L ensemble des nombres complexes

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1 Université Pierre et Marie Curie M00 L ensemble des nombres complexes Définition de C Un nombre complexe z est déterminé par deux nombres réels x et y que l on appelle partie réelle de z et partie imaginaire de z. On le représente formellement sous la forme z = x + iy. Définition. L ensemble des nombres complexes, noté C, est défini par: C := {x + iy, (x, y) R }. Soit z = x + iy C. i) x est appelé partie réelle de z, notée Re(z). ii) y est appelé partie imaginaire de z, notée Im(z). Les nombres complexes se représentent sur le plan R. Le point z est représenté par le point de coordonnées (Re(z), Im(z)). Les points de partie imaginaire nulle sont les réels. La droite réelle est représentée par la droite d équation Im(z) = 0. C est l axe des x. Les points de partie réelle nulle sont les imaginaires purs. Ils sont représentés par la droite d équation Re(z) = 0. C est l axe des y. imaginaires purs Im(z) i 0 Re(z) z = 3 + i droite réelle Proposition. (Règles de calcul). Pour z = x + iy et z = x + iy, on définit: i) z + z = (x + x ) + i(y + y ) ii) zz = (xx yy ) + i(xy + x y) (En particulier, i = ). iii) Si λ R, λz = (λx) + i(λy). On remarque donc que Re(z + z ) = Re(z) + Re(z ) et Im(z + z ) = Im(z) + Im(z ). On peut démontrer que l addition et la multiplication satisfont toutes les propriétés usuelles de l addition et de la multiplication réelles. On peut aussi définir la soustraction et la division sur C.

2 Une grande différence avec les réels est que le carré d un nombre complexe n est pas en général un réel positif. Il peut être négatif (par exemple i = ) ou ne pas être réel (par exemple ( + i) = i). Définition. Soit z C. Le conjugué de z, noté z, est le nombre Re(z) iim(z). C est le symétrique du point z par rapport à la droite réelle. On a z = z si et seulement si z R. On a z = z si et seulement si z est un imaginaire pur. On a aussi: Re(z) = z + z Im(z) = z z i Propriétés. (i) Le conjugué de z est z. (ii) z + z = z + z et zz = zz. (iii) Si n est un entier, n, alors z n = (z) n. (iii) Si z 0, ( ) = /z. z Preuve. (i) et (ii) se vérifient par calcul d après la définition. (iii) vient du fait que z.z }{{... z} = n fois z.z }{{... z}. (iv) vient du fait que: z z =, donc en passant au conjugué ( ) z z =, puis en divise par n fois z des deux côtés. Remarque. On a zz = x + y. Cela permet de calculer l inverse de z. On écrit z = z zz = x iy x + y = x x + y i y x + y Définition. (Forme polaire). i) On appelle module ou norme du nombre complexe z = x + iy le nombre réel positif, noté z, défini par z = x + y = zz. ii) On appelle argument de z = x + iy 0 un réel θ tel que cos(θ) = x z, sin(θ) = y z. L argument de z est défini modulo π. iii) Le nombre complexe z = x + iy 0 s écrit alors de façon unique: z = z (cos(θ) + i sin(θ)). Dans la suite, nous verrons qu on peut l écrire plus brièvement z = z e iθ.

