Mesure de l incertitude tendancielle sur la mortalité Application à un régime de rentes en cours de service

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1 Mesure de l inceriude endancielle sur la moralié Applicaion à un régime de renes en cours de service - Frédéric PLANCHET (Universié Lyon, Laboraoire SAF, Winer & Associés) - Marc JUILLARD (Winer & Associés) Laboraoire SAF 50 Avenue Tony Garnier Lyon cedex 07 hp://

2 Auhor manuscrip, published in "Assurances e Gesion des Risques 75, 3 (007)...0" MESURE DE L INCERTITUDE TENDANCIELLE SUR LA MORTALITE APPLICATION A UN REGIME DE RENTES EN COURS DE SERVICE Frédéric PLANCHET Marc JUILLARD ISFA Laboraoire SAF Universié Claude Bernard Lyon 50 avenue Tony Garnier LYON FRANCE WINTER & Associés 8, avenue Félix Faure Lyon France RESUME L objecif de ce ravail es de proposer un modèle réalise e opéraionnel pour mesurer le «risque de dérive» associé à la consrucion de ables de moralié prospecives. Une applicaion du modèle à l évaluaion de l engagemen d un engagemen de reraie es proposée. Le modèle présené es consrui sur la base d un modèle de Lee-Carer. Les ables prospecives sochasiques son obenues en modélisan l inceriude aachée au paramère endanciel du modèle. MOTS-CLEFS : Tables prospecives, exrapolaion, lissage, renes viagères, moralié sochasique. ABSTRACT The aim of his paper is o propose a realisic and operaional model o quanify he sysemaic risk of moraliy included in an engagemen of reiremen. The model presened is buil on he basis of model of Lee-Carer. The sochasic prospecive ables hus buil make i possible o projec he evoluion of he random moraliy raes in he fuure and o quanify he sysemaic risk of moraliy. KEYWORDS : Prospecive ables, exrapolaion, adjusmen, life annuiies, sochasic moraliy. Juille 007 version.5 fplanche@winer-associes.fr - -

3 SOMMAIRE. Inroducion Le modèle de moralié Présenaion Applicaion numérique Applicaion à un régime de renes viagères Problémaique Résulas Conclusion

4 . INTRODUCTION Les analyses prospecives de moralié conduisen à aniciper les évoluions fuures des aux de décès aux différens âges. Dans les modèles mainenan classiques de consrucion de ables prospecives, comme le modèle de Lee-Carer (voir noammen LEE e CARTER [99], LEE [000], SITHOLE e al. [000]) ou les modèles poissoniens (cf. BROUHNS e al. [00] e PLANCHET e THEROND [006] pour une présenaion e une discussion de ces modèles), la dérive de moralié fuure es anicipée à parir des observaions passées. Même en admean qu il es légiime de prolonger dans les années à venir les endances observées par le passé (on pourra se reporer à CAREY e TULAPURKAR [003] pour des analyses inégran des considéraions biologiques e environemenales, ainsi que GUTTERMAN e VANDERHOOF [999] pour une discussion sur ce poin), plusieurs sources d inceriude viennen perurber la déerminaion de la endance fuure : choix de la période d observaion, flucuaions sochasique des aux de moralié, événemens excepionnels, ec.. Cee inceriude fai peser sur les assureurs de renes viagères e les régimes de reraie un risque sysémaique (non muualisable) don l impac financier peu êre rès imporan. Ainsi, en France, la récene acualisaion des ables uilisées par les assureurs pour le provisionnemen des renes viagères illusre les difficulés d une elle anicipaion e les enjeux financiers associés : par rappor aux ables TPG 993 en vigueur jusqu au 3//006, les nouvelles ables TGH 05 e TGF 05 qui enren en vigueur le 0/0/007 conduisen à des majoraions de provision parfois supérieures à 0%, comme l illusre le ableau suivan : Age Généraion TPG 993 Femmes Femmes / TPG Hommes Hommes / TPG ,8647 8,4055 5,9% 6, ,% ,6368 5, ,0% 4, ,8% ,5083 3,3085 8,3%,588 -,% ,534 0, ,0% 8,6 -,7% , ,89,3% 5,0877 -,0% ,5679 4, ,9%, ,6% ,3594 0,967 7,% 9,890 -,4% , ,5548 8,5% 6,6487-3,4% ,9330 5, ,5% 4, ,9% , ,9408 3,8% 3,4009 -,9% Fig. : Comparaison des coefficiens de provisionnemen TPG 993 e TGH/TGF 05 Dans ce conexe il apparaî opporun de rechercher à mesurer le risque associé à cee erreur Tables obenues sur la base de la moralié de la populaion féminine sur la période , uilisées depuis le er juille

