Chapitre : Nombres complexes

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1 Chapitre : Nombres complees Activité : Fiche d introduction (Formule de Cardan et nombre imaginaire) I. Définition 1. Forme algébrique Définition Il eiste un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complees, qui possède les propriétés suivantes : C contient l ensemble des nombres réels R. Les règles de calcul de l addition et de la multiplication prolongent celles des nombres réels (donc restent les mêmes que celles des nombres réels). Il eiste un nombre complee noté i tel que i = 1. Tout nombre complee z s écrit de manière unique z = + i avec et réels. L écriture z = + i avec et réels est appelée forme algébrique du nombre complee z. est la partie réelle de z, notée Re(z) ; est la partie imaginaire de z notée Im(z). Remarque Soit z = + i avec et réels : Si = 0, alors z = et le nombre complee est un nombre réel. Si = 0, alors z = i et le nombre est dit imaginaire pur. Le nombre = Im(z) est un nombre réel. C est i qui est imaginaire pur. Eemple On cherche l écriture algébrique de z = (5 + i)( 4i). Pour cela on applique les règles de calcul connues : (5 + i)( 4i) = 5 5 (4i) + i i 4i La partie réelle de z est 18, et Im(z) = 16. = 10 0i + 4i 8i = 10 16i 8 ( 1) = 10 16i + 8 = 18 16i Eercice : 1p10 (identifier partie imaginaire et réelle) Eercices : 3,4p10 et 36,37p1 (déterminer l écriture algébrique) 1

2 . Addition et multiplication Propriété Soit z = + i et z = + i (,, et réels) deu nombres complees. La somme de z et de z est le nombre complee z + z = ( + ) + i( + ). Le produit de z et de z est zz = ( ) + i( + ). En effet zz = ( + i)( + i ) = + i + i + i = + i( + ). Activité : p198 (forme algébrique de l inverse) Propriété Soit z = + i un nombre complee non nul. Alors : 1 z = 1 + i = i + Démonstration : Il suffit de multiplier et diviser par i. Remarque Cette propriété permet d obtenir la forme algébrique, puisque + est réel, et donc il n a plus de i en dénominateur. Eercices : 39,40p1 Eercices : (groupe) 44,45,46,47,50,51,53p1 3. Égalité Remarque Par unicité de l écriture d un nombre complee z sous la forme + i, on a donc : Soit,, et des nombres réels, + i = + i équivaut à = et =. + i = 0 équivaut à = 0 et = 0. Par conséquent : Propriété Un nombre complee est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle ; Un nombre complee est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. Eercices : 56,57,58p1 (recherche de conditions pour avoir un réel ou imaginaire pur) II. Nombre conjugué Définition Soit z un nombre complee, z = + i. Le nombre conjugué de z, noté z, est le nombre complee i. Eemple Eercice 7p10 Propriété Soit z un nombre complee. 1. z est réel si et seulement si z = z, autrement dit si z z = 0.

3 . z est imaginaire pur si et seulement si z = z, autrement dit si z + z = 0. Démonstration : On pose z = + i, avec et réels : 1. Si z est réel, alors z = et z =, donc z = z. Si z = z, alors + i = i, donc i = 0 et on en déduit que = 0 ce qui signifie que z est réel.. Si z est imaginaire pur, alors z = i et z = ( i) = i, donc z = z. Si z = z, alors + i = + i, donc = 0 et = 0. z est donc bien un imaginaire pur. Propriété Pour tous nombres complees z et z : z + z = z + z z = z ( ) 1 zz = zz pour z 0, = 1 z z ( z ) pour z 0, = z pour n Z, z z n = z n z Remarque Pour tout nombre complee z, on a les relations Re(z) = z + z et Im(z) = z z. i Eercices : 8p10 et 65,68p13 (conjugué d epressions complees) Eercice : 69p13 (somme réelle, soustraction imaginaire) Eercices : 7,73p13 (équations avec z) III. Résolution dans C de az + bz + c = 0 Activité : : de quels nombres 4 est-il le carré? Et 4? Propriété l équation az + bz + c = 0 (a, b et c réels, a 0) admet toujours des solutions dans C. Soit = b 4ac le discrimant du trinôme. 1. Si = 0 : une solution réelle égale à b a ;. Si 0 : deu solutions distinctes : réelles si > 0 : b et b + ; a a complees conjuguées si < 0 : b a + i et b a a i a. [ ( Preuve : La forme canonique du trinôme az +bz+c (a, b et c réels, a 0) est a z + b ) ]. a 4a Si 0, on retrouve les résultats vus en première. Si < 0, alors > 0. On pose =. Puisque > 0, on peut écrire = ( ). ( On a alors : az + bz + c = a z + b ) ( ) ( + = a z + b ) ( ) i. a a a a 3

