Université d Evry Val d Essonne Laboratoire d Analyse et Probabilités EA 2172 THESE. présentée pour obtenir le titre de

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1 Universié d Evry Val d Essonne Laboraoire d Analyse e Probabiliés EA 2172 THESE présenée pour obenir le ire de DOCTEUR EN SCIENCES MATHÉMATIQUES de l Universié d Evry Val d Essonne par Armand Brice NGOUPEYOU Opimisaion des porefeuilles d acifs soumis au risque de défau. souenue le 7 Juille 21 devan le jury composé des professeurs : Lauren Denis Monique JEANBLANC Nicole EL KAROUI Anis MATOUSSI Huyen PHAM Agnès SULEM Examinaeur Direceur Examinaeur Co-Direceur Rapporeur Rapporeur

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3 Rapporeurs Bruno BOUCHARD : Universié Paris-Dauphine. Huyen Pham : Universié Paris 7 Didero. Agnès SULEM : Insiu Naional de la Recherche en Informaique e Auomaique. 3

4 À ma mère "Voici je mes en Sion une pierre angulaire, choisie, précieuse, e celui qui croi en elle ne sera poin confus." La Bible, Pierre 2 :6. 4

5 Remerciemens Mes premiers remerciemens s adressen à ma direcrice de hèse Monique Jeanblanc qui m a oujours encouragé dans mes ravaux e qui m a donné l envie e le plaisir de chercher e réaliser ce ravail dans un cadre agréable. Je suis un admiraeur de Monique car par son volume de ravail e sa capacié à répondre facilemen aux quesions elle me monre la voie pour réussir e devenir plus ard un vrai chercheur. Je ne pourrai pas rouver de mos pour remercier mon co-direceur de hèse Anis Maoussi qui m a guidé e oriené depuis ma deuxième année universiaire. Il a su m encadrer, m apporer le souien echnique e moral don j avais besoin ou au long de mon parcours universiaire, je ne le remercierai jamais assez. Je iens à remercier mes rapporeurs de hèse Bruno Bouchard, Huyen Pham, Agnès Sulem d avoir accepé de faire parie de mon jury de hèse. Je les remercie pour ou le emps qu ils on accordé pour la lecure de cee hèse e pour oues leurs suggesions. Je iens à remercier Nicole El Karoui d avoir accepé d êre membre de jury de cee hèse. Je iens à remercier mes collègues Behnaz Zaghari, Georgia Gallegaro, Thomas Lim avec qui j ai passé des momens formidables ou au long de ma hèse, merci pour ces momens d échange e de parage qui m on permis d apprécier mon séjour à l universié d Evry, merci pour ces momens de fous rires au Laboraoire qui m on permis de désresser e de ravailler dans un cadre agréable. Un grand remerciemen à Lauren Denis pour sa disponibilié, pour son aide don il a fai preuve à mon égard. 5

6 Je iens à remercier Ould Baba El Maouloud pour son aide en logiciels e équipemens informaiques, Valérie Pico pour la grâce e la genillesse don elle a fai preuve à mon égard ou au long de mes années de hèse. Je iens à remercier ous les membres du laboraoire pour leur accueil, il y règne une ambiance conviviale, ou ce univers e ces lieux que j ai parcouru me manqueron énormémen. Un merci pariculier à Jean Pierre Lepelier, Said Hamadène, Alexandre Popier pour leurs encouragemens, à oue l équipe du Laboraoire de Mahémaiques de l universié du Mans pour leur accueil e leur souien. Je iens à remercier les membres du proje Premia Enpc/Inria, Anonino Zanee pour m avoir donné la chance de ravailler pour ce proje, Ahmed Kebaier pour ses conseils e ses encouragemens e ous les aures membres pour leur accueil e parage au Cermics. Je iens à remercier la famille Nana e la famille Mbopda pour leur souien moral ou au long de ces années de hèse. Je iens à remercier ous les membres de ma famille, je commencerai par mon bien aimé grand frère Achille que je respece pour ses capaciés en Mahémaiques, il a su me donner l envie de m inéresser dès mon enfance à cee discipline pour sa logique e l espérance qu elle pouvai nous apporer. Par son ravail, sa persevérance, il a su me monrer l exemple, par cee hèse je lui rends hommage car si on rese dans l univers des Mahémaiques je suis une version de mon grand frère qui a eu la chance de coninuer ses éudes dans de bonnes universiés avec ou le confor e l aide qui suiven. Je iens à remercier mon père pour son souien. Un grand merci à ma grande soeur Inès avec qui j ai ravaillé en Mahémaiques oue mon enfance, elle m a guidé e a oujours cru en moi, merci grande soeur. Je remercie rès chaleureusemen ma peie soeur Armelle qui a supporé oues mes humeurs cee année, sa joie de vivre e son espri combaif me poussen à ne jamais baisser les bras. Un grand merci pour ma peie soeur Vanessa, elle es une lumière, sa consane bonne humeur e son humulié me fai comprendre qu on doi reser oujours humble e 6

7 dans une quêe quoidienne du savoir. Je remercie mon frère Seeve e ma peie soeur Prisicilia pour ou leur amour. Merci mes amis Karly, Séverin, Merlin, Parice, Roméo, Mireille, Césaire, Franck, Eric e Hervé avec qui j ai paragé mes soucis e inquiéudes. Je garde biensûr pour la fin la personne à qui je dédie cee hèse : ma mère, celle qui a éé oujours là pour moi, dans ous mes combas j ai resseni son amour qui me porai e permeai de reser debou, elle m a béni par ses aces e son amour pour son prochain, 7

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9 Avan-propos Cee hèse es consiuée de rois paries poran sur la maximisaion d uilié des porefeuilles d acifs soumis au risque de défau e sur la valorisaion des dérivés de crédi. Dans la première parie, on ravaille en modèle cerain c es à dire sous l hypohèse qu il exise une unique probabilié hisorique modèle ; dans la seconde parie on suppose l hypohèse inverse, en considéran une muliude de modèles. Nore ravail dans cee parie consise à déerminer le "bon" modèle e à caracériser la richesse opimale dans ce modèle. La roisième parie pore sur les différenes méhodes de valorisaion d un dérivé de crédi. La première parie de cee hèse es un ravail réalisé avec mes direceurs de hèse. C es un Preprin iniulé "Quadraic Backward Sochasic Differenial Equaions wih jumps and applicaion in uiliy maximizaion". La deuxième parie de cee hèse es un ravail réalisé avec mes direceurs de hèse e soumis au journal "Finance and Sochasics" sous le ire de "Robus uiliy from erminal wealh and consumpion in disconinuous filraion". La roisième parie es la suie de mon ravail de sage de Maser II effecué au sein de l INRIA e de l ENPC dans le proje Mahfi Premia sous la direcion d Agnès Sulem e d Anonino Zanee. A la fin de mon sage, j ai inégré l équipe Mahfi-Premia secion risque de crédi pour éudier la valorisaion des dérivés de crédi en décrivan des algorihmes de pricing e de calibraion. Le bu éan d avoir un ouil performan de pricing. 9

10 1 Table des maières 1

11 Table des maières 1 Inroducion Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à sau e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Maximisaion d uilié exponenielle e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à saus Semimaringale quadraique-exponenielle e applicaions aux EDSR Conrôle sochasique robuse e maximisaion d uilié Robusesse des modèles Maximisaion de la consommaion e de la richesse erminale sous le modèle opimal Méhodes numériques e calcul du prix d un dérivé de crédi Cadre saique Cadre dynamique Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Inroducion Model and Preliminary Noaion Quadraic exponenial semimaringales Quasi-enropic maringales Quadraic exponenial semimaringale and BMO properies

12 12 Table des maières Sabiliy resuls of quadraic exponenial semimaringale Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE Exisence of he soluion of a quadraic BSDE wih jump Uniqueness in a paricular case Exisence resul : exponenial inegrable condiion case Uiliy maximizaion problem for credi derivaives The model Dynamic programming and BSDEs Appendix BMO maringales and quadraic-exponenial semimaringales Universal Bound for quadraic exponenial semimaringale Technical lemma Lipschiz BSDEs wih Jumps Exisence and comparison heorem for he linear growh case Linear growh coefficien and exponenial inegrable erminal condiion 8 3 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Inroducion The Model and he Robus Opimizaion Problem The Model The robus opimizaion problem The Opimal Model Measure Some properies of soluions of he BSDE Comparison heorem and properies of he value process The second opimizaion problem The opimal plan Properies of he value process The opimizaion problem Logarihm Case Appendix

13 Table des maières 13 4 Méhodes numériques Inroducion Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique Spread d un CDS dans un cadre saique Evaluaion d une ranche de CDO dans un cadre saique Calibraion du paramère de corrélaion e pricing d une ranche non sandard Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique Approche Boom Up Approche Top down Conclusion

14 14 Inroducion 14

15 Chapire 1 Inroducion Les deux premières paries de ce ravail son de naure héorique. Cependan, elles corresponden à des préoccupaions majeures des inervenans sur les marchés financiers. Un cas pariculier du modèle que nous avons éudié es celui où les processus de compage son des indicaeurs de défau c es à dire, H i = 1 {τi }, où les τ i son des variables posiives représenan les emps de défau, i = 1,, d. Nous avons ainsi dans un cadre général où les défaus son correlés par l inermédiaire des inensiés mesuré le risque de modèle, c es à dire le risque d un choix de dépendance incorrec. En effe, face à la crise acuelle, les peres des banques e l illiquidié acuelle des produis soumis au défau CDS, CDS, meen en évidence plusieurs risques don il es imporan de enir compe dans l avenir : le risque du choix du modèle pour enir compe du risque de défau e de conagion, le risque d illiquidié e le risque de conreparie. Nous avons monré dans ces ravaux qu il es possible de consruire un modèle en considéran le risque de défau, ou en définissan une mesure de risque dynamique associée à un acif coningen dépendan des défaus des firmes dans le sysème considéré. Nous ravaillons dans un espace probabilisé filré Ω, G, G, P où ous les processus considérés dans cee éude son G adapés e définis sur l inervalle [, T où T es à horizon fini e nous faisons les hypohèses suivanes : Hypohèse A 1 1 Pour ou i = 1,...,d, H i es un processus de compage e il exise un processus adapé 15

16 16 Inroducion e posiif λ i, appelé l inensié de H i sous P, el que le processus N i donné par N i := H i λi sds es une G maringale. Nous supposerons que les processus H i, i = 1,...,d n on pas de saus communs. 2 Toue maringale disconinue adme une représenaion de la forme suivane : dm Y = d Ŷ i dn i où Ŷ i, i = 1,...,d son des processus G prévisibles. Ces hypohèses son saisfaies dans le cas où la filraion es générée par un mouvemen Brownien e un processus de Poisson inhomogène e dans le cadre du risque de crédi. Dans le cas d une filraion générée par un mouvemen Brownien p-dimensionnel e les emps de défau le prix d un acif aura la forme suivane : d+p ds i = S i µ i d + σ i,j dn j + σ i,j dw j d,i = 1,...,d. j=1 j=d+1 Le processus σ i,j représene l impac de l acif de j sur le prix de l acif i. Pour une richesse donnée, nous nous inéressons dans une première parie à la composiion opimale d un porefeuille de els acifs. Nous déduirons de cee éude le prix d un acif coningen non duplicable éan donnée l aversion au risque de l invesisseur via la noion de "prix d indifférence". Dans la deuxième parie nous éudions la noion du risque de modèle en supposan une muliude de façons de percevoir le modèle, nous éudierons le choix du "bon" modèle e définissons la consommaion e la richesse opimale sous ce modèle. Dans la roisième parie nous donnons quelques résulas numériques obenus lors des calculs des prix des dérivés de crédi. 16

17 Inroducion 17 Noaions Les noaions que nous présenons dans cee parie son uilisées dans ous les chapires de cee hèse. Nous noons par : L exp l espace des variables aléaoires X, G T -mesurables vérifian pour ou γ > : E[exp γ X <. D exp l espace des processus X progressivemen mesurables vérifian γ > : D exp E [ exp γ ess sup T X <. 1 l espace des processus X progressivemen mesurables els que γ > : [ E exp γ X s ds <. M p P l espace des P-maringales M = M T elles que Esup T M p < L 2 λ l espace des processus prévisibles X à valeurs dans R d els que [ E Xs i 2 λ i sds < S l espace des processus adapés à valeurs dans R els que Y S = E sup T Y <. S 2 l espace des processus adapés X à valeurs dans R els que E sup T X 2 <. H 2 l espace des processus adapés Z à valeurs dans R p T els que E Z s 2 ds <. U exp l espace des P maringales M = M T elles que EM es une maringale uniformémen inégrable. D exp l espace des processus opionnels X els que expx D, où D es l ensemble des processus apparenan à la classe D. L 1 exp l espace des variables aléaoires X, G T mesurables elles que E[expX <. 17

18 18 Inroducion 1.1 Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à sau e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Maximisaion d uilié exponenielle e prix d indifférence dans un modèle avec défaus Nous nous plaçons dans un marché financier incomple e nore objecif es de caracériser le prix d indifférence d un acif coningen ψ T non duplicable. Nous nous inéressons à la maximisaion de l espérance de l uilié de la richesse finale sur un ensemble de sraégies admissibles. Pour résoudre ce probléme, nous uilisons les echniques de conrôle sochasique dynamique voir cours de S. Flour 1981 de El Karoui [26. Afin de caracériser la valeur du problème de conrôle, nous uilisons le principe de la programmaion dynamique en erme d Équaion Différenielle Sochasique Rérograde EDSR, don le coefficien es à déerminer. Ean donnée l aversion au risque représenée par une foncion d uilié exponenielle de paramère δ posiif, le prix de ce acif es donné via le prix d indifférence de ψ T en résolvan successivemen les problèmes d opimisaion suivans : u x = max E[ exp δx x,π π T, u ψ x = max π E[ exp δx x,π T ψ T, 1.1 où π i représene la proporion de richesse invesie dans l acif i, apparenan à un ensemble compac A, x représene la richesse iniiale e X x,π T la richesse erminale à l horizon T. L applicaion du principe de programmaion dynamique nous perme de caracériser la valeur du problème de conrôle par le processus d éa Y où le riple Y,Z, U es soluion d une EDSR associée à g,ψ T, avec g défini P-p.s pour ou [, T par : { 1 g Y, Z, U = inf κ δ j δu k κ. θ λ + δ κ Z + θ 2 2 δ Z. θ θ 2 }. 2δ Ā 1.2 Le processus κ défini par κ := π σ se décompose en κ = κ, κ avec κ = κ 1,, κ d e κ = κ d+1,, κ d+p. La prime de risque minimale θ = σ r σ σ r 1 µ es aussi réparie en deux composanes θ = θ 1,, θ d+1 e θ = θ d+1,, θ d+p. L ensemble des sraégies κ es défini par Ā := Aσ pour ou T. 18

19 Inroducion 19 Le coefficien g vérifie : l z. θ θ 2 2δ g y, z,u 1 δ j δu + δ 2 z 2 où l es un processus G-adapé e borné. Le coefficien g de l EDSR es à croissance quadraique en z e exponenielle en u. L éude des EDSR associées respecivemen à g,ψ T e à g, perme de déerminer la soluion des problèmes d opimisaion e de caracériser le prix d indifférence p de l acif coningen ψ T, vérifian u x = u ψ x + p. Ainsi le calcul du prix d un acif coningen dépendan des défau es donc calculé en caracérisan la soluion d une EDSR don le coefficien es à croissance quadraique en z e exponenielle en u Equaions Différenielles Sochasiques Rérogrades à saus En 199, moivés par la représenaion du processus adjoin en conrôle sochasique, Pardoux e Peng [6 on inrodui le concep général des Equaions Différenielles Sochasiques RérogradesEDSR comme un couple de processus adapés Y,Z els que dy = g Y, Z d Z.dW avec une condiion erminale Y T = ψ T, où g y,z es un processus sochasique appelé le coefficien de l EDSR, e ψ T es une variable G T mesurable. Sous les condiions de carré inégrable des maringales, Peng e Pardoux on monré que l EDSR à coefficien Lipschiz adme une unique soluion de carré inégrable ; la preuve éan basée sur le héorème du poin fixe [6. En finance, l applicaion des EDSR a suscié un inerê considérable. En résolvan une EDSR à coefficien linéaire, on peu caracériser la richesse e la sraégie opimale dans le modèle de Black and Scholes voir [29. Les EDSR permeen égalemen de résoudre le problème de maximisaion de la richesse erminale e permeen ainsi de déduire le prix d indifférence d un acif coningen voir [42. Nous nous sommes inéressés dans la suie à l applicaion des EDSR pour caracériser le prix d un acif coningen dans un modèle présenan des saus. D après l hypohèse A1-2 faie sur la représenaion des maringales, pour déduire ce prix dépendan des saus, il es imporan de définir de nouveaux ypes d EDSR, "les 19

20 2 Inroducion EDSR à saus" définies comme un riple de processus adapés Y,Z, U el que dy = g Y, Z, U d Z.dW U.dN où la condiion erminale Y T = ψ T apparien à G T. La résoluion des EDSR dépend foremen des condiions sur le coefficien g e sur la condiion erminale ψ T, nous monrerons dans la première parie de ce ravail, l exisence de la soluion dans le cas Lipschiz. La preuve es basée sur des méhodes sandards voir [2 e [57. En considéran une condiion erminale ψ T L 2 Ω, G T, P e le coefficien g Lipschiz, on monre qu il exise un riple Y, Z, U soluion de l EDSR dy = g Y, Z, U d Z.dW Y.dN, Y T = ψ T. De plus : E sup T Y 2 + Z 2 d + U i 2 λ i d CE ψ T 2 + g,, 2 d Pour obenir un héorème de comparaison dans le cas des EDSR avec saus, nous avons besoin d une condiion supplémenaire sur les variaions du coefficien de l EDSR par rappor aux saus. On noera cee condiion dans oue la suie la condiion A γ définie par : g y, z,u 1 g, y,z, u 2 γ i u i 1, u i 2u i 1 u i 2λ i, P-p.s, u 1, u 2 R d. où le processus γ i vérifie 1 + δ i γ i u i 1, ui 2 ci ; δ i, c i R +, pour ou i = 1,, d. Afin de monrer l exisence e l unicié de la soluion de l EDSR associée au problème de maximisaion 1.1 don le coefficien es à croissance quadraique-exponenielle, on peu uiliser les argumens sandards voir [57. Cee méhodologie consise à définir une suie g n n N de coefficiens Lipschiz vérifian la condiion A γ e convergean vers le coefficien g de l EDSR. En noan Y n, Z n, U n la soluion de l EDSR associée à g n, ψ T e en uilisan les caracérisiques de g n on dédui : E sup T Y n 2 + Z n 2 d + U n,i 2 λ i d CE ψ T 2 + g n,, 2 d Grâce à des argumens de convergence faible e de convergence fore, on prouve par une méhode sandard l exisence de la soluion de l EDSR asscociée à g,ψ T où g es à croissance quadraique-exponenielle. Le bu de la première parie de cee hèse es d éablir 2

21 Inroducion 21 l exisence de la soluion d une EDSR don le coefficien es à croissance quadraiqueexponenielle en uilisan de nouveaux argumens liés aux semimaringales quadraiques. En effe, la noion des semimaringales quadraiques définies par Barrieu, El Karoui e Xu [5 perme de résoudre plus rapidemen ce ype d EDSR. Nore ravail e nore appor consiseron à éendre la noion de "semimaringales quadraiques" aux "semimaringales quadraiques-exponenielles" afin de enir compe des ermes en saus dûs aux défaus. Cee nouvelle noion de semimaringales quadraiques-exponenielles nous permera de résoudre facilemen les EDSR don le coefficien es à croissance quadraique-exponenielle e nous pourrons déduire de cee éude le prix d un acif coningen Semimaringale quadraique-exponenielle e applicaions aux EDSR Dans cee secion, nore objecif es l éude de l exisence e de l unicié des EDSR don le coefficien es à croissance quadraique-exponenielle e de valeur erminale non bornée. On inrodui la noion de semimaringale quadraique exponenielle, s inspiran de la noion semimaringale quadraique développée par Barrieu, El Karoui e Xu [5 dans le cadre de processus coninus. Le erme exponenielle fai reférence à la croissance du coefficien par rappor à la variable sau. Cee nouvelle approche es basée sur des ouils probabilises, els que la décomposiion addiive de Doob-Meyer, des esimaions enropiques e des héorèmes de sabilié pour les semimaringales spéciales. Les argumens uilisés par la méhode de Kobylanski [45 son pluô analyiques s inspiran des ravaux de Boccardo, Mura e Puel [1. En effe, l approche de Kobylanski repose sur un changemen de variable exponeniel, sur les méhodes de roncaure e sur les héorèmes de sabilié par passage à la limie. Nous définissons les semimaringales quadraiques exponenielles comme sui : Definiion 1. Semimaringale quadraique-exponenielle Une semimaringale X = X + V + M c + U.N es appelée semimaringale quadraique-exponenielle q exp si le riple V,M c, U vérifie la condiion de srucure Q exp Λ, A,δ suivane : il exise des processus 21

22 22 Inroducion prévisibles croissans Λ, A e une consane posiive δ elle que : dv << dλ + X da + δ 2 d Mc + 1 δ j δu d, Ainsi dλ X da δ 2 d Mc 1 δ jδu d << dv d V << dλ + X da + δ 2 d Mc + 1 δ j δu + jδu d où la foncion j es définie par ju = d expu u 1λi pour ou u = u 1,, u d R d. En pariculier la semimaringale X = X + M δ 2 Mc. 1 δ jδu d es appelée semimaringale canonique quadraique-exponenielle, elle es égalemen noée X = RX, M c, U. Definiion 2. Le processus enropique associé à la variable aléaoire ψ T G T elle que expδψ T L 1 P pour ou δ R es donné par : ρ δ, ψ T = 1 δ ln E[expδψ T G. Un processus opionnel X apparenan à la classe D exp es appelé : i Sous-maringale enropique si pour ou couple de emps d arrê σ, τ, σ τ T : ρ 1,σ X τ X τ, P ps. ii Surmaringale enropique si X es une sous-maringale enropique, i.e., pour ou couple de emps d arrê σ, τ, σ τ T : ρ 1,σ X τ X τ équivalen à ρ 1,σ X τ X σ, P ps. iii Quasi-maringale enropique si X es une sous-maringale enropique e une surmaringale enropique. Pour ou couple de emps d arrê σ, τ, σ τ T : ρ 1,σ X τ X σ ρ 1,σ X τ, P ps. Pour caracériser une quasi-maringale enropique, il suffi de caracériser une sousmaringale enropique, ce qui es fai en uilisan le héorème de Doob. Soi X une sousmaringale enropique càdlàg adapée e apparenan à la classe D exp alors le processus X adme la décomposiion addiive : X = M 1 2 Mc. ju d + A. où M = M c +. U dn e le processus A es un processus prévisible croissan. 22

23 Inroducion 23 Ce résula perme de caracériser les propriéés des sous-maringales enropiques X e X bornées, exponenielles inégrables à parir des propriées de leurs paries maringales e réciproquemen. Par exemple, dans le cas où X es bornée, on peu déduire que sa parie maringale M es de ype BMO. Nous uilisons cee approche des semimaringales quadraiques-exponenielles pour avoir un résula d exisence pour des EDSR quadraiques avec une condiion erminale non bornée. A nore connaissance, ce problème relaif à une condiion erminale non bornée dans le cas d une EDSR à sau n a pas éé résolu dans la liéraure. 1.2 Conrôle sochasique robuse e maximisaion d uilié Robusesse des modèles Dans cee parie, nore objecif es d éudier un problème de maximisaion d uilié avec une inceriude sur le choix de la probabilié hisorique. Nous nous proposons de déerminer la richesse opimale e la consommaion opimale d une uilié robuse; c es à dire de résoudre Le problème : supinf Uπ, Q, 1.3 π Q où π apparien à un ensemble des sraégies admissibles sraégies de porefeuilles, sraégies de consommaion,..., e Q apparien à Q, l ensemble des modèles hisoriques. Dans le cas classique d un seul modèle connu Q = {P} avec P la probabilié de reférence, Uπ, P es donné sous la forme d une espérance d uilié sous P d une richesse finale e/ou d une consommaion. Le cas où Q n es pas rédui à un singleon a éé éudié par Lazrak e Quenez [5, Schied [67, Schied e Wu [68, Oksendal e Sulem [59. Leurs approches son basées sur la dualié convexe. Nore approche alernaive es basée sur une méhode de pénalisaion : nous inroduisons dans Uπ, P un erme de pénalisaion qui dépend seulemen de Q pas de π e nous opimisons sur un espace plus large que Q. Ce modéle a éé inrodui par les économises Anderson, Hansen and Sargen [1 dans un cadre Markovien en uilisan formellemen des équaions de Hamilon-Jacobi-Bellman associées au probléme. Bordigoni, Maoussi e 23

24 24 Inroducion Schweizer on fai une éude mahémaique de la parie minimisaion du problème 1.3 dans un cadre général des semimaringales. Nore conribuion es d éudier une problème de max min dans une filraion disconinue engendrée par les saus e une filraion de référence coninue. Nous nous plaçons sur l espace probabilisé filré Ω, G, G, P. Nous considérons l ensemble des modèles Q := {Q probabilié sur Ω.q. Q P sur G T } el que le processus densié Z Q es une P-maringale càdlàg Z Q = dq [dq dp G = E P G dp Nous idenifions Z Q avec Q dans nore problème d opimisaion. Nous noons par S δ := exp δ s ds le processus d escompe avec un aux δ = δ T e on se donne la foncion coû suivane cω, Q := U δ,tq + R δ,tq. avec U,T δ Q es le erme d uilié acualisé donné par où Ũ = Ũ U δ,tq = Ss δ S δ Ũ s ds + Sδ T S δ Ū T [,T Dexp 1 représene le processus de consommaion, ŪT L exp représene la richesse finale e R δ,t Q représene le erme de pénalié donné par R δ,tq = δ s S δ s S δ log ZQ s Z Q ds + Sδ T S δ log ZQ T Z Q Nous nous proposons de résoudre le problème de conrôle suivan minimiser Q ΓQ := E Q [ c., Q. 1.4 sur l espace des probabiliés Q P sur G T. On noe que ΓQ représene Uπ, Q pour un π fixé associé au couple consommaion-richesse. Nous noons dans la suie PŨ,ŪT le problème d opimisaion précéden. En uilisan la probabilié de référence P, ΓQ s écri : ΓQ = E P [Z Q T [ T SsŨs δ ds + STŪT δ + E P δ s SsZ δ s Q log Zs Q ds + STZ δ Q T log ZQ T

25 Inroducion 25 Le deuxième erme de la dernière expression fai apparaîre l enropie relaive de Q par rappor P sur G T : E Q [log Z Q T, si Q P sur G T HQ P := +, sinon Ce erme exprime le choix du modèle Q par rappor à la probabilié de référence P car l enropie relaive représene une "disance" enre Q e P. Plus pariculièremen nous définissons Q f comme l ensemble des probabiliés Q sur Ω, G elles que Q P sur G T, Q = P sur G e HQ P < e nous noons par Q e f := {Q Q f Q P on G T }. Bordigoni, Maoussi e Schweizer [13 on prouvé l exisence d une unique probabilié opimale, soluion de 1.4 en considéran une filraion générale. Nore conribuion consise dans l uilisaion du principe de programmaion dynamique pour décrire la valeur du problème de conrôle avec des EDSRs généralisées. De plus, nous caracérisons la densié opimale Z Q dans le cadre de la filraion disconinue. Considérons l EDSR à saus à coefficien quadraique-exponeniel : dy = Y T = ŪT [ j y + Ũ δ Y d 1 2 d MY,c dm Y,c y.dn 1.6 La soluion de cee équaion es un riple Y,M Y,c, y el que Y es une semimaringale, M Y,c es une maringale locale coninue de carré inégrable nulle en e y = y 1,, y d es un processus prévisible localemen borné à valeurs dans R d. Le cas δ a éé éudié par Schroder e Skiadas [71 dans le cadre d une filraion Brownienne au moyen des EDSR pariculières quadraiques en Z avec une condiion finale non bornée. Ils on considéré égalemen le même ype de problème mais d un poin de vue de l uilié différenielle récursive inroduie par Duffie e Epsein [2. Soi Y,M Y,c, y soluion de l EDSR 1.6 e supposons que Z = EL es une P-maringale où dl = dm Y,c + e yi 1 dn, i L =

