Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale... 3
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- Michel Delorme
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1 Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale de deux vecteurs 4.1 Définition Autres expressions du produit scalaire Calculs avec le produit scalaire Orthogonalité Propriétés Carré scalaire Applications du produit scalaire droites perpendiculaires Equation d un cercle Théorème de la médiane /1
2 1 Vecteurs 1.1 Norme Définition : Norme d un vecteur Soit un vecteur u et deux points A et B tels que AB = u, la norme de u notée u est la distance AB. u = AB = AB Dans un repère orthonormé, si on a A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) : AB = (x B x A ) + (y B y A ) et AB(xB x A ; y B y A ) Si on pose u = AB on a alors xu = x B x A et y u = y B y A Norme d un vecteur dans un repère orthonormé u = AB = x u + y u Exemple 1 : Vecteurs orthogonaux Dans un repère orthonormé, on donne u (; 4) et v (; 1) Calculer u Calculer v Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux? (Si u = AB et v = CD, les vecteurs u et v sont orthogonaux si (AB) (CD)) u = OB = () + (4) = 0 = 5 unités. v = OC = () + ( 1) = 5 unités. { Calcul des coordonnées de u + v x u + v = x u + x v = + = 4 y u + v = y u + y v = 4 1 = 3 Calcul de u + v u + v = BC = = 5 = 5 unités Utilisation du théorème de Pythagore u + v = = 5 et u + v = 5 donc le triangle OBC est rectangle en O et donc u et v sont orthogonaux. 1. Angle orienté-angle géométrique Si on note α la mesure principale de l angle ( u, v ) ( u 0 et v 0 ) et si les points A, B et C sont tels que AB = u et AC = v alors la mesure de l angle géométrique entre les vecteurs u et v est égale à α (valeur absolue de α). /1
3 Remarque Pour tout réel x, on a cos( x) = cos(x) donc cos( u, v ) = cos( v, u ) = cos( BAC) 1.3 Projection orthogonale Définition : Projection orthogonale d un point sur une droite Soit M un point et (d) une droite du plan, la projection orthogonale de M sur (d) est le point M de (d) tel que M (d) et (MM ) (d) Définition : Projection orthogonale d un vecteur sur une droite Soit u un vecteur non nul et (d) une droite du plan. Si A et B sont deux points tels que u = AB, la projection orthogonale de u sur (d) est le vecteur A B avec A et B projetés orthogonaux de A et B sur (d). Exemple : Projection orthogonale ABCD est un rectangle et I est le projeté orthogonal de A sur la diagonale (BD) Déterminer le projeté orthogonal de AC sur l axe (AD), du vecteur AC sur l axe (AB) puis du vecteur AB sur l axe (BD) A (AD) donc le projeté orthogonal de A sur (AD) est A ABCD est un rectangle donc le projeté orthogonal de C sur (AD) est D donc le projeté orthogonal de AC sur l axe (AD) est AD. A (AB) donc le projeté orthogonal de A sur (AB) est A ABCD est un rectangle donc le projeté orthogonal de C sur (AB) est B donc le projeté orthogonal de AC sur l axe (AB) est AB. 3/1
4 Le projeté orthogonal de A sur (BD) est I donc le projeté orthogonal de AB sur l axe (BD) est IB. de deux vecteurs.1 Définition Définition : produit scalaire u et v sont deux vecteurs non nuls tels que u = vecteurs est noté u. v,et est le nombre réel défini par : u. v = u v cos( u, v ) si u = 0 ou v = 0, on a u. v = 0 AB et v = AC, le produit scalaire des deux Remarque Si la mesure ] principale de ( u, v ) appartient à l intervalle π ; π [, on a 0 < cos( u, v ) 1 et donc u. v > 0 Si la mesure ] principale de ( u, v ) appartient à l intervalle π; π [ ] π ] ; π, on a 1 cos( u, v ) < 0 et donc u. v < 0 Cas d un angle aigu : Cas d un angle obtus : Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : AH = AC cos(ĥac) donc u. v = AB AH Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : AH = AC cos(ĥac) et cos( BAC) = cos(π ĤAC) = cos(ĥac) u. v = AB AC cos( BAC) = AB AC ( cos(ĥac)) = AB AC cos(ĥac) = AB AH 4/1
