Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année

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1 Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année novembre 010 I Définition d une conique en terme d équation cartésienne On se place dans le repère orthonormé direct (0, i, j ). Définition 1 Une conique du plan euclidien R est une courbe du plan d équation cartésienne de la forme a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0, où a, b, c, d, e et f sont des nombres réels avec (a, b, c) (0, 0, 0). L hypothèse (a, b, c) (0, 0, 0) est indispensable ici : le cas où a, b et c sont nuls conduit à l équation d une droite. Définition (Discriminant) Soit C une conique du plan euclidien d équation cartésienne a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0. Le discrimant de C est par définition le nombre réel = a c b. Définition 3 (Type d une conique) Soit C une conique du plan euclidien d équation cartésienne On dit de C qu elle est : 1. de type elliptique si a c b > 0 ;. de type parabolique si a c b = 0 ; 3. de type hyperbolique si a c b < 0. a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0. II Réduction d une conique : à la recherche de son équation réduite 1. Changement de R.O.N. direct Propriété 1 Soit C une conique d équation a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0 dans le repère orthonormé direct R = (O, i, j ). Dans le repère R = (O, i, j ), la conique C a alors pour équation a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0, 1

2 Fig. 1 Détermination des axes de symétrie d une ellipse où a = a + c + a c cos(θ) + b sin(θ) b = b cos(θ) (a c) sin(θ) c = a + c a c cos(θ) b sin(θ) ; Remarque : 1. On peut bien entendu exprimer d et e à l aide de d et e. Quant à f il est égal à f.. On ne retiendra pas les expressions exprimer ainsi à l exception de celle de b. 3. Si l on effectue une translation du repère (O, i, j ), alors l équation de la conique dans le repère obtenu (Ω, i, j ) s écrit : a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0. De plus : a = a ; b = b ; c = c. Changement de R.O.N. direct et discriminant Corollaire 1 Soit C une conique de discriminant. Si C a pour équation a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0

3 dans un repère orthonormé direct (Ω, i, j ), alors a c b =. Élimination des termes croisés L expression de b en fonction de θ donnée ci-dessus (Propriété 1) permet d en déduire un repère orthonormé direct (O, i, j ) dans lequel l équation de C ne fait pas apparaître de terme croisé x y. Il s agit de résoudre l équation d inconnue θ : Le tableau qui suit résume les choix de θ possible. b cos(θ) (a c) sin(θ) = 0. Situation choix de θ Cas a = c. Cas a c. θ = θ { π 4, 3 π 4, 5π 4 }. ( ) b arctan + k π a c avec k 0, 3 Fig. Valeurs de θ pour lesquelles b = 0. Remarque : On pourra remarquer que les valeurs de θ se déduisent les unes des autres à k π près. Ceci ne doit en rien surprendre. Une fois les directions des axes éventuels de symétrie obtenues, une rotation d angle k π supplémentaire n y changera rien : les axes du repère seront encore parallèles aux axes de symétrie éventuels.. Equation réduite d une conique propre Nous nous plaçons dans un repère orthonormé direct R = (O, i, j ) dans lequel la conique C a pour équation a x + c y + d x + e y + f = 0. (1) Le repère R peut être obtenu par une rotation de centre O et d angle θ (bien choisi) du repère initial R (cf le paragraphe précédent). Il s agit de simplifier encore plus l équation de la conique en changeant de nouveau de repère en translatant le repère R voire en faisant des rotations d angle π (ou π). Ceci conduit, dans le cas d une conique propre, à son équation réduite. Cas d une conique de type elliptique Propriété Soit C une conique de type elliptique. Alors : soit C est vide ; soit C est réduite à un point ; soit il existe un R.O.N. direct (Ω, i, j ) dans lequel C a pour équation x a + y = 1 avec 0 < b a. () b Définition 4 Soit C une conique de type elliptique. 1. s il existe un R.O.N. direct R = (Ω, i, j ) dans lequel l équation de C s écrit sous la forme (), alors on dit que C est une conique propre de type elliptique ; l équation () est l équation réduite de la conique ; Si a > b, alors C est une ellipse ; 3