26 26 Inroducion Ainsi, Y saisfai la récursivié suivane donnée par [BMS : pour ou emps d arrê τ à valeurs dans [, T, Y = ln E [exp P Y τ + τ δ s Y s Ũsds G 1.8 On éabli l exisence e l unicié de la soluion de l EDSR quadraique-exponenielle 1.6, ce qui permera de déduire le modèle opimal. Theorème : Il exise un unique riple Y,M Y,c, y D exp M p P L 2 λ soluion de 1.6. De plus, le modèle opimal Q es soluion de 1.4 e adme pour densié Radon- Nikodym par rappor à P, Z Q = EL où L es donné en 1.7. Nous obenons égalemen que l unique soluion de l EDSR 1.6 es donnée par V,M V,c, v où V es le processus valeur associé au problème d opimisaion PŨ,ŪT. De plus, nous monrerons que V défini une mesure de risque dynamique du couple uilié Ũ,ŪT. En considéran δ = e le couple,ūt, on rerouve la mesure de risque enropique de ŪT définie par Barrieu e El Karoui [6. Definiion 3. Pour deux variables aléaoires X e Y, nous définissons X Y pour X Y p.s. Pour deux processus A e B, nous définissons A B pour A B, [, T, p.s., nous définissons X, A Y, B si X Y p.s e A B. La soluion Y, M Y,c, y de l EDSR à saus quadraique-exponenielle dépend du couple Ũ,ŪT. Bien que le coefficien de l EDSR 1.6 es à croissance quadraiqueexponenielle, on pourra comparer les soluions de ces EDSR en faisan varier le couple Ũ,ŪT. En effe, supposons pour k = 1,2, Y k, M k,c, y k es soluion de l EDSR 1.6 associée à Ũk,Ūk T. En supposan, Ũ1,Ū1 T Ũ2,Ū2 T, on obien Y 1 Y 2, dp d. De ce héorème de comparaison, on peu déduire l unicié de la soluion de l EDSR 1.6. C es une réponse alernaive à la preuve de l unicié de la soluion de L EDSR dans le cas coninu faie par Bordigoni, Maoussi e Schweizer [13 en uilisan la relaion de récursivié. De même en uilisan les EDSR on pourra donner une réponse alernaive à la preuve de la concavié du processus valeur par rappor au couple Ũ,ŪT obenue par Bordigoni [12 dans sa hèse en uilisan les argumens d analyse foncionnelle. 26

27 Inroducion 27 En effe, considérons l applicaion F : Ũ,Ū FŨ,Ū = V où V,MV,c, v es la soluion associée à Ũ,Ū Dexp 1 L exp. L applicaion F es concave, pour ou θ,1 e Ũ1,Ū1 T,Ũ2,Ū2 T apparenan à leurs espaces respecifs, on a : F θũ1 + 1 θũ2, θū1 T + 1 θū2 T θfũ1,ū1 T + 1 θfũ2,ū2 T. On a monré d une par que l applicaion F es croissane e d aure par qu elle es concave. En supposan que ŪT = Ūψ représene l uilié de la richesse erminale e Ũ = Uc représene l uilié de la consommaion, nous déerminons le conrôle opimal c, ψ qui maximise V où V,M V,c, v es soluion de l EDSR 1.6. Afin de caracériser le conrôle opimal c, ψ, nous avons éudié la régularié coninuié, la concavié e la différeniabilié de la foncion d éa V de l EDSR 1.6 par rappor à ce conrôle. La difficulé majeure es l éude de oues ces propriéés de l EDSR 1.6 par rappor au paramère de conrôle en noan que son coefficien es quadraique-exponeniel e que sa condiion erminale es exponeniellemen inégrable. A nore connaisance, l éude des EDSR par rappor à un paramère de conrôle n es faie dans la liéraure que dans le cas d un coefficien Lipschiz voir El Karoui, Peng e Quenez [ Maximisaion de la consommaion e de la richesse erminale sous le modèle opimal Dans cee parie nous noons c = c T le processus adapé représenan la consommaion de l invesisseur, e nous noons ψ sa richesse erminale. Nous supposerons que l invesisseur possède une richesse iniiale x e que la probabilié risque neure du marché es donnée par P. L ensemble admissible Ax sera défini par c, ψ H 2 [, T L 2 Ω, G T el que P E e[ c d + ψ x, Nous considérons deux foncions d uiliés U e Ū saisfaisan les condiions habiuelles e nous posons Ũ = Uc T e ŪT = Ūψ e nous noons par Q la mesure opimale 27

28 28 Inroducion déerminée précédemmen. Nous cherchons à résoudre le problème d opimisaion suivan : [ [ sup E Q SsUc δ s ds + S TŪψ δ + E Q δ s Ss δ lnzs Q ds + ST δ lnz Q T c,ψ Ax = sup V x,ψ,c c,ψ Ax Résoudre ce second problème d opimisaion revien donc à éudier une EDSR quadraiqueexponenielle dépendan des paramères c, ψ. Pour monrer l exisence d un paramère de conrôle opimal, il suffi de monrer la semi-coninuié supérieure de V par rappor au paramère de conrôle. L unicié découle de la concavié de V, conséquence de la concavié des foncions d uiliés U e Ū. Touefois, la caracérisaion de ce paramère rese difficile car les argumens du principe de maximum son saisfais si l EDSR es différeniable par rappor au paramère de conrôle. En effe considérons le paramère opimal c, ψ du problème d opimisaion non conrain : [ où X x,c,ψ = EP e T c sds + X x,c,ψ T x,c,ψ max {V νx x,c,ψ x}, ν >, c,ψ Ax. Pour ou paramère de conrôle c, ψ Ax e pour ou ǫ, 1, posons c ǫ = c + ǫc c e ψ ǫ = ψ + ǫψ ψ, ainsi c ǫ, ψ ǫ Ax car Ax es un ensemble convexe. En uilisan le principe du maximum, on obien : V x,c,ψ νx x,c, ψ x V x,cǫ,ψ ǫ νx x,cǫ,ψ ǫ x. Posons ǫ V x,c,ψ = lim ǫ 1 ǫ V x,cǫ,ψ ǫ V x,c,ψ e ǫ X x,c,ψ = lim ǫ 1 ǫ Xx,cǫ,ψ ǫ X x,c,ψ, on en dédui : ǫ V x,c,ψ ν ǫ X x,c,ψ 1.9 Pour caracériser le paramère opimal soluion du problème non conrain, il suffi donc de caracériser les différenielles des variables X x,c,ψ e V x,c,ψ par rappor au paramère de conrôle si celles-ci exisen. La variable X x,c,ψ éan linéaire en c, ψ, on dédui : [ ǫ X x,c,ψ P = E e c s c sds + ψ ψ. 28

29 Inroducion 29 L exisence e la caracérisaion de la différenielle de V x,c,ψ es plus complexe vu la forme quadraique-exponenielle de l EDSR 1.6. La proposiion suivane nous perme de déduire l exisence de cee différenielle afin de caracériser le paramère opimal. Soien V x,c,ψ e V x,cǫ,ψ ǫ les processus valeur associés aux problèmes d opimisaion PUc,Ūψ e PUc ǫ,ūψǫ. La limie ǫ V x,c,ψ := lim ǫ 1 ǫ V x,cǫ,ψ ǫ V x,c,ψ exise, e il exise un unique riple ǫ V x,c,ψ, ǫ M V,c, ǫ v soluion de L EDSR : d ǫ V x,c,ψ = δ ǫ V +U c c c d d ǫ M V,c ǫ v.dn, ǫ V T = Ū ψ ψ ψ. où le processus ǫ M V,c es une Q -maringale de carré inégrable, ǫ v es un processus prévisible d-dimensionnel e le processus N es la parie Q maringale de la Q semimaringale N. On dédui ainsi : ǫ V x,c,ψ [ S δ = E Q T S δ Ū ψ ψ ψ + Ss δ S δ U c sc s c sds G En uilisan le principe du maximum via l inégalié 1.9, on dédui le paramère de conrôle opimal c, ψ soluion du problème d opimisaion conrain. Soien I e Ī les inverses des foncions U e Ū. Le plan de consommaion opimal c, ψ qui résou le second problème d opimisaion es donné par les équaions implicies : c ν ZP e = I S δ Z Q d dp p.s, ψ = Ī ν S δ T Z e P T Z Q T p.s. 1.1 où ν > saisfai : E e P [ I ν S δ Z e P Z Q d + Ī ν S δ T Z e P T Z Q T = x On rerouve les résulas de Karazas e Shreve voir [48 dans le cas où Q = {P}. L approche EDSR nous perme de déerminer la densié opimale Q e de caracériser le paramère de conrôle opimal. Nore conribuion a éé d uiliser cee approche pour caracériser l opimal c, ψ dans une filraion disconinue en différenian une EDSR à croissance quadraique-exponenielle. 29

30 3 Inroducion 1.3 Méhodes numériques e calcul du prix d un dérivé de crédi Cee parie repose sur les différenes méhodes de calcul des prix des dérivés de crédi. Nous ravaillons dans deux cadres : le cadre saique e le cadre dynamique. Dans le cadre saique nous meons en évidence les méhodes de pricing basées sur les différenes copules : gaussiennes, Suden, Double-T. Nous discuons sur les m hodes de calibraion des dérivés de crédi non sandard basée sur "la base-correlaion". Dans le cadre dynamique, nous éudions commen simuler la dynamique d un spread de dérivé de crédi en s aardan principalemen sur deux approches : approche Boom up e l approche Top down Cadre saique Definiion 4. Une copule es une foncion de disribuion mulivariée don les marginales son uniformémen disribuées sur [,1. Propriéés 1. Une copule n-dimensionnelle C :[,1 n [,1, n N es une foncion qui possède les propriéés suivanes, pour ou u = u 1, u 2,, u n [,1 n : C es croissane en chaque composane u i pour ou i = 1 n. S il exise une composane u i nulle, Cu =. Pour ou i = 1,, n, C1,1,, u i,1,1 = u i. Theorème SKLAR Soi F une foncion de disribuion n mulivariée don les marginales F Xi son connues pour ou i = 1 n. Il exise une foncion copule C elle que pour ou x = x 1,, x n Fx 1, x 2,, x n = CF X1 x 1, F X2 x 2,, F Xn x n Cee foncion es unique si pour ou i = 1,, n, F Xi es coninue On dédui du héorème 3

31 Inroducion 31 de SKLAR : Cu 1,, u n = FF 1 X 1 u 1,, F 1 X n u n Exemples de copules Copule gaussienne Soi R une marice symérique définie posiive elle que chaque erme de la diagonale vau 1, on défini la copule gaussienne n dimenssionnelle par : Cu 1,, u n, R = Φ R Φ 1 u 1,,Φ 1 u n pour ou u = u 1,, u n où Φ R es la foncion de disribuion d une gaussienne n mulivariée don la marice de covariance es égale à R, la foncion de densié de cee gausienne es définie par : où x = x 1,, x n. Copule de Suden f R x = 1 der 2π n e1 2 x R 1 x On considère oujours la même marice R e on défini la copule de Suden de paramère ν par : Cu 1,, u n, ν,r = R,ν 1 ν u 1,, 1 ν u n Pour ou u = u 1,, u n, où R,ν es la foncion de disribuion d une loi de Suden n-muivariée don la marice de covariance es égale à R. Copule de Clayon Soi u = u 1,, u n [,1 n e θ > on défini la copule de Clayon par : Cu 1,, u n = [ n u θ i n θ Connaissan les marginales correspondan aux probabiliés de survie de chaque enié, on uilisera les copules pour déerminer la probabilié joine de survie, paramère esseniel pour implémener le prix des dérivés de crédi car ce prix pourra oujours s écrire comme 31

32 32 Inroducion une espérance de la pere due aux défaus des eniés Cadre dynamique Approche Boom up L approche Boom up consise à consruire l inensié de défau de chaque enié e la probabilié joine de survie afin de déerminer le prix du dérivé de crédi. Nous nous aardons dans cee parie sur le modèle d Herbersson [41. Nous supposerons de plus que les emps de défau τ 1, τ 2,, τ d son "échangeables" en supposan que chaque enié présene les mêmes spécificiés ; ainsi l inensié de la firme i, λ i = λ es définie par : d 1 λ = a + b k 1 Tk, 1.12 k=1 où T k 1 k d représenen les emps ordonnés des emps de défau, a > e b 1, b d 1 son els que λ >. Proposiion 1. Hebersson. Il exise un processus de Markov Y sur un espace d éa fini E = {,1,2,,, d} el que les emps d arrês : T k = inf{ > : Y = k}, k = 1, d son des emps ordonnés des d emps de défau échangeables τ 1, τ 2,, τ d don les inensiés son définies par Le généraeur Q de Y es donné par : k Q k,k+1 = d k a +, Q k,k = Q k,k+1 pour ou k =,1, d 1 j=1 b j Les aures ermes de la marice Q valen zéro, ce processus de Markov commence à l éa {}. En uilisan les propriéés des processus de Markov e l échangeabilié des emps de défau, nous déduisons les probabiliés joines de survie nécéssaires pour le calcul du prix des dérivés de crédi. 32

33 Inroducion 33 Proposiion 2. Considérons les d eniés don les inensiés son définies par Soi q N, 1 q d, on obien : Pτ 1, τ q = αe Q s q, Pτ 1, τ q Y = j = Cq d j C q d pour j d q où α = 1,, représene la disribuion iniiale sur E e s q j Approche Top down = Cq d j C q,1 j d. d Le principe de l Approche Top down es de simuler direcemen le processus de peres d un panier de dees afin de calculer le prix des dérivés de crédi. Pour mieux éudier cee approche, nous avons uilisé la méhode de Schönbucher [69 où le processus de pere e les probabiliés condiionnelles de pere uiles dans le calcul des prix son donnés par les définiions suivanes : Definiion 5. Processus de pere e probabiliés condiionnelles. Le processus de pere à la dae [, T es donné par : L = 1 {τi }. Le veceur de probabilié condiionnelle du nombre de défau à la dae T éan données les informaions à la dae, le veceur p, T = p, T,, p d, T es défini par : p n, T = P LT = n G, n d. Hypohèse A2 : On supposera dans la suie que le processus de pere es une chaîne de Markov inhomogène e qu il exise une marice de ransiion A.T = [a i,j., T 1 i,j d elle que le veceur de probabilié condiionnelle saisfai l équaion de Kolmogorov : p, T = A, T.p, T, T. T Les coefficiens de la marice A vérifien pour ou [, T, i d : d j=1 a i,j, T =. Ean donnée la marice de ransiion A, on peu simuler les prix des dérivés de crédi en uilisan la relaion récursive sur les probabiliés condiionnelles induie par l hypohèse précédene : 33

34 34 CHAPITRE 1. INTRODUCTION m < n exp P n,m, T = P m,m, T a n, sds d 1 k=n m = n P n,k, s P m,m, s a k,m, sds m > n Les résulas numériques e les différenes méhodes employées son donnés plus en déail dans le dernier chapire de cee hèse.

35 Chapire 2 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion 2.1 Inroducion We sudy a class of exponenial-quadraic BSDE wih jumps by considering he poin of view based on esimaes of he sae soluion by enropic-semimaringale and by using sabiliy heorem for semimaringales. Moreover, we apply his resul o solve a exponenial uiliy maximizaion problem in a marke involving defaulable asses. We show ha he value funcion of he problem is he unique soluion of class of an exponenial-quadraic BSDE wih jumps. Backward sochasic differenial equaions in shor BSDE s were firs inroduced by Bismu in 1973 [9 as equaions for he adjoin process in he sochasic version of Ponryagin maximum principle. Pardoux and Peng [6 generalized he noion in 199 and were he firs o consider general BSDE s and o solve he quesion of exisence and uniqueness. In a coninuous filraion, a soluion for a BSDE associaed wih a coefficien

36 36 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion g, ω, y, z and a erminal value ξ T is a pair of square inegrable adaped w.r.. he Brownian filraion processes Y, Z T such ha : Y = ξ T + g s ω,y s, Z s ds Z s.dw s, T. 2.1 When he funcion g is Lipschiz coninuous wih respec o y, z and ξ T L 2 Ω, Pardoux and Peng proved, in heir seminal paper [6, he exisence and uniqueness of a soluion for 2.1. Since hen, BSDE s have been widely used in sochasic conrol and in paricular in mahemaical finance, mainly because any pricing problem in a replicaion sense can be wrien in erms of linear BSDEs, or non-linear BSDEs when porfolios consrains are aken ino accoun see El Karoui, Peng and Quenez [27. Anoher direcion which has araced many works in his area, especially in connecion wih applicaions, is how o improve he exisence/uniqueness condiions of a soluion for 2.1. When he funcions g and ξ T are valued in R, many aricles have presened weakes exisence condiions of a soluion for 2.1. Paricularly in hose papers, i is only assumed ha g is coninuous and saisfies a quadraic growh condiion. Among hem, we can quoe Kobylanski [45 and Lepelier and San Marin [51. In all of hese works, he erminal condiion is assumed o be bounded, and he main ools are an exponenial change of variable, runcaion procedure and comparison heorem of soluions of BSDE s. Noneheless, noe ha in general we do no have uniqueness of he soluion. In [45 a uniqueness resul is given by adding a more sronger condiions on he coefficien. This laer model of BSDE s is very useful in mahemaical finance when one deals wih exponenial uiliies or risk measure heory, especially for weaher derivaives see e.g. El Karoui and Rouge [3, Mania and Schweizer [56, Hu, Imkeller and Müller [42, Barrieu and El Karoui [6 and Becherer [7, 8. Acually, i has been shown in [3, ha in a marke model wih consrains on he porfolios, if we define he indifference price for a claim ξ as he smalles number p such ha sup π E[ e δxx+p,π T ξ sup π E[ e δxx,π T where X x,π is he wealh associaed wih he porfolio π and iniial value x, hen his problem urns ino he resoluion of a BSDE wih quadraic growh coefficien. Finally le us poin ou ha conrol risk-sensiive problems urn ino BSDE s which fall in he

37 2.1 Inroducion 37 same framework in El Karoui and Hamadène [31. Our work was also moivaed by solving a uiliy maximizaion problem of erminal wealh wih exponenial uiliy funcion in models involving defaulable asses. Therefore we need o consider Backward Differenial Equaions wih jumps of he form Y = ψ T + g s Y s, Z s, U s ds Z s dw s U i sdn i s. 2.2 where for each i = 1,, d, N i is he maringale associaed o a couning process H i see secion 2.2 for more deails on he model. A soluion of such BSDE associaed wih g, ψ T is a riple of square inegrable processes Y, Z, U T. The sandard BSDE s wih jumps driven by Lipschiz coefficien was firs inroduced by Barles, Buckdahn and Pardoux [3 in order o give a probabilisic inerpreaion of viscosiy soluion of semilinear inegral- Parial equaions. Aferwards he case of BSDE s wih jumps and quadraic coefficien was sudied by Becherer [8 and Morlais [57 in he conex of exponenial uiliy maximizaion problem in model involving jumps. In he boh papers [8, [57, he auhors have used in he case of bounded erminal condiion he Kobylanski mehod in he jump seing. As a consequence, hey obain ha he sae process Y and he jump componens U of he BSDE soluion are uniformly bounded, and ha he maringale componen is a BMO-maringale. Moreover, he so-called Kobylanski mehod is based on analyical poin view inspired from Boccardo, Mura and Puel paper [1 and i is based on he exponenial change of variables, runcaion procedure and sabiliy heorem. Therefore, one of he main difficuly in his mehod is he proof of he srong convergence in he maringale par approximaion. More recenly, Tevzadze [74 proposed a new mehod o ge he exisence and uniquness of he soluion of quadraic BSDE s. The mehod is based on a fixed poin heorem bu for only bounded erminal condiion wih small L -norm. Our main ask in his paper is o deal wih quadraic BSDE s wih non-bounded erminal value and jumps which appear in he dynamics of credi derivaives. Our poin of view is inspired from Barrieu, EL Karoui and Xu [5 where hey sudy he coninuous case. By adoping a forward poin of view, we shall characerize firs a soluion of BSDE s as a quadraic Iô semimaringale Y, wih a decomposiion saisfying he quadraic exponenial srucure condiion Q exp l,a, δ, where

38 38 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion he erm exponenial refers o he exponenial feaure of he jump coefficien which appears in he generaor of he BSDE. More precisely, we assume ha : here exiss wo consans a δ >, and an adaped process l such ha : l a y 1 2 δ z 2 1 δ j δu g y,z,u l + a y δ z δ j δu, a.s. where j u = d eui u i 1λ i. The canonical srucure Q exp,, δ will play a essenial role in he consrucion of he soluion associaed o generale Q exp l,a, δ srucure condiion. The simples generaor of a quadraic exponenial BSDE, called he canonical generaor, is defined as g y, z,u = q δ z, u = δ 2 z δjδu. For a given random variable ψ T, we call enropic process, he process defined as ρ δ, ψ T = 1 δ [expδψ ln E T G which is a soluion of he canonical BSDE s associaed wih he coefficien q δ and final condiion ψ T. This is a enropic dynamic risk measure which have been sudied, by Barrieu and El Karoui in [6. The backward poin of view of our approach permis o relae he quadraic BSDEs o a quadraic exponenial semimaringale wih srucure condiion Q exp l,a, δ, using he enropic processes. Namely, a semimaringale X wih non bounded erminal condiion ψ T and saisfying he srucure condiion Q exp l,a, δ, yields he following dominaed inequaliies : ρ δ, U T X ρ δ, U T, [, T 2.3 where U T and U T are wo random variables depending only on l, a, δ and ψ T. Briand and Hu [14 prove implicily he inequaliies 2.3 in he proof of he exisence of he soluion of a quadraic BSDE, using Kobylanski mehod and localizaion procedure. The main goal in our approach is hen o deduce, from his dominaed inequaliies, a srucure properies on he maringale par and he finie variaion par of X. Indeed, we obain he canonical decomposiion of an enropic quasimaringale which is a semimaringale which saisfies 2.3 as a canonical quadraic semimaringale par plus an predicable increasing process. This Doob ype decomposiion helps us o define a general quadraic exponenial semimaringale as a limi of a sequence of canonical quadraic semimaringale plus a sequence of an increasing process. Then, from he sabiliy heorem for forward

39 2.1 Inroducion 39 semimaringales given by Barlow and Proer [4, we prove he exisence of he soluion of a quadraic exponenial BSDE associaed wih g,ψ T for a coefficien g saisfying he srucure condiion Q exp l,a, δ and for non-bounded erminal condiion ψ T. Finally, we have o menion ha i is imporan o compare our approach wih ha used by Peng in [62, 64, 65 wihin he represenaion heorem of small g-expecaion in erms of a BSDE s wih coefficien g which admis a linear growh condiion in z. Peng s approach is based on he noion of maringale associaed wih a nonlinear expecaion, Monoonic limi heorem, a nonlinear Doob-Meyer s decomposiion Theorem see e.g. [63. Moreover, Peng obained he represenaion heorem for he nonlinear expecaion which is dominaed by a srucure nonlinear expecaion soluion of BSDE s wih coefficien given specially by g µ y, z = µ y + z. Barrieu and El Karoui in [6 have exended his represenaion heorem for a dynamic convex risk measure in erms of quadraic BSDE s wih convex coefficien g which depends only in z. Our approach is an exension of he Peng s resuls in he more naurel framework of quadraic exponenial semimaringale. The paper is srucured as follows : in a second secion, we presen he model and preliminary noaion. In he hird secion, we define he quadraic exponenial semimaringale and we sudy he enropic quadraic exponenial quasimaringale. In paricular, we give he characerizaion of an enropic quasimaringale and is Doob decomposiion. Then, we give he BMO properies and he sabiliy resuls of quadraic exponenial semimaringale. In he fourh secion, we presen applicaions of quadraic exponenial semimaringale o solve he quadraic BSDE s associaed o g, ψ T for a coefficien g saisfying he srucure condiion Q exp l,a, δ and for non-bounded erminal condiion ψ T. In he fifh secion, we solve a uiliy maximizaion problem of erminal wealh wih exponenial uiliy funcion in models involving defaulable asses. In Appendix, we give firs resuls abou BMO maringales and BMO semimaringales. Aferwards, we prove a universal bound for a quadraic exponenial semimaringale wih general srucure condiion which is crucial o ge exisence resuls of Theorem 3 for quadraic BSDE s.

40 4 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Finally, we sudy he BSDE s wih jumps in he Lipschiz and a linear growh coefficien case. 2.2 Model and Preliminary Noaion A filered probabiliy space Ω, G, G, P is given. All he processes are G-adaped, and defined on he ime inerval [, T where T is he finie horizon. We recall ha any special G-semimaringale Y admis a canonical decomposiion Y = Y + A + M Y,c + M Y,d where A is a predicable finie variaion process, M Y,c is a coninuous maringale and M Y,d is a disconinuous maringale. Assumpion A 1. In his paper, we make he following assumpions : 1 The process W = W 1,, W p is a Brownian moion 2 For each i = 1,...,d, H i is a couning process and here exiss a posiive adaped process λ i, called he P inensiy of H i, such ha he process N i wih N i := H i λi sds is a maringale. We assume ha he processes H i, i = 1,...,d have no common jumps. 3 There exiss a consan K >, such ha d λi sds K. 4 Any square inegrable G-maringale M = M admis a decomposiion : M = M + Z s.dw s + U s.dn s 2.4 where Z := Z 1,, Z p, U := U 1,, U d are G-predicable processes which saisfy : E [ Z s 2 ds <, E [ Us i 2 λ i sds <. Noe ha, if M is a maringale, i admis he decomposiion 2.4. Example 1. The Assumpion A.1 is saisfied in he case where he filraion is generaed by a Brownian moion W and an inhomogeneous Poisson process H. Example 2. Assume ha G is he filraion generaed by a Brownian filraion F B and he filraion associaed wih d defaul processes. More precisely, le τ 1,, τ d be posiive

41 2.2 Model and Preliminary Noaion 41 random imes and G = G where G = ǫ> F +ǫ στ 1 + ǫ στ 2 + ǫ στ d + ǫ We ake H i = 1 {τi } he defaul process associaed wih he defaul ime τ i. We assume ha, for any i = 1,, d, here exiss a posiive G-adaped process λ i such ha he process N i defined as N i := H i λi sds is a G-maringale in paricular, each τ i is G- oally inaccessible. Noe ha he process λ i is null afer he defaul ime τ i. Then, under densiy hypohesis, 2.4 holds for he pair W, N where W is he maringale par of he G-semimaringale B see [15. In he case he filraion is generaed by a coninuous filraion and he defaul imes see Example 2, for a given G-maringale M = M c +M d where M d =. l sdn s for some predicable process l, he sochasic exponenial maringale of M, denoed by EM, is he disconinuous local maringale defined by : E M = expm c 1 2 Mc d 1 + l i τ i Hi exp l i sλ i sds In order ha EM is sricly posiive, we assume ha he process l saisfies l i > 1 for i = 1,, d. In ha case, we inroduce he G-predicable process U = U 1,, U d such ha l i = e Ui 1. The process EM is in general only a local maringale. One can define he sochasic logarihm of a sricly posiive maringale L, as he process M such ha L = EM. In ha case, he jumps of M are greaer han 1. Le us recall some noaion : Definiion 6. L exp is he space of all G T -measurable random variables X wih E P [exp γ X <, for all γ > L 1 exp is he space of all G T -measurable random variables X wih expx L 1 Ω H 2 λ is he space of all Rd -valued predicable processes X such ha [ E Xs i 2 λ i sds <

42 42 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion [ H 2 is he space of all R d T -valued progressively processes Z such ha E [ S 2 is he space G-adaped processes Y such ha E sup T Y 2 < Z s 2 ds < D exp is he space G-adaped processes Y such ha E [ exp γ ess sup T Y <, for all γ > We consider a Backward Differenial Equaions wih jumps of he form Y = ψ T + g s Y s, Z s, U s ds Z s dw s U i sdn i s. 2.5 A soluion of he BSDE 2.5 associaed wih g, ψ T, where g is he coefficien and ψ T is he erminal condiion, is a riple of processes Y, Z, U T S 2 H 2 H 2 λ. 2.3 Quadraic exponenial semimaringales We consider he BSDE 2.5 wih jumps. From now on, we shall simply wrie BSDE, since in all he paper, BSDE involves jumps. We reduce our aenion o a specific class of BSDEs, ha we erm exponenial quadraic BSDE. Definiion 7. An exponenial quadraic BSDE has a coefficien g which saisfies he following quadraic-exponenial srucure condiion Q exp l,a, δ : here exis wo consans a δ >, and an adaped process l such ha : l a y 1 2 δ z 2 1 δ j δu g y,z,u l + a y δ z δ j δu, a.s. where j u = d eui u i 1λ i. In wha follows, if here is no ambiguiy, we shall simply denoe by ju he posiive quaniy j u. In all he paper, we shall assume ha P-a.s. for any [, T, he funcion y, z,u g y,z,u is coninuous. I is imporan o noe ha we deal wih a quadraic growh in z and an exponenial growh in u his is why we have added an index exp in he noaion Q. The simples

43 2.3 Quadraic exponenial semimaringales 43 generaor of a quadraic exponenial BSDE, called he canonical generaor is defined as :. g y, z,u := q δ z, u := δ 2 z δ jδu Our goal is o prove he exisence of a maximal soluion of he quadraic exponenial BSDE using he ools inroduced in he recen work of [5. Definiion 8. Quadraic-exponenial semimaringale Le X be a semi-maringale X = X + M + V, where dm = dm c + dm d = ZdW + UdN. The process X is said o be a quadraic-exponenial semimaringale if he riple V, Z, U saisfies he srucure condiion Q exp Λ, A,δ : here exis a G T -measurable increasing predicable processes Λ and A and a posiive consan δ such ha dv << dλ + X da + δ 2 d Mc + 1 δ j δu d, dλ X da δ 2 d Mc 1 δ jδu d << dv. Therefore d V << dλ + X da + δ 2 d Mc + 1 δ jδu + j δu d. where V denoes he oal variaion process of V, and he symbol << sands for he absolue coninuiy of he increasing processes. In he paricular case X = X + M δ 2 Mc. 1 δ jδu d, he semimaringale X is called canonical quadraic-exponenial semimaringale or q exp -semimaringale, and is denoed X = RX, M c, U. The condiion Q exp Λ, A,δ has in fac he form d V << dλ + X da + δ 2 Z 2 d + 1 δ jδu + j δu d. We inroduce now a generic class of quadraic BSDE s which will play an imporan role in he sequel : Definiion 9. Canonical quadraic-exponenial BSDE A canonical quadraic-exponenial BSDE is a BSDE associaed wih he canonical generaor q δ and wih erminal condiion ψ T : dy = δ 2 Z δ jδu d Z dw U dn, Y T = ψ T.

