Correction Bac ES Centres étrangers juin 2010

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1 Corrctio Bac ES Ctrs étragrs jui 00 EXERCICE (5 poits) Commu à tous ls cadidats ) L ombr rél 3x st égal à : c) x 3 E fft, 3x = x 3 = x 3. Rmarqu : 3x = 3x t l xprssio 3x s simplifi pas. ) L équatio l(x + x + ) = 0 admt sur : c) Dux solutios E fft, pour tout x, x + x + > 0 (l discrimiat d c triôm st égatif) Et, pour tout x, l(x + x + ) = 0 x 3) L équatio x = x admt sur : b) U sul solutio E fft, x = x l( x ) = l( x ) x = x x = 0. + x + = x(x + ) = 0 x = 0 ou x =. 4) O cosidèr u foctio défii sur l itrvall [ ; + [ vérifiat la propriété suivat : Pour tout x [ ; + [, x (x). O put alors affirmr qu : a) lim (x) = 0 x + x E fft, pour tout x [ ; + [, x (x) x (x) x Comm, lim = 0 t lim x + x x + x = 0 d après l théorèm ds gdarms, lim (x) = 0. x + x 5) O cosidèr dux foctios t g défiis sur u itrvall I, tlls qu g st u primitiv d la foctio sur I. O suppos qu la foctio g st croissat sur I. Alors o put affirmr qu : b) La foctio st positiv sur I. E fft, comm g st u primitiv d, o a : g(x) = (x). D plus, g st croissat sur I t doc sa dérivé st positiv sur I. x ES-CtrsEtragrs-jui0 corrctio Pag sur 6

2 EXERCICE (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l sigmt d spécialité Parti A : Etud statistiqu ) 7,7 + 3, , + 63, + 683, ,4 + 87,6 = 564,85 8 Doc, la dtt moy d l État tr 990 t 004 st d 564,9 milliards d uros. ) O a l tablau suivat : Aé Rag d l aé x i Dtt y i milliards d uros 7,7 3, , 63, 683,5 773,4 87,6 Idic 00 8, ,8 5,7 5,6 84,7 3, 3) O a : 3, 00 =, Doc, l taux global d évolutio d la dtt d l État tr 990 t 004 st d, %. 4) L cofficit multiplicatur global st égal à 3,. Notos x l cofficit multiplicatur corrspodat au taux moy d évolutio d la dtt sur u périod d as. 7 Alors, o a : x = 3, t doc, x = 7 3, =,8 à 0 3 près. Doc, l taux moy d évolutio d la dtt d l État sur u périod d as st d 8, %. Parti B : Itrpolatio t xtrapolatio d doés. ) U équatio d la droit d ajustmt affi d y x obtu par la méthod ds moidrs carrés st : y = 86,4 x + 6,3 (cofficits arrodis à 0 près) 000 6, ,3 ) O chrch x tl qu : 86,4 x + 6,3 > 000 x > t 8,54 86,4 86,4 C st doc à partir d l aé d rag 9, c'st-à-dir 008, qu la dtt dépassra 000 milliards d uros. 3) O chrch x tl qu : 86,4 x + 6,3 > 683,5 86,4 x > 367 6,3 x > 04,7 86,4 Comm 04,7,79 c st à partir d l aé d rag 3, c'st-à-dir 06, qu la dtt 86,4 d l État sra l doubl d la dtt d l a 000. ES-CtrsEtragrs-jui0 corrctio Pag sur 6

3 EXERCICE (5 poits) Cadidats ayat suivi l sigmt d spécialité ) E 00 (00 + 0), la forêt possèd 50 millirs d arbrs t doc, u 0 = 50. L aé (00 + ), la forêt possèd u millirs d arbrs. O abat 5 % t doc, il rstra 0,95 u, auxquls o ajoutra 3 millirs d ouvaux arbrs. Doc, l aé ( ) il y aura 0,95 u + 3 millirs d arbrs. D où, u + = 0,95 u + 3. ) O cosidèr la suit (v ) défii pour tout tir aturl par v = 60 u. a) Pour tout tir aturl, v + = 60 u + = 60 0,95 u 3 = 57 0,95 u. v + = 0,95 ( 57 0,95 u ) = 0,95(60 u ) Aisi, v + = 0,95 v. Doc, la suit (v ) st u suit géométriqu d raiso 0,95. b) O a : v 0 = 60 u 0 = = 0. Comm la suit (v ) st géométriqu d raiso 0,95 o a : v = v 0 0,95 = 0 0,95. c) Comm v = 60 u o a : u = 60 v = , ) 05 = t u 5 = ,95 = 5,6 à 0 3 près. Doc, 05, la forêt possèdra 5 6 d arbrs. + 4) a) u + u = , ,95 = 0 0,95 ( 0,95 + ) = 0,5 0,95. b) Comm pour tout tir aturl, u + u = 0,5 0,95 ombr positif), o a : u + u > 0 pour tout tir aturl. Aisi, la suit (u ) st strictmt croissat. t 0,5 0,95 > 0 (produit d 5) O chrch tl qu : u >, u 0 u > ,95 > ,95 < 5 0,95 < 0,5 l(0,95 ) < l(0,5) l(0,95) < l(0,5) > l(0,5) car l(0,95) < 0. l(0,95) Comm l(0,5) 3,5 c st à partir d l aé 04 (00 + 4) qu l ombr l(0,95) d arbrs d la forêt aura dépassé d 0 % l ombr d arbrs d la forêt 00. 6) O a : u = ,95. Comm 0,95 ] ; [, lim (0,95) = 0 t doc, lim u = Aisi, à log trm, la forêt possèdra viro 60 millirs d arbrs. ES-CtrsEtragrs-jui0 corrctio Pag 3 sur 6