5 Théorème : Avec les projetés orthogonaux Soit A, B et C trois points (A et B distincts) et u = AB et v = AC Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) : u. v = AB AH si BAH = 0 et u. v = AB AH si BAH = π Exemple 3 :dans un triangle équilatéral Soit ABC un triangle équilatéral de côté 4 unités(dans le sens direct :voir figure), calculer AB. AC puis AB. CA AB. AC = AB AC cos( AB, AC) = 4 4 cos( π π ) rappel :cos( 3 3 ) = cos( π 3 ) = 1 = 8 AB. CA = AB CA cos( AB, CA) = 4 4 cos( π 3 ) rappel :cos( π 3 ) = cos(π π 3 ) = cos( π 3 ) = 1 = 8. Autres expressions du produit scalaire Propriétés : autres expressions du produit scalaire Pour tous vecteurs u et v : u. v = u + v u v Dans une repère orthonormé, si u (x; y) et v (x ; y ) u. v = xx + yy Remarque Dans un triangle ABC, si on pose u = AB et v = AC, on a alors : u v = AB AC = AB + CA = CA + AB = CB On a alors : AB. AC = AB + AC BC = AB + AC BC 5/1
6 Pour démontrer la première propriété, voir la démonstration du théorème d Al-Quashi Démonstration : dans un repère orthonormé Rappel : u = x u + y u si u (x; y) et v (x ; y ) On a alors u = x + y et v = x + y { Coordonnées dur vecteur u v : x u v = x x y u v = y y donc u v = (x x ) + (y y ) Avec la première propriété, on a alors : u. u + v u v v = = x + y + x + y [ (x x ) + (y y ) ] = x + y + x + y (x xx + x + y yy + y ) = x + y + x + y x + xx x y + yy + y = xx + yy = xx + yy Exemple 4 : longueurs dans un triangle ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 6cm et BAC = π 4 radians. Calculer AB. AC et en déduire la longueur du côté [BC] AB. AC = AB AC cos( BAC) = 36cos( π 4 ) = 36 = 18 AB. AC = AB + AC BC = On a donc : 18 7 BC = 36 = 7 BC 7 BC BC = 7 36 donc BC = 7 36 = 36( ) = 6 6/1
7 Exemple 5 : Dans un repère Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1), B( ; 4) et C( 1; 1). Calculer AB. AC. H est le pied de la hauteur issue de C dans ABC. Calculer AH. AB. AC = x x AB AC + y y AB AC = ( 4) ( 3) + 3 ( ) = 6 H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et AB. AC > 0 donc AB. AC = AB AH AB = AB = x AB + y AB = ( 4) + 3 = 5 On a alors AB AH = 5AH = 6 donc AH = 6 5 Il faut calculer les coordonnées des vecteurs { AB et AC : x AB = x B x A = = 4 y AB = y B y A = 4 1 = 3 donc AB( 4; 3) { x AC = x C x A = 1 = 3 y AC = y C y A = 1 1 = et AC( 3; ) 3 Calculs avec le produit scalaire 3.1 Orthogonalité Pour tous vecteurs u et v non nuls, cos( u, v ) = cos( v, u ) (voir chap. trigonométrie) Propriétés : produit scalaire Pour tous vecteurs u et v, on a : u. v = 0 u = 0 ou v = 0 ou u et v sont orthogonaux. Applications : On peut donc utiliser le produit scalaire pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, qu un triangle est rectangle... Démonstration : éléments de démonstration cos( u, v ) = cos( v, u ) (( v, u ) = ( u, v ) et cos(α) = cos( α)) u et v sont orthogonaux ( u, v ) = π + kπ avec k Z et cos( π ) = 0 3. Propriétés Propriétés Soient u, v et w trois vecteurs et k un réel : u. v = v. u (le produit scalaire est commutatif) (k u ). v = k( u. v ) et ( u + v ). w = u. w + v. w (distributivité du produit scalaire) 7/1
