Suites numériques. 1 Questions de cours. 3 Exercices. 2 Applications. 1. Montrer que toute suite a au plus une limite.

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1 Suites umériques 1 Questios de cours 1. Motrer que toute suite a au plus ue limite.. Motrer que toute suite covergete est borée. 3. Motrer que toute suite extraire d ue suite tedat vers l R ted aussi vers l. Applicatios 1. Soit (u ) R N. Vrai ou faux? Si (u ) coverge vers l, alors (u ) et (u +1 ) coverget vers l. Si (u ) et (u +1 ) coverget, alors (u ) coverge. Si (u ) et (u +1 ) coverget et ot la même limite l, alors (u ) coverge vers l.. Motrer qu ue suite (a ) est arithmétique si et seulemet si N, a + + a = a Soit (u ) Z N. Motrer que (u ) coverge si et seulemet si (u ) est statioaire. 3 Exercices 1. O dit qu ue suite (s ) est de Cauchy si ε > 0, N N, p, q, s p s q < ε. Motrer qu ue suite de Cauchy est écessairemet covergete.. Motrer que log() est irratioel, et e log(3) déduire que ( e iα log ) avec α R N diverge. 3. Quelle est la limite de u = E(x) + E(x) + + E(x)? 4. Soit (u ) ue suite complexe telle que (u ), (u +1 ) et (u 3 ) coverget. Motrer que (u ) coverge. 5. Soit (u ) ue suite de réels décroissate et de limite ulle. Pour tout N, o pose S = ( 1) u. =0 Motrer que les suites (S ) et (S +1 ) sot adjacetes, et doc que (S ) coverge. 1

2 6. Soit (u ) ue suite réelle borée. O pose v = sup u p et w = if u p. p p Motrer que les suites (v ) et (w ) coverget, et comparer leurs limites. 7. Détermier la limite de ( ) 1 u =. =0 8. Soit z C, z < 1. Motrer que ( u = 1 + z ) =0 coverge, et calculer sa limite. 9. Motrer que la suite (cos ) diverge.

3 4 Correctios 4.1 Applicatios 1. C est vrai, faux (( 1) par exemple), et vrai.. Soit (a ) ue suite arithmétique, de raiso r. O a alors pour tout, Doc a + + a a = a 0 + r. = a 0 + ( + )r + a 0 + r = a 0 + r + r = a 0 + ( + 1)r = a +1 Réciproquemet, si ue suite (a ) vérifie la relatio, o a pour tout a + a +1 + a = 0. O motre par récurrece double sur que a = a 0 + r, où r = a 1 a 0. pour a 0 et a 1, c est o. Si c est vrai aux rags et + 1, alors a + = a +1 a = (a 0 + r + r) a 0 r = a 0 + ( + 1)r. Fialemet, (a ) est arithmétique. 3. Le ses réciproque est trivial. Pour le ses direct, soit l la limite de (u ). Si l / Z, alors E(l) < l < E(l) + 1, et doc à partir d u certai rag, E(l) < u < E(l) + 1, ce qui cotredit le fait que u Z. Doc l Z. Doc à partir d u certai rag, o a l 1 < u < l + 1, et doc u = l. 4. Exercices 1. O commece par remarquer que (s ) est borée : o a s p s N < 1 et doc s p < 1 + s N. Par théorème de Bolzao-Weirstraß, o peut extraire ue sous-suite s ϕ() covergete, vers u réel l. 3

4 Soit ε > 0. La covergece de la sous-suite ous doe Comme (s ) est de Cauchy O pred alors N = max(n 1, N ) et o a. Sio, o peut écrire avec p, q N : N 1 N, N 1, s ϕ() l < ε. N N, p, q N, s p s q < ε. N, s l s s ϕ() + s ϕ() l < ε. log log 3 = p q, et doc q = 3 p, ce qui est impossible. Posos z = e iα log. Si (z ) coverge, soit l sa limite. O a alors la covergece de (z ) et (z 3 ) vers l, et doc e iα log l = l et e iα log 3 l = l. O e déduit l existece de deux etiers β et γ tels que α log = βπ et α log 3 = γπ. Fialemet, log = β, ce qui est impossible. log 3 γ 3. O ecadre chacu des E(x) : x E(x) < x + 1, et o trouve que la limite est x/. 4. Soiet a, b, c les limites de (u ), (u +1 ) et (u 3 ) respectivemet. Alors (u 6 ) est ue suite extraite de (u 3 ), doc coverge vers c, et est aussi ue suite extraite de (u ), doc coverge vers a. Par uicité de la limite, a = c. De la même faço, (u 6+3 ) est extraite de (u 3 ) et de (u +1 ), et doc b = c. Fialemet, (u ) et (u +1 ) coverget vers la même limite, et doc (u ) coverge. 5. O a S (+1) S = u + u +1 0, et S (+1)+1 S +1 = u +3 + u + 0, et S +1 S = u Doc les deux suties sot adjacetes. Elles coverget doc vers la même limite, et doc (S ) coverge aussi, vers cette limite. 6. (v ) est clairemet décroissate, et (w ) clairemet croissate. O a aussi w v. La suite (v ) est décroissate, et miorée par w 0, doc coverge vers ue limite l. De même, (w ) coverge vers ue limite m. Comme w v, o a doc m l. 7. O a u = + + = ( ) 1. 4

5 Or pour {,..., }, o a Doc Fialemet, u. 0 ( ) = ( ) = ( ) 1 ( 1). ( 3) ( 1) O motre par récurrece que (1 z)u = 1 z +1. Pour = 0, o a u 0 = (1 + z) et doc (1 z)u 0 = (1 z ). Si c est vrai au rag, o a et doc u +1 = ( 1 + z +1) u, u +1 = ( 1 + z +1) ( 1 z +1). Ue idetité remarquable ous doe le résultat. Comme z < 1, z +1 0, et doc (1 z)u 1. Doc (u ) coverge, et sa limite est 1. 1 z 9. Sio, soit l R sa limite. O a alors et e passat à la limite cos( + 1) + cos( 1) = cos() cos(1), l = l cos(1). Comme cos(1) 0, o a l = 0. Mais cos() = cos () 1, et doc e passat à la limite l = 1. D où ue cotradictio. 5