Les séries entières. () Les séries entières 1 / 42

Transcription

1 Les séries entières () Les séries entières 1 / 42

2 1 Séries entières d une variable complexe 2 Série entière d une variable réelle 3 Développements en séries entières 4 Exponentielle complexe et fonctions associées 5 La règle de D Alembert pour les séries entières () Les séries entières 2 / 42

3 Définition Pour tout z 0 C et tout r 0, on note D(z 0, r) le disque ouvert de centre z 0 et de rayon r : D(z 0, r) = {z C, z z 0 < r} et D(z 0, r) le disque fermé correspondant : D(z 0, r) = {z C, z z 0 r} On note C(z 0, r) le cercle de centre z 0 et de rayon r : C(z 0, r) = {z C, z z 0 = r}. () Les séries entières 3 / 42

4 Définition Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur une partie E de R ou C et à valeurs dans R ou C. On note (S n ) n N la suite définie par : n N, S n = n f k = f 0 + f f n. k=0 La suite de fonctions (S n ) n N est appelée la série de fonctions de terme général f n et notée f n. n 0 () Les séries entières 4 / 42

5 Définition Pour tout z E tel que la série numérique f n (z) converge, on notera n 0 S(z) la somme k=0 f n (z) de cette série numérique. En posant D = { z E, la série f n (z) converge }, la fonction somme de la série de fonction f n est la fonction n 0 S : D C z k=0 f n (z). () Les séries entières 5 / 42

6 Plan 1 Séries entières d une variable complexe 2 Série entière d une variable réelle 3 Développements en séries entières 4 Exponentielle complexe et fonctions associées 5 La règle de D Alembert pour les séries entières () Les séries entières 6 / 42

7 Définition et rayon de convergence Définition Soit z 0 un nombre complexe. Une série entière centrée en z 0 est une série de fonctions de C dans C dont le terme général est de la forme f n : C C où a n est un nombre complexe. z a n (z z 0 ) n Dans la suite, cette série entière sera plus simplement notée a n (z z 0 ) n. Les complexes a n s appellent les coefficients de la série n 0 entière. En notant D = { z E, la série n 0 a n (z z 0 ) n converge }, la fonction somme de la série entière est la fonction S : D C z + k=0 a n(z z 0 ) n. () Les séries entières 7 / 42

8 Remarque: Les fonctions polynômes sont des cas particuliers de fonctions sommes de séries entières, la suite des coefficients étant nulle à partir d un certain rang. Le but ici est de déterminer le domaine de définition de cette série entière, c est-à-dire l ensemble des complexes z tels que la série a n (z z 0 ) n converge, et d étudier les propriétés de la fonction n 0 somme. Pour simplifier, on considérera souvent dans ce chapitre des séries entières centrées en 0, c est-à-dire de la forme n 0 a n z n. Les résultats restent valables pour les séries centrées en z 0. () Les séries entières 8 / 42

9 Définition Soit n 0 a n z n une série entière. L ensemble { r R +, } a n r n converge n 0 est un intervalle de la forme [0, R[ (où R > 0 est un nombre réel ou + ), ou de la forme [0, R] (où R R + ). Ce nombre R (appartenant à R + {+ }) est le rayon de convergence de la série entière n 0 a n z n. Exemples: () Les séries entières 9 / 42

10 Proposition Soit n 0 a n z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Pour tout z C tel que z < R, la série n 0 a n z n converge absolument. Pour tout z C tel que z > R, la série n 0 a n z n diverge. Si R est un réel strictement positif, le disque ouvert D(z 0, R) est appelé le disque de convergence de la série entière n 0 a n z n. Remarque: Pour z = R, c est à dire sur le cercle C(z 0, R), tout peut arriver. Exemple: () Les séries entières 10 / 42

11 Opérations sur les séries entières On définit sur l ensemble des séries entières une addition et la multiplication par un scalaire : Définition Soit a n z n et b n z n deux séries entières et λ un nombre complexe.on n 0 n 0 pose : n 0 a n z n + n 0 b n z n = n 0(a n + b n )z n et λ n 0 a n z n = n 0 (λa n )z n. () Les séries entières 11 / 42

