Probabilités et Statistiques: Eléments de cours et exercices

Uiversité Paris Villetaeuse Aée 2013/2014 Clémet Foucart 1 Probabilités Probabilités et Statistiques: Elémets de cours et exercices Prépa Capes Les programmes de mathématiques das l'eseigemet secodaire aisi qu'e classes préparatoires et BTS mettet de plus e plus e avat la théorie des probabilités. S'il est rare que les exercices de probabilités doés au lycée et das les premières aées uiversitaires écessitet des raisoemets diciles e aalyse réelle, plusieurs types de dicultés apparaisset lorsque l'o eseige ou que l'o étudie les probabilités. D'ue part, des éocés mal costruits (trop succicts ou au cotraire trop logs) peuvet rapidemet bloquer le lecteur 1. D'autre part, o peut être ameé à mobiliser des coaissaces e aalyse ou e algèbre (calculs de séries, d'itégrales, algèbre liéaire, matrice à iverser). La théorie de la mesure 'est pas au programme du CAPES. Nous ous boreros doc à l'usage de otios probabilistes sas doer plus de détails quat à leurs déitios e théorie de la mesure. Il faut éamois bie compredre que probabilités et itégratio partaget beaucoup de choses, comme ous le verros das les chapitres suivats, probabilités discrètes (respectivemet cotiues) amèet à l'étude de séries (respectivemet d'itégrales). A de doer u cadre clair, ous itroduiros rapidemet les tribus (c'est d'ailleurs au programme e classes préparatoires écoomiques et sociales, voie scietique). D'u poit de vue pédagogique, itroduire les tribus permet de s'etraîer à maipuler les sous-esembles. Les exercices accompagés du sige # sot corrigés. Ils ot été das leur grade majorité rédigés par Alexadre Geadot et Pierre Veuillez (http ://mathsece.free.fr/) 2. A de vous etraîer, vous pouvez cosulter les référeces suivates : Ouvrages utilisés pour la rédactio de ce polycopié 1) Itégratio et Probabilités, Auliac, Cocozza-Thivet, Mercier, Roussigol, EdiSciece. 2) Probabilités, aalyse de doées et Statistiques, Saporta, Techip. 3) Polycopié du cours de préparatio au capes de Paris 6. Frédérique Petit et Béatrice de Tilière (dispoible e lige sur la page de B. de Tilière) 4) Probabilités et statistiques pour le CAPES extere et l'agrégatio itere de Mathématiques (Jérôme Escoer) 5) Aales des ECRICOMES (pour les problèmes et exercices de probabilités : http ://mathsece.free.fr/sujetset 6) Aalyse pour l'agrégatio, Zuily et Queélec. Duod, Référeces pouvat être cosultées 1) Probabilités Tome 1, licece- capes Jea-Yves Ouvrard, chez Cassii 2) Itroductio au calcul des probabilités et à la statistique, Jea-Fraçois Delmas, dispoible e lige 3) Probability ad radom processes Grimmett ad Stirzaker third editio, Oxford 1. et ceci est vrai à tout iveau. 2. J'e prote pour les remercier ici.

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Table des matières 1 Rappels fodametaux 5 1.1 Rudimets sur les esembles et les foctios.................... 5 1.1.1 Notios de base sur les esembles...................... 5 1.1.2 Esembles et foctios............................ 7 1.2 Esembles déombrables............................... 7 1.2.1 Esembles au plus déombrables...................... 8 1.2.2 Esembles is................................ 8 1.3 Exercices........................................ 12 2 Espaces probabilisés 15 2.1 Termiologie probabiliste et otio de probabilité................. 15 2.2 Probabilité coditioelle.............................. 22 2.2.1 Formule des probabilités totales et formule de Bayes............ 23 2.2.2 Idépedace................................. 25 2.3 Variables aléatoires : otio de loi et de momets................. 26 2.3.1 Loi d'ue variable aléatoire......................... 27 2.3.2 Foctios de répartitio et idépedace.................. 27 2.4 Exercices........................................ 30 3 Variables aléatoires discrètes 37 3.1 Gééralités...................................... 37 3.1.1 Loi et foctio de répartitio........................ 37 3.1.2 Espérace................................... 38 3.1.3 Compositio d'ue variable aléatoire et d'ue foctio et idépedace. 40 3.1.4 Momets, variace et écart-type....................... 41 3.2 Lois discrètes usuelles................................. 41 3.3 Vecteurs aléatoires discrets.............................. 44 3.3.1 Vecteurs aléatoires discrets : lois margiales, idépedace........ 44 3.3.2 Structure algébrique, covariace et corrélatio............... 45 3.3.3 Loi multiomiale............................... 47 3.3.4 Somme de variables aléatoires idépedates................ 48 3.4 Exercices........................................ 50 4 Variables aléatoires à desité 73 4.1 Gééralités...................................... 74 4.1.1 Loi et foctio de répartitio........................ 75 4.1.2 Espérace................................... 75 3

4 TABLE DES MATIÈRES 4.1.3 Compositio d'ue variable aléatoire et d'ue foctio et idépedace. 76 4.1.4 Momets, variace et écart-type....................... 77 4.2 Lois à desité usuelles................................ 77 4.3 Vecteurs aléatoires à desité............................. 80 4.3.1 Vecteurs aléatoires à desité : lois margiales, idépedace....... 81 4.3.2 Loi ormale multidimesioelle....................... 81 4.3.3 Sommes de deux variables aléatoires idépedates : covolutio..... 82 4.4 Exercices........................................ 83 5 Théorèmes limites 99 5.1 Notios de covergece de suites aléatoires..................... 99 5.1.1 Covergece e probabilité et loi faible des grads ombres........ 99 5.1.2 Covergece e loi.............................. 101 5.1.3 Approximatios de certaies lois et théorème cetral limite........ 102 5.1.4 Covergece presque-sûre et loi forte des grads ombres......... 104 5.2 Exercices........................................ 105 6 Elémets de statistiques 109 6.1 Estimatio....................................... 109 6.2 Exercices........................................ 115 7 Sujets des exames passés et problèmes 121 7.1 Foctios additives et loi expoetielle....................... 126 7.2 Théorème de Weierstrass............................... 127 7.3 Marche aléatoire................................... 128 8 Problèmes d'aalyse pour les probabilités 135

Chapitre 1 Rappels fodametaux Ce chapitre est du iveau de première et deuxième aée. Il est coseillé d'y reveir si vous avez des lacues. Nous commeços par des rappels de base sur les esembles et les opératios sur les esembles. Nous termios par des rappels sur les esembles déombrables. Ces esembles jouet u rôle primordial lors de l'étude des probabilités discrètes. Les otios présetées ici fot parties des cours de première et deuxième aée de mathématiques. Nous revoyos le lecteur aux ouvrages cosacrés. 1.1 Rudimets sur les esembles et les foctios 1.1.1 Notios de base sur les esembles Soit Ω u esemble (typiquemet Ω sera iclus das N, R ou R d pour d 2). A est u sousesemble (o dit aussi partie) de Ω, si A est ue collectio d'élémets de Ω : au ses où tous les élémets de A sot élémets de Ω. O ote alors la relatio est la relatio d'iclusio. A Ω, Rappel : O raisoe souvet par double iclusio pour motrer que deux esembles sot égaux : A = B A B et B A. O ote P(Ω) l'esemble des parties de Ω. C'est à dire : Opératios sur les esembles : P(Ω) = {A; A sous-esemble de Ω}. Esemble complémetaire. Soit A P(Ω). Le complémetaire de A est l'esemble des élémets de Ω qui 'appartieet pas à A : A c = {x Ω; x / A}. O ote le complémetaire de Ω. Cet esemble s'appelle l'esemble vide. 5

6 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX Réuio : La réuio de deux esembles A et B est otée A B et est déie par : x A B x A ou x B Attetio, le "ou" 'est pas exclusif, c'est à dire que x peut apparteir à la fois à A et à B. Itersectio : l'itersectio de deux esembles A et B est otée A B et est deie par : x A B x A et x B L'esemble des élémets de A qui e sot pas das B est oté A \ B. O dit "A privé de B". O le déit par : A \ B = A B c. Ces opératios se gééraliset à des familles d'esembles : soit I N et (A i, i I). Leur réuio est otée i I A i, leur itersectio i I A i x A i i I tel que x A i, doc x / A i i I, x / A i i I i I x A i i I, x A i, doc x / A i i I tel que x / A i. i I i I Remarque 1.1.1 Toutes ces opératios sot stables das P(Ω). O rappelle les règles de calculs : ˆ (A B) C = (A C) (B C) ˆ (A B) C = (A C) (B C) ˆ (A B) c = A c B c ˆ (A B) c = A c B c Plus gééralemet : ( i I A i ) c = i I A c i et ( i I A i ) c = i I A c i. Déitio 1.1.1 (Partitio) Ue famille de parties de Ω, (A i, i I) est ue partitio de Ω si ; i) i I A i = Ω ii) i I, j I : i j = A i A j =. Déitio 1.1.2 (Produit cartésie) Le produit cartésie de deux esembles E et F est otè, E F et est déi par : E F = {(x, y); x E et y F }. Plus gééralemet, le produit cartésie de esembles est : E 1 E 2 E 3... E = E i = {(x 1, x 2,..., x ); i [ 1, ], x i E i }. i=1

1.2. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES 7 1.1.2 Esembles et foctios O doe ici quelques rudimets sur les applicatios : les déitios d'ijectivité, surjectivité, de l'image et de l'image réciproque d'u esemble par ue applicatio. Soiet E et F deux esembles, soit f ue applicatio qui va de E das F : Déitio 1.1.3 La foctio f est dite ˆ ijective si : x, y E, f(x) = f(y) = x = y. Das ce cas, u élémet de F a au plus u atécédet par f das E. ˆ surjective si : z F, x E; f(x) = z. Das ce cas, tout élémet de F a au mois u atécédet par f. ˆ bijective si : ijective et surjective. Das ce cas, pour tout z das F, il existe u et u seul x E tel que f(x) = z. Déitio 1.1.4 Soit f ue applicatio de E das F, A ue partie de E et B ue partie de F. O appelle image de A par f l'esemble oté f(a) déi par f(a) = {y F ; x A tel que y = f(x)}. O appelle image réciproque de B par f l'esemble oté f 1 (B) déi par f 1 (B) = {x E; f(x) B}. Remarque 1.1.2 La otatio f 1 est abusive car f 'est pas toujours bijective et 'a doc pas toujours de réciproque, l'esemble f 1 (B) existe même si f 'est pas bijective. Propositio 1.1.1 (Image réciproque et uio) Soiet A, B P(F ) ˆ f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) ˆ f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) ˆ f 1 (A c ) = f 1 (A) c Preuve laissée e exercice. 1.2 Esembles déombrables Pour clôturer ces gééralités, et avat de passer aux probabilités, ous rappelos la otio d'esemble déombrable, aisi que des élémets de déombremet. Le déombremet est fodametal das les probabilités discrétes. Nous traitos ces questios à part a de se cocetrer das la suite sur les probabilités.

8 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX 1.2.1 Esembles au plus déombrables Déitio 1.2.1 U esemble E est dit au plus déombrable s'il existe ue ijectio de E das N Deux cas sot possibles : l'esemble E est ii et das ce cas, o peut démotrer qu'il existe ue bijectio de E das N. L'esemble est dit déombrable. L'esemble E est i et das ce cas, o peut déombrer combie il possède d'élémets. Remarque 1.2.1 (Exemples) Ces propriétés sortet du cadre du cours, mais sot à savoir démotrer. L'esemble des ratioels Q est déombrable. L'esemble des réels R est o déombrable. 1.2.2 Esembles is O dit qu'u esemble est i s'il est vide, ou s'il existe u etier aturel et ue bijectio de [ 1, ] := {1, 2,..., } das E. Si E, l'etier est appelé cardial de E. O ote Card E =. Par covetio Card = 0. O a Card E = si et seulemet si les élémets de E peuvet être otés e 1,..., e où les e k sot disticts. Déombrer u esemble i E correspod à détermier le ombre délémets de E, c'est à dire so cardial. Plusieurs méthodes sot possibles. Néamois, rappelos les trois coditios qui doivet être remplies pour que le déombremet soit correct : 1) S'assurer que seuls des élémets de E sot comptés 2) S'assurer que l'o e oublie pas 3) S'assurer que l'o e compte pas plusieurs fois le même élémet. Propriétes des cardiaux Propositio 1.2.1 Soit E u esemble i. Si F est u esemble e bijectio avec E, alors F est i et Card E = Card F. Démostratio Si E est u esemble i de cardial alors il existe φ ue bijectio de [ 1, ] das E. Soit f ue bijectio de E das F, la composée de deux bijectios est ue bijectio, doc l'applicatio φ f est ue bijectio. De plus le cardial de F est. Propositio 1.2.2 Soit E u esemble i. Toute partie A de E est ie et Card A Card E. Si A est ue partie de E et Card A = CardE alors A = E. Propositio 1.2.3 Soit A et B deux parties de E, esemble i. 1) Si A et B sot disjoites, Card (A B) = Card (A) + Card (B) 2) Card (A \ B) = Card A Card B 3) Card A c = Card E Card A 4) Card (A B) = Card A + Card B Card (A B)

1.2. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES 9 Propositio 1.2.4 (Formule du Crible) Soit (A i, i I) ue famille de parties de l'esemble i E alors pour tout etier 1 ; Card ( i=1a i ) = ( 1) k+1 Card ( k l=1a il ) k=1 1 i 1 <i 2 <i 3 <...<i k Si (A i, i I) est ue partitio de E alors Card ( i=1a i ) = Card (E) Preuve. Par récurrece. Cette formule correspod à la formule du crible das le cadre des probabilités sur des esembles is avec l'hypothèse d'équiprobabilité. Nous verros qu'elle se gééralise à toutes les probabilités (pas seulemet pour la probabilité uiforme). Propositio 1.2.5 (Cardial d'u produit d'esembles is) Soit (E i, i [ 1, ]) ue famille d'esembles is. O a : Card (E 1 E 2... E ) = (Card E 1 )(Card E 2 )...(Card E ). Remarque 1.2.2 Cette formule est fodametale e déombremet. Ue boe compréhesio de sa sigicatio et de sa preuve est le meilleur départ possible e probabilités discrètes. Démostratio. O se cocetre sur = 2, ue fois le résultat établi pour = 2, o peut raisoer par récurrece. Soiet A et B, deux esembles de cardial respectif et p. O va procéder par récurrece sur p. Iitialisos, la récurrece : supposos p = 1, par déitio puisque Card A =, il existe ue bijectio φ : A {1,..., }. L'applicatio : φ : (a, b) A B φ(a) {1,..., } est ue bijectio, doc Card (A B) =. Hypothèse de récurrece : Supposos que la propriété est vraie au rag p. Hérédité : O ote A et B deux esembles avec B de cardial p+1. O ote A = {a 1,..., a }, B = {b 1,..., b p, b p+1 } A B = {(a, b); a A, b B} = A ({b 1,..., b p }) A {b p+1 }. Par hypothèse de récurrece Card (A {b 1,..., b p }) = p, doc Card (A B) = p + = (p + 1). La propriété état héréditaire, iitialisée, o coclut qu'elle est vraie pour tout etier p par récurrece.

10 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX Arragemets et combiaisos Déitio 1.2.2 O appelle p-liste d'u esemble E à élémets, toute suite de p élémets de E. C'est à dire u élémet de E p. Remarque 1.2.3 L'ordre des p-élémets est importat. Ue p-liste peut coteir plusieurs fois le même élémet. O parle aussi de p-uplet, ou p-uple. Théorème 1.2.6 Il y a p p-listes d'u esemble à élémets. Démostratio. O choisit p élémets das E : o a doc à compter le ombre d'élémets de E } E... {{ E }. D'après la propositio 1.2.5, il y a (Card E) p élémets. p fois O peut égalemet raisoer de la faço suivate (c'est e fait tout à fait équivalet, mais la rédactio est diérete) : O choisit d'abord le premier élémet de la liste : o a possibilités. O choisit esuite le secod élémet, o a égalemet possibilités, et aisi de suite p fois. Le ombre de p-listes possibles est alors le produit de toutes ces possibilités : c'est à dire p. E fait, o peut idetier p-liste d'u esemble à élémets et applicatio de {1,..., } das {1,..., p}. O a doc le théorème suivat : Théorème 1.2.7 Soiet A et B de cardial respectif et p. Le ombre d'applicatios de A das B est (Card A) Card B. Déitio 1.2.3 U arragemet de p élémets parmi est ue liste de p élémets disticts d'u esemble E à élémets. Si Card E =, u arragemet de élémets est ue permutatio de E. Théorème 1.2.8 O ote A p le ombre d'arragemets de p parmi. O a : A p = ( 1)...( p + 1) =! ( p)!. Remarque 1.2.4 O ote souvet () p (symbole de Pochhammer) A p (éamois cette otatio 'est pas utilisée e secodaire). Démostratio. Notos A p l'esemble des arragemets de p parmi. O souhaite démotrer que Card A p! = ( p)!. O procède par récurrece sur p. Si p = 1 alors A 1 = (et ce pour tout ). Soit p 1, supposos que la propriété est vraie au rag p. Clairemet A p+1 est e bijectio avec A p A 1 p. Doc par le Théorème 1.2.5 = A p A 1 p. A p+1 Par hypothèse de récurrece, et car A 1 p = p, o a A p+1 =! ( p)! ( p) =! ( p 1)!.

1.2. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES 11 Déitio 1.2.4 (Combiaiso) Soit E u esemble i de cardial. O appelle combiaiso de k élémets de E toute partie de E de cardial k. O ote ( k) le ombre de combiaisos de k élémets parmi. Autremet dit ( k) est le ombre de faços de choisir k élémets parmi sas teir compte de leur ordre. Il faut bie faire la diérece etre partie et liste! Théorème 1.2.9 Pour tout k ( ) = k! k!( k)! Démostratio. O va faire ue récurrece sur. O ote la propriété au rag, P : ( ) k =!. k!( k)! O iitialise la propriété : = 0, o compte les parties de l'esemble vide ; il 'y a qu'ue partie l'esemble vide lui même : ( 0 0) = 1. O motre maiteat l'hérédité, c'est à dire : P = P +1. Soit E = {a 1,..., a +1 }. Soit k = 0, ( ) +1 k = 1 : la seule partie de E avec 0 élémet est l'esemble vide. Soit k 1, ue partie de E cotiet l'élémet a +1 ou o. O écrit doc l'esemble des parties à k élémets de E comme l'uio disjoite des parties à k élémets sas a +1 et des parties à k élémets avec a +1. Comptos le ombre de parties. O a ( k) parties de E coteat k élémets sas a +1. Il reste à compter les parties de E à k élémets coteat a +1. Ces parties s'écrivet de la forme B {a +1 } avec B ue partie de {a 1,..., a } à k 1 élémets. O e déduit qu'il y a ( k 1) parties de E à k élémets coteat a+1. Par hypothèse de récurrece ) =!, doc (k 1)!( k+1)! ( k 1 ( ) + 1 = k ( ) ( ) + = k k 1 ( + 1)! k!( + 1 k)!. Remarque 1.2.5 Au log de la preuve, o a démotré u résultat itéressat, à savoir ( ) + 1 = k ( ) ( ) +. k k 1 Cette relatio permet de calculer les premières valeurs de ( k). Costruire le triagle de Pascal. Propositio 1.2.10 (Formule de Vadermode) 0 p + m ( ) + m = p p k=0 ( )( ) m. k p k Démostratio. Soiet E u esemble de cardial, F u esemble disjoit de cardial m. Déombrer les parties à p élémets de E F.

12 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX 1.3 Exercices Exercice 1.3.1 Ue classe comporte 20 étudiats. Douze lles et huit garços. Le professeur décide de désiger u groupe de travail de trois élèves chargé de préparer u devoir maiso. 1) Combie de groupes de travail de trois élèves est il possible de former? 2) Combie y a-t-il de groupes costitués de trois lles? 3) Combie y a-t-il de groupe avec deux lles et u garço? Exercice 1.3.2 O orgaise u champioat de Curlig. Sept équipes sot qualiées. Si chaque équipe recotre ue seule fois chacue des autres équipes, quel ombre de matchs doit-o prévoir? Si chaque équipe recotre deux fois chacue des autres équipes (match aller, match retour) quel ombre de matchs doit-o prévoir? Exercice 1.3.3 O cosidère poits disticts d'u cercle avec 3. E joigat ces poits deux à deux, combie détermie-t-o de droites? Combie existe-t-il de triagles ayat leurs sommets e ces poits? Exercice 1.3.4 U restaurat propose trois etrées, deux plats et quatre desserts. U meu se compose d'ue etrée, u plat, u dessert. Quel est le ombre de meus? Exercice 1.3.5 O étudie le lectorat de trois revues (a=libératio, b=le Mode, c=le Figaro). Sur 100 persoes iterrogées das la rue, 57 liset a, 42 liset b, 38 liset c, 22 liset a et b, 14 liset b et c, 16 liset a et c, 8 liset a,b et c. Calculer le ombre de persoes 1) qui e liset que a et b, que b et c, que a et c 2) qui e liset que a, que b, que c 3) qui e liset aucue des trois revues. Exercice 1.3.6 (#) Soit N. O pose : 1. Développer (1 + x). f(x) = (1 + x) 2. E déduire la valeur des sommes suivates : A = k=0 ( ), B = k 3. Calculer la dérivée f (x) de deux faços. 4. E déduire la somme : D = k=0 ( ) ( ) + 2 1 2 ( ) 2 k, C = k k=0 ( ) ( ) + 3 + + 3 ( ) ( 1) k k Correctio.

1.3. EXERCICES 13 1. D'après la formule du biôme : f(x) = (x + 1) = p=0 ( ) x p 1 p = p p=0 ( ) x p = p 2. O remarque, grâce à la questio précédete, que : ( ) + 0 A = f(1) = (1 + 1) = 2 B = f(2) = (1 + 2) = 3 ( ) x + 1 ( ) x 2 + + 2 C = f( 1) = (1 1) = 0 car 1 par hypothèse (rappelos que 0 0 = 1) 3. Calculos f (x) de deux faços. D'ue part f(x) = (1 + x) doc : f (x) = (1 + x) 1 O a utilisé la formule : (u ) = u u 1. D'autre part : Doc : f(x) = f (x) = ( ) + 0 ( ) x + 1 ( ) x + 2 1 4. Avec la questio précédete, o voit que : ( 2 ( ) x 2 + + 2 ) x + + ( ) D = f (1) = (1 + 1) 1 = 2 1 ( ) x x 1 ( ) x Exercice 1.3.7 (#) U étudiat va acheter trois livres de math et deux bades dessiées. Das le magasi, il y a dix livres de math et vigt bades dessiées. 1. De combie de faços l'étudiat peut-il faire ses achats? 2. De retour chez lui, il forme ue pile avec ses ouveaux livres. De combie de faços peut-il le faire? 3. Même questio si l'étudiat souhaite que ses livres de math se trouvet e bas de la pile, et ses bades dessiées e haut. 4. Même questio si l'étudiat souhaite que ses livres de math se suivet das la pile (mais pas écessairemet les bades dessiées). Correctio. 1. Pour l'achat des livres, l'ordre 'a pas d'importace. L'étudiat choisit 3 livres de math parmi 10 et 2 bades dessiées parmi 20. Doc le ombre de faços de faire ces achats est : ( )( 10 20 ) 3 2 = 10 9 8 20 19 = 10 3 4 10 19 = 22800. 3 2 2 2. Ici l'ordre compte. L'étudiat choisit u de ses 5 livres pour être le premier de la pile, puis u des 4 autres pour être le deuxième, etc. Il a doc 5 4 3 2 = 5! = 120 faços de costituer la pile. (Nombre de permutatios d'u esemble de cardial 5)

14 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX 3. Das cette questio, l'étudiat forme ue pile avec ses 3 livres de math : il a 3 2 = 6 faços de le faire. Puis ue pile avec ses bades dessiées : il a 2 faços de le faire. E, il place la pile de livres de math sous la pile de bade dessiées, mais il 'y a qu'ue seule faço de faire cela. Il a doc 6 2 = 12 faços de costituer la pile de 5 livres. 4. Ici, l'étudiat forme ue pile avec ses 3 livres de math (doc 6 faços de le faire, o l'a vu), ue pile avec ses bades dessiées (2 faços de le faire), puis il isère la pile de livre de math : sous les bades dessiées ou bie etre les deux bades dessiées ou bie au dessus des bades dessiées Fialemet, il a doc 6 2 3 = 36 faços de costituer la pile. Exercice 1.3.8 10 livres doivet être ragés das ue bibliothèque, dot 4 livres de maths, 3 livres de chimie, 2 livres de littérature, et 1 d'histoire. O souhaite rager les livres de maière que les livres du même sujet soiet regroupés sur l'étagère. Combie d'arragemets sot possibles? Exercice 1.3.9 1. O appelle partage par paire d'u esemble toute partitio dot les parties cotieet chacue deux élémets. Quel est le ombre de partages par paires d'u esemble de 2 élémets? 2. O cosidère 32 joueurs de teis, de combie de faços peut-o orgaiser le premier tour d'u touroi de teis e simple? E double? Exercice 1.3.10 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Démotrer que si card (Ω) = alors card(p(ω)) = 2 Exercice 1.3.11 Motrer que pour tous, p N, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 = et = +. p p p + 1 p p + 1 Exercice 1.3.12 Soiet A, B et C trois parties d'u même esemble E. 1. A l'aide de dessis, justier les lois de Morga : (A B) c = A c B c et (A B) c = A c B c. 2. A l'aide de dessis, Justier les relatios esemblistes suivates : A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). 3. Doer ue forme simpliée des expressios : (A B) (A B c ) et (A B) (A c B) (A c B c ).

