Géométrie harmonique des fibrés tangents

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Faculté des Sciences Exactes et Appliquées Département de Mathématiques Thèse de doctorat Spécialité : Mathématiques Option :Géométrie Différentielle Intitulé de la thèse : Géométrie harmonique des fibrés tangents présentée par : EL HENDI Hichem devant le jury composé de : Président : MESSIRDI Bekkai Pr. U. Oran 1. Directeur de Thèse : TERBECHE Mekki Pr. U. Oran 1. Co-Directeur de Thèse : DJAA Mustapha Pr. C. U. Relizane. Examinateur : BEKKAR Mohammed Pr. U. Oran 1. Examinateur : OUAKKAS Seddik MCA. U. Saïda. Examinateur : ZOUBIR Hanifi MCA. ENP. Oran Soutenue le 17-02-2015

Remerciements * Je tiens à remercier mon directeur de thèse le professeur Terbeche Mekki pour son soutien inconditionnel, sa patience et ses réflexions pertinentes. * Je remercie le professeur Djaa Mustapha pour les bons choix de sujets concernant ce travail, et je le remercie pour sa patience. * Je suis trés reconnaissant envers le professeur Messirdi Bekkai pour l intérêt qu il a porté à ce travail, le remerciant aussi pour l honneur qu il m a fait de présider le jury de cette thèse. * Je remercie le professeur Bekkar Mohammed qui m a honoré en acceptant d être examinateur dans ce jury. * Je tiens aussi à exprimer mes remerciements aux docteurs Ouakkas Seddik et Zoubir Hanifi pour d avoir accepté et apprécier mon travail et de m honorer de leurs présence au sein du jury. * Mes vifs remerciements sont également exprimés à l égard des responsables, personnel et enseignants de la faculté des sciences de l université de Oran. * Je remercie toutes les personnes qui m ont accompagné durant ce voyage appelé la vie, je pense très particulièrement à mes chers parents.

Table des matières Introduction 4 1 Géométrie des applications harmoniques et bi-harmoniques 7 1.1 Rappels de géométrie riemannienne........................ 7 1.1.1 Définitions.................................. 7 1.1.2 L opérateur gradient............................ 8 1.1.3 L opérateur divergence........................... 9 1.1.4 L opérateur laplacien........................... 12 1.1.5 Fibré tangent inverse........................... 13 1.1.6 Deuxième forme fondamentale....................... 16 1.2 Applications harmoniques............................. 19 1.2.1 Première variation d énergie........................ 19 1.2.2 Exemples d applications harmoniques................... 21 1.3 Applications bi-harmoniques........................... 24 1.3.1 Première variation de la bi-énergie.................... 24 1.3.2 Exemples d applications bi-harmoniques................. 27 2 Géométrie du fibré tangent et bi-harmonicité 28 2.1 Le fibré tangent................................... 28 2.1.1 Structure différentielle sur le fibré tangent................ 28 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent........... 29 2.2.1 Relèvement vertical............................. 29 2.2.2 Relèvement complet............................ 34 2.2.3 Relèvement horizontal........................... 37 2.3 Métrique naturelle................................. 42 2.3.1 Métrique naturelle............................. 42 2.3.2 Métrique de Sasaki............................. 43 2.4 Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S )............... 45 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ).............. 50 3 Géométrie du fibré tangent d ordre 2 et bi-harmonicité 58 3.1 Le fibré tangent d ordre 2............................. 58 3.1.1 L espace des 2 jet T 2 M.......................... 58

TABLE DES MATIÈRES 3 3.1.2 Structure différentielle de T 2 M...................... 60 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2.......... 61 3.2.1 Relèvement complet............................ 61 3.2.2 Relèvement horizontal........................... 68 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne............. 69 3.3.1 Métrique diagonale............................. 73 3.3.2 Tenseur de courbure............................ 77 3.4 Harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D )............... 83 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D )............. 85 Bibliographie 92 Notations 95

Introduction Soit U un ouvert de R n. Une application f : U R est dite harmonique sur U si ce qui s écrit aussi : 2 f x 2 1 + 2 f x 2 2 +... + 2 f x 2 n f = 0. Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l ouvert. En 1964 J.Eells,J.H.Sampson, L.Lemaire ont étudier les applications harmoniques dans un cas général sur une variété riemannienne. Nous allons commencer par de brefs rappels sur les applications harmoniques. Soient (M, g) et (N, h) deux variétés riemanniennes de dimension n et m respectivement, D un domaine compact de M et ϕ : (M, g) (N, h) une application de classe C. On définit l énergie de ϕ sur D par : E(ϕ, D) = 1 dϕ 2 v g, 2 où dϕ est la norme de Hilbert Schmidt de la différentielle dϕ. Une application ϕ de (M, g) dans (N, h) est dite harmonique si et seulement si, elle est point critique de l énergie. C est à dire est une solution de l équation d Euler -Lagrange Localement, Si M = R n, N = R alors on a D τ(ϕ) = trace g dϕ = 0. τ(ϕ) = g ij ( 2 ϕ γ x i x + ϕα ϕ β j x i x j = 0, N Γ γ ϕγ αβ ϕ x k M Γ k ij) y ϕ, γ τ(ϕ) = ϕ = n 2 ϕ. x 2 i

Introduction 5 De même, les applications bi-harmoniques sont définies comme point critique de la fonctionnelle bi-énergie E 2 (ϕ) = 1 τ(ϕ) 2 v g, 2 solution de l équation d Euler -Lagrange. D Localement, τ 2 (ϕ) = trace g 2 τ(ϕ) + trace g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ. où ( τ 2 (ϕ) = g ij 2 τ σ α x i x + 2τ τ β j x j x j + τ α τ β τ ρ x i x j N Γ v N αβ Γ σ vρ Si M = R n, N = R alors on a N 2 ϕ β Γ σ αβ +τ α x i x j M Γ k ij ( τ σ x + τ α β k x k τ α = ϕ α + g ij L objectif de ce travail est d étudier : τ 2 (ϕ) = ( ϕ). N Γ σ αβ N Γ σ αβ +τ α ϕβ x i x j N Γ σ αβ) τ v ϕα ϕ β x i x j N Γ α ϕ β ϕ δ βδ x i x. j N ) Rβαv σ y ϕ, σ la bi-harmonicité d un champ de vecteurs X : (M, g) (T M, g S ) où (T M, g S ) le fibré tangent muni de la métrique de Sasaki, sachant que la harmonicité a été traité par Jerzy J,Konderak J.J [17]. la bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) où (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 muni de la métrique diagonale sachant que la harmonicité à été traité par Djaa N.E.H, Ouakkas S, Djaa M [6]. Le plan de ce travail est divisé en trois chapitres. Le premier chapitre consiste à rappeler des résultats essentiels des applications harmoniques et bi-harmoniques sur une variété riemannienne. En commence par la définition du champ de tension d une application entre deux variétés riemanniennes, qui caractérise les applications harmonique et l équation d Euler-Lagrange associée, puis la définition du champ de bi-tension qui caractérise les applications bi-harmoniques. Le chapitre est illustré par des exemples d application bi-harmonique entre deux variétés riemanniennes. Le deuxième chapitre est consacré à l étude du relèvement vertical, complet et horizontal des fonctions, champ de vecteurs, forme différentielle et champ de tenseurs de type quelconque d une variété au fibré tangent. Cette étude est parue dans l article de Sasaki, et développée par Dmbrowski, Yano, Ishihara et d autres. On définit ensuite la métrique naturelle et la métrique de Sasaki tout en donnant les formules relative aux connections induites et les courbures. Le chapitre s achève par l étude de l harmonicité et la bi-harmonicité d une section, en