5 d anicipaion e de quanifier son impac en erme de provisions pour un régime de reniers. On uilise pour cela dans la présene éude le modèle de Lee-Carer (voir noammen LEE e CARTER [99], LEE [000], SITHOLE e al. [000]) pour consruire une surface de moralié μ ( x, ). Après un ajusemen des aux passés, les aux de moralié pour les années fuures se déduisen classiquemen de l exrapolaion de la composane emporelle. On peu noer que l uilisaion de la variane log-poisson (cf. BROUHNS e al. [00]) conduirai à des résulas rès proches, qui ne seron pas repris ici. A parir de ce modèle de référence, on propose un modèle sochasique de moralié en considéran que le aux de moralié fuur μ ( x, ) es lui-même aléaoire, e que donc μ ( x, ) es un processus sochasique (comme foncion de à x fixé). L aléa es inrodui de manière à capurer l inceriude sur l esimaion de la endance fuure de la composane emporelle des aux de moralié. Après avoir consrui un jeu de ables prospecives sur des données naionales à l aide de ce modèle, nous l uilisons pour calibrer l inceriude sur la dérive anicipée e appliquons le modèle ainsi obenu pour déerminer la disribuion de l engagemen d un régime de renes. Les conséquences en erme d anamyse du risque pesan sur le régime e de provisionnemen son examinées. Le présen aricle complèe l analyse présenée dans PLANCHET e al. [006], auquel le leceur pourra se référer pour les déails méhodologiques des modèles de base.. LE MODELE DE MORTALITE.. PRESENTATION Le modèle reenu pour consuire les ables prospecives es un modèle sochasique adapé du modèle de Lee-Carer (LEE e CARTER [99]). On rappelle que la modélisaion proposée pour le aux insanané de moralié dans Lee-Carer es la suivane : ln μ x α x β x k ε x = + +, () en supposan les variables aléaoires ε x indépendanes, ideniquemen disribuées selon une loi ( 0, σ ) N e que l on dispose d un hisorique m M. La quesion de l ajusemen des paramères du modèle n es pas abordée ici. Le leceur inéressé pourra se reporer aux nombreuses références sur le suje (ciées par exemple dans PLANCHET e THEROND [006])

6 Une fois ajusée la surface de moralié sur les données passées, il rese à modéliser la série ( k ) pour exrapoler les aux fuurs ; pour cela, on uilise la modélisaion la plus simple que l on puisse imaginer, une régression linéaire en supposan une endance affine : * k = a + b + γ, () avec ( γ ) un brui blanc gaussien de variance σ γ. On obien ainsi des esimaeurs â e ˆb qui permeen de consruire des surfaces projeées en uilisan simplemen * ˆ ˆ k = a+ b. Afin de simplifier l écriure des formules à venir, on pose τ = + m e T = M m +, ce qui condui aux expressions : avec k = kτ = k T T T + k k ˆ T τ τ a = T e ˆ T + b = k aˆ,. De plus, le veceur ( ˆ, ˆ) d espérance ( ab, ) e de variance : T + σ γ Σ= T( T ) T + ( T + )( T + ) 6 (3) ab es disribué selon une loi normale (4) On peu donc consruire des réalisaions de la moralié fuure en effecuan des irages dans la ab ˆ, ˆ *. La variable E k = k. On obien alors loi du veceur ( ) des réalisaions des aux insananés de sorie via : k * ainsi obenue es elle que ( ) ( k ) * * x exp x x μ = α + β. (5) Comme * ˆ ˆ k = a+ bes une variable gaussienne d espérance k = a+ b e de variance : σγ τ ( ) ( T+ )( T+ ) σ = τ τ( T+ ) +, TT (6) - 5 -