44 44 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Since for any θ, jδu = j δ θθu, if a riple Y, Z, U is he soluion of he BSDE q δ, ψ T, hen θy, θz,θu is la soluion of he BSDE q δ, θψ T. Hence, wihou loss of θ generaliy, we will assume δ = 1 and we noe q 1 = q. We will need also he following definiion : Definiion 1. Enropic process The associaed enropic process associaed wih a G T - measurable random variable ψ T such ha E[expδψ T < is given by : ρ δ, ψ T = 1 δ ln E[expδψ T G. 2.6 This process ρ δ,. ψ T is a dynamic enropic risk measure, see Barrieu and El Karoui [6. Like any dynamic risk measure, i enjoys in paricular he following properies : for any δ > : δρ δ,. ψ T = ρ 1 δψ T. ρ δ,. ψ T = ρ δ,. ψ T. For any sopping imes σ and τ such ha σ τ T, ρ δ,σ ψ T = ρ δ,σ ρ δ,τ ψ T, P a.s. For ψ τ G τ, one has ρ δ,τ ψ T ψ τ = ρ δ,τ ψ T ψ τ Definiion 11. We inroduce he class U exp of G-maringales M such ha he sochasic exponenial EM is a uniformly inegrable maringale. We will specify laer condiions under which M belongs o U exp. Noe ha he lsandard logarihm of EM is he q exp -semimaringale X = R, M c, U = M 1 2 Mc. ju sds. Proposiion 3. Le ψ T be a G T -measurable random variable such ha E[expψ T <, and le ρ 1, ψ T [,T be he associaed enropic process. Then : ithe enropic process is a soluion of he canonical quadraic-exponenial BSDE q, ψ T : more precisely, here exiss a pair Z ρ, U ρ H 2 H 2 λ such ha : dρ 1, ψ T = 1 2 Zρ 2 + ju ρ d Zρ dw U ρ dn, ρ 1,T ψ T = ψ T Moreover, he maringale EZ ρ.w + e Uρ 1.N is uniformly inegrable.

45 2.3 Quadraic exponenial semimaringales 45 ii The enropic process is he unique soluion of he canonical quadraic-exponenial BSDE q, ψ T in he class of he process Y, Z, U such ha Z ρ.w + e Uρ 1.N belongs o U exp and he minimal soluion in he class of all he soluions. Proof : i We remark firs ha he sandard exponenial L ρ of he enropic process, given by L ρ := expρ 1,ψ T = E [ expψ T G is a posiive uniformly maringale hanks o he assumpion E [ expψ T <. Hence, here exiss a local maringale M ρ he sochasic logarihm of L ρ such ha expρ. ψ T = EM ρ where M ρ = M c + M d and M d > 1. From he Assumpion A.1, here exis wo G-predicable processes Z ρ, U ρ such ha M ρ = Z ρ.w + e Uρ 1.N. Using Iô s calculus, we have d lnl ρ = dρ 1,ψ T = 1 2 Zρ 2 + ju ρ d Zρ dw U ρ dn. Therefore, ρ. ψ T, Z ρ, U ρ is a soluion of he BSDE q, ψ T and Z ρ.w + e Uρ 1.N U exp. ii Le Y,Z, U be a soluion of he canonical quadraic-exponenial BSDE. Then, using Iô s formula, we ge : de Y = e Y [Z dw + e U 1dN. I follows ha he process e Y Y = E Z.dW +e U 1dN is a posiive local maringale, hence a supermaringale, and E[expψ T G expy which means ha ρ 1, ψ T Y Quasi-enropic maringales We denoe by D he se of processes which belong o class [D see Dellacherie and Meyer [19 and we inroduce he class of processes D exp = {X opional process expx D}

46 46 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Definiion 12. An opional process X in class D exp is called : i Enropic submaringale if for any sopping imes σ τ T : ρ 1,σ X τ X τ, P as. ii Enropic supermaringale if X is an enropic submaringale, i.e., for any sopping imes σ τ T : ρ 1,σ X τ X τ which is equivalen o ρ 1,σ X τ X τ, P a.s. iii Quasi enropic maringale if i is an enropic submaringale and an enropic supermaringale. We have firs he following resul : Proposiion 4. Le X be a semimaringale in D exp wih he decomposiion X = X + V + M, wih M = M c +. U dn such ha V Mc +. ju d = A is an increasing process. Then X is a canonical enropic submaringale. Proof : Consider he semimaringale X = V + M = V + M c +. U.dN. Then, expx V Mc 2 ju s ds = E M c + e U 1.N, which implies ha for any sopping imes σ, τ, σ τ T : e Xτ = e Xσ exp[v τ σ Mc τ σ+ τ σ ju de τ σm c +e U 1.N e Xσ E τ σm c +e U 1.N 2.7 where V s = V V s, M c s = M c M c s and E s = E /E s. In order o obain he previous inequaliy, we have used he fac ha he process A = V Mc +. ju d is increasing. The las inequaliy and he assumpion X D exp imply he uniformly inegrabiliy of he maringale E. M c e U 1.N and we conclude ha ρ 1,σ X τ X σ by aking he condiional expecaion in 2.7. Remark 1. Noe ha a semimaringale X belongs o he class D exp if and only if expx T L 1 and X. ρ. X T. Indeed, inequaliy 2.7 is valid under he assumpion X. ρ. X T. One has also ha a semimaringale X belongs o he class D exp if and only if expx T L 1 and M c + e U 1.N U exp.

47 2.3 Quadraic exponenial semimaringales 47 Obviously, we have he following resul : Corollary 1. Le X be a semimaringale wih he decomposiion X = V + M such ha V Mc +. ju d and V Mc +. j U d are increasing processes and assume ha X T and X T belong o L 1 exp. Then X is a quasi-enropic maringale, i.e., for any sopping imes σ τ T : ρ 1,σ X τ X σ ρ 1,σ X τ, P-as. We are now ineresed wih he converse resul for he class of enropic submaringales in erms of Doob-Meyer decomposiion. Proposiion 5. Le X be an adaped càdlàg enropic submaringale of class D exp. Then, X admis an addiive decomposiion : X = M 1 2 Mc where he process A is predicable and increasing.. ju d + A. Proof : If X is an enropic submaringale X, hen expx is a posiive submaringale which admis a muliplicaive decomposiion of he form expx = E MB 2.8 where E M is a posiive maringale and M a local maringale, and B a predicable increasing process see Yoeurp and Meyer [75. By he maringale represenaion of M, one can wrie : M = M c +. l.dn and, from he posiiviy of he sochasic exponenial, here exiss, for all i = 1 d, a predicable process U i such ha l i = e Ui 1. Taking he logarihm in 2.8, we ge he decomposiion X = M 1 2 Mc ju s ds + lnb. I remains o se A := lnb.

48 48 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Quadraic exponenial semimaringale and BMO properies In his par, we prove ha a q exp semimaringale wih BMO maringale par is a BMO semimaringale. All resuls relaed o BMO-Maringales and BMO-semimaringales are given in he Appendix. We have he following resul : Proposiion 6. Le X = X + M + V be a q exp -semimaringale, wih a BMO maringale par. Then, X is BMO-semimaringale. Proof : Le X be a q exp semimaringale, hen X and X are enropic submaringales, herefore, from he Assumpion 1 and Proposiion 5, here exis maringales M = M c + Us.dN s and M = M c + Ū s.dn s and predicable increasing processes A and Ā such ha : X = X + M c + X = X + M c U s.dn s 1 2 Mc Ū s.dn s 1 2 M c + ju s ds + A jūsds + Ā. From he uniqueness of he represenaion, Mc = M c and Ū = U, hen : A + Ā = M c + ju s + j U s ds and i follows ha here exiss a process α, α 1 such ha : da = α d M c + α ju + j U d, dā = 1 α d M c + 1 α ju + j U d 2.9 hence : dx = dm + α 1 2 d Mc + α 1jU d + α j U d Assume ha he maringale M is BMO wih M BMO = c M, hen for any sopping imes σ τ : E[max X τ σ G σ E[max M τ σ G σ E[ Mc τ σ G σ + E 2c M c2 M + C τ σ ju s + j U s ds G σ Noe ha he exisence of a consan C = Cc M comes from he fac ha he process U is bounded see lemma 3 and ha he process λi sds is bounded for every i = 1,, d.

49 2.3 Quadraic exponenial semimaringales 49 Remark 2. The reverse doesn hold : if X is a q exp BM-semimaringale, hen we can prove ha is maringale par is a BMO-maringale. Bu laer on, we will prove ha if X is bounded, his condiion is saisfied Sabiliy resuls of quadraic exponenial semimaringale Here, we presen sabiliy resuls for quadraic exponenial semimaringales which we shall use for he consrucion of he maximal soluion of a class of quadraic BSDE s. We firs recall a general sabiliy heorem of Barlow and Proer [4 for a sequence of càdlàg special semimaringales converging uniformly in L 1. We denoe by X := sup T X. Theorem 1. Le X n be a sequence of semimaringales which belong o H 1 wih canonical decomposiion X n = X n + Mn + V n, and saisfy : for some posiive consan C. Assume ha : [ E dvs n C, and E [ M n C 2.1 E [ X n X, as n, where X is an adaped process. Then X is a semimaringale in H 1 wih canonical decomposiion X = X + M + V saisfying : and we have [ E dv s C, and E [ M C 2.11 lim E[ V n V = and lim n n Mn M H 1 = Srong convergence for bounded quadraic-exponenial semimaringale In his par, we shall use he same argumens as in [5, in order o prove he srong convergence of maringale par of a sequence X n of bounded q exp -semimaringales. The srong sabiliy heorem will play an imporan role in he proof for he exisence resul for a class of quadraic BDSE wih jump wihou using ools of Kobylanski.

50 5 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Proposiion 7. Le X n = X n + Mn + V n be a sequence of uniformly bounded q exp - semimaringales, and assume ha he sequence M n belongs o he BMO-spacehere exiss a consan c M which does n depend on n such ha E[sup n [M n τ σ G σ c M for all sopping imes σ τ. If X n is a Cauchy sequence, hen M n is a Cauchy sequence wih respec o he BMO-norm. Proof : Consider a sequence of q exp -bounded semimaringales X n = X n + Mn + V n such ha lim n,p X n+p X p =. Since he sequence X n is uniformly bounded, i follows ha U n is uniformly bounded. Moreover, using he BMO properies of M n, we deduce ha V n 1 2 Mc,n + ju n s + j U n s ds is uniformly bounded. For any i, j, we se X i,j = X i X j, X i,j,s = Xi s X i X j s X j and Mi,j = M i M j. Then, we apply Iô s formula o ge : [M i,j,t = X i,j T Xi,j 2 2 X i,j,s dxi,j s. Using he same argumens as in [5, here exiss a posiive consan C such ha : E [M i,j max,t CE X i,j,t [ G + E X i,j,t 2 G. We give a sabiliy resul for uniformly dominaed sequence of quadraic-exponenial semimaringales saisfying he srucure condiion : Theorem 2. Le Y n be a sequence of quadraic semimaringales Y n = V n +M n,c + U n dn saisfying a uniform canonical srucure condiion Q exp,, δ : d V n << δ 2 d Mn,c + 1 δ jδun + j δu n d. Assume ha he erminal condiion Y n T = ψ T is such ha expδψ T and exp δψ T belong o L 1 and ha he sequence Y n is uniformly bounded by he enropic processes ρ δ, ψ T and ρ δ, ψ T respecively : ρ δ, ψ T Y n ρ δ, ψ T, a.s. 2.13

51 2.4 Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE 51 If he sequence Y n converges a.s. uniformly o a càdlàg process Y, hen Y is a càdlàg quadraic-exponenial semimaringale wih he same canonical srucure condiion Q exp,, δ. Proof : This resul is a consequence of he sabiliy heorem Theorem Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE In his par, we consider he BSDE associaed wih g, ψ T such ha he erminal condiion ψ T is bounded and he coefficien g saisfies he condiion Q exp l,a, δ. By applying he q exp -semimaringale resuls, we prove ha he soluion Y,Z, U belongs o S BMO S, Z BMO means he provess Z.W is a BMO maringale. Proposiion 8. Assume ha he coefficien g saisfies he condiion Q exp l,a, δ, he [ T erminal condiion ψ T is bounded and ha E σ l s ds G σ C, for all G-sopping ime σ and C > 1 δ. Le Y,Z, U be he soluion of he quadraic-exponenial BSDE associaed wih g, ψ T. Then he following asserions are equivalen : a Y T := sup T Y L b M = δz.w + e δu 1.N and M = δz.w + e δu 1.N are BMO-maringales and for any i = 1,, d, U i, T := sup T U i L. Proof : Le assume firs ha he asserion b holds. Le X = δy + δg sds δ2 2 Z s 2 + jδu s ds, hen : de X = e X δz dw + e δu 1.dN I follows ha expx = EδZ.W + e δu 1.N, herefore, using he fac ha he maringale M = δz.w + e δu 1.N is a BMO maringale and ha e δui 1 > 1 + e δ Ui, T for any i = 1,, d we deduce using Kazamaki crieria ha he maringale M is uniformly inegrable. Hence, for any sopping ime σ, we ge : E[expX T X σ G σ = 1,

52 52 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion which implies ha [ E exp δψ T δy σ + σ δg δ Gσ 2 Z 2 jδu d = 1. Since he coefficien of he BSDE saisfies Q exp l,a, δ, we ge : [ Gσ expδy σ E exp δψ T + l d σ E [ τ σ [l s ds G c, for a posiive consan c. Therefore, since he erminal condiion of he BSDE ψ T is bounded, we ge ha here exiss a consan C 1 such ha Y C 1. We use he same argumens o prove ha here exiss a consan C 2 such ha Y C 2, by considering he process X = δy δg s ds + δ2 2 Z s 2 + j δu s ds and he hypohesis ha he maringale M is uniformly inegrable. Conversely, assume ha he asserion a holds. Using he form of he BSDE, we ge ha Uτ i i 2YT, for any i = 1,, d. Then, by using Lemma 3 in he appendix, we deduce ha here exiss C > such ha for any [, T and U i C, for any i = 1,, d. Finally, i remains o prove ha he maringales M and M are BMO-maringales. Le α R, by applying Iô s calculus, we obain : de αy = e αy [ αg + e αu αu 1.λ + α2 2 Z 2 d + αz.dw + e αu 1.dN 2.14 hen we can use he properies of he coefficien : d expαy = expαy [ αg δ2 Z 2 1δ jδu l d + αz.dw + expαu 1.dN [ αα δ + expαy Z 2 + expαu α 2 δ expδu + α δ 1.λ αl d. Moreover, aking α = 2δ and he condiional expecaion in he las equaion, we ge : [ [ E e 2δYs δ 2 Z s 2 ds + e 2δYs e δus 1 2.λ s ds G E e 2δψ T e 2δY + 2δ l s ds G 2.15

53 2.4 Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE 53 [ T Since he process Y is bounded, and E l s ds G C, here exiss a consan C 1 > such ha : [ E δ 2 Z s 2 ds + e δus 1 2.λ s ds G C 1 which proves ha he maringale M = δz.w + e δu 1.N is a BMO-maringale. [ E δ 2 Z s 2 ds + e δus 1 2.λ s ds G C 1 Le us prove ha M is BMO-maringale. Using 2.14, we ge : d expαy = expαy [ αg + δ2 Z 2 + 1δ j δu + l d + αz dw + expαu 1.dN [ αα + δ + expαy Z 2 + expαu + α 2 δ exp δu + α δ 1.λ + αl d. By aking α = 2δ and he condiional expecaion in he above equaion, we ge : [ E e 2δYs δ 2 Z s 2 ds + e 2δYs e δus 1 2.λ s ds G E [ e 2δY + e 2δψ T + 2δ 2.16 l s ds G. [ T Moreover, since he process Y is bounded and E l s ds G C, here exiss a consan C 2 > such ha : [ E δ 2 Z s 2 ds + e δus 1 2.λ s ds G C 2, hus, M = δz.w + e δu 1.N is BMO-maringale. Remark 3. Since for all u R and u e u 1 + e u 1, he BMO properies of he maringale M c + e Us 1.dN s and M c + e Us 1.dN s asser ha he maringale M is a BMO-maringale.

54 54 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Exisence of he soluion of a quadraic BSDE wih jump The exisence is a consequence of he properies of quadraic exponenial semimaringale. Assuming ha he erminal condiion is bounded, we consruc an increasing sequence of quadraic exponenial semimaringales which are uniformly bounded, and hen by applying he sabiliy resul, we prove ha he limi of his sequence is a quadraic exponenial semimaringale. From now, we will add a furher condiion A γ on he coefficien g : g y,z,u 1 g y, z,u 2 d γi u i 1, ui 2 ui 1 ui 2 λi A γ where he funcions γ i saisfy 1 + δ i γu i 1, ui 2 ci for all i = 1,...,d and u 1, u 2 R d wih δ i, c i >. We will use his condiion mainly in order o insure comparison heorem for a class of quadraic-exponenial BSDE s see Appendix Theorem 3. Assume ha g saisfies he condiions Q exp l,a, δ such ha he processes l = l and a = a are uniformly bounded. Assume also ha ψ T is bounded. Then, here exiss a minimal soluion Y,Z, U S BMO S which solves he quadraic exponenial BDSE associaed wih g, ψ T. Proof : Sep 1 : We sudy firs he case when g saisfies he condiions Q exp,, δ. We consruc a non-increasing sequence g n n N saisfying for each n N he condiions Q exp,, δ and which converges o he coefficien g a.s.the non-increasing sequence of quadraic semimaringales Y n associaed wih g n, ψ T converges a.s. uniformly o a quadraic exponenial semimaringale Y associaed wih g, ψ T. Therefore, by using he Doob decomposiion see Proposiion 5 of he enropic quasi-maringale Y, here exiss an increasing predicable process A wih A = such ha he finie variaion V of Y = Y + M c + U.N + V can be decomposed as : V = δ Mc 2 1 δ jδu sds + A, T.

55 2.4 Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE 55 Thus, using he fac ha M c is absoluely coninuous w.r.. Lebesgue s measure, and relaion 2.9, here exiss an adaped posiive process θ such ha, for all [, T, we have : A = θ s ds, a.s Moreover, by using he decomposiion of he finie variaion V we ge : g, y,z = δ 2 z δ jδu θ which saisfy he condiion Q exp,, δ and he resul follows. Now, le for each n N, Y n, Z n, U n S BMO S be he soluion of he BSDE associaed wih g n, ψ T where g n is given by : g n, z,u = δ 2 z δ jδu + θ nδ z We denoe by f n, z,u = θ nδ z. Since he process θ is posiive, we have f n, z,u nδ z and f n, z,u θ, for all [, T and z R d. Thus, f n has a linear growh in z. For each n, g n saisfies he condiion Q exp,, δ. Obviously, he sequence g n is non-increasing and converges o g a.s. By comparison Theorem 7, he sequence Y n is non-increasing and a.s. uniformly bounded. Therefore, by he sabiliy Theorem 2, Y n converges a.s. uniformly o a process Y S which is a quadraic exponenial semimaringale. Moreover he maringale par M of Y is a BMO-maringale by using he srong sabiliy resul given in Proposiion 7. Sep 2 : Le us consider now he case when g saisfies he condiions Q exp l,a, δ. We consruc a sequence of g n saisfying he srucure condiion Q exp l,a, δ which converge o g a.s. Since he process {exp[δy + Y s a s ds + l sds} is a posiive submaringale, we deduce from Doob decomposiion Proposiion 5, ha here exiss an increasing process Θ such ha : V = δ Mc 2 1 δ jδu sds Y s.a s ds l s ds + Θ. Thus, using he fac ha M c is absoluely coninuous w.r.. Lebesgue s measure, and relaion 2.9, here exiss adaped posiive process θ such ha, for all [, T, we

56 56 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion have : Θ = θ s ds, a.s Moreover, by using he decomposiion of he finie variaion V we ge : g, y,z = δ 2 z δ jδu + l + a. y θ which saisfy he condiion Q exp Λ, A,δ. Now, le define he sequence g n : g n, z,u = δ 2 z δ jδu + l + a y + θ nδ z. 2.2 We denoe by f n, y,z, u = l + a y θ nδ z. Since he process θ is posiive, we have f n, z,u l + a y + nδ z.for each n N, g n saisfies he condiion srucure Q exp l,a, δ, since he processes a and l are bounded, using Proposiion 16, he quadraicexponenial semimaringale Y n is bounded. Moereover, here exiss a posiive consan C > such ha : f n, z,u C nδ1 + z, f n, z,u C + θ a.s. Thus f n has linear growh in z, we conclude by similar argumens using in Sep Uniqueness in a paricular case Assuming a sronger condiion on he coefficien g of he quadraic BSDE, we obain he uniqueness of he soluion associaed wih g, ψ T where ψ T L : Proposiion 9. Assume ha he coefficien g saisfies he condiions Q exp l,a, δ and A γ and ha here exiss a consan C > such ha z 1, z 2 R p, and u R d : g z 1, u g z 2, u C 1 + z 1 + z 2 z 1 z 2, T Then, here exiss a unique soluion Y, Z, U S H 2 S associaed wih g,ψ T where ψ T L.

57 2.4 Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE 57 Proof : Le Y 1, Z 1, U 1 and Y 2, Z 2, U 2 be wo soluions of he BSDE associaed wih g,ψ T. Seing Y = Y 1 Y 2, Z = Z 1 Z 2 and U = U 1 U 2, we obain : Y = = gs Z 1 s, U 1 s g s Z 2 s, U 2 s ds Z s.dw s U s.dn s 2.22 [gs Z 1 s, U 1 s g s Z 2 s, U 1 s + [g s Z 2 s, U 1 s g s Z 2 s, U 2 s ds U s.dn s Z s.dw 2.23 s Define he processes Z1,i = Z 2,1,...,Z 2,i 1, Z 1,i,...,Z 1,p and Z2,i = Z 2,1,...,Z 2,i, Z 1,i+1,...,Z 1,p, i = 1,...,p and consider he following processes : for all i = 1,...,p, Then we have : T βz i 1, Z 2 = 1,i g Z, U 1 g Z 2,i, U 1 Z 1,i Z 2,i, if Z 1,i Z 2,i,, if Z 1,i = Z 2,i. g Z 1, U 1 g Z 2, U 1 = p β i Z 1, Z 2 Z 1,i Z 2,i wih β Z 1, Z 2 C 1 + Z 1 + Z 2 for all [, T. Moreover, since he coefficien g saisfies he condiion A γ and 2.21, we ge : [ T p Y E ZdW i i βz i 1, Z 2 d + U i dn i γ i U 1, U 2 λ i d G Define he probabiliy measure Q wih he Radon-Nikodym densiy Z Q wih respec o P given by : dz Q Z Q = β Z 1, Z 2.dW + γ U 1, U 2.dN. Then, since 1 + κ γ i U 1, U 2 C and β Z 1, Z 2 C 1 + [Z 1 + Z 2 for all [, T, we have ha β.w + γ.n is BMO-maringale, hence Z Q is uniformly inegrable. Therefore, we have ha Y E Q [ ψ G, and hen Y 1 Y 2 a.s. We use he same argumens o prove Y 2 Y 1 a.s. permuing he role of Y 1 and Y 2..