Introduction 6 établissant le théorème suivant Théorème ([5])Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki. Si X : (M, g) (T M, g S ) est un champ de vecteurs alors le champ bi-tension de X est donné par τ 2 (X) (x,u) = tr g { 2 (τ v (X)) + 2R(τ h (X), ) X R(, τ h (X))u pour tout (x, u) T M. + 1 2 R(R(u, ), τ h (X))u } V (x,u) + tr g {R(u, τ v (X)) +R(τ v (X), X) + 1 2 R(u, τ v (X))R(u, X) + τ h (X) + R(u, X) τ h (X) + 1 2 R(u, X)τ h (X) + R(u, R(τ h (X), )u) +R(τ h (X), ) +( τ h (X)R)(u, X) Le troisième chapitre traite la structure différentielle du fibré tangent d ordre 2, relèvement complet des fonctions, champ de vecteurs, forme différentielle et relèvement horizontal d un champ de vecteurs.on définit la métrique diagonale et en donne les formules relative aux connections induites et les courbures. Le chapitre s achève par l étude de l harmonicité et la bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ), en établissant le théorème suivant Théorème ([11])Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ Γ(T 2 M) est une section lisse, alors le champ de bi-tension de σ est donné par τ 2 (σ) p = trace g { 2 τ 1 (X σ ) + 2R(τ 0 (X σ, ) X σ R(, τ 0 (X σ ))u + 1 } 1 2 R(R(u, X σ ), τ 0 (X σ ))u + trace g { 2 τ 2 (Y σ ) + 2R(τ 0 (Y σ ), ) Y σ R(, τ 0 (Y σ ))w + 1 2 R(R(w, Y σ ), τ 0 (Y σ ))w + trace g {R(u, τ 1 (X σ )) +R(w, τ 2 (Y σ )) +R(τ 1 (X σ ), X σ ) R(τ 2 (Y σ ), Y σ ) + 1 2 R(u, τ 1 (X σ ))R(u, X σ ) + 1 2 R(w, τ 2 (Y σ ))R(w, Y σ ) + τ 0 (σ) + R(u, X σ ) τ 0 (X σ )R(w, Y σ ) τ 0 (Y σ ) + R(τ 0 (σ), ) + 1 2 R(u, X σ )τ 0 (X σ ) + 1 2 R(w, Y σ )τ 0 (Y σ ) + R(u, R(τ 0 (X σ ), )u) +R(w, R(τ 0 (Y σ ), )w) +( τ 0 (X σ)r)(u, X σ ) + ( τ 0 (Y σ)r)(w, Y σ ) pour tout p T 2 M. } 0 p, } H (x,u), } 2

Chapitre1 Géométrie des applications harmoniques et bi-harmoniques 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 1.1.1 Définitions Une variété riemannienne de classe C de dimension m est un couple (M, g) où M est une variété différentiable de classe C de dimension m et g : Γ(T M) Γ(T M) C (M) est une application C (M) bilinéaire, symétrique, non dégénéré et définie positive. Localement, si M est munie d un système de coordonnées locales x i alors g = g ij dx i dx j i,j=1 où g ij sont des fonctions de classe C sur M. Si (M, g) une variété riemannienne de dimension m, alors la métrique g induit Un isomorphisme : Γ(T M) Γ(T M) ω (ω) pour tout X Γ(T M) on a g( (ω), X) = ω(x) Une métrique riemannienne g sur le fibré cotangent T M, définie par g (ω, η) = g ( (ω), (η)) = g (ω i dx i, η j dx j ) = ω i η j g ij où g ij représente la matrice inverse de g ij Une unique connexion M sans torsion et à la métrique parallèle dite de Levi Civita, vérifiant M X Y M Y X = [X, Y ] X(g(Y, Z)) = g( M X Y, Z) + g(y, M X Z) X, Y, Z Γ(T M).

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 8 Un tenseur de courbure R M dite courbure de riemann, définie par R M (X, Y )Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z. la courbure sectionnelle d un plan engendré par une famille orthonormée {X, Y } 1.1.2 L opérateur gradient K(X, Y ) = g(r M (X, Y )Y, X) Définition 1.1.1. Soit (M, g) une variété riemannienne, on définit l opérateur gradient par grad : C (M) Γ(T M) f grad f = df où df est la différentielle de la fonction f, tel que pour tout X Γ(T M) on a g(grad f, X) = df(x) = X(f). Proposition 1.1.1. ( Expression du gradient en coordonneés locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne de dimension m, (U, ϕ) une carte sur M avec les champs de base associées,...,, alors pour tout f C (M) on a x 1 x m (grad f) U = i,j=1 ij f g x i x. (1.1) j Preuve. On applique directement la définition de l application et la définition de la différentielle de la fonction f C (M) relativement à la carte (U, ϕ) sur M, on a df = f x i dxi df = = g ij (df) i x j ij f g x i x, j i,j=1 i,j=1 où dx 1,..., dx m est la base duale. Propriétés 1.1.1. Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout f, h C (M) on a 1. grad(f + h) = grad f + grad h 2. grad(fh) = h grad f + f grad h 3. (grad f)(h) = (grad h)(f)

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 9 Preuve. Soit f, h C (M), pour tout X Γ(T M) on a : 1). g(grad(f + h), X) = X(f + h) = X(f) + X(h) = g(gradf, X) + g(gradh, X) = g(gradf + gradh, X), 2). g(grad(f h), X) = X(f h) = hx(f) + fx(h) = hg(gradf, X) + fg(gradh, X) = g(h grad f + f grad h, X), 3). (grad f)(h) = g(grad h, grad f) = g(grad f, grad h) = (grad h)(f). 1.1.3 L opérateur divergence Soit X Γ(T M) un champ de vecteurs sur une variété riemannienne (M, g), on a X : Γ(T M) Γ(T M) (1.2) Z Z X est une application C (M) linéaire ( X est un tenseur de type (1,1)). si x M, alors est une application linéaire d espace vectoriel. ( X) x : T x M T x M (1.3) v ( v X) x Définition 1.1.2. Soit (M, g) une variété riemannienne. La divergence d un champ de vecteurs X Γ(T M), notée divx est une fonction sur M définie par divx = tr g ( X) (divx)(x) = tr g (( X) x ) x M.

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 10 En coordoonée locale on a div X = dx i ( x i X) = g ij g( x i X, x j ). Si (e i ) est une base orthonormée locale sur M on a div X = g( ei X, e i ). La divergence d une 1-forme ω sur M est définie par div ω = tr g (Z Z ω) = ( ei ω)(e i ) = i,j=1 g ij ( x i ω)( x j ). Dans la définition de div X nous pouvons également définir la divergence de (1, r)-tenseur T pour être (0, r)-tenseur (div T )(X 1,..., X r ) = tr g (Z ( Z T )(X 1,..., X r )). Proposition 1.1.2. ( premiére expression de la divergence en coordonneés locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne de dimension m, pour tout X = X i Γ(T M) on a x i div X = ( Xi + X j Γ i x ij). i alors, i,j=1 Preuve. Sur une carte locale sur M nous avons, X = X i et x i = Γ k x i x j ij, x k div X = = = = dx i ( x i X) dx i ( i,j=1 i,j=1 dx i ( Xj x i x i Xj X ) j ( Xi + X j Γ i x ij). i i,j=1 x + j Xj Γ k ij x ) k

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 11 Propriétés 1.1.2. Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tous X, Y Γ(T M) et f C (M) on a 1. div(x + Y ) = div X + div Y 2. div(f X) = f div X + X(f) Preuve. On applique directement la définition de la divergence, soit (e i ) une base orthonormée locale sur M, on a 1) 2) div(x + Y ) = g( ei (X + Y ), e i ) = g( ei X, e i ) + g( ei Y, e i ) = div X + div Y, div(fx) = g( ei fx, e i ) = g(e i (f)x + f ei X, e i ) = e i (f)g(x, e i ) + fg( ei X, e i ) = X(f) + f div X. Lemme 1.1.1. Sur une variété riemannienne (M, g) on a x ( det(g k ij )) = det(g ij ) Proposition 1.1.3. ( deuxiéme expression de la divergence en coordonnées locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout X Γ(T M) on a 1 div X = det(gij ) x ( det(g k ij )X k ). Preuve. D aprés la proposition de premiére expression de la divergence en coordonneés locales nous avons, X i div X = + X j Γ i x i ij = X i x i + j=1 j=1 X j l=1 Γ l lk. m Γ i ij, en utilisant le Lemme 1.1.1, avec G = (g ij ), alors un calcul direct donne, 1 div X = ( X i n det G + X j n det G det G x i = = 1 det G ( det G X i x i + j=1 j=1 1 m ( det G X i ), det G x i X j Γ i ij ( det G)) x j

