Sciences industrielles Cours

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1 Lycée Blaise Pascal Mathématiques supérieures et spéciales Sciences industrielles Cours Mathématiques supérieures

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3 GENERALITE 7 QUELQUES INFORMATIONS SUR LES SYSTEMES 9 I Introduction 9 II Définition 9 Définition d un système 9 Frontière d un système 9 3 Entrées sorties d un système ; matière d œuvre 9 4 Fonction globale d un système ; valeur ajoutée III Méthodes et principes de structuration d un système Analyse fonctionnelle descendante a Méthode FAST b Méthode SADT Analyse structurelle a Structure générale d un système b Structure d une chaîne fonctionnelle 3 3 Analyse temporelle 4 IV Contenus de l enseignement de sciences industrielles 4 INTRODUCTION A L AUTOMATIQUE 5 I Définition de l automatique 5 II But de l automatique 5 III Historique 5 IV Différents types de systèmes automatiques 5 LOGIQUE COMBINATOIRE 7 I Exemple d un problème à résoudre : distributeur de sable 7 II Algèbre de Boole 8 Fonction binaire (ou booléenne) d une variable binaire (ou booléenne) 8 Fonctions binaires (ou booléennes) de variables binaires (ou booléennes) 8 3 Propriétés des fonctions ET, OU 8 4 Formes canoniques 8 5 Exemples 9 6 Simplification des expression logiques 9 a Utilisation des propriétés mathématiques de l algèbre de Boole 9 b utilisation des tableaux de Karnaugh 9 III Réalisation technologique des fonctions logiques Réalisation de fonctions logiques par technologie pneumatique Réalisation de fonctions logiques par technologie électrique câblée 3 Réalisation de fonctions logiques par technologie électrique programmée IV Complément RAPPELS DE MATHEMATIQUES A L USAGE DE LA MECANIQUE I Espace II Opération sur les vecteurs produit scalaire de deux vecteurs Produit vectoriel de deux vecteurs 3 3 Produit mixte de trois vecteurs 3 III Champs de vecteurs 3 Définition 3 Champ de vecteurs équiprojectif et champ de vecteurs antisymétriques 4 3 Torseurs 4 4 Propriétés des torseurs 4 5 Axe central d un torseur 5 IV Dérivation vectorielle 6 LOGIQUE SEQUENTIELLE 8 I Définition 8 II Mémoires 8 mémorisation d un événement 8 Remise à zéro 8 3 Représentation 8 4 Priorités 8 5 Réalisation de mémoires 9 a Table de vérité de la mémoire 9 b Tableau de Karnaugh de la mémoire 9 c Equation logique de la mémoire 9 d Logigramme (pneumatique) 9

4 e Mémoire câblée 9 III Grafcet Définition et notions fondamentales 3 Structure générale 3 Exemple 3 3 Notion d étape 3 4 Notion de transition 3 5 Règles d évolution du Grafcet 3 6 Parallélisme et sélection 3 IV Extensions à propos du Grafcet 34 Franchissement de transitions validées 34 Actions conditionnelles, continues, impulsionnelles 34 3 Macro-étapes 35 4 Tâche 35 INITIATION A LA LECTURE DE DESSIN INDUSTRIEL 36 I Introduction 36 II Dessin géométral Différentes vues 36 III Axes 36 IV Coupes 37 V Représentation des filetages et des taraudages 37 Filetage 37 Taraudage 38 3 Assemblage 38 QUELQUES INFORMATIONS SUR LE DESSIN ASSISTE PAR ORDINATEUR (PAO) 4 I Introduction 4 II Logiciel DAO D appliqué à la construction mécanique 4 III Logiciel DAO 3D appliqué à la construction mécanique 4 Généralités 4 Obtention d objets en DAO 3D 4 3 Différents types de logiciels 3D 4 a Modeleur filaire 4 b Modeleur surfacique 4 c Modeleur volumique 4 IV Logiciel DAO au lycée B Pascal 4 CINEMATIQUE 43 CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE 45 I Cinématique du point 45 Mouvement d un point P par rapport à un repère R 45 Vitesse d un point P par rapport à un repère R 45 3 Accélération d un point P par rapport à un repère R 45 II Cinématique du solide indéformable 45 Solide indéformable 45 Champ des vitesses dans un solide indéformable 45 3 Composition de mouvement 46 III Mouvements particuliers de solides 48 Translation 48 Rotation autour d un axe 48 3 Mouvement hélicoïdal d axe 48 4 Mouvement hélicoïdal tangent 49 IV Mouvement plan sur plan 49 Définition 49 Centre instantané de rotation (CIR) 49 3 Base et roulante 5 4 Théorème des trois plans glissants 5 MODELISATIONS CINEMATIQUES ET GEOMETRIQUE DES LIAISONS 53 I Liaisons entre solides53 Degrés de liberté d un solide par rapport à un autre 53 Paramétrage géométrique de la position d un solide par rapport à un autre ou par rapport à un repère 53 3 Liaisons normalisées entre solides 55 4 Géométrie et cinématique du contact entre deux solides 55 a Vitesse de glissement 55 b Roulement, pivotement 56 II Chaîne de solides 56 Définition 56