Chapitre 2 Espaces probabilisés A de motiver les déitios qui suivet, voici deux exemples types de problèmes où les probabilités se révèlet écessaires. Il est courat que des exercices soiet éocés de cette maière e secodaire ou das les premières aées d'uiversité. Exemple 2.0.1 (Cotrôle de productio) Ue usie produit à grade échelle ue pièce mécaique. Le processus de fabricatio est complexe et e permet pas de détecter à tout momet si ue pièce est défectueuse. Néamois, le fabricat a des egagemets evers ses cliets et souhaite vérier que so stock e cotiet pas trop de pièces défectueuses. Pour e estimer le ombre, o peut par exemple predre 100 pièces et compter combie sot défectueuses. Si o e trouve 3, o a evie de coclure que 3% de la productio sera défectueuse. Ce 'est évidemmet pas précis, et le calcul des probabilités est écessaire pour répodre à la questio. Exemple 2.0.2 (Fiabilité) Imagios qu'u système embarque plusieurs composats électroiques qui tombet e pae à des temps aléatoires. A d'assurer la abilité du système, o a besoi d'iformatios précises sur ces temps aléatoires. Cela ous coduira à cosidérer des lois de probabilités. Das cette sectio, ous présetos les fodemets de la théorie. Les exercices associés sot u peu abstraits mais permettet ue compréhesio plus globale de la théorie. 2.1 Termiologie probabiliste et otio de probabilité La première étape pour étudier u phéomèe aléatoire est d'idetier les résultats possibles d'ue expériece impliquat ce phéomèe. Déitio 2.1.1 O ote Ω l'esemble de tous les résultats possibles. O appelle cet esemble l' uivers (o parle égalemet d'esemble fodametal ou d'espace d'états). Repreos l'exemple 2.0.1. Supposos que sur N = 10000 pièces, u ombre m de pièces sot défectueuses. O tire maiteat au sort = 100. Commet décrire Ω? O peut predre pour uivers Ω l'esemble des tirages de pièces sas teir compte de l'ordre : c'est à dire l'esemble des combiaisos de élémets parmi N. Le cardial de Ω est doc le ombre de combiaisos de élémets parmi N : ( N ) = N!!(N )!. O peut predre pour uivers l'esemble des tirages teat compte de l'ordre : das ce cas, il s'agit de l'esemble des arragemets de élémets parmi N. Le cardial de Ω est doc A N. 15

16 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS O peut égalemet predre pour uivers l'esemble décrit par le ombre de pièces défectueuses tirées : Ω = {0, 1,..., }. Il 'y a doc pas uicité de l'espace Ω. Plusieurs choix sot possibles, le meilleur est toujours celui qui mèe aux calculs les plus simples... Das l'exemple de durée de foctioemet, s'il y a u seul composat, l'espace de probabilité aturel pour modéliser le temps de pae est Ω = R +. S'il y a N composats, o peut predre Ω = R N +. Ue fois le choix de l'uivers clair, o peut s'itéresser à certais évéemets. Par exemple le ombre de pièces défectueuses est iférieur à 5 (das l'exemple 2.0.1) ou le composat e tombe pas e pae das les 10 prochaies aées. Si l'o peut décrire u évéemet à l'aide d'ue phrase, il faut bie compredre que c'est u sous-esemble de l'uivers Ω 1 Le tableau suivat doe les correspodaces etre esembles et évéemets. Notatios vocabulaire esembliste vocabulaire probabiliste ω élémet de Ω tirage, résultat possible ou expériece ω A ω appartiet à A l'expériece ω réalise A A B A coteu das B l'évéemet A etraîe l'évéemet B A B réuio de A et B A ou B A B itersectio de A et B A et B A c esemble complémetaire de A évéemet "o A" esemble vide évéemet impossible Ω esemble plei évéemet certai A B = A et B disjoits A et B évéemets icompatibles. L'objectif est doc d'étudier les occurreces de ces évéemets. O eted par occurrece, la probabilité d'apparitio de l'évéemet : c'est à dire u réel apparteat au segmet [0, 1], vériat certaies propriétés aturelles (voir Déitio 2.1.5). Lorsque Ω est o-déombrable, il est impossible d'attribuer à chaque élémet de P(Ω), ue probabilité vériat ces propriétés et o e peut déir P que sur u sous-esemble strict de P(Ω). Ces dicultés mèet à la otio de tribu qui peut être passée e première lecture. Déitio 2.1.2 Ue tribu (aussi appelée σ-algèbre) sur u esemble Ω est ue famille F de parties de Ω, vériat les trois propriétés suivates : Ω F Pour tout élémet A de F, A c appartiet à F (o parle de stabilité par passage au complémetaire) Pour toute suite (A ) N d'élémets de F, N A F. Propositio 2.1.1 L'itersectio déombrable de tribus est ue tribu (voir Exercice). E gééral, la réuio de deux tribus 'est pas ue tribu! Déitio 2.1.3 La tribu egedrée par u esemble de parties G de Ω est la plus petite tribu, 1. c'est ue diculté lorsque l'o débute e probabilité.

2.1. TERMINOLOGIE PROBABILISTE ET NOTION DE PROBABILITÉ 17 au ses de l'iclusio, coteat G. O a doc σ(g) := A tribu ;G A Déitio 2.1.4 Ue tribu importate, à laquelle ous feros implicitemet référece das le chapitre 4, est la tribu des borélies. La tribu des borélies est la tribu sur R d egedrée par l'esemble G des pavés ouverts (des itervalles ouverts si d = 1). O la otera B(R d ). Itroduisos maiteat la otio de probabilité. La première otio de probabilité étudiée e secodaire est celle d'équiprobabilité das u uivers Ω i. Supposos que de par l'expériece tous les élémets de Ω ot la même chace d'être obteu (c'est la otio d'équiprobabilité) o déit ue otio de probabilité de la faço suivate. Soit A u évéemet. La probabilité de A est la proportio d'élémets de A das Ω. O déit P(A) = Card A Card Ω. Les propriétés du cardial d'u esemble coduiset immédiatemet à la célèbre formule A. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). E eet Card (A B) = Card A + Card B Card (A B). Cette otio de probabilité est d'u certai poit de vue la plus simple et ramèe le calcul à des questios de déombremet (parfois loi d'être faciles). Remarque 2.1.1 Ces derières aées, les programmes e mettet pas l'accet sur le déombremet, éamois vous devez e coaître les rudimets. La situatio d'équiprobabilité est u cas particulier (o parlera das la suite de loi uiforme). Pour avoir ue déitio tout à fait géérale et pouvoir par exemple étudier les probabilités pour des expérieces liées à des uivers iis, suivos l'approche fréquetiste. Lorsque l'o peut répéter u grad ombre de fois ue même expériece aléatoire, o costate que la fréquece d'apparitio d'u évéemet A, c'est à dire le quotiet ombre de fois que A se réalise ombre de fois que l'o fait l'expériece uctue de mois e mois et semble coverger vers ue limite au fur et à mesure que le ombre d'expérieces gradit. O ote cette quatité P(A). De faço heuristique, si P(A) est proche de 1, A s'est produit très souvet et doc lors d'ue expériece, l'évéemet A a beaucoup de chaces de se réaliser. Au cotraire si P(A) est proche de 0, alors A s'est peu produit et la chace qu'il se réalise est petite. Si A et B sot des évéemets icompatibles, alors le ombre de fois ou l'évéemet A B se réalise est simplemet la somme du ombre de fois où A s'est réalisé et du ombre de fois ou B s'est réalisé. E "passat à la limite", o a si A B = P(A B) = P(A) + P(B).

18 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Présetée telle quelle la otio de probabilité 'est pas du tout rigoureuse. E eet, ous e pouvos pas a priori maipuler des limites sas savoir si elles existet. Cepedat, cette heuristique ous idique déjà qu'ue probabilité est ue applicatio qui va de l'esemble des évéemets à l'itervalle [0, 1] et qui de plus vériet certaies propriétés d'additivité. Nous allos poser comme axiome qu'ue probabilité vérie la σ-additivité, qui est ue gééralisatio de l'additivité vue ci-dessus. Déitio 2.1.5 Si F est ue tribu sur l'esemble Ω, ue probabilité sur la tribu F est ue applicatio otée P de F das [0, 1] telle que : P(Ω) = 1 Pour toute suite (ie ou iie) (A, 1) d'évéemets deux à deux disjoits de F, P( 1 A ) = 1 P(A ). Le triplet (Ω, F, P) est appelé espace probabilisé. Avec cette déitio, c'est u théorème qui établira la covergece des fréqueces d'apparitio de cet évéemet vers sa probabilité (Loi des grads ombres, voir Chapitre 5). Remarque 2.1.2 Il est légitime de se poser la questio de l'itérêt de la otio de tribu. Lorsque Ω est au plus déombrable, cela e pose e gééral pas de problème, o predra F = P(Ω). Lorsque Ω est ii o déombrable, typiquemet Ω = R, o e peut pas déir ue probabilité sur la tribu P(Ω). Il existe des parties de R qui 'appartieet pas aux borélies. Nous 'iros pas plus loi sur ces questios qui sortet du programme. Mais il est bo de savoir qu'il existe des esembles o borélies. Das la propositio suivate sot rassemblées des propriétés élémetaires mais fodametales liées à la déitio : Propositio 2.1.2 Pour tout évéemet A, P(A c ) = 1 P(A) Pour tous évéemets A et B, P(B) = P(B A)+P(B A c ). Plus gééralemet si (A i, i I) est ue partitio de Ω alors P(A) = i I P(B A i). Si A B alors P(A) P(B) et P(B \ A) = P(B) P(A). Pour tous évéemets A, B : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Si A 1, A 2,..., A,... est ue suite d'évéemets : o a ( ) ( ) ( ) ( P A = 1 P et P A = 1 P Soiet évéemets A 1, A 2,..., A alors P ( i=1 A i) i=1 P(A i ) A c A c ) Propositio 2.1.3 (Propriété de la limite mootoe) 1) Si A 1, A 2,..., A,... est ue suite croissate (pour l'iclusio) d'évéemets et que l'o ote A = A alors P(A) = lim P(A ).

2.1. TERMINOLOGIE PROBABILISTE ET NOTION DE PROBABILITÉ 19 2) Si A 1, A 2,..., A,... est ue suite décroissate (pour l'iclusio) d'évéemets et que l'o ote A = A alors P(A) = lim P(A ). Démostratio. O démotre seulemet 1). La preuve de 2) est similaire, il sut de passer au complémetaire. Si (A, 1) est ue suite croissate au ses de l'iclusio alors (P(A ), 1) est ue suite réelle croissate majorée par 1. La suite est doc covergete. O déit les évéemets suivats B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B i = A i \ A i 1. Clairemet i=1 B i i=1 A i. Vérios l'iclusio réciproque. Soit ω i=1 A i. O pose k = mi{i [ 1, ]; ω A i }. De deux choses l'ue, si k = 1, ω A 1 = B 1, si k > 1, ω A k \ A k 1 = B k. Doc i=1 A i i=1 B i. Par σ-additivité : ( ) P B i = P(B i ) Or k=1 P(B k) = P ( k=1 B k) = P ( k=1 A k) = P(A ), doc i=1 i=1 (P(A ), 1) coverge. Propositio 2.1.4 (Formule du Crible) Soit (A i, i I) ue famille d'évéemets alors pour tout etier 1 ; Démostratio. A vous! P ( i=1a i ) = ( 1) k+1 P( k l=1a il ). k=1 1 i 1 <i 2 <i 3 <...<i k Trois cas fodametaux sot à distiguer cocerat l'uivers Ω. Uivers i Supposos que l'expériece doe p résultats possibles Ω = {a 1,..., a p }. O ote la probabilité de l'évéemet élémetaire a i, P[{a i }] = p i. Les évéemets {a i } sot disjoits et quelque soit l'évéemet A, o a A = i;a i A {a i} et doc P(A) = i [ 1,p ],a i A Lorsque Ω est i le calcul d'ue probabilité reviet au calcul d'ue somme ie. Lorsque de plus, l'expériece a des réalisatios équiprobables, p i = p élemet de [0, 1] idépedat de i et P(A) = p i = p = pcard A. i;a i A i;a i A p i.

20 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS O obtiet aisi avec A = Ω, p = 1. Das ce cas, le calcul se ramèe à u problème de Card Ω déombremet. Nous retiedros la formule p = ombre de cas favorables ombre de cas possibles. Exemple 2.1.1 (Les aiversaires) O cherche à calculer la probabilité qu'au mois deux persoes parmi soiet ées le même jour. O formalise le problème e preat Ω = [ 1, 365 ], c'est à dire l'esemble des aiversaires possibles parmi les. O suppose que tous les jours sot équiprobables. Soit A l'évéemet Au mois, deux persoes ot leur aiversaire le même jour Calculer P[A] peut sembler dicile, il faut peser à regarder ce que sigie l'évéemet cotraire : A c : chaque persoe parmi les est ée u jour diéret. Puisqu'o a supposé que tout était équiprobable, P[A c ] = ombres de cas favorables ombres de cas possibles = A 365 365 O a alemet P[A] = 1 P[A c ] = 1 A 365 0.5 pour = 23. 365 Nous avos vu précédemmet que plusieurs choix d'uivers sot parfois possibles pour ue même expériece aléatoire (éamois ous parleros de l'uivers). Certais choix aidet les calculs. O repred l'exemple 2.0.1 du cotrôle de productio où ous allos voir apparaître ue première loi usuelle importate : la loi hypergéométrique. Exercice 2.1.1 (#) O tire pièces sas remise das ue productio de N pièces parmi lesquelles m sot défectueuses. Quelle est la probabilité de l'évéemet : le ombre de pièces tirées défectueuses est égal à k? Solutio : Si o choisit de predre comme uivers Ω, l'esemble des tirages de pièces parmi N sas teir compte de l'ordre. C'est à dire l'esemble des combiaisos de parmi N. Chaque élémet de Ω a doc pour probabilité ( N ), et ous sommes das ue situatio d'équiprobabilité : (il y a autat de raiso de tirer u -uplet o ordoé qu'u autre). l'évéemet A k : le ombre de pièces tirées qui sot défectueuses est égal à k correspod à la partie de Ω des -uplets o ordoés qui cotieet exactemet k objets défectueux. O a doc P(A k ) = Card A k Card Ω = Card A k ( N ). O cherche doc à calculer Card A k. Si k + 1 alors clairemet Card A k = 0. Si k > m ou k > N m alors Card A k = 0 (o e peut pas tirer plus de pièces défectueuses que m, i avoir plus de pièces o-défectueuses que N m). Das les autres cas : o compte Card A k = ( )( k k m N m). Doc alemet : ( k k ) P(A k ) = m)( N m ( N. )

2.1. TERMINOLOGIE PROBABILISTE ET NOTION DE PROBABILITÉ 21 C'est la loi hypergéométrique. L'exercice est résolu. Preos maiteat l'uivers des tirages où l'ordre compte, c'est à dire que Ω est l'esemble des arragemets de parmi N. Le fait de predre l'ordre des pièces que l'o tire e compte, e chage rie quat au fait de tirer ue pièce défectueuse ou o. Il 'y a pas plus de chace de tirer tel ou tel arragemet. Nous sommes à ouveau das u cadre équiprobable. O a cette fois Card Ω = A N. De la même faço que précédemmet, o idetie l'évéemet à B k = {arragemets de objets parmi N avec k défectueux}. Il faut calculer Card B k : Pour réaliser u -uplet ordoé avec k élémets défectueux, o commece par choisir la place des élémets défectueux : o a ( k) possibilités. O choisit u k-uplet ordoé parmi les m défectueux : o a A k m possibilités. Il faut aussi choisir u ( k)-uplet ordoé parmi les N m objets o défectueux : o e a A k N m. Fialemet O a doc ( ) Card B k = A k k ma k N m! m! (N m)! = k!( k)! (m k)! (N m + k)! m! (N m)! =! k!(m k)! ( k)!(n m + k)! ( )( ) m k =! k N m P(B k ) =!( )( m k ) k N m A N = ( k k ) m)( N m ( N. ) Ce qui correspod à la probabilité calculée précédemmet. Il faut oter que du fait de l'expériece, il 'est pas aturel de predre e compte l'ordre des pièces que l'o tire et que le calcul est plus dagereux. Uivers ii déombrable Si Ω = {a 1, a 2,..., a i,...}, o ote p i = P({a i }). Comme précédemmet Ω = i 1 {a i}, et i 1 p i = 1. De plus tout évéemet A peut s'écrire A = i:a i A {a i}, d'où P(A) = i;a i A Doc lorsque Ω est déombrable, le calcul d'ue probabilité sera lié à celui de la somme d'ue certaie série. Il est importat de oter que das le cas d'u uivers ii déombrable il 'y a plus de otio d'équiprobabilité! E eet supposos que p i est ue costate p, l'égalité i 1 p i = 1 'est plus vériée. Remarque 2.1.3 A ce propos, tout texte commeçat par ue phrase du type O choisit u ombre au hasard 'a pas de ses mathématique. L'esemble des etiers est ii déombrable, et vous e pouvez pas choisir de faço équiprobable u etier. p i.

22 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Uivers ii o-déombrable Le derier cas à distiguer est celui où Ω est o-déombrable. Vous pouvez facilemet imagier ue expériece où l'uivers est R (exemple?). Exemple 2.1.2 (Fléchettes) O cosidère l'expèriece suivate : o lace ue échette sur ue cible. O s'itéresse à la positio de la échette. U choix d'uivers Ω est clairemet P(D) où D est le disque représetat la cible. Soit A P(Ω), o a evie de déir la probabilité que A se réalise par aire de A P(A) = aire de D. Cepedat la théorie de la mesure ous dit qu'il existe des sous-esembles A pour lesquels o e peut pas déir d'aire. Il faut se restreidre aux parties de Ω qui ot ue aire bie déie. U uivers associé à l'étude de la distace etre la échette et le cetre du disque est Ω = R 2 et o peut predre la tribu des borélies. Pour étudier la trajectoire de la échette, o peut predre Ω = C(R +, D) : l'esemble des foctios cotiues. Le choix de la tribu est plus dicile et sort du cadre du cours. 2.2 Probabilité coditioelle O déit das ce paragraphe la otio de probabilité coditioelle. Déitio 2.2.1 Soiet A et B deux évéemets avec P(B) > 0. O appelle probabilité coditioelle de A sachat B et o ote P B (A) = P(A B) P(B) La quatité P B (A) est la probabilité que l'évéemet A se réalise sachat que B est arrivé. Si o sait que B est arrivé, o peut restreidre l'uivers à Ω B. Remarque 2.2.1 Pour compredre pourquoi o pose cette déitio, o peut repredre l'approche fréquetiste. De faço heuristique, si o ote N A B et N B respectivemet le ombre de fois que A et B se réaliset et le ombre de fois que B se réalise, parmi N expérieces. O a N A B P B (A) = lim N N B N A B = lim N N N N A B = lim N B N N lim N N = N B P(A B). P(B) Il existe ue autre otatio courammet utilisée pour les probabilités coditioelles : P(A B). Cette otatio 'est pas celle au programme du secodaire. D'autre part, il faut bie compredre que A B 'est pas u évéemet! A B seul 'état pas déi e doit pas apparaître das vos copies! Propositio 2.2.1 Soiet (Ω, F, P) u espace probabilisé et B élémet de F tel que P(B) > 0. Alors l'applicatio P B de F das [0, 1] est ue probabilité. Démostratio. Laissée e exercice.

2.2. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 23 Exercice 2.2.1 O repred l'exemple du cotrôle de productio : N objets, m défectueux. O suppose que l'o tire les élémets de l'échatillo les us après les autres. La probabilité que le premier objet tiré soit défectueux est m. Quelle est la probabilité de tirer u objet défectueux au N deuxième tirage sachat que l'o a tiré u objet défectueux au premier tirage? Exercice 2.2.2 [Test de maladie] U laboratoire pharmaceutique met au poit u test pour détecter ue maladie. O sait que la maladie touche 1% de la populatio. O eectue le test sur u échatillo de malades et voit que 95% sot positifs. O eectue esuite le test sur ue populatio de o malades et 5% sot déclarés positifs par le test. Formaliser l'éocé (doer u uivers). Est-ce u bo test? Les évéemets à cosidérer sot : Malade, No malade, Test positif, Test égatif. Les doées du problèmes sot alors : P(Malade) = 0.01, P Malade (Test positif) = 0.95 et P(Test égatif) = 0.05. Ue faço de juger la qualité du test est de calculer la probabilité d'être malade sachat que le test est positif. C'est à dire P Test positif (Malade). Pour faire ce calcul, o a besoi de la formule de Bayes. 2.2.1 Formule des probabilités totales et formule de Bayes Propositio 2.2.2 (formule des probabilités composées) Soiet évéemets A 1,..., A tel que P(A 1 A 2... A 1 ) > 0, o a : P(A 1 A 2... A ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )...P(A A 1 A 2... A 1 ). Démostratio. Si P(A 1 A 2... A 1 ) > 0 alors pour tout 1 i 1 P(A 1 A 2... A i ) > 0. Faire ue récurrece. Propositio 2.2.3 Soit B u évéemet tel que P(B) > 0 et P(B c ) > 0 alors pour tout évéemet A : P(A) = P B (A)P(B) + P B c(a)p(b c ). Démostratio. O a A = (A B) (A B c ) et les évéemets A B et A B c sot disjoits doc P(A) = P(A B) + P(A B c ), o coclut par déitio des probabilités coditioelles. O gééralise cette propositio : Propositio 2.2.4 (Formule des probabilités totales) Si (B i, i 1) est ue famille au plus déombrable d'évéemets format ue partitio de Ω et P(B i ) > 0 pour tout i I, alors pour tout évéemet A, o a : P(A) = i I P Bi (A)P(B i ). Démostratio. Laissée e exercice. Remarque 2.2.2 (Lie avec les arbres podérés) Les formules des probabilités composées et des probabilités totales sot à rapprocher de la représetatio e arbre podéré utilisée au lycée pour représeter ue expériece aléatoire. O rappelle qu'u arbre podéré est u arbre tel que :

24 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS La somme des podératios (ou probabilités) des oeuds issus d'u même sommet doe 1. La probabilité d'u chemi est le produit des probabilités des braches qui le composet. La podératio de la brache allat du sommet A vers le sommet B est la probabilité coditioelle de B sachat A, P A (B). La costructio d'u arbre podéré obéit au pricipe suivat : le oeud racie réprésete l'évéemet certai ω, et si u oeud représete u évéemet A, o costruit autat de ls qu'il y a d'évéemets A E, où (E ) est ue partitio de Ω. La formule des probabilités composées est la traductio exacte de l'item 2. ci-dessus : la probabilité d'u oeud de l'arbre est la probabilité de l'itersectio des évéemets qui composet le chemi qui le relie au sommet. La formule des probabilités totales das ce cotexte dit que la probabilité d'u évéemet est la somme des probabilités des feuilles de l'arbre qui coceret cet évéemet. Exemple 2.2.1 O dispose de deux ures, l'ue coteat 1 boule blache et 3 oires, l'autre 2 blaches et 2 oires. O choisit uiformémet au hasard parmi les deux ures, puis o tire au hasard ue boule das l'ure choisie. O cosidére la probabilité de l'évéemet A = o tire ue boule oire. L'uivers Ω est {(i, j), i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4}, où i est le uméro de l'ure et j celui de la boule. O cosidére la partitio Ω = E 1 E 2, où E i = {(i, j), j = 1, 2, 3, 4} qui est l'évéemet cosistat à choisir l'ure i. Si o umérote e premier les boules oires, l'évéemet A s'écrit {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)}. Pour tout i, la probabilité coditioelle P Ei est la probabilité uiforme sur E i. Doc P E1 (A) = 3/4 et P E2 (A) = 1/2. D'après la formule des probabilités totales, P(A) = P E1 (A)P(E 1 ) + P E2 (A)P(E 2 ) = 3 1 + 1 1 = 5. 4 2 2 2 8 Propositio 2.2.5 (Formule de Bayes simple) Soiet A et B deux évéemets tels que P(A), P(B) et P(B c ) sot strictemet positifs. O a : P A (B) = P B (A)P(B) P B (A)P(B) + P B c(a)p(b c ). Démostratio. O a P A (B) = P(B A) = P(A B)P(B). O décompose esuite le déomiateur P(A) P(A) par la formule des probabilités totales : P(A) = P B (A)P(B) + P B c(a)p(b c ). A ouveau, cette propositio se gééralise, à ue famille format ue partitio de Ω. Propositio 2.2.6 (Formule de Bayes) Si (B i, i I) est ue famille qui forme ue partitio de Ω telle que pour tout i I, P(B i ) > 0 alors, quelque soit l'évéemet A, si P(A) > 0 P A (B i ) = P Bi (A)P(B i ) i I P B i (A)P(B i ). Démostratio. Même argumet que précédemmet. Les deux derières formules permettet de calculer des probabilités coditioelles P A (B) coaissat les probabilités iverses P B (A). Exercice 2.2.3 Calculer la probabilité d'avoir tiré ue boule das la première ure sachat que c'est ue oire. Sous so apparete simplicité, la formule de Bayes est le départ d'ue théorie etière appelée la statistique bayésiee.

