MATHÉMATIQUES II. , on convient d appeler écriture de A par blocs l écriture. Partie I - Questions préliminaires

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1 MATHÉMATIQUES II Dans ou le problème, Π es un plan euclidien oriené rapporé à un repère orhonormé direc ( O; i, j) On rappelle que les déplacemens de Π son les roaions e les ranslaions de ce plan On noera Id π l idenié de Π Les marices uilisées dans le problème son réelles On noe M n ( IR) l ensemble des marices carrées à n lignes On désigne par A la ransposée de la marice A Si A es une marice carrée, on désigne par de ( A) son déerminan e si A M 3 ( IR), on convien d appeler écriure de A par blocs l écriure A PQ, RS q où P M 2 ( IR), Q es de la forme, R es de la forme r r 2, e S es de la q 2 forme [ s], avec q, q 2, r, r 2, s réels La marice idenié de M 2 ( IR) es noée I Parie I - Quesions préliminaires IA - Les marices A, A e leur produi AA appariennen à M 3 ( IR) ; on les écri par blocs : A PQ A RS P Q AA R S XY ZT IA) En prélevan dans les marices A e A les ermes uiles, calculer les deu ermes de la marice Y e monrer que Y PQ + QS Des calculs analogues prouveraien que AA PP + QR PQ + QS RP + SR RQ + SS, ce que l on admera IA2) Donner sans jusificaion l écriure par blocs de la ransposée de A Concours Cenrale-Supélec 2004 /7

2 IB - IB) On suppose que le couple ( X, X 2 ) forme une base orhonormée de IR 2 e que X e X 2 son des veceurs propres pour une ceraine marice B apparenan à M 2 ( IR) Monrer que le couple ( X, X 2 ) a les mêmes propriéés IB2) Soi S M 2 ( IR), qu on suppose symérique Jusifier l eisence dans M 2 ( IR) de rois marices, N, L, D, avec N e L orhogonales e D diagonale, elles que S ND N LD L, où L es obenue en remplaçan dans N la première colonne par son opposée IB3) En comparan de ( N) e de ( L), monrer que l une des deu marices N ou L es de la forme R( θ) sinθ sinθ IC - Soi R une marice de la forme R( θ) précédene, différene de I Monrer que R I es inversible Parie II - Le roupe À ou riple M( θ, pq, ) ( θ, pq, ) e son écriure par blocs, noée de nombres réels, on associe la marice sinθ p sinθ q 0 0 R( θ) T( p, q) RT, abrégée en, 0 [ ] 0 où les deu ermes de la sous-marice uniligne 0 son nuls On appelle l ensemble des marices de la forme M( θ, pq, ) Concours Cenrale-Supélec /7

3 IIA - IIA) Calculer le déerminan de M( θ, pq, ) IIA2) La marice M( θ, pq, ) es-elle orhogonale? IIB - IIB) Calculer le produi M( θ, pq, ) M( θ, p, q ) de deu marices de Monrer que ce produi apparien à IIB2) Le riple ( θ, pq, ) éan donné, commen choisir ( θ, p, q ) pour que le produi précéden soi la marice idenié I 3? IIB3) Monrer que, lorsqu on le muni de la muliplicaion, l ensemble es un groupe IIC - IIC) Monrer que le polynôme caracérisique de M( θ, pq, ) es le produi de deu polynômes à coefficiens réels, que l on précisera IIC2) On suppose que R I a) Déerminer, selon les valeurs de θ, les valeurs propres réelles de M( θ, pq, ) b) Quelle es la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre? Trouver un veceur propre de la forme y associé à la valeur propre On donnera de 0 0 une epression maricielle uilisan T e ( I R) y 0 IID - Chaque poin P de Π es repéré par ses coordonnées ( y, ) dans le repère ( O ; i, j) IID) Quelles son les coordonnées (, y ) de l image P de P par la ranslaion de veceur T p i+ q j? IID2) Le poin P 0 de Π e le réel θ son fiés On désigne par r la roaion de cenre P 0 e d angle θ Soi P l image de P par r Eprimer les coordonnées (, y ) de P en foncion de, y, θ, e des coordonnées ( 0, y 0 ) de P 0 0 Concours Cenrale-Supélec /7

4 IID3) Monrer que, dans IID2) comme dans IID), on peu rouver dans une marice M, que l on précisera dans chacun des deu cas, elle que y M y IID4) a) Réciproquemen, les réels θ, pqy,,, éan donnés, calculer le produi mariciel M( θ, pq, ) y b) Ce produi es de la forme y Monrer que le poin P de Π, de coordonnées (, y ), es l image du poin P, de coordonnées (, y), par un déplacemen c) Lorsque ce déplacemen es une roaion de cenre P 0 ( 0, y 0 ) différene de l idenié de Π, on pose V P0 0 y 0 Monrer que V P0 ( I R) T Parie III - Le groupe e les marices symériques Dans cee parie, on inrodui l ensemble S des marices symériques de M 3 ( IR), donc de la forme générale a b d b c e d e f Une elle marice sera noée Qabcdef (,,,,, ), ou Q de façon abrégée Soi Q une marice apparenan à S On appelle ransformée de Q oue marice de la forme MQM, où M es une marice apparenan à l ensemble défini dans la parie II IIIA - Soi Q une marice apparenan à S IIIA) Monrer que oues les ransformées de Q appariennen à S IIIA2) Monrer que Q es une ransformée de Q Concours Cenrale-Supélec /7