5 Liaisons équivalentes et graphe minimal des liaisons 56 3 Schéma cinématique 57 4 Equation de fermeture de chaîne 57 Tableau des liaisons normalisées 6 Engrenages et roulements 6 STATIQUE 63 INTEGRALES DOUBLES ET INTEGRALES TRIPLES EN SI ET EN PHYSIQUE 65 I Rappel : Intégrale simple 65 II Intégrale double 65 III Intégrale triple 65 STATIQUE DES SOLIDES 66 I Modélisation des actions mécaniques 66 Notion d action mécanique 66 Modélisation locale des actions mécaniques 66 3 Puissance des actions mécaniques (par rapport à un repère R) 66 4 Modélisation globale des actions mécaniques exercées sur un solide S indéformable (ou ensemble de solides indéformables) 67 5 Exemples d actions mécaniques 68 a Champ de pesanteur 68 b Cas d une force surfacique localisée 69 c Solide soumis à des actions mécaniques assimilables à deux glisseurs 7 II Modélisation des actions mécaniques transmissibles par les liaisons parfaites 7 Rappel 7 Définition d une liaison parfaite 7 3 Torseur statique d une liaison parfaite 7 III Principe fondamental de la statique appliqué à un système matériel 73 Notion d équilibre 73 Principe fondamental de la statique appliqué au point matériel 73 3 Principe des actions mutuelles 73 4 Conséquence : Principe fondamental de la statique appliqué à un système de deux points matériels 73 5 Principe fondamental de la statique appliqué à un système matériel 73 6 Enoncé du principe fondamental de la statique 74 7 Détermination des actions mécaniques 74 8 Théorème des actions mutuelles 74 9 Cas particuliers 75 a Solide en équilibre sous l action de deux forces ponctuelles 75 b Solide soumis à trois efforts ponctuels 76 c Exemple 77 IV Modélisation des actions mécaniques transmissibles par une liaison non parfaite 77 Mise en évidence du caractère non parfait de la liaison 77 Modélisation des actions méacniques transmissibles par une liaison ponctuelle (modèle de Coulomb) 78 3 Quelques valeurs de coefficients 8 4 Liaisons surfaciques non parfaites 8 ASSERVISSEMENT 8 ASSERVISSEMENT 83 I Généralités 83 structure d un système asservi 83 Intérêt d un système asservi 83 3 Qualité d un système asservi 83 4 Cas des servomécanismes Exemple 84 II Systèmes asservis linéaires 84 Définition 84 Représentation d un système asservi linéaire invariant 87 3 Méthode de résolution 87 III Transformée de Laplace, application aux systèmes asservis linéaires 87 Définition 87 Fonctions usuelles et leur transformée de Laplace 87 a Fonction échelon (Heaviside) 87 b Fonction impulsion 88 c Autres fonctions usuelles 88 3 Propriétés des transformées de Laplace 88 4 Application à la résolution des systèmes asservis : Fonction de transfert 88 5 Application au servomécanisme de I-4 89

6 a Réponse à un échelon 9 b Réponse à une rampe 9 c Réponse à une mise hors équilibre 9 d Réponse à une entrée harmonique 93 e Réponse à une entrée harmonique avec condition initiale non nulle 9 IV Schéma bloc 95 V Réponse harmonique des systèmes linéaires Lieux de transfert 98 Réponse harmonique 98 lieux de transfert 99 a Diagramme de Bode 99 b Diagramme de Nyquist 99 c Diagramme de Black 99 d Intérêt du tracé des lieux de transfert 99 VI Identification et modélisation REPONSE INDICIELLE DES SYSTEMES LINEAIRES I Réponse indicielle d un système linéaire du premier ordre En boucle ouverte En boucle fermée II Réponse indicielle d un système linéaire intégrateur En boucle ouverte En boucle fermée III Réponse indicielle d un système linéaire du deuxième ordre En boucle ouverte En boucle fermée 5 DIAGRAMME DE BODE 6

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46 OB = OA + AB Par dérivation relativement au référentiel R par rapport au temps v + B S / R = v A S / R d AB dt R d AB dt R d AB dt = + Ω R / R R AB Si le solide est indéformable, d AB dt R = Soit Ω = Ω R / R S / R Ω S / R est le vecteur vitesse de rotation du solide S par rapport au référentiel R v / R = v A S / R + Ω B S S / R AB Le champ des vitesses d un solide est équiprojectif et antisymétrique On peut le représenter par un torseur, appelé torseur cinématique, de résultante Ω S / R et de moment en A v A S / R On le note { V } = { Ω S / R, v A S / R } A 3 Composition de mouvement But : Connaissant le mouvement du solide S dans le référentiel R et celui du référentiel R par rapport au référentiel R, trouver le mouvement du solide S dans le référentiel R Composition de vitesse : S M R R S O R O u Soit u un vecteur quelconque lié au solide S

47 du dt R du dt = + Ω R / R R u de plus du dt R du dt = + Ω RS RS du du / R u et = + Ω S / R u dt dt R RS Ω S / R Donc u = Ω u + Ω Ω S / R S / R R / R Cette relation est vraie pour tout vecteur u lié au solide S, donc Ω = Ω + Ω S / R S / R R / R u Sur la vitesse, v M S / R doom = dt dooo = dt = v = v O R / R O R / R R R + dom dt M S / R R dom + + Ω dt R + v + Ω R / R R / R OM OM D où v M S / R = vm R R v / + M S / R Vitesse absolue = vitesse entraînement + vitesse relative Composition des accélérations : On montre de même que a M S / R = am S R am R R R R v / + / + Ω / M S / R Accélération absolue = Accélération relative + Accélération entraînement + Accélération coriolis Pour déterminer la formule du changement de point en accélération, on doit utiliser la dérivée de la formule de changement de point en vitesse vm R / R = vo + Ω R / R R / R OM