58 58 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Exisence resul : exponenial inegrable condiion case In his secion, we wan o relax he assumpion of he boundness of he erminal condiion, we will ineres also o give more condiion o obain a uniqueness of such soluion. In his par, we will firs inroduce he naural space of he maringale par of he quadraic exponenial BSDE associaed wih g,ψ T where g saisfies Q exp,, δ where ψ T L exp. Proposiion 1. Le ψ T belong o L exp. Then he maringale par M = Z.W + U.N of he quadraic exponenial semimaringale belongs o L 2. Proof : Using inequaliies 2.15 and 2.16, we deduce : [ E exp2δy s δ 2 Z s 2 ds E[ exp2δy + exp2δψ T, [ E exp 2δY s δ 2 Z s 2 ds E[ exp 2δY + exp 2δψ T. Since for all x R, expx + exp x 2, we deduce ha he coninuous maringale par Z.W of he semimaringale Y belongs o L 2. Indeed, we have : [ E Z s 2 ds 1 2δ 2 E[ exp2δy exp 2δY + exp 2δψ T + exp2δψ T 2.24 Using he same argumens, we ge also ha he disconinuous maringale par U.N of he semimaringale Y belongs o L 2, since he following inequaliies hold : [ E e δus 1.λ s ds = [ E e δui s 1λ i se δys δys 2 e 2 ds E 1 e δui s 1 2 λ i 2 T se δys ds e δys λ i sds [ E e δui s 1 2 λ i se ds 1 [ 2 T δys E e δys λsds 1 i 2. Using he inequaliy 2.15 and he assumpion d λi sds K, we ge : [ E expδus 1.λ s ds K 1 2 d E[ exp2δy + exp2δψ T E sup expδ[y. T

59 2.4 Applicaion of q exp -semimaringale o BSDE 59 Using he same argumens and inequaliy 2.16 we ge : [ E exp δus 1.λ s ds K 1 2 d E[ exp 2δY + exp 2δψ T E sup expδ[y. T 2.26 Finally, using he algebrais inequaliy x 2 expx + exp x 2, x R, we conclude ha here exiss a consan C > such ha : [ E U s 2.λ s ds C. Theorem 4. Le g be a coefficien saisfying he condiion Q exp,, δ wih l C. Assume also ha he erminal condiion ψ T L exp. Then here exiss a soluion Y,Z, U D exp H 2 H 2 λ of he BSDE 2.5 associaed wih g,ψ T. Proof : We use he same argumens as in he proof of Theorem 3, so ha we consider he same approximaion sequence g n of he coefficien g given by : g n = δ 2 z δ j δu + θ nδ z, [, T, z R p, u R d. wih f n z, u := θ nδ z, and θ is given by Then f n z, u nδ z, f n z, u θ and he variaion par saisfies : d θ << δ 2 z δ j δu + j δud Using Theorem 8, here exiss a riple Y n, Z n, U n soluion of he BSDE associaed o g n, ψ T. Moreover Y n is a non-increasing Q exp,, δ semimaringale which belongs o D exp and such ha ρ δ, ψ T Y n ρ δ, ψ T, a.s Therefore, by Faou s lemma, we have Y n converge a.s. o a finie process Y which saisfies he same inequaliy Now, since Y n ց Y, if we denoe by p X he predicable projecion of any process X, we have ha p Y n ց p Y. Moreover, by assumpion A.1., for each n N, he jumping imes of Y n are inaccessible. Therefore, for any predicable sopping ime τ we have Y n τ = Y n τ, hus p Y n = Y n, a.s.. So we have proved ha Y n Y

60 6 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion and Y n Y are non-increasing sequences which converge a.s. o, hen from an exension of Dini heorem [19, Lemme p. 22, we conclude ha Y n converge uniformly a.s. o a càdlàg process Y. Therefore, by he sabiliy Theorem 2, Y is a quadraic exponenial semimaringale. Moreover, he maringale par M of Y belongs o L 2 and M = Z.W +U.N where Y, Z, U D exp H 2 Hλ 2 is soluion of he quadraic-exponenial BSDE associaed o g,ψ T. The inegrabiliy condiion of he soluion is obained hanks o he inequaliies 2.24, 2.25, 2.26 and Uiliy maximizaion problem for credi derivaives In his secion, we resric our aenion o he case of credi derivaives. We presen he dynamics of he prices of he defaulable asses and solve he uiliy maximizaion of he erminal wealh for a fixed horizon T by means of BSDE see [57 and [ The model We consider a financial marke consising of d + 1 asses. The money marke is insananeously risk-free, he d defaulable asses depend on he defauls of d firms. We assume ha he defaul imes τ i are random imes and we denoe by H i he defaul process a couning process H i = 1 τi. We assume ha Assumpion A.1 is saisfied. The prices of he defaulable asses are supposed o saisfy : d+p ds i = S i µ i d + σ i,j dn j + σ i,j j=1 j=d+1 and he price of he money marke is governed by : dw j d,i = 1,...,d 2.29 ds = r S d 2.3 Wihou los of generaliy, we assume ha r =. A ime [, T, he agen decides o inves he amouns π 1,...,π d in he defaulable asses and he remaining wealh in he money accoun. The wealh process associaed wih he corresponding self-financing

61 2.5 Uiliy maximizaion problem for credi derivaives 61 sraegy is : dx x,π = π µ d + π σ.dm ; X x,π = x where M = N 1,, N d, W 1,, W p. We impose ha he sraegies π belong o a given se of admissible sraegies see below. Assumpion A 2. The appreciaion raes µ i, i = 1,...,d are bounded predicable processes. For all 1 i d and 1 j d+p, he processes σ i,j and, for all 1 i d and d + 1 j d + p saisfy σ i,j are bounded and predicable > 1 a.s. The se A of admissible sraegies is a compac se which conains. Assuming 2, he erminal wealh is square inegrable. Our goal is o maximize he expecaion of a uiliy funcion of he erminal wealh of an agen who sells a coningen claim wih value ψ T. Assuming ha Ux = exp δx for all x >, he problem is o find u ψ defined as u ψ x = sup E [ e δxx,π T ψ T = inf E[ e δxx,π T ψ T = vx π A π A The selling indifference price of ψ T G T is hen defined as p such ha u x = u ψ x+p. Lemma 1. The family {exp δxσ x,π σ is a G-sopping ime and π A} is uniformly inegrable. Proof : From Iô s formula, d exp δx x,π = exp δx x,π dmπ + da π where he process A π is wih finie variaion and he process M π is a local maringale, given by : [ da π = π µ + δ2 d+p 2 π i 2 σ i,j + e δ P d j=1 πj σi,j + δ π j σi,j 1 λ i d, dm π = d+p j=d+1 j=d+1 δπ i σ i,j dw j d + e δ P d j=1 πj σi,j 1 dn. i Assuming 2, he processes µ and σ are bounded. Since π A, he process A π is bounded and he maringale par M π is BMO. Finally, in order o conclude ha he family j=1

62 62 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion exp δx x,π is uniformly inegrable we prove here exiss a consan ǫ > such ha 1 + M π > ǫ and we conclude using he Kazamaki lemma. M π = e δ P d j=1 πj σi,j 1 dh i > 1 + inf π A e δ P d j=1 πj σi,j = 1 + ǫ Dynamic programming and BSDEs In order o solve he opimizaion problem, we will use dynamic programming principle in order o characerize he value funcion as a soluion of a BSDE. As usual, he goal is o find an adaped process Y wih erminal condiion Y T = ψ T such ha he process R π = exp[ δx π Y, T saisfies he following asserions : i The process R π is a submaringale for any sraegy π A. ii The process R π is a maringale for a sraegy π A. Then he sraegy π will be he opimal sraegy. Indeed, such a pair Y, π saisfies inf E[ e δxx,π T ψ T e δx Y = E [ e δxx,π T ψ T π A Proposiion 11. Le ψ T L. The soluion of he problem 2.31 is given by : ux = exp[ δx Y where Y,Z, U S BMO S is he unique soluion of he BSDE associaed wih g, ψ T where { 1 g Y, Z, U = inf κ δ j δu κ κ. θ λ + δ κ Z + θ 2 2 δ Z. θ θ 2 } 2δ Ā where κ := π σ, Ā := Aσ and he sraegy κ is decomposed in wo componens κ = κ 1,, κ d and κ = κ d+1,, κ d+p. The risk minimal premium θ = σ r σ σ r 1 µ is also decomposed in wo componens θ = θ 1,, θ d+1 and θ = θ d+1,, θ d+p.

63 2.5 Uiliy maximizaion problem for credi derivaives 63 Proof : Le us find a process Y saisfying i and ii as he soluion of a BSDE associaed wih g,ψ T : Y = ψ T + g s Y s, Z s, U s ds Z s dw s U s.dn s where g is a unknown coefficien ha will be defined hrough he properies i and ii. Applying Iô s formula, we obain : de δxx,π Y = δe δxx,π Y dx x,π Y + + δ j=1 π j σi,j U i 1 dh i + e δxx,π e δxx,π Y e δp d j=1 πj σi,j U i Y δ2 2 d Xx,π Y c Le κ = π σ, Ā = Aσ, and Ā he se defined by κ Ā if and only if κ Āw P a.s and le θ = σ r σ σ r 1 µ, and le define κ = κ 1,, κ d and κ = κ d+1, κ d+p ; θ = θ 1,, θ d and θ = θ d+1,, θ d+p. Then, we deduce : de δxx,π Y = e δxx,π Y dm + + δ2 2 [ e δκ i Ui + δκ i U i 1 λ i δκ i θ i d κ Z + θ 2 δ d δz. θ d θ 2 2 d δg Y, Z, U d where M is a maringale. Hence, o saisfy properies i and ii, he coefficen g should be given by : { 1 g Y, Z, U = inf κ δ j δu κ κ. θ λ + δ κ Z + θ 2 2 δ Z. θ θ 2 } 2δ Ā Using he fac ha A, we ge ha : g Y, Z, U δ 2 Z δ j δu, a.s T Moreover he following inequaliy is saisfied : 1 δ j [ δ κ U + δ κ Z + θ 2 2 δ, a.s T. As he sraegies κ belong o a compac se, using he explici expression of g, here exiss a bounded adaped process l such ha : l Z. θ + θ 2 g Y, Z, U, a.s T δ

64 64 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Since he coefficien g of he BSDE saisfies 2.32 hen he processs Y is a enropic submaringale, Y ρ δ, ψ T. The erminal condiion ψ T is bounded, hence here exiss a consan C 1 s. Y C 1. Since he coefficien g of he BSDE saisfies 2.33 hen he process Y saisfies for all T : ψ T + ls Z s. θ s θ s 2 T ds 2δ Z s.dw s U s.dn s Y, a.s; 2.34 where he process l = l T and θ = θ, θ are bounded. Consider he probabiliy measure Q equivalen o P wih he Radon-Nikodym densiy Z Q given by : dz Q Z Q = θ.dw, T. Since he process θ is bounded, he maringale θ.w is BMO, and Z Q = E θ.w is uniformly inegrable maringale. Using Girsanov s heorem, he process W defined by : d W = dw + θ d is a Q-maringale, hen using 2.34, we obain : T E [ψ Q T Z s.dw s + θ s ds l s + θ s 2 ds G Y, a.s T. 2δ Therefore since ψ T L, and since he process l and θ are bounded, we deduce here exiss a consan C 2 such ha C 2 Y, a.s T. Finally, we conclude ha he process Y is a bounded enropic submaringale. As Y is a bounded enropic submaringale, we use he same approximaion g n n N of he coefficien of he BSDE g given by 2.2, and we conclude ha he soluion Y n, Z n, U n associaed wih g n, ψ T where Y n is a bounded decreasing enropic submaringale converges a.s uniformly o a process Y S. Moerover l z. θ + θ 2 g z, u g n z, u δ 2δ 2 z δ j δu, a.s T. hen we conclude : [ [ E g n Z n, U n d E δ 2 Zn δ j δu n d + l + Z n. θ + θ 2 d 2δ

65 2.5 Uiliy maximizaion problem for credi derivaives 65 [ T Since E Zn. θ d [ 1 [ T E Zn T d.e θ 2 2 d, using he BMO propery of Z n.w and he boundness of he processes U n, θ and l we obain ha here exiss a consan C such ha : [ E g n Z n, U n d C Therefore, by applying Theorem 1, here exiss a riple Y, Z, U S BMO S associaed wih he BSDE g,ψ T. We prove ha he maringale par of bounded enropic submaringale Y is BMO by using sabiliy resuls given in Proposiion 7. In order o prove uniqueness of he soluion, we shall apply Proposiion 9. Le us prove ha he coefficien g saisfies he condiion A γ. For T, z R p and u, ū R d, one has : 1 g z, u g z,ū sup κ A δ {j [δu κ j [δū κ } Le j i u i = e ui u i 1λ i, i = 1,, d, hen : j x j y = 1 j i [νx + 1 νy x ydν, ui x, Using he fac ha j u = d ji u i, we obain : { g z, u g z,ū sup κ A From ji u i = e ui 1λ i, we deduce where g z, u g z,ū 1 y R j i [ u i δνu i κ i + δ1 νū i k i u i ū i dν γu i i,ū i u i ū i λ i, T, u i,ū i R, i = 1, d γ i u i,ū i = 1 + sup 1 κ A 1 + inf κ A e [νui eκi +1 νūi eκ i dν1 {u i ū i } e [νui eκi +1 νūi eκ i dν1 {u i <ū i } Since u i is bounded and κ i is bounded for all T, here exis for all i, wo posiive consans δ i, c i such ha 1 + δ i γu i,ū i c i. We conclude ha he coefficien g }

66 66 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion saisfies he condiion A γ. One has o check ha he coefficien g saisfies he condiion For all z 1, z 2 R p, u R d and [, T, we have : g z 1, u g z 2, u sup κ A sup κ A δ κ z 1 + θ 2 δ 2 κ z 2 + θ δ 2 z 1 z 2. θ δ 2 z1 z 2 z 1 + z κ + 2 θ δ + θ z 1 z 2 Since κ A a compac se and since he process θ is bounded, here exiss C > such ha : g z 1, u g z 2, u C 1 + z 1 + z 2 z 1 z 2, which yields condiion Appendix BMO maringales and quadraic-exponenial semimaringales In his par, he goal is o give he properies of maringale par of q exp - semimaringales. We shall in paricular characerize q exp -canonical semimaringales associaed wih a maringale in erms of BMO properies. Definiion 13. A maringale M is BMO if here is consan c M > such ha for any sopping ime σ τ T : E[[M,M τ σ G σ c 2 M The smalles consan c M is called he BMO-norm of M. In erms of he maringale represenaion M = M c + U.N, M is BMO if and only if : [ E M c τ σ + [σ,τ U s 2.dH s G σ c 2 M

67 2.6 Appendix 67 Definiion 14. Le X be a semimaringale and define : max X s = max{ X u X s ;s u } s. X is a BMO-semimaringale if here exiss a consan c > such ha for any sopping imes σ τ T : E[max X τ σ G σ c 2 For a maringale M, we denoe by rm and r M he q exp -canonical semimaringales given by : rm = M c 1 2 Mc + r M = M c 1 2 Mc U s.dn s U s.dn s ju s ds j U s ds 2.35 Proposiion 12. Le M = M c + U N be a G-maringale such ha rm T and r M T belong o L 1 exp. Then, he following saemens are equivalen : i The maringale M is BMO ii The processes rm and r M are BMO-semimaringales. Under any of he assumpions, he processes M c + e U 1.N and M c + e U 1.N belong o U exp. Proof : Le assume firs ha M = M c + U.N is a BMO-maringale. Then, for all pair of sopping imes σ τ T, we have [ E M c τ σ + [σ,τ U s 2.dH s G c 2 M, a.s. Thus, we have E[ M c τ σ c 2 M and Ui τ i c M for any i = 1, d. Moreover, by using Lemma 3, we have U i c M, a.s. for each [, T. Therefore, here exiss a consan C > such ha : Since [ 1 τ [ 1 τ E 2 Mc τ σ + ju d G σ C and E σ 2 Mc τ σ + j U d G σ C. σ E[max M τ σ G σ 2E[[M τ σ [M σ σ G σ 1 2 2E[[M τ σ G σ 1 2 2cM

68 68 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion We conclude ha here exiss wo sricly posiive consans c rm and c r M such ha : E[max rm τ σ G σ c rm, E[max r M τ σ G σ c r M I remains o show ha he maringales M c + e U 1.N, M c + e U 1.N U exp. By using Jensen s inequaliy, we esablish ha for all σ [, T, ln E [ exp rm T σ Gσ E [ rm T σ G σ crm, a.s Hence, rm σ ρ σ rm T + c rm and exp rm σ expc rm E[exprM T G σ. Since exp rm = E M c + e U 1.N, he maringale M c + e U 1.N belongs o U exp. We use he same argumens o deduce ha he maringale M c + e U 1.N belongs o U exp. Conversely, assume he asserion ii holds : he processes rm and r M are BMO-semimaringales. Since M c + e U 1.N and M c + e U 1.N belong o U exp, we have for any sopping imes σ τ : [ τ E M c τ σ + ju s + j U s.λ s ds G σ = E[ rm τ σ r M τ σ G σ. σ Using he obvious inequaliy, U 2.λ ju + j U, we conclude ha for any sopping imes σ τ : [ τ E M c τ σ + U s 2.λ s ds G σ c rm + c r M. σ We will need he following preliminary resul o prove he John-Nirenberg inequaliy see [44, [53 : Lemma 2. Le A be an increasing adaped process such ha, for any τ > σ E[A τ A σ G σ K, a.s.

69 2.6 Appendix 69 Then, δ 1 K, ρ σ A τ A σ + κδ, K, where κδ, K = 1 ln 1 δk. δ Proof : We prove firs by inducion ha, for any p N and for all σ τ, we have : E [ p A τ A σ G σ p!k p Obviously, he inequaliy 2.38 is saisfied for p = 1. Assuming ha 2.38 holds for he order p 1, we have, using he fac ha x p is a convex funcion : p p+p Aσ p 1 p+p Aσ p 1. Aτ A σ Aτ A σ A σ Aτ A σ = Aτ A σ Aτ A σ Using he fac ha : p τ A τ A σ p σ A τ A u p 1 da u, one ges : [ Aτ p [ τ E A σ G σ pe E [ A τ A u p 1 [ Gσ Aτ p 1 Gσ G u dau + p A σ E A σ σ p!k p 1 E [A τ A σ G σ Therefore, for δ < 1 K, one obains : [ E exp δ A τ A σ G σ + p!k p 1 A σ = p!k p 1 E [A τ A σ G σ p!k p. 1 1 δk. Finally, by aking he logarihm on boh sides of he las inequaliy and muliplying by 1/δ, one ge our saemen. Proposiion 13. Le M be a BMO-maringale,wih BMO-norm c M. Then, i For any sopping imes σ τ and consan δ < 1, c 2 M. ρ δ,σ [M τ σ κδ, c 2 M ii he John-Nirenberg exponenial inequaliy holds rue for δ < 1 2c M :. ρ δ,σ max M τ σ κδ, 2c M iii For δ < 1 c rm, where c rm is defined in 2.36 ρ δ,σ max rm τ σ κδ, c rm

70 7 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Proof :The resul is a direc consequence on Lemma 2 applied o he increasing process [M, max M and max rm respecively. We give now a characerizaion of BMO-maringales by using enropic processes, following [5 : Proposiion 14. The following saemens are equivalen : i M is a BMO-maringale. iithere exiss α 1, α 2 > and non negaive consans a 1, a 2 such ha for any sopping ime τ T : rm τ a 1 + ρ α1,τ rm T r M τ a 2 + ρ α2,τ r M T 2.39 Proof : a Le us prove firs ha asserion ii implies i.from 2.37, we have : ρ α1,τ rm T τ a1, andρ α2,τ r M T τ a2 and, using properies of enropic processes, hese inequaliies are equivalen o ρ α1,τ rm T τ a1, ρ α2,τ r M T τ a2. By using he concaviy propery of he logarihm funcion, we ge : hen [ E M c T τ + τ ju s + j U s ds G τ = E [ rm T τ r M T τ [ E M c T τ + τ U s 2.λ s ds G τ a 1 + a 2 G τ a 1 + a 2 b Le us prove now ha asserion i implies ii. Assuming ha M is a BMO maringale, hen, from Proposiion 13, we obain for δ 1 c rm, where c rm is defined in he proof of Proposiion 12 : 1 δ ln[ E exp δrm T τ G τ κδ, crm = rm τ ρ δ,τ rm T + κδ, c rm 1 δ ln[ E expδrm T τ G τ κδ, crm = ρ δ,τ rm T κδ, c rm rm τ.

71 2.6 Appendix 71 Take now α 1 = δ, a 1 = κδ, c rm in order o achieve he proof for he righ hand side of he inequaliy We use similar argumens for r M. measure : We now prove a sabiliy resul for he BMO-propery under a change of probabiliy Proposiion 15. Le L = L c + l.n be a BMO-maringale and le L = L c + e l 1.N. Then, E L is a sricly posiive uniformly inegrable maringale. We denoe by Q he probabiliy measure dq = E LdP. Then for p, q > 1, such ha 1 p + 1 q imes σ τ T and for any G τ measurable random variable X τ L exp : ρ Q 1,σ X τ ρ 1,σ X τ + r L τ σ ρ p,σ X τ + ρ q,σ r L τ σ = 1, for any sopping Moreover for any BMO-maringale M wih BMO-norm c M, and for any θ 1 pcm, and seing κ q L = ρ q,σ r L τ σ ρ Q 1,σ [θmτ σ ρ p,σ [θm τ σ + κ q L Proof : Le L = L c + l.n, by Proposiion 12, he maringale E L is u.i. Denoing by Q he probabiliy dq = E LdP leads o : [ exp ρ Q 1,σ X τ = E Q [expx τ G σ = E [E L τ σ.expx τ G σ = E exp r L τ σ + X τ G σ Since for any F,G G τ, and any p, q > 1, 1 p + 1 q = 1 : ρ 1,σ F + G ρ p,σ F + ρ q,σ G, σ τ, 2.4 we obain ρ Q 1,σ X τ ρ p,σ X τ + ρ q,σ r L τ σ Seing X τ = [θm τ σ, Proposiion 13 leads o ρ p,σ [θm τ σ cm, for θ 1 pcm. Therefore, here exiss a consan C > such ha ρ Q p,σ [θm τ σ C, and he concaviy of he logarihm funcion give us E Q [θm τ σ G σ C. Noe ha he Q maringale. M Q = M M, L has quadraic variaion [M Q = [M.

72 72 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Universal Bound for quadraic exponenial semimaringale We give now a universal bound for quadraic exponenial semimaringale wih general srucure condiion Q exp Λ, A,δ which is crucial in our approach, in paricular o ge he exisence resuls for quadraic BSDE s Theorem 3 and Theorem 4. Proposiion 16. Universal Bound Le X = X + V + M be a quadraic exponenial semimaringale which saisfies he srucure condiion Q exp Λ, A,δ and wih he erminal condiion X T = ψ T. Then, P-a.s. and for any [, T : X ρ δ, e A T ψ T + Proof : Using Tanaka s formula, we ge : e As dλ s. de As X s = e As d X s + X s.da s = e As X s.da s + signx s dv s + dm s + dl X s, where L X is he local ime of X a. Le M = M c + U s.dn s, T, since X is a q exp semimaringale hen he process B defined by db s = signx s dv s + δ 2 d Mc s + 1 δ j[δ signx s U sds + X s da s + dλ s is an increasing process. Therefore, we ge : de As X s =e As X s.da s + signx s dv s + δ 2 d Mc s + 1 δ j[δ signx s U sds + dλ s + dl X s We have also : +e As signx s dm s δ 2 d Mc s 1 δ j[δ signx s U sds dλ s. de As X s =e As db s + dl X s + e As signx s dm s δ 2 d Mc s 1 δ j[δ signx s U sds dλ s = e As signx s dm s δ 2 d eas signx s M c s 1 δ j[δeas signx s U s ds e As dλ s δ + e As db s + dl X s + 2 d eas M c s δ 2 eas d M c s 1 + δ j[δeas signx s U s e 1 As δ j[δ signx s U s ds. Since for any k 1 and for any x R d, jkx kjx, and since A is an increasing process wih iniial condiion A =, we ge j[δe As signx s U s e As j[δsignx s U s. Moreover for any s, δ 2 eas M c s δ 2 eas M c s, hen we obain : de As X s = e As signx s dm s δ 2 d eas signx s M c s 1 δ j[δeas signx s U s ds e As dλ s +dc s 2.41

73 2.6 Appendix 73 where C is an increasing process. Define he process Y = exp[δe A X + eas dλ s. By applying Iô s formula and using 2.41, we deduce ha he process Y is a submaringale, hus we have : exp[δe A X + Therefore we ge, P-a.s., for any [, T : [ e As dλ s E exp[δe A T X T + X ρ δ, e AT ψ T + e As dλ s. e As dλ s G. In order o achieve he proof, we have o prove ha for any x R d, k 1, jkx kjx. Le define gx := jkx kjx = [ d e kxi kx i 1 ke xi x i 1 λ i. Since λ i is posiive hen o prove he asserion i is sufficien o prove ha he funcion defined by ḡy = e ky 1 ke y 1, for any y R is posiive. We have : ḡ y = ke y e k 1y 1, y R. Since k 1, hen he funcion k is decreasing on, and increasing on,+. Finally we ge : ḡ[, = ḡ,ḡ =, k 1,+, ḡ[,+ = ḡ,ḡ+ =,+,+. Therefore we ge ḡr,+, hence he funcion ḡ is posiive and we deduce jkx kjx, for any x R d and k Technical lemma We prove he following echnical resul : Lemma 3. Le X and Y wo G-predicable processes such ha Y τi = X τi. Then, X = Y on τ i a.s. Moreover, if X τi Y τi, hen X Y a.s on τ i. Proof : Assume ha X and Y are bounded. If X τi = Y τi, hen X Y dh i =, and [ = E X Y dh i = E X Y λ i d.

74 74 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Therefore, we have X = Y on τ. Moreover, if X τi Y τi, we consider he predicable process V defined as V = Y 1 X Y. Then V τ = Y τ and by using he firs par of he proof, we obain V = Y on τ. The general case follows Lipschiz BSDEs wih Jumps In his secion, we give condiions which insure he exisence of a soluion for a BSDE wih jumps assuming he coefficien g is Lipschiz. We give a priori esimaes of he soluion and a comparison heorem. Theorem 5. Assume ha ψ T L 2 Ω, G T, P and ha he generaor g : Ω [, T R p R R d R is P BR R R d -measurable and saisfies : T i E g,, 2 d < ii There exiss a posiive consan C such ha for all T, y,y, z,z R p, u,u R d g y,z,u g y, z, u C y y + z z + u u λ, where u λ, = d ui 2 λ i 1 2. Then here exiss a riple Y,Z, U S 2 H 2 H 2 λ which solves he BSDE : Y = ψ T + g s Y s, Z s, U s ds Moreover here exiss a consan c > such ha : E sup T Y 2 + Z 2 d + Z s.dw s U 2 λ, d ce ψ T 2 + Proof : Le D α be he space H 2 H 2 Hλ 2 equiped wih he norm : Y,Z, U α = U s.dn s [ E e αs Y s 2 + Z s 2 + U s 2 λ s ds 1 2. Le Ψ be he applicaion from D α ino D α defined by : Ψu, v,w = Y u,v,w, Z u,v,w, U u,v,w T. g,, 2 d

75 2.6 Appendix 75 where Y u,v,w, Z u,v,w, U u,v,w is he soluion of he BSDE associaed wih he coefficien g u,v,w = g u, v, w, T. Applying Iô s formula o e α Y u,v,w Y u,v,w 2 yields o : e αs Y u,v,w Y u,v,w = M T M g s u s, v s, w sds where M = 2 U u,v,w e αs Z u,v,w s Z u,v,w s 2 ds + e αs Us u,v,w U u,v,w 2 λ,s ds e αs Ys u,v,w Y u,v,w s α u,v,w Ys Y u,v,w s + g s u s, v s, w s 2 [ e αs Ys u,v,w Y u,v,w s Z u,v,w s U u,v,w s 2.dN s s Z u,v,w s.dw s + Us u,v,w U u,v,w s.dn s The maringale M T is uniformly inegrable. Using he Lipschiz-coninuous propery of g we obain : [ E e αs Y u,v,w Y u,v,w E e αs Y u,v,w 2 + s Y u,v,w s Then, using he inequaliy αa 2 + 2Cab = α a C α [ E e αs Y u,v,w Y u,v,w 2 + [ 3C2 α 2 E e αs u s u s 2 + v s v s 2 + w s w s 2 λ,s I follows ha e αs Zs u,v,w Z u,v,w s 2 ds + e αs Us u,v,w U u,v,w s 2 λ,s ds αy u,v,w s Y u,v,w s + 2C u s u s + v s v s + w s w s λ,s ds. 2 + C 2 α 2 b 2 C2 b 2, we obain α 2 e αs Zs u,v,w Z u,v,w s 2 ds + e αs Us u,v,w U u,v,w s 2 λ,s ds ds. s Moreover Z u,v,w Z u,v,w 2 α 3C2 α 2 u u, v v, w w 2 α, U u,v,w U u,v,w 2 α 3C2 α 2 u u, v v, w w 2 α. Y u,v,w Y u,v,w 2 α 3C2 α 2 u u, v v, w w 2 αd = 3C2 T α 2 u u, v v, w w 2 α.