8 Les démonstrations de ces propriétés peuvent se faire dans un repère orthonormé avec u (x; y), v (x ; y ) et w (x ; y ) Démonstration : Commutativité Avec les notations ci-dessus : u. v = xx + yy et v. u = x x + y y Or xx = x x et yy = y y donc u. v = v. u Avec la définition : u. v = u v cos( u, v ) et v. u = v u cos( v, u ) or cos( u, v ) = cos( v, u ) (pour tout réel x, cos(x) = cos( x)) 3.3 Carré scalaire Le carré scalaire d un vecteur u est u = u. u = u (cos( u, u ) = cos(0) = 1) Définition :Carré scalaire Le carré scalaire du vecteur u noté u est défini par : u = u. u = u soient u et v deux vecteurs, calculer alors ( u + v ). ( u + v ) = ( u + v ).( u + v ) = u + u. v + v. u + v = u + u. v + v ( u. v = v. u ) Propriétés : identités remarquables Pour tous vecteurs u et v : ( u + v ) = u + u. v + v ( u v ) = u u. v + v ( u + v ).( u v ) = u v 4 Applications du produit scalaire 4.1 droites perpendiculaires Pour toute cette partie, on se place dans un repère orthonormé (O; i ; j ). Propriété : Orthogonalité dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé,deux vecteurs u (x; y) et v (x ; y ) non nuls sont orthogonaux si et seulement si xx + yy = 0 Conséquence : Si u (x; y) alors le vecteur v ( y; x) est orthogonal au vecteur u On a alors u. v = x u x v + y u y v = x( y) + yx = 0 Exemple 6 : vecteurs orthogonaux Dans un repère orthonormé, si u ( 3; ) alors v (; 3) est orthogonal au u Définition : vecteur normal à une droite Soit (d) une droite, v est un vecteur normal à (d) si v est orthogonal à tout vecteur directeur de (d). 8/1
9 Propriété : coordonnées d un vecteur normal à une droite Si (d) admet pour équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur v (a; b) est un vecteur normal à (d). Pour déterminer une équation cartésienne d une droite (d ) passant par A(x A ; y A ) et perpendiculaire à (d) d équation ax + by + c = 0, on peut : Soit utiliser les coordonnées d un vecteur normal à (d) qui est alors un vecteur directeur de (d ) puis les coordonnées de A pour calculer c. Soit utiliser la méthode vue au chap5 pour les droites parallèles en utilisant un vecteur directeur u ( b; a) de (d) et en écrivant : M(x; y) (d ) AM. u = 0 (x M x A )x u + (y M y A )y u = 0... Exemple 7 : Orthogonalité dans le plan Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1), B(6; 5) et C( 1; 4). Montrer (sans calculer de longueurs) que ABC est un triangle rectangle en A. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur (d) issue de A dans ABC. { x AB = x B x A = 6 = 4 y AB = y B y A = 5 1 = 4 De même AC( 3; 3) AB. AC = x x AB AC + y y AB donc AB(4; 4) AC = 4 ( 3) = 0 donc AB et AC sont orthogonaux et ABC est rectangle en A. { x et BC = x C x B = 1 6 = 7 y BC = y C y B = 4 5 = 1 donc BC( 7; 1) La hauteur (d) issue de A est perpendiculaire à (BC) dont BC( 7; 1) est un vecteur directeur. Méthode 1 : en utilisant un vecteur normal à (BC) Le vecteur v ( 1; 7) est un vecteur orthogonal au vecteur BC et est un vecteur directeur de (d) et (d) admet une équation cartésienne de la forme 7x + y + c = 0 A (d) 7x A + y A + c = c = 0 c = 15 donc une équation cartésienne de (d) est 7x + y 15 = 0 (équation réduite : y = 7x + 15) 9/1