2.2. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 25 Nous repreos maiteat la questio de l'exercice 2.2.2 cocerat le test de maladie. La formule de Bayes va ous permettre de calculer la probabilité qu'u idividu soit malade sachat qu'il a été testé positif. O ote M l'évéemet malade, T l'évéemet test positif. O a P M (T )P(M) P T (M) = P M (T )P(M) + P M c(t )P(M c ) = 0.16. Résultat, le test 'est pas bo. 2.2.2 Idépedace Nous passos maiteat à ue otio fodametale e probabilités : la otio d'idépedace. Si la coaissace d'u évéemet 'iue e rie sur la probabilité d'u autre, o dit que les évéemets sot idépedats. La otio de probabilité coditioelle formalise cela. Si B est u évéemet avec probabilité strictemet positive et P(A B) = P(A) alors A et B sot dit idépedats. Par déitio des probabilités coditioelles cela équivaut à la déitio suivate : Déitio 2.2.2 Deux évéemets A et B sot idépedats si P(A B) = P(A)P(B). Pour illustrer cette otio, o repred l'exemple de cotrôle de productio. Exemple 2.2.2 (Cotrôle de productio o destructif) O a N objets, m défectueux. O tire au hasard objets parmi les N e remettat chaque objet après l'avoir tiré. (o parle de tirage avec remise). Soit l' évéemet A i : l'objet tiré au ième tirage est défectueux. Motrer que A i et A j sot idépedats pour tout i j. Exemple 2.2.3 Cette fois o e remet pas l'objet tiré. (tirage sas remise). Calculer P(A 1 A 2 ) et coclure que ce e sot pas des évéemets idépedats Propositio 2.2.7 Soiet A et B deux évéemets idépedats alors A c et B sot idépedats, aisi que A et B c et A c et B c. Démostratio. Laissée e exercice. O gééralise maiteat la otio d'idépedace à ue famille d'évéemets : Déitio 2.2.3 (Idépedace mutuelle) Soit ue famille (A i, i I) d'évéemets. O dit qu'elle est formée d'évéemets (mutuellemet) idépedats si pour toute sous famille ie i 1, i 2,..., i p de I o a : ( p ) p P A ik = P(A ik ). k=1 Attetio à bie oter que l'idépedace de A i et A j pour tout i j 'implique pas l'idépedace de la famille (A i, i I). Doos u cotre-exemple : Ω = {1, 2, 3, 4}, mui de la probabilité uiforme. Cosidérer A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {2, 3}. k=1

26 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS 2.3 Variables aléatoires : otio de loi et de momets O a vu das la sectio précédete, les dicultés que le choix de l'uivers pouvait impliquer. Das la plupart des cas, o se cocetre sur les évéemets que l'o souhaite étudier. Plus gééralemet, o déit la otio de variables aléatoires déies sur u espace Ω abstrait. Ue variable aléatoire est ue applicatio dot la valeur déped du résultat de l'expériece aléatoire. O rappelle que B(R d ) est la tribu des borélies, c'est à dire la tribu egedrée par les pavés i=1 ]a i, b i [. Déitio 2.3.1 Ue variable aléatoire X est ue applicatio telle que pour tout A B(R d ) X : ω Ω X(ω) R d X 1 (A) = {ω Ω; X(ω) A} F. (2.1) Cela correspod à la otio de mesurabilité : X est ue foctio F-mesurable à valeurs das l'espace euclidie. E probabilité, cela sigie que l'o peut étudier l'évéemet X tombe das i=1 [a i, b i ]. Pour tout B B(R d ), o idetiera l'évéemet X 1 (B) avec X B. O admet la propositio suivate issue de la théorie de la mesure. Propositio 2.3.1 L 0 (Ω, F) l'esemble des variables aléatoires à valeurs das l'espace euclidie R d est u espace vectoriel. Exemple 2.3.1 (Foctio idicatrice) Soit A u évéemet. O déit 1 si ω A 1 A : ω 0 sio. Exemple 2.3.2 O lace ue échette sur ue cible et cherche à coaître la distace etre la échette et le cetre de la cible. O pose Ω = R 2 et X : w = (x, y) x 2 + y 2. X est ue foctio cotiue (doc mesurable) et vérie la coditio 2.1. Remarque 2.3.1 Lorsque l'o peut predre F = P(Ω) (par exemple, lorsque Ω est i, et que l'o souhaite que tous les évéemets élémetaires soiet das la tribu) alors la coditio 2.1 est toujours vraie. Propositio 2.3.2 L'esemble des variables aléatoires déies sur u même espace (Ω, F) forme ue algèbre : e particulier la somme et le produit de deux variables aléatoires sot des variables aléatoires.

2.3. VARIABLES ALÉATOIRES : NOTION DE LOI ET DE MOMENTS 27 2.3.1 Loi d'ue variable aléatoire Le plus souvet, (typiquemet lorsque la variable aléatoire pred u ombre ii de valeurs), lorsque l'o étudie la variable aléatoire X, o 'étudie pas X(ω) e chaque ω, mais la probabilité avec laquelle X se répartit das les borélies. La variable aléatoire X est aisi souvet caractérisée par sa foctio de répartitio ou par sa loi. Déitio 2.3.2 O appelle loi ou distributio d'ue variable aléatoire X déie sur u espace probabilisé (Ω, F, P), l'applicatio O a le résultat fodametal suivat : P X : B B(R d ) P(X 1 (B)). Propositio 2.3.3 L'applicatio P X est ue probabilité sur (R d, B(R d )). Démostratio. A faire e cours. Exemple 2.3.3 (jeu de dé) O joue au jeu suivat : o lace u dé équilibré. O réalise u gai ul si o obtiet 1, 1 euro si o obtiet 2, 3 ou 4 et 2 euros si le résultat est 5 et 4 euros si le résultat est 6. O déit la variable aléatoire X doat le motat du gai. Détermier sa loi. Propositio 2.3.4 Si X est ue variable aléatoire sur (Ω, F). Soit g ue foctio cotiue par morceaux sur X(Ω) alors l'applicatio g X est ue variable aléatoire. O la ote souvet g(x). 2.3.2 Foctios de répartitio et idépedace O se place das le cas des variables aléatoires réelles : c'est à dire à valeurs das R. O ote souvet v.a.r pour variable aléatoire réelle. Déitio 2.3.3 O appelle foctio de répartitio de X, l'applicatio : F : x R P(X x). Comme metioé précédemmet l'évéemet X x s'idetie à X 1 (], x]). Propositio 2.3.5 Toute foctio de répartitio vérie les propriétés suivates : 1. F est croissate 2. lim F (x) = 0 et lim x F (x) = 1 x + 3. F est cotiue à droite e tout poit de R 4. F a ue limite à gauche e tout poit x de R, et x R, F (x) F (x ) = P[X = x] où F (x ) = lim F (t). t x;t<x 5. L'esemble des poits de discotiuité de F est au plus déombrable.

28 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Remarque 2.3.2 La foctio de répartitio peut être déie pour des vecteurs aléatoires, e preat la relatio d'ordre (x 1,..., x p ) (x 1,..., x p) si x i x i pour i [ 1, ] Démostratio. 1. Soit y x, F (y) F (x) = P[x < X y] 0 2. F ( ) = P(X ], ]). Soit A = X 1 (], ]), (A, 1) est ue suite décroissate d'évéemets. Par limite mootoe : lim P(A ) = P( k=1 A k), or k=1 A k = doc lim P(A ) = lim F ( ) = 0. F état ue foctio mootoe, o a lim x F (x) = lim F (). 3. Comme F est mootoe (croissate), pour motrer que F est cotiue à droite, il sut de motrer que F (x + 1 ) F (x). La suite d'évéemets A := X ( 1 ], x + 1 ]) est décroissate, doc la suite (P(A ), 1) coverge et ( ) lim P(A ) = P A = P(X 1 (], x]) = F (x). =1 4. A ouveau, o étudie F ( x ) 1, o cherche à motrer que cette suite a ue limite quad ted vers +. O ote A = X ( 1 ], x 1 ]). La suite (A, 1) est croissate doc P(A, 1) coverge et sa limite est ( ) P A. O a =1 A = X 1 (], x[), par suite =1 lim F (x 1 ) = P(X < x). La foctio F a doc ue limite à gauche e x, elle vaut P(X < x). De plus o a F (x) lim t x F (t) = P(X x) P(X < x) = P(X = x). 5. O ote D := {x 0 tel que lim F (x) F (x 0 ) 1 }. Comme F est croissate et comprise x x + 0 etre 0 et 1, D cotiet au plus élémets. Soit D l'esemble des poits de discotiuité, D = =1 D, doc D est ue uio déombrable d'esembles is. Le théorème suivat ous dit que si les propriétés 1, 2, 3 sot vériées alors la foctio F est la foctio de répartitio d'ue variable aléatoire réelle. Théorème 2.3.6 Toute foctio F : R [0, 1] telle que 1. F est croissate

2.3. VARIABLES ALÉATOIRES : NOTION DE LOI ET DE MOMENTS 29 2. lim F (x) = 0 et lim x F (x) = 1 x + 3. F est cotiue à droite e tout poit de R est la foctio de répartitio d'ue variable aléatoire réelle. Propositio 2.3.7 La foctio de répartitio de X caractérise sa loi. Démostratio. Pour tout x < y, P X (]x, y]) = F (y) F (x), doc F doe P X sur les parties du types ]x, y], comme ces parties egedret la tribu boréliee, cela caractérise P X sur tout B(R). Le terme variable aléatoire est particulièremet utilisé pour des variables réelles. Lorsque X est à valeurs das R d, o parle plus courammet de vecteurs aléatoires. Lorsque d 2, la déitio géérale (Déitio 2.3.1) correspod à la déitio d'u vecteur aléatoire. De faço équivalete, u vecteur aléatoire est ue applicatio X 1 (ω) X 2 (ω) X : ω Ω... X (ω) où chaque X i est ue v.a.r. O itroduit maiteat l'idépedace des variables aléatoires. Déitio 2.3.4 Deux variables aléatoires X et Y sot idépedates si P(X A et Y B) = P(X A)P(Y B) pour tous A, B borélies. Déitio 2.3.5 (idépedace mutuelle) (X i, i I) est ue famille de variables aléatoires idépedates si pour toute sous-famille {i 1,..., i p } ie de I, o a, pour toute famille de borélies (B k ) 1 k p ( p ) p P (X ik B k ) = P(X ik B k ). k=1 Exemple fodametal : si A et B sot deux évéemets idépedats alors 1 A et 1 B sot deux variables aléatoires idépedates. L'idépedace correspod à ue structure produit cachée. Pour costruire deux variables idépedates sur u même espace probabilisé. O peut muir le produit cartésie X(Ω) Y (Ω) de la probabilité produit P X P Y déie par P X P Y (]a, b] ]c, d]) = P X (]a, b])p Y (]c, d]) pour tout a < b, c < d. Critère d'idépedace : Si k=1 X 1 (ω) X 2 (ω) X : ω Ω... X (ω)

30 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS alors X 1,..., X sot idépedates si et seulemet si P (X1,...,X ) = P X1 P X2... P X. 2.4 Exercices Exercice 2.4.1 (Uivers) Proposer u uivers Ω pour chacue des expérieces suivates : 1) O lace deux dés. Etat doé que le premier dé doe 3, quelle est la probabilité que le total des deux dés dépasse 6? 2) O lace u dé rouge et u dé bleu et o observe les poits doés par chacu d'eux 3) O tire ue pièce plusieurs fois jusqu'à obteir face pour la première fois. O observe combie de lacers o doit faire. Soit A : o obtiet face après u ombre pair de lacers. A est il u évéemet? Exercice 2.4.2 Exprimer chacu des évéemets suivats à l'aide des opératios de complémetatio, uio et itersectio : A et B se réaliset, mais pas C ; au mois u des trois évéemets A, B, C se réalise ; au plus u des trois évéemets A, B, C se réalise ; aucu des trois évéemets A, B, C e se réalise ; les trois évéemets A, B, C se réaliset. Exercice 2.4.3 (#) Trois usies pharmaceutiques A, B, et C produiset respectivemet 40%, 35% et 25% du ombre total de comprimés achetés par u grossiste. Chacue de ces usies produit respectivemet 5, 6, et 3% de comprimés défectueux. Le qualiticie de l'etreprise reçoit ue ouvelle livraiso. 1. Détermier les probabilités des diéretes possibilités suivates : proveir de A et être défectueux, proveir de A et être coforme, proveir de B et être défectueux, proveir de B et être coforme, proveir de C et être défectueux, proveir de C et être coforme. 2. Das cette livraiso, o pred u comprimé au hasard. Quelle est la probabilité p 1 pour qu'il soit défectueux? Quelle est la probabilité p 2 pour qu'il soit coforme? 3. Das cette livraiso, o pred u comprimé au hasard, o costate qu'il est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il ait été fabriqué das l'usie A? Solutio. Réécrivos l'éocé "mathématiquemet". Notos D (resp. D c ) l'évéemet "le comprimé est défectueux (resp. o défectueux)". O a P(A) = 40/100, P(B) = 35/100 et P(C) = 25/100. De plus, P(D A) = 5/100, P(D B) = 6/100 et P(D C) = 3/100. 1. P(A D) = P(D A)P(A) = 2/100 ; P(A D c ) = P(A) P(A D) = 38/100. P(B D) = 2, 1% ; P(B D c ) = 32, 9%. P(C D) = 0.75% ; P(C D c ) = 24, 25%. 2. p 1 = P(D) = P(A D) + P(B D) + P(C D) = 4, 85% ; P(D c ) = 95, 15%. 3. p 2 = P(A D) = P(A D)/P(D) 41%. Exercice 2.4.4 Ue ure cotiet ciq boules roules et trois boules oires. O tire au hasard ue boule. Si cette boule est oire, o arrête le jeu. Si cette boule est rouge, o replace la boule das le sac, o ajoute deux boules rouges et o procède à u deuxième tirage.

2.4. EXERCICES 31 1) Représeter l'expériece à l'aide d'u arbre podéré. 2) Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges? Exercice 2.4.5 (Allèle) O suppose qu'u gèe est formé de deux allèles A et a. U idividu peut avoir l'u des trois géotypes AA, Aa, aa. U efat hérite d'u allèle de chacu de ses parets, chacu d'eux état choisi au hasard. Par exemple si le père est de type Aa, et la mère AA, alors les efats peuvet être du types AA ou Aa. O cosidère ue populatio dot les proportios des géotypes pour les hommes comme pour les femmes sot de p 0 pour AA, q 0 pour Aa, r 0 pour aa. 1) O suppose que le géotype de l'efat est formé au hasard, o le ote (x, y) avec x le géotype de so père et y celui de sa mère. a) Quelle est la probabilité qu'u efat ait deux parets de type AA? b) u paret de type AA et u paret de type Aa? c) deux parets de type Aa? 2) quelle est la probabilité que l'efat soit de type AA sachat que : a) les deux parets sot de type AA? b) u des deux parets est de type AA et l'autre de type Aa? c) les deux parets sot de types Aa? 3)-a Calculer la probabilité p 1 pour que l'efat soit de type AA b) calculer la probabilité r 1 pour que l'efat soit de type aa c) calculer la probabilité q 1 que l'efat soit de type Aa Exercice 2.4.6 (Rats) O fait ue expériece sur le comportemet des rats. Ils doivet choisir etre 4 portes d'apparece idetique. E réalité ue seule porte est la boe (et permet au rat de sortir), les deux autres portes ramèet le rat a so poit de départ. L'expériece a lieu jusqu'à ce que le rat sorte. O suppose qu'il évite les portes choisies auparavat et qu'il choisit de faço équiprobable etre celles qu'il 'a pas ecore ouvertes. Soiet les évéemets : S 1 = le rat sort la première fois. S 2 = le rat sort la deuxième fois. S 3 = le rat sort la troisième fois. S 4 = le rat sort la quatrième fois. Costruire u arbre podéré et doer la probabilité de chacu des évéemets. Exercice 2.4.7 (Kids) Ue famille a deux efats. O cherche la probabilité que les deux efats soiet des garços, sachat qu'au mois est u garço? 1) Preos e compte l'âge des efats : le plus jeue et le plus âgé peuvet être chacu des garços. Doer l'uivers. O suppose que chaque coguratio a la même probabilité. 2) Calculer la probabilité. 3) Sachat maiteat que le plus jeue efat est u garço, quelle est la probabilité que les deux soiet des garços?

32 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Exercice 2.4.8 (Ures #) O cosidère deux ures. Chaque ure cotiet des boules colorées. La première ure cotiet 2 boules blaches et 3 boules oires. La deuxième ure cotiet 3 blaches et 4 oires. O tire ue boule au hasard das la première ure et o la place das la deuxième. O suppose que toutes les boules ot la même chace d'être tirée (rappeler le om de cette hypothèse). O tire alors au hasard ue boule das la deuxième ure et o l'examie. Quelle est la probabilité que la boule soit oire? Correctio. O ote les ures I et II. L'évéemet qui ous itéresse est A = la boule tirée das II est oire. O va utiliser la formule des probabilités totales. Soit B l'évéemet, o a tiré ue boule oire das l'ure I D'après la formule des probabilités totales, o a : P[A] = P[A B]P[B] + P[A B c ]P[B c ]. Sachat qu'o a tiré ue boule oire das la première ure (otée I) ; la probabilité que l'o tire ue oire das la deuxième (otée II) est P[A B] = P[A B] = 5 P[B] 8 P[A B c ] = 4 = 1 et P[B] = 3. Doc, 8 2 5 P[A] = 5 8.3 5 + 1 2 2 5 = 23 40. Exercice 2.4.9 U domio est u rectagle comportat deux parties [i j]. Sur chacue de ces parties guret etre 0 et 6 poits. Les domios [i j] et [j i] e sot pas distigués. 1. Combie de domios diérets peut-o aisi obteir? 2. O suppose que l'o a u jeu complet de domios. O pred l'u de ces domios au hasard. (a) Quelle est la probabilité que ce soit u double? (b) Quelle est la probabilité que la somme des poits soit 6? (c) Quelle est la probabilité que ce soit u double si l'o sait que la somme des poits vaut 6? 3. O retire du jeu les domios dot la somme des poits est 6, et o e tire u parmi les domios restats. Quelle est la probabilité que ce soit u double? 4. O dit que des domios sot amis si l'ue de leurs parties a le même ombre de poits. A partir du jeu complet, o tire deux domios. Quelle est la probabilité qu'ils soiet amis? Exercice 2.4.10 (Poker #) O joue au poker avec u jeu de 32 cartes. Il y a doc 4 couleurs : carreau, trèe, pique et coeur. 8 hauteurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as. Chaque joueur reçoit 5 cartes. Quelle est la probabilité qu'u joueur ait : 1) u carré : quatre cartes de même hauteur 2) u brela : trois cartes de même hauteur 3) ue paire : deux cartes de même hauteur 4) deux paires

2.4. EXERCICES 33 5) u full (brela+ paire)? Solutio. L'uivers Ω est l'esemble des mais possibles, c'est-à-dire l'esemble des combiaisos de 5 élémets parmi 32. O suppose que toutes les mais sot équiprobables, autremet card (A) dit o muit Ω de la probabilité uiforme P(A) =. card (Ω) 1) Détermios le cardial de l'esemble correspodat à l'évéemet A = le joueur possède u carré. Choix de la hauteur : ( 8 1) = 8 (o choisit u élémet parmi 8) Choix de la couleur : ( 4 4) = 1 (o choisit ue couleur diérete pour chaque carte : deux cartes de même hauteur et de même couleur sot idetiques!) Choix de la hauteur de la 5ème carte : ( 7 1) = 7 : il 'y a que 4 cartes de chaque hauteur, ue fois choisie la hauteur du carré, il reste seulemet 7 hauteurs potetielles Choix de la couleur de l a 5ème carte : ( 4 1) = 4. O a doc P(A) = 8 1 7 4 0, 00111. ( 32 5 ) = 224 201376 2) Soit l'évéemet A = le joueur possède u brela. Choix de la hauteur des trois cartes : ( 8 1) = 8 (o choisit u élémet parmi 8) Choix de la couleur : ( 4 3) = 4 (o choisit trois couleurs diéretes pour chaque carte : deux cartes de même hauteur et de même couleur sot idetiques!) Choix de la hauteur des cartes restates : ( 7 2) : (les deux cartes restates sot d'ue hauteur diérete, sio ous aurios u full). Choix de la couleur des cartes restates : 4 2. O a doc P(A) = 8 4 (7 2) 4 2. ( 32 5 ) 3) Soit l'évéemet A = le joueur possède ue paire. Choix des hauteurs : ( 8 1) (o choisit 1 élémet parmi 8) Choix des couleurs : ( 4 2) (o choisit deux couleurs diéretes pour chaque carte) Choix des hauteurs des cartes restates : ( 7 3) : (les cartes restates sot d'ue hauteur diérete, sio ous aurios au mois u brela). Choix de la couleur des cartes restates : 4 3. O a doc P(A) = (8 1) ( 4 2) ( 7 3) 4 3. ( 32 5 ) 4) Soit l'évéemet A = le joueur possède deux paires. Choix des hauteurs : ( 8 2) (o choisit deux élémets parmi 8) Choix des couleurs : ( 4 2 2) (o choisit deux couleurs diéretes pour chaque paire) Choix de la hauteur de la carte restate : ( 6 1) : (la carte restate est d'ue hauteur diérete, sio ous aurios u full). Choix de la couleur de la carte restate : 4. O a doc P(A) = (8 2) ( 4 2) 2 ( 6 1) 4. ( 32 5 ) 5) Soit l'évéemet A = le joueur possède u full. Choix des hauteurs : ( 8 1) (o choisit u élémet parmi 8) Choix des couleurs : ( ) 4 3 Choix de la hauteur des cartes restates : ( 7 diérete, sio ous aurios u carré). Choix des couleurs de la paire ( 4 2). O a doc P(A) = 1) ( (8 4 3) ( 7 1) ( 4 2). ( 32 5 ) 1) : (les cartes restates sot d'ue hauteur

34 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Exercice 2.4.11 Les coeciets a, b, c de l'équatio quadratique ax 2 + bx + c = 0 sot détermies e laçat trois fois u de équilibré. Quelle est la probabilité que les racies soiet réelles? Complexes o réelles? Exercice 2.4.12 U ativirus assure avec ue abilité de a = 95% la détectio d'u malware M lorsqu'il est eectivemet préset. Cepedat, le test idique aussi u résultat faussemet "positif" pour b = 1% des systèmes réellemet sais à qui o l'applique. O suppose qu 'ue proportio p = 0.5% des systèmes ot le malware M. 1) E cosidérat que les paramètres a, b et p sot des probabilités, détermier la probabilité qu'u système soit vraimet atteit sachat qu'il a u test positif? 2) O suppose maiteat que a, b et p sot déis comme ci dessus mais qu'o e coait plus leur valeur umérique. A quelles coditios sur ces valeurs le test est-il utile? Exercice 2.4.13 Pour lutter cotre les spams, les messageries ot mis e place des techiques e repérat certais mots ou expressios 2 pouvat gurer das les emails : par exemple {merveilleux ; gratuit ; arget ; vous avez gagé ; cadeau}. O dit qu'il y a détectio si cette famille de mots est présete das le mail. Le ltre foctioe alors de la faço suivate : Si sachat qu'il y a détectio, la probabilité d'être u spam dépasse le seuil de 90%, l'email est déplacé das les courriers idésirables. Sio il 'est pas déplacé. 1) O suppose qu'il 'y a qu'u seul mot das la famille. Soiet les évéemets D= détectio et S= spam. Redémotrer la formule de Bayes P D [S] = P S (D)P(S) P S (D)P(S) + P S(D)P( S). 2) Lors de la phase d'appretissage (lorsque vous idiquez à votre messagerie qu'u email est idésirable) ; l'ati-spam compte le ombre de spams coteat le mot. O suppose qu'il y a 70% des spams qui cotieet le mot, et 15% des o-spams qui le cotieet. E approchat les probabilités par ces quatités que valet P S (D) et P S(D)? O suppose P(S) = 0.7. Das ces coditios si vous recevez u email coteat ce mot serat-il déplacé das les courriers idésirables? L'est-il si P(S) = 0.5? 3) O cosidère maiteat ue famille de mots. Pour tout i {1,.., }, o appelle M i l'évéemet le i-ème mot est préset. O suppose que les évéemets (S M i ) i 1 sot idépedats, aisi que les évéemets ( S M i ) i 1. L'évéemet de détectio D correspod à avoir tous les mots das le mail : M 1 M 2... M. O ote p i = P S (M i ), q i = P S(M i ) et s = P(S), démotrer que : P D [S] = s p 1 p 2...p s p 1 p 2...p + (1 s) q 1 q 2...q. Idicatio : remarquer que M 1 M 2 S = M 1 S M 2 S. 2. A pla for spam http ://www.paulgraham.com/spam.html, voir aussi ltrage bayésie ati-spam das wikipedia (qui cotiet des erreurs de maths!)