4 EXERCICE 3 (5 poits) Commu à tous ls cadidats ) Sur l smbl ds téléphos portabls, 40 % possèdt l optio GPS, doc : p(g) = 0,4 Parmi ls téléphos avc l optio GPS, 60 % ot l optio Wifi doc : p G (W) = 0,6. ) O a l arbr suivat : 3) p(g W) = p(g) p G (W) = 0,4 0,6 = 0,4 Doc, la probabilité d l évémt «l télépho possèd ls dux optios» st égal à 0,4. p(g W) 4) O a : p G (W) = p(g ) Or, comm G t G formt u partitio d l uivrs, d après la formul ds probabilités totals, o a : p(w) = p(g W) + p(g W) Doc, p(g W) = p(w) p(g W) = 0,7 0,4 = 0,46 Par suit, p G (W) = 0,46 0,6 = O obtit l arbr complété ci-cotr : p(g W) 5) p W ( G ) = = 0,46 p(w) 0,7 = 3 35 Doc, sachat qu l télépho possèd l optio Wifi, la probabilité qu il possèd pas l optio GPS st égal à ) L coût d rvit put êtr : d 8 t sa probabilité st : p(g W) = 0,4. d t sa probabilité st : p(g W ) = 0,4 0,4 = 0,6. d 6 t sa probabilité st : p(g W) = 0,46. d 0 t sa probabilité st : p(g W ) = 0, = 0,4. Aisi, la loi d probabilité du coût d rvit d cs dux optios st : Coût d rvit Probabilité 0,4 0,46 0,6 0,4 7) E = 0 0, ,46 + 0, ,4 = 9. Aisi, l coût d rvit moy d u télépho st d 9. ES-CtrsEtragrs-jui0 corrctio Pag 4 sur 6

5 EXERCICE 4 (5 poits) Commu à tous ls cadidats O cosidèr la foctio défii sur ]0 ; + [ par (x) = + l(x). O ot la courb rpréstativ d das u rpèr du pla. L poit A ( ; ) appartit à t o ot T la tagt à au poit A. L poit C st l poit d itrsctio d la tagt T t d l ax ds abscisss. L poit E a pour coordoés ( ; 0). O admttra qu sur ]0 ; + [, rst dssous d T. ) a) L poit B st l poit d itrsctio d t d l ax ds abscisss, doc l absciss du poit B st solutio d l équatio (x) = 0. Or, (x) = 0 + l(x) = 0 l(x) = x = = Doc, l poit B a pour coordoés ( ; 0). b) x l(x) l( ) l(x) + l(x) 0 Doc, pour x o a bi : (x) 0. ) a) La tagt T a pour équatio : y = () (x ) + (). Or, () = + l() = t (x) = x t doc, () = Doc, u équatio d T st : y = (x ) + soit, y = x +. ES-CtrsEtragrs-jui0 corrctio Pag 5 sur 6

6 b) L poit C st l itrsctio d la droit T avc l ax ds abscisss. Aisi, l absciss d C st tll qu : x C + = 0 x C =. Doc, l poit C a pour coordoés ( ; 0). c) O a : C ( ; 0) t E ( ; 0). L miliu du sgmt [CE] a pour coordoés x C + x E ; y C + y E = (0 ; 0) Doc, ls poits E t C sot bi symétriqus par rapport à O. O cosidèr la foctio g défii sur ]0 ; + [ par g(x) = x lx. 3) a) g(x) = u(x) v(x) avc u(x) = x t v(x) = lx Doc, g(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) avc u (x) = t v (x) = x D où, g(x) = lx + x x = + lx = (x). Doc, la foctio g st bi u primitiv d la foctio sur ]0 ; + [. b) ( + lx) dx = g() g( ) = l() l( ) d où, ( + lx) dx = + Aisi, l air d la parti du pla compris tr, l ax ds abscisss t ls droits d équatio x = t x = vaut + uités d air. 4) L air d la parti du pla compris tr la droit T, l ax ds abscisss t ls droits d équatio x = t x = st égal à : ( x + ) dx uités d air. La foctio h(x) = x + a pour primitiv H(x) = x + x. Aisi, ( x + ) dx = H() H( ) = + 3 = 3 3 Par suit, l air grisé vaut : ( x + ) dx ( + lx) dx = 3 D où, l air grisé vaut 3 0,598 uité d air. 3 ES-CtrsEtragrs-jui0 corrctio Pag 6 sur 6