48 d v dt d dω R / R M R / R = v O R / R + OM + Ω R / R R dt R dt a = ao dω R + dt OM + Ω / R M R / R R R R R / / / dom dt ( Ω R R OM ) Le champ des accélération n est pas un champ de moment de torseur, et n est donc ni antisymétrique, ni equiprojectif En pratique (en SI), on utilisera peu la composition des accélérations, et de toute façon jamais la formule du changement de point pour les accélérations R III Mouvements particuliers de solide a Translation Un solide S est en translation par rapport au référentiel R si, B) S, v A v Soit Le torseur cinématique est alors de la forme Ce torseur est un couple ( A S / R = B S / R Ω S / R = { V S / R } = {, v A S / R } A b Rotation autour d un axe Un solide S est en rotation autour d un axe ( fixe dans R) si P = Le torseur cinématique est de la forme Ce torseur est un glisseur d axe central, v P S / R { V S / R } = { Ω S / R, } P c Mouvement hélicoïdal d axe Le torseur d un mouvement hélicoïdal d axe centrale est de la forme P V = Ω u, v u { S / R } { S / R P S R } P, / où u est un vecteur unitaire de v P S / R = k Ω S / R (k indépendant du temps)

49 C est un torseur d axe central Ce n est ni un couple ni un glisseur, mais la somme d un glisseur d axe central et d un couple de direction u d Mouvement hélicoïdal tangent Si le solide S est en mouvement quelconque par rapport au référentiel R, l axe central existe mais dépend du temps A un instant donné, on peut toujours décomposer { } d axe et d un couple de direction V = Ω { S / R } { S / R u, } + {, vm S / R u} M ( u) M ( u) V / en la somme d un glisseur C est la notion de mouvement hélicoïdal tangent L axe est appelé axe instantané de rotation (ou de viration) S R Rappel : Ω = v S / R A S / R P, AP + λ( P) Ω S / R Ω S / R Ω S / R existe sauf si Ω S / R = (mouvement de translation) V Mouvement plan sur plan a Définition Il y a mouvement plan sur plan d un solide S par rapport à un solide S si un plan Π de S reste toujours confondu avec un plan Π de S b Centre instantané de rotation (CIR) Soient A et B deux points de Π, plan du solide S dans le mouvement plan sur plan par rapport au solide S v = vb + Ω A S / S S / S S / S BA Si A et B appartiennent à Π, ils restent toujours dans Π (et donc dans Π ) Donc BA, vb S / S sont des vecteurs de Π v A S / S et Donc Ω / S Π S Donc l axe instantané de rotation est perpendiculaire à Π Soit I = Π (point d intersection du plan et de l axe), I est appelé centre instantané de rotation du mouvement de S par rapport à S

50 Ainsi De plus, car Donc, vi S / S est un vecteur de Π et Si I Ω =, v I S / S S / S v Ω I S / S S S / Ω S / S est perpendiculaire à Π Si I, vi S / S = A Π, v A S / S = Ω S / S IA Ω S / S IA A Π, AI = Ω Ω S / S S / S Construction graphique du CIR (point I) : Considérons deux points A et B du solide S, auxquels on affecte les vitesse v A et v B dans le mouvement de S par rapport à S Pour ces deux moments, v A = Ω S S IA / v = Ω IB Le CIR (point I) appartient donc aux droites : - D A issue de A et perpendiculaire à v A - D B issue de B et perpendiculaire à v B B S / S I est donc le point d intersection de ces deux droites D B v A D A v B B A Ω S / S I

51 c Base et roulante On appelle base du mouvement plan sur plan d un solide S par rapport à un repère R la trajectoire des CIR dans le repère R On appelle roulante du mouvement plan sur plan d un solide S par rapport à un repère R la trajectoire des CIR dans un repère lié à S Propriété : La base et la roulante d un mouvement donné sont deux courbes tangentes (en I) qui roulent l une par rapport à l autre sans glisser Exemple : Considérons une échelle appuyée sur un mur Cette dernière glisse Base Roulante D B A v A S / R I D A Mur O R Echelle B v B S / R OBIA est un rectangle de diagonale AB = Cte (au cours du temps) - AB = Cte = OI, donc la base est un quart de cercle de centre O et de rayon AB - BIA est un triangle rectangle d hypoténuse AB, donc la roulante est un demi cercle de diamètre AB d Théorème des trois plans glissants Soient S et S deux solides dans un mouvement plan sur plan l un par rapport à l autre et par rapport à un repère R On appelle Π le plan commun au deux solides dans ce mouvement On prend de plus les notations suivantes :

52 Ω le vecteur rotation de S /R Ω le vecteur rotation de S /R Ω le vecteur rotation de S /S I le CIR de S /R I le CIR de S /R I le CIR de S /S Soit u le vecteur unitaire de la normale à Π On peut alors poser Ω u = Ω Ω = Ω u Ω = Ω u Et on a II = Ω I I C est à dire, entre autre, que I, I, et I sont alignés Ω

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54 Vision générale du problème z x y y z x n ψ O R R θ ( ), et y x n z z n Pour passer d une base à l autre n n z z z v v n n z z z x y y x w w ϕ θ ψ θ n z v = n z w =

55 S S I I I I S S A t A t + t

56 Ω S/S Ω pivotement I Ω roulement L a L e L b L c 4 L d chaîne simple chaîne complexe (3 chaînes simples) 3

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58 Exemple de liaison équivalente et graphe minimal de liaison :