2.4. EXERCICES 35 4) O suppose qu'il y a les 5 mots et expressios suivats das otre ltre. Mot : merveilleux arget gratuit cadeau vous avez gagé parmi les spams : 70% 75% 40% 60% 85% parmi les o-spams : 30% 15% 10% 60% 2% Si s = 0.5, u mail coteat ces 5 mots sera-t'il déplacé e idésirable? Qu'e est-il s'il cotiet seulemet les mots arget et gratuit? Exercice 2.4.14 Motrer que la probabilité qu'exactemet u des évéemets A et B se réalise est P[A] + P[B] 2P[A B] Exercice 2.4.15 Motrer que ( ) P A i i=1 P(A i ) P(A i A k ) i=1 1 i<k Exercice 2.4.16 Calculer la probabilité qu'ue mai de 13 cartes tirée à partir d'u paquet de 52 cartes cotiee exactemet deux rois et u as. Quelle est la probabilité qu'elle cotiee exactemet u as sachat qu'elle cotiet u roi? O rappelle qu'il y a 4 rois et 4 as das u paquet. Exercice 2.4.17 O tire u dé deux fois. Calculer les probabilités des évéemets suivats a) U 6 est réalisé exactemet ue fois. b) Les deux uméros sot impairs c) la somme des uméros est 4 d) la somme des uméros est divisible par 3? Exercice 2.4.18 O dispose de deux pièces A et B. La pièce A est équilibrée, au ses où elle doe face et pile avec probabilité 1 2. La pièce B doe face avec probabilité p et pile avec probabilité 1 p O eectue ue successio de lacers selo le procédé suivat : O choisit ue des deux pièces A, B au hasard, o la lace A chaque lacer, si o obtiet face, o garde la pièce pour le lacer suivat, sio o chage de pièce. Pour tout etier aturel, o ote A l'évéemet le -ième lacer se fait avec la pièce A Soit a = P[A ], étudier la suite (a, 1) et commeter vos résultats. Exercice 2.4.19 O dispose de deux dés, l'u hoête, et l'autre pipé pour lequel la probabilité d'obteir 6 est 1/3 tadis que les autres faces ot toutes la même probabilité. 1) O choisit u dé au hasard et o le lace. Quelle est la probabilité de faire 6? 2) O choisit u dé au hasard et o le lace 4 fois. Quelle est la probabilité d'obteir au mois ue fois 6? 3) O joue 4 fois e choisissat chaque fois au hasard l'u des dés. Quelle est la probabilité d'obteir au mois ue fois 6?

36 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Exercice 2.4.20 O ote Ω l'esemble des huit résultats de trois lacers successifs d'ue pièce de moaie et o cosidère les deux évéemets suivats : A="le premier jet doe u pile", B="pile est ameé au mois deux fois. Si o suppose que tous les élémets de Ω sot équibrobables, A et B sot-ils idépedats? Exercice 2.4.21 Motrer que si F et G sot des foctios de répartitio alors pour tout λ (0, 1), λf + (1 λ)g est ue foctio de répartitio. Exercice 2.4.22 Soit X ue variable aléatoire réelle. Doer les foctios de répartitios des valeurs aléatoires suivates : X + = max{0, X}, X = mi{0, X}, X = X + + X, X Exercice 2.4.23 O appelle médiae, u réel m tel que limf (y) 1 y m 2 F (m). Motrer que toute foctio de répartitio a au mois ue médiae. Motrer que l'esemble des médiaes est u itervalle fermé de R Exercice 2.4.24 Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles de foctios de répartitio F 0 si x < 1 0 si x 0 1 et G déies par : F (x) = si 1 x < 2. G(x) = x 2 si 0 x 1 3. 2 1 si x 2 1 3 4 e1/2 x si x 1 2 1) Détermier les réels x et y tels que P[X = x] > 0, et P[Y = y] > 0. 2) Détermier la foctio de répartitio de ax + b où a > 0. 3) O suppose que X et Y sot idépedates. Détermier les foctios de répartitios de max(x, Y ) et mi(x, Y ). Exercice 2.4.25 Soiet F et G deux tribus. 1) Soit A P(Ω), motrer que {, Ω, A, A c } est ue tribu. 2) Soiet A et B des élémets de F, motrer que A B, A \ B appartieet à F. 3) Motrer que F G est ue tribu. 4) Motrer que F G 'est pas forcémet ue tribu.

Chapitre 3 Variables aléatoires discrètes Das ce chapitre, ous étudios les probabilités discrètes. Les exemples étudiés précédemmet sot pour la majorité des exemples discrets. Nous avos déjà vu que le déombremet joue ue rôle importat. 3.1 Gééralités Déitio 3.1.1 Ue v.a.r X est discrète si X(Ω) est au plus déombrable. Remarque 3.1.1 Cela e sigie pas forcémet que X est à valeurs das les etiers. La variable peut predre ses valeurs das u sous-esemble déombrable de R tel que Q. 3.1.1 Loi et foctio de répartitio Soit X ue variable discrète, X(Ω) = {x i, i I}. La loi de X, P X est détermiée par ( ) P X (B) = P(X B) = P {X = x i } = P(X = x i ) avec B X(Ω) i;x i B i;x i B. Fialemet la loi d'ue variable discrète est détermiée par l'esemble des valeurs prises X(Ω) et par les valeurs P(X = x i ). Il est importat de oter que l'o a toujours P(X = x i ) = 1. i I Iversemet, o a la propriété suivate : Propositio 3.1.1 Soit I ue partie o vide de N. Soiet (x i, i I) ue famille de réels et (p i, i I) ue famille de réels positifs vériat i I p i = 1. O peut déir la variable X avec : X(Ω) = {x i, i I} i I, P(X = x i ) = p i. Exemple 3.1.1 Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N telle que Motrer que cela déit bie ue loi. N, P(X = ) = e 1 1! Lorsque X est discrète, la foctio de répartitio est ue foctio e escalier : sur chaque itervalle ]x i, x i+1 [ la foctio F : x P(X x) est costate. 37

38 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 3.1.2 Espérace La otio d'espérace correspod à celle de moyee. Déitio 3.1.2 Soit X ue v.a.r discrète. Si X(Ω) = {x i, i I} avec I déombrable, et si i I x i P[X = x i ] < alors l'espérace de X est déie par E(X) := i I x i P[X = x i ]. Das le cas où I est i, l'hypothèse de covergece de la série est toujours vériée. Das le cas ii déombrable, o suppose que la série de terme gééral x i P[X = x i ] est absolumet covergete. L'absolue covergece de la série garatie que l'espérace de X e déped pas de l'ordre des x i. O rappelle qu'il existe des séries covergetes, o absolumet covergetes, dot la somme déped de l'ordre pris sur ses termes. Peser à 1 ou ( 1) Z 1 qui sot o absolumet covergetes. Il faut bie compredre que l'espérace 'existe pas toujours, même das le cas discret! Si la variable aléatoire discrète est à valeurs positives alors so espérace existe ou est iie. Exemple 3.1.2 (Paradoxe de Sait Petersbourg) O tire ue pièce, si elle tombe sur face le jeu s'arrête, si elle tombe sur pile le joueur gage deux fois sa mise et rejoue. O cotiue aisi de suite e doublat le gai du joueur à chaque fois qu'il rejoue. Imagios qu'il ait misé 1 euro. Quelle est la loi de so gai? Quelle mise maximale le joueur doit il accepter pour jouer? O ote X so gai. O a P(X = 2 ) = 1 2 pour N. O a bie P(X = 2 ) = 1. =1 O remarque tout d'abord que la loi e déped pas de la mise de départ. De plus o a 1 2 P(X = 2 ] = 1 1 =. Fialemet, la moyee du gai état iie, le joueur devrait a priori toujours jouer. Propositio 3.1.2 Si X(Ω) possède u maximum et u miimum, alors E(X) existe et x mi E[X] x max Démostratio. A faire. Théorème 3.1.3 Soit Ω i ou déombrable, si la série est absolumet covergete, o a E[X] = X(ω)P({ω}). ω Ω Démostratio. O ote A i = {ω Ω; X(ω)x i }. O a P(X = x i ) = P(X 1 ({x i }) = P(A i ) = ω A i P({ω})

3.1. GÉNÉRALITÉS 39 O a doc x i P(X = x i ) = i i I = i = i P({ω}) ω A i x i P({ω}) ω A i X(ω)P({ω}) ω A i = ω Ω X(ω)P({ω}) Ce théorème est essetiel du poit de vue théorique. Jusqu'à maiteat le rôle de l'uivers était quelque peu caché puisque ous travaillios directemet sur l'espace probabilisé (X(Ω), B(R), P X ). Das la plupart des cas, les calculs sot plus simples sur ce triplet que sur celui de l'uivers. Néamois le théorème 3.1.3 permet de travailler avec diéretes variables aléatoires simultaémet. Propositio 3.1.4 (liéarité) Soiet X et Y deux variables aléatoires discrètes sur Ω. O suppose qu'elles possèdet ue espérace. Soit λ R. Alors, la variable aléatoire X + λy est discrète et a pour espérace : E[X + λy ] = E[X] + λe[y ]. Démostratio. La série ω Ω (X(ω)+λY (ω))p({ω}) est absolumet covergete car c'est ue somme de deux séries absolumet covergetes (utiliser l'iégalité triagulaire). O a doc : ω Ω(X(ω) + λy (ω))p({ω}) = ω Ω X(ω)P({ω}) + λ ω Ω Y (ω)p({ω}) = E[X] + λe[y ]. Le théorème 3.1.3 et la propriété 3.1.4 restet vrais pour toute variable aléatoire, pas forcémet discrète, déie sur 'importe quel uivers Ω. Du poit de vue de la théorie de la mesure, l'espérace 'est rie d'autre que l'itégrale de X cotre la mesure P : E[X] = Ω X(ω)P(dω). Propositio 3.1.5 Soiet X et Y deux variables aléatoires. Supposos que 0 X Y et que Y admet u momet d'ordre 1. Alors X admet u momet d'ordre 1 et Démostratio. Laissée e exercice. E[X] E[Y ].

40 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 3.1.3 Compositio d'ue variable aléatoire et d'ue foctio et idépedace Soit X ue variable aléatoire discrète. Soit g ue foctio cotiue par morceaux déie sur u esemble J coteat X(Ω), clairemet la variable g X est ue variable discrète : o a (g X)(Ω) = {g(x i ), i I}. Le théorème suivat est très importat. Théorème 3.1.6 (théorème de trasfert) E[g(X)] = i I g(x i )P(X = x i ) Démostratio. O ote A i = {ω Ω; X(ω) = x i }. E[g(X)] = g(x(ω))p({ω}) = ω Ω i I = g(x i ) P({ω}) = i I ω A i i I g(x i )P({ω}) ω A i g(x i )P(A i ). Propositio 3.1.7 Soit g ue foctio positive. Si E[g(X)] = 0 alors P[g(X) = 0] = 1. O dit que la variable g(x) est ulle presque-sûremet. Démostratio. O a E[g(X)] = i I g(x i)p[x = x i ] = 0. Comme g(x i )P[X = x i ] est positif, tous les termes sot uls et si P[X = x i ] > 0 alors g(x i = 0. Autremet dit g(x) = 0 si x ( ) i I,P[X=x i ]>0 {x i}. O a de plus P X i I,P[X=x i ]=0 {x i} = 0, doc P i I,P[X=x i ]>0 {x i } = 1 L'idépedace etre deux variables aléatoires X, Y peut s'exprimer avec l'opérateur d'espérace. Propositio 3.1.8 X et Y sot deux variables idépedates si pour toutes foctios f et g cotiues borées, E[f(X)g(Y )] = E[f(X)]E[g(Y )] Démostratio Si X et Y sot idépedates alors la propriété est vraie par déitio pour des foctios f et g simples. Toute foctio cotiue borée est limite de foctios simples. Critère d'idépedace. Soiet X et Y deux variables discrètes telles que X(Ω) = {x 1, x 2,...} et Y (Ω) = {y 1, y 2,...}. X et Y sot idépedates si P(X = x i, Y = y j ) = P(X = x i )P(Y = y i ).

3.2. LOIS DISCRÈTES USUELLES 41 3.1.4 Momets, variace et écart-type Déitio 3.1.3 O appelle momet d'ordre k de X l'espérace si elle existe de la variable X k avec k 2 O a d'après le théorème de trasfert : E[X k ] = i I x k i P(X = x i ) Déitio 3.1.4 O appelle variace de X, l'espérace de (X E[X]) 2 : V(X) = E[(X E[X]) 2 ]. O a immédiatemet V(X) = i (x i E[X]) 2 P[X = x i ]. O mesure l'écart de la variable aléatoire par rapport à sa moyee. C'est ue mesure de dispersio autour de E(X). Propositio 3.1.9 Si X admet ue variace et V(X) = 0 alors X = 0 avec probabilité 1 Théorème 3.1.10 Si X possède u momet d'ordre 2 alors 3.2 Lois discrètes usuelles O présete les lois classiques au programme. Loi de Beroulli V(X) = E(X 2 ) E(X) 2. Déitio 3.2.1 Soit p [0, 1], X suit la loi de Beroulli de paramètre p si 1. X(Ω) = {0, 1} 2. P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 p La foctio idicatrice d'u évéemet est ue variable aléatoire qui suit ue loi de Beroulli. Soit A F, X = 1 A a pour loi, la loi de Beroulli avec paramètre p = P(A). Propositio 3.2.1 E(X) = p et V(X) = p(1 p) Loi uiforme sur [ 1, ] Déitio 3.2.2 X a pour loi, la loi uiforme sur [ 1, ] si 1 X(Ω) = [ 1, ] 2 P(X = k) = 1. Propositio 3.2.2 O a E[X] = +1 et V(X) = 2 1 2 12 Démostratio. Utiliser les formules ( + 1) k = 2 k=1 k 2 = k=1 ( + 1)(2 + 1) 6

42 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Loi de Poisso La variable aléatoire X suit ue loi de Poisso de paramètre λ (loi sur N) si : Il faut savoir calculer les momets! P[X = k] = λk k! e λ. E[X] = k=0 λ λk ke k! = λ k=1 e λ λ k 1 (k 1)! = λe λ e λ = λ. Plus gééralemet E[X(X 1)...(X j + 1)] = O e déduit que E[X 2 X] = λ 2, d'où k=0 = λ k λ λk k(k 1)...(k j + 1)e k! j=k e λ E[X 2 ] = λ 2 + λ λ j k (j k)! = λk j=0 λ λk e k! = λk et V(X) = λ. Loi biomiale O cosidère tirages équiprobables idépedats das u esemble composé de deux types d'élémets, le premier (I) e proportio p, le deuxième e proportio q = 1 p. Soit X le ombre d'élémets du premier type tirés parmi l'échatillo de taille. La variable aléatoire X suit ue loi biomiale. Supposos qu'à chaque élémet échatilloé i [ 1, ], o associe la variable aléatoire Y i qui vaut 1 si i est de type I, 0 sio. Les variables aléatoires Y i sot des variables de Beroulli de paramètre p idépedates. Il est évidet que le ombre X d'élémets de type (I) das l'échatillo vérie : X = i=1 Y i Déitio 3.2.3 Soiet N et p [0, 1]. X suit la loi biomiale de paramètre et p si 1. X(Ω) = [ 0, ] 2. P(X = k) = ( ) k p k (1 p) k O a E[X] = p et V(X) = p(1 p).

3.2. LOIS DISCRÈTES USUELLES 43 Loi hypergéométrique O a déjà recotré cette loi das le problème de cotrôle de productio 2.0.1. O redoe ici l'expériece type meat à ue loi hypergéométrique. O cosidère u tirage équiprobable sas remise de élémets das ue populatio de taille N. O s'itéresse à u type doé (I) (par exemple défectueux) d'élémets de la populatio, que l'o supposera être e proportio p (Np est doc u etier). Soit X le ombre d'élémets de type I présets das l'échatillo de taille. Déitio 3.2.4 X suit ue loi hypergéométrique de paramètres N,, p si ) P[X = k] = avec max{0; N(1 p)} k mi{, Np}. ( Np k )( N(1 p) k ( N ), Propositio 3.2.3 E[X] = p, V(X) = N p(1 p). N 1 Démostratio. Pour tout i [ 1, N ], soit { 0 si i 'appartiet pas à l'échatillo ɛ i = 1 sio Il y a ( ) ( N échatillos de taille possibles et N 1 1) échatillos possibles de taille coteat i. O a doc ) O peut écrire P[ɛ i = 1] = X = ( N 1 1 ( N ) = N. N Y i ɛ i où Y i pred la valeur 1 si i est de type I, 0 sio. O e déduit : N N N E[X] = E[Y i ɛ i ] = E[Y i ]E[ɛ i ] = p N = p De même, o calcule (exercice) Loi géométrique i=1 i=1 i=1 V(X) = N p(1 p). N 1 O cosidère ue populatio dot ue proportio p est composée d'élémets de type I doé. O désire obteir 1 élémet de ce type e procédat à ue suite de tirage équiprobables et idépedats : Soit Y le ombre de tirage écessaires pour obteir u élémet de type I. La loi de Y est la loi géométrique de paramètre p sur N : c'est à dire : P[Y = k] = (1 p) k 1 p O a tiré k 1 élémets de type II, le k-ième est de type I. Les momets sot E[Y ] = 1 p et V(Y ) = 1 p p 2. i=1

44 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Loi biomiale égative Il s'agit d'ue gééralisatio de la loi géométrique. Cette fois ci o désire obteir élémets de type I. O ote Y le ombre de tirages écessaires pour avoir élémets. L'évéemet {Y = k} sigie que k tirages ot doé u élémet de type II, et tirages ot doé u élémet de type I (dot le derier). Le ombre de choix possibles est ( 1+k), o e déduit : ( ) 1 P[Y = k] = p (1 p) k. 1 + k Momets : E[X] = 1 p p 3.3 Vecteurs aléatoires discrets et V(X) = 1 p p 2. 3.3.1 Vecteurs aléatoires discrets : lois margiales, idépedace Soit X u vecteur aléatoire discret. Soiet X 1, X 2,..., X ses composates, c'est à dire X 1 (ω) X 2 (ω) X : ω Ω.... X (ω) Exemple 3.3.1 O lace deux fois u dé équilibré. O pose Ω = [ 1, 6 ] 2, F = P(Ω) et P la probabilité uiforme. Soit X le vecteur aléatoire bi-dimesioel : ( ) U(ω) = ω1 + ω X : ω Ω 2. V (ω) = max(ω 1, ω 2 ) Exercice 3.3.1 Les variables U et V sot elles idépedates? Détermier la loi de X. Déitio 3.3.1 (Lois margiales) O appelle lois margiales de X, les lois de X 1,..., X. La loi de X est aussi appelée loi cojoite des X i, 1 i. Les propriétés suivates se gééraliset au cas multidimesioel, pour alléger les otatios, o cosidère u vecteur bidimesioel ( = 2). Soit X = (U, V ). La loi de U se déduit de la loi de (U, V ) : P(U = u i ) = j I P(U = u i, V = v j ). Exercice 3.3.2 Repreos le vecteur aléatoire de l'exemple précédet. Détermier ses lois margiales. La loi coditioelle de V sachat U = u i est la doée de ( v j ; P(V = v ) j et U = u i ). P(U = u i )

3.3. VECTEURS ALÉATOIRES DISCRETS 45 Exercice 3.3.3 Détermier la loi de U sachat V = 3. Propositio 3.3.1 Soiet X et Y deux v.a.r discrètes idépedates possédat ue espérace Démostratio. E[XY ] = E[X]E[Y ]. Propositio 3.3.2 (Admis) Si X 1,..., X sot idépedates, alors toute foctio de X 1,..., X p est idépedates de toute foctio de X p+1,..., X. 3.3.2 Structure algébrique, covariace et corrélatio O ote l 0 (Ω, F, P) l'esemble des variables aléatoires discrètes déies sur u même espace probabilisé (Ω, F, P). L'espace l 0 est u espace vectoriel pour la loi de compositio itere + : (X + Y ) est l'élémet de l 0 qui à ω Ω associe X(ω) + Y (ω) et la loi de compositio extere scalaire : λ R, (λ.x)(ω) = λx(ω). Propositio 3.3.3 Soit l 1 l'esemble des variables aléatoires discrètes possédat ue espérace, i.e l 1 = {X l 0 ; E[ X ] < }. 1) l 1 est u sous-espace vectoriel de l 0 2) E est ue forme liéaire sur l 1 Propositio 3.3.4 Soit l 2 P l'esemble des élémets de l0 P possédat u momet d'ordre 2, i.e l 2 P = {X l 0 ; E[X 2 ] < } l 2 P est u sous-espace vectoriel de l0 P iclus das l1 P. Démostratio. Utiliser ab 1 2 (a2 + b 2 ) Déitio 3.3.2 (Covariace) O appelle covariace l'applicatio Cov : (X, Y ) l 2 l 2 E[XY ] E[X]E[Y ]. Par déitio Cov(X, X) = V(X). O a égalemet la propriété importate suivate : Propositio 3.3.5 ( ) V X i = i=1 V(X i ) + 2 Cov(X i, X j ). i=1 1 i<j Remarque 3.3.1 Cette formule est importate et se simplie lorsque Cov(X i, X j ) = 0 pour tout i j. O dit que les variables e sot pas corrélées. Propositio 3.3.6 Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))].

46 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES O doe ici quelques propriétés d'algèbre biliéaire associées à la covariace. Théorème 3.3.7 L'applicatio Cov est ue forme biliéaire symétrique positive sur l 2 P. 1) Symétrie : Cov(X, Y ) = Cov(Y, X). 2) Biliéarité : immédiat par liéarité de E. 3) Positivité : Cov(X, X) = E ((X E(X)) 2 ) 0. La covariace 'est pas déie-positive. O a seulemet que Cov(X, X) = 0 = X est costate presque sûremet. Remarque 3.3.2 Cov est u produit scalaire sur le sous-espace vectoriel des variables aléatoires cetrées (c'est à dire d'espérace ulle), quotieté par la relatio d'équivalece otée "=" : X = Y X Y = 0 avec probabilté 1. Nous e retros pas das les détails ici, mais il faut recoaître das la otatio l 1 P, l2 P les espaces lp de la théorie des séries. E eet das le cadre des séries, o a l p := {(x i, i N) R N : i 0 x i p < } Das otre cadre, l p P correspod à l'espace lp où x i est mui du poids P[x i ]. Autremet dit : l p P est isomorphe à {(x i, i N ) : x i p P(x i ) < }. i 1 Déitio 3.3.3 (Coeciet de corrélatio) Soiet X et Y deux élémets de L 2 de variace strictemet positives. O appelle coeciet de corrélatio liéaire le réel : ρ(x, Y ) := Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ). O rappelle que σ(x) est l'écart-type de la variable aléatoire X, c'est à dire σ(x) = V(X) = Cov(X, X). Remarque 3.3.3 O met e garde le lecteur quat à la o-trasitivité de la corrélatio : ρ(x, Y ) > 0 et ρ(x, Z) > 0 'implique pas ρ(y, Z) > 0. C'est assez cotre-ituitif et source d'erreurs potetielles lors d'iterprétatio. Propositio 3.3.8 Quelque soit le couple (X, Y ) de variables aléatoires de L 2, o a : Démostratio. Il faut démotrer ρ(x, Y ) 1 Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ). Soit λ R, o a V(X + λy ) = V(X) + λ 2 V(Y ) + 2λCov(X, Y ). Le triôme e λ à droite das l'égalité ci-dessus est toujours positif puisque V(X + λy ) 0. O e déduit que so discrimiat est égatif ou ul : O e déduit doc le résultat. = 4(Cov(X, Y )) 2 4V(X)V(Y ) 0. Remarque 3.3.4 C'est la même preuve que celle de l'iégalité de Cauchy-Schwarz. Il faut impérativemet la coaître.