76 76 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Therefore here exiss a consan K > depending only on C and T such ha : Y u,v,w Y u,v,w, Z u,v,w Z u,v,w, U u,v,w U u,v,w 2 α K α u u, v v, w w 2 α. For α > K, he map Ψ is conracing on he Hilber space D α. The fixed poin heorem ensures he exisence of a unique riple Y,Z, U D α such ha ΨY,Z, U = Y, Z, U. We give now a comparison heorem under Lipschiz condiion on he coefficien, and he proof is a paricular case of he more general resul given in Theorem 7 : Theorem 6. Le Y, Z, U S 2 H 2 Hλ 2 resp. Y, Z, U be he soluion of he BSDE associaed wih g, ψ T resp. g, ψ T where ψ T,ψ T L2 Ω, G T, P and he coefficiens g, g saisfy he hypoheses given in Theorem 5. Moreover, we assume ha i ψ T ψ T ii g y, z,u g y, z,u, a.s for all, y,z, u [, T R p R R d, iii g saisfies he condiion A γ. Then, we have : Y Y, P- a.s [, T Exisence and comparison heorem for he linear growh case Theorem 7. Le a erminal condiion ψ be bounded and he coefficien g be given by g z, u = δ 2 z δ jδu + f z, u where : i he funcion f has a linear growh in z, namely, here exiss a posiive consan C s. f z, u C1 + z, [, T, z R p. We assume also ha, P-a.s. for any [, T, he funcion z, u f z, u is coninuous. ii g y, z,u c z, where c a posiive consan. z Then :

77 2.6 Appendix 77 a There exiss a unique maximal soluion Y,Z, U S BMO S of he BSDE associaed wih g, ψ T. b Le Y i, Z i, U i be he soluions of he BSDE associaed wih g i, ψ i, for i = 1,2 where he coefficien g i saisfies he condiion A γ and he hypoheses i and ii where he funcions f i, i = 1,2 are Lipschiz in z. Assume ha g 1 g 2, and ψt 1 ψ2 T. Then, Y 1 Y 2, a.s [, T Proof : a Using Iô s formula : d expδy = expδy [f Z, U d + δz.dw + e δu 1.dN. We define he processes Ȳ = expδy, Z = δ expδy Z, δu i = expδy [expδu 1, i i = 1,, d, and f Ȳ, Z,Ū = Ȳf Z, 1 Ū Ȳ δ ln1 +. The funcion f has linear growh wih Ȳ respec o z and he semimaringale Y is uniformly bounded, hen, here exiss a consan C > such ha : f Ȳ, Z,Ū C 1 + Z Ȳ C1 + Z. Since f has linear growh wih respec o z, an adapaion o he jump case of he exisence resul of Lepelier and San Marin [51 insures ha he BSDE associaed wih f,ψ T admis a maximal soluion. b Consider now g i, ψt i, i = 1,2 such ha g1 g 2 and ψt 1 ψ2 T. We assume ha he coefficien g i, i = 1,2 saisfies he condiion A γ and he above condiions i and ii where f i, i = 1,2 are Lipschiz coninuous in z. Seing Y = Y 1 Y 2, Z = Z 1 Z 2, U = U 1 U 2 and ψ = ψt 1 ψ2 T, we obain : d Y = δ Z Z 2 2 d + 1 jδu 1 δ jδu 2 d + f 1 Z 1, U 1 f 2 Z 2, U 2 d Z.dW U.dN We have obviously he inequaliy δ 2 Z1 2 Z 2 2 Z 1 Z 2.δZ 1. Moreover, using he

78 78 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion fac ha he funcion j is convex, we have : 1 δ [j δu 1 j δu 2 e δu1,i Ploing he wo inequaliies in he equaion 2.42, we ge : 1U 1,i U 2,i λ i d. Y ψ + f 1 s Zs, 1 Us 1 fs 2 Zs, 2 Us 2 ds Z s.dw s δzsds 1 UsdN i s i e δu1,i s 1λ i sds Consider he probabiliy measure Q 1 equivalen o P wih Radon-Nikodym densiy given by Z Q1 where : dz Q1 [ = δz 1 Z Q1.dW + e δu1 1.dN, a.s., [, T. The riple Y 1, Z 1, U 1 is soluion of quadraic exponenial BSDE wih bounded condiion, hen by Proposiion 8, we have ha Z 1.W + e δu1 1.N is BMO maringale. Moreover, by using Proposiion 12, he maringale Z Q1 = E δz 1.W + e δu1 1.N is uniformly inegrable. By Girsanov heorem, he processes W and Ñ defined by : d W = dw δz 1 d, dñi = dn i e δu1,i 1λ i d, i = 1,...,d are Q 1 -maringales. Hence, aking he condiional Q 1 -expecaion in 2.43, we ge : Y E [ ψ Q1 + f 1 s Z 1 s, U 1 s f 2 s Z 2 s, U 2 s ds G Since he funcion f 2 is Lipschiz wih respec o z and g saisfies A γ, here exis wo posiive consans κ, C > and a family of funcions γ i : R R R saisfying 1 + κ γ i u i,ū i C for any u i,ū i R 2, i = 1,, d such ha : f 2 z 1, u 1 f 2 z 2, u 1 C z 1 z 2, T, z 1, z 2 R p f 2 z 1, u 1 f 2 z 1, u 2 γu i 1,i, u 2,i u 1,i u 2,i λ i, T, u 1,i, u 2,i R, i = 1,, d.

79 2.6 Appendix 79 Then we may rewrie 2.44 as : Y E [ ψ Q1 + Therefore, since f 1 f 2, we ge : Y E [ ψ Q1 + E [ ψ Q1 + f 1 s Z 1 s, U 1 s f 2 s Z 1 s, U 1 s + f 2 s Z 1 s, U 1 s f 2 s Z 2 s, U 2 s ds G. f 2 s Z 1 s, U 1 s f 2 s Z 2 s, U 1 s + f 2 s Z 2 s, U 1 s f 2 s Z 2 s, U 2 s ds G. f 2 s Z 1 s, U 1 s f 2 s Z 2 s, U 1 s 2.45 U i sdñi s γ i su 1 s, U 2 s λ i sds 2.46 Define he processes Z1,i = Z 2,1,...,Z 2,i 1, Z 1,i,...,Z 1,p and Z2,i = Z 2,1,...,Z 2,i, Z 1,i+1, Z 1,p, for i = 1,...,p and inroduce he following processes : for all i = 1,, p, T f 2 Z 1,i, U 1 f 2 Z 2,i, U 1 βz i 1, Z 2 = Z 1,i Z 2,i, if Z 1,i Z 2,i,, if Z 1,i = Z 2,i. Then, we have f 2 Z 1, U 1 f 2 Z 2, U 1 = p βi Z 1, Z 2 Z 1,i Z 2,i wih β Z 1, Z 2 C for all [, T since f is Lipschiz-coninuous wih respec o Z. Then, by using 2.46 we ge : Y E [ ψ Q1 + E Q1 [ ψ + + f 2 s Z 1 s, U 1 s f 2 s Z 2 s, U 1 s + f 2 s Z 2 s, U 1 s f 2 s Z 2 s, U 2 s ds G d Zsd W i s i βsz i s, 1 Zsds 2 U i sdñi s γ i su 1 s, U 2 s e δu1,i s λi s ds G Define he probabiliy measure Q wih Radon-Nikodym measure Z Q wih respec o G Q 1 given by : dz Q Z Q = β Z 1, Z 2.d W + γ U 1, U 2 e δu1.dñ.

80 8 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion Therefore, since 1 + κ γ i U 1, U 2 C and β Z 1, Z 2 C for all [, T, we have ha under he probabiliy measure Q 1, β.w + γe δu1.n is BMO-maringale using he Proposiion 15. Thus, Z Q is uniformly inegrable and Y E Q [ ψ G, and hen Y 1 Y 2 a.s. Remark 4. In his comparison heorem, we need only ha he condiion A γ holds rue for he coefficien f 2. Moreover, we ge he uniqueness resul for he soluion of such BSDE as a consequence of he comparison heorem Linear growh coefficien and exponenial inegrable erminal condiion In his par, we shall exend he resuls obained in he las secion for a erminal condiion ψ belongs o L exp. Theorem 8. Le ψ be a erminal condiion which belongs o L exp and a coefficien g given by g z, u = δ 2 z δ jδu + f z, u such ha : i he funcion f has a linear growh in z, namely, here exiss a posiive consan C s. f z, u C1 + z, [, T, z R p. We assume also ha P-a.s. for any [, T, he funcion z, u f z, u is coninuous. ii g y, z,u c z, where c a posiive consan. Then : z a here exiss a unique maximal soluion Y, Z, U D exp H 2 Hλ 2 of he BSDE associaed wih g,ψ T. b Moreover if we consider he soluions Y i, Z i, U i of he BSDE associaed o g i, ψ i, fore i = 1,2 where he coefficien g i saisfying he hypohesis i and ii and such he funcions f i, i = 1,2 are Lipschiz in z and saisfying he condiion A γ. Then, we have ha whenever, we assume g 1 g 2, and ψ 1 T ψ2 T. Y 1 Y 2, a.s., [, T Proof : a Using Iô s formula, we ge : d expδy = expδy [f Z, U d + δz.dw + e δu 1.dN.

81 2.6 Appendix 81 Le us define he processes Ȳ = expδy, Z = δ expδy Z and δu i = expδy [expδu i 1, i = 1,, d, and f Ȳ, Z,Ū = Ȳf Z, 1 Ū Ȳ δ ln1 +. Then, Ȳ here exiss a posiive consan C > such ha : f Ȳ, Z,Ū C Ȳ + Z. Since f has linear growh wih respec o z and y and he erminal condiion Ȳ T = expψ T L p, hen an adapaion in he jump case of he exisence resul of Lepelier and San Marin [51 insure ha he BSDE associaed WITH f,ψ T admis a maximal soluion. b Le assume g saisfy he Q exp,, δ, and le Y, Z, U be he soluion of he BSDE associaed wih g, ψ T where ψ T L exp. Then, from Remark 1, he maringale δz.w + e δu 1.N belongs o U exp. Therefore, we can use he same mehodology by changing he probabiliy o prove he comparison heorem.

82 82 Quadraic Backward Sochasic Equaions wih jumps and uiliy maximizaion

83 Chapire 3 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion 3.1 Inroducion We sudy a problem of uiliy maximizaion under model uncerainy. The problem is formulaed as a sup/inf, he supremum being over a erminal value and an inermediae conrol and he infimum over a se of models measures Q. We exend he work of Bordogoni, Maoussi and Schweizer [13 o he case of a disconinuous filraion and prove ha he soluion of he robus problem is a soluion of a quadraic-exponenial backward sochasic differenial equaion. Moreover, we prove a dynamic maximum principle for he maximizaion problem which generalizes he resuls of Duffie and Skiadas [21 and El Karoui e al. [25 o he robus case and including model wih jumps. We deal wih he problem of uiliy maximizaion from a erminal value and an inermediae conrol under model uncerainy. In he sandard problem of uiliy maximizaion, one assumes ha he invesor knows he "hisorical" probabiliy P ha describes he dynamics of he sae process. In realiy, he invesor has some uncerainy on his probabiliy. This has led Bordigoni, Maoussi and Schweizer [13, denoed hereafer [BMS, o inroduce he se Q of probabiliy measures absoluely coninuous wih respec o he reference model measure P, and o choose "a wors case" crieria in he opimizaion problem. More precisely, he

84 84 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion goal is o solve sup π,c inf Q Q Uψ,c,Q 3.1 where ψ runs hrough a se of random variables, c hrough a se of conrol processes and Q hrough a se of models measures, and where he crieria Uψ,c, Q is he sum of a Q-expeced uiliy and a erm relaive o he relaive enropy a penalizaion erm. This approach has been suggesed by [1 and [4. Some resuls in he robus maximizaion problem have been obained in Gundel [36, Quenez [66, Schied and Wu [68, Skiadas [73 in he case of coninuous filraion. Schied [67 has been working on he problem 3.1 wih a fairly general penalizaion erm for Q. However, his saic resuls do no conain ours ; hey only cover he simple case δ.bordigoni [13 has used classical opimizaion echnics o sudy he same problem in he coninuous case. Our firs moivaion is o exend he resuls of [BMS o a disconinuous filraion concerning he inf problem and hen o sudy he maximizaion problem. We also exend some resuls obained by he second auhor in [32 where he uiliy maximizaion par of he problem is sudied in he case of a coninuous filraion, and in a complee marke. As in [BMS, he primary inspiraion clearly comes from he papers [73, 7, 71, 72. In [73, Skiadas sudies essenially he opimizaion problem 3.1, and proves ha he dynamic value process V can be described by some quadraic BSDE. Skiadas poins ou ha he BSDE coincides wih he one describing a sochasic differenial uiliy ; hence working wih a sandard expeced uiliy under a paricular form of model uncerainy is equivalen o working wih a corresponding sochasic differenial uiliy under a fixed model. Our second source of inspiraion is he work of Anderson wih coauhors in [1, 4 in which more references can be found. These auhors inroduce and discuss he basic problem of robus uiliy maximizaion when model uncerainy is penalized by a relaive enropy erm. Boh papers are cas in a Markovian seing and use mainly formal manipulaions of Hamilon-Jacobi-Bellman HJB equaions o provide insighs abou he opimal invesmen behaviour in hese siuaions. By using BSDE echnics, we generalize he characerizaion of opimaliy obained by El Karoui, Quenez and Peng [25 in he framework of robus case and including model wih jumps. Indeed, we derive a maximum principle which gives a necessary and sufficien

85 3.2 The Model and he Robus Opimizaion Problem 85 condiion of opimaliy. Our resuls may also be considered as a generalizaion of he works of [21, 7, 71, 72. The paper is srucured as follows. Secion 2 presens he model and he form of he crieria U, Q. In Secion 3, we show ha he opimal model measure exiss. Secion 4 provides he opimal conrol using a BSDE approach. For a specific choice of uiliy funcions, he value funcion is given in Secion 5 in erms of he opimal plan. The final Secion 6 conains a echnical proof concerning a regulariy resul of our generalized quadraic-exponenial backward sochasic differenial equaion. 3.2 The Model and he Robus Opimizaion Problem In his secion, we presen he opimizaion problem relaive o he choice of an opimal probabiliy measure The Model We consider a filered probabiliy space Ω, G, G, P. All he processes are G-adaped, and defined on he ime inerval [, T where T is he finie horizon. We recall ha any special G-semimaringale Y admis a canonical decomposiion Y = Y + A + M Y,c + M Y,d where A is a predicable finie variaion process, M Y,c is a coninuous maringale and M Y,d is a disconinuous maringale. Assumpion A 3. We make he following assumpions : 1 For each i = 1,...,d, H i is a couning process and here exiss a posiive adaped process λ i, called he P inensiy of H i, such ha he process N i wih N i := H i λi sds is a maringale. We assume ha he processes H i, i = 1,...,d have no common jumps. 2 Any disconinuous maringale admis a represenaion of he form dm Y,d where y i, i = 1,...,d are predicable processes. = d yi dn i This hypohesis is saisfied in he case where he filraion is generaed by a Brownian moion and an inhomogeneous Poisson process and in he case of credi risk, under immersion propery see Kusuoka [46 for deails.

86 86 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Definiion 15. L exp is he space of all G T -measurable random variables X wih E P [exp γ X < for all γ > D exp is he space of all progressively measurable processes X = X T wih E P [ exp γ ess sup T X < for all γ > D exp 1 is he space of all progressively measurable processes X = X T such ha E [exp P γ X s ds < for all γ > M p P is he space of all P-maringales M = M T wih M = and E P[ sup T M p < L 2 λ, P is he space of all R d -valued predicable processes X such ha E P[ Xs i 2 λ i sds < We denoe by H 2 P he space L 2 λ, P for λ = 1 S 2 P is he space of all R-valued predicable processes X such ha E P[ sup X s 2 < T Definiion 16. For any probabiliy measure Q on Ω, G T, [ E Q ln dq dp HQ P := G T if Q << P on G T + oherwise is he relaive enropy of Q wih respec o P. We denoe by Q f he space of all probabiliy measures Q on Ω, G T wih Q << P on G T and HQ P < +. Noe ha he reference probabiliy measure P belongs o Q f The robus opimizaion problem We define he discouning process S δ := e R δsds for all [, T where δ is a non-negaive adaped process. For Q Q f, we denoe by Z Q = Z Q T a càdlàg P- maringale is Radon-Nikodym densiy wih respec o P. Le U be a given process he

87 3.3 The Opimal Model Measure 87 cos process and ŪT a given random variable he erminal arge. The robus uiliy maximizaion problem PU,ŪT,β is o find he infimum of ΓQ over he se Q f where [ [ ΓQ = E Q SsU δ s ds + STŪT δ + βe Q δ s Ss δ lnzs Q ds + ST δ lnz Q T. 3.2 The firs erm in he righ-hand side of 3.2 will be linked, in he following secion, o he Q-expeced discouned uiliy from arge and cos process. The second erm is a discouned relaive enropy erm and β > is a given posiive consan which deermines he srengh of his penaly erm. Noe ha he opimal probabiliy Q for he problem PU,ŪT,β is opimal for he minimizaion problem PU β,ūβ T,1 where Uβ = U/β, Ūβ T = ŪT/β, herefore, we shall resric our aenion o he problem PU,ŪT := PU,ŪT,1. Assumpion A 4. For a more precise formulaion of our problem, we make he following furher assumpions : i he discoun rae δ is a non-negaive bounded process, more precisely here exiss ǫ > such ha for any, < ǫ δ δ, a.s. ii he cos process U belongs o D exp 1 and he erminal arge ŪT is in L exp. iii he process Λ i := λi sds is assumed o be uniformly bounded, i.e., Λ i T C, a.s.. Remark 5. The assumpion iii is a echnical hypohesis needed only in he proof of Theorem The Opimal Model Measure In his secion, we sudy he characerizaion of he opimal probabiliy measure for he minimizaion problem inf Q Q ΓQ. We recall he general resul on exisence and uniqueness given in [BMS : Proposiion 17. Under Assumpions A3-A4, here exiss a unique Q which minimizes ΓQ over all Q Q f : Furhermore, Q is equivalen o P. ΓQ = inf Q Q f ΓQ 3.3

88 88 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion We use sochasic conrol echniques o sudy he value process V associaed wih his opimizaion problem. We show ha V is he unique soluion of a backward sochasic differenial equaion BSDE wih a quadraic-exponenial driver : dy = [j y U + δ Y d d MY,c + dm Y,c + ydn i i Y T = ŪT 3.4 A soluion of 3.4 is a riple Y,M Y,c, y where Y is a P-semimaringale, M Y,c is a locally square-inegrable coninuous local P-maringale null a and y = y 1,, y d an R d -valued predicable locally bounded process. Noe ha Y is special P-semimaringale Some properies of soluions of he BSDE We esablish some auxiliary resuls abou he exisence and uniqueness of he soluions of 3.4. Proposiion 18. Le Y, M Y,c, y D exp M c,loc P L2 λ, P be a soluion of he BSDE 3.4. Then, Y saisfies he following recursion equaliy : for any sopping ime τ valued in [, T, Y = ln E [exp P Y τ + Proof : Assume ha Y, M Y,c, y is a soluion of 3.4, and define X = Y Y τ G δ s Y s U s ds. 3.5 δ s Y s U s ds and Z = e X. An applicaion of Iô s formula leads o dz = Z dm Y,c + e yi 1 dn i hence, Z is a non-negaive local maringale. Assuming ha Z is a maringale, one obains, for < τ < T : e Y = E [exp P Y τ + τ G δ s Y s U s ds. 3.6

89 3.3 The Opimal Model Measure 89 In general, we use a localizing sequence τ n in order o have he P-maringale propery and hus obain 3.6 and 3.5 wih τ n τ insead of τ. Then by he inegrabiliy Assumpion 4 and he assumpion ha Y D exp, we obain a P-inegrable upper bound for he righhand side of 3.6 and leing n go o infiniy, by dominaed convergence we obain 3.5 for τ. In he case δ =, he process Y, par of he soluion of 3.4 is given in a closed form as G Y = ln E [exp P ŪT U s ds. We give now he main resul of his secion which exends earlier works by [5, 73, 7 and [BMS : Theorem 9. There exiss a unique riple Y,M Y,c, y D exp M p P L2 λ, P soluion of 3.4. Furhermore, he opimal measure Q soluion of 3.3 admis he Radon-Nikodym densiy Z Q = EL w.r.. P where Proof : dl = dm Y,c + e yi 1 dn, i L =. 3.7 Sep 1 : In his sep, we follow closely [BMS. For Q Q e f, he space of probabiliy measures equivalen o P wih finie enropy, we denoe by L Q he sochasic logarihm of Z Q, i.e., he P-local maringale such ha dz Q maringale L Q admis he decomposiion dl Q = dl Q,c + = Z Q dlq. From Assumpion 3, he local l i dn, i where L Q,c is a coninuous P-local maringale, and l i are predicable processes, and one has d lnz Q = dl Q,c 1 2 d LQ,c + ln1 + l i dn i + ln1 + l i l i λ i d. 3.8 Following [BMS, we esablish ha here exiss a special semi-maringale V he value process such ha he process J Q defined as J Q = S δ V + S δ su s ds + δ s S δ s lnz Q s ds + S δ lnz Q for all [, T

90 9 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion is a Q-submaringale for each Q Q e f and a maringale for a paricular Q, hence Q is an opimal probabiliy measure see [BMS for deails, in paricular for he fac ha EL is a rue maringale. We denoe by V = A V + M V he canonical decomposiion of he special semi-maringale V. The local maringale M V admis a decomposiion dm V = dm V,c + d vi dn i where M V,c is a coninuous P- maringale. Using inegraion by pars formula, we obain afer some simple compuaions and using 3.8 : dj Q = S δ = S δ + δ V + U d + dv + d lnz Q [ δ V + U d + dm V,c + da V + dl Q,c 1 2 d LQ,c v i + ln1 + l i dn i + ln1 + l i l i λ i d From Girsanov s heorem, he processes N i and M c defined as : dñi d M c = dn i l i λ i d = dm V,c + L Q,c d M V,c + L Q,c, L Q,c are Q-local maringales, hence : dj Q = S δ + [ δ V + U d + d M c + da V + d M V,c + L Q,c, L Q,c 1 2 d LQ,c v i + ln1 + l i dñi + l i v i l i ln1 + l i λ i d. In order ha he process J Q is a Q-submaringale for each Q Q e f, we impose ha is finie variaion par is a non-decreasing process. A V = ess inf Q e f + U s δ s V s ds + M V,c + L Q,c, L Q,c 1 2 LQ,c l i s v i s l i s ln1 + l i s λ i sds. 3.9 To find he essinf, we divide 3.9 in wo pars, he coninuous par and he disconinuous

91 3.3 The Opimal Model Measure 91 par ; hence we have wo opimizaion problems : A V = δ s V s U s ds ess inf{ M V,c, L Q,c + 1 Q e f 2 LQ,c } ess inf Q e f l i s v i s l i s ln1 + l i s λ i sds. In [BMS, i is proved ha he firs infimum is obained for L Q,c = M V,c and ess inf{ M V,c, L Q,c + 1 Q e f 2 LQ,c } = 1 2 MV,c. The second par of he opimisaion problem reduces o find he opimal l i, soluion of : ess inf l i sv i s l i s ln1 + l i s which is an easy ask, he soluion being l,i s = e vi s 1, which leads o ess inf l i sv i s l i s ln1 + l i s = e vi s + v i s 1 = gv i s where gx = e x + x 1. Therefore, A V = δ s V s U s ds MV,c + I follows ha V,M V,c, v is a soluion of gvsλ i i sds. dv = δ V U + j v d d MV,c + dm V,c V T = ŪT + d vi dn i hence, he opimal probabiliy measure Q is characerized by is Radon-Nikodym densiy dz Q = Z Q dl, dl = dm V,c + e vi 1 dn i The value process V is a soluion of 3.4, hen he soluion exiss. Sep 2 : We now sudy he uniqueness of he BSDE soluion. Assume ha Y,M Y,c, y and Ȳ, MȲ,c,ȳ are wo soluions of 3.4 in D exp M p P L 2 λ, P. Suppose ha, for some

92 92 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion [, T, he se A = {Y > Ȳ} F saisfies PA > and define τ = inf{s Ȳs Y s }, so ha Ȳτ Y τ. Since Y T = ȲT, one has τ T, and : τ δ s Y s U s ds Y τ > Then, from Proposiion 18, i follows ha : τ δ s Ȳ s U s ds Ȳτ on A τ G exp Y = E [exp P δ s Y s U s ds Y > exp Ȳ on A which implies ha Y < Ȳ on A in conradicion wih he definiion of A ; herefore Y and Ȳ are indisinguishable. Sep 3 : In his sep we prove ha he soluion Y,M Y,c, y of he BSDE 3.4 belongs o he required spaces. As in [BMS, he recursive propery implies ha Y D exp. We now sudy he process M Y,c. Le us consider he P-maringale : G K := E [exp P δ s Y s U s ds ŪT Using he fac ha Y D exp, we obain ha he process K belongs o M p P. Now, he recursive propery leads o K = exp Y + δ s Y s U s ds and i is no difficul o show ha, from Iô s formula and he canonical decomposiion of Y, dm Y,c = dkc K. 3.1 From Assumpion 3, here exiss k i and M K,c such ha he maringale K equals K = K + M K,c + k i sdn i s Hence, from 3.1 M Y,c T 1 K 2 d K c K c T sup T 1 K 2 K c T exp 2 sup Y 1 + δ T + 2 T U s ds

93 3.3 The Opimal Model Measure 93 By BDG s inequaliies, here exiss a consan C such ha for every p [1,+ : E [ K P c T + k i 2 dh p i 2 CE P sup K p 3.11 T Since K M p P, we conclude ha M Y,c lies in he space M p P for every p [1,+. We conclude, using again BDG s inequaliies. Space of y : Using he recursive relaion and he decomposiion of he process K we ge : hence, [ p [ E P e yi 1 2 dh i 2 = E P k i lnk + k i lnk = y i K 2 dh i p 2 E P [ sup T 1 K p p 2 k i 2 dh i 1 Since sup L p P for any p [1,+, using 3.11 and Cauchy inequaliies, we T K conclude : [ E P e yi 1 2 dh p i 2 < In paricular E P [ [ e yi 1 2 T k λ i d = E P i K 2 dh i E P [ sup T 1 K 2 T k i 2 dh i < By using similar argumens, one prove ha : [ E P e yi 1 2 λ i d < Moreover, by using he inequaliy y 2 2 e y e y 1 2, y R and we conclude ha he process y is in L 2 λ, P. I remains o prove ha he maringale par of he BSDE soluion, i.e., M = M Y,c +. e yi 1dN i

94 94 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion belongs o M p P for any p [1,+. Since M Y,c M p P, and 3.12 E P [ M Y,c T + e yi 1 2 dh i p 2 <, and using BDG inequaliy, we obain E P sup M p <. T Comparison heorem and properies of he value process In his par, we esablish a comparison heorem and we sudy he properies of he value process for a given pair U,ŪT. Definiion 17. For wo random variables X and Y, we wrie X Y for X Y a.s. For wo processes A and B, we wrie A B for A B, [, T, a.s.. We wrie X, A Y, B if X Y and A B. Theorem 1. Assume ha for k = 1,2, Y k, M k,c, y k is he soluion of he BSDE 3.4 associaed wih U k,ūk T. We denoe Y 12 := Y 1 Y 2, Ũ12 := U 1 U 2 and Ū12 T := Ū1 T Ū2 T. Then, S δ Y 12 E Q,2 [ S δ sũ12 s ds + S TŪ12 δ T G 3.15 where Q,2 is he soluion of PU 2,Ū2 T, i.e., he probabiliy measure equivalen o P wih Radon Nikodym densiy Z Q,2 given by dz Q,2 = Z Q,2 dm 2,c + In paricular, if U 1,Ū1 T U2,Ū2 T, one obains e yi,2 1 dn i Y 1 Y 2, dp d-a.e.