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63 STATIQUE

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67 4 Modélisation globale des actions mécaniques exercées sur un solide S indéformable (ou ensemble de solides indéformables) Si S est un solide indéformable Ω /, M, N S, v / + Ω / D où S R N S R S R NM P ds ( S / S, R) = fv ( M ) vm S / R dv + f S ( M ) vm SS / R M S M S S P( S / S, R) = M S M S f V ( M ) v N S / R dv + M S f S ( fv ( M ), Ω S / R, NM ) dv + ( f S ( M ), Ω S / R, NM ) S ( M ) v M S S N S / R ds + P( S / S, R) = fv ( M ) dv + f S ( M ) ds vn S / R + NM fv ( M ) dv + NM f S ( M ) ds Ω M S M S S M S M S S R S / est la somme des efforts (surfacique et volumique) ; c est un vecteur indépendant du point S choisit pour l exprimer Par contre, est un champ (dépendant du point N choisi pour l exprimer) R S / S M N S / S ds M N S / S S / R Détermination de la nature du champ M N S / S : Ecrivons ce champs en un autre point, appelé A Pour simplifier les calculs, seuls les forces volumiques seront prises en compte M = AM f M N S / S M A S / S A S / S M S = AN = M N S / S M S f V V ( M ) dv ( M ) dv + + AN R est donc un moment de torseur de résultante S / S M S R S / S NM sur S sont modélisées par un torseur (torseur des actions mécaniques) noté = R M { F S S } { S S, A S S } ( / ) / / A f V ( M ) dv Les actions mécaniques exercées par S Leur puissance dans le référentiel R est donné par la relation ( S / S, R) = { F S } { V } P / S S / R

68 R = f ( M ) dv + f ( M ) ds est la résultante des actions mécaniques de S sur S S / S N S / S M S V M S S M S S M = NM f ( M ) dv + NM f ( M ) ds mécaniques de S sur S V M S S S est le moment résultant en N des actions R S / S s exprime en Newton (N), M N S / S s exprime en newton-mètre (Nm) Remarque : - Dans le cas d un ensemble E de N solides noté S i (i=,,n), chaque intégrale se sépare en N intégrales et on met en évidence des quantités dont la somme vaut De même, on met en évidence des quantités M N E / S i R E / S i dont la somme vaut M N E / E R E / E - La modélisation des actions mécaniques par un torseur est une modélisation globale qui permet de rendre le calcul plus facile par rapport aux intégrales de la modélisation globale - Par intégration des champs surfaciques et volumiques (localisation locale), on obtient le torseur associé (modélisation globale), mais l inverse n est pas possible 5 Exemples d actions mécaniques a Champs de pesanteur Tout point M de masse m est soumis à une force attractive au voisinage de la terre dirigé vers le centre de la terre On la note F pes = mg Un solide S, ensemble de points M est soumis à une force de résultante F = g( M ) dm pes M S dm est l élément de masse de l élément de volume dv entourant le point M courant Le solide étant petit comparé à la terre, D où où m est la masse du solide F g( M ) Cte = g pes g dm = m g = M S Le moment résultant en un point G des forces volumiques de pesanteur est

69 M = g MG dm G, Fpes / S Propriété : Il existe un point unique G en lequel MG dm = Ce point s appelle le centre de gravité de S En ce point, M = G, Fpes / S M S M S De cette propriété, nous pouvons en déduire que A, M S MA dm + M S M S AG dm = A, AG = AM dm m Pour un solide unique S, le centre de gravité G est lié à S Considérons à présent N solides S i de centre de gravité G i et de masse m i On peut écrire N i= M Si N i= M Si N i= MG dm m G A + i i= = MG dm + i i N i i i= M Si m AG = D où AG = m i N G A dm + i N i= i m i AG i N i= M Si AG dm i = Résumé : Les actions mécaniques de pesanteur sont modélisées par le torseur F = mg, { pes } { } G qui est un glisseur d axe passant par G Le centre de gravité G d un solide est défini par A, AG = AM dm m M S A Paris au niveau du sol, g - = 9,8 ms = 9,8 Nkg - b Cas d une force surfacique localisée Considérons un solide S soumis à des forces surfaciques localisées

70 S f S ( M ) ds La résultante de ces forces surfaciques est Leurs moment en un point P est donné par M S S f S M S S PM ( M ) ds = R f S fs ( M ) ds = M Il est possible de montrer que il existe un point P tel que ce moment soit nul Ainsi, en ce point P, le torseur des efforts surfaciques s écrit { F } { R, = } f S fs P Si les efforts surfaciques sont constants sur la surface, P est le centre d inertie de la surface S S du solide S Si ces efforts ne sont pas constants sur la surface, P n est plus son centre d inertie mais reste en général à l intérieur de cette surface P, fs c Soit un solide S soumis à des actions mécaniques assimilables à deux glisseurs L un des glisseur passe par le point P, l autre par le point P S F S F Les torseurs de ces deux efforts s écrivent F F, {, } { } P F avec F = F Le torseur résultant de ce couple de force s écrit : F = F + F { } {, } { } { }, =, P F, F P P P F P La résultante de deux glisseurs de résultantes opposées et un couple

71 II Modélisation des actions mécaniques transmissibles par les liaison parfaites Rappel La puissance des actions mécaniques exercées sur un solide S par S s écrit ( S / S, R) F V = R v + M Ω { } { } A S / R S R P = S / S A, S / S / Définition d une liaison parfaite Une liaison entre deux solides S et S est parfaite si la puissance des interefforts dans cette liaison est nulle dans le mouvement de S par rapport à S 3 Torseur statique d une liaison parfaite Il peut se déduire du torseur cinématique de la liaison correspondante Voir feuille des torseurs cinématiques des liaisons classiques Quelques exemple : Liaison Encastrement Pivot Glissière Hélicoïdale Pivot glissant Torseur statique R R R x y z M M M x y z P P P Rx P sur l axe Ox de la liaison Ry M y pivot Rz M z Ry Rz M M M x y z P P P P sur l axe Ox de la liaison Ry M y hélicoïdale Rz M z P sur l axe Ox de la liaison Ry M y pivot glissant Rz M z P

72 Rotule O z y x R R R O centre de la sphère Appui plan P y x z M M R P Ponctuelle P R x P sur l axe Ox, axe perpendiculaire à la surface sur laquelle l effort s applique

