TP : Analyse de Fourier.

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1 1 TP : Analyse de Fourier Sciences Physiques MP TP : Analyse de Fourier. La noion de specre ou de conenu fréqueniel d un signal es omniprésene dans le monde de la Physique acuelle, en pariculier en ce qui concerne la propagaion d ondes dans un milieu. Dans de nombreux aures domaines, la réponse d un sysème à une solliciaion évoluan au cours du emps sera éudiée en décomposan cee solliciaion en composanes monochromaiques. L analyse de Fourier consise à éablir cee décomposiion. 1 Objecifs CeTPapourbud illusrerlecourssurlesnoionsdesériesdefourierpourlesfoncionspériodiques,plus marginalemen la noion de ransformée de Fourier sur un signal non périodique. Il permera, en pariculier, de compléer vore maîrise du logiciel Lais Pro qui sera uilisé. Il sera aussi l occasion de réaliser le filrage d un signal non monochromaique e de confroner héorie e expérience sur cee quesion. Filrer un signal non monochromaique, c es raier de manière différene ses différenes composanes monochromaiques. L éude de l acion d un filre sur un signal sera réalisée. Maériel Vous uiliserez, comme généraeur basse fréquence, soi un généraeur Cenrad soi l oscilloscope Agilen qui possède un module généraeur dans le panneau de commande, il es déclenché par la ouche Wave Gen. Sur la phoographie de la figure 1, on voi la ouche de commande du généraeur inégré à l oscilloscope ainsi que la borne de sorie à ne pas confondre avec les deux bornes d enrée de l oscilloscope qui permeen de mesurer deux ensions sur les deux voies de l appareil. Figure 1 L oscilloscope possède un généraeur BF inégré Les signaux seron enregisrés par l inermédiaire de la care d acquisiion Sysam SP5.

2 Sciences Physiques MP TP : Analyse de Fourier 3 Aspecs héoriques 3.1 Signal bichromaique Considérons un signal somme de deux signaux sinusoïdaux monochromaiques de même ampliude - pour simplifier - mais de fréquences voisines : = e 1 ()+e () = cosπf 1 +cosπf ( ) p+q Les règles du calcul rigonomérique indiquen que cosp + cosq = cos cos f = f 1 +f e f = f 1 f > avec f f. 1. Monrer que la ension es donnée par l expression : = cosπ f cosπf. xpliquer le graphique de représené à la figure. ( p q ). On noe Figure Superposiion de deux signaux monochromaiques 3. Séries de Fourier Les signaux les plus fréquemmen fournis par un généraeur basse fréquence son le signal sinusoïdal, le signal riangulaire périodique e le signal créneau périodique symérique. Ils son représenés à la figure 3. Vous pouvez d ailleurs consaer que le choix de la dae = rend les signaux impairs par rappor à =. T Figure 3 Signaux classiques 3. Si f es la fréquence (fondamenal) de ces signaux, rappeler les caracérisiques des harmoniques qui y son présenes en donnan leur fréquence e leur ampliude. 4. Onconsidèremainenanle signalde la figure4. Monrerquesavaleur moyenne< u > ainsi quel ampliude de ses composanes sinusoïdales son données : < u > = α a n = nπ sin(nπα) b n = nπ (1 cos(nπα)) 5. Rerouver le cas du signal créneau classique de la figure 3.

3 3 TP : Analyse de Fourier Sciences Physiques MP αt T Figure 4 Signal créneau de rappor cyclique α 3.3 Transformée de Fourier On reprend l éude - vue en classe - du signal sinusoïdal limié dans le emps. Ce signal n es pas périodique. Sa durée es τ, voir la représenaion de la figure 5, sa fréquence pendan cee durée es f = 1/T, sa pulsaion ω = πf. Le signal es de la forme : = cosω ou = expiω τ/ T τ/ Figure 5 Signal sinusoïdal limié dans le emps 6. La ransformée de Fourier perme d accéder au specre du signal, nous la noons g(ω). lle es donnée par : g(ω) = 1 π exp iωd Monrer que dans le cas où τ T, g(f) avec ω = πf es donnée par : g(f) = π τ sincπ(f f )τ 7. Représener l allure de g(f) en précisan les abscisses des deux valeurs f 1 e f > f 1 de la fréquence f les plus proches de f elle que g(f) =. Monrer que : f = f f 1 = τ 8. Déduire du calcul précéden que l analyse de Fourier d un signal sinusoïdal - donc monochromaique - de fréquence f sera d auan plus précis que τ T. 9. Dans le cas pariculieroù ω =, le signal = [ τ ; τ ]. On a donc un signalcomposé d un créneau unique de durée τ. Donner l allure du specre g(f) de ce signal. simer sa largeur specrale f. Cee forme de signal peu êre qualifiée d impulsion lorsque la durée τ sera grande devan la ou les durée(s) caracérisique(s) du sysème soumis à cee impulsion.