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 12 en utilisant la convention d Einstein on a div(x) = 1 det G x i ( det GX i ). 1.1.4 L opérateur laplacien Définition 1.1.3. Soit (M, g) une variété riemannienne, on définit l opérateur laplacien noté, sur M par : C (M) C (M) f (f) = div(grad f) Propriétés 1.1.3. Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout f, h C (M) on a 1. (f + h) = (f) + (h) 2. (fh) = h (f) + f (h) + 2g(grad f, grad h) Preuve. Soit f, h C (M), en utilisant les propriétés des opérateurs grad et div et le fait que X(f) = g(grad(f), X), on obtient 1. 2. (f h) = div(grad(f h)) (f + h) = div(grad(f + h)) = div(grad f + grad h) = div(grad f) + div(grad h) = (f) + (h), = div(f grad h + h grad f) = div(f grad h) + div(h grad f) = f div(grad h) + (grad h)(f) + h div(grad f) + (grad f)(h) = f (h) + h (f) + 2g(grad f, grad h). Proposition 1.1.4. ( Première expression du Laplacien en coordonnées locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout f C (M) on a (f) = g ij 2 f ( Γ k f ij ). (1.4) x i x j x k

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 13 Preuve. Soit f C (M), alors (f) = div(grad f) = g ij g( x i grad f, x j ) ( = g ij x g(grad f, ) g(grad f, i xj x i ( = g ij x ( f i x ) j Γk ijg(grad f, = g ij 2 f ( x i x f j Γk ij x ). k ) x ) k ) x ) j Exemple 1.1.1. Soit R m muni du produit scalaire standard g 0, (g ij = δ ij ), alors pour toute fonction différentiable f sur R m et X = (X 1,..., X m ) un champ de vecteurs sur R m on a 1. 2. 3. 1.1.5 Fibré tangent inverse grad f = div X = f x i x i = ( f x 1,..., f x m ). = X1 x 1 (f) = X i x i Xm +... + x. m 2 f. x 2 i Définition 1.1.4. Soit ϕ : (M, g) (N, h) une application de classe C entre deux variétés riemanniennes, le fibré tangent inverse est définie par ϕ 1 T N = {(x, v) x M, v T ϕ(x) N}, une section sur ϕ 1 T N est une application de classe C,V : M T N tel que V (x) T ϕ(x) N, x M. Notons par Γ(ϕ 1 T N) l ensemble des sections sur ϕ 1 T N.

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 14 Connexion induite sur le fibré tangent inverse Définition 1.1.5. Soient M et N deux variétés différentiables, ϕ : M N une application de classe C et N une connexion linéaire sur N. On définit la connexion de Pull-back sur le fibré tangent inverse ϕ 1 T N par ϕ : Γ(T M) Γ(ϕ 1 T N) Γ(ϕ 1 T N) ϕ X V = N XṼ, (1.5) pour tout X Γ(T M), V Γ(ϕ 1 T N), x M avec voisinage de x. Ṽ Γ(T N) tel que Ṽ ϕ = V au Remarque 1.1.1. La relation 1.5 est indépendante du choix de Ṽ. En effet, soient (,..., x 1 une base locale de Γ(T M), (,..., ) une base locale de Γ(T N) et (σ y 1 y n 1,..., σ k ) base locale de Γ(T N), pour X = X i i Γ(T M), V = V β (σ β ϕ) ϕ 1 T N, Ṽ = Ṽ β σ β Γ(T N) et x M on a ( ϕ X V ) x = ( N d xϕ(x x) Ṽ ) ϕ(x) = Xx i ϕ α x x( N Ṽ β i σ β ) ϕ(x) y α = Xx i ϕ α x x{ Ṽ β i y σ α β + Ṽ β Γ γ αβ σ γ} ϕ(x), x m ) où, Γ γ αβ sont des fonctions différentiables sur N, définie par Remarquons que Ṽ β ϕ(x) = V x β d où y α σ β = Γ γ αβ σ γ et V β x i x = x i (Ṽ β ϕ) x = ϕα x i x Ṽ β y α ϕ(x), pour tout β = 1,..., k, ( ϕ X V ) = Xi ( V γ x i + ϕα x i V β (Γ γ αβ ϕ) ) (σ γ ϕ), Exemple 1.1.2. Soient M, N deux variétés différentiables et ϕ : M N une application de classe C. Si N est une connexion linéaire sur le fibré tangent (T N, π N, N), alors et Localement pour tout X = X i x i ϕ 1 T N = { (x, v) x M, v T ϕ(x) N } = {x} T ϕ(x) N, x M Γ(ϕ 1 T N) = { V : M T N x M, V x T ϕ(x) N } Γ(T M) et ϕ β = y β ϕ, on a dϕ(x) = X i ϕβ x i y β ϕ Γ(ϕ 1 T N)

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 15 et En effet ϕ dϕ( x i x ) = { 2 ϕ γ j x i x + ϕα ϕ β j x i x j N Γ γ αβ ϕ} y ϕ γ ϕ dϕ( x i x ) = ϕ β j ϕ x i x j y ϕ β = 2 ϕ β x i x j y ϕ + ϕβ β x j ϕ x i y β ϕ = 2 ϕ β x i x j y ϕ + ϕβ ϕ α β x j x i ( N = 2 ϕ β x i x j y ϕ + ϕβ ϕ α β x j x i y α y β ) ϕ N Γ γ αβ ϕ y ϕ. γ Remarque 1.1.2. Soient M, N deux variétés différentiables, X, Y Γ(T M), V, W Γ(T N) et ϕ : M N une application différentiable ; Si X et V ( resp. Y et W ) sont ϕ-conjugué (i.e. dϕ(x) = V ϕ et dϕ(y ) = W ϕ), alors ϕ X dϕ(y ) = ( N V W ) ϕ. Proposition 1.1.5. Soit ϕ : M N une application différentiable. Si N une connexion linéaire compatible avec une métrique h sur N, alors la connexion linéaire ϕ est compatible avec la métrique h ϕ sur ϕ 1 T N. C est à dire, pour tous X Γ(T M) et V, W Γ(ϕ 1 T N) on a X(h ϕ (V, W )) = h ϕ ( ϕ X V, W ) + h ϕ(v, ϕ X W ). alors, Preuve. Soient X Γ(T M), V, W Γ(ϕ 1 T N) et X, Ṽ, W Γ(T N), tels que dϕ(x) = X ϕ, Ṽ ϕ = V et W ϕ = W X(h ϕ (V, W )) = X(h(Ṽ, W ) ϕ) = X(h(Ṽ, W )) ϕ = h( Ñ XṼ, W ) ϕ + h(ṽ, Ñ X W ) ϕ = h ϕ ( ϕ X V, W ) + h ϕ(v, ϕ X W ). Proposition 1.1.6. Soit N une connexion sans torsion sur N, alors pour tout X, Y Γ(T M). ϕ X dϕ(y ) = ϕ Y dϕ(x) + dϕ([x, Y ]),

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 16 Preuve. Soit V, W Γ(T N) deux champs de vecteurs ϕ-conjugué avec X et Y respectivement. On a d où [V, W ] ϕ = dϕ [X, Y ] N V W = N W V + [V, W ] ϕ X dϕ(y ) = ( N V W ) ϕ = ( N W V + [V, W ]) ϕ = ϕ Y dϕ(x) + dϕ([x, Y ]) 1.1.6 Deuxième forme fondamentale Définition 1.1.6. Soient (M, g), (N, h) deux variétés riemannienne et ϕ : (M, g) (N, h) une application différentiable de classe C. La seconde forme fondamentale de l application ϕ est la dériveé covariante de la 1-forme vectoriel dϕ, définie par pour tous X, Y Γ(T M). dϕ(x, Y ) = ϕ X dϕ(y ) dϕ( M X Y ), Propriété 1.1.1. Soit ϕ : (M, g) (N, h) une application différentiable, la seconde forme fondamentale de l application ϕ est symétrique. C est à dire dϕ(x, Y ) = dϕ(y, X), X, Y Γ(T M). Proposition 1.1.7. Soient ϕ : M N et ψ : N P deux applications différentiables entre des variétés riemanniennes, alors Preuve. Soit X, Y Γ(T M), d(ψ ϕ) = dψ( dϕ) + dψ(dϕ, dϕ). d(ψ ϕ)(x, Y ) = ψ ϕ X d(ψ ϕ)(y ) d(ψ ϕ)( M X Y ) = ψ ϕ X dψ(dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = P dψ(dϕ(x))dψ(dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = ψ dϕ(x) dψ(dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = dψ(dϕ(x), dϕ(y )) + dψ( N dϕ(x)dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = dψ(dϕ(x), dϕ(y )) + dψ( dϕ(x, Y )). Définition 1.1.7. Soient (M, g) et (N, h) des variétés riemanniennes. Une application ϕ : (M, g) (N, h) est dite totalement géodésique si dϕ = 0.