95 3.3 The Opimal Model Measure 95 Proof : We denoe y i,12 := y i,1 y i,2 and M 12,c = M 1,c M 2,c. Then : Y 12 = Ū12 T Ũ12 s δ s Ys 12 ds d M 2,c s d M 1,c s ys i,12 dns i dm 12,c s Noe ha, since M k,c are coninuous maringales, [ gy i,1 s gy i,2 s λ i sds 3.17 M 2,c, M 12,c 1 2 M2,c M1,c = 1 2 M12,c 3.18 Using he fac ha he process M 12,c is increasing and ha he funcion g is convex we ge : Y 12 Ũ12 Ū12 T + s δ s Ys 12 ds + dms 12,c ys i,12 dns. i e yi,2 s 1ys i,12 λ i sds + d M 2,c, M 12,c s Le N and M,c be he Q,2 -maringales obained by Girsanov s ransformaion from N and M 12,c, where dq,2 = Z Q,2 dp and where Z Q,2 is given by Then, Y 12 which implies ha Ũ12 Ū12 T + s δ s Ys 12 ds Y 12 E Q,2[ e R s δrdr Ũ 12 s ds + e R T ys i,12 dns i dms,c δ rdr ŪT 12 G In paricular, if U 1,Ū1 T U2,Ū2 T, hen Y 1 Y 2 dp d-a.e.. We have also he following sandard a priori esimaes. Proposiion 19. Le Y k, M k,c, y k be he soluion associaed wih U k,ūk T for k = 1, 2 where we assume ha U 1,Ū1 T U2,Ū2 T. Then here exiss a consan C > such ha : E Q,2[ sup Y M 12,c T + T y i,12 2 λ i, d C E Q,2[ Ū12 T 2 + U 12 2 d 3.19 where λ i, is he inensiy process of H i under he probabiliy Q,2. In he case U 2,Ū2 T U1,Ū1 T, he same inequaliy holds wih Q,1.

96 96 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Proof : Using Iô s formula : dy 12 2 = 2Y Y 12 [ δ Y 12 [ [ where dmar = 2Y 12 dm 12,c + d 2 dn i corresponds o a maringale. Ũ12 d d M1,c 1 2 d M2,c + d M 12,c gy i,1 gy i,2 λ i yi,12 dn i d + + d y i,12 y i,12 2 λ i d + dmar Assuming U 1,Ū1 T U2,Ū2 T, i follows from he comparison Theorem 1 ha Y 1 Y 2. Using he relaion 3.18 and he convexiy propery of he funcion g, we ge : Y hence Y d M 12,c s Ū12 T Ys 12 d M 1,c, M 2,c s + d M 12,c s Ū12 T 2 +2 where mar is a Q,2 maringale and λ i s From he obvious inequaliy [ Ys 12 δ s Ys 12 Y 12 s d M 2,c s [ Ys 12 δ s Ys 12 Y δ Ũ12 Y 12 and he non-negaiviy of δ, we deduce easily ha Y 12 δ Y 12 + Ũ12 s + Ũ12 s ds + 2 ds Ys 12 e yi,2 s 1ys i,12 λ i sds T y i,12 2 s λ i s ds + dmar s y i,12 2λ T i s s ds+ dmar s 3.2 := λ i se yi,2 s is he inensiy of H i under Q,2. 1 4δ 2Ũ12 2 Ũ12 1 4δ Ũ Ploing relaion 3.21 in 3.2 and using he fac ha he process δ is bounded below, here exiss a consan C > such ha : [ E Q,2 sup Y M 12,c T + y 12,i 2 λ i, d [,T CE Q,2 [ Ū12 T 2 + Ũ12 2 d. Permuing Y 1 and Y 2 and assuming U 1,Ū1 T U2,Ū2 T leads o he kind of inequaliy.

97 3.3 The Opimal Model Measure 97 Theorem 11. Concaviy propery Define he map F : D exp 1 L exp D exp as FU,Ū = V where V,M V,c, v is he soluion associaed wih U,Ū. Then F is concave, namely, for all θ, 1 and U 1,Ū1 T,U2,Ū2 T Dexp 1 L exp : F θu θu 2, θū1 T + 1 θū2 T θfu 1,Ū1 T + 1 θfu 2,Ū2 T. Proof : Le V k, M k,c, v k be he soluion of BSDE 3.4 associaed wih U k,ūk T D exp 1 L exp. Then for any θ,1 : dθv 1 1 θv 2 = [ δ θv θv 2 θu θu 2 d +θd M 1,c + 1 θd M 2,c + d θm 1,c + 1 θm 2,c + [ θv 1,i + 1 θv 2,i dn i + [ θ gv 1,i + 1 θgv 2,i λ i d 3.22 We recall he following general resul : Le X and Y be wo coninuous maringales. Then, for all θ,1, θ X + 1 θ Y θx + 1 θy is an increasing process. Indeed, we have : θx + 1 θy θ X 1 θ Y = θ 2 θ X + 1 θ 2 1 θ Y + 2θ1 θ X, Y = θθ 1 [ X + Y 2 X, Y = θθ 1 X Y Therefore using he convexiy propery of he funcion g we ge : θv θv 2 T θū1 T + 1 θū2 T d θm 1,c + 1 θm 2,c s [ δs θv 1 s + 1 θv 2 θv 1,i s + 1 θv 1,i s dn i s s θu 1 s + 1 θu 2 s ds dθm 1,c s + 1 θm 2,c s gθvs 1,i + 1 θvs 2,i λ i sds 3.23 Le V θ, M θ,c, v θ be he soluion of he BSDE associaed wih θu 1 +1 θu 2, θū1 +1 θū2 and se M V,c,θ = θm 1,c + 1 θm 2,c and for i = 1,, d, v θ,i = θv 1,i + 1 θv 2,i.

98 98 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Then, using 3.23 : θv θv 2 V θ dms V,c,θ Ms θ,c + δ s Vs θ θvs θvs 2 ds gv θ,i s g v θ,i s λ i sds Using 3.18 and he convexiy propery of he funcion g we ge : θv θv 2 V θ [ δ s Vs θ θvs θvs 2 ds + d M θ,c, M V,c,θ s + M θ,c s dms V,c,θ [ δs V θ s θv 1 s + 1 θv 2 s ds v θ,i s d Ms V,c,θ Ms θ,c + M V,c,θ M θ,c, M θ,c s. d M V,c,θ s + Ms θ,c v θ,i s d M θ,c s v θ,i s dn i s e vθ,i s 1 v s θ,i vs θ,i λ i sds v θ,i s v θ,i s dn i s vs θ,i dns i e vθ,i s 1λ i sds Le Q,θ be he probabiliy measure equivalen o P wih Radon-Nikodym densiy dz Q,θ = Z Q,θ dm θ,c + e vθ,i 1dN i. Then, using inegraion by pars and Girsanov s heorem, aking Q,θ -condiional expecaions, we have S δ θv θv 2 V θ which gives he resul. 3.4 The second opimizaion problem In his secion, we assume ha U s = Uc s and ŪT = Ūψ where U and Ū are given funcions, c is a non-negaive G-adaped process and ψ a G T -measurable non-negaive random variable. We fix a probabiliy P equivalen o P wih a Radon-Nikodym densiy Z wih respec o P given by : d Z = Z n θ dm c + e zi 1dN, i Z =

99 3.4 The second opimizaion problem The opimal plan Definiion 18. Ax is he closed convex se of conrols parameers c, ψ H 2 [, T L 2 Ω, G T such ha P E e[ c d + ψ x, and Uc,Ūψ Dexp 1 L exp and cu c, ψū ψ D exp 1 L exp for any pair c, ψ H 2 [, T L 2 Ω, G T, as well as he process exp γ Uc d respecively exp γ c U c d belongs o he class [D see Dellacherie and Meyer [18 for definiion. We sudy he following opimizaion problem : [ [ sup E Q SsUc δ s ds + S TŪψ δ + E Q δ s Ss δ lnzs Q ds + ST δ lnz Q T c,ψ Ax = sup V x,ψ,c c,ψ Ax where V is he value a iniial ime of he value process V, par of he soluion V,M V,c, v of he BSDE 3.4, in he case U s = Uc s and ŪT = Ūψ. Here, Q is he opimal model measure for PUc,Ūψ, and depends on c, ψ. In a complee marke seing, denoing by P he unique risk neural probabiliy, he process c can be inerpreed as a consumpion and ψ as a erminal wealh. Assumpion A 5. The uiliy funcions U and Ū saisfy he usual condiions : i Sricly increasing and concave. ii Coninuous differeniable on he se {U > } and {Ū > }, respecively, iii U := lim x U x = and Ū := lim x Ū x =, iv U := lim x U x = + and U := lim x Ū x = +, xu x v Asympoic elasiciy AEU := lim sup < 1. x + Ux

100 1 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Properies of he value process Proposiion 2. Define he map G : Ax D exp as Gc, ψ = V, where V,M V,c, v is he soluion of he BSDE 3.4 associaed wih Uc,Ūψ. Then i G is concave, i.e., for all θ,1 and c 1, ψ 1,c 2, ψ 2 Ax : G θc θc 2, θψ θψ 2 θgc 1, ψ θgc 2, ψ 2. ii Le G c, ψ be he value a iniial ime of Gc, ψ, i.e., G c, ψ = V. If c n, ψ n Ax converges decreasingly o c, ψ Ax, hen G c n, ψ n converges decreasingly o G c, ψ. Moreover G is upper coninuous wih respec o he conrol parameers. Proof : Le V k, M k,c, v k be he soluion of he BSDE 3.4 associaed wih Uc k,ūψk for k = 1,2. For any θ,1, le Ṽ θ, M θ,c,ṽ θ be he soluion of 3.4 associaed wih Uθc θc 2,Ūθψ1 +1 θψ 2 V θ, M θ,c, v θ be he soluion of 3.4 associaed wih θuc θuc 2, θūψ1 +1 θūψ2 and se V θ = θv θv 2. Then, by using boh he concaviy properies of U, Ū and Theorem 1, we ge Ṽ θ V θ. Moreover, as consequence of Theorem 11, we obain V θ V θ, which gives he asserion i. Le us now consider c n, ψ n a decreasing sequence of conrol parameers in Ax which converges o c, ψ, c n c a.s and ψ n ψ a.s ; hen, by using inequaliy 3.15, and he fac ha he funcions U and Ū are non-decreasing, we ge [ V cn,ψ n V c,ψ E Q Uc n s Uc s ds + Ūψn Ūψ 3.25 where Q is he opimal densiy associaed wih Uc,Ūψ. Thus, by using he convergence monoone heorem and he a priori esimae 3.19, V cn,ψ n converges decreasingly o V c,ψ. Le c n, ψ n Ax be a sequence of conrol parameers such ha c n c a.s and

101 3.4 The second opimizaion problem 11 ψ n ψ a.s where c, ψ Ax and denoe c n = sup m n c m, ψ n = sup m n ψ m. Then, c n c a.s decreasingly and ψ n ψ a.s decreasingly. I follows ha V ecn, e ψ n converges o V c,ψ decreasingly and herefore : lim supv cn,ψ n n lim V ecn, ψ en n = V c,ψ Hence, G is upper semiconinuous wih respec o he conrol parameers. Definiion 19. The pairs c 1, ψ 1,c 2, ψ 2 Ax are comparable if eiher c 1, ψ 1 c 2, ψ 2 or c 1, ψ 1 c 2, ψ 2 wih he order inroduced in Definiion 17. Proposiion 21. Assume ha Assumpion A. 5 holds and le c 1, ψ 1,c 2, ψ 2 be wo comparable plans in Ax. Then he funcion Ψ defined on,1 and valued in D exp Ψǫ = Gc 1 + ǫc 2 c 1, ψ 1 + ǫψ 2 ψ 1 is righ coninuous a. Proof : Assume firs ha c 1, ψ 1 c 2, ψ 2. Le, for ǫ,1[, V ǫ = Gc 1 +ǫc 2 c 1, ψ 1 +ǫψ 2 ψ 1 and V = Gc 1, ψ 1. From Proposiion 19 and he obvious inequaliies Uc 1 + ǫc 2 c 1 Uc 1 and Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 Ūψ1, we obain E Q,2 sup V V ǫ 2 CE Q,2[ Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 Ūψ1 2 T + Uc 1 s + ǫc 2 s c 1 s Uc 1 s 2 ds. Using now he concaviy properies of U and Ū, we obain Uc 1 + ǫc 2 c 1 Uc 1 ǫu c 1 c 2 c 1 Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 Ūψ1 ǫū ψ 1 ψ 2 ψ 1. Thus, we have E Q,2 sup V V ǫ 2 CE Q,2[ Ū ψ 1 2 ψ 2 ψ T ǫ U c 1 s 2 c 2 s c 1 s 2 ds.

102 12 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Assume now ha c 1, ψ 1 c 2, ψ 2. Then, using he fac ha G is concave wih respec o he conrol parameers, one has V ǫ 1 ǫv 1 + ǫv 2 where V k are associaed wih c k, ψ k. Moreover, since c 1 +ǫc 2 c 1 c 1 and ψ 1 +ǫψ 2 ψ 1 ψ 1, we have by Theorem 1 ha Therefore : V ǫ V 1 ǫ V ǫ V 1 V 2 V 1, ǫ V 2 V 1. [, T. Using now Proposiion 19, we ge E Q,1 sup V 1 V ǫ 2 ce Q,1[ Ū ψ 2 2 ψ 2 ψ T ǫ Finally, we conclude here exiss a consan C > such ha : E Q [ sup V 1 V ǫ 2 C T ǫ U c 2 s 2 c 2 s c 1 s 2 ds. where Q = Q,1 if c 1, ψ 1 c 2, ψ 2 and Q = Q,2 if c 1, ψ 1 c 2, ψ 2. Then, by Kolmogorov s crieria, we deduce ha Ψ is righ-coninuous a. We now give a regulariy resul ha will be useful in he nex secion. The proof is posponed o he Appendix Theorem 12. Le c 1, ψ 1 and c 2, ψ 2 be wo comparable plans in Ax. Le V ǫ, M ǫ,c, v ǫ he soluion of 3.4 associaed wih Uc 1 + ǫc 2 c 1,Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 V 1, M 1,c, v 1 he soluion of 3.4 associaed wih Uc 1,Ūψ1 Then, V ǫ is righ-differeniable wih respec o ǫ a. Moreover, if we denoe by ǫ V := V lim ǫ V 1 ǫ ǫ, hen here exiss MV,c ǫ, ǫ v L 2 Q 1, L 2 λ, Q 1, such ha he riple ǫ V, ǫ MV,c, ǫ v is he soluion of he following BSDE : d ǫ V = δ ǫ V U c 1 c 2 c 1 d + d ǫ MV,c + ǫ V T = Ū ψ 1 ψ 2 ψ 1, ǫ v dñi i, Q,1 -a.s. 3.26

103 3.4 The second opimizaion problem 13 where λ i := λ i e v1,i and Ñi := N i. e v1,i 1λ i d is a Q 1, -maringale. Moreover, we obain [ ǫ V = E P Z Q,1 T S δ T Z Q,1 S δ Ū ψ 1 ψ 2 ψ 1 Zs Q,1 + Z Q,1 Ss δ S δ U c 1 sc 2 s c 1 sds G [, T The opimizaion problem In his secion, we solve he following opimizaion problem : we associae wih a pair c, ψ Ax he quaniy and we sudy X c,ψ = E P c s ds + ψ ux = sup V c,ψ X c,ψ x Here V c,ψ = V, where V,M V,c, v is he soluion of he BSDE 3.4 associaed wih Uc,Ūψ. Noe ha, in a complee marke seing wih zero ineres rae, when P is he unique equivalen maringale measure, X is he iniial wealh associaed wih he consumpion c and erminal wealh ψ. Proposiion 22. There exiss an opimal pair c, ψ which solves Proof : The uniqueness is a consequence of he sricly concaviy propery of V. We shall prove he exisence by using Komlòs heorem. Firs sep : Le us firs prove ha sup c,ψ Ax V c,ψ < +. Because P Q e f, we have : sup V c,ψ sup E P[ Ūψ + Uc s ds := ũx c,ψ Ax c,ψ Ax Using he elasiciy assumpion on U and Ū, we can find γ,1 and x R such ha, for any θ > 1, one has : Uθx < θ γ Ux x > x, Ūθx < θ γ Ūx x > x,

104 14 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion hence, for any x > x : ũθx = E P[ Ūθ ψθx θ + Uθ cθx s θ ds θ γ ũx. Then, AEũ < 1, which permis o conclude ha, for any x >, ũx < + see [49 and [58 chap. 3, Lemma 3. Second sep : Le c n, ψ n Ax be a maximizing sequence such ha : ր lim V cn,ψ n n + = sup V c,ψ < +, c,ψ Ax where he RHS is finie hanks o sep 1. Using Komlòs crierion, we can find a convex combinaion c n, ψ n conv c n, ψ n,c n+1, ψ n+1, which converges P-a.s. We denoe by c, ψ his limi, which belongs o Ax since i is a closed convex se. Moreover, here exiss N n n and a posiive sequence θ m m N saisfying N n m=n θm = 1 such ha c n, ψ n = N n m=n θm c m, N n m=n θm ψ m. Therefore, by using he concaviy and he increasing properies of he funcional V which respec o he conrol plan we ge : P Nn = V V cn, ψ n m=n θm c m, P Nn m=n θm ψ m N n m=n θ m V cm,ψ m V cn,ψ n. Moreover, using he upper semi-coninuous propery of he funcional V which respec o he conrol plan we ge : resul. sup V c,ψ = limsup c,ψ Ax n V cn,ψ n lim sup n V cn, ψ n = V c,ψ. In order o characerize he opimal soluion, we recall he classical convex analysis Proposiion 23. There exiss a consan ν > such ha : { } ux = sup V c,ψ + ν x X c,ψ c,ψ 3.29 and if he maximum is aained in 3.28 by c, ψ, hen i is aained in 3.29 by c, ψ wih X c,ψ = x. Conversely, if here exiss ν > and c, ψ such ha he maximum

105 3.4 The second opimizaion problem 15 is aained in { } sup V c,ψ + ν x X c,ψ c,ψ wih X c,ψ = x, hen he maximum is aained in 3.29 by c, ψ. Le ν > be fixed and L be he map given by Lc, ψ = V c,ψ νx c,ψ. We now sudy he following opimizaion problem : sup Lc, ψ. 3.3 c,ψ Proposiion 24. The opimal plan c, ψ which solves 3.3 saisfies he following implici equaions : U c = Ze P Z ν S δ d dp a.s, Ū ψ = Ze P T Z T ν S δ T, dp a.s 3.31 where Z is he Radon-Nikodym densiy of he probabiliy measure Q associaed wih he opimal plan c, ψ. Proof : Consider he opimal plan c, ψ which solves 3.3 and anoher plan c, ψ. For ǫ,1, one has : Lc + ǫc c, ψ + ǫψ ψ Lc, ψ Then 1 V c +ǫc c,ψ +ǫψ ψ V c,ψ ν 1 X c +ǫc c,ψ +ǫψ ψ X c,ψ ǫ ǫ 3.32 From he definiion, we obain ha [ ǫ X c,ψ 1 T := lim ǫ ǫ Xc +ǫc c,ψ +ǫc c X c,ψ P = E e c s c sds + ψ ψ. Taking he limi when ǫ goes o in 3.32, we obain : ǫ V c,ψ ν ǫ X c,ψ 3.33

106 16 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion where ǫ V c,ψ exiss and is given explicily by Theorem 12. From he explici expression of ǫ X c,ψ we ge : ǫ V c,ψ ν ǫ X c,ψ = E [S P TZ δ TŪ ψ ψ ψ + I follows from equaliy 3.33 ha νe P [Z e P T ψ ψ + P Z e s c s c sds SsZ δ su c sc s c sds [ E P STZ δ TŪ ψ P νz e ψ ψ + SsZ δ su c P s νz e s c s c sds The res of he proof is he same as in El Karoui e al. [25 proof of Theorem 4.2, p [ In paricular, for any ψ, E P ST δ Z TŪ ψ νzp e T ψ ψ, hence S δ TZ TŪ ψ νz e P T = a.s We find he opimal c wih similar argumens. Theorem 13. Le I and Ī be he inverse of he funcions U and Ū. The opimal plan c, ψ which solve he problem 3.29 is given by : c = I ν S δ ZP e Z d dp a.s, ψ = Ī ν Z e P T ST δ ZT a.s.. where ν > saisfies : E e P [ I ν S δ ZP e Z d + Ī ν Z e P T ST δ ZT = x. Proof : Define he map : f :,+,+ as [ T P fν = E e ν I S δ ZP e Z d + Ī ν S δ T ZP e T ZT. Then, using assumpion A.5, f is monoone and saisfies lim ν fν = + and lim ν + fν =. For any iniial wealh x,+, here exiss a unique ν such ha fν = x. Le c, ψ Ax and V c,ψ, M V,c, v resp. V c,ψ, M V,c, v he soluion of he

107 3.5 Logarihm Case 17 BSDE 3.4 associaed wih Uc,Ūψ resp. Uc,Ūψ hen from he inequaliy 3.15 see he comparison heorem, we ge : V c,ψ V c,ψ E [S Q T δ Ūψ Ūψ + E Q [S δ TŪ ψ ψ ψ + S δ s Ucs Uc s ds SsU δ c sc s c sds. I follows ha : V c,ψ V c,ψ ν E Q ν E e P ZP e T ZT ψ + ψ ψ + ZP e s Zs P c s ds E e c s c sds ψ + [ Since c, ψ Ax, hen EP e ψ + T c sds x. Using ha EP e conclude : V c,ψ V c,ψ. c sds [ ψ + c sds = x, we 3.5 Logarihm Case In his secion, we assume ha he process δ is deerminisic and ha Ux = lnx and Ūx = hence Ix = 1 x for all x,+. We inroduce, as in Theorem 13, he opimal process c = ν ez S δ Z = Sδ Z ν. Recall ha he Radon-Nikodym densiy Z, and ez he Radon-Nikodym densiy of he opimal probabiliy measure Z given in 3.7 saisfy. d Z = Z θ dm c + dz = Z dm Y,c + n e zi 1dN, i Z = n e yi 1dN, i Z = For any deerminisic funcion α such ha αt =, V admis a decomposiion as V = α lnc + β

108 18 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion where β is a process such ha β T =. Our goal is o characerize he process β. As in [?, we inroduce J = 1 1+α β in order o obain a simple BSDE. Noe ha, even if Z is implici he coefficiens depend on he soluion c, he BSDE for J is explicily deermined in erms of he given parameers λ i and of he given probabiliy P. Proposiion 25. The value funcion V has he form where V = α lnc αj R s α = e δudu ds and J, M J,c, j is he unique soluion of he following Backward Sochasic Differenial Equaion, where k = α dj = 1+α : 1 + δ1 + kj kδ d + d + J T = jd i N i + M J,c d M J,c k1 + kθ2 d M c gj λ i i + ke zi 1 + e kzi 1 λ i d 3.36 Here, he processes M J,c and d N i = dh i λ i d are P-maringales where d P G = Z dp G and λ i = e kzi λ i where d Z = Z kθ dm c e kzi 1dN i 3.37 Noe ha, in a complee marke, one obains a forward backward sysem for he pair J-opimal wealh. Proof : Using he fac ha V saisfies he BSDE 3.4 and he assumed form of V in erms of α,β, one obains Therefore dv = δv lnc d dlnz = αdlnc + lnc α d + dβ dβ = δv + αd 1 + α lnc d + αd ln Z + α + 1d lnz = δα 1 α lnc + δβ + αδ d + αd ln Z + α + 1d lnz

109 3.5 Logarihm Case 19 We choose α so ha δα = 1 + α. I follows ha dβ = δβ + αd + αd ln Z + α + 1d lnz Afer some obvious compuaions aking ino accoun he form of Z and Z, one obains dβ = δβ + αd + α + 1e yi 1 αe zi 1 λ i d +αθ dm c + α + 1dM V,c 1 αθ 2 d M c α + 1d M V,c 2 + α + 1y i αz i dh i We now define J = 1 1+α β and se k = α 1+α. Then dj = 1 + δ 1 + α J δk d + gy i + kgz i λ i d +dm V,c kθ dm c + 1 kθ 2 d M c + d M V,c + 2 We inroduce he maringale M J,c as dm J,c y i + kz i dn i = dm Y,c kθ dm c. I is easy o check ha d M J,c = d M Y,c k 2 θ 2 d M c 2kθ d M J,c, M c and we denoe j i = y i + kz i. Using he fac ha, due o he form of g, for any x, k, z,λ, xdn+λgx kz+kgzd = xdn e kz 1λd+ gxe kz + e z 1k + e kz 1 λd one obains dj = 1 + δ1 + kj δk d + +dm J,c + gje i kzi + ke zi 1 + e kzi 1 λ i d d MJ,c + kθ d M J,c, M c kk + 1θ2 d M c jdn i i e kzi 1λ i d We define P as d P = ZdP, where d Z = Z kθ dm c e kzi 1dN i

110 11 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion The processes M J,c and N i defined as d M J,c d N i = dm J,c + kθ d M J,c, M c = dn i e kzi 1λ i d = dh i λ i d are P maringales. The resul follows. 3.6 Appendix In his Appendix, we give he proof of Theorem 12. Le V ǫ, M ǫ,c, v ǫ be he soluion of 3.4 associaed wih Uc 1 + ǫc 2 c 1,Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 V 1, M 1,c, v 1 be he soluion of 3.4 associaed wih Uc 1,Ūψ1 and denoe ǫ V := V ǫ V 1, ǫ M c := Mǫ,c M 1,c, ǫ v i := vǫ,i v 1,i, 3.38 ǫ ǫ ǫ ǫ U := Uc1 + ǫc 2 c 1 Uc 1, ǫ Ū T := Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 Ūψ1. ǫ ǫ Then, ǫ V, ǫ M c, ǫ v saisfies he following equaion : ǫ V δ s ǫ V s ǫ U s ds = 1 2ǫ Mǫ,c M 1,c + 1 ǫ + ǫ v i sdn i s, gv ǫ,i s gv 1,i s λ i sds + ǫ M c 3.39 wih final condiion ǫ V T = ǫ Ū T. We sar firs o give he following a priori esimaes : Lemma 4. Assume he same condiions as in Theorem 12. Then, here exiss a consan C > such ha : i = 1,, d, p N, ǫ >, [ E Q,1 sup ǫ V 2 + ǫ Mc + T T ǫ vs i p λ i p! sds C, 3.4

111 3.6 Appendix 111 where ǫ Mc is he Q,1 maringale par of he Q,1 semimaringale ǫ M c, and λ i := λ i e v1,i is he inensiy process of he process H i under he probabiliy measure Q,1. Proof : Le c 1, ψ 1 and c 2, ψ 2 be wo comparable plans. We inroduce he processes K ǫ := E [exp P δs Vs ǫ Uc 1 s + ǫc 2 s c 1 s G ds Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 K 1 := E [exp P δs Vs 1 Uc 1 s G ds Ūψ1. Obviously, for all [, T, one has : hence, V ǫ V 1 ǫ = ln V ǫ = lnk ǫ + V 1 = lnk 1 + [ K ǫ K 1 For [, T, we define K ǫ 1 ǫ + Kǫ := K 1 [ 1 δ s V ǫ ǫ δ s V ǫ s Uc 1 s + ǫc 2 s c 1 sds δ s V 1 s Uc 1 sds, s Vs 1 posiive semi-maringales which belong o L p P since : K ǫ 1 p = exp p ǫ V + 1 Uc 1 ǫ s + ǫc 2 s c 1 s Uc 1 s ds and K ǫ = Kǫ 1/ǫ. The processes Kǫ and K ǫ 1 are p ǫ Uc 1 s δ s ǫ V s ds. In he oher hand, by using he dynamics of K ǫ and K 1 under he probabiliy measure P : dk ǫ dk 1 = K ǫ = K ǫ dm ǫ,c + dm 1,c + e v ǫ,i e v 1,i 1 dn i 1 dn i and applying inegraion by pars formula, we ge he dynamics of K ǫ given by : d K ǫ = K [ ǫ d M ǫ,c M 1,c M ǫ,c M 1,c, M 1,c + e v ǫ,i v 1,i 1 [ dh e i v1,i λ i d 3.42

112 112 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Clearly, K ǫ is Q,1 -local maringale. Then, he processes K ǫ and K ǫ 1 are posiive Q,1 - submaringales. We now spli he sudy ino wo cases. Firs case : c 1, ψ 1 c 2, ψ 2. Using he inequaliy 3.15, for all [, T : [ S δ ǫ V E Q,1 T S δ Ū ψ 1 ψ 2 ψ 1 S δ s + S δ U c 1 sc 2 s c 1 sds G p T sup T 1 K ǫ exp p δ + 1 sup ǫ V + pu c 1 sc 2 s c 1 sds. T Seing κ = p δ + 1, we obain from 3.6, p Ū sup T 1 K ǫ exp κ sup E Q,1 ψ 1 ψ 2 ψ 1 + T U c 1 sc 2 s c 1 T sds G + Using Jensen inequaliy, we have : p G κ sup T 1 K ǫ sup E [exp Q,1 Ū ψ 1 ψ 2 ψ 1 + U c 1 sc 2 s c 1 sds T exp pu c 1 sc 2 s c 1 sds Thanks o he assumpion c i, ψ i Ax, we conclude ha sup T 1 Kǫ L p P. Second case : c 2, ψ 2 c 2, ψ 2. Then, using concaviy propery, we obain for all [, T : V ǫ V 1 V 1 V 2, ǫ Uc 1 ǫ U c 2 c 1 c 2 Now, using he same argumens as in he firs sep, we ge ha : p G κ sup T 1 K ǫ sup E [exp Q,2 Ū ψ 2 ψ 1 ψ 2 + U c 2 sc 1 s c 2 sds T exp pu c 2 sc 1 s c 2 sds. We use he same argumens o prove sup T K ǫ L p P. From he represenaion heorem, here exis wo coninuous maringales M ǫ,c, M ǫ,c and d predicable processes k ǫ, k ǫ such ha : K ǫ = K ǫ + 1 K ǫ = 1 K ǫ + M ǫ,c + M ǫ,c + k ǫ sdn i s kǫ s dn i s. pu c 1 sc 2 s c 1 s.

