Cours d algèbre 1. EL AOUNI Allal, MOUANIS Hakima, ZENNAYI Mohamed. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz

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1 UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz Cours d algèbre 1 EL AOUNI Allal, MOUANIS Hakima, ZENNAYI Mohamed Département de Mathématiques Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 1 / 34

2 PLAN DU COURS 1 NOMBRES COMPLEXES POLYNÔMES 3 FRACTIONS RATIONELLES 4 ESPACES VECTORIELS Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 / 34

3 Chapitre 1 NOMBRES COMPLEXES Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 3 / 34

4 Chapitre 1 1 Définitions et propriétés racines carrées d un nombre complexe 3 Equations du second degré dans IC 4 nombres complexes de module 1 5 Argument d un nombre complexe 6 Racines n ième de l unité 7 Racines n ième d un nombre complexe Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 4 / 34

5 Définitions et propriétés L ensemble IC des nombres complexes Définition On note par IC = {a + ib/ a, b IR} et i IR muni de deux opérations + et. telles que (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) En particulier, i = i.i = 1 (a + ib).(c + id) = (ac db) + i(ad + cb) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 5 / 34

6 Définitions et propriétés Partie réelle et partie imaginaire Définition Soit z = a + ib un nombre complexe. a est appelé la partie réelle de z qu on note par Re(z). b est appelé la partie imaginaire de z qu on note par Im(z) Un nombre complexe et dit réel si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe et dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 6 / 34

7 Définitions et propriétés Proposition Soient u = a + ib IC et v = c + id IC deux nombres complexes. u = v a + ib = c + id a = c et b = d Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 7 / 34

8 Définitions et propriétés Définition Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelle conjugué de z le nombre z = a ib Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 8 / 34

9 Définitions et propriétés Propriétés Soient z = a + ib IC et z = c + id IC deux nombres complexes. Alors, 1 z = z z + z = z + z 3 ( z z ) = z z 4 zz = a + b 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 9 / 34

10 Définitions et propriétés Le module d un nombre complexe Définition Soit z = a + ib, on appelle module de z le nombre réel positif noté par z et défini par z = zz = a + b propriétés Soit z, z IC 1 z = z z 1 = 1 z = z z 3 zz = z z 4 z z = z z Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 10 / 34

11 Les racines carrées d un nombre complexe Les racines carrées d un nombre complexe Définition Soient z, u IC. On dit que u est racine carrée de z si u = z Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 11 / 34

12 Les racines carrées d un nombre complexe Les racines carrées d un nombre complexe Théorème un nombre complexe non nul z = a + ib possède deux racines carrées non nulles et opposées qui sont : 1 Si b 0, et Si b 0, et ( z + a) ( z a) u = + i ( z + a) ( z a) u = i ( z + a) ( z a) u = i ( z + a) ( z a) u = + i Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 1 / 34

13 Les racines carrées d un nombre complexe Les racines carrées d un nombre complexe Exemple Soit z = 5 + 1i. 1 z = = 169 = 13 Puisque 1 0 alors les racines carrée de z sont : u = 3 + i et u = 3 i Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 13 / 34

14 Equation du second degré dansc I Equation du second degré dans IC Théorème Soient a, b et c trois nombres complexes tels que a non nul. Soit δ une racine carée de = b 4ac. Alors l équation du second degré ax + bx + c=0 admet deux solutions : z 1 = b + δ a et z = b δ a Remarque 1 z 1 + z = b a z 1 z = c a 3 Si = 0, z 1 = z = b a 4 Si a, b, c IR et si 0 alors z 1, z IR 5 Si a, b, c IR et si 0 alors z 1 et z sont conjugués( c est à dire z = z 1 ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 14 / 34

15 Equation du second degré dansc I Equation du second degré dans IC Exercice Calculer les racines des équations : 1 (1 i)z + (1 + i)z i = 0 3z 5z + = 0 3 z z + 1 = 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 15 / 34

16 Equation du second degré dansc I Equations du second degré dans IC Corollaire Soient z 1, z IC. Notons s = z 1 + z et p = z 1 z Alors, z 1 et z sont les racines de l équation z sz + p = 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 16 / 34

17 Equation du second degré dansc I Equations du second degré dans IC corollaire Soient az + b z + c = 0 une équation de ème degré et = b ac Si δ est une racine carrée de alors les racines de l équation sont z 1 = b + δ a et z = b δ a Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 17 / 34

18 Les nombres complexes de module 1 Les nombres complexes de module 1 Proposition Soit z IC. z = 1 α IR tel que z = cos α + i sin α. Dans ce cas z est noté z = e iα. Exemples 1 k ZZ; e ikπ = cos kπ + i sin kπ = 1 + 0i e iπ = cos(π) + i sin(π) = 1 3 e iπ = cos( π ) + i sin( π ) = i 4 e iπ 4 = cos( π 4 ) + i sin( π 4 ) = + i 5 e iπ 3 = cos( π 3 ) + i sin( π 3 ) = 1 + i 3 6 e iπ 6 = cos( π 6 ) + i sin( π 6 ) = 3 + i Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 18 / 34