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 17 Définition 1.1.8. Soit ϕ : (M, g) (N, h) une application de classe C. La trace de la seconde forme fondamentale de l application ϕ est appelé champ de tension de l application ϕ, noté par τ(ϕ) = tr g dϕ. Relativement à une base orthonormée (e i ) sur M on a τ(ϕ) = ϕ e i dϕ(e i ) dϕ( M e i e i ). Si ( x i ) (resp ( y α )) est une base locale de champs de vecteurs sur M (resp sur N), on a τ(ϕ) = g ( ij ϕ dϕ( x i x ) ) j dϕ( M x i x ) j = g ij ( 2 ϕ γ x i x + ϕα ϕ β j x i x j N Γ γ ϕγ αβ ϕ x k M Γ k ij) y ϕ. (1.6) γ Proposition 1.1.8. Soient ϕ : M N et ψ : N P deux applications différentiables entre des variétés riemanniennes, alors τ(ψ ϕ) = dψ(τ(ϕ)) + tr g dψ(dϕ, dϕ). Cas des sous-variétés Soient (N, h) une variété riemannienne et M une sous-variété de N. Alors le champ de tenseur g : Γ(T M) Γ(T M) C (M) défini pour tous X, Y Γ(T M) et p M par g(x, Y ) p = h p (X p, Y p ), est une métrique riemannienne sur M, appelé la métrique induite sur M par h. Pour tout p M on a T p N = T p M T p M, où, T p M = { v T p N h p (v, w) = 0, w T p M} v T p N! v T p M! v T p M v = v + v. Remarque 1.1.3. Soient X Γ(T M) et X Γ(T N) un prolongement de X (i.e. X M = X). Si N (resp M ) désigne la connexion de Levi-Civita associée à la métrique h sur N (resp sur M), alors M X Y = ( Ñ XỸ ), X, Y Γ(T M), est la connexion de Levi-Civita associée á la métrique g sur M, qui indépendent de choix de prolongement. La deuxième forme fondamentale de M sur N est donnée par et la courbure moyenne est donnée par B(X, Y ) = ( Ñ XỸ ), X, Y Γ(T M), H = trace B.

1.1 Rappels de géométrie riemannienne 18 Définition 1.1.9. Une sous variété M d une variété N est dite minimale si sa courbure moyenne est nulle (H = 0). Remarques 1.1.1.. 1) Soit i : M N l injection canonique, alors la deuxième forme fondamentale de i coincide avec la deuxième forme fondamentale de M sur N, c est à dire 2) Soit N Γ(T M ), on a di(x, Y ) = B(X, Y ) = ( Ñ XỸ ) X, Y Γ(T M). g( di(x, Y ), N ) = g(ỹ, Ñ N ) X, Y Γ(T M). (1.7) X 3) Dans le cas où M est une hyper-surface de N et N Γ(T M ), on a di(x, Y ) = g( di(x, Y ), N ) N. En effet, pour prouver (2), soit p M on a g( di(x, Y ), N ) = g(( Ñ XỸ ), N ) = g( Ñ XỸ, N ) g(( Ñ XỸ ), N ) = g( Ñ XỸ, N ) = X(g(Ỹ, N )) g(ỹ, Ñ X N ). Si (ϕ t (p)) t est une courbe sur M, définie au voisinage de 0 R, telle que X p = t ϕ t(p) t=0, on a X p (g(ỹ, N )) = d dt g(ỹ, N ) ϕ t(p) t=0 = d dt g ϕ t(p)(ỹϕ t(p), N ϕt(p)) t=0 (3) découle immédiatement de (1) et (2). = d dt h ϕ t(p)(y ϕt(p), N ϕt(p)) t=0 = 0. Exemple 1.1.3. Si M = S n R n+1 désigne la sphère unité et N = n+1 xi x i vecteur normal à la sphère, alors le champ de di(x, Y ) p = g(x, Y ) p N p X, Y Γ(T M), p M. (1.8) g( di(x, Y ), N ) p = g(x, Y ) p X, Y Γ(T M), p M, en effet, ceci découle de la formule 1.7 et de la relation Rn+1 X N = X, X Γ(T R n+1 ).

1.2 Applications harmoniques 19 1.2 Applications harmoniques 1.2.1 Première variation d énergie Définition 1.2.1. Soit ϕ : (M m, g) (N n, h) une application de classe C entre deux variétés riemanniennes de dimensions m et n respectivement. On appelle la densité de ϕ l application e(ϕ) : M R +, définie pour tout x M par e(ϕ)(x) = 1 2 d xϕ 2, où d x ϕ est la norme de Hilbert Schmidt de la differentielle d x ϕ de ϕ au point x. Si {e i } 1 i m est une base orthonormée de T x M, on a d x ϕ 2 = tr g ϕ h = h(d x ϕ(e i ), d x ϕ(e i )). Si {x i } 1 i m et {y α } 1 α n sont les coordonneés locale autour de x M et ϕ(x) N respectivement, alors d x ϕ 2 = gx ij ϕ α x ϕ β i x x xh j αβ (ϕ(x)). L énergie de l application ϕ sur un domain compact D dans M est définie par E(ϕ, D) = e(ϕ)v g = 1 dϕ 2 v g. 2 Une variation de l application ϕ est une application de classe C, D φ : M ( ɛ, ɛ) N, ɛ > 0 (x, t) ϕ t (x) telle que (ϕ t ) est une famille des applications de classe C sur M, et ϕ 0 = ϕ. Soit v Γ(ϕ 1 T N) définie par D v(x) = t ϕ t(x) t=0 = dφ(0, d dt ) (x,0) T ϕ(x) N Définition 1.2.2. Application harmonique. Une application ϕ : (M, g) (N, h) de classe C est dite harmonique si d dt E(ϕ t, D) t=0 = 0, pour tout domaine compact D dans M et toute variation (ϕ t ) á support inclue dans D.

1.2 Applications harmoniques 20 Proposition 1.2.1. (Première variation d énergie). Soient ϕ : (M, g) (N, h) une application différentiable et (ϕ t ) une variation de ϕ á support inclue dans D. Alors d dt E(ϕ t, D) t=0 = h(v, τ(ϕ))v g. où v(x) = t ϕ t(x) t=0 et τ(ϕ) = tr g dϕ est le champ de tension de l application ϕ. Preuve. Soit {e i } une base orthonormée sur M et { d } base sur ( ɛ, ɛ), alors {(e dt i, 0), (0, d )} dt est une base locale orthonormée pour la métrique diagonale sur la variété produit M ( ɛ, ɛ), et on a le crochet de Lie [(e i, 0), (0, d )] = 0, pour tout i = 1,..., m, on a dφ(e dt i, 0) = dϕ(e i ) et dφ(0, d ) = v. En effet, remarquons que dt dφ(e i, 0) : M ( ɛ, ɛ) T N, D et dφ(e i, 0) (x,0) = d x φ 0 (e i x ) + d 0 φ x (0) ( formule de Leibniz ) = d x φ 0 (e i x ) = d x ϕ(e i x ) dφ(0, d dt ) (x,0) = d x φ 0 (0 x ) + d 0 φ x ( d dt t=0) = dφ x ( d dt ) t=0 = v(x), avec φ 0 (x) = φ(x, 0) et φ x (t) = φ(x, t). Donc, d dt E(ϕ t, D) t=0 = 1 d h(dϕ t (e i ), dϕ t (e i ))v g t=0 2 dt D = 1 d h(dφ(e i, 0), dφ(e i, 0))v g t=0 2 dt D = 1 2 D t h(dφ(e i, 0), dφ(e i, 0)) t=0 v g = h( φ (0, d )dφ(e i, 0), dφ(e i, 0)) t=0 v g D dt = h( φ (e i,0) dφ(0, d D dt ), dφ(e i, 0)) t=0 v g = h( N dϕ(e i )v, dϕ(e i ))v g D = h( ϕ e i v, dϕ(e i ))v g Soit ω( ) = h(v, dϕ( )), 1-forme sur M, alors D div ω = ( ei ω)(e i ) = e i (ω(e i )) ω( ei e i ) = e i (h(v, dϕ(e i )) h(v, dϕ( ei e i )) = h( ϕ e i v, dϕ(e i )) + h(v, τ(ϕ)),