113 3.6 Appendix 113 These processes being posiive Q,1 -submaringales, using 3.43 here exis wo consans C K and C K such ha : E Q,1 [ E Q,1 [ k s ǫ 2 λi s ds E Q,1 [ K T ǫ 2 C K [ k s ǫ 2 λi s ds E 1 KǫT Q,1 C K From he uniqueness of he represenaion heorem and equaion 3.41, we ge, for 1 i d, : ǫ v i = ln 1 + ǫ,i k K ǫ and ǫ v i = ln 1 + k K i ǫ. Therefore exp ǫ v i 1 ǫ,i k K ǫ + k ǫ,i K ǫ and E Q,1 [ E Q,1 [ e ǫvi s 1 λ i sds E Q,1[ sup T k s ǫ,i T K s ǫ λi s ds + 1 K ǫ k ǫ,i s K ǫ s λ i sds k ǫ,i s λ i sds + sup T K ǫ k s ǫ,i λ i sds We use he Cauchy inequaliies and we ge he following resul : E Q,1 [ e ǫvi s 1 λ i sds E Q,1[ λ sds1/2 i sup T 1 + λ i 2 sds sup T K ǫ 1 T 1/2 K ǫ k s ǫ,i 2 λi s ds 1/2 k ǫ,i s 2 λi s ds Then, using he Schwarz inequaliy again, we ge he following resul since K ǫ and 1 Kǫ L p : E Q,1 [ e ǫvi s 1 λ i sds [E Q,1 + [E Q,1 sup T 1 K ǫ s 2 λ i sds 1 2E Q,1 1 sup K ǫ 2 λ i sds 2E Q,1 T. 1 k ǫ,i 2 λi 2 s ds k ǫ,i s 2 λi s ds 12.

114 114 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion Since he process Z Q,1 L p and using Cauchy-Schwarz inequaliies, we ge he following resul : E Q,1 [ 2 [ λ i d = E P Z Q,1 T 2 e v1,i s λ i sds [ Z E P Q,1 2 T T λ i sds [ c E P Z Q,1 T E P c 1 E P Z Q,1 4 1 [ 2 T E P T e 2v1,i s λ i sds e 2v1,i s λ i sds 1 e 4v1,i s λ i 2 sds where we make use several imes of Assumpion A4-iii. Moreover, we can see ha E P [ [ [ e 4v1,i s λ i sds = E P e v1,i s T λ i sds 16E P e v1,i s 1 4 T λ i sds + λ i sds. Therefore, since he maringale M 1,c + d e v1,i 1 [ by assumpion A4-iii again, we conclude ha E P T e v1,i s p 1. Moreover since Z Q,1 L p P, we ge ha E Q,1 [ λ i sds E Q,1 [ Then, using again Cauchy inequaliy : e ǫvi s 1 λ i sds C E Q,1[ sup T +C 1 K ǫ 4 E Q,1[ sup K ǫ 41 2 T dn i belongs o L p P, and 1 p λ i sds < + for any <. 1 2 E Q,1[ E Q,1[ k s ǫ,i 2 λi 1 2 s ds From 3.43 and 3.44, we deduce ha here exiss a consan C 2 > such ha : E Q,1 [ e ǫvi s 1 λ i sds C 2 and hen using he expansion of he funcional x e x we ge : E Q,1 [ ǫ vs i p λi s ds C 2 p!. k s ǫ,i 2 λi 1 2 s ds In order o conclude he proof of he lemma, i remains o esablish ha here exiss a consan C 1 saisfying : E Q,1 [ ǫ Mc T C 1.

115 3.6 Appendix 115 Firs case : c 2, ψ 2 c 1, ψ 1, hen Uc 1 + ǫc 2 c 1 Uc 1 and Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 Ūψ 1. From Proposiion 19, i follows ha : Since and we ge : E Q,1[ sup V ǫ V M ǫ,c M 1,c T + T E Q,1[ [Ūψ + ǫψ2 ψ 1 Ūψ1 2 + v ǫ,i v 1,i 2 λi d [Uc 1 s + ǫc 2 s c 1 s Uc 1 s 2 ds Uc 1 + ǫc 2 c 1 Uc 1 ǫu c 1 c 2 c 1 Ūψ1 + ǫψ 2 ψ 1 Ūψ1 ǫū ψ 1 ψ 2 ψ 1. E Q,1[ sup ǫ V 2 + Mc ǫ T + ǫ vs i 2 λi s ds E Q,1[ Ū ψ 1 2 ψ 2 ψ 1 2 T + U c 1 s 2 c 2 s c 1 s 2 ds The process Z Q,1 belongs o L p P ; moreover U ψ 1 ψ 2 ψ 1 L exp and U c 1 sc 2 s c 1 s D exp 1 since c 1, ψ 1,c 2, ψ 2 Ax. I follows ha here exiss a consan C > such ha : E Q,1[ sup ǫ V 2 + Mc ǫ T + T ǫ vs i 2 λi s ds C Second case : c 2, ψ 2 c 1, ψ 1. We firs prove ha for all [, T, Kǫ 1. Le us recall ha : Define he process X as K ǫ = exp ǫ V + X = ǫ V + δ s ǫ V s ǫ U s ds δ s ǫ V s ǫ U s ds, T.

116 116 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion >From inegraion by par formula, we ge : S δ X = ǫ V S δ sd ǫ V s S δ s ǫ U s ds Since he process δ is posiive and bounded, here exiss a consan L > such ha S δ < L < 1. I follows ha : S δ X 1 + L ǫ V L ǫ V S δ s ǫ U s ds Noe ha, for all [, T, ǫ U since c 2, ψ 2 c 1, ψ 1 and using comparison heorem ǫ V. Therefore, for all [, T, X. Finally, Kǫ 1. In he second sep of he proof, we give he dynamics of he process K ǫ using Io s calculus : d K ǫ = K ǫ d ǫ Mc + e vǫ v1 ǫ 1dÑi + da where A is an increasing process. Since K ǫ is a posiive Q,1 -submaringale, we obain from 3.43 and K ǫ 1 : [ [ E Q,1 Mc ǫ T E Q,1 K [ ǫ 2 d Mc ǫ E Q,1 K T ǫ 2 C K hen we conclude : E Q,1 [ ǫ Mc T C K. Finally, by using concaviy propery we have shown ha : ǫ V V 2 V 1, for all [, T, hen : [ E Q,1 sup ǫ V 2 [,T E Q,1 [ sup V 2 V 1 2 [,T 2 E Q,1 [ sup V sup V 2 2 [,T [,T Therefore, since he process V 1, V 2 D exp and Z Q,1 belongs o L p, we ge by using Cauchy Schwarz inequaliy ha here exiss a consan C such ha : [ E Q,1 sup ǫ V 2 C. [,T

117 3.6 Appendix 117 Proof of Theorem 12 : Le recall firs he equaliy : 1 2 Mǫ,c M 1,c = 1 2 Mǫ,c M 1,c + M ǫ,c, M 1,c M 1,c, hen he equaion 3.39 may be wrien as : ǫ V = 1 ǫ + + δ s ǫ V s ǫ U s ds 1 2 Mǫ,c M 1,c + M ǫ,c, M 1,c M 1,c [1 e vǫ,i s ǫ e v1,i s + e v1,i ǫ vs i λ i s ds + ǫ M c ǫ v i sdn i s e v1,i 1λ i sds = 1 2ǫ Mǫ,c M 1,c + + ǫ M c + ǫ M c, M 1,c + [ 1 ǫ e vǫ,i s e v1,i s + e v1,i ǫ vs i λ i sds ǫ v i sdn i s e v1,i 1λ i sds. By Girsanov heorem, he processes ǫ Mc := ǫ M c + ǫ M c, M 1,c and Ñi := N i. e v1,i s 1λ i sds are Q 1, maringales. I follows ha he process ǫ V δ s ǫ V s ǫ U s ds is a Q 1, -submaringale. ǫ V δ s ǫ V s ǫ U s ds = ǫ 2 ǫ M c + + ǫ Mc + [1 e vǫ,i s e v1,i s + e v1,i ǫ v i ǫ s λ i s ds ǫ v i sdñi s, Q 1, -a.s Moreover, by using he uniform esimae 3.4, we ge : lim EQ,1 ǫ ǫ 2 ǫ M c ǫ T C p lim =, 3.46 ǫ 2

118 118 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion and using he expansion of he funcional x e x, we ge : lim ǫ E Q,1 p=2 e vǫ,i s [ e v1,i s ǫ + e v1,i s ǫ vsλ i i sds p=2 = lim ǫ E Q,1 ǫ p 1 E Q1, ǫ vs i p λ i p! sds Cǫ p 1 = Cǫ 1 ǫ, hus, passing o he limi as ǫ, we conclude ha : [ 1 ǫ e vǫ,i s e v1,i s + e v1,i ǫ vsλ i i sds lim EQ,1 ǫ + p=2 ǫ p 1 p! =, 1 i d Moreover, he esimae 3.4 ensures ha he sequence ǫ V, ǫ Mc, ǫ v ǫ> is bounded in H 2 P M 2 P L2 λ, P. As a consequence, we can exrac a subsequence ǫk V, ǫk M c, ǫk v k N which converges weakly in H 2 P M 2 P L2 λ, P and by Banach-Mazur Lemma, one may consruc a sequence V ǫ, M ǫ,c, v ǫ ǫ> of convex combinaions of elemens in ǫk V, ǫk Mc, ǫk v k N of he form N ǫ N ǫ N ǫ V ǫ := α ǫ j ǫj V, Mǫ,c := α ǫ j ǫj Mc, v ǫ := α ǫ j ǫj v j=1 such ha V ǫ, M ǫ,c, v ǫ ǫ> j=1 j=1 converges srongly in H 2 P M 2 P L2 λ, P o ǫ V, ǫ Mc, ǫ v. Moreover, he riple V ǫ, M ǫ,c, v ǫ saisfies he BSDE s 3.45 associaed wih Ûǫ, Ū ǫ where N ǫ N ǫ Û ǫ := α ǫ j ǫj U, Ū ǫ := α ǫ j ǫj Ū. j=1 Therefore, passing o he limi in his equaion, hanks o 3.46, 3.47 and he dominaed convergence heorem, we ge ha ǫ V, Mc ǫ, ǫ v solves he BSDE s d ǫ V = δ ǫ V U c 1 c 2 c 1 d + d ǫ Mc + d ǫv dñi i, Q,1 -a.s. ǫ V T = Ū ψ 1 ψ 2 ψ 2. wrien as : Therefore S δ ǫ V + Sδ su c 1 sc 2 s c 1 sds is a Q,1 maringale which can be S δ ǫ V + j=1 SsU δ c 1 sc 2 s c 1 sds = E Q1, [ ST δ ǫ V T + SsU δ c 1 sc 2 s c 1 sds G. ǫ vs i p λi s ds

119 3.6 Appendix 119 Hence we ge : ǫ V = E Q1, [ ST δ S δ Ū ψ 1 ψ 2 ψ 1 + S δ s S δ s U c 1 sc 2 s c 1 sds G.

120 12 Robus uiliy maximizaion in a disconinuous filraion

121 Chapire 4 Méhodes numériques 4.1 Inroducion Dans ce chapire nous éudions différenes méhodes numériques pour calculer le prix d un dérivé de crédi. L objecif éan d implémener ces méhodes, basées sur des modèles simples, dans le logiciel PREMIA afin d avoir un ouil permean de les comparer. PREMIA es un logiciel developpé par l équipe MATHFI pour êre mis à la disposiion des aceurs financiers. Ce proje rassemble les chercheurs de l INRIA Insiu Naional de la Recherche en Informaique e en Auomaique, les chercheurs de l Ecole des Pons ParisTech laboraoire de Mahémaiques e d Informaique appliquées du Cermics e les chercheurs de l universié de Marne la Vallée. Il perme de calculer de façon efficiene le prix des produis dérivés issus des marchés financiers. Les principaux developpemens dans PREMIA son : Pricing des dérivés des aux d inerê. Pricing des dérivés de crédi. Pricing e Couverure des dérivés d acion suivan le modèle de Black Scholes e le modèle d Heson. Pricing e Couverure des dérivés d acion suivan les modèles à sau. Calibraion des modèles à sau.

122 122 Méhodes numériques J ai ravaillé dans la secion Risque de Crédi où j ai pariculièremen éudié l évaluaion des deux dérivés de crédi les plus échangés sur le marché : les CDS Credi Defaul Swap e les ranches CDO Collaralized Deb Obligaion. Evaluer un CDS ou un CDO revien à calculer la jambe de paiemen e la jambe de défau versées par les deux conreparies. La difficulé majeure dans l évaluaion d un CDO pore sur la corrélaion enre les défaus. La faillie d une enié peu enraîner celle d une aure e ce risque de propagaion du défau demeure difficile à mesurer. Dans la liéraure, l ouil le plus uilisé pour corréler les défaus es la copule. Connaissan les marginales des emps de défau de chaque enié obenues grâce à la courbe des spreads des CDS, la copule nous permera de donner une loi joine de défau. La copule gaussienne fu la première développée mais le comporemen de sa queue de disribuion ne permeai pas d affecer les défaus sur la ranche Senior ranche la mieux sécurisée; la copule de Suden e la Double-T copule furen développées pour rémédier à cee criique. Néanmoins oues ces copules créen une corrélaion saique e resen rès criiquées. En effe il n es par possible par ce caracère saique d avoir des dynamiques des prix, ni de se couvrir conre le risque de défau en uilisan de elles méhodes. Depuis quelques années de nouveaux ouils son développés pour rendre dynamique la corrélaion enre les défaus e calculer le prix d un dérivé de crédi. Ces approches s appuien sur l évaluaion du processus de l inensié de défau de chaque firme voir Herbersson[41 ou sur l évaluaion de l inensié du processus de pere voir Schönbucher [69. Ean définis les paramères conracuels nous présenerons dans une première secion l évaluaion d un CDS e d un CDO dans un cadre saique e dans la seconde parie, nous présenerons ces évaluaions dans un cadre dynamique. Les formules de discréisaion fon apparaîre un nouveau erme :"Accrual Paymen" Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique On se place dans un espace de probabilié filré Ω, P, G, G où ou au long de cee éude la probabilié P représene la probabilié risque neure donnée par le marché. Les 1 PREMIA es un Pricer developpé par le groupe MATHFI ENPC/INRIA

123 4.2 Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique 123 echniques uilisées pour l évaluaion d un CDO, faisan inervenir plusieurs firmes, son différenes de celles uilisées pour un CDS, poran sur le défau d une seule firme. Nous ferons dans les deux éudes, la même hypohèse sur les lois marginales. Néanmoins on peu porer un regard criique sur ces formules de valorisaion du CDS données ci-dessous, car bien que le CDS pore sur le nom d une firme, le défau de cee firme dépend du défau des aures firmes. Assumpion A 6. Les emps de défaus suiven des lois exponenielles τ i Eλ i, i = 1 d Spread d un CDS dans un cadre saique Le Credi Defaul Swap CDS de maurié T es un conra don le souscripeur verse périodiquemen des primes au vendeur jusqu au momen du défau d une enié de référence ; en conreparie le vendeur d un el conra garani jusqu à la maurié du conra de couvrir les peres dues au défau. Evaluer un CDS de maurié T revien à déerminer la jambe de paiemen versée par l acheeur de la proecion e la jambe de défau versée par le vendeur. On noe par τ le momen de défau de l enié, on fixe le noionel à assurer N = 1, on noe R le aux de recouvremen e r le aux d inérê, ces aux son supposés consans. L acheeur verse un spread κd sur l inervalle d jusqu au momen du défau, la jambe de paiemen vau exacemen JP = τ e r κd e la jambe de défau JD = e r 1 RdH. Le spread κ annuel doi vérifier l équaion : EJP = EJD, en discréisan l inervalle [, T, = 1 2 n = T on obien : EJP = n e r i κ i i 1 E [ n 1 {τ i } + κe [ e rτ τ i 1 1 {i 1 τ i }. Le deuxième erme de EJP es appelé "Accrual Paymen", en supposan la longueur de l inervalle i = i i 1 rès peie, on fai l approximaion suivane : si le défau se produi enre [ i 1, i alors il se produi approximaivemen au milieu de l inervalle. De même en uilisan la même discréisaion, on déermine la jambe de défau : n EJD = 1 RE [ e rτ 1 {i 1 τ i }.

124 124 Méhodes numériques On dédui ainsi le spread du CDS κ : 1 R n 2 P [ i 1 τ i κ = n e r i i i 1 P [τ i + 1. n 2 e r i + i 1 2 i i 1 P [ i 1 τ i e r i+ i 1 Connaissan les paramères conracuels, la formule de ce spread a éé implémenée dans la librairie Premia/Credi Risk Evaluaion d une ranche de CDO dans un cadre saique Un CDO Collaeralized Deb Obligaion es un produi financier issu de la ririsaion de paniers de dees don les eniés de références son des enreprises. Il es le plus souven divisé en rois ranches principales Equiy, Mezzanine, Senior. La ranche Equiy es la plus risquée e la ranche Senior la plus sécurisée, les acheeurs de la ranche Equiy percoiven des coupons périodiques jusqu à l absorpion de la ranche par les premiers défaus exemple ranche sandard Equiy Iraxx, aux de recouvremen R =.4, les souscripeurs d une elle ranche percoiven des coupons jusqu au sepième défau e au fur e à mesure de l avènemen des défaus, le rendemen des ranches diminue. Dans le calcul du prix de ces ranches il es donc judicieux de vérifier que les ranches les plus risquées on un spread plus élevé que les moins risquées. Pour évaluer ces spreads, nous corrélons les insans de défau en considéran l hypohèse suivane : Assumpion A 7. Les emps de défaus dépenden d un faceur de défau commun; condiionnellemen à ce faceur, ils son indépendans. Consrucion des emps de défaus L une des echniques de consrucion des emps de défaus vérifian l hypohèse A7 repose sur les copules. Soien X 1, X 2,, X d les faceurs influençan les défaus des firmes 1, 2,, d ces faceurs peuven êre inerprèés comme des évènemens macroéconomiques e idiosynchraiques influencan le rendemen de l enié. En uilisan une copule don les ermes non diagonaux de la marice des covariances vallen ρ 2,1 on peu décomposer chaque faceur de la manière suivane : X i = ρv + 1 ρ 2 V i, 1 i d

125 4.2 Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique 125 Les variables V V i on même loi e elles son indépendanes, le faceur V sera appelé faceur de défau commun à oues les eniés, e le faceur V i le faceur idiosynchraique, propre à la firme. Pour consruire les emps de défau condiionnellemen indépendans à ce faceur commun, il suffi de consruire dans un premier emps un veceur de lois uniformes sur [,1 correlées : Ũ1,Ũ2,,Ũd = F X1 X 1, F X2 X 2,, F Xd X d où F Xi représene la foncion de répariion de X i, 1 i d. Ensuie en supposan connue la foncion de répariion Q i de la variable τ Eλ i, on consrui des emps de défau saisfaisan l hypohèse A7 : τ 1, τ 2,, τ d = Q 1 1 Ũ1, Q 1 2 Ũ2,, Q 1 d Ũd Par cee consrucion on vérifie de plus que pour chaque i = 1 d, τ i τ i. Dans la suie on appelera ce procédé simulaion des défaus dans un modèle copule à un faceur. Loi condiionnelle des emps défau au faceur commun par : La loi du veceur τ 1, τ 2,, τ d condiionnellemen au faceur commun V es donnée V P τ 1 θ 1, τ 2 θ 2,, τ d θ d = d V P τ i θ i Pour déerminer cee loi il suffi de déerminer la loi condiionnelle de chaque défau connaissan le faceur commun de défau V. Proposiion 26. Connaissan la loi du faceur idiosynchraique V i on noera F Vi sa foncion de répariion, la loi condiionnelle au faceur commun V du emps de défau τ i, 1 i d es donnée par : P τ i θ i V = F Vi [ F 1 X i Q i θ i ρv 1 ρ 2, θ i R +. Preuve : Soi θ i R +, on a : P τ i θ i V = P Q 1 i Ũi θ i V = P Ũi Q i θ i V = P X i F 1 X i Q i θ i V

126 126 Méhodes numériques Par définiion X i = ρv + 1 ρ 2 V i, 1 i d, e les variables V i e V son indépendanes, on dédui ainsi : P τ i θ i V = P Remark 6. Copules. [ V i F [ 1 X i Q i θ i ρv F 1 X V = F i Q i θ i ρv Vi 1 ρ 2 1 ρ 2 Dans le cas d une copule gaussienne à un faceur, les variables V e V i suiven des lois normales cenrées réduies indépendanes, soi F Vi = F Xi = Φ où Φ es la foncion de répariion d une loi normale cenrée réduie. Dans le cas de la copule Double-T où l on suppose que les variables V e V i son deux variables aléaoires de Suden de paramères ν e ν, la variable X i n es pas une variable de Suden, il fau donc implémener pour chaque paramère ρ cee foncion de répariion. Loi du nombre de défau à un insan donné La loi du nombre de défaus réalisés à ou insan es esseniel pour valoriser un dérivé de crédi don le sous-jacen es un panier de dees. En effe le prix d un CDO peu s écrire comme l espérance d une foncion du nombre de défau. Pour évaluer cee loi en uilisan le modèle de copule à un faceur, il suffi de condiionner ous les calculs par rappor à ce faceur. Proposiion 27. Soi f la foncion de densié du faceur V, en supposan l hypohèse A 7 e N = d 1 {τ i } le nombre de défaus réalisés à l insan, la loi de N es donnée par : PN = k = R l k, vfvdv, k = 1 d où les coefficiens l k, v pour ou [, T e pour ou v R saisfon l équaion : d [1 Pτ i V = v + upτ i V = v = u d l d, v+u d 1 l d 1, v+ u 1 l 1, v+l, v, u R Preuve : Pour démonrer cee proposiion, il suffi de calculer la foncion générarice du nombre de défaus à ou insan [, T. Soi u R, on a : E [ u N = PN = ku k, [, T. 4.1 k=

127 4.2 Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique 127 En calculan cee foncion générarice condiionnellemen au faceur commun V on obien : E [ u N V = d k=1 [ E u 1 {eτ i } V, [, T car les emps de défaus son condiionnellemen indépendans au faceur commun V. Connaissan les probabiliés condiionnelles de défau des eniés au faceur V on obien : E [ u N V d [ = u 1 P τ i V + u 1 P τ i V. 4.2 k=1 En ransforman le polynôme 4.2 de degré d en u en un polynôme canonique, pour ou [, T e pour ou v R, il exise l, v = l k, v k d el que : d [1 P τ i V = v + up τ i V = v = u d l d, v+u d 1 l d 1, v+ u 1 l 1, v+l, v. k=1 4.3 En calculan l espérance de 4.2 e en uilisan la ransformaion canonique 4.3, on dédui : E [ u N = R [ l k, vu k fvdv = k= [ l k, vfvdv u k. 4.4 R On dédui ainsi en uilisan 4.1 e 4.4 que pour ou [, T e k {,1,, d} : PN = k = l k, vfvdv. R Pour implémener la loi du nombre de défau à ou insan [, T il fau donc écrire une procédure permean de décomposer le polynôme 4.2 en un polynôme canonique pour ou v R e pour ou [, T connaissan les probabiliés condiionnelles pour le couple, v donné. Remark 7. En supposan que les eniés son ideniques, c es à dire qu elles on la même inensié de défau, la décomposiion canonique 4.3 devien explicie en uilisan le binôme de Newon : l k, v = C k d P τ i V = v k 1 P τ i V = v d k, k d., v [, T R. k=

128 128 Méhodes numériques Expression de la pere d une ranche de CDO Dans cee parie nous raduisons l expression d une pere sur une ranche CDO en foncion du nombre de défau. En effe en considéran une ranche CDO [a, ba représene le poin d aachemen e b le poin de déachemen, l impac des défaus sur la ranche se produi dès que le pourcenage des peres dépasse le poin d aachemen a e le rendemen de la ranche devien nul lorsque le pourcenage de pere dépasse le poin de déachemen b. En posan L = L T le processus représenan le pourcenage de pere, l expression de la foncion de pere M a,b sur la ranche CDO [a, b à un insan [, T s écri de la manière suivane : M a,b =.1 {L a} + L a.1 {L [a,b} + b a.1 {L b} = L a + L b + Il suffi d idenifier le processus de pourcenage de pere pour avoir une écriure plus explicie de l espérance de pere d une ranche de CDO. En supposan que le CDO es un panier de d dees don le aux de recouvremen de l enié i en cas de défau es R i sur un noionel N i,1 i d, le pourcenage de pere à l insan es donné par : 1 L = d N N i 1 R i 1 {τi }, [, T. i Assumpion A 8. Le porefeuille de dees es homogène, N i = N e R i = R pour ou i = 1 d. Cee hypohèse nous perme de décrire direcemen le pourcenage de pere en foncion du nombre de défaus : L = 1 R.N, [, T. d En uilisan cee expression du processus du pourcenage de pere, nous obenons l espérance de pere de la ranche de CDO [a, b : [ 1 R 1 R E[M a,b = k a k b PN = k, d + d + k= [, T. Connaissan la loi du nombre de défau à ou insan, on peu évaluer l espérance de la pere sur une ranche de CDO, on peu obenir les différenes jambes de paiemen e de défau afin de déerminer le spread d une ranche de CDO.