19 Les nombres complexes de module 1 Les nombres complexes de module 1 Propriétés Soient z = e iα et z = e iβ avec α, β IR : 1 z = z k ZZ tel que α = β + kπ e iα e iβ = e i(α+β) 3 e iα e iβ = e i(α β) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 19 / 34

20 Les nombres complexes de module 1 Formule de Moivre Théorème (Formule de Moivre) Soit α un nombre réel et n IN. Alors, (e iα ) n = e inα Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 0 / 34

21 Les nombres complexes de module 1 Formules d Euler Propriétés α IR. On a 1 cos(α) = eiα +e iα sin(α) = eiα e iα i Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 1 / 34

22 Argument d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Théorème Soit z un nombre complexe non nul. Il existe α IR tel que z = z e iα. α est appelé argument de z et on le note arg(z) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 / 34

23 Argument d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Remarque Si α est un argument de z alors, k IN, α + kπ est aussi argument de z. On note arg(z) = α(modπ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 3 / 34

24 Argument d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Propriétés Soit z IC 1 arg(z) = 0(modπ) z IR + arg(z) = π(modπ) z IR Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 4 / 34

25 Argument d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Propriétés Soient z et z deux nombres complexes et λ un nombre réel. 1 z = z z = z et arg(z) = arg(z )(modπ) arg(zz ) = arg(z) + arg(z )(modπ) 3 arg( 1 z ) = arg(z)(modπ) = arg(z)(modπ) { 4 arg(z)(modπ) siλ > 0 arg(λz) = Π + arg(z)(modπ) siλ < 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 5 / 34

26 Racines n ième de l unité racines n ième de l unité Définition Soient n un entier naturel non nul et z un nombre complexe. On dit que z est une racine n ième de l unité si z n = 1 Proposition Soit n IN. L ensemble des racines n ième de l unité est : S = {e ikπ n / k = 0,..., n 1} = {1, e iπ i(n 1)π n,..., e n } dont les éléments sont distincts deux à deux. Posons ω = e iπ n, alors las racines n ième de l unité sont les n nombre complexe 1, ω, ω,..., ω n 1. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 6 / 34

27 Racines n ième de l unité Racines n ième de l unité Corollaire Si z est une racine n ième de l unité avec z 1 alors 1 + z + z z n 1 = 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 7 / 34

28 Racines n ième de l unité Racines n ième de l unité Exemples { 1 1 Les racines carrées de l unité sont e iπ 1 Les racines cubiques de l unité sont e iπ 3 e 4iπ j + j = 0 = e iπ = 1 = 1 + i 3 = j et on a = 1 i 3 = j = j 1 3 Les racines 4 ième i de l unité sont i = 1 i 3 = i et on a 1 + i + i + i 3 = 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 8 / 34

29 Racines n ième d un nombre complexe racines n ième d un nombre complexe Définition Soit z un nombre complexe et n un entier naturel non nul. On appelle racine n ième de z tout nombre complexe u vérifiant z = u n. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 9 / 34

30 Racines n ième d un nombre complexe racines n ième d un nombre complexe Théorème Soit z = re iθ un nombre complexe non nul. L équation u n = z possède, dans IC, exactement n racines n ième de la forme u k = n re i( θ n + kπ n ) = n re iθ n e ikπ n avec k = 0,..., n 1 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 30 / 34

31 Racines n ième d un nombre complexe Racines n ième d un nombre complexe corollaire Soient z = re iθ IC et n IN. Alors les racines n ième de z sont u 0, u 0 ω, u 0 ω,..., u 0 ω n 1 avec et u 0 = n re i θ n ω = e iπ n Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 31 / 34

32 Racines n ième d un nombre complexe Racines n ième d un nombre complexe Exemple Calculer les racines n ième du nombre complexe z = 4 dans les cas n =, n = 3, et n = 4 Réponce : On a z = 4 = 4e iπ donc u 0 = n 4e iπ n Cas n = : u 0 = 4e iπ = i et ω = e iπ = e iπ = 1. Donc les racines carrés de 4 sont : i, i Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 3 / 34

33 Racines n ième d un nombre complexe Racines n ième d un nombre complexe Exemple (suite) Cas n = 3 : On a u 0 = 3 4e iπ 3 = 3 4( 1 + i 3 ) et ω = e iπ 3 = j Alors les racines sont : c est à dire 3 iπ 3 4e 3, 4e iπ iπ 3 3 e 3, 4e iπ i4π 3 e ( + i ), j 3 4( i ), 3 j 4( i ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 33 / 34

34 Racines n ième d un nombre complexe Racines n ième d un nombre complexe Exemple (suite) Cas n = 4 : On a u 0 = 4 4e iπ 4 = ( + i ) = 1 + i et ω = e iπ 4 = e iπ = i Alors las racines 4 ième de 4 sont : (1 + i), (1 + i)i, (1 + i)( 1), (1 + i)( i) c est à dire 1 + i, 1 + i, 1 i, 1 i Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 34 / 34