4 Sciences Physiques MP TP : Analyse de Fourier 4 4 xpériences 4.1 Acquisiion par l ordinaeur L acquisiion par l ordinaeur d un signal analogique es nécessairemen une opéraion discrèe qui s appelle échanillonnage que l on éudiera dans un prochain TP. lle consise à sélecionner des valeurs du signal à inervalle de emps régulier. L acquisiion du signal sera d auan précise que le nombre de valeurs sélecionnées sera grand mais si le signal évolue lenemen, on peu se conener de moins de valeurs pour en avoir une idée correce. Une des conséquences imporanes de l opéraion d échanillonnage e de l uilisaion de l ordinaeur es la naure du specre produi lorsque l on demande au logiciel d effecuer l analyse specrale du signal. n effe, nous savons que le specre d un signal périodique calculé sur une durée correspondan à sa période ou à un muliple de sa période es un specre discre composé des fréquences nf si f es la fréquence du signal e n un enier naurel. Au conraire, un signal non périodique possède un specre coninu. Sur le plan héorique, les choses son ainsi! Mais dès que l on fai agir l ordinaeur, sa réponse en erme de specre d un signal ne peu êre que celle d un specre discre. Dans la lecure des specres, il faudrai savoir faire le disinguo enre un specre discre par naure e un specre discre conséquence du raiemen d un signal par l ordinaeur; 4. Consignes L analyse de Fourier sera effecuée après acquisiion du signal - qui es dans nore cas une ension - par la care Sysam SP5. Comme cela se produi dès que l on veu raier par informaique une informaion, le signal es auomaiquemen échanillonné avan ou chose. On veillera, dans ce TP, à ce que la fréquence d échanillonnage soi la plus élevée possible afin que les conséquences de l échanillonnage ne se fassen pas rop senir. Dans le logiciel Lais Pro, on ne règle pas direcemen la fréquence d échanillonnage mais son inverse : l inervalle de emps qui sépare l acquisiion de deux poins successifs. On veillera donc à ce que ce inervalle soi cour ce qui, pour une durée oale d acquisiion donnée, imposera un nombre de poins d acquisiion élevé. Afin de respecer les consignes précédenes, on ravaillera avec des fréquences raisonnables pour les différenes ensions qui seron éudiées. Les enregisremens des courbes inéressanes pour la compréhension du TP seron imprimées e commenées. Les résulas des mesures seron oujours accompagnés de leur inceriude. 4.3 Signal sinusoïdal e signal bichromaique 1. Acquérir un signal sinusoïdal e en effecuer dans Lais Pro l analyse de Fourier. Dans un premier emps, l acquisiion sera réalisée sur une durée de l ordre de quelques périodes du signal. Discuer de l influence de la sélecion de la durée choisie lors du calcul du specre. La sélecion de la durée à analyser s effecue dans la fenêre du programme consacrée à l analyse de Fourier. 11. Faire l acquisiion de deux signaux sinusoïdaux de fréquences proches. Réaliser grâce à la feuille de calcul de Lais Pro la somme de ces deux signaux. 1. ffecuer l analyse de Fourier du signal somme obenu ainsi que celle des deux signaux de dépar. Discuer les résulas obenus. Faire varier foremen la durée oale correspondan au calcul du specre. Monrer que la précision de la déerminaion des fréquences des signaux augmene à mesure que la durée de calcul sélecionnée augmene par rappor aux périodes des signaux. Faire le lien avec la parie héorique. 4.4 Signal riangulaire e signal créneau 13. Procéder à l analyse specrale de chacun de ces signaux afin de monrer la correspondance enre le specre obenu expérimenalemen e les specres rappelés dans la parie héorique. 14. Faire la même chose avec un signal créneau de rappor cyclique α.

5 5 TP : Analyse de Fourier Sciences Physiques MP 4.5 Impulsion coure ou pic de Dirac Cee éude sera réalisée grâce à la feuille de calcul de Lais Pro. La foncion créneau exise dans le logiciel, elle se défini par Creneau(N1;N;N3) où N1 e N corresponden aux numéros des poins aux bornes de l inervalle e N3 au nombre oal de poins, qui doi êre cohéren avec le nombre de poins défini dans les paramères d acquisiion. 15. Programmer cee foncion puis faire calculer son specre. Pour une durée oale de signal fixée, réduire à son minimum la largeur de l impulsion. Comparer son specre à la siuaion héorique. 16. Prolonger cee éude en faisan l acquisiion d un signal sinusoïdal de fréquence f que l on mulipliera dans la feuille de calcul par une foncion créneau comme la précédene. On obien ainsi une sinusoïde limiée dans le emps. Calculer son specre e comparer à la héorie. 4.6 Filrage 17. Proposer un filre analogique (circui élecrique) que vous aurez pris le soin d éudier sur le plan héorique. nvoyer un signal polychromaique(ension) en enrée. Acquérir le signal de sorie correspondan. Faire l analyse specrale de chacun des signaux e comparer aux prédicions héoriques.