12 Proposition Soit a n z n et b n z n deux séries entières de rayons de convergence n 0 n 0 respectifs R a et R b. On considère la série entière n 0(a n + b n )z n dont on note R a+b le rayon de convergence. 1 On a R a+b min(r a, R b ) et sur le disque ouvert centré en z 0 de rayon min(r a, R b ), les trois séries entières sont convergentes et l on a z D ( z 0, min(r a, R b ) ), (a n + b n )z n = a n z n + b n z n. 2 Si R a R b alors R a+b = min(r a, R b ). Remarque: Si R a = R b le rayon de convergence R a+b peut être supérieur à R a. Exemple: () Les séries entières 12 / 42

13 Proposition Soit n 0 a n z n une série entière dont on note R a le rayon de convergence et soit λ C. 1 Si λ 0, alors le rayon de convergence de la série entière n 0 λa n z n est égal à R a. Les séries entières a n z n et λa n z n convergent n 0 n 0 alors pour les mêmes nombres complexes z et leurs sommes vérifient λa n z n = λ a n z n. 2 Si λ = 0 alors la série entière n 0 λa n z n a un rayon de convergence infini et vaut 0 en tout point. () Les séries entières 13 / 42

14 Plan 1 Séries entières d une variable complexe 2 Série entière d une variable réelle 3 Développements en séries entières 4 Exponentielle complexe et fonctions associées 5 La règle de D Alembert pour les séries entières () Les séries entières 14 / 42

15 Soit n 0 a n x n une série entière d une variable réelle x de rayon de convergence R > 0. Le rayon de convergence de cette série entière est défini de la même manière que précédemment, mais on parle maintenant d intervalle de convergence. Cet intervalle de convergence peut être [ R, R], [ R, R[, ] R, R] ou ] R, R[ suivant que la série entière converge ou non en R et R. () Les séries entières 15 / 42

16 Continuité - dérivabilité Théorème Soit a n x n une série entière de rayon de convergence R > 0 dont on n 0 note S la fonction somme. 1 La fonction S est continue sur l intervalle ] R, R[. 2 Si la série a n R n converge alors la fonction S est continue sur n 0 ] R, R]. 3 Si a n ( R) n converge alors la fonction S est continue sur [ R, R[. 4 Si n 0 a n x n converge pour x = R et x = R alors la fonction S est n 0 continue sur [ R, R]. () Les séries entières 16 / 42

17 Théorème 1 La série entière dérivée n 1 na n x n 1 a aussi pour rayon de convergence R. 2 La fonction somme S est dérivable sur ] R, R[ et pour tout x ] R, R[, on a S (x) = (on dérive la série entière terme à terme). n=1 na n x n 1 Remarque: La série entière dérivée s écrit aussi : n 0(n + 1)a n+1 x n. () Les séries entières 17 / 42

18 Corollaire Soit n 0 a n x n une série entière de rayon de convergence R > 0 dont on note S la fonction somme. La fonction S est de classe C sur ] R, R[ et pour tout k N et tout x ] R, R[, on a S (k) (x) = n=k n(n 1)... (n k + 1)a n x n k = En particulier, pour tout k N, on a S (k) (0) = k!a k. n=k n! (n k)! a nx n k. Exemple: () Les séries entières 18 / 42

19 Intégration terme à terme Théorème Soit n 0 a n x n une série entière de rayon de convergence R > 0 dont on note S la fonction somme. 1 La série entière a n n 0 n + 1 x n+1 a également pour rayon de convergence R. 2 Sur ] R, R[, une primitive de la fonction S est la fonction somme de la série entière a n n + 1 x n+1 n 0 () Les séries entières 19 / 42

20 Remarque: On peut donc écrire que pour tout x ] R, R[, on a ( x + ) a n t n a n dt = n + 1 x n+1, 0 ce qui signifie qu on peut intégrer la série entière terme à terme. Exemple: () Les séries entières 20 / 42

