Correction du devoir surveillé de mathématiques du 20/04/2013 Enseignement obligatoire

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1 Correction du devoir surveillé de mathématiques du 0/0/0 Enseignement obligatoire Eercice ln a Par théorème lim = 0 Par ailleurs, lim ln = donc, comme tend vers 0 par valeurs + 0 ln supérieures, par quotient, lim 0 = b La fonction f est dérivable sur ]0;+ [ par quotient de fonctions dérivables et, pour tout > 0, f ) = ln) ie f ) = ln) c Pour tout > 0, le signe de f ) est le signe de ln) Or, ln) si et seulement si e donc f ) 0 pour tout ]0;e] et f ) 0 si et seulement si [e;+ [ On conclut alors que f est croissante sur ]0; e] et f est décroissante sur [e; + [ a En remarquant que, pour tout > 0, g) = ln) f), on déduit de la question que, par produit, lim g) = + 0 ln b Soit > 0 Alors, g) = ln) ) = = ln ) ) ln soit g) = Posons X = ) lnx Alors, g) = Or, lim X = + et, par théorème, lim Par produit, on en déduit que lim X + X lnx X + lnx X + X = 0 ) = 0 et donc, par composition, lim + g) = 0 c La fonction g est dérivable sur ]0;+ [ par produit et quotient de fonctions dérivables et, pour tout > 0, g ) = ln) ln) = ln ln) soit g ) = ln ln) d Pour tout > 0, le signe de g ) est le signe de ln) ln) Or, ln 0 si et seulement si et ln 0 si et seulement si ln ie e On peut alors dresser un tableau de signe : signe de ln signe de ln signe de g ) 0 e ce qui conduit au tableau de variation suivant : 0 e + g + e 0 0

2 a Pour étudier les points d intersection de C f et C g, on résout dans ]0;+ [ l équation f) = g) : ln = ln) ln = ln) ln ln) = 0 ln = 0 ou ln = = ou = e Ainsi, les courbes C f et C g possèdent deu points communs : A;0) et B e;e ) b Pour étudier la position relative des courbes C f et C g, on étudie le signe de la différence d) = f) g) pour ]0;+ [ Or, pour tout > 0, d) = ln ln) = ln ln) donc le signe de d) est le signe de ln ln) En procédant comme dans la question d on en déduit que d) 0 pour tout ]0;] [e;+ [ et d) 0 pour tout [;e] Ainsi, sur ]0;] et sur [e;+ [, C f est en dessous de C g et, sur [;e], C f est au-dessus de C g a Notons E) l équation ln) ln+ = 0 Cette équation a un sens si et seulement si > 0 Pour tout > 0, posons X = ln Alors, E) s écrit X X + = 0 Le discriminant de ce trinôme est = ) = > 0 donc le trinôme admet deu racines réelles distinctes : X = et X = + Il s ensuit que E) ln = { Ainsi, l ensemble des solutions de E) est ou ln = + e,e + = e ou = e + b Soit a > 0 Par définition, le coefficient directeur T a est f a) = lna a et celui de T a est g a) = lna lna) On en déduit que T a et T a sont parallèles si et seulement si a } lna a = lna lna) a lna lna+lna) a lna) lna+ a = 0 E) On déduit alors de la question a qu il eiste eactement deu valeurs de a pour lesquelles T a et T a sont parallèles qui sont les solutions E) à savoir e et e + Eercice a S V S R S b Comme les événements R et V forment une partition de l univers, la formule des probabilités totales assure que P S ) = PV)P V S )+PR)P R S ) = + = S donc P S ) =

3 a Soit n N Lorsqu on lance un dé vert, la probabilité d obtenir est Comme les lancers sont indépendants, lorsqu on lance n fois un dé vert, la probabilité d obtenir est Ainsi, P V S n ) = De la même façon, P R S n ) = b Soit n N Comme dans la question, la formule des probabilités totales assure que donc P S n ) = c Soit n N Par définition, + p n = PR S n) PS n ) P S n ) = PV)P V S n )+PR)P R S n ) = PR)P RS n ) PS n ) = En multipliant numérateur et dénominateur par, il vient ) n + p n = n ) = + soit p n = + ) n + d Comme < <, lim n + = 0 et donc, par somme et quotient, lim p n = n + a Etant donné que p n ) converge vers, par définition, il eiste un entier n 0 tel que, pour tout n n 0, p n ] 0,00;+0,00[ En particulier, pour tout n n 0, p n 0,999 b Variables : E est un réel strictement compris entre 0 et N est un entier naturel non nul Entrée : E Initialisation : Affecter à N la valeur Traitement : Tant que ) N < E + N prend la valeur N+ Fin Tant que Sortie : Afficher N En entrant la valeur E= 0,999, on obtient en sortie le premier entier N tel que p N 0,999 et, comme p n ) est croissante, cet entier est n 0 c En utilisant la décroissance de la fonction inverse sur ]0;+ [ et la croissance de la fonction ln sur ]0;+ [, il vient : p n 0,999 0, ln Etant donné que nln 0,999 ) ln,998 ) ln n,998 ln ) 0,999,998 ),998 ln ),, on en déduit que n 0 = ) car ln ) < 0)