4 . Dans le cas d une ellipse C d équation réduite () dans le R.O.N. direct (Ω, i, j ) : Ω est le centre de l ellipse ; (Ω x ) et (Ω y ) sont les axes principaux de l ellipse (plus spécifiquement, (Ω x ) est l axe focal de l ellipse) ; a (resp. a) est le demi-grand axe (resp. le grand axe) de l ellipse ; b (resp. b) est le demi-petit axe (resp. le petit axe) de l ellipse ; les points de coordonnées ( a, 0) et (a, 0) dans le repère R sont les sommets de l ellipse C. Remarque : 1. Les axes principaux d une ellipse sont les axes de symétrie. Quant au centre, il s agit du centre de symétrie de l ellipse ;. Les sommets d une ellipse sont les points d intersection de l ellipse avec l axe focal ; 3. Si C a pour équation réduite x et de rayon a. a + y a = 1 dans le repère (Ω, i, j ), alors il s agit du cercle de centre Ω Cas d une conique de type parabolique Propriété 3 Soit C une conique de type parabolique. Alors : soit C est vide ; soit C est une droite ou une réunion de droites parallèles ; soit il existe un R.O.N. direct (S, i, j ) dans lequel C a pour équation p x = y avec p > 0. (3) Définition 5 Soit C une conique de type parabolique. 1. s il existe un R.O.N. direct R = (S, i, j ) dans lequel l équation de C s écrit sous la forme (3), alors on dit que C est une parabole (ou de manière plus diserte : une conique propre de type parabolique) ; l équation (3) est l équation réduite de la parabole ;. si C est une parabole d équation réduite (3) dans le R.O.N. direct (S, i, j ) : S est le sommet de C ; (S x ) et (S y ) sont les axes principaux de la parabole (plus spécifiquement, (S x ) est l axe focal de la parabole) ; p est le paramètre de la parabole. Remarque : 1. L axe focal d une parabole est l axe de symétrie (l autre axe n étant pas un axe de symétrie) ;. Le sommet de la parabole est le point d intersection de la parabole avec l axe focal. Cas d une conique de type hyperbolique Propriété 4 Soit C une conique de type hyperbolique. Alors : soit C est la réunion de deux droites concourantes ; soit il existe un R.O.N. direct (Ω, i, j ) dans lequel C a pour équation x a y = 1. (4) b Définition 6 Soit C une conique de type hyperbolique. 1. s il existe un R.O.N. direct R = (Ω, i, j ) dans lequel l équation de C s écrit sous la forme (4), alors on dit que C est une hyperbole (ou de manière plus diserte : une conique propre de type hyperbolique) ; l équation (4) est l équation réduite de l hyperbole ; 4

5 . Si C est une hyperbole d équation réduite () dans le R.O.N. direct (Ω, i, j ) : Ω est le centre de l hyperbole ; (Ω x ) et (Ω y ) sont les axes principaux de l hyperbole (plus spécifiquement, (Ω x ) est l axe focal de l hyperbole) ; les points de coordonnées ( a, 0) et (a, 0) dans le repère R sont les sommets de l hyperbole C. Remarque : 1. Les axes principaux d une hyperbole sont les axes de symétrie. Quant au centre, il s agit du centre de symétrie de l hyperbole ;. Les sommets d une hyperbole sont les points d intersection de l hyperbole avec l axe focal ; 3. Si C a pour équation réduite x équilatère a y a = 1 dans le repère (Ω, i, j ), alors il s agit d une hyperbole III Définition monofocale Définition 7 La conique C de foyer F ; de directrice D et d excentricité e est l ensemble des points M du plan qui vérifient : MF = e. (5) d(m, D) la droite, notée, passant par F et perpendiculaire à D est l axe focal de la conique C. Dans la suite, on note d = d(f, D) > 0. Remarque : L équation (5) peut se réécrire MF = e d(m, D). (6) En effet, un point appartenant à C vérifie de manière évidente l équation (6). Réciproquement, un point M vérifiant (6) ne peut appartenir à D. Dans le cas contraire, d(m, D) = 0 et donc M = F d après (6). Ceci est à exclure puisque F D. Par conséquent M vérifie l équation(5). La conique C est donc l ensemble des points du plan vérifiant (6). Définition 8 Soit C la conique foyer F ; de directrice D et d excentricité e. 1. si 0 < e < 1, on dit que C est une ellipse ;. si e = 1, on dit que C est une parabole ; 3. si e > 1, on dit que C est une hyperbole. Définition 9 Soit C une conique foyer F ; de directrice D et d excentricité e. Le repère focal de la conique C est le R.O.N. direct (F, i, j ) où i est le vecteur (unitaire) directeur de l axe focal choisi de telle sorte que la directrice D ait pour équation cartésienne x = d. Dans le repère focal (F, i, j ) la conique C a pour équation cartésienne (1 e ) x + y d e x = e d (7) 5