3 Soit z un nombre complexe. Si on trace le segment allant de z à l origine, le module de z est sa longueur, et l argument de z est l angle qu il forme avec la droite réelle. Le module et l argument de z caractérisent z: c est la représentation de z en forme polaire. Pour z = 3 + 3i, on calcule son module r = = 3. On cherche ensuite son argument: on doit trouver θ tel que cos(θ) = 3 Il vient cos(θ) = sin(θ) = prendre θ = π 4. 3 et sin(θ) = 3 3. et on peut donc 3 = r θ = π 4 z = 3 + 3i Le module prolonge la valeur absolue sur R (le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue). C est pourquoi on garde la même notation. Le module hérite des mêmes propriétés que la valeur absolue. Proposition. Soit z, z C. (i) z = 0 z = 0. (ii) z = z. (iii) zz = z z. (iv) z z z + z z + z. Preuve. (i) Si z = 0, on a Re(z) = 0 et Im(z) = 0 donc z = = 0. Prouvons l autre sens. Si z = 0, on a z = 0. Par définition, z = Re(z) +Im(z). La somme de deux nombres positifs est nulle si et seulement si ces deux nombres sont nuls. Donc Re(z) = Im(z) = 0, ce qui implique que Re(z) = Im(z) = 0 donc z = 0. (ii) cela vient de la définition du conjugué. (iii) zz = zz zz = zz zz = zzz z = zz z z = z z. (iv) On va juste montrer que z +z z + z. L autre inégalité est une conséquence de cette inégalité. Comme tout est positif il est équivalent de montrer que z + z ( z + z ) = z + z + z z. On remarque que z + z = (z + z )z + z = zz + z z + zz + z z = z + z + zz + z z. On doit donc montrer que zz + z z z z. On observe que zz + z z = Re(zz ). Or pour tout nombre complexe u, Re(u) u. Donc Re(zz ) zz = z z ce qu il fallait montrer. Exponentielle complexe On connaît l exponentielle d un réel, noté e x. On va étendre la définition de l exponentielle à un nombre complexe z. Définition. Soit z C, s écrivant z = x + iy. On définit l exponentielle de z par e z := e x (cos(y) + i sin(y)). Remarque. On a e z = e x et Arg(e z ) = y mod π. 3

4 i = e i π z = e iθ On a e iθ = cos(θ) + i sin(θ). Les nombres complexes {e iθ, θ R} sont les nombres complexes de module. Ils forment le cercle de rayon centré en l origine, qu on appelle aussi cercle trigonométrique. L argument de e iθ est θ. = e iπ θ = e iπ i = e i 3π Si z est un nombre complexe de module r et d argument θ, il peut s écrire sous la forme z = r(cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ. Cette écriture s appelle écriture polaire de z (l écriture z = x + iy étant elle appelée écriture cartésienne de z). Réciproquement, si z = re iθ avec r un réel positif et θ un réel, alors le module de z est r et un argument de z est θ (si z est non nul). r θ z = re iθ Proposition. (i) Pour z, z C, e z+z = e z e z. (ii) Pour z C, et n un entier, e nz = (e z ) n. (iii) Pour z C, e z 0 et e z = e. z (iv) On a e z = e z. Preuve. (i) On écrit z = x + iy et z = x + iy. Alors, par définition, e z+z = e x+x (cos(y + y )+i sin(y +y )). Dautre part, e z e z = e x (cos(y)+i sin(y))e x (cos(y )+i sin(y )). On développe et on utilise les formules de trigonométrie cos(y + y ) = cos(y) cos(y ) sin(y) sin(y ) et sin(y + y ) = cos(y) sin(y ) + sin(y) cos(y ). On vérifie qu il y a bien égalité. (ii) On utilise que exp(nz) = exp z } + z {{... + z } = e} z.e z {{... e} z. (iii) On a e z e z = e 0 =. Cela implique que e z n est jan fois n fois 4

