Thème Trigonométrie et nombres complexes

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1 Document URCA Atelier N 1 Thème Trigonométrie et nombres complexes (Extraits de cours, d exercices de TD et de DS)

2 À Ã Ã Ã Ä Ã ^ º º Á Ú Ö " ÿ ½ Ã õ " â : Æ â ú ã º Ã Ø : / " Æ º, 9 º â Æ º Ö Ú Æ ï " ì : Ã ú í D : / " ø Æ º : ÿ M Notation exponentielle º Ý Þ ß Pour tout réel, on note : Ú Û Ü suivantes : Ø Æ â ã 1 - Pour tout º Ä Ý Þ ß Ô ß on à á a : Ä Ý Þ ß Ú Û Ü ä Ú Û Ü å º Ý Þ ß Ý Þ ß Ø ß à á ß à á º Ý Þ ß Ä Ø Æ Ô ß à á Ä Ô ß à á Ô ß à á Ø Æ Ø Ô Ä ß à á Ý Þ ß Ø Ø Æ Ú Û è Ü é Ü å ê Ý Þ ß Ô ß à á Ý Þ ß ½ Ô ß à á Ä On en déduit en particulier par récurrence pour tout ë -ð â ã Il en résulte : Ú Û Ü ð ë º Â â ò et ñ Ú Û Ü Ý Þ ß Ý Þ ß Ä = ñ = Ã í Ú Û Ü î ï Ú Û ï Ü Cette notation est justifiée par les propriétés ß à á Ø Ý Þ ß : Ô ß à á Ú Û Ü î ï ß à á ½ Sous forme trigonométrique, cette formule est dite formule de Moivre et s écrit : â ò Ä Ý Þ ß ð ë ð â ã Ë Ì ò 3-ð â ã Ú Û Ü 4-ð Ú ñ ó ô â Ó Ã µ À Û Ü µ º Û Ü â ã µ À º 5-ð Ú Û Ü ñ ó ô On note : ö º À â Ó µ µ À µ º Extraits de cours Ô ß à á ñ ø Finalement tout nombre complexe ù pourra s écrire : ù ú û ù û ü ý þ avec ÿ ú ù C est la notation exponentielle d un nombre complexe qui n est qu une variante de la forme trigonométrique De la notation exponentielle, on déduit également les formules d Euler : º Ú Û Ü Û Ü º Ý Þ ß ë â ã Ô ß à á Ú Û ï Ü ë ÿ ÿ ú ü ý þ ü ý þ ÿ ú ü ý þ ü ý þ Racines 3 ième d un nombre complexe Définition : Soit ù " 4 ( ) On appelle racine " ième de ù dans tout nombre complexe 5 tel que 5 ú ù Théorème : Tout ù ) admet exactement" racines" ième PREUVE Soitù ú 7 ü ý þ avec 7 ú û ù û 6 ÿ ú ù 9 : ; Alors si on pose5 ú < ü ý=,il 5 ú ù >? < ü ý = ú 7 ü ý þ >? A < ú 7 " C ú ÿ 9 : ;!< E ú D 7 >? : C ú " F " H vient : Mais 5 Ainsi les racines " ú 5 N >? >? E ième de ù sont données par : 5 ú D ú / " ÿ " : ; >? 7 I ü ý D # J K L On obtient donc toutes les racines O ième de P en choisissant Q dans R S T U T V T W W W T O X U Y ce qui donne exactement O racines O ième qui s écrivent : Z [ \ ] _ ` a b c ] d e f] g h Q i R S T U T V T W W W T O X U Y b ou Q i j k \ R U T V T W W W T O Y h M - Page 1/4 -