7 on noe que : ( ) * * ( ) ( ) β exp exp xσ E μ x = E αx + βxk = αx + βxk +, (7) e donc : E * ( ) β exp xσ μ x = μ x > μx. (8) Le modèle sochasique a donc endance à suresimer les aux de sorie par rappor à la surface de référence fournie par le modèle de Lee-Carer. Compe enu du nore objecif de «perurber» la surface de moralié, mais sous l hypohèse que celle-ci définie correcemen la endance fuure espérée des aux insananés de décès cee propriéé du modèle es pénalisane e il convien d adaper l approche proposée. PLANCHET e al. [006] proposen une version corrigée du biais du modèle définie par : μ α β * β * exp xσ x = x + xk * Cee version du modèle saisfai par consrucion E ( μx) x (9) = μ. Elle apparaî donc cohérene avec l objecif recherché. Touefois, on peu lui reprocher de déformer de manière arbiraire la disribuion des aux sochasiques ; en effe, si le modèle k * = a ˆ + bˆ es perinen, alors les aux de sorie * * * μ x réellemen observés seron bien issus du modèle μx exp ( αx βxk ) non de la version corrigée du biais. = + e On uilise ici une approche différene e a priori plus naurelle consisan à uiliser comme surface de référence déerminise la surface moyenne du modèle sochasique, soi E * ( ) β exp xσ μ x = αx + βxk +. En effe, si le mécanisme aléaoire don son issus les aux de décès es bien associé à k * ˆ ˆ = a+ b, alors la moralié de référence déerminise es bien définie par la surface moyenne ci-dessus, e non plus par la surface de Lee-Carer

8 .. APPLICATION NUMERIQUE On présene ici les résulas obenus ou d abord sur la famille de ables prospecives proposée puis, dans un second emps, les conséquences en erme de valorisaion de l engagemen du régime de renes. La able prospecive uilisée dans cee éude es celle uilisée dans PLANCHET e al. [006] ; elle es consruie à parir des ables du momen fournies par l INED dans MESLE e VALLIN [00] e condui à la surface de moralié Lee-Carer suivane : Fig. : Surface de moralié ajusée par Lee-Carer La surface de référence ajusée de nore modèle sochasique es présenée sur le graphe cidessous : Ces ables son disponibles sur hp://

9 Fig. 3 : Surface de moralié de référence du modèle sochasique On remarque que la différence enre les deux graphes es rès faible car du fai de la faible βσ valeur des coefficiens β x, exp x es proche de. En ce qui concerne le vole prédicif du modèle, nous obenons sur nos données : b = , a = e σ γ = σ b =.8058, σ a = e σ = Une cenaine de irages de rajecoires de k perme d obenir le graphe suivan : Année Fig. 4 : Simulaion de rajecoires de la endance - 8 -