3.3. VECTEURS ALÉATOIRES DISCRETS 47 3.3.3 Loi multiomiale O commece par ue gééralisatio du théorème biomiale : Soiet x 1,..., x k k réels, soit u etier. O a (x 1 +... + x k )! = 1! 2!... k! x 1 1...x k k. 1,..., k ; 1 +... k = O ote parfois ( )! = 1, 2,..., k 1! 2!... k! Ce ombre est le coeciet multiomial. O passe maiteat à la loi multiomiale. Il s'agit d'ue gééralisatio de la loi biomiale. O cosidère tirages équiprobables, idépedats das ue populatio composée d'élémets de m types, chaque type j état e proportio p j : m p j = 1. j=1 O déit la variable aléatoire N j pour j = 1,.., m, comme état le ombre d'élémets de type j gurat das l'échatillo. Le vecteur (N 1,..., N m ) suit ue loi multiomiale de paramètre, p 1,..., p m. O la otera M(, 1,..., m ). Déitio 3.3.4 Le vecteur aléatoire X = (N 1,..., N m ) suit ue loi multiomiale de paramètres, p 1,..., p m si! P(X = ( 1,..., m )) = 1!... m! p 1 1...p m m où m i=1 i =,! 1!... m! est le ombre de partitios de {1,..., } avec des sous-esembles de cardiaux 1,..., m. Propositio 3.3.9 La j-ème loi margiale de X est ue loi biomiale de paramètre, p j U élémet tiré au hasard est soit du type j avec probabilité p j soit d'u autre type avec probabilité (1 p j ) : le ombre total d'élémets du type j das l'échatillo suit doc ue loi biomiale de paramètre, p j. O va retrouver cela par le calcul. Soit j xé. O déit l'évéemet A j déi par A j := {( 1,..., j 1, j, j+1,..., m ); i j i = j } P[N j = j ] = P[X A j ] =! 1!... m! p 1 1...p m m A j! = j!( j )! p j j (1 p j) ( j j )! 1!... j 1! j+1!... m! A j ( ) = p j j (1 p j) j j

48 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Il 'y a aucue raiso pour que les variables aléatoires N l, N j, soiet o corrélées, et a fortiori idépedates. O calcule la covariace de deux margiales N j, N l. Le couple (N j, N l ) suit ue loi multiomiale de paramètres :, p j, p l, 1 (p j +p l ). E eet, lorsque l'o tire u échatillo de taille, chaque élémet tiré est soit de type j avec probabilité p j, soit de type l avec probabilité p l, soit d'u autre type avec probabilité 1 (p j + p l ). O e déduit E[N j N l ] = = ( j, l ); j + l = ( 1)p j p l ( j, l ); j + l! j l j! l!( j l )! p j j p l l (1 p l p j ) j l ( 2)! ( j 1)!( l 1)!( 2 ( j 1) ( l 1))! p j 1 j p l 1 l (1 p l p j ) 2 ( j 1) ( l 1) ce qui 'est pas égal à E[N j ]E[N l ] = 2 p j p l. 3.3.4 Somme de variables aléatoires idépedates Somme de variables de Beroulli ( 1)p j p i Propositio 3.3.10 Soiet X 1,..., X variables idépedates de loi de Beroulli de paramètre p. La variable aléatoire Y = suit ue loi biomiale de paramètre (, p). i=1 Remarque 3.3.5 C'est de cette faço que ous avos itroduit la loi biomiale au Chapitre 3. E fait ous allos voir que ous pouvos toujours costruire ue variable aléatoire de loi biomiale comme somme de Beroulli idépedates. Ce qui suit 'est pas clairemet au programme, mais permet de compredre l'idépedace. O cosidère ue variable de Beroulli de paramètre p sur u espace (Ω, F, P). O appelle succès, et ote S, l'évéemet la variable de Beroulli réalise 1. A de répéter fois l'expériece, de faço idépedate, o va costruire copies idépedates : O se place sur l'espace (Ω, F, P ) où F et P sot respectivemet la tribu produit et la probabilité produit. O déit X i : ω Ω ω i. Par déitio de la tribu produit P, o a Soit (x 1,..., x ) {0, 1}. O a X i P (X i = 1) = P (Ω Ω..., {S},... Ω) = P(Ω) P({S})... P(Ω) = P[{S}] = p. P [X 1 = x 1,..., X = x ] = P [X 1 = x 1 ]...P [X = x ] = p k (1 p) k

3.3. VECTEURS ALÉATOIRES DISCRETS 49 où k est le ombre de x i, i [ 1, ] valat 1. O coclut immédiatemet que la variable Y = i=1 X i suit la loi suivate : ( ) P[Y = k] = ( le ombre de faço de choisir k élémets parmi ) p k (1 p) k = p k (1 p) k. k Somme de variables biomiales Propositio 3.3.11 Soiet X 1,..., X k des variables aléatoires biomiales de paramètres respectifs ( 1, p),..., ( k, p). La variable aléatoire Y = k i=1 X i est ue de loi biomiale de paramètre ( k i=1 i, p). D'après la propositio précédete, chaque variable X i est somme de i variables de Beroulli idépedates. O les umérote de la faço suivate : 1 X 1 = B i, X 2 = i=1 2 i= 1 +1 B i,..., X k = k i= 1 +...+ k 1 +1 B i O a doc Y = k X i = k i B j = 1 +...+ k B l. i=1 i=1 j= 1 +...+ i 1 +1 l=1 D'après la propositio précédete, o a doc que Y suit ue loi biomiale de paramètre ( 1 +... + k, p). Somme de variables de Poisso Propositio 3.3.12 Soiet X 1,..., X k des variables aléatoires déies sur u même espace, idépedates de loi de Poisso de paramètre respectif λ i. La variable aléatoire Y = k i=1 X i suit ue loi de Poisso de paramètre k i=1 λ i O le fait das le cas k = 2, et le soi de faire ue récurrece sur k est laissé au lecteur. O se doe doc X 1 et X 2 variables telles que P[X 1 = j] = λj 1 j! e λ 1 P[X 2 = l] = λl 2 l! e λ 2

50 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES O cherche à calculer P[X 1 + X 2 = ]. O a : ( ) P[X 1 + X 2 = ] = P {X 1 = i} {X 2 = i} = = = i=0 P(X 1 = i, X 2 = i) i=0 P(X 1 = i)p(x 2 = i) i=0 i=0 λ i 1 = e (λ 1+λ 2 ) λ i i! e λ 1 2 ( i)! e λ 2 i=0 1 i! ( ) λ i i 1λ i 2 = e (λ 1+λ 2 ) (λ 1 + λ 2 ) i. i! i=0 U outil très importat pour étudier plus gééralemet les sommes de variables aléatoires est la otio de foctio géératrice. Cette otio 'est pas exigible mais apparaît implicitemet das de ombreux exercices. Nous souligos égalemet qu'ue foctio géératrice 'est rie d'autre qu'ue série etière (totalemet au programme.) Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N. La foctio géératrice associée à X est déie de la faço suivate : G X : s ] 1, 1[ E[s X ] = s k P[X = k]. k=0 La foctio géératrice caractérise etièremet la loi. Propositio 3.3.13 Soiet X et Y deux variables aléatoires. X et Y ot même loi si et seulemet si G X = G Y. Démostratio. Que peut-o dire des coeciets de deux séries etières égales? 3.4 Exercices Exercice 3.4.1 Soit u etier 1. O cosidère l'expériece aléatoire qui cosiste à lacer successivemet fois u dé (équilibré) et à oter les résultats obteus (das l'ordre). 1. Décrire l'uivers Ω associé à cette expériece aléatoire. Détermier le cardial de Ω. 2. Calculer la probabilité de l'évèemet A = o obtiet au mois u 6. 3. Démotrer que pour avoir ue probabilité supérieure ou égale à 0, 9 d'obteir au mois u 6, il faut et il sut que : l(10) l(6) l(5) Exercice 3.4.2 Ue ure cotiet trois boules blaches et trois boules oires. O tire simultaémet quatre boules de l'ure au hasard. Quelle est la probabilité qu'il y ait autat de blaches que de oires?

3.4. EXERCICES 51 Exercice 3.4.3 O cosidère u jeu de échettes. La cible est u disque de rayo 3. Par simplicité, ous supposos que le joueur atteit toujours la cible. Supposos que le cetre de la cible est situé à l'origie du pla R 2. Nous souhaitos étudier les emplacemets des échettes sur la cible. Nous supposos que la cible est divisée e trois cercles cetrés à l'origie C 1, C 2, C 3 de rayos respectifs 1, 2, 3. Ces cercles diviset la cible e trois aeaux A 1, A 2, A 3 avec A k = {(x, y) R 2 ; k 1 x 2 + y 2 < k}. 1) Doer u uivers Ω. 2) O suppose que la probabilité de tomber das u aeau est proportioelle à so aire. Calculer P(A 1 ), P(A 2 ), P(A 3 ) 3) Soit maiteat X la variable aléatoire qui doe le ombre de poits selo l'emplacemet de la échette. O suppose que la règle du jeu est la suivate : Si la échette tombe das A k alors le joueur remporte 3 k + 1 poits. Calculer l'espérace de X 4) Doer la foctio de répartitio de X et tracer la. 5) O suppose maiteat que le joueur 'atteit pas la cible avec ue probabilité doée p > 0. O suppose que si le joueur atteit la cible alors il marque des poits selo les mêmes règles que précédemmet. Sio, il marque 0 poit. Mêmes questios que précédemmet. Exercice 3.4.4 (Miimum de deux variables aléatoires géométriques) Das cet exercice, p désige u réel de ]0; 1[ et q = 1 p. O cosidère deux variables aléatoires X et Y, idépedates, et suivat toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. i 1. Soit i N. E remarquat que (X i) = (X = k), motrer que P(X > i) = q i. 2. Vérier que l'égalité précédete est ecore vraie lorsque i = 0. 3. O déit ue variable aléatoire Z e posat Z = mi(x, Y ), c'est-à-dire : { X si X Y Z = Y si Y < X Expliquer pourquoi, pour tout i N : 4. E déduire P (Z > i), pour i N. k=1 (Z > i) = (X > i) (Y > i) 5. Soit i N. E utilisat le fait que (Z > i 1) = (Z > i) (Z = i), calculer P (Z = i), pour i N. 6. Démotrer que Z suit la loi géométrique de paramètre 1 q 2. Exercice 3.4.5 Le trousseau de clefs d'u gardie de uit comporte dix clefs, dot ue seule ouvre la porte du poste de garde. Pour qu'il y péètre, il y a deux scearios possibles : Cas A : il pred ue clef au hasard, l'essaie, la met de côté si elle 'ouvre pas, et aisi de suite. Cas B : il pred ue clef au hasard, l'essaie, mais la laisse sur le trousseau si elle 'ouvre pas, et aisi de suite.

52 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES O désige respectivemet par X A et X B les variables aléatoires égales aux ombres d'essais (y compris le bo) avat succès, das le premier et le secod sceario. Détermier la loi de probabilité et la foctio de répartitio de X A et de X B. Calculer E[X A ] et E[X B ]. Le gardie utilise la méthode B u jour sur trois. U jour, après avoir essayé 8 clefs, il 'a toujours pas ouvert la porte. Quelle est la probabilité pour qu'il ait utilisé la méthode B? Exercice 3.4.6 Soit u etier aturel o ul. Ue persoe eectue lacers idépedats d'ue pièce parfaitemet équilibrée. Soit X le ombre de "piles" obteus. 1) Quelle est la loi de X? quelle est so espérace? sa variace? 2) Calculer la probabilité pour qu'à l'issue des lacers, le ombre de piles soit strictemet supérieur au ombre de faces. Exercice 3.4.7 (#) Ue etreprise de costructio produit des objets sur deux chaîes de motage A et B qui foctioet idépedemmet l'ue de l'autre. Pour ue chaîe doée, les fabricatios des pièces sot idépedates. O suppose que A produit 60% des objets et B produit 40% des objets. La probabilité qu'u objet costruit par la chaie A soit défectueux est 0.1 alors que la probabilité pour qu'u objet costruit par la chaie B soit défectueux est 0.2. 1. O choisit au hasard u objet à la sortie de l'etreprise. O costate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'évéemet l'objet proviet de la chaîe A. 2. O suppose de plus que le ombre d'objets produits e ue heure par A est ue variable aléatoire Y qui suit ue loi de Poisso de paramètre λ = 20. O cosidère la variable aléatoire X représetat le ombre d'objets défectueux produits par la chaîe A e ue heure. (a) Rappeler la loi de Y aisi que la valeur de l'espérace et de la variace de Y. (b) Soiet k et deux etiers aturels, détermier la probabilité coditioelle P (Y =) [X = k]. (O distiguera les cas k et k > ). (c) E déduire, e utilisat le système complet d'évéemets (Y = i) i N, que X suit ue loi de Poisso de paramètre 2. Solutio. 1. Pour u objet pris à la sortie, P (A) = 0.6 et P (B) = 0.4 Soit D =l'objet est défectueux. O a P (D/A) = 0.1 et P (D/B) = 0.2 et comme (A, B) est u système complet d'évéemets, P (D) = P (D/A) P (A) + P (D/B) P (B) = 0.1 0.6 + 0.2 0.4 = 0.14 Si l'objet est défectueux, la probabilité de l'évéemet l'objet proviet de la chaîe A est P (A/D) que l'o calcule par la formule de Bayes : P (A/D) = = P (A D) = P (D) 0.1 0.6 0.14 P (D/A) P (A) P (D) = 0.06 0.14 = 6 14 = 3 7

3.4. EXERCICES 53 2. O suppose de plus que le ombre d'objets produits e ue heure par A est ue variable aléatoire Y qui suit ue loi de Poisso de paramètre λ = 20. O cosidère la variable aléatoire X représetat le ombre d'objets défectueux produits par la chaîe A e ue heure. (a) O a Y (Ω) = N et pour tout etier : P (Y = ) = λ e λ!. E (Y ) = λ = 20 et V (Y ) = λ = 20 (b) Quad Y =, X est le ombre d'objet défectueux parmi, qui sot défectueux idépedemmet les u des autres avec ue même probabilité 0.1. Doc sachat Y =, X B (, 0.1) et P [X = k/y = ] = 0 si k > et P [X = k/y = ] = C k 0.1 k 0.9 k si k (c) Comme (Y = ) N, est u système complet d'évéemets o a pour tout etier k : P (X = k) = + =0 P [X = k/y = ] P (Y = ) série covergete dot o calcule la somme partielle e distiguat suivat que k ou < k : M P [X = k/y = ] P (Y = ) = k=0 k 1 P [X = k/y = ] P (Y = ) =0 + M P [X = k/y = ] P (Y = ) =k doc X suit ue loi de Poisso de paramètre 2 M = 0 + C0.1 k k 0.9 k 20 e 20! =k ( ) k 0.1 M = e 20! (0.9 20) 0.9 k! ( k)!! =k ( ) k 1 = e 20 1 M 1 9 k! ( k)! 18 =k ( ) k 1 = e 20 1 M k 1 9 k! m! 18m+k m=0 ( ) k 1 e 20 1 9 k! 18k e 18 = 2k e 2 k! Exercice 3.4.8 O lace successivemet boules au hasard das N cases umérotées de 1 à N avec N 2. O suppose que les diérets lacers de boules sot idépedats et que la probabilité pour qu'ue boule quelcoque tombe das ue case doée est 1. Ue case peut N coteir plusieurs boules. Le gai état foctio du ombre de cases atteites, o étudie la variable aléatoire T égale au ombre de cases o vides à l'issue des lacers.

54 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 1. Détermier e foctio de et N les valeurs prises par T (o distiguera deux cas : N et > N). 2. Doer les lois de T 1 et T 2. 3. Détermier, lorsque 2, la probabilité des évéemets (T = 1), (T = 2), (T = ) (pour la derière probabilité, o distiguera deux cas : > N et N). 4. À l'aide de la formule des probabilités totales, justier l'égalité (I) suivate, pour tout etier k tel que 1 k. (I) P (T +1 = k) = k N P (T = k) + N k + 1 P (T = k 1) N 5. A de calculer l'espérace E(T ) de la variable T, o cosidère la foctio polyomiale G déie par : x R, G (x) = P (T = k)x k (a) Quelle est la valeur de G (1)? (b) Exprimer E(T ) e foctio de G (1). (c) E utilisat la relatio (I), motrer que : k=1 x R, G +1 (x) = 1 N (x x2 )G (x) + xg (x) (d) E dérivat l'expressio précédete, e déduire que : ( E(T +1 ) = 1 1 ) E(T ) + 1 N (e) Prouver e que l'espérace de T est doée par : ( ( E(T ) = N 1 1 1 ) ) N (f) L'etier N état xé, calculer la limite de E(T ) lorsque ted vers +. Iterpréter le résultat. Exercice 3.4.9 O lace fois ( 3) ue pièce de moaie parfaitemet équilibrée. Pour tout i [ 1, ], o pose A i = o a obteu pile au i-ème lacer. 1. Soit X le ombre total de piles obteu. Doer sa loi, so espérace et sa variace. 2. Si, à l'issue des lacers, o obtiet par exemple pile-pile-face-face-face-pile-..., o dit que l'o a ue première série de logueur 2, parce qu'o a obteu 2 piles au début (et pas plus), et ue deuxième série de logueur 3, parce qu'o a obteu esuite 3 faces (et pas plus). Autre exemple : si l'o obtiet face-face-pile-face-..., o a ue première série de logueur 2 et ue deuxième série de logueur 1. O ote S 1 la logueur de la première série et S 2 la logueur de la deuxième série si elle existe. O coviet de poser S 2 = 0 s'il 'y a pas de deuxième série, c'est-à-dire si S 1 =. Détermier S 1 (Ω). 3. Justier l'égalité (S 1 = 1) = (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ). E déduire, e justiat soigeusemet, que P(S 1 = 1) = 1 2.

3.4. EXERCICES 55 4. E étudiat l'évéemet (S 1 = k) à la maière de la questio précédete, démotrer que : k [ 1, 1 ], P(S 1 = k) = ( ) k 1 2 ( ) 1 1 5. Démotrer que P(S 1 = ) =. 2 6. Vérier, e utilisat les formules obteues das les deux questios précédetes, que : P(S 1 = k) = 1 k=1 7. Soit x R \ {1}. Démotrer que pour tout N : Calculer l'espérace de S 1. i=1 8. Justier l'égalité S 2 (Ω) = [ 0, 1 ]. 9. Calculer P(S 2 = 0). ix i 1 = x+1 ( + 1)x + 1 (1 x) 2. 10. Soit k [ 1, ]. Motrer que : 0 si k = P(S 2 = 1 S 1 = k) = 1 si k = 1 1 si k 2 2 11. E déduire que : P(S 2 = 1) = 1 2 Exercice 3.4.10 Ue ure cotiet N boules umérotées de 1 à N. O e tire ue à ue ( N). O étudiera d'abord le cas avec remise, puis sas remise. Soit X et Y le plus petit et le plus grad des ombres obteus a) Calculer P(X x) pour tout x [ 1, ]. E déduire la loi de X. b) Calculer P(Y y) pour tout y [ 1, ]. E déduire la loi de Y. Exercice 3.4.11 Soit a u ombre réel, et X ue variable aléatoire à valeurs das N, telle que : pour tout k N, P[X = k] = a 2 k k! a) Détermier a. b) La variable aléatoire X admet elle ue espérace? Si oui, la détermier. c) La variable aléatoire X admet elle ue variace? Si oui, la détermier. Exercice 3.4.12 Calculer la foctio de répartitio de : la loi uiforme sur {1,..., } la loi de Beroulli de paramètre p la loi Biomiale de paramètres 4 et 1 2

56 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES la loi géométrique de paramètre p. Exercice 3.4.13 O admet que si 0 x < 1 et r N, 1 (1 x) = r k=0 ( k + r 1 r 1 Cosidéros ue ure coteat des boules blaches e proportio p, des boules oires e proportio 1 p. O eectue des tirages avec remise das cette ure jusqu'à l'obtetio de r boules blaches. Soit X le ombre de boules oires obteues (avat la rème boule blache). 1) Calculer P[X = k] pour tout k N. 2) Motrer que l'o obtiet presque-sûremet r boules blaches 3) Calculer E[X]. Exercice 3.4.14 Ue ure cotiet N boules umérotées de 1 à N. O e tire ue à ue ( N). O étudiera d'abord le cas avec remise, puis sas remise. Soit X et Y le plus petit et le plus grad des ombres obteus a) Calculer P(X x) pour tout x [ 1, ]. E déduire la loi de X. b) Calculer P(Y y) pour tout y [ 1, ]. E déduire la loi de Y. Exercice 3.4.15 U garagiste dispose de 2 voitures de locatio. Chacue est utilisable e moyee 4 jours sur 5. Il loue les voitures avec ue marge de 50 euros par jour et par voiture. O cosidère X la variable aléatoire égale au ombre de cliets se présetat chaque jour pour louer ue voiture. O suppose X(Ω) = {0, 1, 2, 3} avec ) x k P[X = 0] = 0.1 P[X = 1] = 0.3 P[X = 2] = 0.4 P[X = 3] = 0.2. a) Détermier la loi de la variable aléatoire Y représetat le ombre de cliets satisfaits par jour b) Calculer la marge moyee par jour. Exercice 3.4.16 Ue ure cotiet iitialemet ue boule blache et ue boule rouge. O eectue des tirages successifs d'ue boule das l'ure selo le protocole suivat : après chaque tirage, la boule tirée est remise das l'ure et o rajoute das l'ure ue boule de la même couleur, avat le tirage suivat. Pour tout etier o ul, o ote X la variable aléatoire égale au ombre de boules blaches obteues au cours des premiers tirages. Détermier la loi de X 1. Détermier la loi de X 2. Motrer que la loi de X est doée par P(X = k) = 1. +1 Exercice 3.4.17 (#) Soit N ue variable aléatoire de Poisso de paramètre λ et (X i ) i 0 ue suite de variables de Beroulli de paramètre p, idépedates etre elles et de N. Motrer que S = est ue variable de Poisso de paramètre pλ. N i=1 X i

3.4. EXERCICES 57 Solutio. Pour 0, ( N ) P(S = ) = P X i = = ( N ) P X i =, N = k = ( k ) P X i =, N = k. k 0 k 0 i=1 Comme N est idépedat de X 1,..., X k, o a ( k ) ( k ) P X i =, N = k = P X i = P (N = k). i=1 i=1 De plus, comme o cosidère ue somme de k variables de Beroulli de paramètre p et idépedates, k i=1 X i est ue v.a. biomiale de paramètres k et p : ( k ) { 0 si > k P X i = = ) p (1 p) k sio. i=1 λ λk Comme N est ue v.a. P(λ), P(N = k) = e. k! Fialemet, o a P(S = ) = k ( k i=1 ( k )p (1 p) k λ λk e k! = p e λ! k et par u chagemet de variables das la somme : k 0 i=1 k! k!(k )! (1 p)k λ k P(S = ) = p e λ 1! k! (1 p)k λ k+ = λ p e λ e λ(1 p) = (λp) e λp.!! Exercice 3.4.18 (Loi multiomiale #) Ue boîte cotiet jetos umérotés de 1 à. O tire u jeto au hasard, o ote so uméro et o le remet das la boîte. Si le uméro de ce jeto est i, alors o tire au hasard et sas remise i jetos de la boîte que l'o distribue au hasard das trois ures U 1, U 2 et U 3 (vides au départ). Pour k = 1, 2, 3, o ote X k la variable aléatoire désigat le ombre de jetos de l'ure U k après cette opératio. 1. Soit X la variable aléatoire doat le uméro du jeto que l'o a tiré au départ das la boîte. Quelle est la loi de X? Détermier la loi cojoite du couple (X k, X), où k = 1, 2, 3. 2. Calculer pour k = 1, 2, 3, l'espérace de X k (O pourra utiliser X = X 1 + X 2 + X 3 ). 3. (a) Trouver la loi du vecteur aléatoire (X 1, X 2, X). (b) E déduire la loi du vecteur aléatoire (X 1, X 2, X 3 ). solutio 1. La loi de X est la loi uiforme sur {1,.., }. Pour 1 i et 0 j, P(X k = j, X = i) = P(X k = j X = i)p(x = i) = P(X k = j X = i) 1 et sachat {X = i}, la v.a. X k est ue biomiale de paramètres 1/3 et i. O a doc { 0 si j > i P(X k = j, X = i) = 1 j ( 1 j ( 2 i j ( i) 3) 3) si j i.