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74 Or { F } = { R M } { }, = E / E E / E A, E / E A en statique 6 Enoncé du principe fondamental de la statique Il existe au moins un repère galiléen R tel que pour tout système matériel E en équilibre dans ce repère, le torseur résultant de toutes les actions mécaniques extérieures à E exercées sur E est nul { } { } F E = / E 7 Détermination des actions mécaniques Chaque écriture du principe fondamental de la statique donne deux équations vectorielles, c est à dire 6 équations scalaire, qui donnent des informations sur les actions mécaniques mises en jeu Méthode : - On isole un système (solide ou ensemble de solides) - On fait le bilan des torseurs d efforts extérieurs exercés sur ce système (action de contact, à distance, de liaison) - On écrit le principe fondamental de la statique relativement à ce système - On résout, et si c est possible on trouve toutes les inconnues - Sinon, on isole un autre système et on recommence 8 Théorème des actions mutuelles Soient deux systèmes E et E disjoints, et E le système englobant les deux précédents (E = E + E ) E est en équilibre sous l actions des torseurs d effort { } E / E { } + { F } { } / E / E = E E E est en équilibre sous l actions des torseurs d effort { } E / E F et { F } F () { } + { F } { } / E / E = E E E est en équilibre sous l actions des torseurs d effort { } E / E { } { F } { } E / E F et { F } F () + = E / E E E / E / E F et { } F E / E F (3) Les trois équations précédentes donnent ( ( ) + () (3) ) { F E } { F } { } / + E = E E /, d où, d où

75 Rappel : Pour deux solides S et S, On a de plus { V } = { V } S S S / / S Donc { F } = { F } E / E E E / { F } { V } P( S / S, ) P( S / S, R) = S / S S / S = R 9 Cas particuliers a Solide en équilibre sous l action de deux forces ponctuelles F S B F A - F en A : { F } { F, = } A F / - F en B : S { F } { F, = } B F / S En écrivant le principe fondamental de la statique : F, A + F, F, + F, { } { } = { } { } { F BA} = { } A On obtient donc le système d équations scalaires suivant : F + F = F et F sont colinéaires AB F = AB et F sont colinéaires (ou bien B A AB = ) Un solide soumis à deux efforts est en équilibre si ces deux efforts sont égaux en norme, de sens opposés et de même support (la droite AB, où A et B sont leurs points d application) F S B A F

76 b Solide soumis à trois efforts ponctuels S C B A F 3 F Les trois efforts s écrivent F = F F S, / F = F F / S, F = F, { } { } A { } { } = { F } B, F BA A { } { 3 } C = { F3, F3 CA} A F / S 3 F L écriture du principe fondamental de la statique donne les équations vectorielles suivantes : F + F + F3 = F BA + F CA = On pose N = F BA = F3 3 CA N est orthogonal à F et F 3 par construction, et donc à F (par la première équation du principe fondamental de la statique, F N ) = N est orthogonal à AB et AC par construction, et donc au plan ABC noté Π F est appliquée en A, F est appliquée en B, F 3 est appliquée en A, F N et N Π F Π F N et N Π F Π F N 3 et N Π F 3 Π Les droites (support de F ), (support de F ) et 3 (support de F 3 ) sont donc coplanaires On considère que et sont parallèle F et F sont donc colinéaires, on pose F = λf Ainsi, la première équation du principe fondamental de la statique permet d écrire F 3 = + λ F ( ) On en déduit que, et 3 sont parallèles On considère maintenant I, le point d intersection de et En ce point les trois torseurs d effort F F F F = F, IC F On déduit donc de s écrivent { } = { } I, { } = { } I et { } { 3 } I F / S, F / S, F F / S 3 3

77 l équation de moment donnée par l écriture du principe fondamental de la statique que IC F =, et donc que 3 passe aussi par I 3 En conclusion, un solide soumis à trois efforts est en équilibre si ces trois efforts sont - coplanaires en support - de somme nulle - de supports parallèles ou concourants c Exemple I // IB F A A G B // IA P P F B Les torseurs d effort dans cet exemple s écrivent : { Fpas / S } = { P, } G Fpivot / S = R, M A avec M z = Fpivot / S = R, A le problème étant en F = F, où est perpendiculaire au plan tange { } { } { } { } D { } { } nt ponctuel / S B F IV Modélisation des actions mécaniques transmissibles par une liaison non parfaite Mise en évidence du caractère non parfait de la liaison y S G mg F / S n n= x Si l appui plan F / S est parfait, il est de support perpendiculaire au plan Si il n y a que deux effort, le principe fondamental de la statique ne peut être vérifié Pour qu il soit vérifié, il faut donc que l effort F / S s oppose au poids du solide mg y F / S =

78 Ce qui signifie donc que manière suivante : F / S n est pas perpendiculaire au plan, et que cette force s écrit de la [ F / S ( F / S n) n] + ( F / S n) n = T / S + N S F / S = / Perpendiculaire au plan La configuration réelle est donc la suivante : y T / S S G mg F / mouvement, on parle de frottement d adhérence S N / S n n= x La composante tangentielle de la réaction du plan sur le solide est non nulle ( T ) Dans cette / S liaison, la puissance s écrit P( / S, R) v A T / = S / S Cette puissance étant non nulle, la liaison n est ici pas parfaite On dit que la liaison développe du frottement S il y a mouvement, on parle de frottement de glissement ; s il n y a pas Modélisation des actions mécaniques transmissibles par une liaison ponctuelle (Modèle de Coulomb) Soient deux solides S et S en contacte ponctuel l un avec l autre en un point I L un au moins des solides a une surface suffisamment régulière pour que l on puisse définir un plan tangentiel Π en I au deux solides S n normé I Plan tangentiel Π S Remarque : Cette représentation est valable pour des liaisons sphère/plan, sphère/sphère ou cône/sphère mais pas pour une liaison cône/cône Le torseur d effort exercé par S sur S s écrit en I { FS S } { RS S, } / = / I avec R S / S = N n + où T n est la composante tangentielle T