4 ( az + bz + c = a z + b ) ( a i z + b ) a a + i. a Les solutions de l équation sont donc : b a + i a = b a + i a et b a i a = b a + i a Eercices : 79,80p14 (basique) Eercices : 84,86p14 Eercice : (algo) 8p14 IV. Représentation graphique Considérons le plan muni d un repère orthonormé d origine O. 1. À tout nombre complee z = + i, on associe le point M de coordonnées (; ). On dit que M est le point image de z et que OM est le vecteur image de z. On note M(z). Tout point M(; ) est le point image d un seul complee z = + i. On dit que z est l affie du point M et du vecteur OM. On note z = z M et z = z OM. 3. Le plan est alors appelé plan complee. 4. L ae des abscisses (O) est appelé ae des réels ; L ae des ordonnées (O) est appelé ae des imaginaires purs. imaginaires purs M(z) 1 O 1 réels Eemple Le point I(0,1) est l image de i. Autrement dit, le point d affie i est I(0; 1). Propriété (Affie d un vecteur quelconque) Soit deu points A et B du plan complee aant pour affies respectives z A et z B. Alors l affie z AB du vecteur AB est z B z A. Démonstration : Puisque AB( B A ; B A ), on a : z AB = ( B A ) + i( B A ) = B A + i B i A = B + i B ( A + i A ) = z B z A 4

5 Propriété (Opérations sur les vecteurs) Soit u et v deu vecteurs. Soit k un réel. Alors : z u + v = z u + z v et z k u = kz u Démonstration : Se fait de même que la précédente en utilisant les coordonnées des vecteurs. Remarque Soient M d affie z et M d affie z des points du plan complee. z + z est l affie du point P tel que OMP M est un parallélogramme. M (z ) P (z + z ) 1 v O 1 u M(z) Propriété (Affie du milieu) Soit A et B deu points du plan. Soit I le milieu de [AB]. Alors : z I = z A + z B Démonstration : Se fait de même que précédemment, en utilisant les coordonnées des points. Eercices : 1,13,14p10 Eercices : 90,9p14 et 93,94,96p15 Eercice : (algo) 91p14 5

6 V. Module et argument Activité : 4p199 On considère le plan complee muni du repère orthonormé (O; u ; v ). 1. Définitions Définition (Module) Soit z = + i un nombre complee, et soit M l image de z dans le plan complee. Le module de z, noté z, est la distance OM. On a alors : z = + Remarque le module généralise la valeur absolue au nombres complees : Le module d un nombre réel est sa valeur absolue. z = 0 est équivalent à z = 0. z = z z. Propriété Soit A et B deu points d affies respectives z A et z B. Alors AB = z B z A. Démonstration : On rappelle que z B z A = z AB. Soit M tel que OM = AB. Alors par définition z B z A = OM est aussi la norme du vecteur OM = AB, donc AB. Eercices : 16,17p10 Eercices : 100,10,107p15 (liste pouvant être complétée) Définition (argument) Soit z un nombre complee non nul d image M. On appelle argument de z toute mesure en radian de l angle orienté : arg(z) = ( u, OM) Il est unique à π près (si θ est un argument, θ + kπ en est un pour tout k Z). v O u z M arg(z) Remarque Tout nombre réel positif a un argument égal à 0 ; Tout nombre réel négatif a un argument égal à π ; Tout nombre imaginaire pur i avec > 0 a un argument égal à π ; Tout nombre imaginaire pur i avec < 0 a un argument égal à π. 6