5 mais nul. Puis on divise les deux côtés par e z. (iv) On vérifie grâce à la formule e x+iy = e x (cos(y) + i sin(y)). Exemple. eiθ +e iθ = cos(θ), eiθ e iθ i = sin(θ). La forme exponentielle permet parfois de simplifier les calculs. Par exemple on peut tout de suite voir que ( (cos(θ) + i sin(θ)) n = e iθ) n = e inθ = cos(nθ) + i sin(nθ). De même, on peut utiliser la forme exponentielle pour linéariser cos n (θ) et sin n (θ). Par exemple: ( e sin iθ e iθ ) (θ) = = ( ) e iθ + e iθ = i 4 cos(θ). Corollaire. (i) Soit un réel a. L application z ze ia est la rotation d angle a. (ii) L argument de z n est égal à n fois l argument de z (modulo π). Preuve. (i) Soit z = re iθ sous forme polaire. Alors ze ia = re iθ e ia = re i(a+θ) donc est de module r et d argument θ + a. On reconnaît l image de z par une rotation d angle a. (ii) On écrit sous forme polaire z = re iθ. Alors z n = (re iθ ) n = r n e inθ. Donc le module de z n est r n et son argument est nθ. z 9 e i3θ e iθ e iθ e i4θ e i5θ e i7θ e i6θ e i8θ On a pris z = e iθ. On a tracé les points z n pour n = Que vaut θ? Quelle figure obtiendrait-on pour θ = π 3? z 4 z 3 z z 5 z z 6 z 7 z 8 On a pris pour z le nombre complexe de module.3 et d argument π 4. On a tracé les points z n pour n = Que deviendrait la figure si on avait pris un nombre complexe z de module strictement inférieur à? 5

6 3 Racines n-ièmes Soit n un entier supérieur ou égal à. Définition. On appelle racine n-ième de l unité un nombre complexe z tel que z n =. Si z est une racine n-ième de l unité, on doit avoir z n = = d où z n =. Cela implique que z = (car z est un réel positif, et l unique réel positif x tel que x n = est le réel x = ). Essayons d obtenir des informations maintenant sur l argument de z. Un argument de z n est narg(z) où Arg(z) est un argument de z. Or z n =, donc z n et ont le même argument modulo π. Donc narg(z) = 0 + kπ pour k Z, c est dire Arg(z) = kπ n, k Z. On trouve que l argument de z appartient à {0, π n, 4π n,..., (n )π n } (ce n est pas la peine de continuer car l argument est défini à π près). Réciproquement tous les nombres complexes de la forme e i kπ n, k Z vérifient z n =. On a ainsi Proposition. Les racines n-ièmes de l unité sont {, e i π n, e i 4π n,..., e i (n )π n } qu on peut réécrire {e i kπ n, k = 0,..., n } ou encore {, ζ, ζ,..., ζ n } avec ζ = e i π n. Exemple. Les racines carrées de l unité sont et. Les racines cubiques de l unité sont, e i π 3, e i 4π 3. Généralement on écrit, j = e i π 3, ce qui donne que les racines cubiques de l unité sont {, j, j }. Les racines 4-ièmes de l unité sont {, i,, i}. On trace ci-dessous les racines nièmes pour n = 3, n = 4, n = 5, n = 6. L angle formé entre deux racines successives est à chaque fois π n. Remarquons que le nombre de racines n-ièmes de l unité est égal à n. j i j Racines cubiques de l unité. i Racines 4-ièmes de l unité. 6

