Chapitre 5 Nombres complexes

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1 Notations. Chapitre 5 Nombres complexes L'ensemble {( des nombres ) réels est muni des opérations addition + et multiplication. a b M 2 (R) =, (a, b, c, d) R }. c d 4 I - Corps des nombres complexes I.1 - Construction Définition 1 (Nombre complexe). {( ) } a b Un nombre complexe est un élément de l'ensemble C =, (a, b) R b a 2. ( ) ( ) a b c d Les nombres complexes et sont égaux si et seulement si a = c et b a d c b = d. Propriétés 1 (Nombres réels, i). (i). L'application Φ : R C, a (a, b) R 3, Φ(1) = Ainsi, on pose, pour tout a R, (ii). Si i = ( ) a 0 0 a est un morphisme de corps, i.e. pour tout ( ) 1 0, Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b) et Φ(a b) = Φ(a) Φ(b). 0 1 ( ) 0 1, alors, i = 1. ( ) a 0 = a. 0 a Théorème 1 (Forme algébrique, Partie réelle / imaginaire). Pour 1 tout nombre complexe z, il existe un unique couple (a, b) R 2 tel que z = a + bi. Cette écriture est la forme algébrique de z. (i). Le réel a est la partie réelle de z. (ii). Le réel b est la partie imaginaire de z. Théorème 2 (Structure de Corps). Soient z 1, z 2, z 3 C. Propriétés de l addition. Loi interne : z 1 + z 2 C. Loi associative : (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ). Élément neutre : z = 0 + z 1 = z 1. Symétrique : y C ; y + z 1 = z 1 + y = 0. Loi commutative : z 1 + z 2 = z 2 + z 1. Distributivité : z 1 (z 2 + z 3 ) = (z 1 z 2 ) + (z 1 z 3 ). (C, +) est un groupe commutatif et (C, +, ) est un corps commutatif. Propriétés de la multiplication. Loi interne : z 1 z 2 C. Loi associative : (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ). Élément neutre : z 1 1 = 1 z 1 = z 1. Loi commutative : z 1 z 2 = z 2 z 1. Symétrique : z C, y C ; y z 1 = z 1 y = 1.

2 Exercice 1. Parmi les ensembles que vous avez précédemment rencontrés, lesquels sont des groupes? lequels sont des corps? I.2 - Conjugué Définition 2 (conjugué). Soient a, b deux réels, z = a + ib C. Le nombre complexe z = a ib est le conjugué de z. Propriétés 2. Soit z un nombre complexe. (i). (z) = z. (ii). Re (z) = z+z z z 2, Im (z) = 2i. (iii). z est réel si et seulement si z = z. (iv). z est imaginaire pur si et seulement si z = z. (v). zz R +. De plus, zz = 0 si et seulement si z = 0. Propriété 3 (Conjugué et Opérations). Soient z 1, z 2 deux nombres complexes. (i). z 1 + z 2 = z 1 + z 2. (ii). z 1 z 2 = z 1 z 2. Exercice 2. Soient n N, (a 0,..., a n ) R n+1 et P : C C, z tout nombre complexe z, P (z) = P (z). I.3 - Module Définition 3 (Module). Pour tout nombre complexe z, le module de z, noté z, est la quantité zz. n a k z k. Montrer que pour Propriétés 4. Soit z un nombre complexe. (i). z = 0 si et seulement si z = 0. (ii). z = z. (iii). Re (z) z et Im (z) z. (iv). Si z est non nul, on a 1 z = z z 2. Propriété 5 (Module et Opérations). Soient z 1, z 2 deux nombres complexes. (i). z 1 z 2 = z 1 z 2. (ii). Inégalité triangulaire : z 1 + z 2 z 1 + z 2 avec égalité si et seulement s'il existe λ réel positif tel que z 1 = λz 2 ou z 2 = λz 1. (iii). Inégalité triangulaire inverse : z 1 z 2 z 1 z 2. n Exercice 3. Soient n N et (z i ) i 1,n C n. Montrer que z k n z k. I.4 - Première excursion dans le plan complexe Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j ). Définition 4 (Affixe, Image). Soit M un point du plan de coordonnées (a, b). L'axe du point M est le nombre complexe z = a + ib. Soit z = x + iy un nombre complexe sous forme algébrique. Le point de coordonnées (x, y) est l'image du nombre complexe z. k=1 k=1