1.2 Applications harmoniques 21 et comme div ω v D g = 0, on obtient d dt E(ϕ t, D) t=0 = h(v, τ(ϕ))v g D Théorème 1.2.1. Une application différentiable, ϕ : (M, g) (N, h) est harmonique si et seulement si τ(ϕ) = 0. 1.2.2 Exemples d applications harmoniques Exemple 1.2.1. Toute application constante ϕ : (M, g) (N, h) est harmonique. Exemple 1.2.2. Le seconde forme fondamentale de l application identité, Id M : (M, g) (M, g) est nulle, c est à dire Id M est totalement géodésique, donc Id M est harmonique. Exemple 1.2.3. Soit (M, g) une variété riemannienne. Pour toute fonction f : M R et (e i ) une base orthonormée sur M on a τ(f) = tr g df = df(e i, e i ) = f e i df(e i ) df( M e i e i ) = e i (e i (f)) ( M e i e i )(f) = g( ei gradf, e i ) = div(grad f) = (f). Exemple 1.2.4. Soit R n muni de la métrique canonique g 0 et soit ϕ : (M, g) (R n, g 0 ) une application différentiable, ϕ(x) = (ϕ 1 (x),..., ϕ n (x)). D aprés la formule 1.6 et comme R n Γ γ αβ = 0, on a τ(ϕ) = g ij ( 2 ϕ γ x i x ϕγ M Γ k j x ij) k y ϕ, γ c est à dire, τ(ϕ) = ( (ϕ 1 ),..., (ϕ n )), d où l application ϕ est harmonique si et seulement si (ϕ α ) = 0, α = 1,..., n, c est à dire ϕ α sont des fonctions harmoniques. Exemple 1.2.5. Soit M =]a, b[ un intervalle sur R. Alors le courbe γ : (a, b) (N n, h) est harmonique si d 2 γ α + N Γ α dγ β dγ δ dt 2 βδ dt dt = 0, donc, γ est harmonique si et seulement si c est une géodésique.

1.2 Applications harmoniques 22 Exemple 1.2.6. Soit l application de Hopf φ : S 3 S 2 (s, a, b) (α(s), ψ(a, b)) où ψ(a, b) = ka + lb et α : [0, π 2 ] [0, π] telle que α(0) = 0 et α( π 2 ) = π. Soient, g S 3 = ds 2 + cos 2 s da 2 + sin 2 s db 2, la métrique riemannienne sur S 3 et une métrique riemannienne sur S 2. On a { e 1 = s, e 2 = 1 { f 1 = α, f 2 = 1 dφ(e 1 ) = α dφ(e 2 ) = dφ(e 3 ) = e1 e 1 = 0 α k coss ψ l sins ψ e2 e 2 = tans s e3 e 3 = cots s = 0 α α ψ ψ = sinα cosα α., e cos s a 3 = 1 sins h S 2 = dα 2 + sin 2 α dψ 2, b } est une base orthonormée sur S3. } est une base orthonormée sur sinα ψ S2. φ e 1 dφ(e 1 ) = α α φ e 2 dφ(e 2 ) = k2 sinα cosα cos 2 s α φ e 3 dφ(e 3 ) = l2 sinα cosα cos 2 s α où α = dα. En remplaçant dans l expression ds 3 τ(φ) = { φ e i dφ(e i ) dφ( ei e i ) }, on obtient τ(φ) = ) (α (s) + α (s)(cots tans) sinα cosα( k2 cos 2 s + l2 sin 2 s ) α Exemple 1.2.7. Soient N une variété riemannienne et M une sous-variété de N. Si i : M N est l injection canonique, alors la sous-variété M est minimale si et seulement si i est harmonique. En effet, di = B, d où, τ(i) = H.

1.2 Applications harmoniques 23 Exemple 1.2.8. Soient (M, g) et (N, h) des variétés riemanniennes. Si ϕ : M N est un plongement régulier isométrique, c est à dire, ϕ est un plongement régulier tel que pour tout p M, X, Y Γ(T M) on a g p (X p, Y p ) = h ϕ(p) (dϕ(x p ), dϕ(y p )). Alors, ϕ(m) est une sous-variété de N, de plus ϕ(m) est minimale si et seulement si l application ϕ est harmonique. En effet, si ϕ(m) est la connexion de Levi-Civita associée à la métrique induite par h sur ϕ(m), et B désigne la deuxième forme fondamentale de ϕ(m) sur N, alors B(dϕ(X), dϕ(y )) = ( N dϕ(x)dϕ(y )) = N dϕ(x)dϕ(y ) ( N dϕ(x)dϕ(y )) = ϕ Xdϕ(Y ) ϕ(m) dϕ(x) dϕ(y ) = ϕ X dϕ(y ) dϕ( M X Y ) = dϕ(x, Y ), X, Y Γ(T M), Soit (e i ) une base orthonormée locale sur M, comme l application ϕ est isométrique, on a (dϕ(e i )) une base orthonormée sur ϕ(m), d où H = traceb ( courbure moyenne ) = B(dϕ(e i ), dϕ(e i )) = dϕ(e i, e i ) = τ(ϕ). Exemple 1.2.9. Soit M une variété riemannienne et g la métrique riemannienne induite sur la sphère unité S n par l injection canonique i : S n R n+1. Soit ϕ : M S n une application de classe C, posons ψ = i ϕ : M R n+1, alors ϕ est harmonique si et seulement si τ(ψ) = dψ 2 ψ. En effet, d aprés la proposition 1.1.8 on a donc, ϕ est harmonique si et seulement si τ(ψ) = τ(i ϕ) = di(τ(ϕ)) + tr di(dϕ, dϕ), τ(ψ) = tr di(dϕ, dϕ) = di(dϕ(e i ), dϕ(e i )), où (e i ) est une base orthonormée de T x M, x M, en utilisant la formule 1.8 on obtient τ(ψ) = n+1 g(dϕ(e i ), dϕ(e i ))N ψ(x), où N = x i x i = dϕ(e i ) 2 ψ(x), (N ψ(x) = ψ(x)) = dϕ 2 ψ(x) = dψ 2 ψ(x).

1.3 Applications bi-harmoniques 24 Remarque 1.2.1. La composé de deux applications harmoniques n est pas en générale une application harmonique. En particulier si φ est harmonique et si ψ et totalement géodésique c est à dire ( dψ = 0), alors ψ φ est harmonique. Exemple 1.2.10. Soit l application, on a, et soit l application, on a, ϕ : (R, dx 2 ) (R 2, dx 2 + dy 2 ) x (x, 0), τ(ϕ) = ( 2 x dx, 2 0 2 dx ) 2 = 0, ψ : (R 2, dx 2 + dy 2 ) (R, dz 2 ) (x, y) x 2 y 2, τ(ψ) = (ψ) = 2 ψ dx + 2 ψ 2 dy 2 = 2 2 = 0, alors les deux applications ϕ et ψ sont harmoniques, mais remarquons que la composé, est non harmonique, τ(ψ ϕ) = 2. ψ ϕ : (R, dx 2 ) (R, dz 2 ) x x 2, 1.3 Applications bi-harmoniques 1.3.1 Première variation de la bi-énergie Soit M = (M m, g) et N = (N n, h) deux variétés riemanniennes, et soit ϕ : M N une application différentiable. La bi-énergie de l application ϕ sur un domaine compact D dans M est définie par E 2 (ϕ ; D) = 1 τ(ϕ) 2 v g, 2 où τ(ϕ) est le champ de tension de l application ϕ et v g est la forme volume sur M associée à la métrique g. D