3 v X u } ~ V V Calcul algébrique des racines carrées d un nombre complexe non nul La méthode trigonométrique précédente montre que tout nombre complexe P \ _ ` al non nul admet deux racines carrées : Z m \ ^ _ ` a c e et Z n \ ^ _ ` ab c e d o h \ X ^ _ ` a e c \ X Z m On peut aussi rechercher algébriquement les racines carrées d un nombre complexe donné sous forme cartésienne SiP \ p q r s on obtient en posantz \ t q r u : P \ Z v w x p q r s \ t v X u v q V r t u w x z t v X u v \ p V t u \ s w x }~ t v { X u v \ p t v \ U b p q p V t u \ s w x { v q s v h t v q u v \ b t v X u v h v q t v u v \ p v q s v u v \ U b X p q p v q s v h V t u \ s De là on tiret etu avec leurs signes respectifs donnés par la dernière équation Application àlarésolution de l équation du second degré dans du trinôme du second degré donne, puisquet Soit l équationb h t P v q u P q ˆ \ S avecb t T u T ˆ h i Š Š Ladécomposition canonique \ S : t P v q u P q ˆ \ S w x Œ P q u u v V t Ž X t ˆ t v \ S w x Œ P q u v V t Ž \ u v X t ˆ t v \ u v X t ˆ est le discriminant du trinôme Si désigne une des racines carrées de, on voit que les racines deb h sont données par : P n \ X u q V t et P v \ X u X V t Si \ S, \ S et les deux racines sont confondues La somme des racines est : \ P n q P v \ X t, tandis que leur produit est : \ P n P v \ u v X v t v \ u v X b u v X t ˆ t v h \ ˆ t Exercice 1 : 1 Soit x un nombre réel pour lequel tan x et Choix d'exercices donnés en TD tan x sont définis On pose t formules : sin x 1 t, 1 t t cos x, tan x 1 t 1 t Applications : a) Donner la valeur de tan 8 b) Transformer en produit l expression : cos x cos x cos3x c) Résoudre l équation 3 cos5x cos x cos1x Exercice : t tan x Etablir les Ecrire chacun des nombres complexes suivants sous forme cartésienne et sous forme exponentielle 1 i 1, 1 i 1 i i tan, 8 8, 6 1 i, 4 1 i 3 1 n 5i i e, 1 i 3 007, sin i cos où n 3 i, 1 i 1 i où n * (discuter en fonction des valeurs de n ) - Page /4 -

4 Exercice 3 : 1 Soit Exprimer cos 3 et sin 3 en fonction de cos et sin Soit x cos 10 a Calculer cos 5 en fonction de cos lorsque b En déduire que x est solution d une équation polynomiale Résoudre cette équation c Donner la valeur exacte de x Exercice 4 : Utiliser les formules d Euler pour linéariser les polynômes trigonométriques suivants : 5 3 sin x ; sin x cos x ; sin x cos3x ; cos 3 xsin x cos xsin 3x Exercice 5 : Soient x et y deux nombres réels et n un entier Calculer les sommes suivantes : Exercice 6 : n k 1 n sin cos kx ; kx ; cos x ky ; k cos kx k 1 n k 1 n k 1 Résoudre dans les équations suivantes : z i z i n n z i ; z 5 1i ; 0, n * z 3 1 i 3 4 ; z 3 i 1 i 3 8 ; z 56 ; Exercice 7 : Soit et Montrer que les racines de l équation sont toutes réelles si et seulement si et déterminer les racines dans ce cas Exercice 8 : Résoudre dans les équations suivantes : a) z 3z b) iz iz i 0 c) z iz 7i d) e) z z iz 5i 1 0 cos 1 0, R 6 z 3 3 5iz 4 1iz 1 4i 0 3 f) z (montrer qu il existe une racine imaginaire) Exercice 9 : Factoriser dans puis dans les polynômes suivants: Exercice 10 : 3 4 On considère l équation E 1 z z z z 0 1 Résoudre E dans Montrer que 3 4 z 1 ; z z 1 ; z 6 1 E est équivalente à l équation : 1 1 z z 1 0 z z 3 En déduire les valeurs exactes de cos, cos, sin et sin Page 3/4 -