58 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 2. Comme X = X 1 + X 2 + X 3 et que les trois v.a. X 1, X 2 et X 3 ot même loi, et doc E[X 1 ] = + 1. 6 3. (a) Pour 1 i et 0 j, k, 3E[X 1 ] = E[X] = 1 ( + 1) 2 P(X 1 = j, X 2 = k, X = i) = P (X=i) (X 1 = j, X 2 = k)p(x = i) = 1 P (X=i)(X 1 = j, X 2 = k). Coditioellemet à {X = i}, l'expériece reviet à placer i boules das 3 ures. L'espace des coguratios possibles, qui est de cardial 3 i, est mui de la probabilité uiforme. De plus, le ombre de coguratios avec j boules das la 1ère ure et k boules das la secode est i! j!k!(i j k)! si j + k i et 0 sio. O a doc P(X 1 = j, X 2 = k, X = i) = 1 1 i! 3 i j!k!(i j k)! (b) Par la questio précédete, o a directemet si j + k i. P(X 1 = j, X 2 = k, X 3 = l) = 1 1 (j + k + l)! 3 j+k+l j!k!l! si j + k + l. Exercice 3.4.19 (#) O joue à pile ou face avec ue pièce o équilibrée. A chaque lacer la probabilité d'obteir pile est 2/3, et face 1/3. Les lacers sot supposés idépedats. O ote X la variable aléatoire réelle égale au ombre de lacers écessaires pour l'obtetio, pour la première fois de deux piles cosécutifs. Soit u etier aturel o ul. O ote p la probabilité de l'évéemet (X = ). 1) Expliciter les évéemets (X = 2), (X = 3), (X = 4), (X = 5). Détermier la valeur de p 1, p 2, p 3, p 4 et p 5 2) A l'aide de la formule des probabilités totales, e distiguat deux cas selo le résultat du premier lacer, motrer que 3, p = 2 9 p 2 + 1 3 p 1. 3) E déduire l'expressio de p e foctio de pour 1. 4) Calculer E[X]. Exercice 3.4.20 1) Détermier α, β, γ tels que pour tout k N, 1 k(k + 1)(k + 2) = α k + β k + 1 + γ k + 2

3.4. EXERCICES 59 2) Soit a R. Détermier a pour que p k = a k(k + 1)(k + 2) soit ue loi de probabilité. 3) Cette loi de probabilité admet elle ue espérace? ue variace? Exercice 3.4.21 Soit X ue variable aléatoire à valeurs das N. 1) Motrer que pour tout N, ( 1 ) kp[x = k] = P[X > k] P(X > ). k=1 i=1 2) O suppose que lim P(X > ) = 0 et que la série de terme gééral u k = P(X > k) coverge. Motrer que X admet ue espérace et que E(X) = P(X > k). 3) Réciproquemet, o suppose que X admet ue espérace. Motrer que et e déduire k=1 lim P(X > ) = 0 E[X] = P[X > k]. Exercice 3.4.22 Soit X ue v.a.r discrète telle que X(Ω) = N. Motrer que 1) Si E(X) existe, E(X) = k=1 P[X k]. 2) Si E[X(X 1)] existe, E[X(X 1)] = 2 P[X ]. k=0 p=2 =p Exercice 3.4.23 O cosidère u etier aturel N supérieur ou égal à 3. Ue ure cotiet N boules umérotées de 1 à N. O y eectue des tirages successifs d'ue boule avec remise de la boule tirée après chaque tirage, jusqu'à obteir pour la première fois u uméro déjà tiré. O ote alors T N le rag aléatoire de ce derier tirage. Par exemple, si o a obteu successivemet les uméros 1-5-4-7-3-5, la variable T N pred la valeur 6. Alors que si o a obteu 5-4-2-2 la variable T N pred la valeur 4. 1) Détermier la loi, l'espérace et la variace de T 3. 2) Soit N 3 a) Détermier l'esemble des valeurs que peut predre T N. b) Calculer P[T N = 2], P[T N = 3] et P[T N = N + 1] c) Prouver pour tout etier k de {1,..., N}, les égalités P[T N > k] = E déduire la loi de la variable aléatoire T N k 1 N! (N k)!n = ( 1 i ). k N i=0

60 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exercice 3.4.24 O joue à pile ou face avec ue pièce o équilibrée. A chaque lacer la probabilité d'obteir pile est 2/3, et face 1/3. Les lacers sot supposés idépedats. O ote X la variable aléatoire réelle égale au ombre de lacers écessaires pour l'obtetio, pour la première fois de deux piles cosécutifs. Soit u etier aturel o ul. O ote p la probabilité de l'évéemet (X = ). 1) Expliciter les évéemets (X = 2), (X = 3), (X = 4), (X = 5). Détermier la valeur de p 1, p 2, p 3, p 4 et p 5 2) A l'aide de la formule des probabilités totales, e distiguat deux cas selo le résultat du premier lacer, motrer que 3, p = 2 9 p 2 + 1 3 p 1. 3) E déduire l'expressio de p e foctio de pour 1. 4) Calculer E[X]. Exercice 3.4.25 1) Détermier α, β, γ tels que pour tout k N, 2) Soit a R. Détermier a pour que 1 k(k + 1)(k + 2) = α k + p k = β k + 1 + a k(k + 1)(k + 2) γ k + 2 soit ue loi de probabilité. 3) Cette loi de probabilité admet elle ue espérace? ue variace? Exercice 3.4.26 (A faire!) Soit P ue probabilité et X ue variable aléatoire à valeurs das N. 1) Motrer que pour tout N, ( 1 ) kp[x = k] = P[X > k] P(X > ). k=1 i=1 2) O suppose que lim P(X > ) = 0 et que la série de terme gééral u k = P(X > k) coverge. Motrer que X admet ue espérace et que E(X) = P(X > k). 3) Réciproquemet, o suppose que X admet ue espérace. Motrer que k=1 et e déduire lim P(X > ) = 0 E[X] = P[X > k]. k=0

3.4. EXERCICES 61 Exercice 3.4.27 Soit X ue v.a.r discrète telle que X(Ω) = N. Motrer que 1) Si E(X) existe, E(X) = k=1 P[X k]. 2) Si E[X(X 1)] existe, E[X(X 1)] = 2 P[X ]. p=2 =p Exercice 3.4.28 Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates, à valeurs das N. Détermier e foctio de la loi de X et de la loi de Y, la loi de Z = X + Y. Détermier la loi de T = mi(x, Y ). Exercice 3.4.29 Motrer que la somme de variables aléatoires idépedates de Beroulli de paramètre p est ue loi biomiale de paramètres, p. Motrer que la somme de variables aléatoires de Poisso de paramètres λ 1,..., λ respectivemet est ue loi de Poisso de paramètre i=1 λ i Exercice 3.4.30 Ue ure cotiet ue boule blache et ue boule oire, les boules état idiscerables au toucher. O y prélève ue boule, chaque boule ayat la même probabilité d'être tirée, o ote sa couleur, et o la remet das l'ure avec c boules de la couleur de la boule tirée. O répète cette épreuve, o réalise aisi ue successio de tirages ( 2). O cosidère les variables aléatoires (X i ) 1 i déies par : X i = 1 si o obtiet ue boule blache au i-ème tirage. X i = 0 sio. O déit, pour 2 p, la variable aléatoire Z p par Z p = 1) Détermier la loi du couple (X 1, X 2 ). E déduire la loi de X 2. 2) Détermier la loi de Z 2 3) a) Détermier Z p (Ω). Soit p 1 b) Détermier P(X p+1 = 1 Z p = k) pour k Z p (Ω). E utilisat la formule des probabilités totales, motrer que P[X p+1 = 1] = 1 + ce[z p] 2 + pc c) Motrer par récurrece que pour tout p [ 1, ], p i=1 X i P[X p = 1] = P[X p = 0] = 1 2 Exercice 3.4.31 Soit ue pièce avec probabilité d'avoir face p. O lace la pièce fois, soit X la variable aléatoire représetat le ombre de faces obteues, et Y le ombre de piles. Quelle est la loi de X, la loi de Y? motrer que les variables aléatoires X et Y e sot pas idépedates. O lace maiteat la pièce N fois où N est u ombre aléatoire qui suit ue loi de Poisso. O ote ecore X et Y le ombre de faces et le ombre de piles. Détermier la loi du couple (X, Y ), e déduire que X et Y sot idépedates, et doer leurs lois respectives.

62 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exercice 3.4.32 O cosidère ures umérotées de 1 à. La première ure cotiet des boules blaches et des boules oires ; la proportio de boules blaches est p 1. Les ures suivates cotieet chacue a boules blaches et a boules oires. O eectue tirages de la maière suivate : o tire ue boule de la premiere ure que l'o place das la deuxième ure, puis o tire ue boule de la deuxième ure que l'o place das la troisième, et aisi de suite jusqu'au tirage das la derière ure. Pour 1 k, o désige par X j la variable aléatoire égale à 1 si la boule tirée das la kème ure est blache, égale à 0 si la boule tirée de la kème ure est oire. 1) Détermier les lois de probabilités de X 1 et X 2, puis leurs espéraces et leurs variaces e foctio de p 1 et de a. 2) Démotrer qu'il existe ue valeur de p 1 pour laquelle X 1 et X 2 suivet la même loi de probabilité. 3) Pour cette valeur de p 1 étudier l'idépedace de X 1 et X 2. Pour 1 k, o pose p k = P[X k = 1] et q k = P[X k = 0]. 4) Démotrer qu'il existe ue matrice M dépedat de a telle que pour k [ 1, 1 ] ( ) ( ) pk+1 pk = M q k+1 5) Détermier M pour N, puis détermier la loi de X. 6) Détermier lim p et lim q. Exercice 3.4.33 Soit (X, Y ) u couple de variables aléatoires à valeurs das N N tel que : (j, k) N 2, (j + k)λj+k P({X = j} {Y = k}) = ej!k! a) Détermier λ. (O pourra étudier f : x 2xe 2x 1 1) sur R +. b) Détermier les lois de X et de Y. Les variables X et Y sot elles idépedates? Exercice 3.4.34 Soit X et Y deux variables idépedates vériat : ( ) 1 + a q k pour tout N. 1) Détermier a. 2) Calculer E[X] et V(X) 3) Détermier la loi de S = X + Y. P[X = ] = P[Y = ] = 1 4! Exercice 3.4.35 O admet que si 0 x < 1 et r N, 1 (1 x) = ( ) k + r 1 x k r r 1 k=0 Cosidéros ue ure coteat des boules blaches e proportio p, des boules oires e proportio 1 p. O eectue des tirages avec remise das cette ure jusqu'à l'obtetio de r boules blaches. Soit X le ombre de boules oires obteues (avat la rème boule blache).

3.4. EXERCICES 63 1) Calculer P[X = k] pour tout k N. 2) Motrer que l'o obtiet presque-sûremet r boules blaches 3) Calculer E[X]. Exercice 3.4.36 (#) U joueur va au casio avec ue fortue a N. A chaque partie, il peut gager 1 euro avec ue probabilité p et perdre 1 euro avec ue probabilité q = 1 p. Le but du joueur est alors de jouer jusqu'à l'obtetio de la fortue c a, c N mais il doit s'arrêter s'il est ruié. O ote s c (a) sa probabilité de succès (atteidre c avat la ruie). 1. Calculer s c (0) et s c (c) 2. Motrer, pour a > 0, e raisoat sur ce qui s'est passé au premier coup, la relatio s c (a) = ps c (a + 1) + qs c (a 1) 3. Déduire la valeur de s c (a) suivat que p = 0, 5 ou p 0, 5. 4. Applicatio umérique : Calculer la valeur précédete avec a = 900 ; c = 1000 ; a = 100 ; c = 20000 das les cas p = 0 ; 5 et p = 18/38. Solutio 1. Si o démarre avec ue fortue ulle, o e peut atteidre la somme c : s c (0) = 0. Si o démarre avec c, o a atteit la somme c et doc s c (c) = 1. 2. Au premier coup, o peut soit gager 1 euro (avec proba p), soit e perdre 1 (avec proba q). Si o part d'ue fortue a et que l'o gage au premier coup, o se retrouve avec ue fortue de a + 1 et la probabilité d'atteidre c vaut alors s c (a + 1). O a la même chose si o perd au premier coup et o a bie la formule de récurrece pour 1 a c 1 : s c (a) = ps c (a + 1) + qs c (a 1) 3. Si p = 0 (et doc q = 1), o a s c (a) = s c (a 1) pour 1 a c 1. O a doc s c (a) = 0 si a < c et s c (c) = 1. Le cas le plus itéressat est bie sûr p > 0. O a alors ue suite récurrete d'ordre 2 qui vérie ps c (a + 1) = s c (a) qs c (a 1) et s c (0) = 0, s c (c) = 1. Pour trouver so expressio géérale, o doit trouver les racies de so équatio caractéristique pr 2 r + q = 0. Après résolutio, o trouve que cette équatio a deux racies : 1 et q/p. Si q = p, c'est-à-dire si p=1/2, 1 est la racie double de l'équatio caractéristique et alors o a s c (a) = (αa + β)1 a = αa + β avec α et β à détermier. D'après la questio a), 0 = s c (0) = β et 1 = s c (c) = αc + β. O e déduit que β = 0 et α = 1/c. Cela doe au al s c (a) = a/c. Si q p, c'est-à-dire si p 1/2, l'équatio caractéristique a deux racies distictes (1 et q/p) et alors s c (a) = α ( ) a q + β1 a = α p ( ) a q + β p

64 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES avec ( α et β à détermier. D'après la questio a), 0 = s c (0) = α + β et 1 = s c (c) = c q α p) + β et alors α = β = (1 (q/p) c ) 1 ce qui etraîe s c (a) = 1 (q/p)a 1 (q/p) c. 4. Applicatio umérique : si p = 1/2, s 1000 (900) = 9/10. si p = 18/38, s 1000 (900) = 2, 66 10 5. Exercice 3.4.37 (Ue marche aléatoire) O étudie le cours e bourse d'ue actio. O suppose que les variatios jouralières sot idépedates les ues des autres. O coviet de oter 0 le cours au début de l'observatio. O suppose que chaque jour, l'actio mote d'ue uité (+1) avec probabilité p ou desced d'ue uité (-1) avec probabilité 1 p. O ote X 2, le cours costaté le 2-ème jour. Par exemple si =2, et que le cours à baisser les trois premiers jours et moté le quatrième jour, o a X 4 = 1 1 1 + 1 = 2 1) Quelles sot les valeurs prises par X 2? 2) O ote Y 2 le ombre de jours parmi les 2 jours d'observatio où l'actio a moté ; et Z 2 le ombre de jours parmi les 2 jours, où l'actio a baissé. Quelles sot les lois de probabilité de Y 2 et Z 2? Doer leur espérace. 3) Quelles relatios liet d'ue part et Y 2 Z 2, et d'autre part X 2, Y 2 et Z 2? E déduire ue expressio de X 2? Motrer que pour tout k [, ] P[X 2 = 2k] = ( ) 2 p +k q k + k Exercice 3.4.38 O dispose d'u dé équilibré à 6 faces et d'ue pièce truquée telle que la probabilité d'apparitio de pile soit égale à p. Soit N u etier aturel o ul. O eectue N lacers du dé ; si est le ombre de 6 obteus, o lace alors fois la pièce. O déit trois variables aléatoires X, Y, Z de la maière suivate : Z idique le ombre de 6 tirés parmi les N lacers de dé. X idique le ombre de piles obteus parmi les lacers de la pièce. Y idique le ombre de faces obteues au lacers de la pièce. 1) Préciser la loi de Z, so espérace, sa variace. 2) Pour k N, N, détermier la probabilité coditioelle P[X = k Z = ]. 3) Motrer que pour tout couple d'etiers aturels (k, ) : P[X = k et Z = ] = ( k )( N = 0 sio. 4) Calculer la probabilité P(X = 0). ) p k (1 p) k ( 5 6 ) N ( ) 1 si 0 k N 6

3.4. EXERCICES 65 5) Motrer que pour tout couple d'etiers aturels (k, ) tels que 0 k N ( )( ) ( )( ) N N N k =. k k k E déduire la probabilité P(X = k). 6) Motrer que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale de paramètre (N, p ). Quelle est 6 la loi de Y? 7) Calculer la covariace de (X, Y ). X et Y sot-elles idépedates? 8) Détermier la loi du couple (X, Y ). Exercice 3.4.39 Soit X et Y deux variables aléatoires das N, telles que P[{X = i} {Y = j}] = a) Calculer a b) Détermier les lois margiales de X et Y. c) X et Y sot elles idépedates? a 2 i+j, pour tout (i, i) N N Exercice 3.4.40 Soit X ue variable aléatoire uiforme sur [ 1, ] et Y ue variable aléatoire uiforme sur [ 1, X ], détermier la loi de Y et calculer E[Y ]. Exercice 3.4.41 Soit u etier aturel o ul, et X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat toutes les deux des lois uiformes sur {1,..., }. 1. Calculer P(X = Y ) et P(X Y ). 2. Détermier la loi de D = Y X. Exercice 3.4.42 Soit X 1, X 2, X 3 des variables de Beroulli, deux à deux idépedates, preat les valeurs 0 ou 1 avec probabilité 1/2. O cosidère les variables Y = X 1 X 2 et Z = X 2 X 3 1. Détermier la loi joite de (Y, Z). 2. Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? 3. Calculer l'esperace et la variace de Y + Z et Y Z Exercice 3.4.43 Soit u etier aturel o ul, et X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat toutes les deux des lois uiformes sur {1,..., }. 1. Calculer P(X = Y ) et P(X Y ). 2. Détermier la loi de D = Y X. Exercice 3.4.44 Soit X 1, X 2, X 3 des variables de Beroulli, deux à deux idépedates, preat les valeurs 0 ou 1 avec probabilité 1/2. O cosidère les variables Y = X 1 X 2 et Z = X 2 X 3 1. Détermier la loi joite de (Y, Z). 2. E déduire les lois margiales de Y et Z.

66 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 3. Calculer Cov(Y, Z) Les variables aléatoires X et Y sot-elles idépedates? 4. Calculer l'espérace et la variace de Y + Z et Y Z Exercice 3.4.45 (Processus d'assaiissemet iformatique) Soit p ]0, 1[, ue etreprise dispose de N copies d'u même logiciel. Ue proportio p est ifectée par u virus, et il est impossible de discerer u logiciel sai d'u cotamié. O suppose que N = m avec et m deux etiers strictemet plus grad que 1. U des resposables propose la méthode suivate pour assaiir le lot : Les N copies formet la géératio 0. O prélève logiciels au hasard et avec remise das la géératio 0. O les copie chacu m fois. Les N = m logiciels obteus costituet la géératio 1. O itère le procédé. Durat tout le processus, la copie d'u logiciel sai est saie, d'u logiciel cotamié, cotamiée. Le statisticie pese que si la proportio p est faible, o a de boes chaces d'obteir u lot sai après u assez grad ombre d'opératios. O souhaite vérier si eectivemet ce procédé foctioe. Prélimiaire. O cosidère u couple de variables aléatoires (X, Y ) déies sur (Ω, F, P). Soit k et l deux etiers strictemet positifs. O suppose que X pred q valeurs réelles : x 1,..., x q, et Y, r valeurs réelles : y 1,..., y r. Soit g ue foctio réelle. Pour tout 1 j q, soit E j = r g(y i )P[Y = y i X = x j ]. i=1 Démotrer que E[g(Y )] = q E j P[X = x j ]. (3.1) j=1 O passe maiteat au problème e questio. Soit k N, o ote T k le ombre de copies ifectées obteues parmi les tirées das la géératio k, pour costituer la géératio k + 1 1) Quelles sot les valeurs prises par T k? Pour j décrivat l'esemble de ces valeurs, détermier la loi coditioelle de T k+1 sachat T k = j. 2) E déduire, à l'aide de (3.1), ue relatio etre E[T k+1 ] et E[T k ] et motrer que pour tout k, E[T k ] = p. 3) O cosidère maiteat la variable Z k = T k ( T k ). a) E utilisat le prélimiaire avec (T k, T k+1 ) et ue foctio g coveablemet choisie. Motrer que la suite de terme gééral E[Z k ] est géométrique. b) Doer l'expressio de E[Z k ] e foctio de p, et k. c) Motrer que la suite (E[Z k ], k 0) ted vers 0. 4 a) Que sigie cocrètemet l'évéemet Z k = 0? b) Quelle est la plus petite valeur de j( j) lorsque j parcourt {1, 2,..., 1}.? c) E déduire, à l'aide de 3-c), que P(0 < T k < ) k 0. d) Calculer la limite de P[Z k = 0] et iterpréter le résultat.

3.4. EXERCICES 67 e) Détermier e foctio de uiquemet, ue valeur de k telle que P[Z k = 0] > 0, 99 5) O cherche maiteat à calculer la probabilité de l'évéemet F= A partir d'u certai rag ; les géératios e sot costituées que de logiciels ifectées. a) Motrer que la suite d'évéemets ({T k = }) k 1 est croissate pour l'iclusio. b) Que représete alors P[F ] pour la suite, (P[T k = ]) k 1? 6) Soit j [ 1, 1 ], détermier la limite de P[T k = j] quad k ted vers l'ii. 7) E utilisat le résultat de la questio 2), doer la valeur de P[F ]. 8) O cherche maiteat à calculer la probabilité de l'évéemet G= A partir d'u certai rag, les géératios e sot costituées que de copies saies. Calculer P[G], que pesez vous de la méthode du statisticie? Séries géératrices Révisio : séries Exercice 3.4.46 (#) Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates : 1. 2.! (2)! x 2 +1 x2 (1+i) z 3 2 3. 4. l z Solutio. O utilise le résultat suivat : pour ue série a X, si la limite lim a +1 + a = L existe (limite évetuellemet iie), alors so rayo de covergece est égal à 1/L. 1. Posos a =! (2)!. Alors a +1 a = + 1 (2 + 1)(2 + 2) Le rayo de covergece est doc R = +. 2. Posos a = 2 +1. Alors a +1 a + 1(2 = + 1) (2 +1 + 1) 0. + 1/2. + Le rayo de covergece de la série a X est doc R = 2 et celui de la série cosidérée ici est R = 2 (predre X = x 2 ). 3. Comme 1 + i = 2, o a a +1 a = 2 + 1 2 Le rayo de covergece de la série a X cosidérée ici est R = ( 2) 1/3 = 2 1/6. 1/ 2. + est doc R = 2 et celui de la série

68 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 4. a +1 a Or, = ( + 1)l(+1) l = exp ( (l( + 1)) 2 (l ) 2). (l(+1)) 2 (l ) 2 = (l(+1) l )(l(+1)+l ) = l(1+1/) l(+ 2 ) doc a +1 a et R = 1. + e0 = 1 Exercice 3.4.47 (#) Pour N o déit sur [0; 1], u = X (1 X). + 1 l(+2 ) 1. Motrer que u coverge simplemet sur [0; 1] et calculer u (x) pour tout x [0; 1]. 2. Motrer que u e coverge pas ormalemet sur [0; 1] (a) e utilisat la déitio, (b) e utilisat le Théorème de cotiuité des séries. 3. Vérier que u coverge ormalemet sur [0; a] pour tout a ]0; 1[. Solutio. 1. La série que l'o étudie est à termes positifs ou uls. Pour motrer que u coverge simplemet sur [0; 1], motros que pour x [0, 1], la limite lim N + N x (1 x) =0 existe. Si x = 1, N =0 u (1) = 0 et o a doc la covergece voulue. Si 0 x < 1, N u (x) = =0 N =0 x (1 x) = (1 x) 1 xn+1 1 x = 1 x N+1 N + 1. La série u coverge doc simplemet sur [0; 1] et sa somme S est déie par S(1) = 0 et S(x) = 1 si x [0, 1[. 2. (a) Ue série coverge uiformémet si N sup u (x) S(x) x [0,1] =0 0. N + Cherchos la bore supérieure de la foctio N =0 u S sur [0, 1] : o a N { 1 x u (x) S(x) = N+1 1 = x N+1 si x < 1 0 si x = 1. =0 La bore supérieure qui vaut doc 1 e coverge pas vers 0 : la covergece 'est pas uiforme.