1.3 Applications bi-harmoniques 25 Définition 1.3.1. L application ϕ : M N est dite bi-harmonique si d dt E 2(ϕ t ; D) t=0 = 0, pour tout domaine compact D dans M et pour toute variation (ϕ t ) á support inclue dans D. Proposition 1.3.1. ( Première variation de la bi-énergie ). Soit ϕ : M N une application différentiable et {ϕ t } t I, I =] ɛ, ɛ[, une variation de ϕ á support inclue dans D. Alors d dt E 2(ϕ t ; D) t=0 = h(v, τ 2 (ϕ))v g, où v(x) = t ϕ t(x) t=0 et τ 2 (ϕ) = tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ) + tr g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ, est le champ de bi-tension de l application ϕ. Où, tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ) = ϕ e i ϕ e i τ(ϕ) ϕ M e i e i τ(ϕ), tr g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ = R N (τ(ϕ), dϕ(e i ))dϕ(e i ) et R N variété N. D désigne le tenseur de courbure de la Preuve. Soit {ϕ t } une variation de ϕ á support inclue dans un domaine compact D dans M, on a d dt E 2(ϕ t, D) t=0 = 1 d h(τ(ϕ t ), τ(ϕ t )) v g, 2 dt et pour tout (x, t) M ] ɛ, ɛ[, on a dφ((e i, 0), (e i, 0)) (x,t) = τ(ϕ t ) x, D 1 2 t h( dφ((e i, 0), (e i, 0)), dφ((e i, 0), (e i, 0))) t=0 = h( φ (0, d ) dφ((e i, 0), (e i, 0)), dφ((e i, 0), (e i, 0))) t=0, dt et, φ (0, d dt ) dφ((e i, 0), (e i, 0)) = φ (0, d dt ){ φ (e i,0) dφ(e i, 0) dφ( (ei,0)(e i, 0))} = φ (0, d dt ) φ (e i,0) dφ(e i, 0) φ (0, d dt )dφ( (e i,0)(e i, 0)) = R((0, d dt ), (e i, 0))dφ(e i, 0) + φ (e i,0) φ (0, d dt )dφ(e i, 0) + φ [(0, d dt ),(e i,0)] dφ(e i, 0) φ (ei,0)(e i,0) dφ(0, d dt ) comme [(0, d dt ), (e i, 0)] = 0 et on pose (ei,0)(e i, 0) = ( M e i e i, 0) = 0 en (x, 0), donc φ (0, d dt ) dφ((e i, 0), (e i, 0)) = R N (dφ(0, d dt ), dφ(e i, 0))dφ(e i, 0) + φ (e i,0) φ (e i,0) dφ(0, d dt ),

1.3 Applications bi-harmoniques 26 d où, h( φ (0, d ) dφ((e i, 0), (e i, 0)), dφ((e i, 0), (e i, 0))) t=0 dt = h(r N (v, dϕ(e i ))dϕ(e i ), τ(ϕ)) + h( ϕ e i ϕ e i v, τ(ϕ)) = h(r N (dϕ(e i ), τ(ϕ))v, dϕ(e i )) + e i (h( ϕ e i v, τ(ϕ))) h( ϕ e i v, ϕ e i τ(ϕ)) = h(r N (τ(ϕ), dϕ(e i ))dϕ(e i ), v) + e i (h( ϕ e i v, τ(ϕ))) e i (h(v, ϕ e i τ(ϕ))) + h(v, ϕ e i ϕ e i τ(ϕ)), si on pose ω( ) = h( ϕ v, τ(ϕ)) et η( ) = h(v, ϕ τ(ϕ)) deux 1-formes sur M, alors div ω = e i (ω(e i )) = e i (h( ϕ e i v, τ(ϕ))), div η = e i (η(e i )) = e i (h(v, ϕ e i τ(ϕ))), d où, d dt E 2(ϕ t, D) t=0 = 1 2 D t h(τ(ϕ t), τ(ϕ t )) t=0 v g = {h(tr g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ, v) + h(tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ), v}v g D = h(τ 2 (ϕ), v) v g. D Théorème 1.3.1. Une application différentiable ϕ : (M, g) (N, h) est bi-harmonique si et seulement si τ 2 (ϕ) = 0. Remarque 1.3.1. Soit l application ϕ : (M, g) (N, h) et (U, x i ), (V, y α ) deux carte locales en p dans M et en ϕ(p) dans N respectivement. Alors ( τ 2 (ϕ) = g ij 2 τ σ α x i x + 2τ τ β j x j x j + τ α τ β τ ρ x i x j N Γ v N αβ Γ σ vρ N 2 ϕ β Γ σ αβ +τ α x i x j M Γ k ij ( τ σ x + τ α β k x k N Γ σ αβ N Γ σ αβ +τ α ϕβ x i x j N Γ σ αβ) τ v ϕα ϕ β x i x j où τ α = ϕ α + g ij N Γ α ϕ β ϕ δ βδ x i x j 2) l application ϕ et bi-harmonique si et seulement si τ(ϕ) ker J ϕ, où J ϕ : Γ(ϕ 1 (T N) Γ(ϕ 1 (T N) V J ϕ (V ) = tr g ( ϕ ) 2 V + tr g R N (V, dϕ)dϕ N ) Rβαv σ y ϕ, σ

1.3 Applications bi-harmoniques 27 1.3.2 Exemples d applications bi-harmoniques Exemple 1.3.1. Toute application harmonique et bi-harmonique Exemple 1.3.2. Considérons l application différentiable ϕ : (M, g) R n p ϕ(p) = (ϕ 1 (p),..., ϕ n (p)) Alors τ 2 (ϕ) = (τ 2 (ϕ 1 ),..., τ 2 (ϕ n )), donc ϕ et bi-harmonique si et seulement si les applications ϕ i, i = 1,..., n sont bi-harmoniques. Exemple 1.3.3. Le simple exemple d une application bi-harmonique, les polynômes de degrés 3 et 2 sur R. Exemple 1.3.4. Soit l application ϕ et bi-harmonique si et seulement si : ϕ : (M, g) (S n, h), tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ) + 2e(ϕ)τ(ϕ) tr h h(τ(ϕ), dϕ), dϕ = 0 En effet, remarquons que la sphère unité S n à courbure constante égale à 1 d où d après la la formule : R(X, Y )Z = g(y, Z)X g(x, Z)Y. On a ) tr g R Sn (τ(ϕ), dϕ)dϕ = tr g (h(dϕ, dϕ)τ(ϕ) h(τ(ϕ), dϕ)dϕ = dϕ 2 τ(ϕ) tr g h(τ(ϕ), dϕ)dϕ = 2e(ϕ)τ(ϕ) tr g h(τ(ϕ), dϕ)dϕ Exemple 1.3.5. Soit M n 1 une hypersurface de la sphère unité (S n, h), alors l injection canonique i : M n 1 S n munie de la métrique induite g est bi-harmonique. En effet on a D après la formule 1.8 on a : τ(i) = tr g di = tr g B = H τ 2 (i) = tr g ( i ) 2 H + tr g R Sn (H, di)di H = (1 n)n Alors, pour une base orthonormée {e i } n 1 sur M avec ( M e i e j ) x = 0, x M, on a tr g ( i ) 2 H = (1 n) i e i i e i N = (1 n) Sn ẽ i Sn ẽ i N = (1 n) Sn ẽ i ẽ i = (1 n)(( Sn ẽ i ẽ i ) + ( Sn ẽ i ẽ i ) ) = (1 n)(h + M e i e i ) = (1 n)h, et, comme S n est de courbure constante on a D où : τ 2 (i) = 0. tr g R Sn (H, di)di = R Sn (H, di(e i ))di(e i ) = R Sn (H, ẽ i )ẽ i = h(ẽ i, ẽ i )H h(h, ẽ i )ẽ i = (n 1)H (1 n)g(n, e i )e i = (n 1)H.