21 Plan 1 Séries entières d une variable complexe 2 Série entière d une variable réelle 3 Développements en séries entières 4 Exponentielle complexe et fonctions associées 5 La règle de D Alembert pour les séries entières () Les séries entières 21 / 42

22 Fonctions développables en série entière Définition Une fonction f définie sur un intervalle ] r, r[ (avec r > 0) est dite développable en série entière sur ] r, r[ s il existe une série entière a n x n de rayon de convergence R r telle que : n 0 x ] r, r[, f (x) = Exemple: a n x n. () Les séries entières 22 / 42

23 Unicité et écriture du développement en série entière Théorème Soit f une fonction réelle développable en série entière sur ] r, r[ (avec r > 0) et n 0 a n x n une série entière de rayon de convergence R r telle que l on ait : x ] r, r[, f (x) = a n x n. La fonction f est de classe C sur ] r, r[ et les coefficients a n sont uniques et déterminés par la formule : n N, a n = f (n) (0). n! () Les séries entières 23 / 42

24 Démonstration. On a vu précédemment que la fonction somme S de la série entière qui coïncide avec f sur ] r, r[ est de classe C sur ] r, r[ et l on a pour tout n N, f (n) (0) = S (n) (0) = n!a n. Ceci donne pour tout n N, a n = f (n) (0). n! Remarque: Si f est développable en série entière sur ] r, r[, la valeur des coefficients a n montre que l on obtient un développement limité de f en 0 à n importe quel ordre en tronquant le développement en série entière de f. Attention : Ce n est pas parce qu une fonction est de classe C sur ] r, r[ qu elle est développable en série entière sur ] r, r[. () Les séries entières 24 / 42

25 Corollaire Soit f une fonction développable en série entière sur ] r, r[ et a n x n la n 0 série entière telle que : x ] r, r[, f (x) = a n x n. 1 Si f est paire alors pour tout n N, on a a 2n+1 = 0. (ie les coefficients devant les monômes de degré impair sont tous nuls). 2 Si f est impaire, alors pour tout n N, a 2n = 0. (ie les coefficients devant les monômes de degré pair sont tous nuls). () Les séries entières 25 / 42

26 Opérations sur les fonctions développables en série entières Théorème L ensemble des fonctions développables en série entière sur ] r, r[ est un sous-espace vectoriel de l ensemble des fonctions définies sur ] r, r[. Autrement dit, si f et g sont deux fonctions développables en série entière sur ] r, r[ et λ un réel, alors f + λg est développable en série entière sur ] r, r[. Proposition Soit f une fonction réelle définie sur ] r, r[. Si f est développable en série entière sur ] r, r[, alors les dérivées à tout ordre de f et les primitives successives de f sont développables en série entière sur ] r, r[. () Les séries entières 26 / 42

27 Développements en série entière usuels On a déjà vu : Formule Pour tout x ] 1, 1[, on a et x = x n ln(1 x) = n=1 x n n () Les séries entières 27 / 42

28 Par conséquent, Formule pour tout x ] 1, 1[, on a et x = ( 1) n x n ln(1 + x) = n=1 ( 1) n 1 n x n () Les séries entières 28 / 42

29 On a vu en début de chapitre que la série entière x n avait un rayon de n! convergence infini. De plus la fonction S définie par : x n x R, S(x) = est dérivable et pour tout x R, on a n! S (x) = n=1 n n! x n 1 = n=1 x n 1 + (n 1)! = x n n! = S(x). Ainsi, la fonction S ainsi définie, est l unique solution sur R de l équation différentielle du premier ordre y y = 0 telle que y(0) = 1 et donc S = exp. On en déduit : Formule pour tout x R, on a exp(x) = x n n!. () Les séries entières 29 / 42

30 Pour tout x R, on a ch(x) = ex + e x, donc par combinaison linéaire, 2 ch(x) = 1 2 x n + ( x) n }{{ n! } terme nul pour n impair = 1 2 p=0 2x 2p + (2p)! = x 2p (2p)!. En écrivant que sh(x) = ex e x, on obtient de même que 2 sh(x) = p=0 x 2p+1 (2p + 1)! p=0 () Les séries entières 30 / 42

