Fonctions convexes et concaves. 7. Programmation non linéaire. Fonctions convexes et concaves. Fonctions convexes et concaves

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1 Foctos covees et cocaves IFT575 Modèles de recherche opératoelle RO 7. Proraato o léare Sot et de pots das R Le seet de drote oat ces de pots est l eseble des pots λ - λ - λ où λ ε [] Ue focto f est covee s tot pot sr le seet de drote oat f et f se trove a desss d raphe de f : fλ - λ λf - λf por tote pare de pots 7. Proraato o léare Foctos covees et cocaves Foctos covees et cocaves S cette éalté est strcte la focto f est dte strcteet covee S o replace par das cette éalté la focto f est dte cocave : fλ - λ λf - λf por tote pare de pots S cette derère éalté est strcte la focto f est dte strcteet cocave 7. Proraato o léare 3 7. Proraato o léare 4

2 Tests de coveté et de cocavté Spposos qe f est e focto de fos dérvable d e sele varable f est covee ss d f d f est strcteet covee ss d f > d f est cocave ss d f d f est strcteet cocave ss d f < d 7. Proraato o léare 5 Tests de coveté et de cocavté Spposos qe f est e focto de fos dérvable de de varables Das ce cas o tlse le tablea svat : f f f f f. Covee Strct. covee > > > Cocave Strct. cocave < < > 7. Proraato o léare 6 Tests de coveté et de cocavté Ces tests se ééralset à des foctos de pls de de varables e tlsat le Hesse la atrce des dérvées secodes De résltats portats por tester la coveté et la cocavté de foctos qelcoqes : Ue focto q s epre coe la soe de foctos covees cocaves est covee cocave L opposé d e focto cocave est covee et vce-versa Vor appedce H&L et TP 9 por des eeples Esebles covees U eseble est covee s por tote pare de pots de l eseble le seet de drote oat ces de pots est cote das l eseble O pet déotrer q eseble est covee râce a proprétés svates : S f est covee alors { f b} est covee S f est cocave alors { f b} est covee L tersecto d eseble covees est covee 7. Proraato o léare 7 7. Proraato o léare 8

3 Proraato o léare U odèle de proraato o léare pred la fore svate : af b... O sppose q a os e des foctos f et est o léare E ééral o sppose ass qe totes ces foctos sot de fos dérvables 7. Proraato o léare 9 Eeple O odfe l eeple Wydor Glass sect. e replaçat certaes cotrates par e cotrate o léare az Voyos coet o pet représeter ce problèe raphqeet 4 7. Proraato o léare Eeple ste Eeple ste O rearqe qe l obectf est cocave car léare et qe le doae réalsable est covee : c est odèle de proraato covee Ic la solto optale est sr la frotère d doae réalsable as e correspod pas à co l tersecto de de cotrates Résolto par Ecel : Eeple_NL.ls 7. Proraato o léare 7. Proraato o léare 3

4 Eeple Eeple ste O odfe ecore l eeple Wydor Glass sect. as cette fos e replaçat l obectf léare par e focto o léare az Proraato o léare 3 7. Proraato o léare 4 Eeple ste O rearqe qe l obectf est cocave et qe le doae réalsable est covee : c est ass odèle de proraato covee Ic la solto optale 8/35 est sr la frotère d doae réalsable as e correspod pas à pot etrêe d doae réalsable Résolto par Ecel : Eeple_NL.ls Eeple 3 U eeple seblable a précédet avec e focto obectf toors cocave as dfférete az Proraato o léare 5 7. Proraato o léare 6 4

5 Eeple 3 ste Eeple 3 ste 7. Proraato o léare 7 Il s at à ovea d odèle de proraato covee Ic la solto optale 33 est à l térer d doae réalsable La focto obectf est la soe de de foctos d e sele varable S o ale les dérvées de chace de ces foctos o obtet la solto qe 33 q se trove à l térer d doae : c est doc écessareet la solto optale Résolto par Ecel : Eeple3_NL.ls 7. Proraato o léare 8 Eeple 4 Eeple 4 ste U eeple seblable a preer as o trodt e cotrate o léare q déft doae réalsable o covee az Proraato o léare 9 7. Proraato o léare 5