3 Soit u un vecteur du plan de coordonnées (x, y). L'axe du vecteur u est le nombre complexe u = x + iy. Propriétés 6 (Interprétations géométriques). Soit M un point du plan d'axe z. (i). Le point d'axe z est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses. (ii). La distance OM du point M à l'origine est égale au module z. Propriétés 7 (Additions de vecteurs). (i). Soient u, v deux vecteurs du plan d'axes respectifs u, v. Pour tous réels λ, µ, le vecteur λ u + µ v a pour axe λu + µv. (ii). Soient A, B deux points du plan d'axes respectifs a, b. Le vecteur AB a pour axe (b a). Ainsi, la longueur AB est égale au module du nombre complexe b a. Définition 5 (Cercles & Disques). Soient A un point du plan d'axe a et r un nombre réel strictement positif. (i). Le cercle de centre A et de rayon r est l'ensemble des points d'axes {z C ; z a = r}. (ii). Le disque fermé de centre A et de rayon r est l'ensemble des points d'axes {z C ; z a r}. (iii). Le disque ouvert de centre A et de rayon r est l'ensemble des points d'axes {z C ; z a < r}. II - Nombres complexes de module un II.1 - Dénition et Propriétés Définition 6 (Nombres complexes de module 1). U désigne l'ensemble des nombres complexes de module 1. Théorème 3 (Structure de Groupe). Soient ξ 1, ξ 2 U. Loi interne : ξ 1 ξ 2 U. Loi associative : (ξ 1 ξ 2 ) ξ 3 = ξ 1 (ξ 2 ξ 3 ). Élément neutre : ξ 1 1 = 1 ξ 1 = ξ 1. Symétrique : y U ; y ξ 1 = ξ 1 y = 1. On notera y = ξ1 1. Loi commutative : ξ 1 ξ 2 = ξ 2 ξ 1. On dit que (U, ) est un groupe commutatif. Théorème 4 (Paramétrisation du cercle unité). Soit z un nombre complexe. z U si et seulement si il existe θ R tel que z = e iθ.

4 Propriétés 8. Soient n N, θ, θ R. (i). Formules d'euler : cos θ = eiθ +e iθ 2, sin θ = eiθ e iθ 2i. (ii). e iθ 0 et e iθ = e iθ = 1 e iθ = (e iθ ) 1. (iii). Morphisme de groupe : e i(θ+θ ) = e iθ e iθ. (iv). Formule de Moivre : (e iθ ) n = e inθ = cos(nθ) + i sin(nθ). Exercice 4. À l'aide des propriétés énoncées ci-dessus, retrouvez le formulaire de trigonométrie circulaire. II.2 - Linéarisation et factorisation Les formules d'euler et de Moivre, combinées à la formule du binôme de Newton, permettent de linéariser les fonctions cosinus et sinus, c'est-à-dire à exprimer cos n x sin m x en fonction des cos(kx), sin(kx). Exercice 5. Soit x R. 1. Montrer que cos 7 x = (cos 7x + 7 cos 5x + 21 cos 3x + 35 cos x). 2. Exprimer cos 5x en fonction de cos x et de sin x. La factorisation consiste à simplier une somme contenant des cos(kx) ou des sin(kx) en utilisant l'angle moitié, i.e. kx 2. Exercice 6. Soient n N et x R\πZ. Montrer que II.3 - Forme trigonométrique Définition 7 (Argument, Forme trigonométrique). Soit z un nombre complexe non nul. n (i). Tout réel θ tel que z = z e iθ est un argument de z. cos(2kx) = cos nx sin(n + 1)x. sin x (ii). L'unique réel θ ] π; π] tel que z = z e iθ est l'argument principal de z, noté arg(z). (iii). Le nombre complexe z s'écrit sous la forme z = z e i arg(z). Cette écriture est la forme trigonométrique du nombre complexe z. Exercice 7. Soit (a, θ) R Soit z C. Exprimer, en utilisant la fonction arctan, arg(z) en fonction de Re (z) et de Im (z). 2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z 1 = ae iθ et z 2 = 1 + e iθ. Proposition 9. Soit z un nombre complexe non nul, θ 0 un argument de z. L'ensemble des arguments de z est θ 0 + 2πZ = {θ 0 + 2kπ, k Z}. Propriétés 10 (Argument et Opérations). Soient z 1, z 2 deux nombres complexes non nuls et n Z. (i). arg(z 1 ) arg(z 1 ) [2π]. (ii). arg(z 1 z 2 ) arg(z 1 ) + arg(z 2 ) [2π]. (iii). arg ( z1 z 2 ) arg(z 1 ) arg(z 2 ) [2π]. (iv). arg(z n 1 ) n arg(z 1) [2π].