7 Propriété Soit A et B deu points d affices respectives z A et z B. Alors ( u ; AB) = arg(z B z A ). Démonstration : Avec les mêmes notations que pour la propriété sur le module, ( u ; AB) = ( u ; OM) = arg(z B z A ) Eercices :,3p11 ; 4p11 en DM ou en groupe VI. Forme trigonométrique 1. Définition Remarque ( hors programme) Soit z un nombre complee non nul. Son module r et son argument θ permettent de caractériser son image M sur le plan, au même titre que les coordonnées (; ). Le couple (r; θ) forme alors ce que l on appelle les coordonnées polaires du point M. On passe des coordonnées polaires au coordonnées cartésiennes par les relations : = r cos θ et = r sin θ En effet, d après la figure ci-contre, sin(θ) = r et cos(θ) = r O u Définition (Forme trigonométrique) Soit z = + i un nombre complee de module r et d argument θ. D après la remarque précédente, on a : z = + i = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ) La dernière epression est appelée forme trigonométrique de z. Grâce à l unicité de la forme algébrique, on a les propriétés : Propriété Deu nombres complees sont égau si et seulement si ils ont le même module et le même argument à π près. v r θ M Propriété Soit z = ρ(cos α + i sin α) avec ρ > 0. Alors ρ = z et α = arg(z). Méthode Soit z = + i un nombre complee écrit sous forme algébrique. Pour déterminer un argument de z, on calcule d abord son module, r = +. On a alors : z = ( ) i + Il faut alors chercher un angle θ tel que cos θ = + et sin θ = + Eercices : 114,115p16 (algébrique vers trigonométrique) Eercices : 117,118p16 (trigonométrique vers algébrique) 7

8 . Propriétés Propriété Soit z un nombre complee. Alors : 1. z = z et arg( z) = arg(z).. z = z et arg( z) = arg(z) + π. Propriété Soit z et z des nombres complees non nuls. Alors : 1. z + z z + z (inégalité triangulaire). zz = z z et arg(zz ) = arg(z) + arg(z ). 3. pour tout n N, z n = z n et arg(z n ) = n arg(z). 4. z z ( z ) = z z et arg = arg(z) arg(z ) z Démonstration : Le premier point se retrouve en prenant un point de vue géométrique. Prouvons le second point. Écrivons les formes trigonométriques de z et z : z = r(cos θ + i sin θ) et z = r (cos θ + i sin θ ). Lorsque l on fait le produit des deu, et en regroupant les termes développés, on a : zz = rr [(cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i (sin θ cos θ + cos θ sin θ )] Or, cos θ cos θ sin θ sin θ = cos(θ + θ ) et sin θ cos θ + cos θ sin θ = sin(θ + θ ), d où le résultat. Le troisième point se fait par récurrence. Le dernier point vient du second, puisque z = z z. z Eercices : 13,14,16,18p16 Remarque (Importante) Si A(z A ), B(z B ), C(z C ) et D(z D ) sont quatre points du plan complee deu à deu distincts, alors : ( AB, ( ) zd z C CD CD) = arg et z B z A AB = z D z C z B z A La première égalité vient de la relation de Chasles : ( AB, ( ) CD) = ( u, CD) ( zd z C u, AB) = arg(zd z C ) arg(z B z A ) = arg z B z A En particulier, on a : ( AB, ( ) zc z A AC AC) = arg et z B z A AB = z C z A z B z A Cela permet de vérifier la nature de quelques triangles ABC, souvent étudiée dans les eercices. Eercices : 149,150,151p17 (triangles) Eercices : 154,155p18 (quadrilatères) 8

9 VII. Notation eponentielle Activité : Soit f(θ) = cos(θ) + i sin(θ). Observer que f(θ + θ ) = f(θ) f(θ ) puis calculer f(0). Trouver une analogie avec une fonction connue. Définition Pour tout réel θ, on note e iθ = cos(θ) + i sin(θ). Eemple e i0 = 1; e i π = i; e i π 3 = 1 + i 3 Propriété Soit θ et θ dans R. Soit n N. Alors : e iθ = 1 et arg e iθ = θ (e iθ est le nombre complee de module 1 et d argument θ) e iθ e iθ = e i(θ+θ ) ; eiθ e iθ = e i(θ θ ) ; e iθ = e iθ (e iθ ) n = e inθ (formule de Moivre) Démonstration : le premier point vient de la définition. Les suivants viennent des propriétés de module et d argument. Remarque La formule de Moivre permet d obtenir rapidement la forme algébrique d une puissance d un nombre complee. Définition Au lieu d écrire un nombre complee sous sa forme trigonométrique z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)), on peut l écrire sous la forme z = ρe iθ, où ρ = z > 0 et θ = arg(z), appelée forme eponentielle de z. Eercices : 138,139p17 Eercice : 156p18 9