3.4. EXERCICES 69 (b) O peut aussi le motrer e utilisat la propriété suivate : si ue série de foctios cotiues coverge uiformémet, alors sa somme est égalemet cotiue. Ici, toutes les foctios u pour 0 sot cotiues sur [0, 1] mais S 'est pas cotiue e 1 : la covergece e peut doc pas être uiforme. 3. Soit 0 < a < 1. Dire que la covergece est ormale sur [0, a] reviet à dire que la série sup x [0,a] u (x) coverge. Pour cela, cherchos u équivalet de sup x [0,a] u (x) quad +. E étudiat les variatios de la foctio u, o voit qu'elle est croissate sur [0, ] puis +1 décroissate sur [, 1]. Comme /( + 1) ted vers 1 et comme a < 1, pour assez +1 grad o a /( + 1) > a. La foctio u est alors croissate sur [0, a] et atteit doc so maximum e a : sup u (x) = a (1 a) pour a assez grad x [0,a] et la série de terme gééral (a (1 a)) est covergete puisque a < 1 (voir questio a) ) et la série u coverge ormalemet sur [0, a]. Séries géératrices Exercice 3.4.48 (#) Calculer à l'aide de la foctio géératrice l'espérace et la variace de la loi géométrique de paramètre p et de la loi de Poisso de paramètre λ. Solutio. O traite d'abord le cas où X est ue v.a. de Poisso de paramètre λ : Pour s ] 1, 1[, o a G X (s) = E [ s X] = k 0 λ λk P(X = k) = e k!, k 0. s k P(X = k) = k 0 s k λ λk e k! = (sλ k ) e λ k! k 0 = e λ e sλ = e λ(s 1). Comme l'espérace de X existe (puisque la série de terme gééral (kp(x = k)) k absolumet), o a E[X] = lim s 1, s<1 G X(s). Or, G X (s) = λeλ(s 1) et doc E[X] = λ. De même, E[X 2 ] existe et alors coverge E[X(X 1)] = lim s 1, s<1 G X(s) = lim s 1, s<1 λ2 e λ(s 1) = λ 2. O a doc V(X) = E[X(X 1)] + E[X] E[X] 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ. O procède de la même maière si X est ue v.a. géométrique : si 1 < s < 1, G X (s) = k 0 s k P(X = k) = k 1 s k p(1 p) k 1 = ps k 1(s(1 p)) k 1 = (la derière égalité est valide car (1 p)s < 1). E dérivat, o obtiet comme avat E[X] = 1/p et V(X) = (1 p)/p 2. sp 1 s(1 p)

70 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES Exercice 3.4.49 (#) Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates de lois de Poisso de paramètres respectifs λ > 0 et γ > 0. Détermier, e calculat sa foctio géératrice, la loi de X + Y. Solutio. Pour s ] 1, 1[, o a G X+Y (s) = E[s X+Y ] = E[s X s Y ] = E[s X ]E[s Y ] = G X (s)g Y (s) car les 2 v.a. sot idépedates. Or, G X (s) = e λ(s 1) et G Y (s) = e γ(s 1) doc G X+Y (s) = e (λ+γ)(s 1). La série géératrice caractérisat la loi d'ue v.a., o e déduit que X + Y est ue v.a. de Poisso de paramètre λ + γ. Exercice 3.4.50 (#) Soit (X k ) 1 k ue suite de v.a. idépedates telles que pour 1 k, X k suit ue loi uiforme discrète sur {1,... k}, c'est-à-dire que pour i {1,... k}, P (X k = i) = 1 k. Détermier la foctio géératrice de X k et celle de Y = 1 (X 1 + X 2 + + X ). Solutio. Commeços par la série géératrice de X k qui est ue v.a. uiforme sur {1,..., k} : Pour s ] 1, 1[, o a P(X k = i) = 1 k, 1 i k. G Xk (s) = s i P(X = i) = 1 k i=1 s i = s k i=1 1 s k 1 s. Calculos maiteat la série géératrice de Y = 1 (X 1 + X 2 + + X ). O a G Y (s) = E [ s Y] [ (s 1/ = E ) ] X 1 + +X = car les v.a. (X k ) k sot idépedates. O a doc G Y (s) = G Xk (s 1/ ) = k=1 k=1 s 1/ k k=1 1 s k/ 1 s = s 1/ (1 s 1/ )! [ (s 1/ E ) ] X k ( ) 1 s k/ Exercice 3.4.51 Soit xé, et (X i ) i=1,..., ue suite de v.a. de Beroulli idépedates de paramètre p = λ/ ; X i = 1 modélise que le i-ème assuré subit u siistre. Le ombre d'assurés subissat u siistre est doc Y = X 1 +... + X. O suppose que les X i sot idépedats ; le fait que p est petit avec modélise que le risque de siistre pour chaque assuré est petit devat le ombre d'assurés, λ représetat le "ombre d'assurés siistrés espéré". 1. Soit Z P (λ). Calculer la série géératrice G Z de Z. k=1

G S (s) = k 0 s k P(S = k) = k 0 P(T = ) k 0 P(S = k, T = ) = k 0 3.4. EXERCICES 71 2. Calculer la série géératrice G Xi de X i. 3. Calculer la série géératrice G Y de Y. 4. Calculer lim + G Y. O rappelle que l(1 + u) = u(1 + ɛ(u)), où lim u 0 ɛ(u) = 0. Coclusio? Exercice 3.4.52 (#) (Somme aléatoire) Soit (X ) N ue suite de v.a. iid à valeurs das N et T ue variable aléatoire, à valeurs das N, et idépedates des (X ) N. O pose S 0 = 0 et pour tout 1, S = k=1 X k et S(w) = S T (w) (w). 1. Motrer que G S = G T G X1. 2. Motrer que si X 1 et T ot ue espérace, alors l'espérace de S existe et E[S] = E[T ]E[X]. 3. O pred pour les (X ) N des v.a. iid de loi de Beroulli de paramètre p, et pour T ue loi de Poisso de paramètre λ. Quelle est la loi de S? Solutio. 1. O a s k 0 s k 0 P(S = k, T = ). De plus, comme S = X 1 + X 2 + + X et que T est idépedat des v.a. X 1,..., X, o a G S (s) = k 0 s k 0 P(S = k)p(t = ). O veut itervertir les deux siges de sommatio. Pour cela, il faut motrer que la série double coverge absolumet. Puisque s < 1, s k P(S = k)p(t = ) k 0 0 k 0 0 P(S = k)p(t = ) = k 0 P(S = k) = 1 < + (o a refait les mêmes calculs que précédemmet mais das l'autre ses). O peut itervertir les deux sommes, o a alors G S (s) = 0 s k P(S = k) = 0 P(T = )G S (s). Or, S est la somme de variables idépedates et de même loi, o a doc G S (s) = G Xi (s) = (G X1 (s)) i=1 et G S (s) = 0 P(T = ) (G X1 (s)) = G T (G X1 (s)), ce qui est la relatio à trouver.

72 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES ( K ) 2. O justie l'existece de E[S] e motrat que la suite kp(s = k) et alors la série k 0 kp(s = k) est absolumet covergete. Comme E[S] existe, o sait que E[S] = G S (1). E utilisat a), o a k=0 E[S] = G X 1 (1)G T (G X1 (1)) = E[X 1 ]G T (1) = E[X 1 ]E[T ] K 0 est borée O a utilisé que pour toute série géératrice, G(1) = 1. 3. O a das ce cas particulier G T (s) = e λ(s 1) et G X1 (s) = ps + 1 p. E utilisat la relatio trouvée à la questio a), o a G S (s) = e λ(ps+1 p 1) = e pλ(s 1) et doc S est ue v.a. de Poisso de paramètre pλ.

Chapitre 4 Variables aléatoires à desité Ebauche de motivatio : la plache de Galto. O répète plusieurs fois l'expériece suivate : o laisse tomber ue bille sur ue plache 1 2 1 2 1 2π e x2 2 Figure 4.1 Plache de Galto icliée muie de clous. Lorsque la bille rebodit sur le clou, elle a ue chace sur deux de tomber à droite ou à gauche. O récolte les billes et observe leurs répartitios. Ce que Galto observe avec so expériece est la tedace des billes à se répartir d'ue faço particulière. De faço heuristique, lorsque l'o augmete le ombre de billes, l'histogramme se rapproche d'ue courbe. Il s'agit de la courbe de Gauss, et cette covergece est appelée le théorème de de Moivre-Laplace. Il apparait aisi qu'à partir d'expérieces simples, o passe d'u mode discret à u mode cotiu Mathématiquemet, le phéomèe observé par Galto s'exprime aisi : [ P 2 ( S 1 ) ] z 1 z e u2 2 du. 2 2π 73

74 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ Où S suit ue loi biomiale de paramètres (, 1 ). Ces résultats de covergece serot étudiées 2 das le chapitre 5. Nous établissos das u premier temps la otio de desité. 4.1 Gééralités Déitio 4.1.1 Soit X ue variable aléatoire réelle, o dit que X admet ue desité f si sa foctio de répartitio F est cotiue de la forme : F (x) = x avec 1. f est positive 2. f possède u ombre i de poits de discotiuité 3. f(x)dx = 1. f(t)dt, pour tout x R Remarque 4.1.1 La foctio f 'est pas uique, puisque l'o peut chager sa valeur e u poit sas chager la valeur de l'itégrale. Néamois ous parleros de la desité. Propositio 4.1.1 E tout poit x 0 où f est cotiue, F est dérivable et F (x 0 ) = f(x 0 ). Savoir faire la démostratio de cette propriété est très importat. La propriété correspod e fait au théorème fodametal de l'aalyse reliat itégrale et dérivée. Démostratio. O écrit le taux d'accroissemet e x 0 de la foctio F : F (x 0 + h) F (x 0 ) h = 1 h x0 +h x 0 f(t)dt Soit ɛ > 0, par cotiuité de f e x 0, il existe h tel que si x x 0 h alors f(x) f(x 0 ) ɛ. O écrit doc F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h = 1 x0 +h (f(x) f(x 0 )) dx h 1 h x 0 x0 +h x 0 1 h hɛ ɛ f(x) f(x 0 ) dx Si h ted vers 0, le taux d'accroissemet de F e x 0 admet ue limite et sa limite vaut f(x 0 ). Par déitio de la dérivée (e tat que limite du taux d'accroissemet) : F (x 0 ) = f(x 0 ). La otio d'itégrale gééralisée est sous-jacete à l'étude des probabilités cotiues. Ue piqûre de rappel cocerat les itégrales gééralisées peut être utile...

4.1. GÉNÉRALITÉS 75 4.1.1 Loi et foctio de répartitio Propositio 4.1.2 Soit X ue variable aléatoire réelle admettat ue desité f. Pour tout (a, b) R 2 avec a b P[a < X b] = b a f(t)dt Démostratio. O a F (b) = P[X b]. l'évéemet {a < X b} correspod à {X b}\{x a}. Doc P[a < X b] = F (b) F (a) = = b b a f(t)dt a f(t)dt f(t)dt par la relatio de Chasles Propositio 4.1.3 Pour ue variable à desité, P[X = a] = 0 pour tout a R. Démostratio. La probabilité de l'évéemet {X = a} est la limite à gauche de F (a) F (x) lorsque x ted vers a. Par cotiuité de F, F (a) F (x) 0. x a;x<a 4.1.2 Espérace Déitio 4.1.2 Soit X ue v.a.r de desité f. O appelle espérace de X, le réel E[X] := + tf(t)dt déie uiquemet si cette itégrale coverge absolumet. Il faut voir l'aalogie etre cette déitio et la déitio de l'espérace d'ue variable discrète : E[X] = i I x i P[X = x i ]. La série est remplacée par l'itégrale. Das le cas discret, c'est P[X = x i ] qui doe le poids de probabilité de l'évéemet élémetaire {X = x i }. Das le cas cotiu, ces élémets élémetaires sot doés par la dérivée de la foctio de répartitio F (x) c'est à dire f(x) (e dehors d'ue famille ie de poits). Cotrairemet au cadre discret, les variables aléatoires à desité e formet pas u espace vectoriel : Soiet X et Y à desité, il 'y a aucue raiso a priori que X + Y ait ue desité. U exemple trivial est doée par X et Y = X : si X a ue desité alors il e est de même pour Y (le démotrer). Das ce cas : X + Y = 0 presque sûremet. O dit que la loi de X + Y est dégéérée, P[X + Y = 0] = 1. Remarque 4.1.2 (Où est l'uivers?) D'aucu aura remarqué, que l'uivers Ω 'apparait que raremet das cette partie où l'o traite des variables à desité. Nous avos déjà vu

76 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ qu'ue fois les variables aléatoires discrètes déies sur u espace abstrait Ω, o peut e pratique tout calculer e cosidérat sa loi : c'est à dire e travaillat sur l'espace probabilisé (X(Ω), B(R), P X ). Le théorème 3.1.3 ous dit que E[X] = ω Ω X(ω)P({ω}). La théorie de la mesure permet de déir ue otio d'itégrale sur u espace Ω gééral cotre toute probabilité P, et motre que pour toute variable aléatoire réelle déie sur u triplet (Ω, F, P), E[X] = X(ω)dP(ω) (4.1) O éoce les théorèmes fodametaux suivats sas doer de démostratio. Ω Théorème 4.1.4 Soiet X et Y deux variables à desité admettat ue espérace, soit λ u réel. La variable aléatoire X + λy admet ue espérace (mais pas forcémet ue desité!) et E[X + λy ] = E[X] + λe[y ] Ue faço de démotrer ce résultat est de travailler avec u couple de variables aléatoires dot les lois margiales correspodet à la loi de X et la loi de Y. Cela écessiterait de travailler avec des itégrales multiples, ous feros ce gere de calculs lorsque l'o étudiera les vecteurs aléatoires. 4.1.3 Compositio d'ue variable aléatoire et d'ue foctio et idépedace Théorème 4.1.5 (Théorème de trasfert) Soiet X ue variable aléatoire réelle de desité f et g ue foctio cotiue par morceaux réelle telle que g f soit itégrable sur R. Alors g(x) est ue variable aléatoire réelle et possède ue espérace : E[g(X)] = + Corollaire 4.1.6 Pour tout A borélie, E[1 A (X)] = g(x)f(x)dx. A f(x)dx E fait, la variable aléatoire 1 A (X) est ue variable de Beroulli de paramètre A f(x)dx. A priori, le calcul de la loi de la v.a.r g(x) 'est pas das le programme ; mais il faut compredre que cela correspod à u chagemet de variable "das f". Il peut arriver lors d'ue épreuve mélageat aalyse et probabilité, que vous soyez ameés à faire ce gere de calcul. O metioe doc que si g est C 1 strictemet croissate et d'iverse C 1 (e fait il sut que g soit u diéomorphisme) alors g(x) est à desité. E eet, soit F g sa foctio de répartitio, Fialemet, F g (x) := P[g(X) x] = P[X g 1 (x)] = g 1 (x) f(t)dt. F g(x) = f(g 1 (x))(g 1 ) (x) = f(g 1 (x))(g g 1 (x)) 1.

4.2. LOIS À DENSITÉ USUELLES 77 4.1.4 Momets, variace et écart-type Déitio 4.1.3 (momet) Soit k N. O appelle momet d'ordre k l'espérace si elle existe de la variable X k. D'après le théorème de trasfert, c'est doc E[X k ] = x k f(x)dx. Remarque 4.1.3 L'esemble des variables aléatoires à desité e forme pas u sous-espace vectoriel de L 0, cotrairemet aux variables discrètes! L'esemble des variables aléatoires déies sur u même espace Ω mui d'ue tribu F, L 0 cotiet les deux cas : discret et à desité. Il faut savoir qu'il cotiet beaucoup plus ; il y a par exemple des variables o discrètes sas desité... Déitio 4.1.4 (Variace) O appelle variace de X l'espérace de la variable (X E[X]) 2 : Par le théorème de trasfert : V(X) := E[(X E[X]) 2 ]. V(X) = + Pour calculer V, o utilise souvet la formule : 4.2 Lois à desité usuelles Loi uiforme (x E[X]) 2 f(x)dx V(X) = E[X 2 ] E[X] 2. X suit ue loi uiforme sur le segmet [a, b] si sa desité est doée par : O a F (x) = x a b a Loi expoetielle f(x) = 1 b a 1 [a,b](x). pour x [a, b]. Les momets sot : E[X] = a + b 2 et V(X) = (b a)2. 12 Ue variable aléatoire X suit ue loi expoetielle de paramètre θ si sa desité est O a f(x) = θe θx 1 R +(x). E[X] = 1 θ et V(X) = 1 θ 2. La loi expoetielle est u cas particulier de la loi suivate.

78 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ Loi Gamma O rappelle la déitio de la foctio Γ pour tout réel p > 0 : Γ(p) = 0 e x x p 1 dx Ue variable aléatoire suit ue loi Gamma de paramètre θ > 0 et p > 0 (otée Γ(p, θ)) si sa desité est : f(x) = θp Γ(p) e θx x p 1 1 R +(x). Propositio 4.2.1 Démostratio. O obtiet doc E[X r ] = 0 E[X r ] = Γ(p + r) θ r Γ(p) θ p Γ(p) e θx x r+p 1 θ p ( u ) r+p 1 1 dx = 0 Γ(p) e u θ θ du E[X r ] = 1 Γ(p + r). θ r Γ(p) Les propriétés de la foctio Gamma sot très importates. O e rappelle quelques ues, sas doer de démostratio. Néamois, vous devez savoir étudier la foctio Γ. Γ(p) = (p 1)Γ(p 1) Γ(p) = (p 1)! si p est etier Γ(1/2) = π Γ(p + 1) Loi ormale ( p ) p p e 2πp(1 + 1 ) 12p Ue variable aléatoire X( suit la loi ) gaussiee N (m, σ 2 ), où m R, σ 0, si sa loi a pour 1 desité sur R : σ exp (x m)2 2π 2σ quad σ > 0, et si X = m quad σ = 0. 2 Remarque 4.2.1 Il faut impérativemet savoir démotrer que ) exp ( x2 dx = 2π. 2 Il 'existe pas de forme explicite à l'aide de foctios usuelles de x x Calculos les momets : 0 e u 2 2 du.

4.2. LOIS À DENSITÉ USUELLES 79 1) E[X] = 1 σ 2π (x m)2 xe 2σ 2 E[X] = 1 σ 2π dx. O pose u = x m, o obtiet σ (σu + m)e u2 /2 σdu = m + 1 σ 2π car la foctio à itégrer das la partie droite est impaire. 2) E[X 2 ] = 1 σ 2π = 1 σ 2π = m 2 + 2σ2 π Γ(3/2). x 2 e (x m)2 2σ 2 dx (σu + m) 2 e u2 /2 σdu ue u2 /2 σdu = m O a Γ(3/2) = 1 2 Γ(1/2) = π 2, et doc E[X 2 ] = m 2 + σ 2. Si X est cetrée réduite, c'est-à-dire lorsque m = 0 et σ 2 = 1, la loi ormale s'appelle gaussiee stadard. O a les propriétés itéressates (mais o-exigibles) suivates. Exercice 4.2.1 (#) Motrer les assertios suivates : 1) P(X > t) 1 2 e t2 /2. 2) P(X > t) 1 t 2πt e t2 /2. 3) E[e zx ] = e z2 /2 pour tout z R. Solutio. Preuve de 1) Preuve de 2) P[X > t] = (2π) 1/2 e x2 /2 dx t = (2π) 1/2 e (x+t)2 /2 dx 0 (2π) 1/2 e t2 /2 P[X > t] = (2π) 1/2 e t2 /2 et cette itégrale ted vers 0 e y dy = 1. t 0 e x2 /2 dx = 1 2 e t2 /2. 0 e y e y2 /2t 2 dy

80 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ Preuve de 3) E[e zx ] = (2π) 1/2 e zx x2 /2 dx = (2π) 1/2 e z2 /2 = (2π) 1/2 e z2 /2 e 1 2 (x z)2 dx e 1 2 (x z)2 dx = e z2 /2. Loi Bêta Ue variable aléatoire suit ue loi Bêta de paramètre α > 0 et β > 0 si sa desité est : où f(x) = Exercice 4.2.2 Démotrer que 1 B(α, β) xα 1 (1 x) β 1 1 [0,1] (x), B(α, β) = 1 0 x α 1 (1 x) β 1 dx. B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). Nous termios ce catalogue avec ue derière loi u peu mois classique. Loi de Weibull Ue variable aléatoire suit ue loi Weibull de paramètre λ > 0 et k > 0 si sa desité est : f(x) = k ( x ) k 1 e (x/λ) k 1 R +(x). λ λ Cette loi est utilisée das de ombreux domaies (par exemple e abilité, e logistique et e météo). Propositio 4.2.2 La foctio de répartitio de la loi de Weibull est E[X] = λγ(1 + 1/k) V[X] = λ [Γ ( ( ( )) ] 2 1 + k) 2 Γ 1 + 1 2 k Démostratio. Exercice. F (x) = 1 e (x/λ)k pourx 0 et 0 si x < 0. Remarque 4.2.2 Il est itéressat de voir le rôle des paramètres das la forme de la desité. 4.3 Vecteurs aléatoires à desité Déitio 4.3.1 U vecteur aléatoire X de Ω das R p admet ue desité s'il existe ue foctio f : R p R positive, itégrable et d'itégrale valat 1, telle que : (x 1,..., x p ) R p P[X 1 x 1, X 2 x 2,..., X p x p ] = x1 x2... xp f(u 1, u 2,..., u p )du 1...du p

4.3. VECTEURS ALÉATOIRES À DENSITÉ 81 4.3.1 Vecteurs aléatoires à desité : lois margiales, idépedace Propositio 4.3.1 Soit X u vecteur aléatoire à desité. Les variables aléatoires X 1,..., X p sot alors égalemet à desité. Ue desité pour X i est f Xi : x f(u 1,..., u i 1, x, u i+1,..., u p )du 1...du i 1 du i+1...du p Déitio 4.3.2 Les foctios f Xi, pour i = 1,..., p sot appelées desités margiales du vecteur X. Théorème 4.3.2 (Théorème de factorisatio) Soit X = (X 1,..., X p ) u vecteur aléatoire. Les variables aléatoires X 1,...X p sot idépedates si et seulemet si le vecteur X a ue desité f à variables séparées : c'est à dire : Das ce cas, o a : f i = λ i f Xi avec λ i = 1. f(x 1,..., x p ) = f 1 (x 1 )...f p (x p ). Démostratio. O démotre que si la desité s'écrit sous forme de produit alors les variables sot idépedates : x1 xp P[X 1 x 1,..., X p x p ] =... f(u 1,..., u p )du 1...du p = x1... xp f 1 (u 1 )...f p (u p )du 1...du p = 1 x1 f 1 (u 1 )du 1.. 1 xp f p (u p )du p λ 1 λ p = x1 f X1 (u 1 )du 1... xp = P[X 1 x 1 ]...P[X p x p ] 4.3.2 Loi ormale multidimesioelle f Xp (u p )du p Déitio 4.3.3 (Vecteur gaussie) U vecteur aléatoire X = (X 1,..., X p ) est u vecteur gaussie si pour tous réels λ 1,..., λ p, λ 1 X 1 +...λ p X p suit ue loi ormale. Remarque 4.3.1 O e déduit que si A est ue applicatio liéaire de R p das R d, et si X est gaussie das R p alors AX est gaussie das R d De faço plus explicite, o a la déitio suivate e terme de desité : Déitio 4.3.4 Soit m R p, et Σ ue matrice (p, p) réelle symétrique positive, X est u vecteur ormal de dimesio p si sa desité est doée par ( 1 f(x) = (2π) p/2 Det(Σ) exp 1 ) 2 (x m), Σ 1 (x m)