7 ζ ζ = e i π 5 ζ ζ = e i π 3 ζ 3 ζ 3 ζ 4 ζ 4 ζ 5 Racines 5-ièmes de l unité. Racines 6-ièmes de l unité. On peut également trouver les racines n-ièmes d un nombre complexe z 0 0. Par définition, une racine n-ème de z 0 est un nombre complexe z tel que z n =. Proposition. Soit z 0 0 un nombre complexe, de forme polaire z 0 = r 0 e iθ 0. Les racines n-ièmes de z 0 sont {r /n 0 e i θ 0 /n n, r 0 e i θ 0 n e i π /n n,..., r 0 e i θ 0 n e i (n )π n } qu on peut encore écrire {r /n 0 e i θ 0 n e i kπ n, k = 0,,..., n } = {r /n 0 e i θ 0 n ζ k, k = 0,,..., n } avec ζ = e i π n. Plus généralement, si Z est une racine n-ième particulière de z 0, alors les racines n-ièmes de z 0 sont {Zζ k, k = 0,,... n }, ζ = e i π n. Preuve. Soit Z une racine n-ième particulière de z 0 (par exemple Z = r n 0 e i θ 0 n ). Remarquons que Z 0 car 0 n = 0 z 0. Trouvons toutes les racines n-ièmes de z 0. Soit z une racine n-ième de z 0. Alors ( ) z n Z = z n Z = z n 0 z 0 =. Donc z Z est une racine n-ième de l unité, donc est de la forme ζ k pour un certain k {0,,..., n }, où zeta = e i π n. Récirpoquement, ( Zζ k) n = Z n ζ nk = z 0 car Z n = z 0 par hypothèse et ζ nk = (ζ n ) k = k =. Donc les nombres de la forme Zζ k sont bien des racines n-ièmes de z 0. Le cas des racines carrées On a vu que pour trouver les racines n-ièmes d un nombre complexe z 0, on devait d abord l écrire sous forme polaire. On obtenait ensuite les racines n-ièmes sous leur forme polaire. Dans le cas des racines carrées, on peut directement obtenir les racines sous forme cartésienne (sous la forme a + ib). La recette est la suivante. Soit z 0 un nombre complexe. On cherche z tel que z = z 0. Remarquons que si z est une racine carrée, z sera l autre racine carrée. On cherche z sous a forme a + ib. En identifiant les parties réelle et imaginaire dans l équation z = z 0, on obtient () () a b = Re(z 0 ) ab = Im(z 0 ). 7

8 En passant au module dans l équation z = z 0, on a d autre part (3) a + b = z 0. En utilisant les équations () et (3), on déduit a et b. L équation () permet ensuite de savoir si on doit prendre a et b de même signe ou de signes opposés. Exemple. Cherchons les racines carrées de z 0 = +i. On cherche a et b tels que (a+ib) = +i. On obtient (4) (5) Le module donne a b = Re(z 0 ) = ab = Im(z 0 ) =. (6) a + b = z 0 =. D après (4) et (6), on a a = + donc a = +, et de même b =. L équation (5) nous dit que a et b sont de même signe. Finalement, les racines carrées de + i sont + z = + i, z = z. Remarquons que + i = e i π 4. Les racines carrées de + i peuvent donc aussi s écrire /4 e i π 8 et /4 e i π 8. Ainsi nous avons aussi les formes polaires de z et z. Il faut néanmoins savoir laquelle est z. On voit que z a une partie réelle positive, tout comme /4 e i π 8 car π 8 [0, π ]. Donc z = /4 e i π 8, ce qui nous donne la valeur de cos(π/8) et celle de sin(π/8): cos(π/8) = /4 + + = et sin(π/8) = /4 =. 4 Polynômes du second degré L un des grands avantages de travailler sur l ensemble des nombres complexes est que les polynômes du second degré admettent toujours des solutions complexes, contrairement à ce qu il se passe sur R. En fait, nous verrons dans le chapitre suivant que tout polynôme non constant admet au moins une racine sur C. Cas des polynômes à coefficients réels On considère le polynôme P (X) = ax + bx + c avec a, b, c réels, a 0. On appelle racine de P tout nombre complexe z tel que P (z) = 0. On appelle discriminant le nombre := b 4ac. Trois cas se présentent: Si > 0, le polynôme P a deux racines distinctes, qui sont toutes les deux réelles. Elles sont données par z = b a et z = b+ a. Si = 0, le polynôme P admet une unique racine. Cette racine est réelle et égale à b a. Si < 0, le polynôme P admet deux racines distinctes, qui sont toutes les deux non réelles. Elles sont données par z = b i a et z = b+i a. 8

9 Cas général des polynômes à coefficients complexes Dans le cas général, le polynôme P s écrit P (X) = ax + bx + c avec a, b, c des nombres complexes, a 0. On calcule encore = b 4ac, ce qui nous donne un nombre complexe. On cherche ensuite une racine carrée de dans C que l on note D (c est donc un nombre complexe, c est un réel si et seulement si est un réel positif ou nul). Alors les racines de P sont données par z = b D a z = b + D. a Dans le cas = 0, on aura z = z = b a (une seule racine). 9

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