5 Exemples d'énoncés de DS Le barème de chacun des DS est donné sur 5 points Dans ces énoncés de DS, seuls les exercices en rapport avec le thème, sont donnés dans leur intégralité ; le contenu des autres exercices n apparaît pas DS N o 1 de Ma11 (Novembre 005) Exercice 1 : (4 points) Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe : (1 + i 3) ( sin π 5 + i cos π 5 ) Exercice : (3 points) Résoudre dans C l équation : z 5 =4e i π 3 (On écrira les solutions sous forme exponentielle) Exercice 3 : (11 points) (Résolution d un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues, avec un paramètre) Exercice 4 : (7 points) (Inversion d une matrice carrée d ordre 4 à coefficients entiers) DS N o 1 de Ma11 (Novembre 006) Exercice 1 : ( 15 points) 1 i 3 1 Donner la forme exponentielle des nombres complexes : a et i i i Montrer que pour tout et tout réels, on a : e e cos e 3 En déduire la forme exponentielle de a b et de a b 4 On considère l équation : z 1 i 3 z 1 i 3 (E) 0 3 i b a Résoudre (E) dans : On donnera la forme cartésienne des solutions z 1 et z b Exprimer les solutions z 1 et z à l aide de a et b, et en déduire la forme exponentielle de z 1 et z Exercice : ( 10 points) (Résolution d un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues, avec un paramètre) - Page 4/4 -

6 Document URCA Atelier N Thème Limites et continuité (Extraits de cours, d exercices de TD et de DS)

7 Extraits de cours Définition de limite Définition de limites latérales - Page 1/4 -

8 Exercice 1 Choix d exercices donnés en TD - Page /4 -

9 Exercice Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 - Page 3/4 -

10 Extrait du DS donné en Mai 007 (Barème sur 5 points) Questions de cours :(3points) 1 Donner la définition d une fonction continue en un point a Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires Exercice 1 :(3points) Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage du point a On suppose que les fonctions f et fg ont chacune une limite finie en a Est-cequef a une limite finie en a? Exercice :(11,5points) Soit f : une fonction continue aux points 0 et 1 On suppose de plus que f vérifie : f x f x 1 Montrer que f est une fonction paire Soit x 0,1 3 Soit x 1, x, fixé On définit la suite x npar n, x n x f converge vers f 0 a Montrer que la suite x n b Montrer que pour tout entier n, on a f x n f x c En déduire f 0,1 En utilisant cette suite n fixé On définit la suite n n, y par : n 1 y n n x y, démontrer que la fonction f est constante sur, utilisera une démarche analogue à celle de la question ) Montrer que 0 f 1 f En déduire que f est constante sur 1 (On Exercice 3 :(7,5points) (Exercice sur le théorème des accroissements finis) - Page 4/4 -

11 Document URCA Atelier N 3 Thème Equations différentielles et primitives (Extraits de cours, d exercices de TD et de DS)

12 Extraits du cours de MA11 L équation homogène L idée pour résoudre l équation est de chercher des solutions définies sur de la forme Une telle fonction est solution de si et seulement si :! " # $ % &! " # $ Définition 01 L équation du second degré! " # $ associée à l équation différentielle est appelée équation caractéristique de et sera notée ' ( dans toute la suite On a alors le résultat suivant : Proposition Si' ( admet deux racines réelles distinctes ) et, les solutions de sur sont données par : # * +, - *, - Si ' ( admet une racine réelle double, les solutions de sur sont données par : # *, *, 3 - Si ' ( admet deux racines complexes conjuguées ) # / 0 et # / 0, 0 1, les solutions de sur sont données par : # 3 * , *, PREUVE Quel que soit le discriminant de l équation caractéristique, les racines ) et vérifient : ) #! et ) # " 1 Si ) et sont réelles distinctes : % & 9 9 ) 9 ) # $ % &: 9 ) 9 9 ) # $ Cette équation est une équation linéaire homogène du premier ordre pour la fonction inconnue 9 ) dont les solutions sont données par : 9 ) # ; - ; Cette équation est maintenant une équation linéaire du premier ordre avec second membre pour la fonction inconnue, dont une solution particulière est donnée par < # ; ) - et les solutions de l équation homogène associée sont données par = # * + En posant, # ; les solutions de ) sur sont alors données par : # * +, - *, Si ' ( admet une racine réelle double, cette racine vérifie > #! et # " Alors % & 9 9 > 9 # $ % &? # $ Comme précédemment, on a d abord : 9 # * - Page 1/4 -

