converge et il ne reste plus qu à montrer que ) X lim (n X)π e ln sin d =... C est en fit fcile à étblir puisque X e ln sin d ln πe nx π. nπ 2. L fonction f : ( sin + ) est continue sur ], + [. Au voisinge de elle est intégrble cr f()... On ne voit ps imméditement de technique pour étudier directement le comportement u voisinge de +. Une idée ser de développer l epression trigonométrique : ( sin + ) = ( ) sin cos + ( ) cos sin 3

32 ( ) Au vois de +, cos sin sin une fonction intégrble sur [, + [; En ce qui concerne le terme sin cos ce qui conduit à ( ), le second membre est donc ( ), on observe que cos ( ) sin cos = sin ( ) 2 2 sin + o 2 2 sin ( ) = ( ) o 2 l première fonction dmet une intégrle impropre (intégrer pr prties pour fire pprître une fonction intégrble), les deu utres sont visiblement intégrbles. + ( sin + ) d est donc bien définie comme intégrle impropre. 3. Étudions l troisième intégrle, + sin ln 2 + d. sin ln L fonction est définie sur ], + [, elle dmet un ppc en qui prend l vleur 2 + (cr sin ln ln pour limite ). Étude en + : Une mjortion brutle de sin pr conduirit à une fonction équivlente à une fonction de Bertrnd non intégrble. On ne voit ps bien ici ce que donnerit une ipp ou d un chngement de vrible... Essyons plutôt d étudier cette intégrle impropre vec un découpge vec Chsles pour nous rmener à une série lternée. C est plus tentnt de pr l présence du sinus (cours, premier eemple de cette série...) X π n sin ln 2 + d = k= (k+)π kπ sin ln X 2 + d + ( ) X vec nπ X (n + )π soit n = Ent. On pose donc π u k = (k+)π kπ sin ln 2 + d. u k est du signe du sinus sur [kπ, (k + )π] soit ( ) k ; lim u k = puisque ln(k + )π (k+)π u k sin d (kπ)2 + kπ nπ sin ln 2 + d Après chngement de vrible dns l deuième intégrle, ( ) (k+)π ln ln( π) u k+ u k = sin d 2 + ( π)2 + kπ C est l étude des vritions de f() = ln 2 + f () = 2 + ln () 2 ( 2 + ) 3/2 qui v nous permettre de conclure : 32

33 est du signe de φ() = + 2 ln pour lquelle φ () <... Les fonctions f et φ de dérivées négtives sont l reste à évluer X nπ correction de l eercice 29.. L fonction f : t sin2 t - sin2 t t 5/2 t 2 sin ln d ce qui est sns mystère t 5/2 est intégrble sur ], + [ cr t = qui est elle-même intégrble sur ], ] (règle de Riemnn) ; 5/2 t/2 - sin2 t t qui est intégrble sur [, + [. 5/2 t5/2 Cherchons un équivlent en + de + f(t)dt; pour cel, intégrons pr prties en observnt que sin 2 cos 2t t = dmet pour primitive t sin 2t : sin 2 [( ) ] + t t sin 2t dt = ( ) t sin 2t dt t5/2 2 4 t 5/ t7/2 + sin 2 t t sin 2 dt = + 5/2 2 3/ / sin 2 ( t 5 dt = t5/2 6 ) sin / /2 2 t dt 5 + sin 2t dt 5/2 2 4t 7/2 sin 2t dt 4t7/2 En mjornt l intégrle du second membre pr celle de que l on sit intégrer, il reste t7/2 + sin 2 t t dt = ( ) 5/2 3 + o... 3/2 3/2 2. g : t sin t t 2 est intégrble sur un vois de + puisque sin t t 2 t 2 ntégrons à nouveu pr prties : + sin t t 2 dt = [ cos t t 2 ] cos t t 3 dt D où, enfin : + sin t t 2 dt = cos [ sin t t t 3 ] sin t t 4 dt + sin t t 2 dt = cos t 2 2 sin t sin t t 4 dt On( mjore ) encore une fois l intégrle du membre de droite, et on obtient un terme en O 3. l vient donc + g(t) dt = cos t 2 ( ) ( ) + O 3 = O 2 = o + ( + ) f(t) dt 33

34 (ttention l présence de cos nous empêche de dire mieu!) On donc + ( ) g(t) dt = O + 2 = o + 3. Que dire de + sin t h(t) dt lorsque h(t) = t 2? ( + ) f(t) dt 34

35 nde Bertrnd intégrle de, 6 clcul prtique à l ide de primitives, 4 prtique, 5 crctéristion fonctions intégrbles, 5 chngement de vrible, 5 comprison, 7 série, intégrle, 8 fonction complee int., 2 fonction intégrble positive, 4 Riemnn intégrle de, 6 lemme de, 3 nottions f +, f, développement symptotique, 9 Euler fonction Gmm, fonction complee intégrble, continue pr morceu, 2 positive intégrble, 2 formule d intégrtion pr prties, 4 du chngement de vrible, 5 Fresnel intégrle de, 9 Gmm fonction Γ, impropre intégrle, 8 intégrle chngement de vrible, 7 d une fonction complee, fonction complee propriétés, 2 fonction pos. propriétés, 4 fonction positive, int. qque., 2 impropre, 8 sur une réunion d intervlles, 4 intégrtion pr prties, 4 lemme de Riemnn, 3 primitive 35