10 On consae sur le graphe que les différenes rajecoires simulées de k prennen quasimen la même valeur en 006. Ceci monre que le modèle ire sa volailié de la dérive de la moralié e non d un sau brual de moralié enre 005 e 006. Si l on cherche à comparer la volailié de la dérive emporelle modélisée dans ce aricle avec celle du modèle uilisé dans PLANCHET e al. [006], on obien le graphe suivan : K Fig. 5 : «couloir de variaion» de la endance Alors que dans PLANCHET e al. [006] le modèle uilisé ne prenai en compe que l oscillaion de la dérive emporelle k auour de sa moyenne, le modèle acuel simule l erreur d ajusemen qui a pu êre faie sur la dérive emporelle passée. Si dans PLANCHET e al. [006] les différenes rajecoires de k éaien siuées enre deux droies parallèles délimian le couloir de variaion de la endance à 95 %, on consae sur le graphique ci-dessus que les rajecoires de la dérive emporelle son siuées enre deux droies s éloignan l une de l aure avec le emps. Les variaions de la endance emporelle e celles du aux insanané de moralié éan comparables, le graphique ci-dessus radui l hypohèse du modèle : la moralié sochasique ire sa volailié non pas des flucuaions annuelles qui, comme nous l avons démonré dans PLANCHET e al. [006] resen faibles, mais pluô de la dérive aléaoire de la moralié qui n es vraimen observable que dans le fuur

11 3. APPLICATION A UN REGIME DE RENTES VIAGERES 3.. PROBLEMATIQUE Dans la suie, nous uiliserons pour les applicaions numériques un porefeuille consiué de 374 reniers de sexe féminin âgés en moyenne de 63,8 ans au 3//005. La rene annuelle moyenne s élève à 5,5 k. Avec un aux d escompe des provisions de,5 %, la provision mahémaique iniiale, s élève à 37,9 M avec la able prospecive déerminée supra. Nous noerons dans la suie de l aricle : L0 le monan des provisions mahémaiques à la dae iniiale, F ~ le flux de presaion (aléaoire) à payer à la dae, i le aux (discre) d escompe des provisions mahémaiques, J l ensemble des individus, x(j) l âge en 0 de l individu j e r j le monan de sa rene annuelle. La problémaique es décrie de manière déaillée dans PLANCHET e al. [006] ; nous reiendrons ici que l on s inéresse à la loi de du monan de l engagemen du régime : Λ= F + i = r * T (0) ( ) = = ( + i) j J ] ; [( ( )) j x j qui es une variable aléaoire elle que E( Λ ) = L0 avec = F ( + ) 0 i = L. Lorsque la moralié fuure es connue (déerminise), l analyse de la loi de Λ revien à mesurer les flucuaions d échanillonnage qui es associé au «risque de volailié» el que décri dans la modélisaion proposées par les QIS e 3 par exemple (cf. CEIOPS [006]). Dans le conexe d une moralié sochasique, cee analyse nous fourni un moyen de quanifier le risque sysémaique qui vien s ajouer à ce risque de base : ici nous pourrons donc mesurer ainsi le risque associé au choix de la dérive. La méhode reenue consise à simuler les durées de survie des reniers, Tx ( j ), j J, à calculer des réalisaions λ,..., λ n de Λ puis à déerminer la foncion de répariion empirique de l engagemen

12 La provision L 0 es approchée par N N ( λ L ) N λ = λ N n = n. La variance de l engagemen es esimée par n 0 ; on calcule égalemen le coefficien de variaion empirique : n= cv = N N n= N N ( λ L ) n= n λ n 0, () qui fourni un indicaeur de la dispersion de l engagemen e dans une ceraine mesure de sa «dangerosié». 3.. RESULTATS La disribuion empirique de l engagemen, représenée ici avec la disribuion de référence dans le cas déerminise (avec irages) es présenée ci-dessous : Fréquence.00%.80%.60%.40%.0%.00% 0.80% 0.60% 0.40% 0.0% 0.00% Monan Sochasique Fig. 6 : deerminise Disribuion empirique de l engagemen Les résulas déaillés son repris ci-après : - -