79 Ainsi T = R = n ( RS / ) ( ) / ( / ) S n n = n n R R n S S S S ( R n ) S / S S / S n Loi de Coulomb : La nature du contact entre S et S est caractérisée par un coefficient f, appelé coefficient de frottement - si f =, alors T = - si f, alors a) si v I S S =, T < f N / b) si v, I S / S T = f N T vi S / S = T v < I S / S Quelques exemples : R S/S F S/S N n ϕ tanϕ = f n ϕ I v I S/S Π T s oppose au mouvement de S par rapport à S P T = < / S v I S / Il y a donc perte de puissance R S / S est à l intérieur du cône de frottement NB : dans le dessin à gauche, R est au bord de ce cône S / S

80 Remarque : Physiquement, un contact ponctuel associé à un effort correspond à une pression infinie, ce qui n est pas possible En fait, ce genre d effort entraîne une légère déformation du point de contact, qui s aplatit pour former une surface de contact S S avec I Pour corriger cela, on peut considérer que F = R, M R M S / S { S S } { S S I S S } / /, / I donné par les lois de Coulomb = M n + M avec n I, S / S t M t = M est une composante de résistance au pivotement M t est une composante de résistance au roulement Par analogie avec les lois de Coulomb : M δ N selon que Ω pivotement est nul ou non (pour l égalité) M t µ N selon que Ω roulement est nul ou non (pour l égalité) la seule différence avec la loi de Coulomb est que µ et δ sont homogènes à des longueurs 3 Quelques valeurs de coefficients Matériaux f à sec f lubrifié µ Acier Acier,3, 5 à µm Bronze Acier,,8 Acier Nylon,5, Acier PTFE,,5 Acier Aluminium,4 Acier Garniture,3 Pneu - Chaussée,6 5 à mm 4 Liaisons surfaciques non parfaites On admet que le champ surfacique des efforts vérifie en tous points les lois de Coulomb df = dn n + dt Cette relation est exploitable pour des surfaces simples

81 ASSERVISSEMENT

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84 S d section droite S g section gauche

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87 Représentation d un système asservi linéaire invariant Entrée consigne x(t) Système asservi linéaire invariant y(t) sortie L équation différentielle linéaire à coefficient constant régissant ce genre de système s écrit, de manière générale n n m m d y( t) d y( t) dy( t) d x( t) d x( t) dx( t) an + a a a y( t) b b b b x( t) n n = n m + m m m dt dt dt dt dt dt où le second membre (à droite ) est connu En pratique, n m Dans le cas contraire, à une entrée finie pourrait correspondre une sortie infinie 3 Méthode de résolution Il faut résoudre l équation, c est à dire trouver y(t) pour un x(t) donné Une méthode classique pour ce genre de problème est de trouver une solution générale de l équation sans second membre, puis une solution particulière La solution finale sera combinaison linéaire des deux précédentes III Transformée de Laplace, application aux systèmes asservis linéaires Définition Soit f(t) une fonction telle que t <, f ( t) = La transformée de Laplace d une telle fonction est définie par L tp ( f ( t)) = F( p) = f ( t) e dt Fonctions usuelles et leur transformée de Laplace a Fonction échelon (Heaviside) u(t) = pour t > u(t) = pour t < pt e L( u( t)) e dt = = = p pt p t

88 b Fonction impulsion (dirac) /t δ(t) = pour t R * δ() non défini mais δ ( t) dt = L( δ ( t)) = lim t e t pt t dt = lim t p t pt t [ e ] = t t c Autres fonctions usuelles (nulles pour t<) les autres fonctions souvent rencontrée seront les fonction sin( ω t) u( t), cos( ω t) u( t), voir feuille pages plus tôt voir feuille pages plus tôt 3 Propriétés des transformées de Laplace 4 Application à la résolution des systèmes asservis : Fonction de transfert Le système asservi est représenté par l équation différentielle n n m m d y( t) d y( t) dy( t) d x( t) d x( t) dx( t) an + a a a y( t) b b b b x( t) n n = n m + m m m dt dt dt dt dt dt En réalité, cette équation est à multiplier par la fonction de Heaviside de chaque coté (l équation n est pas définie pour des temps négatifs) La transformée de Laplace de cette équation s écrit n m d y( t) d x( t) a L u( t) a L n m m dt + + dt ( y( t) u( t) ) = b L u( t) + b L( x( t) u( )) n + t On considère que les conditions initiales sont nulles (autrement dit y( ) = x( ) = y ( ) = x ( ) =, ) Ainsi, l équation précédente s écrit a où Y ( p) = L( y( t)) X ( p) = L( x( t)) n m p Y ( p) + + a Y ( p) = b p X ( p) + b X ( p) n m + Ceci revient à écrire que