Chapitre2 Géométrie du fibré tangent et bi-harmonicité 2.1 Le fibré tangent 2.1.1 Structure différentielle sur le fibré tangent Dans tout ce qui suit on suppose que M est une variété différentielle de dimension m munie d un atlas maximal A = {(U i, x i ) i I}. Pour p M on note par T p M l espace tangent de M au point p. Pour les coordonnées locales (U, x i ) sur M et p M on définit ( x k ) p T p M par ( x ) k p : f f = x k ek (f x 1 )(x(p)) p Où e k /k = 1,..., m est la base canonique de R m. Alors est la base de T p M.L ensemble {( x k ) p k = 1,..., m} T M = {(p, u) p M, u T p M}, est dit le fibré tangent de M et l application fibré π : T M M est donnée par π : (p, u) p. Théorème 2.1.1. Soit M une variété différentielle de dimension m. Alors le fibré tangent peut être donné par une structure de variété différentielle de dimension 2m. Remarque 2.1.1. Une conséquence directe de la construction d un atlas maximal A est que l application π : T M M est différentiable. Pour tout point p M la fibre π 1 (p) est l espace tangent T p M de M au point p. Pour les coordonnées locales (U, x) A on définit x : (p, k=1 u k p ) (p, (u 1,..., u m )). x k

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 29 La restriction x p = x/t p M : T p M {p} R m à l espace tangent T p M est donnée par x : u k p (u 1,..., u m ) x k k=1 Donc c est un isomorphisme d espace vectoriel,alors x : π 1 (U) U R m est la carte fibré pour T M et {(π 1 (U), x)/(u, x) A} est l atlas fibré transformant (T M, π, M) en un fibré vectoriel topologique de dimension 2m. Puisque la variété (M, A) est différentiable,le fibré vectoriel (T M, π, M) muni de l atlas maximal contenant {(π 1 (U), x)/(u, x) A} est un fibré vectoriel. 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 2.2.1 Relèvement vertical Relèvement vertical d une fonction Soit (T M, π, M) le fibré vectoriel tangent, si f : M R est une fonction de classe C, on définit le relèvement vertical f V par f V = f π : T M R v T x M f V (v) = f π(v) = f(x). Relèvement vertical d un champ de vecteurs Un champ de vecteurs X Γ(T (T M)) est dit champ de vecteurs vertical si et seulement si pour ( toute ) fonction f C (M) on a Xf V = 0. Xh Si X h sont les composantes de X par rapport à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, alors pour toute fonction f C (M). On a d où Xf V = X h f x h, Proposition 2.2.1. Soit X Γ(T T M). X est un champ de vecteurs vertical sur TM si et seulement si relativement à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, les composantes de X vérifient la condition ( Xh X h ) = ( 0 X h ), (2.1) Remarques 2.2.1. on a π : T M M v T x M x = π(v)

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 30 d v π : T v (T M) T x M Z = Z i x i v + Z j y i v dπ(z) = Z i x i x N v = Ker(d v π) est un sous espace vectoriel de T v T M, appelé sous espace vertical. Localement N v est engendré par ( y 1 v,.., y m v ). N = v T M N v est un sous fibré vectoriel de T (T M) X Γ(T (T M)) est un champ de vecteurs vertical si et seulement si dπ( X) = 0. Définition 2.2.1. Soit X Γ(T M). Le relèvement vertical de X noté X V est l unique champ de vecteurs vérifiant de M au fibré TM X V (ω) = (ω(x)) V, (2.2) pour tout ω Γ(T M). Soient (X h ) h=1,..,m et (ω i ),..,m les ( composantes ) de X Γ(T M) et ω Γ(T M) par Xh rapport à une carte (U, x i ) sur M ; Si X h sont les composantes de X V par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Alors de la relation 2.2 on déduit l équation X h ( x h ω i )y i + X hω h = ω h X h, d où X h = 0, X h = X h. pour tout h, h = 1..m. Proposition 2.2.2. Soit X un champ de vecteurs de composantes (X h ) h=1,..,m relativement à une carte (U, x h ) h sur M. Le relèvement vertical X V de X a pour composantes ( ) 0 X V : X h (2.3) par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Remarque 2.2.1. Le relèvement vertical X V de X au fibré TM est un champ de vecteurs vertical. et on a X V f V = 0 (2.4) pour tout X Γ(T M) et f C (M). Propriété 2.2.1. (X + Y ) V = X V + Y V (2.5) (fx) V = f V X V (2.6)

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 31 pour tout X, Y Γ(T M) et f C (M). Remarques 2.2.2.. N v = {Xv V ; X Γ(T M)} Soient z T x M et X Γ(T M) tel que X x = z, on note z V = Xz V le relèvement vertical de z. D aprés (2.3) cette définition est indépendante du choix de X. L application (x, u) T M u V T (x,u) T M T T M est une section de classe C sur T M, donc un champ de vecteurs sur T M. Soient x M et v T x M, alors L application z T x M z V N v est un isomorphisme linéaire. Relèvement vertical d une 1-forme Soit ω Γ(T T M ) une 1- forme sur TM, elle est dite verticale si ω(x V ) = 0 pour tout X Γ(T M). Si ( ω i, ω ī ) sont les composantes de ω par rapport à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. on a ω(x V ) = ω ī X i = 0 pour tout X Γ(T M), d où i = 1..m on a ω ī = 0, i.e. ( ω i, ω ī ) = ( ω i, 0) i, ī = 1,.., m. (2.7) Proposition 2.2.3. ω Γ(T T M ) est une 1-forme verticale sur TM si et seulement si ses composants par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM vérifient la relation (2.7). Proposition 2.2.4. Si f C (M) est une fonction de classe C sur M, alors d(f V ) est une 1-forme verticale sur le fibré TM. Preuve. De la relation (2.4), on a pour tout X Γ(T M) d(f V )(X V ) = X V (f V ) = 0, Définition 2.2.2. Soit f, g C (M). On définit le relèvement vertical (df) V (resp (gdf) V ) au fibré TM, de la 1-forme df (rep gdf) par (df) V = d(f V ), (2.8) resp (gdf) V = g V d(f V ). (2.9) Remarque 2.2.2. La définition (2.2.2) reste compatible avec la propriété de dérivation d((fg) V ) = d(f V.g V ) = g V.d(f V ) + f V.d(g V ) = (d(fg)) V.

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 32 Définition 2.2.3. Soit ω Γ(T M ). On définit Le relévement vertical de ω noté ω V au fibré TM par ω V = (ω i ) V (dx i ) V, (2.10) où ω = ω i dx i, relativement à une carte (U, x i ) sur M. Cette définition est indépendante de la carte choisie. Remarque 2.2.3. Le relèvement vertical ω V de ω au fibré TM est une 1-forme verticale ω V (X V ) = 0, (2.11) pour tout ω Γ(T M ) et X Γ(T M) Propriété 2.2.2. on a pour tout ω, θ Γ(T M ) et f C (M) (ω + θ) V = ω V + θ V. (2.12) (fω) V = f V ω V. (2.13) Si (U, x h ) est une carte sur la variété M, alors de la formule (2.7) on obtient par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Relèvement vertical des champs de tenseurs Soient P, Q, R, S T q p(m) des champs de tenseurs alors (dx h ) V = dx h, (2.14) (P Q) V = P V Q V, (2.15) (R + S) V = R V + S V. Si F T 1 1(M) est un tenseur de type (1, 1), tel que Fi h (U, x i ) sur M, alors, de la relation (2.15) on a d où F V à pour composante F V = (F h i dx i ) V x h = (F h i ) V )( x h ) V (dx i ) V = (F h i ) V ( y h ) dx i, ( 0 0 F V : Fi h 0 x h dx i relativement à une carte ). (2.16) De même si G T 0 2(M) tel que G = G ij dx i dx j et H T 2 0 tel que H = H ih x i G V : ( Gij 0 0 0 x h, alors ). (2.17)

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 33 H V : ( 0 0 0 H ih par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Proposition 2.2.5. Pour tout ω T 0 1(M) on a ), (2.18) dω V = (dω) V (2.19) Preuve. Si ω = ω i dx i par rapport à la carte (U, x i ) sur M, alors ω V = (ω i dx i ) V = ω i dx i et dω V = ω i x j dx j dx i = 1 2 (ω i x j ω j x i )dx i dx j, (dω) V = (d(ω i ) dx i ) V = 1 2 (ω i x j ω j x i )dx i dx j. Relativement à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ), d(ω V ) a pour composantes : ( ) d(ω V 1 ) : ( ω i 2 x j ω j x i )dx i dx j 0 0 0 Proposition 2.2.6. Soit F T 1 1(M) un champ de tenseurs de type (1, 1) sur la variété M, alors F V : T M T T M (x, u) F V (x, u) = F V (x,u)(u V ) (2.20) est un champ de vecteurs sur T M. Localement, relativement à une carte induite (π 1 (U), x i, y j ), on a F V = y i F j i y = j yi (F ( x i ))V

