4 Fonctions usuelles. 4.1 Fonction polynomiale. 4.2 Fonctions logarithme et exponentielle

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1 4 Fonctions usuelles 4. Fonction polynomiale Définition Soient n N, a 0,a,...,a n R et a n R.Alorslafonction P R R x n k=0 est appelée fonction polynôme de degré n. a k x k =..., Définition Soit P R R un polynôme de degré n.... Exemple Le polynôme P défini pour tout x R par P (x) = x + x admet-il des racines? Proposition Soit P R R un polynôme de degré n. Alors: Remarque Lorsque n =, sip (x) = ax + bx + c admet deux racines x et x alors une factorisation de P est P (x) =... Exemple et sont racines du polynôme P défini par P (x) = x + x, ainsip (x) se factorise par... et..., unefactorisationestp (x) = Fonctions logarithme et exponentielle Définition On appelle logarithme népérien l unique fonction Propriétés (Règles de calcul) Pour tout a, b R +, n Z on a ln(ab) =... ln a b =... ln(a n ) =... ln a =... ln a n =... Théorème L application logarithme

2 Preuve..... Définition La fonction exponentielle notée exp R ]0, + [... Remarque On utilisera la notation exp(x) = e x.commeelleestlaréciproquedelafonctionlogarithme, on en déduit que la fonction exponentielle est bijective et vérifie... Propriétés (Règles de calcul) Pour tout x, y R et pour tout n Z, e 0 =..., e x+y =..., e x =..., e nx =..., e nx = (e x ) n =... Définition Soit a > 0... exp a x Fonctions puissances et leurs réciproques Définition Soit R.... Proposition Soit R. ]0, + [ ]0, + [ L application est x x (resp. strictement décroissante si < 0) et admet pour réciproque l application x... Remarque Lorsque n N et n, laréciproquedel applicationx x n est l application appelée racine n-ième....

3 4.4 Fonctions trigonométriques et leurs réciproques cos(x) = sin(x) =... cos( ) tan(x) =... sin( ) D après le théorème de Pythagore dans le triangle OBM :... Propriétés La fonction sinus sin R [, ] vérifie :. x R, sin( x) =...(elle est impaire).. x R, sin(x + ) =...(elle est -périodique).. x, y R, sin(x+y) =.... x, y R, sin(x y) =... Remarque... Proposition La fonction sinus sin est bijective. Définition On appelle fonction arccsinus, notéearcsin......, l application réciproque de la fonction sin [, ] [, ]. Remarque Par définition, pour tout y [, ], arcsin(y) est l unique angle compris entre et tel que son sinus soit égal à y. Cecinousdonnelarelationsuivante: Si x [, ], sin(x) = y x = arcsin(y). Exemple d application : Que vaut arcsin( )? Par définition, Par identification, =... = arcsin( )... Propriétés La fonction arcsinus est bijective de [, ] dans [, ] et vérifie :. arcsin(sin(x)) =.... sin(arcsin(y)) =.... arcsin( y) =...

4 Exemple d application : Que vaut arcsin(sin( ))?... Propriétés La fonction cosinus cos R [, ] vérifie :. x R, cos( x) =...(elle est paire).. x R, cos(x + ) =...(elle est -périodique).. x, y R, cos(x y) =.... x, y R, cos(x + y) =... Remarque Graphiquement, on voit que la fonction cosinus n est pas injective sur R, elle n est donc pas bijective. Proposition La fonction cos est bijective. Définition On appelle fonction arccosinus, notée arccos......, l application réciproque de la fonction cos [0,] [, ]. Remarque Par définition, pour tout y [, ], arccos(y) est l unique angle compris 0 et tel que son cosinus soit égal à y. Cecinousdonnelarelationsuivante: Si x [, ], sin(x) = y x = arcsin(y). Exemple d application : Que vaut arccos( )? Par définition, Par identification, =... = arccos( )... Propriétés La fonction arccosinus est bijective de [, ] dans [0,] et vérifie :. arccos(cos(x)) =.... cos(arccos(y)) =... Exemple d application : Que vaut arccos(cos( ))?... 4

5 Propriétés La fonction tangente tan D tan R est définie par tan(x) = sin(x)+ avec D tan = {x R...} = x R... Elle vérifie :. x, x D tan, tan( x) =... (elle est...).. x D tan, tan(x + ) =... (elle est...). Remarque Graphiquement, on voit que la fonction tangente n est pas injective sur son domaine de définition, elle n est donc pas bijective. Proposition La fonction tangente tan est bijective. Définition On appelle fonction arctangente, notéearctan......, l application réciproque de la fonction tan ], [ R. Remarque Par définition, pour tout y R, arctan(y) est l unique angle compris (strictement) entre et tel que sa tangente soit égale à y. Cecinousdonnelarelationsuivante: Si x [, ], sin(x) = y x = arcsin(y). Propriétés La fonction arctangente est bijective de R dans ], [ et vérifie :. arctan(tan(x)) =.... tan(arctan(y)) =.... arctan( y) =... Exemple : En posant t = tan( x t ) montrer que pour tout x Ry R y = +k,k Z, cos(x) = + t. 5

6 4.5 Fonctions hyperboliques directes et leurs réciproques Définitions On appelle fonction sinus hyperbolique, notée..., la fonction définie par sh x = ex e x + 788, x R. On appelle fonction cosinus hyperbolique, notée..., la fonction définie par Propriétés ch x = ex e x + 788, x R.. La fonction sinus hyperbolique vérifie :. sh est.... sh( x) =..., x R.. La fonction cosinus hyperbolique vérifie :. ch est.... ch( x) =..., x R. Définitions On appelle fonction On appelle fonction Remarque Par ces définitions, on a Si x [, ], sin(x) = y x = arcsin(y). et Si x [, ], sin(x) = y x = arcsin(y). 6

7 Propriétés. La fonction argument sinus hyperbolique est bijective de... dans... et vérifie :. argsh( y) =..., y R.. argsh(y) =..., y R.. La fonction argument cosinus hyperbolique est continue et bijective de... dans... et vérifie :. argch(y) =..., y [, + [. Définition On appelle fonction tangente hyperbolique, notée..., la fonction définie par th x = ex + ++ = e x e x + 788, x R. Propriétés La fonction tangente hyperbolique vérifie :. th est.... th( x) =..., x R. Définition On appelle fonction Remarque Par cette définition, on a Si x [, ], sin(x) = y x = arcsin(y). Propriétés La fonction argument tangente hyperbolique est bijective de... dans... et vérifie :. argth( y) =..., y ], [.. argth(y) =..., y ], [. Proposition Les fonctions sh, ch et th sont reliées par les relations suivantes, x R ch x + sh x =... ch x sh x =... ch x sh x =... th x = ch x +. 7