13 Cette équation est une équation linéaire du premier ordre, dont les solutions de l équation homogène associée sont données par A B C D E F G H I J Cherchons une solution particulière par la méthode de variation de la constante En posant A C D E F K C D E H I J, K doit vérifier : K L C D E H I J F M H I J F N K C D E F M D Ainsi, une solution particulière de C O E est donnée par A P C D E FQM D H I J et les solutions de C R E sur S sont données par : A C D E F C M D T G E H I J U C M U G E V S W soit 3 Si X Y admet deux racines imaginaires conjuguées Z [ F \ T ] ^ et Z W F \ _ ] ^, C \ U ^ E V S ` S a, on a : Z [ T Z W F b \ F _ c d et Z [ Z W F \ W T ^ W F e d Donc si on pose A C D E F H f J g C D E : A L C D E F H f J h\ g C D E T g L C D E i U A L L C D E F H f J h \ W g C D E T b \ g L C D E T g L L D C E i En utilisant les relations C b E, l équation C R E s écrit alors : H f J h \ W g C D E T b \ g L C D E T g LL D C E i _ b \ H f J h \ g C D E T g L C D E i T C \ W T ^ W E H f J g C D E F j g LL C D E T ^ W g C D E F j Considérons une solutiong de C R [ E et posons pour tout D V S : k C D E F g C j E l m n ^ D T g L C j E ^ n o p ^ D et q C D E F C g L C D E _ k L C D E E W T ^ W C g C D E _ k C D E E W Alors la fonction k vérifie : r D V S U k L L C D E T ^ W k C D E F j et k C j E F g C j E U k L C j E F g L C j E D autre part q est dérivable sur S et pour toutd réel : q L C D E:Fsb C g L C D E _ k L C D E E C g L L C D E _ k L L C D E E T b ^ W C g C D E _ k C D E E C g L C D E _ k L C D E E Fsb hg L C D E _ k L C D E i h C g LL C D E _ k L L C D E E T ^ W C g C D E _ k C D E E i Fsb hg L C D E _ k L C D E i h C g LL C D E T ^ W g C D E E _ C k L L C D E T ^ W k C D E i Mais g et k vérifient toutes deux l équation C R [ E Donc q L F j, q est constante sur S et égale à q C j E, c est-à-dire j On en déduitg F k, ce qui montre que g solution de C R [ E est nécessairement de la forme : g C D E F M l m n ^ D T G n o p ^ D où M et G sont deux constantes réelles Réciproquement il est clair que toute fonction de cette forme est solution de C R [ E Donc les solutions de C R [ E sont données par : g C D E F M l m n ^ D T G n o p ^ D U C M U G E V S W Et il en résulte que les solutions de C R E sont données par : A C D E F H f J C M l m n ^ D T G n o p ^ D E U C M U G E V S W C b E C R [ E Choix d'exercices donnés en TD Exercice 1 Primitivation par parties A l aide d une ou plusieurs intégrations par parties, déterminer les primitives des fonctions données par les expressions suivantes sur tout intervalle où elles sont définies et continues t p ud u U C D W T b E t p D U D W H J U D l m n D U H v J n o p D U D l m n W D U w x l y z p D U l m n D t p C O T l m n D E U D C w x l y z p D E W - Page /4 -