13 Déerminise surface Lee Carer Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion,65 %,65 %,70 % On remarque ou d abord que la modificaion de la surface de référence uilisée dans PLANCHET e al. [006] n a pas d impac. Ceci es du au fai déjà observé que pour ou x e βσ pour ou exp x es proche de. Sur un porefeuille de peie aille, l impac de la moralié sochasique sur l engagemen n es pas rès imporan. En effe le coefficien de variaion de l engagemen sochasique n es que,9 % plus élevé que celui de l engagemen déerminise. Cependan comme nous l avions monré dans PLANCHET e al. [006] la aille du porefeuille es un paramère imporan à prendre en compe. En effe si le niveau absolu de risque sysémaique ne dépend pas de la aille du porefeuille, il n en va pas de même pour le risque muualisable. La par de variance expliquée par la composane sochasique de la moralié augmene donc avec la aille du porefeuille ; afin de mesurer ce effe, on consrui un porefeuille ficif en répliquan le porefeuille de base n fois. En observan que l on obien ainsi une décomposiion de l engagemen oal Λ en la somme de n variables i.i.d. () ( n) Λ,.., Λ on rouve que : () V E( ) ΛΠ = n V E Λ Π e E V( ) () Λ Π = ne V Λ Π, () ce qui condui, avec des noaions évidenes, à : ωn = + n ω, (3) avec suivans : V ω = E V ( ΛΠ) [ Λ]. Si l on muliplie le porefeuille par 30 on obien les résulas - -

14 Fréquence Monan Deerminise Sochasique Fig. 7 : Disribuion empirique de l engagemen (aille x30) Les résulas déaillés son repris ci-après : Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion 0,30 % 0,49 % La prise en compe de la moralié sochasique augmene le coefficien de variaion de 63 %. Dans une approche «valeur à risque» (VaR), on rouve que le quanile à 75 % de la disribuion de l engagemen es de 4 M dans le cas sochasique, ce qui es supérieur à la valeur obenue dans le cas déerminise, soi 40 M. En d aures ermes, la prise en compe du risque de dérive condui ici (en suivan une approche VaR pour le calcul de la provision) à augmener le monan provisionné de 0,7 %. La prise en compe du risque de dérive a égalemen pour conséquence de doubler l imprécision dans l évaluaion de l engagemen 3 qui, au niveau de confiance de 95 %, passe de 0,7 % environ à près de,3 % 3 L imprécision es mesurée par la demi-longueur relaive de l inervalle de confiance à 95 %

15 Le graphique du «couloir de variaion» de la endance ayan mis en évidence le faible impac de la dérive de la moralié dans le fuur proche, le coefficien d acualisaion va jouer un rôle imporan dans la volailié de la disribuion de l engagemen. En effe l engagemen sochasique ire sa volailié des renes qui von êre servies pendan longemps. Or plus la rene à une durée de vie imporane, plus le coefficien d acualisaion qui s y applique es imporan. En fixan le aux d acualisaion à 0 on obien les résulas suivan : Fréquence Deerminise Monan Sochasique Fig. 8 : Disribuion empirique de l engagemen (aux echnique nul) Les résulas déaillés son repris ci-après : Déerminise Sochasique Espérance Ecar-ype Borne inférieure de l'inervalle de confiance Borne supérieure de l'inervalle de confiance Coefficien de variaion 0,38 % 0,65 % En prenan un aux echnique nul on augmene le coefficien de variaion de l engagemen déerminise de 7 % e le coefficien de variaion de l engagemen sochasique de 33 %. Ainsi la prise en compe de la moralié sochasique indui une plus grande sensibilié de l engagemen au aux d acualisaion