5 Propriétés 11 (Exponentielle et Opérations). (i). L'exponentielle est 2πi-périodique, c'est-à-dire, pour tout z C, e z = e z+2πi. (ii). Morphisme de groupe : z, z C, e z+z = e z e z. (iii). Pour tout z C, e z 0. (iv). Pour tout ζ C, il existe z C tel que e z = ζ. De plus, {z C ; e z = ζ} = {ln ζ + i arg(ζ) + 2kπi, k Z}. III - Racines d'un nombre complexe III.1 - Racines carrées Définition 8 (Racine carrée). Soit z C. Un nombre complexe ζ est une racine carrée de z si ζ 2 = z. Proposition 12. Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées. Exercice 8. Rechercher les racines carrées complexes du nombre complexe 1 + i en utilisant deux méthodes distinctes. En déduire une écriture cos π 8 sous forme de radicaux. Théorème 5 (Équations du second degré). Soit (a, b, c) C 3 tel que a 0. On considère l'équation az 2 +bz +c = 0. On note = b 2 4ac le discriminant de cette équation et δ une racine carrée de. Les solutions de l'équation sont b+δ 2a et b δ 2a. La somme de ces solutions vaut b a, leur produit vaut c a. Exercice 9. Résoudre dans C l'équation z 2 + (2i + 3)z + 1 i = 0. III.2 - Racines n-èmes Notation. n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Définition 9 (Racine n-èmes). Soit z C. Le nombre complexe ζ est une racine n-ème de z si ζ n = z. L'ensemble des racines n-èmes de l'unité, i.e. des racines n-èmes de 1, est noté U n. Exercice 10. On note j et j les racines 3-èmes de l'unité non réelles. Montrer que j = j 2 = j et 1 + j + j = 0. Les représenter sur le cercle unité. Proposition 13. Soit z un nombre complexe non nul écrit sous forme trigonométrique z = re iθ. L'ensemble de ses racines n-èmes est { n r e i( θ n + 2kπ n ), k 0, n 1 }. En particulier, l'ensemble racines n-èmes de l'unité est U n = {e i 2kπ n, k 0, n 1 }. Exercice 11. Soit R un réel strictement positif. Écrire le polynôme X n R n sous forme d'un produit de n polynômes de degré 1.

6 Propriété 14. Soient n N, n 2 et U n = {ζ k, k 0, n 1 }. k 1, n 1, 1 + ζ k + + ζ n 1 k = 0. Exercice 12. Soit n un entier supérieur ou égal à En notant ζ 0,..., ζ n 1 les racines n-èmes de l'unité, calculer n 1 ζ k. 2. Écrire le polynôme n 1 Théorème 6 (Structure de groupe). Soient ξ 1, ξ 2 U n. Loi interne : ξ 1 ξ 2 U. Loi associative : (ξ 1 ξ 2 ) ξ 3 = ξ 1 (ξ 2 ξ 3 ). (U n, ) est un groupe commutatif. X k sous forme d'un produit de (n 1) polynômes de degré 1. IV - Nombres complexes et Géométrie plane IV.1 - Interprétations géométriques Proposition 15 (Produit scalaire & Déterminant). Soient u et v deux vecteurs du plan d'axes respectives u et v. (i). u v = Re (uv). Élément neutre : ξ 1 1 = 1 ξ 1 = ξ 1. Symétrique : y U n ; y ξ 1 = ξ 1 y = 1. Loi commutative : ξ 1 ξ 2 = ξ 2 ξ 1. (ii). Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si det( u, v ) = Im (uv) = 0. Théorème 7 (Angles & Distances). Soient A, B, M trois points distincts du plan d'axes respectives a, b, z. Alors, (i). z a = MA ) (ii). arg ( MB, MA) [2π]. z b MB. ( z a z b Exercice 13. Soient A, B, C trois points distincts du plan d'axes respectives a, b et c. Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si a + bj + cj 2 = 0. Corollaire 8 (Alignement & Orthogonalité). Soient A, B, M trois points du plan d'axes respectives a, b, z. (i). A, B, M sont alignés si et seulement si M = B ou z a z b R. (ii). Les droites (AM) et (BM) sont orthogonales si et seulement si z a z b ir. Exercice 14. Déterminer géométriquement l'ensemble IV.2 - Transformations { z C ; z 1 z+1 = i }. Propriétés 16 (Translations, Homothéties, Rotations, Symétries). Soient M un point d'axe z, u un vecteur d'axe u et λ, θ deux réels. (i). L'image de M par la translation de vecteur u a pour axe z + u.

7 (ii). L'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport λ a pour axe λz. (iii). L'image de M par la rotation de centre O et d'angle θ a pour axe e iθ z. (iv). L'image de M par la symétrie d'axe (O, i ) a pour axe z. (v). L'image de M par la symétrie d'axe (O, j ) a pour axe z. Définition 10 (Similitudes). Soit f une application de P dans P et λ un réel strictement positif. (i). f est une similitude de rapport λ si (M, N) P 2, f(m)f(n) = λ MN. Si f préserve les angles orientés, elle est directe, sinon elle est indirecte. (ii). f est ue isométrie si c'est une similitude de rapport 1. Théorème 9 (Exemples de similitudes et d isométries). Soit (a, b) C C. (i). L'application z az + b est une similitude directe de rapport a. (ii). L'application z az + b est une similitude indirecte de rapport a. Exercice 15. Déterminer une condition nécessaire et susante pour que z az + b admette un point xe.