6 Eeple 4 ste Das ce odèle de proraato o covee o rearqe la présece de de aa loca : est a local s f f por tot réalsable sffsaet près de 43 et 7 sot des aa loca as 7 est le a lobal : f f por tot réalsable Les éthodes classqes de proraato o léare perettet d detfer a local as pas écessareet le a lobal! Proraato covee : a local lobal Résolto par Ecel : Eeple4_NL.ls 7. Proraato o léare Optsato sas cotrate O cosdère le cas d odèle de proraato o léare das leqel l y a ace cotrate : af... O pet alors otrer qe : s... est a local alors f... e E d atres ots lorsqe la dérvée s ale e pot doé ce pot pet être a local Il pet ass être : local o pot de selle 7. Proraato o léare Optsato sas cotrate ste Par cotre s f est cocave pot où la dérvée s ale est écessareet a lobal De pls s f est strcteet cocave tel a lobal est ass qe So qe fare por trover a lobal? Idetfer tos les aa loca Idetfer cel de pls rade valer Vérfer qe la focto est borée spérereet so l y a pas de a lobal! Problèe : detfer tos les aa loca pet être dffcle!!! 7. Proraato o léare 3 Méthode de la bsecto O cosdère d abord le cas le pls sple : la focto obectf coporte e sele varable O sppose qe f est cocave O pet otrer alors qe s est e solto optale l este a et b tels qe a b et df < s< a d df s d df > s> b d 7. Proraato o léare 4 6

7 Méthode de la bsecto ste S f est strcteet cocave : a b Méthode de la bsecto ste O fe d abord e bore férere por laqelle la dérvée e ce pot est > s O détere éaleet e bore spérere por laqelle la dérvée e ce pot est < S les de bores e sot pas sffsaet près l e de l atre o pred le pot le etre les c de bores coe pot caddat c c S la dérvée e est o pose c c S la dérvée e est o pose O tère à ovea tat qe est pas sffsaet pett 7. Proraato o léare 5 7. Proraato o léare 6 Méthode de la bsecto ste. Idetfer des bores férere et spérere tales et c. Déterer le pot caddat : / c c 3. S la dérvée e est : c c 4. S la dérvée e est : 5. S ε où ε est obre sffsaet pett arrêter; so retorer à l étape 4 6 Eeple : f 3 Eécter l alorthe avec IOR Ttoral 7. Proraato o léare 7 Méthode d radet Cosdéros e focto cocave f de plsers varables Le radet de f a pot est déf as : f f f f '... e ' O pet otrer qe le radet correspod à e drecto d aetato de la valer de f Das la éthode d radet o se déplace das la drecto d radet e tetat d aeter a a la valer de l obectf 7. Proraato o léare 8 7

8 Méthode d radet ste À partr d pot tal o effecte déplaceet das la drecto d radet vers ovea pot : ' t f ' Das cette forle t est la solto d problèe de asato svat : a f ' t f ' t C est problèe de asato d e focto cocave d e sele varable : o pet doc le résodre par la éthode de la bsecto O pose et o tère as sq à ce qe le radet s ale o presqe 7. Proraato o léare 9 Méthode d radet ste. Déterer e solto tale. Résodre le problèe svat : a f ' t f ' t 3. Sot t la solto optale : ' ' t f ' 4. S f ' ε... où ε est obre sffsaet pett arrêter; so retorer e Eeple : f Eécter l alorthe avec IOR Ttoral 7. Proraato o léare 3 Optsato sos cotrates Eeple avec cotrate Das le cas d odèle de proraato o léare sas cotrate os avos v la codto d optalté svate : s... est a local alors f... e Cette codto est pls valable lorsq l y a des cotrates car e solto optale pet se trover sr la frotère d doae réalsable 7. Proraato o léare 3 7. Proraato o léare 3 8

9 9 7. Proraato o léare 33 Codtos d optalté Avec e cotrate de la fore les codtos d optalté s éocet as : s est a local alors Mas qelles sot ces codtos das le cas ééral où les cotrates sot de la fore : Elles s epret e focto des ltplcaters de Larae assocés à chaqe cotrate > s e s e f... b Proraato o léare 34 Codtos KKTKarsh-Kh-Tcker S est a local alors l este obres tels qe b b f f e... e Proraato o léare 35 Codtos KKT : eeple D abord l est facle de vérfer qe les ltplcaters de Larae assocés a cotrates de o éatvté dovet être ls O pet doc cosdérer q l y a q e sele cotrate avec O assoce à cette cotrate ltplcater Otre les cotrates de o éatvté o a alors les codtos svates 3 l a f 3 et b 7. Proraato o léare 36 Codtos KKT : eeple ste O obtet Psqe o e dédt Doc 3 3 <

10 Codtos KKT : eeple ste Psqe o a 3 D où 3 Psqe o dédt Les codtos KKT sot doc satsfates e sel pot : 3 Il s at be d a lobal car la focto obectf est cocave et le doae réalsable est covee odèle de proraato covee 7. Proraato o léare 37