6 Fig. 3 Repère focal de la conique C 1. Équation polaire Dans le repère polaire associé au repère focal (F, i, j ), la conique C a pour équation polaire r = e d 1 e cos θ. (8) On pose : p = e d. p est le paramètre de la conique C. On détermine maintenant l équation polaire de la conique C dans le repère polaire associé au R.O.N. direct (F, i, j ) (cf Fig. 4). Soit θ 0 = ( i, i ). Alors l équation polaire de la conique C est r = e d 1 e cos(θ θ 0 ). (9) Remarque : L angle θ 0 est l angle entre l axe des abscisses (du repère habituel R) et la direction de l axe focal de la conique C.. Cas d une ellipse Dans ce paragraphe, nous déterminons l équation réduite d une ellipse E de foyer F ; de directrice D et d excentricité e (qui vérifie donc 0 < e < 1). Puis nous exprimons les différents paramètres de l ellipse à partir du demi-grand axe a et du demi-petit axe b. 6

7 Fig. 4 Coordonnées polaires dans le repère polaire associé à (F, i, j) Équation réduite D après la discussion générale d une conique définie par foyer et directrice, l équation de l ellipse E dans le repère focal s écrit comme indiqué en (7). Réécrivons l équation (7). On trouve : ( 1 e ) ( x d ) e 1 e + y = e d 1 e. (10) ( ) d e Soit Ω le point de coordonnées 1 e, 0 dans le repère focal. L ellipse E a alors pour équation dans le repère R = (Ω, i, j ) Posons alors : ( 1 e ) x + y = e d 1 e. a = e d 1 e et b = e d. 1 e Puique l excentricité vérifie 0 < e < 1, on a bien a > b et l équation cartésienne dans R de l ellipse E s écrit : x a + y = 1. (11) b Posons c = d e 1 e. Le foyer F a alors pour coordonnées ( c, 0) dans le repère R. De plus, on a : a = b + c. Remarque : 7

8 1. Soient D et F les images respectives de D et F par s, symétrie centrale de centre Ω (ou ce qui revient au même ici par la symétrie axiale d axe (Ω y )). Soient M P et M son symétrique par la symétrie s. Puisque s est une isométrie, on a M F = MF et d(m, D ) = d(m, D). Par conséquent : MF d(m, D) = e M F d(m, D ) = e. Puisque E est invariant par la symétrie s, il s ensuit que E est l ellipse d excentricité e ; de foyer F et de directrice D.. Le foyer F est de coordonnées (c, 0) dans le repère (Ω, i, j ) ; la droite D a pour équation cartésienne x = c + d dans le repère (Ω, i, j ). 3. L égalité a = b + c peut se retenir comme la relation de Pythagore dans le triangle F Ω B rectangle en Ω (cf Fig. 6) Paramètres d une ellipse Nous résumons l expression des différents paramètres de l ellipse E en fonction de e et d ; en fonction de a et b paramètre expression à l aide de e et d expression à l aide de a et b e d c a b c p a b c e d p 1 e p 1 e e p 1 e a b Fig. 5 Différents paramètres de l ellipse E. b a 3. Cas d une parabole Dans ce paragraphe, nous déterminons l équation réduite d une parabole P de foyer F et de directrice D. Puis nous exprimons les différents paramètres de la parabole en fonction du paramètre p (qui est égal à d puisque e = 1). Équation réduite D après la discussion générale d une conique définie par foyer et directrice, l équation de la parabole P dans le repère focal s écrit comme indiqué en (7). Puisque l excentricité e est égale à 1, l équation se réécrit : ( d x + d ) = y. Soit S le point de coordonnées ( d, 0) dans le repère focal. La parabole P a alors pour équation dans le repère R = (S, i, j ) : p x = y. (1) Le foyer F a pour coordonnées ( p, 0) dans le repère R ; la directrice D est la droite d équation x = p dans le repère R. 8

9 Fig. 6 Tracé de l ellipse E dans le repère (Ω, i, j ). Paramètres d une parabole Dans le cas de la parabole P, il n y a qu un paramètre, à savoir p ou ce qui revient au même d. La figure Fig. 7 résume ce qu il faut savoir. 4. Cas d une hyperbole Dans ce paragraphe, nous déterminons l équation réduite d une hyperbole H de foyer F ; de directrice D et d excentricité e (qui vérifie donc e > 1). Puis nous exprimons les différents paramètres de l hyperbole à partir des paramètres a et b. Équation réduite D après la discussion générale d une conique définie par foyer et directrice, l équation de l hyperbole H dans le repère focal s écrit comme indiqué en (7). Réécrivons l équation (7). On trouve : Soit Ω le point de coordonnées repère R = (Ω, i, j ) Posons alors : ( e 1 ) ( x + d ) e e y = e d 1 e 1. (13) ( ) d e e 1, 0 dans le repère focal. L hyperbole H a alors pour équation dans le ( e 1 ) x y = e d e 1. a = e d e 1 et b = e d e 1. L équation cartésienne dans R de l hyperbole H s écrit : x a y = 1. (14) b 9