89 b Y ( p) = a + b p + + b + a p + + a m p n p m n X ( p) H(p) H(p) est une fraction rationnelle, on l appelle la fonction de transfert du système Les entrée possibles X(p) sont aussi des fractions rationnelles, donc Y(p) est une fraction rationnelle également La résolution se fait par décomposition en éléments simples de H ( p) X ( p), puis par application de la transformée inverse de Laplace de chacun des éléments simples ainsi obtenus + Remarque : Si les conditions initiales ne sont pas nulles, si par exemple y ( ), il faudra rajouter + + n + à l équation précédente un terme de la forme a y ( ) a p y ( ) a p y ( ) Ainsi, n a + a3 p + + an p Y ( p) = H ( p) X ( p) + y ( n a + a p + + a p 3 + n ) n 5 Application au servomécanisme de I-4 L équation différentielle est Il existe une position de repos donnée par S g y + K y = K x x = y = x On introduit donc les variables ~ x = x x et ~ y = y x Ces variables sont à conditions initiales nulles L équation différentielle devient : ( ~ y + x ) + K ( ~ y + x ) = K ( ~ x ) S g + x Soit S g ~ y + K ~ y = K ~ x On peut donc utiliser l équation S g y + K y = K x avec conditions initiales nulles pour x et y Cette équation devient, par transformée de Laplace S g p Y ( p) + K Y ( p) = K X ( p) Soit K Y ( p) = X ( p) = X ( p) K + S p + τ p g où τ = S g / K

90 La fonction de transfert du premier ordre du système s écrit H ( p) = +τ p a Réponse à un échelon L entrée est définie par x ( t) = X u( t) ce qui donne, par transformée de Laplace X ( p) = La transformée de Laplace s écrit donc, compte tenu de la fonction de transfert du système, Y ( p) = X X p p +τ p On effectue la décomposition en éléments simples de cette fraction rationnelle Y ( p) = En multipliant l équation par p et en prenant p =, En multipliant l équation par a p + τ p et en prenant b + +τ p p Y ( p) X = a = p = τ p ( + τ p ) Y ( p) = X τ = b En conclusion, la transformée de Laplace de la sortie s écrit donc Y ( p) = X p X τ + τ p Ce qui donne, en prenant la transformée inverse de Laplace de cette équation, t / τ ( e ) u( ) y( t) = X t X x(t) y(t) τ t

91 Quelques remarques : x y () = lim p Y ( p) = y( ) = lim p Y ( p) = p τ p y( ) = lim p Y ( p) = X p Le système est plus rapide si τ diminu, c est à dire si S g diminue ou K augmente b Réponse à une rampe L entrée est définie par x ( t) = v t u( t) ce qui donne, par transformée de Laplace X ( p) = v p La transformée de Laplace s écrit donc, compte tenu de la fonction de transfert du système, Y ( p) = p v ( +τ p ) On effectue la décomposition en éléments simples de cette fraction rationnelle Y α p) = + p ( En multipliant l équation par p² et en prenant p =, β γ + p + τ p p Y ( p) v En multipliant l équation par p et en prenant p =, = = β p Y ( p) γ = = α + τ En multipliant l équation par + τ p et en prenant p = τ p ( + τ p ) Y ( p) = v τ = γ En conclusion, la transformée de Laplace de la sortie s écrit donc Y ( p) = v p v τ v τ + p + τ p Ce qui donne, en prenant la transformée inverse de Laplace de cette équation, t / τ ( t τ + τ e ) u( ) y( t) = v t

92 x(t) v y(t) τ t Quelques remarques : y( ) = lim p Y ( p) = p y( ) = lim p Y ( p) = p y () = lim p Y ( p) = y ( ) = lim p Y ( p) = v p p lim x( t) y( t) = lim p X ( p) Y ( p) = v Erreur : ( ) τ t p c Réponse à une mise hors équilibre y( + ) = y On repart de l équation différentielle du système, mais cette fois ci, l entrée est nulle Par transformée de Laplace, cette équation devient S g S g y + K y = K x = ( p Y ( p) y ) + K Y ( p) = Soit τ Y ( p) = y + τ p avec τ = S g / K D où, par transformée inverse de Laplace, t / τ y( t) = y e u( t)

93 y(t) y τ t d Réponse à une entrée harmonique L entrée est donnée par ( ω t) u( ) x( t) = X sin t Ce qui donne par transformée de Laplace X ω X ( p) = p + ω Soit la transformée de Laplace de la sortie Y ( p) = X ω ( + τ p)( p + ω ) On décompose cette fraction rationnelle en éléments simples Y ( p) = α τ + β p + γ ( + p) ( p + ω ) En multipliant l équation par + τ p et en prenant p = τ p En multipliant l équation par X ω + ω τ ( + τ p) Y ( p) = = α p + ω et en prenant p = jω X ω = + jω τ jω β + γ Ce qui permet de déterminer en égalant les parties imaginaires, puis les parties réelles X ω X ω τ γ = et β = + ω τ + ω τ Ainsi, la transformée de Laplace de la sortie s écrit

94 ) ( ω ω τ ω ω τ ω ω τ τ τ τ ω ω τ = p X p p X p X p Y Soit, après transformée inverse de Laplace ( ) ) ( ) sin( cos ) ( / t u t X t X e X t y t = ω τ ω ω τ ω ω τ τ ω τ ω τ ( ) ) ( ) sin( cos ) ( ) ( / t u t t X t u e X t y t = ω τ ω ω τ ω ω τ τ ω τ ω τ ω τ On pose ϕ tel que cos sin τ ω ϕ τ ω ω τ ϕ + = + = Ainsi, l équation temporelle régissant la sortie du système s écrit ( ) ) ( sin ) ( / t u t X e X t y t = ϕ ω τ ω τ ω τ ω τ x(t) y (t) t y (t) Interprétation : En régime permanent, la sortie est une sinusoïde atténuée et retardée par rapport à l entrée d amplitude < + τ ω X de déphasage ) arctan( τ ω plus ωτ augmente, plus le déphasage ϕ augmente e Réponse à une entrée harmonique avec y( + ) = y Le système est linéaire La réponse dans ce cas est donc la somme Régime transitoire y (t) Régime permanent Y (t)