5 IIIA3) Monrer que si Q es une ransformée de Q, alors Q es une ransformée de Q IIIA4) Monrer que si Q es une ransformée de Q e Q une ransformée de Q, alors Q es une ransformée de Q Pour les quesions qui suiven, on pourra uiliser les résulas de la parie IA IIIB - À oue marice Qabcdef (,,,,, ), on associe les réels : p ( Q) a+ c ; p 2 ( Q) ac b 2 ; p 3 ( Q) de ( Q) e la marice : SQ ( ) a b b c IIIB) Pour M, associée à θ, pq,, écrire S( MQM) comme un produi de rois marices IIIB2) En déduire que, pour oue ransformée Q de Q, on a p ( Q) p ( Q ) e p 2 ( Q) p 2 ( Q ) IIIB3) Monrer que, pour oue ransformée Q de Q, on a p 3 ( Q) p 3 ( Q ) Les nombres réels p ( Q), p 2 ( Q), p 3 ( Q) son appelés les invarians de Q Dans la suie de cee secion, on se propose, en considéran divers cas pour les invarians de Q, de rouver, dans chaque cas, une ransformée simple de Q IIIC - IIIC) Monrer que, parmi les ransformées de Qabcdef (,,,,, ), il y a une marice de la forme Q( λ, 0, µ, d, e, f ), qu on noera Q dans la suie, (on pourra uiliser IB3) e IIIB)) IIIC2) Calculer p ( Q) e p 2 ( Q) en foncion de λ e µ IIIC3) Monrer que, si p 2 ( Q) es nul, on peu, en précisan le choi de Q, faire en sore que µ soi nul IIID - Pour M, de la forme M( 0, pq, ), calculer les ermes non diagonau de MQ M Concours Cenrale-Supélec /7

6 IIIE - Éude des différens cas IIIE) Premier cas : p 2 ( Q) es non nul Monrer que, parmi les ransformées de Q, il y a une marice Q diagonale don le roisième erme diagonal es nécessairemen p 3 ( Q) p 2 ( Q) IIIE2) Deuième cas : p 2 ( Q) es nul a) Premier sous-cas : p ( Q) e p 3 ( Q) son non nuls Monrer que, parmi les ransformées de Q, il y a la marice Q( λ, 000e,,,, 0) b) Deuième sous-cas : p ( Q) es non nul e p 3 ( Q) es nul Monrer que, parmi les ransformées de Q, il y a une marice de la forme Q( λ, 0000f,,,, ) c) Troisième sous-cas : p ( Q) es nul Monrer que ab, e c son nuls Parie IV - Applicaion au coniques Les coefficiens réels ( abcdef,,,,, ) éan fiés, on considère la courbe du plan Π, qui adme, dans le repère ( O; i, j) l équaion carésienne : a 2 + 2by + cy 2 + 2d + 2ey + f 0, Cee courbe es noée C( abcdef,,,,, ), ou C, de façon abrégée L ensemble des courbes C es noé F IVA - Éude d un eemple On pose H C( 0, 200,,, 2, ) e H 2 C( 0,, 00,,, 2) Représener sur un même dessin les courbes H e H 2 ainsi que leurs asympoes Dans la suie, on associe au poin P de coordonnées (, y) la marice P y e à la marice C( abcdef,,,,, ) Qabcdef (,,,,, ) définie dans la parie III la courbe Concours Cenrale-Supélec /7

7 IVB - Trouver une condiion nécessaire e suffisane, poran sur le produi mariciel P QP, pour que le poin P soi sur la courbe C associée à la marice Q IVC - Soi d un déplacemen du plan, d( P) l image par d du poin P e M la marice, apparenan à, définie dans IID3), qui es associée à d IVC) Trouver une condiion nécessaire e suffisane, lian les marices P, M e Q e leurs ransposées, pour que le poin d( P) soi sur la courbe C associée à la marice Q IVC2) En déduire que la courbe C de F, associée à Q de S, es l image par d d une courbe C de F, associée à une marice Q de S, que l on précisera IVC3) Monrer que Q es, suivan la définiion donnée dans la parie II, une ransformée de Q IVD - En uilisan IIIE, monrer que oue courbe C de F es l image, par un cerain déplacemen, d une courbe C de F d équaion simple IVE - Monrer que si C es associée à la marice Q, elle es aussi associée à αq, pour ou α non nul Eemple : monrer, en uilisan IIIE), que H es l image de H 2 par un déplacemen que l on ne cherchera pas à eplicier FIN Concours Cenrale-Supélec /7