10 Fig. 7 Tracé de la parabole P dans le repère (S, i, j ). Posons c = d e e 1. Le foyer F a alors pour coordonnées (c, 0) dans le repère R. De plus, on a : a + b = c. Remarque : 1. La directrice D est la droite d équation x = c d dans le repère R ; soit encore d équation x = d e 1. La directrice D est donc «intercalée» entre le centre Ω et le foyer F (cf Fig. 8).. Soient D et F les images respectives de D et F par s, symétrie centrale de centre Ω (ou ce qui revient au même ici par la symétrie axiale d axe (Ω y )). Soient M P et M son symétrique par la symétrie s. Puisque s est une isométrie, on a M F = MF et d(m, D ) = d(m, D). Par conséquent : MF d(m, D) = e M F d(m, D ) = e. Puisque H est invariant par la symétrie s, il s ensuit que H est l hyperbole d excentricité e ; de foyer F et de directrice D. 3. Le foyer F est de coordonnées ( c, 0) dans le repère (Ω, i, j ) ; la droite D a pour équation cartésienne x = c + d dans le repère (Ω, i, j ). Paramètres d une hyperbole Nous résumons Fig. 9 l expression des différents paramètres de l hyperbole H en fonction de e et d ; en fonction de a et b. IV Définition bifocale Nous avons déjà observé qu une ellipse (resp. une hyperbole) d excentricité e possédait deux foyers F et F et deux directrices D et D ; et que l ellipse (resp. l hyperbole) pouvait indifféremment être décrite comme 10

11 Fig. 8 Tracé de l hyperbole H et de ses asymptotes dans le repère (Ω, i, j ). l ensemble des points M du plan vérifiant l ensemble des points M du plan vérifiant MF d(m, D) = e ; MF d(m, D ) = e. Nous allons voir qu une ellipse (resp. une hyperbole) peut être décrite à l aide de ses foyers F et F conduisant à la définition bifocale d une ellipse (resp. une hyperbole). 1. Cas d une ellipse Soit E une ellipse de foyers F et F ; de directrices D et D ; d excentricité e et dont l équation réduite dans le R.O.N. direct R = (Ω, i, j ) est x a + y b = 1. Rappelons que les paramètres de l ellipse s expriment à paramètre expression à l aide de e et d expression à l aide de a et b e d c a b c p a b c e d p e 1 p e 1 e p e 1 b a a + b Fig. 9 Différents paramètres de l hyperbole H. 11

12 l aide de a et b (cf. Fig. 5). On peut décrire l ellipse E à l aide de la règle du jardinier. Théorème 1 L ellipse E est égale à : E = {M P : MF + MF = a}. Démonstration. On procède par double-inclusion. Soit M E. On observe tout d abord que M est situé dans la région délimitée par les directrices. En effet, l abscisse x 0 de M vérifie 1 a x 0 a. Or l équation de D dans le repère R est x = c + d, ou plus explicitement encore : x = a e. Par conséquent : a e < x 0 < a e puisque 0 < e < 1. Puisque M appartient à E, MF + MF = e (d(m, D) + d(m, D ) Or d(m, D) + d(m, D ) = HH = a e (cf Fig. 10). Il en résulte que M vérifie MF + MF = a. Ceci établit l inclusion E {M P : MF + MF = a}. Soit M un point de coordonnées (x 0, y 0 ) dans le repère R vérifiant MF + MF = a. Ceci revient à dire que ses coordonnées (x 0, y 0 ) vérifient : (x 0 + c) + y 0 + (x 0 c) + y 0 = a. En élevant au carré cette équation, on trouve : x 0 + y0 + c 4 a = (x 0 c ) + y0 (x 0 + c ) + y0 4. En élevant de nouveau au carré, on trouve après simplifications : Par conséquent, les coordonnées de M vérifient (4 c 4 a ) x 0 4 a y 0 = 4 a (c a ). x 0 a + y 0 b = 1, ce qui montre que M E et l inclusion Remarque : E {M P : MF + MF = a}. 1. si E est une ellipse de foyers F et F ; de demi-grand axe a, alors F F < a. Ceci résulte de l inégalité triangulaire appliquée au triangle MF F avec M E. L inégalité est stricte puisque le cas d égalité signifierait que M [F, F ], ce qui n est pas ;. le fait que F F < a peut s obtenir plus simplement : ceci résulte du fait que c < a! 1 Ceci se voit grâce à l équation réduite de E. grâce aux diverses relations entre les paramètres. 1