31 On retient : Formule pour tout x R, on a ch(x) = p=0 x 2p (2p)! et sh(x) = p=0 x 2p+1 (2p + 1)! () Les séries entières 31 / 42

32 Technique: Pour déterminer le développement en série entière de sin autour de 0, nous allons utiliser une méthode qui repose sur les équations différentielles (Méthode à retenir). () Les séries entières 32 / 42

33 On obtient donc que pour tout x R, on a sin(x) = ( 1) p x 2p+1 (2p + 1)!. p=0 La fonction cos étant la dérivée de sin, pour tout x R, on a cos(x) = p=0 x 2p Formule pour tout x R, on a ( 1) p. On retient : (2p)! sin(x) = p=0 ( 1) p x 2p+1 (2p + 1)! et cos(x) = p=0 x 2p ( 1) p (2p)! () Les séries entières 33 / 42

34 La même méthode permet de prouver que : Formule Pour tout α R et tout x ] 1, 1[, on a (1 + x) α = α(α 1)... (α n + 1) x n n! () Les séries entières 34 / 42

35 α(α 1)... (α n + 1) Remarque: pour n = 0 la formule vaut 1. n! 1 + Pour α = 1, on obtient 1 + x = ( 1) n n! x n c est-à-dire : n! x = ( 1) n x n Si α = k N, on obtient la formule du binôme de Newton : (1 + x) k = n k=0 ( ) n x k. k () Les séries entières 35 / 42

36 Plan 1 Séries entières d une variable complexe 2 Série entière d une variable réelle 3 Développements en séries entières 4 Exponentielle complexe et fonctions associées 5 La règle de D Alembert pour les séries entières () Les séries entières 36 / 42

37 Définition La série entière z n n 0 n! convergence infini. L application exp : C C z exp(z) = + exponentielle complexe. de la variable complexe z a un rayon de z n n! = ez est appelée () Les séries entières 37 / 42

38 Remarque: 1 Lorsque z est un nombre réel, on retrouve bien la fonction exponentielle réelle. 2 Soit θ R. On a d après ce qui précède : cos(θ) + i sin(θ) = = ( 1) n θ 2n + (2n)! + i ( 1) n θ 2n+1 (2n + 1)! (iθ) 2n + (2n)! + (iθ) 2n+1 + (2n + 1)! = (iθ) n n! donc on retrouve bien la formule exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ). () Les séries entières 38 / 42

39 Proposition Pour tout z, z C, on a exp(z + z ) = exp(z) exp(z ). Corollaire Pour tout z C avec z = x + iy (x, y R), on a exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) exp(iy) et donc cette définition est compatible avec la définition vue en début d année. () Les séries entières 39 / 42

40 Plan 1 Séries entières d une variable complexe 2 Série entière d une variable réelle 3 Développements en séries entières 4 Exponentielle complexe et fonctions associées 5 La règle de D Alembert pour les séries entières () Les séries entières 40 / 42

41 Théorème (Règle de D Alembert pour les séries entières) Soit a n z n une série entière dont les coefficients a n sont tous non nuls. n 0 ( ) an+1 Si la suite admet une limite l dans R, alors le rayon de a n n N convergence R de la série entière n 0 a n z n est donné par R = 1 l. (avec la convention 1 + = 0 et 1 0 = + ). () Les séries entières 41 / 42

42 Démonstration. On étudie la convergence de a n r n pour r R +. n 0 Pour r 0, on a une série à terme strictement positif et a n+1 r n+1 a n r n = r a n+1 a n donc a n+1 r n+1 lim n a n r n = rl Par la règle de d Alembert des série, on a donc convergence si rl < 1, c est à dire r < 1 l et divergence si rl > 1, c est à dire r > 1 l. Donc le rayon de convergence est R = 1 l. Remarque: La règle de D Alembert peut être appliquée avec une série entière dont tous les coefficients sont tous non nuls au delà d un certain rang. Exemple: Calculer le rayon de convergence de la série entière n 1 2 n n zn. () Les séries entières 42 / 42