129 4.2 Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique 129 Spread d une ranche de CDO Pour déerminer le spread annuel nous évaluons ou d abord la jambe de défau e la jambe de paiemen. Jambe de défau Elle représene la somme des versemens qu il fau verser pour se couvrir des défaus sur la ranche de CDO. Plus expliciemen, considérons une ranche CDO [a, b, lorsque le défau d une enié i se produi le versemen nécessaire permean de supporer cee pere vau exacemen M a,b τ i M a,b τ i. On mesure ainsi l impac du défau de l enié i en calculan la pere avan e après le défau. En d aures ermes, nous pouvons définir la jambe de défau par : JD = e r dm a,b = e rτ i M a,b τ i + M a,b τ i. Pour avoir une approximaion du calcul de la jambe de défau, sachan que les paiemens se fon sur des échéances fixées à l avance 1 2 n = T, nous discréisons l inervalle [, T en 1 2 m où m sera le nombre de poins de la grille de défaus suffisammen grand pour enir compe du nombre de défau. Nous supposons que si le défau j survien sur l inervalle [ j, j+1 alors il a lieu au milieu de l inervalle e nous supposons que pour poin i apparenan à la grille des paiemens, il exise un poin j apparenan à la grille de défaus el que i = j il es nécessaire de considérer plus de poins sur la grille de défau que sur la grille des paiemens pour que cee hypohèse soi saisfaie m > n. En uilisan la grille des défaus : EJD = m j= e r j+1 + j 2 E[M a,b j+1 E[M a,b j. Jambe de paiemen La jambe de paiemen d une ranche CDO es la somme des paiemens en coupons que guarani l acha. Les coupons son versés périodiquemen suivan les grilles des paiemens e le spread sur une longueur d es fixé à κd κ représene le spread annuel, la ranche [a, b valan en proporion b a, elle es absorbée à chaque insan par la pere supporée par la ranche M a,b, ainsi sur l inervalle d, le coupon

130 13 Méhodes numériques que reçoi l acheeur vau κb a M a,b d, on dédui ainsi : JP = En uilisan la grille des paiemens on obien : EJP = κ e r κb a M a,b d. n e r i b a E[M a,b i i i 1. Mais en enan compe du fai que les paiemens n on pas lieu au momen du défau il fau corriger le calcul en ajouan un erme supplémenaire pour compenser cee inégalié l Accrual PaymenAP. Soi kj la dae du dernier paiemen avan le défau de l enié j. Pour enir compe du fai que le paiemen j n a pas lieu en τ j mais en kj éan donné un spread annuel κ on ajoue au calcul de la jambe de paiemen le erme : κe rτ j Ma,b τ j + M a,b τ j τ j kj. Ainsi en uilisan la grille de discréisaion des défaus e les hypohèses faies on obien : EAP = κ 2 m j= e r j+1 + j 2 E[M a,b j+1 E[M a,b j j+1 j. Remark 8. L Accrual Paymen es un erme négligeable, il es le plus souven omis dans les calculs lors de la discréisaion. Connaissan la jambe de paiemen e la jambe de défau, on peu ainsi déduire le spread annuel κ de la ranche es défini el que EJD = EJP + AP ainsi on dédui la formule du spread donné par : κ = m j + j 1 j=1 e r 2 E[M a,b j E[M a,b j 1 n e r i b a E[Ma,b i i + 1 m j + j 1 2 j=1 e r 2 E[M a,b j E[M a,b j 1. j où i = i i 1 e j = j j 1. Connaissan l espérance de pere sur la ranche CDO [a, b, nous sommes donc en mesure de définir les différenes éapes pour calculer numériquemen le spread d une ranche de CDO : Eape 1 : Définir la copule e ous ses paramères. Eape 2 : Implémener la foncion de répariion du faceur idiosynchraique V i e l inverse de la foncion de répariion du faceur X i.

131 4.2 Spread d un CDS e d un CDO dans un cadre saique 131 Eape 3 : Implémener la probabilié condiionnelle de la loi de chaque défau connaissan le faceur V :P τ i θ i V = v. Eape 4 : Ecrire une procédure qui prend en paramère les paramères de la copule, le emps e le faceur commun v e qui renvoie les coefficiens de la décomposiion polynomiale 4.3, l, v, implémener la loi du nombre de défaus en uilisan la Proposiion27. Eape 5 : Définir les caracérisiques de la ranche CDOnombre d eniés d, aux de recouvremen R i 1 i d, noionel N i 1 i d, aux d inerê r, poin d aachemen a e poin de déachemen b déerminer ainsi le pourcenage de pere e implémener une foncion renvoyan l espérance de pere sur la ranche CDO pour ou [, T : E[M a,b Eape 6 : Définir la grille des paiemens e la grille des défaus e évaluer l espérance du pourcenage de pere de la ranche sur ces grilles de emps puis déduire le spread de la ranche CDO. Ces différenes éapes on éé suivies par l implémenaion du calcul de spread d une ranche de CDO dans PREMIA e les résulas obenus comparables à ceux d Hull and Whie lors de la calibraion du paramère de corrélaion aesen bien la validié de la méhodologie énoncée Calibraion du paramère de corrélaion e pricing d une ranche non sandard Comme dans le modèle Black-Scholes où l on cherche à calibrer la volailié grâce aux données hisoriques, nous nous consacrons dans cee parie à déerminer la bonne corrélaion "ρ" qu il fau pour déerminer le prix d une ranche de CDO sur le marché. Les données hisoriques sur les spreads des ranches CDO sandards ranches Iraxx e CDX monren qu en inversan les formules des spreads on ne reouve pas une corrélaion ρ consane ce qui devai êre le cas si le modèle de copule iniial éai parfai. Malgré l imperfecion du modèle, comme dans le modèle de Black-Scholes où l on remarque un smile de volailié par rappor aux srikes, on remarque, dans le modèle copule gaussien à un faceur, une courbe affine sur la corrélaion des ranches don le poin d aachemen es nul en d aures ermes la foncion ρ : [, x ρ[, x = ax + b es une droie affine,

132 132 Méhodes numériques où x,1 représene la poin de déachemen de la ranche : c es le principe de Basecorrelaion. En uilisan les données Iraxx ou CDX on peu donc reconsruire la corrélaion des ranches don le poin d aachemen es nul e par un principe de non arbirage on peu déduire la corrélaion de oue ranche e calculer son spread sur le marché. Assumpion A 9. Abscence d Opporunié d Arbirage. Soi n N, = a a 1 a 2 a n = b, n + 1 poins de déachemens disincs e ρ, ρ 1, ρ 2,, ρ n 1 les corrélaions correspondanes aux ranches [a, a 1,[a 1, a 2, [a n 1, a n le marché es sans opporunié d arbirage si e seulemen si la corrélaion ρ de la ranche [, b vérifie l équaion suivane : JD[, b, ρ = n JD [a i 1, a i, ρ i 1. où JD représene la foncion donnan la jambe de défau pour une ranche de CDO e une corrélaion données. Cee hypohèse revien à affirmer que vendre une ranche [, b revien à la découper en peies ranches e les vendre sur le marché sans aucun bénéfice supplémenaire. Pricing d une ranche par Base-correlaion sous AOA Le pricing d une ranche non sandard se fai en uilisan les données des ranches sandards don les poins d aachemens son fixés exemple ranches Iraxx poins de déachemen,.3,.6,.9,.12 e.22 pour déerminer le prix d une ranche non sandard [a, b par Base-correlaion sous AOA il fau procéder de la manière suivane : Eape 1 : Encadrer le poin d aachemen a e le poin de déachemen b par des poins sandards exemple [a, b = [.4,.8, alors l encadremen es :.3 a.6 e.6 b.9. Eape 2 : Déerminer par inerpolaion vu la courbe affine de la Base-correlaion, les corrélaions des ranches [, a e [, b en uilisan les encadremens par les poins sandards effecués.

133 4.3 Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique 133 Eape 3 : Par l hypohèse d Absence d Opporunié d Arbirage, déerminer la corrélaion de la ranche CDO [a, b, déduire son spread. Quelques résulas obenus Dans cee parie nous décrivons quelques résulas obenus sur le pricing des ranches sandards en uilisan le principe de Base-correlaion e l hypohèse d absence d opporunié d arbirage. Nous disposons des données avan la crise acuelle sur la prévisions des spreads : Maurié 2/6/21 2/6/212 2/6/214 2/6/217 Spread Quoed index CDS spread 2/4/ /6/ /6/ /6/ /6/ Quoed CDO ranches margins/upfron Nous obenons les résulas sur des ranches non sandards don les poins d aachemen e de déachemen son diffèrens de ceux des ranches de CDO Iraxx : a-de Base-Correlaion Pricing des ranches non sandards 2/6/ Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique Dans cee parie l objecif es de simuler les rajecoires des spreads des CDS e des ranches de CDO en enan compe de l informaion sur le marché e sur les eniés ayan

134 134 Méhodes numériques fai défau. Nous ravaillons suivan deux approches : l approche Boom up e l approche Top down. Nous éudions les différenes méhodes d évaluaion de l index CDS e d un CDO dans ces deux approches e nous discuons des différens résulas numériques obenus Approche Boom Up Comme nous l avons remarqué dans le calcul des spreads le plus imporan es la caracérisaion de la loi du processus de pere du porefeuille à ou insan. Nous pouvons procéder de deux manières pour caracériser cee loi. Soi nous caracérisons direcemen le processus de pere en supposan que c es une chaîne de Markov inhomogène, les équaions de Kolmogorov nous donnen des formules semi-fermées e nous permeen de déduire la loi de la pere : c es l approche Top Down. Soi nous caracérisons l inensié de chaque enié e l influence d un défau sur cee inensié ce qui nous perme de déduire la loi de la pere à ou insan : c es l approche Boom Up. Nous éudions dans une première parie cee approche à ravers les ravaux d Herbersson [41. Nous meons en évidence les méhodes de valorisaion de l index CDS e d une ranche CDO e nous définissons la procédure à suivre pour l implémenaion de ces différenes méhodes. Assumpion A 1. Dans cee approche Boom up nous ravaillons avec les hypohèses d Hebersson [41 à savoir nous supposons que la filraion de référence F es riviale e que le porefeuille es homogène. L inensié de défau de l enié i à l insan, λ i = λ sera définie par : d 1 λ = a + b k 1 Tk, 4.5 k=1 où T k 1 k d représene la suie ordonnée des emps de défau. Le erme a représene l inensié iniiale, e le erme b k représene le sau de l inensié de l enié i dû au défau de l enié k, il es négaif, posiif ou nul suivan une corrélaion posiive, négaive ou nulle enre les deux eniés. Remark 9. Supposer que la filraion de reférence es riviale revien à supposer qu on ne ien pas compe dans la suie du risque de spread dû aux bruis du marché acha e vene influencan les prix.

135 4.3 Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique 135 Proposiion 28. Hebersson [41. Il exise une chaîne de Markov Y sur un espace d éa fini E = {,1,2,,, d} el que les emps d arrês : T k = inf{ > : Y = k}, k = 1, d son les emps ordonnés des d emps de défau échangeables τ 1, τ 2,, τ d don les inensiés son définies par 4.5. Le généraeur Q de Y es donné par : k Q k,k+1 = d k a +, Q k,k = Q k,k+1 pour ou k =,1, d 1 j=1 b j Les aures ermes de la marice Q son nuls. La chaîne de Markov commence à l ea {}. En uilisan les propriéés des processus de Markov e l échangeabilié des emps de défau, nous déduisons les probabiliés joines de survie nécessaires pour le calcul du prix des dérivés de crédi. Proposiion 29. Considérons les d eniés don les inensiés son définies par 4.5 e soi q N, 1 q d, on obien : Pτ 1, τ q = αe Q s q, Pτ 1, τ q Y = j = Cq d j C q d pour j d q où α = 1,, représene la disribuion iniiale sur E e s q j = Cq d j C q,1 j d. d Ean définies les lois joines des emps de défau, il es donc possible de rerouver l espérance condiionnelle de pere sur l index CDS ou sur une ranche de CDO. Spread de l index CDS dans cadre dynamique Conrairemen au calcul du spread d un CDS, le calcul de l index CDS se fai sur un panier de dee. L index CDS pore sur le panier oal de dees c es un CDO don le poin d aachemen vau e le poin de déachemen vau 1. En supposan que l invesisseur sur l index CDS à l insan reçoi un coupon κ ds sur un inervalle de longueur ds, on déermine le spread annuel κ fixé à l insan el que la jambe de paiemen e la jambe de défau soien égales.

136 136 Méhodes numériques Jambe de paiemen En enan compe que le poin d aachemen es nul e que le poin de déachemen vau 1, la jambe de paiemen sur l inervalle [, T es définie par JP,T = κ e rs 1 L s ds, ainsi en discréisan l inervalle [, T, = 1 n = T e en enan compe des fréquences de paiemens on obien : n EJP,T Y = j = κ e r i 1 EL i Y = j i i 1. Remark 1. On ne ien pas compe de l Accrual Paymen dans ce cadre. Jambe de défau On rappelle que la jambe de défau sur l inervalle [, T es définie par JD = e rs dl s. En faisan une inégraion par paries, on rouve JD,T = e rt L T L + re rs L s ds ; en discréisan sur la grille de défaus = 1 m = T on obien : EJD,T Y = j = e rt EL T Y = j. 1 Rj d m + re r i EL i Y = j i i 1. Spread d une ranche de CDO dans cadre dynamique Soi une ranche de CDO [a, b e M a,b la pere supporée par la ranche de CDO [a, b à l insan. Les jambes de paimen e de défau son calculées en uilisan le même principe que précédemmen. Jambe de paiemen Ean défini un spread κ à l insan, la jambe de paimen es définie par JP,T = κ e rs b a M a,b sds, en discréisan sur la grille des paiemens on obien : EJP,T Y = j = n e r i b a EM a,b i Y = j i i 1. Jambe de défau De même la jambe de défau es définie par JD,T = e rs dm a,b s, en uilisan une inégraion par paries e en discréisan sur la grille de défaus on obien : EJD,T Y = j = e rt M a,b T M a,b +r n e r i EM a,b i Y = j i i 1.

137 4.3 Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique 137 Remark 11. Il es imporan de remarquer que condiionnellemen à Y, les lois des emps de défau son données, nous pouvons calculer le spread de l index CDS e d une ranche de CDO à ou insan [, T.Il es défini el que EJP Y = j = EJD Y = j, on rerouve ainsi les dynamiques des spread de ces deux dérivés de crédi. Nous éudions dans la suie les dynamiques des spreads dans l approche Top down. Nous pouvons calculer les spreads de l index CDS e d une ranche CDO connaissan la probabilié joine des défaus à l insan =. D après les formules précédenes, pour déerminer les jambes de paiemen e de défau, il suffi de calculer l espérance de la pere. Lemma 5. Considérons un porefeuille de d dees. Ean donné le généraeur Q, l espérance de pere sur l index CDS e l espérance de pere sur une ranche CDO [a, b à l insan son données par : E[L = αe Q l, E[M a,b = αe Q m a,b. j,1 j d e m a,b représene le [ veceur de pere sur la ranche [a, b, au j-ieme défau m a,b j = 1 R d j a 1 {j [nl,n u} + b a1 {j>nu} n l représene le nombre minimum de défaus à parir duquel la ranche es [ absorbée par les défaus, n l = a 1 R d e n u représene le nombre minimum de défaus à où α = 1,,, représene la disribuion iniiale du processus de Markov Y, l représene le veceur de pere, au j-ieme défau l j = 1 R d parir duquel la ranche es oalemen absorbée n u = [ b 1 R d. En uilisan le lemme précéden, on dédui une écriure plus explicie de la jambe de défau sur l index CDS sur [, T. E[JD,T = e rt EL T + r e r EL d = e rt αe QT l + r αe Q ri ld = α e rt e QT + rq ri 1 e Q rit I l On dédui de même une expression plus simplifiée de la jambe de défau d une ranche de CDO [a, b : EJD,T = α e rt e QT + rq ri 1 e Q rit I m a,b

138 138 Méhodes numériques On obien ainsi une écriure simplifiée du spread d une ranche de CDO [a, b : α e rt e QT + rq ri 1 e Q rit I m a,b κ = n. e r i b a αe Q ima,b i i 1 e du spread de l index CDS : α e rt e QT + rq ri 1 e Q rit I l κ = n. e r i 1 αe Q il i i 1 Le calcul du spread de l index CDS e d une ranche de CDO revien donc à un simple calcul mariciel e la rapidié de cee procédure repose sur le calcul de l exponenielle d une marice. Les différenes éapes pour calculer le spread de l index CDS e d une ranche CDO son : Eape 1 : Définir le nombre de firmes e définir l inensié de défau commune e la marice générarice Q. Eape 2 : Définir la grille des paiemens e calculer pour chaque poin i de la grille exp Q i, définir une boucle pour calculer le dénominaeur du spread en foncion des caracérisiques du produi aux de recouvremen, aux d inerê,. Eape 3 : Déduire exp QT e le numéraeur du spread, calculer ensuie le spread. Cee procédure me en évidence la nécessié de définir la marice Q pour le calcul. Cee marice dépend du veceur u = a, b 1,, b d 1. Lorsque le nombre de firme explose, il es donc impossible de calibrer le veceur u connaissan uniquemen un nombre fini de spreads de ranches CDO exemple ranches Iraxx d = 125. Par rappor aux données don on dispose spread index CDS+spread de cinq ranches CDO données Iraxx, on fera une hypohèse supplémenaire pour calibrer le veceur u. Assumpion A 11. En noan µ i le nombre minimum à parir duquel la ranche i es oalemen absorbée, on suppose qu il exise une consane b i, 1 i 6 elle que : b k = b i 1 {k [µi 1,µ i }, k {1,, d} En uilisan les cinq ranches de l Iraxx e l index CDS de maurié cinq ans : [.,.3 [.3,.6 [.6,.9 [.9,.12 [.12,.22 Index CDS

139 4.3 Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique 139 Spreads des ranches de CDO e de l Index CDS On rerouve en uilisan les moindres carrés sur ces spreads une esimaion du veceur u : û = arg min u 6 κ i,marke κ i u 2 Le veceur û bps en calibran sur les données de spreads précédens es donné par : a b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b veceur u : La posiivié des saus d inensié peu expliquer une corrélaion posiive enre les différenes firmes ; néanmoins, il es indispensable de noer que pour une aure maurié T 5 on rerouve des saus d inensié différens. Celà pourrai jusifier qu il fau enir compe de la srucure à erme dans nore modèle, des paramères qui dépendraien non seulemen du paramère, mais aussi du paramère T représenan l horizon du dérivé de crédi. Dans l approche Top down, nous meons en évidence cee srucure à erme nous basan sur les ravaux de Schönbucher [ Approche Top down Dans cee approche nous déerminons direcemen le processus de pere en supposan qu il es une chaîne de Markov inhomogène. Nous ravaillons sur l espace probabilisé filré Ω, G, G, P e nous ne supposons plus que la filraion de reférence es riviale. Nous supposons que le porefeuille de dees es homogène e que les paramères conracuels son les mêmes que ceux énoncés dans le cadre saique. Dans cee parie nous appelons processus de pere, le processus défini par : L = 1 {τi d}, [, T Definiion 2. Le veceur de probabilié condiionnelle du nombre de défau à la dae T éan données les informaions à la dae, p, T = p, T,, p d, T es défini par : p n, T = P L T = n G, n d

140 14 Méhodes numériques Assumpion A 12. On suppose dans la suie que le processus de pere es une chaîne de Markov inhomogène e qu il exise une marice de ransiion A.T = [a i,j., T 1 i,j d el que le veceur de probabilié condiionnelle saisfai l équaion de Kolmogorov : P, T = A, T.P, T, T T Les coefficiens de la marice A vérifien pour ou [, T, i d : d j=1 a i,j, T =. e les coefficiens de la marice P, T son définis par P n,m, T = PL T = m L = n pour ou n, m {,1,, d}. Ean donnée la marice de ransiion A on dédui une relaion récursive sur les probabiliés condiionnelles induie par l hypohèse précédene : m < n exp P n,m, T = P m,m, T a n, sds d 1 k=n m = n P n,k, s P m,m, s a k,m, sds m > n Pour simplifier cee relaion de récurrence, on suppose l hypohèse suivane : Assumpion A 13. On supposera que sur l inervalle [T, T + T il peu y avoir au plus un défau. Cee hypohèse implique : a n,k, T =, n {,1,, d}, k > n + 1, [, T. La marice A sera donc une marice bidiagonale e la relaion de récurrence simplifiée es donnée par : m < n P n,m, T = exp P m,m, T a n, sds m = n P n,m 1, sa m 1, sds m > n Assumpion A 14. On suppose que la marice de ransiion A es consisane par rappor au processus de pere L. En d aures ermes : p n, T = P L,n, T, n {,1,, d}, T.

141 4.3 Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique 141 Proposiion 3. Sous l hypohèse de consisance on obien : - L inensié du processus de pere à l insan [, T es donnée par λ = a L,. - Le processus [p n, T T es une P maringale. D après la formule de recursivié on obien expliciemen les probabiliés condiionnelles connaissan la marice de ransiion A, néanmoins cee marice doi êre consisane au processus L ce qui engendrera une conraine sur la dynamique de ses coefficiens. Proposiion 31. On suppose que la filraion de reférence es engendrée par un mouvemen brownien W. Pour ou n {,1,, d} soi [µ, s T e [σ, s T le drif e la volailié du processus [a n, s T, pour ou s T : da n, s = µ n, sd + σ n, sdw On obien d après l hypohèse de consisance la relaion : P L,n, sµ n, s = σ n, sv L,n, s. voir [69, où v L,n., s représene la volailié de P L,n., s, s T, [, T. Cee relaion de consisance es d auan plus complexe qu il es difficile d obenir une relaion simplifiée enre le drif e la volailié des aux de ransiion vu la dépendance enre la probabilié condiionnelle e A. Dans la suie nous supposons connues les marices A e P, nous donnons les dynamiques des spreads de l index CDS e d une ranche de CDO connaissan ces marices. Spread de l index CDS dans un cadre dynamique En supposan les mêmes paramères conracuels que dans le cadre saique aux de recouvremen R, aux d inérê r, noionel N = 1, nombre d eniés d nous définissons la jambe de paiemen e la jambe de défau afin de définir le spread. Jambe de paiemen On suppose κ ds le spread versé sur un inervalle de longueur ds où κ représene le spread annuel fixé à l insan, la jambe de paiemen sur l inervalle

142 142 Méhodes numériques [, T es définie par : JP,T = κ e rs 1 1 R L s ds d En uilisan la marice de probabiliés condiionnelles on dédui : T EJP,T G = κ e rs n= [ 1 1 R n p n, s d Jambe de défau De même la jambe de défau sur l inervalle [, T es définie par : JD,T = e rs 1 R dl s d ds En uilisan l inensié du processus L on dédui : EJD,T G = 1 R d e rs Ea Ls s, s G ds = 1 R d e rs E a n s, sp n s, s G ds n= or le processus [a n, sp n, s T es une P maringale c es équivalen à la proposiion p n, s T es une maringale, voir [69. On dédui ainsi l expression de la jambe de défau : EJD,T G = 1 R d e rs a n, sp n, sds. On dédui ainsi le spread de l index CDS à l insan [, T défini par l equaion EJP,T G = EJD,T G : n= κ = e rs d T d e rs n= n= a n, sp n, sds [ d 1 R n p n, s. ds Spread d une ranche CDO dans cadre dynamique Soi une ranche de CDO [a, b, le calcul de la jambe de paiemen e de la jambe de défau d une elle ranche se fai en uilisan les nombres n u = bd 1 R e n l = ad 1 R. Jambe de paimen soi κ ds le spread versé fixé sur un inervalle ds pour une ranche de CDO acheé en. la jambe de paiemen oale sur [, T es : JP,T = κ e rs 1 R n u L s 1 d {nl L s n u}ds

143 4.3 Spread de l index CDS e d un CDO dans cadre dynamique 143 En uilisan la marice de ransiion on rouve : EJP,T G = κ 1 R d n u e rs n=n l n u np n, sds. Jambe de défau De même la jambe de défau sur l inervalle [, T es définie par : JD,T = 1 R d e rs dl s 1 {nl L s n u} En uilisan la marice de ransiion on rouve : EJD,T G = 1 R d n u e rs n=n l a n, sp n, s. On dédui ainsi l expression du spread d une ranche de CDO à l insan : κ = e rs n u n=n l a n, sp n, s e rs n u n=n l n u np n, sds. Dans la suie nous donnons les différenes éapes à suivre pour l implémenaion de ces spreads dynamiques en enan compe de la relaion de consisance. Nous supposons connue la marice de ransiion, nous calibrons sur le marché les différens coefficiens de cee marice en les paramérisan selon les ranches de CDO e les différenes mauriés des conras sur le marché. Eape 1 : Définir la marice de ransiion A e simuler la marice des probabiliés de ransiion P c es une marice ridimensionnelle espace nombre de défau, espace emps, espace emps fuur T. Pour simuler cee marice uiliser la relaion de recursivié, simuler en premier les ermes diagonaux ensuie déduire les aures coefficiens. Eape 2 : Ean donnée la marice des probabiliés de ransiion, définir le spread de l index CDS e d une ranche de CDO. Eape 3 : Connaissan les spreads des six dérivés de crédi de l Iraxx cinq ranches de CDO+ index CDS sur les différenes mauriés rois ans, cinq ans, sep ans, e dix ans on paramérise les coefficiens des ransiions raes pour =, de la manière suivane : a n, s = consanen, s, n, s {n l,, n u }, T i, T i = 3,5,7,1

144 144 Méhodes numériques où {n l,, n u } {{1,,6}; {7,,12}; {13,,18}; {19, 25}; {26,,45}; {46,,125}}. Connaissan les spreads des six dérivés de crédi sur ces différenes mauriés on peu donc grâce à cee paramérisaion iniialiser la marice de ransiion A, T. Eape 4 : Les coefficiens de ransiions éan iniialisés, pour calculer A +, T, iniialiser la boucle à zero k =, iniialiser la pere L à zéro. Simuler une loi uniforme U si U < a L k, k alors L = L + 1. Fixer la volailié des coefficiens prendre σ n k, T = cse ensuie uiliser la relaion de consisance pour calculer le drif. Déeminer la marice P + k + 1, T déduire le spread κ k+1 repéer cee éape k= [ fois. On dédui ainsi grâce aux données des différens spreads e une paramérisaion des coefficiens de la marice de ransiions une dynamique des spreads. Les données don nous disposons daen de l avan crise 2/4/27 : [.3,.6 [.3,.6 [.6,.9 [.9,.12 [.12,.22 T= T= T= T= Quoed CDO ranches margins/upfron T=3 T=5 T=7 T= Quoed index CDS spread 2/4/27 {1, 6} {7,,18} {18, 25} {18, 25} {26, 45} T= T= T= T= Transiions raes a n, T

145 4.4 Conclusion 145 En supposan que le aux de ransiion a n, T es une foncion croissane de n plus le nombre de défau es grand, plus la chîne L a une probabilié fore de sauer à ou insan, il éai impossible de calibrer les diiférenes ranches en uilisan la srucure par erme. Les résulas obenus aesen bien que ce poin de vue n es paragé par les aceurs du marché. En effe, pour une maurié fixée T, la probabilié que la pere L saue sur la ranche Equiy es plus fore que celle sur la ranche Mezzanine ex T = 3, a n, T =.259 sur la ranche Equiy, a n, T =.25. Celà peu s expliquer par le fai que oues nos mesures ou calibraions son faies sur la probabilié risque neure définie plus ou moins par les agences de noaions à ravers leurs noes sur les ranches CDO. Ce ableau radui bien que les ranches senior éaien au préalabre bien sécurisées en examinan les ransiions raes sur ces ranches. Ce modèle fai ressorir une mesure du risque croissane en foncion de la maurié. Nous pouvons l observer sur les différenes ranches ex ranche Equiy T = 3, a n, T =.259 ; T = 5, a n, T =.383 ; T = 7, a n, T =.472 voir aussi les aures ranches. Cee observaion es ou à fai jusifiée car plus la durée du conra es longue plus il es possible qu il se produi plus de défaus sur la ranche. 4.4 Conclusion Dans le cadre saique e dans le cadre dynamique, les méhodes numériques resen rès simples à implémener avec l hypohèse d homogeneié du porefeuille de dees. Touefois la calibraion des différens paramères rese fasidieux quan on connai le manque de données sur ces dérivés de crédi. Le marché acuel des dérivés de crédi ne nous perme pas de comprendre commen évolue la corrélaion de défau enre les firmes. L observaion des spreads des CDS des différenes firmes du panier e des spreads des ranches de CDO sur ces firmes ne nous perme pas de consruire la probabilié joine condiionnelle. De plus, les mesures sur la corrélaion des défaus resen biaisées car elles dépenden de la noe des agences de noaion. Pour mieux modéliser le défau e le risque de conagion, nous devons rechercher une nouvelle source d informaions necéssaire à la reconsrucion de cee probabilié joine,

146 146 Méhodes numériques car il y a une pere d informaions lors de la irisaion de ces dérivés de crédi.

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