13 Fig. 10 Définition bifocale de l ellipse E. 3. on voit donc que pour définir une ellipse comme l ensemble des points M du plan vérifiant MF + MF = a, il faut que F F < a. De plus : si F F = a, l ensemble obtenu est le segment [F, F ] ; si F F > a, l ensemble obtenu est l ensemble vide. 4. le triangle BF F étant isocèle en B, on a BF = a. On retrouve ainsi l égalité a = b + c.. Cas d une hyperbole Soit H une hyperbole de foyers F et F ; de directrices D et D ; d excentricité e et dont l équation réduite dans le R.O.N. direct R = (Ω, i, j ) est x a y b s expriment à l aide de a et b (cf. Fig. 9). On peut décrire l hyperbole H de la manière suivante. Théorème L hyperbole H est égale à : = 1. Rappelons que les paramètres de l hyperbole H = {M P : MF MF = a}. Démonstration. On procède par double-inclusion. Soit M H. On observe tout d abord que M est situé en dehors de la région délimitée par les directrices. En effet, l abscisse x 0 de M vérifie 3 x 0 a. Supposons x 0 a (le cas x 0 a s en déduit par symétrie de centre Ω). L équation de D (resp. de D ) dans le repère R est x = c d (resp. x = d c), ou plus explicitement 4 encore : x = a e (resp x = a e.) Par conséquent : x 0 < a e puisque e > 1. 3 Ceci se voit grâce à l équation réduite de E. 4 Grâce aux diverses relations entre les paramètres. 13

14 Supposons 5 toujours M d abscisse x 0 avec x 0 a. On a alors (cf Fig. 11) : d(m, D) d(m, D ) = H H = a e > 0. Puisque M H, Il en résulte que M vérifie MF MF = e (d(m, D) d(m, D )) = a. MF MF = a. Ceci établit l inclusion H {M P : MF MF = a}. Soit M un point de coordonnées (x 0, y 0 ) dans le repère R vérifiant MF MF = a. On peut établir comme dans le cas d une ellipse que les coordonnées de M vérifient x 0 a y 0 b = 1, ce qui montre que M H et l inclusion H {M P : MF MF = a}. Fig. 11 Définition bifocale de l hyperbole H. Remarque : 1. si H est une hyperbole de foyers F et F ; de paramètre a, alors F F > a. Ceci résulte de l inégalité triangulaire appliquée 6 au triangle MF F avec M H. L inégalité est stricte puisque le cas d égalité signifierait que M (F F )\]F, F [, ce qui n est pas ;. le fait que F F > a peut s obtenir plus simplement : ceci résulte du fait que c > a! 5 Le cas où x 0 a s en déduit par symétrie de centre Ω ou par un raisonnement analogue. 6 On a à la fois MF MF + F F et MF MF + F F. 14

15 3. on voit donc que pour définir une hyperbole comme l ensemble des points M du plan vérifiant MF MF = a, il faut que F F > a. De plus : si F F = a, l ensemble obtenu est l ensemble (F F )\]F, F [ ; si F F < a, l ensemble obtenu est l ensemble vide. 15

16 type elliptique parabolique hyperbolique caractérisation discriminantale > 0 = 0 < 0 équation réduite (dans 1 R.O.N. adapté) x a + y b = 1 (a > b) p x = y x a y b = 1 paramétrisation (cartésienne) { x(θ) = a cos θ y(θ) = b sin θ évident { x(θ) = a ch θ y(θ) = b sh θ branches infinies branche parabolique de asymptotes d équation direction asymptotique (O x) x a y b = 0 et x a + y b = 0 tracé 16 Définition monofocale MF d(m, D) = e < 1. MF d(m, D) = 1 MF d(m, D) = e > 1 paramètres p = e d ; a = p 1 e ; b = p 1 e ; p = d p = e d ; a = p e 1 ; b = c = e p 1 e c = e p e 1 p e 1 ; Définition bifocale MF + MF = a MF MF = a équation polaire r = p 1 e cos θ r = p 1 cos θ r = p 1 e cos θ Fig. 1 Panorama sur les coniques