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 34 2.2.2 Relèvement complet Relèvement complet d une fonction Définition 2.2.4. Soit f une fonction de M. On définit le relèvement complet de f noté f C de M au fibré TM par f C = idf = df : T M R (2.21) v df(v). Relativement à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, on a f C (x, y) = y i f x i (x) = (f)(x). Cette famille de fonctions joue un rôle important dans la caractérisation des champs de vecteurs sur le fibré tangent TM. Proposition 2.2.7. Soient X et Ỹ deux champs de vecteurs sur TM tels que pour tout fonction f C (M), alors X = Ỹ X(f C ) = Ỹ (f C ) Preuve. En vertu de linéarité il suffit de prouver que si X(f C ) = 0 ( f C (M)) alors X = 0. Soit X = X h x h + X k par rapport à une carte induite (π 1 (U), x h, y k ) sur TM on a y k X(f C ) = X h (y i f ) + x h x X k (y i f ) i y k x i = X h 2 f ( )y i + x h x i = 0 X k f x k pour tout f C (M), d où ( h = 1,.., m) on a X h = X h = 0 Propriétés 2.2.1. Soit X Γ(T M) et g, f C (M) on a : X V (f C ) = (X(f)) V. (2.22) (gf) C = g C f V + g V f C. (2.23) Remarque 2.2.4. Si (U, x i ) est une carte sur la variété M, alors (π 1 (U), (x i ) V, (x j ) C ) est la carte induite sur le fibré tangent T M Relèvement complet d un champ de vecteurs Définition 2.2.5. Le relèvement complet d un champ de vecteurs X sur M est l unique champ de vecteurs X C sur le fibré TM tel que pour tout f C (M). X C f C = (Xf) C, (2.24)

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 35 Si X h désignent les composantes de X par rapport à une carte (U, x i ) sur M et les composantes de X C par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, on a X C (f C ) = X i 2 f ( )y j + x i x j (Xf) C = y i x i (X j f x j ). X j f x j. = (y i Xi ) f + X j y i 2 f ( ). x i x j x j x i pour toute f C (M), d où ( j = 1,.., m) on a X j = X j et X j = y i Xj x i = X j. ( Xh X k Proposition 2.2.8. Si X est un champ de vecteurs de composantes X h par rapport à une carte (U, x h ) sur M, alors le relèvement complet X C de X a pour composantes ( ) X X C h : X h, (2.25) relativement à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur T M. Proposition 2.2.9. On a pour tout f C (M), X Γ(T M) et ω Γ(T M ) Proposition 2.2.10. Soient X, Y Γ(T M) on a X C + Y C = (X + Y ) C (2.26) (fx) C = f C X V + f V X C (2.27) X C f V = (Xf) V (2.28) ω V (X C ) = (ω(x)) V (2.29) ) [X V, Y V ] = 0. (2.30) [X V, Y C ] = [X, Y ] V. (2.31) [X C, Y C ] = [X, Y ] C. (2.32) Preuve. Soit f C (M), en utilisant (2.26) et (2.27) on a [X V, Y C ](f C ) = X V (Y C (f C )) Y C (X V (f C )) = X V (Y f) C Y C (Xf) V = (X(Y f)) V (Y (Xf)) V = ([X, Y ]f) V = [X, Y ] V f C,

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 36 et de la proposition (2.7), (2.31), (2.26) et (2.24) on a [X C, Y C ]f C = X C Y C f C Y C X C f C, = (XY f) C (Y Xf) C, = ([X, Y ]f) C = [X, Y ] C f C. Relativement à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur T M, on a pour tout i = 1,.., m ( x i ) C = x i. (2.33) Relèvement complet d une 1-forme Proposition 2.2.11. Soient ω et θ deux 1-formes sur TM. Si pour tout X Γ(T M) on a ω(x C ) = θ(x C ), alors ω = θ. Preuve. Il suffit de démontrer que si ω(x C ) = 0 pour tout X Γ(T M), alors ω = 0. Soient (U, x i ) une carte sur M et ( ω i, ω j ) les composantes de ω par rapport la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, on a ω(x C ) = ω h X h + ω h y i Xh x i, pour tout X Γ(T M) tel que X = X i x i. En déduit que ω = 0. Définition 2.2.6. Le relèvement complet d une 1-forme ω Γ(T M) est l unique 1-forme ω C Γ(T T M) telle que ω C (X C ) = (ω(x)) C, (2.34) pour tout X Γ(T M). Localement si X = X i x i, ω = ω i dx i et ω C = ω i dx i + ω j dy j, alors ω C (X C ) = ω i X i + ω j (y i Xj x i ) (ωx) C = y i (ω hx h ) x i = (y i ω h x i )X h + ω h (y i Xh x i ), Proposition 2.2.12. Soit ω une 1-forme de composantes (ω i ) par rapport à une carte (U, x h ) sur M, le relèvement complet ω C a pour composantes relativement à la carte induite (π 1 (U), x h, y k ) sur TM. ω C : (ω i, ω j ) = (y i ω h x i, ω j ), (2.35)

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 37 Proposition 2.2.13. Soient ω, θ Γ(T M ) et X Γ(T M), on a Relèvement complet d un champ de tenseurs (ω + θ) C = ω C + θ C, (2.36) (fω) C = f C ω V + f V ω C, (2.37) ω C (X V ) = (ω(x)) V. (2.38) Définition 2.2.7. Le relèvement complet peut être prolonger à un tenseur quelconque de manière unique tel que pour tout P, Q T q p(m),on a Si F T 1 1(M) tel que localement F = F h i F C = (F h i dx i ) C x h (P Q) C = P C Q V + P V Q C (2.39) (P + Q) C = P C + Q C. (2.40) x h dx i, alors : = (F h i ) C ( x h ) V (dx i ) V + (F h i ) V ( x h ) C (dx i ) V + (F h i ) V ( x h ) V (dx i ) C, d où F C a pour composantes ( F F C h : F h i i 0 F h i ). (2.41) De même si G T 0 2(M) tel que G = G ij dx i dx j, alors G C a pour coordonnées : ( ) G C Gij G : ij G ij 0 Proposition 2.2.14. Soient X, Y Γ(T M) et G T 0 2(M), on a Proposition 2.2.15. Pour tout ω Γ (T M) on a 2.2.3 Relèvement horizontal (2.42) G C (X V, Y V ) = 0, (2.43) G C (X C, Y V ) = (G(X, Y )) V, (2.44) G C (X C, Y C ) = (G(X, Y )) C. (2.45) d(ω C ) = (dω) C. (2.46) Dans cette section, on suppose que M est une variété de dimension m munie d une connexion linéaire.

2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 38 Définition 2.2.8. Soit une connexion linéaire sur la variété M, on définit, dite connexion opposée à par X Y = Y X + [X, Y ], X, Y Γ(T M). Remarques 2.2.3.. 1. Soient T et T les tenseurs de torsion associés à et respectivement, alors pour tout X, Y Γ(T M), on a T (X, Y ) = T (Y, X). 2. Si est sans torsion, alors =. Relèvement horizontal d une fonction Définition 2.2.9. Soient F T 1 p(m) et G T 0 p(m), on définit γ(f ) T 1 p 1(T M) et γ(g) T 0 p 1(T M) localement par où F = F j γ(f ) = Fh k 1..h p y h 1 y k dxh 2... dx hp (2.47) γ(g) = G h1..h p y h 1 dx h 2... dx hp (2.48) i 1..i p dx i 1... dx ip et G = G x j i1..i p dx i 1... dx ip. Remarques 2.2.4.. 1. La définition 2.2.9 est indépendante de la carte choisie. 2. Si F est un champ de tenseurs de type (1, 1) sur la variété M, alors γ(f ) est un champ de vecteurs vertical sur T M et on a γ(f ) = F v. 3. Si G est une 1-forme sur la variété M, alors γ(g) est une fonction sur T M. 4. Si est une connexion linéaire sur la variété M et f C (M), alors f = df. 5. Si f C (M), alors γ(df) = γ( f) = γ( f) = f C = (f). Définition 2.2.10. Si f est une fonction sur M, on pose f H = f C γ( f) = 0. (2.49) application de classe C sur T M dite relèvement horizontal de la fonction f. Relèvement horizontal d un champ de vecteurs Définition 2.2.11. Soit X un champ de vecteurs sur M. On définit le relèvement horizontal de X noté X H au fibré TM par X H = X C γ X, (2.50) où γ X = γ( X).