4 Eercice Calculons les longueurs des trois côtés de OAB : OA = z A = i = + ) = 9, OB = z B = 7 i = 7 + ) = 8 etab = z B z A = 7 i i) = +i = + = 9 Ainsi, OA = AB donc OAB est isocèle en A De plus, OB = 8 et OA + AB = 9+9 = 8 donc la réciproque du théorème de Pythagore assure que OAB est rectangle en A Conclusion : la proposition est vraie Notons C et D les points d abscisses respectives z C = i et z D = i Alors, Mz) ) z z A = z z B AM = BM On en déduit que ) est la médiatrice de [AB] donc c est bien une droite Conclusion : la proposition est vraie A l aide de la calculatrice, on constate que z = 78 donc pour n =, z n n est pas imaginaire pur Conclusion : la proposition est fausse Soit z un nombre complee de module Par théorème, zz = z = = donc z = z Conclusion : la proposition est vraie Soit z un nombre complee non nul dont un argument est π Alors, z est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est positive ie z est de la forme z = ik avec k ]0;+ [ Dès lors, i+z = i+ik = i+k) = i +k = +k car i = et k > 0 Or, + z = + ik = +k car k > 0 Conclusion : la proposition est vraie Eercice a Comme I et J sont les milieu respectifs de [OA] et [OB], le théorème de la droite des milieu appliqué dans le triangle OAB assure que IJ) est parallèle AB) b Commençons par remarquer que les droites AC) et IK) sont coplanaires donc elles sont soit sécantes soit parallèles Or, d après le théorème de la droite des milieu, la parallèle à AC) passant par I coupe le segment [OC] en son milieu Comme K n est pas le milieu de [OC], on en déduit que IK est pas parallèle à AC) Dès lors, IK) et AC) sont sécantes en un point M c Comme les droites IJ) et AC) sont sécantes en M, le point M est commun au plans IJK) et ABC) donc ceu-ci ne sont pas strictement parallèles Par ailleurs, le point I appartient à IJK) mais pas à ABC) donc ces plans ne sont pas confondus On en déduit qu ils sont sécants et que leur intersection est une droite De plus, d après ce qui précède, cette droite passe par M et N donc, finalement, ABC) IJK) = MN) a Sachant que OG = OI + OJ + OK ), OG = OI + OJ + OK Or, par la relation de Chasles, OI + OJ + OK = OG + GI )+ OG + GJ )+ OG + GK ) = OG + GI + GJ + GK On en déduit que OG = OG + GI + GJ + GK donc 0 = GI + GJ + GK et donc, finalement, KG = GI + GJ Cette égalité démontre que les vecteurs KG, GI et GJ sont coplanaires et donc les quatre points I, J, K et G sont coplanaires b Toujours grâce à la relation de Chasles, en utilisant le fait que E est le milieu de [IJ], KG = GI + GJ = GE + EI + GE + EJ = GE + EI + EJ }{{} 0 Ainsi, KG = GE Il s ensuit que KG = GK + KE ) donc KG = KE ie KG = KE Ainsi, G est le point situé sur la médiane au deu tiers en partant du sommet K donc G est le centre de gravité du triangle IJK

5 a La droite OG) passe par O et est dirigée par le vecteur OG de coordonnées ; ; ) donc une = t représentation paramétrique de la droite OG) est y = t où t R z = t b Les coordonnées de AB et AC sont respectivement AB ;;0) et AC ;0;) Ces deu vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment donc un couple de vecteurs directeurs du plan ABC) Il = k k s ensuit qu une représentation paramétrique de ABC) est y = k où k R et k R z = k c Pour étudier l intersection du plan ABC) et de la droite OG), nous allons résoudre le système t = k k S) t = k t = k t = t 9 t t+ t+ 9 t = 8 9 t = t = 9 S) t = k t = k k t = k k = 8 k k k = Comme S) admet une unique solution, on en déduit que ABC) et OG) sont sécants en un point H De plus, ce point est le point de paramètre t = 9 pour la représentation paramétrique de OG) déterminée à la question donc les coordonnées de H sont 9 ; 9 ; ) 9 ie H ; ; ) ) ie F;;0) Dès lors, les coordonnées des vecteurs d Les coordonnées de F sont +0 ; 0+ ; 0+0 CF et CH sont respectivement CF ;; ) et CH ; ) ; 9 Ainsi, CH = CF donc les vecteurs CF et CH sont colinéaires ie C, F et H sont alignés et donc H appartient à CF)