95 - de la réponse du cas précédent - de celle du cas où x( t) = y( + ) = y x( t) = X sin y( + ) = ( ω t) u( t) La réponse temporelle s écrit donc Réponse libre Réponse forcée y( t) = t / τ X ω τ t / τ X y e u( t) + e u( t) + sin t + ω τ + ω τ ( ω t + ϕ ) u( ) Réponse transitoire Réponse permanent La réponse libre dépend des conditions initiales et pas de l entrée La réponse forcée dépend de l entrée et pas des conditions initiales Le signe du pôle de la fonction de transfert, négatif, conduit à des termes en exponentielles décroissantes, ce qui correspond à un régime transitoire Attention, des pôles positifs ou à partie réelle positive conduisent à un système instable IV Schéma bloc La notion de fonction de transfert H(p) où Y ( p) = H ( p) X ( p) conduit à la notion de schéma bloc, où l on représente le système linéaire par X(p) H(p) Y(p) Un système donné sera composé d un ensemble de sous ensembles simples, ou élémentaires, pouvant chacun être remplacés par un bloc élémentaire Bloc en cascade : X (p) H (p) X (p) X (p) H(p) H (p) Y(p) Y(p) Y ( p) = X ( p) H ( p) X Y ( p) = H ( p) X X ( p) = H ( p) ( p) ( p) où H p) = H ( p) H ( ) ( p

96 Bloc en parallèle : X(p) H (p) H (p) + + Y(p) Y ( p) = H( p) X ( p) + H ( p) X ( p) Y ( p) = H ( p) X ( p) où H p) = H ( p) + H ( ) ( p Exemple : X(p) + _ G(p) action Y(p) ( + R( p) G( p) ) G( p) X ( ) Y ( p) = p R(p) acquisition G( p) H ( p) = + R( p) G( p) R ( p) G( p) est la fonction de transfert en boucle ouverte du système H ( p) est la fonction de transfert en boucle fermée du système Systèmes élémentaires : - Système proportionnel - Système du er ordre - Système intégrateur Equation différentielle : y ( t) = K x( t) Fonction de transfert : H ( p) = K Equation différentielle : τ y ( t) + y( t) = K x( t) Fonction de transfert : K H ( p) = +τ p Equation différentielle : y ( t) = K x( t) Fonction de transfert : - Système du er ordre généralisé H ( p) = Equation différentielle : τ y ( t) + y( t) = K ( x( t) + a τ x ( t) ) Fonction de transfert : K p + a τ p H ( p) = K + τ p

97 - Système du nd ordre y( t) ξ Equation différentielle : + y ( t) + y( t) = K x( t) ω ω Fonction de transfert : K H ( p) = ξ p + p + ω ω Pour les systèmes sans intégration, la valeur de y(t) au bout d un temps infini est (si elle existe) lim y( t) = lim py ( p) = lim ph ( p) X ( p) = lim H ( p)lim px ( p) = H ()lim x( t) t p p On appelle K le gain statique du système p lim y( t) = Klim x( t) t t p t Pour le système du er ordre, on a vu que la réponse à un échelon x ( t) = X u( t) est y /τ ( e ) ( ) t t K X KX pour = où τ est la constante de temps du système y(t) atteint 95% de sa valeur final t 5 = 3τ %

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106 Diagramme de Bode Système proportionnel G db H ( p) = K Système intégrateur G db H ( p) = K p log K log K db (pente de db par décade) ω ω ϕ ϕ ω ω -π/

107 Système du er ordre G db log K ϕ Bande passante à 3dB K H ( p) = +τ p ω 3dB - db/décade En rouge : diagramme asymptotique En bleu : courbe réelle ω Erreur réalité / asymptote : ωτ << log K log K = log( + ω τ ) + ω τ Ceci est maximum pour ω = /τ, et vaut 3 db en ce point K K + ω τ ωτ << log log = log( ) τω + ω τ τ ω Ceci est maximum pour ω = /τ, et vaut 3 db en ce point Arguments : ωτ >> ϕ = 9 ωτ << ϕ = ϕ = arctan(ωτ ) Bande passante = 3 db : Domaine de fréquence pour lequel G(ω) vaut G( ) 3 db -π/4 -π/ Gain : ( + ω ) G = log K log τ ω τ << G = log K ω τ >> G = log K logτ logω

108 Système du nd ordre H ( p) = K p p + ξ + ω ω Gain : ω ω G = log K log + 4ξ τ ω Argument : ω ξ ω ϕ = arctan ω ω On distingue plusieurs cas selon la valeur de ξ La fonction de transfert peut se mettre sous la forme K H ( jω ) = + jω ω G db log K 6dB -4 db/décade ξ = La fonction de transfert peut se mettre sous la forme K H ( jω) = + jτ ω + jτ ω -π G db log K ϕ -π/ G db /τ ( )( ) τ τ /τ ω 3dB En rouge : diagramme asymptotique En bleu : courbe réelle - db/décade 3dB ω ξ > -4 db/décade ξ < log K ω ω ϕ -π/ -π En rouge : diagramme asymptotique En bleu : courbe réelle ω ϕ -π/ ω r ω ω En rouge : diagramme asymptotique En bleu : courbe réelle ω -π La pulsation de résonance (si elle existe) est définie par d H ( jω) ω = ω + + ξ = dω ω Cette relation est vérifiée pour ω = ω / ω = ξ Il y a résonance si ξ < / La pulsation de résonance vaut alors ω r = ω ξ Le gain à la résonance vaut K H ( jω r ) = ξ ξ

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110 Autre cas H ( p) = K( + jωτ ) G db db par décade log K 3 db ω ϕ π/ ω