14 { } š ~ š š ~ š { ~ ~ { š š Exercice Primitivation par changement de variable A l aide d un changement de variable (qui sera parfois indiqué entre parenthèses), voire de plusieurs successifs, déterminer les primitives des fonctions données par les expressions suivantes sur tout intervalle où elles sont définies et continues { } ƒ ƒ } ~ ~ } ˆ ~ } } ~ ˆ Š } ~ Ž Œ ˆ Œ ˆ Œ } ~ } ~ Exercice 3 Primitivation de fractions rationnelles 1 Pour chacune des fractions rationnelles suivantes, effectuer la décomposition en éléments simples sur et en déduire une primitive sur un intervalle où cette primitive existe Ž Ž } { } ~ } ~ } Ž } } } ~ } } ~ } { Ž Ž ~ } ~ Ž~ } ~ ~ } Ž ~ } } } ~ } ~ } fractions rationnelles suivantes : } ~ } ~ } } Exercice 4 Œ Œ Primitivation de fractions rationnelles en et Calculer les primitives des fonctions suivantes sur un intervalle où ces primitives existent : Œ Ž Œ Œ Œ Œ Ž } ƒ } ~ Œ Œ } ~ ƒ Œ } } Œ Œ ~ Œ } ~ Œ ~ Œ En utilisant d abord un changement de variable, déterminer sur un intervalle où elles existent les primitives des Exercice 5 Equations différentielles du 1er ordre Résoudre sur l intervalle š les équations différentielles suivantes : œ ~ œ Œ ~ Œ œ ~ } ~ } } ~ ž ~ Ÿ ~ } œ ~ } ~ } ~ ~ } ~ ž ~ Ÿ œ ˆ } ~ Exercice 6 Equations différentielles du 1er ordre 1 a) Résoudre sur l intervalleš ž ~ Ÿ l équation différentielle : œ ~ } ~ } b) Parmi les solutions, en existe-t-il une admettant une limite finie en? On considère l équation différentielle œ ~ Œ ž a) Déterminer toutes les solutions ~ Ÿ de cette équation ž sur l intervalle b) Déterminer la ~ Ÿ solution de définie sur et qui s annule en c) Montrer que est prolongeable par continuité en On note la fonction prolongée Préciser d) Montrer que est dérivable en et préciser œ Exercice 7 Equations différentielles du nd ordre œ œ œ ~ ª œ œ ~ œ ~ œ œ ~ œ ~ Œ œ œ œ ~ } Œ œ œ ~ Œ œ œ œ ~ «Résoudre sur l intervalle les équations différentielles suivantes : } ~ ~ «Œ - Page 3/4 -

15 Ï Ï Exemples d'énoncés de DS DS 3 - Janvier 008 Exercice 1 1 Déterminer sur l intervalle ± une primitive de la fonction ² définie par : ² ³ µ Q ¹ º ¹ ¹» ¼ ¹ a) Déterminer sur ½ une primitive de la fonction définie par : ³ µ º º b) En déduire sur ½ une primitive de la fonction définie par ³ µ ³» º µ À Á Â Ã Ä Å Exercice Soit l équation différentielle suivante où Æ est la fonction inconnue de la variable : Æ Ç ¹ Æ º 1 Résoudre cette équation sur È ± Déterminer la solution vérifiant Æ ³ µ Exercice 3 Résoudre sur ½ l équation différentielle du ème ordre suivante : Æ Ç Ç Æ Ç Æ º É Ê Ë Ì Í Î Å DS 3 - Janvier 007 Exercice 1 1 Déterminer les primitives suivantes en précisant un intervalle sur lequel le calcul est possible : Ï ³ Ð Å µ º Ñ Í Î Å Í Î Å ³ µ Í Î Å º Ñ a) Déterminer les primitives de Ò¹ Ó Ì ¹ Ô sur l intervalle ³ ¹ µ ³ º ¹» ¹ ± Ì Õ ¹ Ô b) En déduire ³ ¹ Õ µ ³ ¹» Õ Ñ sur l intervalle È ± Exercice Résoudre sur È ± l équation différentielle suivante : Æ Ç ³ µ Æ» É Ë Exercice 3 Résoudre sur ½ l équation différentielle suivante : Æ Ç Ç ¹» Æ Ç Æ ³ ¹» µ É Ë È Í Î Å DS 3 - Janvier 006 Exercice 1 Déterminer sur tout intervalle où elles peuvent être définies, les primitives des fonctions réelles de variable réelle suivantes : a) ² Ö Ò¹ Ó?³ º ¹» µ Í Î Å b) ² º Ò¹ Ó º c) ² Ò¹ Ó Â Ø Í Í Î Å º Soit l équation différentielle ³ µ : Æ Ç º ¹ Æ» Déterminer les solutions de ³ µ sur ± Exercice Exercice 3 Résoudre sur ½ l équation différentielle ³ µ : Æ Ç Ç ¹ Æ Ç Æ Ú É Ë - Page 4/4 -

16 Document URCA Atelier N 4 Thème Géométrie (Extraits de feuilles de TD)

17 Choix d'exercices donnés en TD - Page 1/4 -

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