10 Méthode : en utilisant le produit scalaire Soit { M(x; y) un point de la hauteur (d) issue de A x AM = x M x A = x y AM = y M y A = y 1 donc AM(x ; y 1) et BC( 7; 1) BC et est un vecteur directeur de (BC) et est orthogonal au vecteur AM M (d) AM. BC = 0 x AM x BC + y AM y BC = 0 (x ) ( 7) + (y 1) ( 1) = 0 7x + 14 y + 1 = 0 7x y + 15 = 0 donc une équation cartésienne de (d) est 7x y + 15 = 0 Remarques Les deux équations obtenues sont équivalentes car en multipliant les deux membres par 1, on a : 7x y + 15 = 0 7x + y 15 = 0 Avec la méthode 1 et le vecteur v ( 1; 7), on peut aussi utiliser le critère de colinéarité : M(x; y) (d) AM et v colinéaires 4. Equation d un cercle x AM y v y AM x v = 0... Dans un repère orthonormé, on considère le cercle C de diamètre [AB] (A et B distincts) avec A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Méthode 1 : Avec le produit scalaire Un point M(x : y) distinct de A et de B appartient à C si et seulement si (AM) (BM) ou bien encore Un point M(x : y) distinct de A et de B appartient à C si et seulement si AM. BM = 0 AM(x x A ; y y A ) et BM(x x B ; y y B ) AM. BM = (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) AM. BM = 0 (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) = 0 Si M = A, x x A = y y A = 0 et donc (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) = 0 De même si M = B. méthode : avec le centre et le rayon Si on note O(x O ; y O ) le centre du cercle C et r son rayon (r = AB M C OM = r (x x O ) + (y y O ) = r ), on a alors : 10/1
11 Propriétés : équation cartésienne d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle de diamètre [AB] admet pour équation cartésienne (x x A )(x x B ) + (y y A )(y y B ) = 0 Le cercle de centre O(x O ; y O ) et de rayon r a pour équation cartésienne (x x O ) + (y y O ) = r Exemple 8 :Détermination d une équation d un cercle de diamètre [AB] Dans un repère orthonormé, Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB] avec A(1; 3) et B( 3; 5) Méthode 1 : Avec le produit scalaire Soit M(x; y) C AM(x 1; y 3) et BM(x + 3; y 5) AM. BM = 0 (x 1)(x + 3) + (y 3)(y 5) = 0 x + x + y 8y + 1 = 0 x + x + y 8y + 1 = 0 est une équation du cercle C Méthode : Avec le centre et le rayon Le centre du cercle Ω milieu de [AB] a pour coordonnées x Ω = x A + x B = 1 et y Ω = y A + y B et pour rayon AB = (xb x A ) + (y B y A ) 0 = = 5 = 5 donc (x x Ω ) + (y y Ω ) = 5 soit (x + 1) + (y 4) = 5 est une équation du cercle C. = 4 Remarque x + x + y 8y + 1 = 0 (x + 1) 1 + (y 4) = 0 (x + 1) + (y 4) = 5 Exemple 9 :Détermination du centre et du rayon d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle C a pour équation cartésienne x 4x + y + y = 0 Déterminer les coordonnées de son centre et de son rayon. Le point C(3; 1) appartient-il à C? Déterminer une équation de la tangente (T ) en C au cercle C. 1. x 4x + y + y = 0 (x ) 4 + (y + 1) 1 = 0 (x ) + (y + 1) = 5 (x ) + (y ( 1)) = 5 donc C a pour centre Ω(; 1) et rayon 5.. x C 4x C + y C + y C = = 0 donc C C 3. (T ) (ΩC) et C (T ) ΩC(1; ) donc n ( ; 1) vecteur normal à (ΩC) est un vecteur directeur de (T ). Une équation cartésienne de (T ) est de la forme x + y + c = 0 C (T ) x C + y C + c = c = 0 c = 5 donc x + y 5 = 0 est une équation cartésienne de (T ). 11/1
12 4.3 Théorème de la médiane Propriété : théorème de la médiane A et B sont deux points distincts et I est le milieu de [AB]. Pour tout point M, MA + MB = MI + 1 AB Démonstration MA + MB = MA + MB = ( MI + IA) + ( MI. IB) = MI + MI. IA + IA + MI + MI. IB + IB = MI + IA + ( ) MI. IA + MI. IB AB = MI + + MI.( IA + IB) = MI + AB + MI. 0 car IA = IB = MI + AB Exemple 10 : Calcul de la longueur de la médiane dans un triangle On considère un triangle ABC tel que AB=6cm, AC=5cm et BC=8cm. Calculer AI où I est le milieu de [BC] I milieu de [BC] donc (AI) est la médiane issue de A dans ABC. On a alors (avec M = A dans le théorème de la médiane) : AB + AC = AI + 1 BC = AI = AI AI = 9 = AI (car AI 0) 1/1
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