16 4. CONCLUSION Dans PLANCHET e al. [006] nous avions mis en évidence le fai que l évaluaion de l engagemen d un régime de reniers, l aléa associé aux flucuaions des aux de décès fuurs auour de leur endance n avai qu un faible impac que l on pouvai légiimemen négliger. Le modèle mis en œuvre ici perme de monrer que, si ces régimes son pariculièremen sensibles au risque d erreur de spécificaion de la endance fuure, l inceriude sur ce poin incluse dans les données passées ne suffi pas à expliquer les évoluions récenes observées. Incidemmen, on insisera sur le fai que l on a fai ici le choix de modéliser l aléa sur la endance fuure de moralié à parir des seules flucuaions du paramère emporel k ; cee approche es jusifiée par le fai que l on cherche à idenifier la volailié des aux de décès non associée aux flucuaions d échanillonnage. Compe enu des effecifs rès imporans du groupe uilisé pour consruire les ables uilisées ici (la populaion française), on peu en effe considérer qu il n y a plus de flucuaions d échanillonnage significaives dans l esimaion des aux brus 4 e que donc il es légiime de considérer la surface passée fixe. Une approche alernaive consiserai à prendre en compe globalemen l inceriude sur le θ = α, β,k pour générer des surfaces de moralié. Cee démarche es paramère vecoriel ( ) echniquemen simple à mere en œuvre à la condiion d uiliser la variane log-poisson du modèle de Lee-Carer, dans laquelle l esimaion de θ es effecuée par maximum de vraisemblance, puisque, alors, on peu déerminer l informaion de Fischer associée e uiliser la normalié asympoique de l esimaeur 5. Touefois, elle nous semble moins perinene dans le cas présen, nore objecif éan d isoler le risque associé à une inceriude srucurelle sur les aux e non à une inceriude d esimaion. En conclusion, on peu reenir que le régime de rene es par conre soumis à un risque de modèle imporan. Il es ainsi possible de reformuler les conséquences du passage des ables TPG 993 aux ables 6 TGH 05 évoquées en inroducion en rapprochan l évoluion anicipée de l espérance de vie à 60 ans dans les deux modèles prospecifs. On obien ainsi : 4 Sur les adapaions du modèle de Lee-Carer au cas de peis échanillons pour lesquels cee hypohèse n es plus vérifiée, on pourra se reporer à PLANCHET e LELIEUR [006]. 5 Voir par exemple HAAS [006] pour une uilisaion de cee approche dans le cas de swaps de moralié. 6 On rappelle que les TPG 993 son des ables féminines

17 00,00 98,00 96,00 94,00 9,00 y = 0,47x + 90,396 Age 90,00 88,00 y = 0,89x + 87,46 86,00 84,00 8,00 80, Généraion TGF05 TPG993 Linéaire (TGF05) Linéaire (TPG993) Fig. 9 : Evoluion anicipée de l espérance de vie à 60 ans On observe que non seulemen les niveaux absolus diffèren sensiblemen, mais égalemen que la viesse de croissance de l espérance de vie à 60 ans a éé sensiblemen sous-esimée en 993 : alors que les TPG 993 anicipen une augmenaion de,4 mois par an, les ables TGF 05 prévoien une dérive de,8 mois par an, soi 3 % de plus. Ceci illusre la difficulé à aniciper la endance de dérive de la moralié fuure à parir de données hisoriques 7. Dans ce conexe, on peu imaginer d uiliser comme paramère de conrôle du modèle, en le fixan comme une conraine ex ane par exemple l espérance de vie à un âge donné (60 ans) e son évoluion fuure. Cee approche, développée dans PLANCHET [007], perme de quanifier par exemple l impac sur les charges du régime d une erreur de 0, mois/an sur la viesse de dérive de cee espérance e d inégrer expliciemen des indicaeurs de l impac sur l évaluaion de l engagemen du régime d une erreur de modèle. Le modèle proposé dans PLANCHET [007] perme ainsi de proposer une valorisaion de la charge associée au risque de longévié à environ 6 % de la provision mahémaique des renes. Ce ordre de grandeur es à rapprocher du aux de 0,7 % que l on dédui de l inceriude associée au caracère sochasique «endogène» de la moralié dans le modèle de Lee-Carer ou ses varianes. On peu enfin rappeler que ce ype d approche fourni un cadre opéraionnel pour répondre aux exigences des fuures disposiions Solvabilié (e égalemen dans le conexe de l IFRS 4 phase, quoi que sur ce poin les normes compables soien moins exigeanes). 7 Les populaions de référence uilisées pour les séries de ables diffèren, mais on obiendrai les même conclusions en uilisan des ables prospecives INSEE à la place des TGF

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