82 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ La matrice Σ est appelée matrice de variace-covariace. E eet, la matrice Σ est doée par Σ i,i = V(X i ) et Σ i,j = cov(x i, X j ). Si la matrice est diagoale, alors les variables e sot pas corrélés. E fait, das le mode gaussie ue matrice diagoale correspod à u vecteur à composates idépedates. Théorème 4.3.3 Les composates d'u vecteur gaussie sot idépedates si et seulemet si elles e sot pas corrélées. Remarque 4.3.2 Il faut bie faire attetio à ce que dit ce théorème. E gééral l'idépedace 'est pas équivalete à la corrélatio ulle. Ce 'est vrai que si o a démotré au préalable que le vecteur est gaussie. E particulier, o peut costruire des exemples de variables aléatoires X, Y de loi ormale, telles que X et Y e soiet pas idépedates et cov(x, Y ) = 0, bie sûr das ce cas, le vecteur (X, Y ) 'est pas gaussie. Exercice 4.3.1 Motrer que si X et Y sot deux variables aléatoires réelles idépedates de loi ormale de paramètre m et σ 2, alors X + Y et X Y sot idépedates. Idicatio : motrer que (X + Y, X Y ) est u vecteur gaussie. 4.3.3 Sommes de deux variables aléatoires idépedates : covolutio O e retrera pas das les détails. Le produit de covolutio 'est pas au programme (mais est tombé e problème e 2001). O démotre que si X et Y sot deux variables aléatoires à desité idépedates, alors X + Y est égalemet à desité. O doe de plus ue forme itégrale de sa desité. Théorème 4.3.4 (produit de covolutio) Soit X ue v.a.r de desité f et Y ue v.a.r idépedate de desité g. La variable aléatoire Z = X + Y a pour desité : h : z f(z y)g(y)dy. la foctio h est appelée covolée de f et g, et otée f g. Remarque 4.3.3 L'opératio est l'opératio de covolutio, c'est ue opératio commutative, o iversible. Ce derier poit 'est pas trivial et peut faire l'objet d'u problème d'aalyse. Démostratio. Soit z R, o cherche à exprimer la foctio de répartitio de Z = X + Y. O ote f et g les desités de X et Y. Ces variables état idépedates, la desité de (X, Y ) est φ(x, y) = f(x)g(y). O itègre cette foctio de R 2 sur le domaie {(x, y), x + y z} : P[X + Y z] = 1 {(x,y),x+y z} g(x)f(y)dxdy R 2 ( z y ) = f(x)dx g(y)dy ( z ) = f(u y)du g(y)dy avec le chagemet de variable u = x + y. = z f(u y)g(y)dudy

4.4. EXERCICES 83 Théorème 4.3.5 Soiet X 1,..., X des variables aléatoires idépedates de loi gaussiee de paramètres respectifs (m 1, σ1), 2..., (m, σ). 2 La variable aléatoire Y = i=1 X i suit ue loi gaussiee de paramètres i=1 m i, i=1 σ2 i. 4.4 Exercices Exercice 4.4.1 (#) Détermier c (si c'est possible) pour que les foctios suivates soiet des desités de probabilité sur R : 1. f(x) = c1 [a,b] (x) où a et b sot deux réels tels que a < b 2. f(x) = ce αx 1 [0,+ [ (x), où α R 3. f(x) = c 1+x 2 4. f(x) = c ( a x) α+1 1[a,+ [ (x) pour a > 0 et α R. 5. f(x) = c si(2x + π 4 )1 [ π 8, π 8 ] (x) Solutio. 1. c = 1/(b a) 2. Si α 0, l'itégrale f(x)dx 'est pas covergete : il 'existe doc pas de c répodat à la questio. Si α > 0, x ce αx est itégrable sur ]0, + [ et l'itégrale vaut α. O a doc c = α. 3. c = 1/π 4. Si α 0, impossible. Si α > 0, c = α/a 5. c = 2 Exercice 4.4.2 (#) Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi dot la desité de probabilité est doée par f X : R R + x xe x2 /2 1 R + (x). Après avoir démotré leurs existeces, détermier l'espérace et la variace de la variable aléatoire X 2. Solutio. O pose Y = X 2. O a alors E[Y ] = E[X 2 ] et V[Y ] = E[Y 2 ] E[Y ] 2 = E[X 4 ] E[X 2 ] 2. L'existece de l'espérace et de la variace découle de la comparaiso avec les itégrales de Riema. Calcul de l'espérace. Par déitio, E[Y ] = O itroduit alors les foctios suivates + 0 x 2 xe x2 /2 dx. u : R + R + x e x2 /2, v : R + R + x x 2,

84 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ O a alors E[Y ] = + 0 u (x)v(x)dx. Puisque u et v sot de classe C 1 sur R +, la formule d'itégratio par parties doe E[Y ] = [ x 2 e x2 /2 ] + 0 + 2 + Calcul de la variace. Nous avos esuite 0 E[Y 2 ] = O itroduit alors les foctios suivates xe x2 /2 dx = 2 + 0 + 0 x 4 xe x2 /2 dx. u : R + R + x e x2 /2, xe x2 /2 dx = 2[ e x2 /2 ] + 0 = 2. O a alors v : R + R + x x 4, E[Y 2 ] = + 0 u (x)v(x)dx. Puisque u et v sot de classe C 1 sur R +, la formule d'itégratio par parties doe E[Y 2 ] = [ x 4 e x2 /2 ] + 0 + 4 + 0 x 3 e x2 /2 dx = 4 + 0 x 2 xe x2 /2 dx. O eectue alors ue ouvelle itégratio par parties (ou alors o remarque que l'o a déjà fait le calcul plus haut) pour obteir O e déduit que E[Y 2 ] = 8 + 0 xe x2 /2 dx = 8[ e x2 /2 ] + 0 = 8. V[Y ] = E[Y 2 ] E[Y ] 2 = 4. Exercice 4.4.3 Pour quelles valeurs de α 0, l'espérace E(X α ) est-elle ie, si la desité de la loi de X est f X : R R + x C(1 + x 2 ) m où C R et m R. Répose : α < 2m 1. Exercice 4.4.4 Soiet a < b deux réels. Calculer E ( e X) si X suit ue loi uiforme sur l'itervalle [a, b], c'est-à-dire si la desité de X est f X = 1 b a 1 [a,b]. Répose. E ( e X) = e b e a b a.

4.4. EXERCICES 85 Exercice 4.4.5 (#) 1. Soit F la foctio de répartitio d'ue variable aléatoire X. O suppose que F est bijective. Soit U ue variable aléatoire uiforme sur [0, 1]. Motrer que F 1 (U) a même loi que X. 2. O suppose que X est ue v.a. à valeurs das R et ayat pour desité : f : y 1 π(1 + y 2 ) (o dit que X est ue v.a. de Cauchy de paramètre 1). 3. Calculer la foctio de répartitio de X. 4. Motrer que si U est ue v.a. uiforme sur [0, 1], alors ( ( Y = ta π U 1 )) 2 Solutio. a même loi que X. 1. Détermios la foctio de répartitio de F 1 (U) : 2. P(F 1 (U) x) = P(U F (x)) = F (x). F (x) = x dy π(1 + y 2 ) = 1 π ( π ) Arcta(x) +. 2 3. F est strictemet croissate et cotiue : F est doc iversible. Calculos so iverse F 1. Soit y [0, 1], y = 1 ( π ) ( Arcta(x) π y 1 ) ( ( = Arcta(x) x = ta π y π )) π 2 2 2 et doc F 1 (y) = ta ( π ( y π 2 )). O coclut que F 1 (U) a même loi que X par la questio 1. Exercice 4.4.6 (#) Soit X ue variable aléatoire positive ayat ue desité cotiue f et telle que E[X r ] est ie pour r 1. 1. Motrer que lim x + xr P(X > x) = 0. Idicatio : trouver ue expressio de P(X > x) e foctio de f. 2. E déduire que Solutio. E[X r ] = 0 rx r 1 P(X > x)dx. Idicatio : Que vaut la dérivée de x P(X > x)?

86 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 1. O a P(X > x) = + f(t)dt et doc x + x r P(X > x) = x r f(t)dt x + x t r f(t)dt et ce derier terme ted vers 0 quad x + puisque E[X r ] = + t r f(t)dt est ie. 0 2. O fait ue itégratio par parties. Puisque f est cotiue, o a pour x > 0, (P(X > x)) = f(x). O a alors pour A > 0, A x rt r 1 P(X > x)dt = [ ] A t r P(X > t) + 0 A 0 t r f(t)dt Le premier terme ted vers 0 d'après a) et le secod vers E[X r ] qui est ie. Exercice 4.4.7 (#) Soit X ue variable aléatoire telle que X et 2X ot même foctio de répartitio. Doer ue équatio vériée par la foctio de répartitio de X et e déduire sa loi. Solutio. O ote F la foctio de répartitio de X. Soit x R. O a ( F (x) = P(X x) = P(2X x) = P X x ) ( x ) = F. 2 2 E réitérat, o a alors que pour tous x R et N, F (x) = F ( x 2 ) et e faisat tedre vers +, o a doc F (x) = F (0 + ) si x > 0 et F (x) = F (0 ) si x < 0. Or, F est cotiue à droite doc F (0 + ) = F (0). La foctio F est doc costate sur ], 0[ et sur [0, + [. Mais, par propriété des foctios de répartitio, F ( ) = 0 et F (+ ) = 1. O e déduit que F (x) = 0 si x < 0 et F (x) = 1 si x 0, ce qui sigie que P(X = 0) = 1 et doc X est ulle. Exercice 4.4.8 Soit X ue variable aléatoire de loi expoetielle de paramètre λ. O désige par [.] la foctio partie etière. 1) O pose Y = [X]. Doer la loi de Y, so espérace et sa variace. 2) Soit Z l'etier le plus proche de Y, doer la loi de Z. Exercice 4.4.9 Soit X ue variable aléatoire de loi ormale cetrée réduite. O ote Y = X2 2. Détermier la foctio de répartitio de Y et sa desité. Exercice 4.4.10 Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles idépedates de desités respectives f et g et de foctios de répartitio respectives F et G. Doer les desités de U = max(x, Y ) et V = mi(x, Y ). Exercice 4.4.11 Soit X ue variable aléatoire à desité. Soit g ue foctio C 1 croissate. Motrer que E[g(X)] = g(0) + 0 g (t)p[x > t]dt Exercice 4.4.12 Soit (X 1,..., X ), variables idépedates idetiquemet distribuées. Détermier la foctio de répartitio de mi(x 1,..., X ). E supposat que la loi de X 1 est ue desité, exprimer la desité de mi(x 1,..., X ).

4.4. EXERCICES 87 Exercice 4.4.13 (Exercice fodametal) Soiet X et Y deux variables aléatoires (à desité ou discrètes) avec u momet d'ordre 2. E pesat à l'iégalité de Cauchy-Schwarz, démotrer que E[XY ] E[Y 2 ] E[X 2 ]. Exercice 4.4.14 La durée e heures de foctioemet d'u ordiateur est ue variable aléatoire cotiue de desité : f : x λe x 36 si x 0; 0 sio. 1) Calculer λ. 2) Quelle est la probabilité que l'ordiateur foctioe etre 10 et 36 heures? 3) Quelle est la probabilité qu'il foctioe mois de 36 heures? Exercice 4.4.15 La RATP estime que le retard e miutes du bus 156 est ue variable aléatoire X de desité de probabilité f avec f(x) = ax(10 x) si x [0, 10] et 0 sio. 1) Trouver a tel que f soit bie ue desité de probabilité. 2) Calculer le retard moye d'u bus et sa variace 3) Détermier la foctio de répartitio de X et calculer la probabilité qu'u bus ait u retard supérieur à 8 miutes. 4) Soit Y = X 2, détermier la foctio de répartitio de Y puis sa desité de probabilité. Exercice 4.4.16 (#) Soit f la foctio déie sur R par : 2 f (t) = (1 + t) 3 si t 0 f (t) = 0 si t < 0 1. Motrer que f est ue desité d'ue variable aléatoire Z 2. Détermier la foctio de répartitio F Z de Z. 3. Justier la covergece de l'itégrale : + 0 2t (1 + t) 3 dt La calculer e eectuat le chagemet de variable u = t + 1. 4. Prouver que Z admet ue espérace et la détermier. 5. Z admet-elle ue variace? Solutio. 1. O vérie les caractéristiques d'ue desité : f est positive sur R cotiue sur R

88 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ f est prologeable à gauche et à droite e 0 doc 0 f = 0 0 = 0 (coverge) K X [ 2 f = (1 + t) 3 dt = 1 ] K (1 + t) 2 = 1 0 doc 0 + 0 f coverge et vaut 1 et 0 + + 1 (1 + K) 2 1 f coverge et vaut 1. f est impropre e ±. Doc f est bie ue desité de variable aléatoire. 2. O a F Z (x) = x f (t) dt doc si x < 0 : F Z (x) = 0 0 x 1 si x 0 : F Z (x) = 0 + f = 1 0 (1 + x) 2 + 2t 3. l'itégrale 3 dt 'est impropre qu'e + 0 (1 + t) 2t E + o a u équivalet simple : (1 + t) 3 = 2t t 3 (1 + 1/t) 3 2 t > 0. 2 + 1 Or l'itégrale de Riema dt est covergete car 2 > 1. Doc par comparaiso 1 t2 + 2t d'itégrale à termes positifs, 3 dt coverge. 0 (1 + t) O eectue le chagemet de variable (u est de classe C 1 sur [1, K + 1]) u = t + 1 : du dt : t = 0 r = 1 K K+1 + 0 2t K+1 (1 + t) 3 dt = = 2t doc 0 (1 + t) 3 dt = 1 4. Espérace? O étudie la covergece + 0 + 0 doc + tf (t) dt = 0 + 1 [ 2 u + 1 u 2 2 (u 1) du = u 3 ] K+1 1 tf (t) dt impropre e ±. 1 2 u 2 2 u 3 du = 2 K + 1 + 1 (K + 1) 2 + 1 1 K 2t tf (t) dt = 3 dt = 1 (d'après la questio précédete) 0 (1 + t) tf (t) dt coverge et Z admet ue espérace E (Z) = 1 2t 5. Comme 2 (1 + t) 3 2 t dot l'itégrale diverge e +, alors Z2 'a pas d'espérace et Z 'a pas de variace. Exercice 4.4.17 (#) O cosidère trois variables aléatoires X, Y et Z idépedates et suivat la loi expoetielle de paramètre λ.

4.4. EXERCICES 89 1. Détermier la loi de Y + Z (o pourra calculer sa desité). 2. (a) Détermier la desité de la variable aléatoire D = Y + Z X sur R +. (b) Calculer P(X Y + Z). 3. Détermier l'évéemet complémetaire de l'évéemet et calculer sa probabilité. {X Y + Z} {Y Z + X} {Z X + Y } 4. Quelle est la probabilité pour qu'o puisse costruire u triagle (évetuellemet aplati) dot les côtés aiet pour logueurs X, Y et Z? solutio 1. Y + Z est ecore ue variable aléatoire à valeurs das R + et comme Y et Z sot idépedates, ue desité f Y +Z de Y + Z peut être déie par covolutio, ce qui doe pour x > 0 f Y +Z (x) = + f Y (t)f Z (x t)dt = x 0 λe λt λe λ(x t) = λ 2 xe λx. De plus, f Y +Z (x) = 0 pour x 0. 2. (a) La variable aléatoire X est idépedate de Y + Z et, à ouveau par covolutio, pour x > 0, f D (x) = + f Y +Z (t)f X (x t)dt. (4.2) O a doc besoi de calculer la desité de X. O utilise la méthode vue e TD. Soit Φ ue foctio cotiue borée de R das R. E[Φ( X)] = + 0 Φ( y)λe λy dy u= y = 0 Φ(u)λe λu du. La desité de X est doc u λe λu 1 ],0] (u) et e reveat à (4.2), o a pour x > 0, f D (x) = + + λ 2 te λt 1 [0,+ [ (t)λe λ(x t) 1 ],0] (x t)dx = λ 3 e λx te 2λt dt. Le calcul de cette itégrale se fait à l'aide d'ue itégratio par parties, ce qui doe pour x > 0 (b) O a P(X Y + Z) = P(D 0) = f D (x) = λ 4 (2λx + 1)e λx. + 0 f D (x)dx = λ 4 + E itégrat à ouveau par parties, o obtiet : P(D 0) = 3/4. 0 x (2λx + 1)e λx dx.

90 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ 3. Posos C = {X Y + Z} {Y Z + X} {Z X + Y }. L'évéemet complémetaire est C c = {X > Y + Z} {Y > Z + X} {Z > X + Y }. Les trois évéemets costituat la réuio précédete sot deux à deux disjoits (si o avait par exemple {X > Y + Z} et {Y > Z + X}, o aurait {X > 2Z + X}, ce qui est clairemet impossible puisque Z est à valeurs das R + ). De plus, d'après la questio b), chacu de ces évéemets a pour probabilité 1/4. O e déduit que P(C c ) = 3/4. 4. O peut costruire u triagle de côtés doés si et seulemet si chacu de ces ombres est iférieur ou égal à la somme des deux autres, ce qui correspod à la réalisatio de l'évéemet C de probabilité 1/4. Exercice 4.4.18 Das cet exercice, désige u etier aturel o ul. { x 1 si x [0; 1] 1. Soit f la foctio déie par : f (x) = 0 sio Motrer que f est ue desité de probabilité. 2. O cosidère ue variable aléatoire X réelle dot ue desité de probabilité est f. O dit alors que X suit ue loi moôme d'ordre. (a) Recoaître la loi de X 1. (b) Das le cas où est supérieur ou égal à 2, détermier la foctio de répartitio F de X, aisi que so espérace E (X ) et sa variace V (X ). 3. O cosidère deux variables aléatoires U et V déies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ), suivat la loi moôme d'ordre ( 2) et idépedates, c'est-à-dire qu'elles vériet e particulier l'égalité suivate : x R, P (U x V x) = P (U x) P (V x) O pose M = sup (U, V ) et o admet que M est ue variable aléatoire déie, elle aussi, sur (Ω, A, P ). (a) Pour tout réel x, écrire, e justiat la répose, l'évéemet (M x) à l'aide des évéemets (U x) et (V x). (b) E déduire ue desité de M. Vérier que M suit ue loi moôme dot o doera l'ordre, puis détermier sas calcul E (M ). (c) O pose T = if (U, V ). Exprimer M + T e foctio de U et V, puis e déduire, sas calcul d'itégrale, la valeur de E (T ). Das cet exercice, désige u etier aturel o ul. { x 1 si x [0; 1] 1. Soit f la foctio déie par : f (x) = 0 sio f est positive sur R et cotiue sur R {0, 1} (e fait, e 0 elle est cotiue) + f est impropre e ± car f est cotiue par morceaux sur R 0 f = 0 0 coverge et est ulle. + f 1 = + 0 = 0 1 1 f 0 = 1 0 x 1 dx = [x ] 1 x=0 = 1 car 0 = 0 pour N Doc + f coverge et vaut 1. Doc f est bie ue desité de probabilité.

4.4. EXERCICES 91 2. O cosidère ue variable aléatoire X réelle dot ue desité de probabilité est f. O dit alors que X suit ue loi moôme d'ordre. { 1 si x [0; 1] (a) Pour = 1 la desité est : f 1 (x) = doc X 0 sio 1 suit ue loi uiforme sur [0, 1] (b) La foctio de réparitio de X est doée par : F (x) = x f où il faut distiguer suivat que x < 0 : 0 x 1 et x > 1 : si x < 1 alors F (x) = x 0 = 0 si 0 x 1 alors F (x) = 0 0 + x 0 t 1 dt = 0 + [t ] x 0 = x si 1 < x alors F (x) = 0 0 + 1 0 t 1 dt + x 1 0 = 0 + [t ] 1 0 + 0 = 1 Pour calculer E (X ) o étudie la covergece et o calcule + tf (t) dt qui est impropre e ± 0 t f (t) dt = 0 0 =.0 + t f 1 (t) dt = + 0 = 0 1 1 1 1 [ t f (t) dt = t t 1 dt = t dt = 0 0 0 + 1 t+1 Doc X a ue espérace et E (X ) = + 1 De même pour E ( ) 1 1 X 2 = t 2 f (t) dt = t +1 dt = 0 0 ] 1 t=0 = + 1 [ ] 1 + 2 t+2 = 0 + 2 Doc X a ue variace et V (X ) = E ( ( ) ) ( ) 2 X 2 E X 2 = + 2 + 1 = 2 + 2 + 1 ( + 2) ( + 2) ( + 1) 2 = ( + 2) ( + 1) 2 3. O cosidère deux variables aléatoires U et V déies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ), suivat la loi moôme d'ordre ( 2) et idépedates, c'est-à-dire qu'elles vériet e particulier l'égalité suivate : x R, P (U x V x) = P (U x) P (V x) O pose M = sup (U, V ) et o admet que M est ue variable aléatoire déie, elle aussi, sur (Ω, A, P ). (a) (M x) est l'évéemet le plus grad es tplus petit que x c'est à dire tous sot plus petit que x et (M x) = (U x) (V x) (b) Comme U et V sot idépedates, o a alors : p (M x) = p (U x) p (V x) E otat F la foctio de répartitio d'ue loi moôme et G celle de M o a alors : G (x) = F (x) F (x) = F (x) 2 pour tout x réel. Comme F est la foctio de répartitio d'ue variable à desité, o sait

92 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ que F est cotiue sur R de classe C 1 sur R {0, 1} (là où f est cotiue) et que F = f Doc que G est cotiue sur R comme composée de foctios cotiues. G de classe C 1 sur R {0, 1} { 2x et que G = 2F (x) F (x) = 2F (x) f (x) = x 1 = 2x 2 1 si x [0; 1] 0 sio Doc M est ue variable à desité et suit ue loi moôme d'ordre 2 et doc E (M ) = 2 2 + 1 (c) O pose T = if (U, V ). O a M + T = U + V (car l'u est le plus petit et l'auter le plus grad) De plus E (U ) = E (V ) = + 1 alors E (U + V ) = E (U ) + E (V ) = Et comme T = M + T M = U + V M o a alemet E (T ) = E (U + V ) E (M ) = 2 + 1 2 2 + 1 = 2 2 ( + 1) (2 + 1) 2 + 1 Exercice 4.4.19 (Iégalité de Paley-Zigmud) Soit X ue variable positive, o ulle, ayat u momet d'ordre 2. Motrer pour tout α ]0, 1[. P (X αe[x]) (1 α) 2 (E[X])2 E[X 2 ] Exercice 4.4.20 (#) Soit X ue variable aleatoire ormale de moyee µ = 2 de variace σ 2 = 4. 1. Soit la variable T = (X µ)/σ. Quelle loi de probabilité suit T? 2. O cosidère l'évéemet {X < 1, 5}. Quel est l'évéemet équivalet pour T? Quelle est la probabilité correspodate? 3. Même questio pour l'éveemet {X > 2}. 4. Soit l'éveemet { 1 T < 1}. Quel est l'évéemet équivalet pour X? Quelle est sa probabilité? 5. Détermier les valeurs x telles que P(X < x) = 0, 76 ; P(X x) = 0, 6 et P(0 X < x) = 0, 40. Solutio. 2. P(X < 1, 5) = P(T < 0, 25) = 1 P(T 0, 25) = 0, 401 3. P(X > 2) = P(T > 2)P(T 2) = 0, 977

4.4. EXERCICES 93 4. P( 1 T < 1) = P(T < 1) P(T < 1) = P(T < 1) P(T > 1) = P(T < 1) (1 P(T 1)) et doc P( 1 T < 1) = 2P(T < 1) 1 = 0, 682. 5. P(X < x) = P(T < x 2 x 2 ). Doc = 0, 71 et x = 3, 42. 2 2 P(X x) = P ( T x 2 2 P(0 X < x) = P ( 1 T < x 2 2 ( P(0 X < x) = P T < x 2 2 ) ( ) = P T 2 x 2 et doc x = 1, 5. ) ( = P T < x 2 2 ) 1 + P(T 1) = P ) P (T < 1). O a alors ( T < x 2 ) 0, 16 2 (car d'après la table de la loi ormale, P(T 1) = 0, 84). O cherche doc x tel que P ( ) T < x 2 2 = 0, 56. O a alors-+ x = 2, 3. Exercice 4.4.21 (#) Le taux de glycémie d'ue populatio est répartie suivat ue loi ormale. Ue equête auprès de l'esemble de cette populatio motre que 84,1% des idividus ot u taux iférieur à 1,40 g/l et 2,3% ot u taux supérieur à 1,60 g/l. 1. A l'aide de la table de la loi ormale, détermier la moyee et la variace du modèle. 2. E admettat qu'u taux de glycémie supérieur à 1,30 g/l écessite u traitemet, quel pourcetage de cette populatio devra t'o traiter? Solutio. 1. Notos respectivemet m et σ 2 la moyee et la variace du taux de glycémie que l'o ote X. O a ( X m 0, 841 = P(X < 1, 4) = P < 1, 4 m ). σ σ Comme X est ue v.a. ormale N (m, σ 2 ), N = X m σ utilisat la table de la loi ormale, o a doc 1,4 m σ 0, 977 = P(X < 1, 6) = P est ue v.a. ormale N (0, 1). E = 1. De même, ( N < 1, 6 m σ et 1,6 m σ = 2. Pour trouver m et σ, il sut doc de résoudre le système σ + m = 1, 4 2σ + m = 1, 6 qui a pour solutio m = 1, 2 σ = 0, 2. X est doc ue v.a. N (1, 2; 0, 04). 2. Il sut de calculer P(X > 1, 3) = P(N > 0, 5) = 1 P(N 0, 5) = 0, 31. Exercice 4.4.22 (#) Soit X ue variable aléatoire gaussiee cetrée et réduite (o ote X N (0, 1)). Trouver la desité de la variable aléatoire Y = X 2. ) Solutio. La desité de X 2 est f(y) = e y/2 2πy 1 [0,+ [ (y).

94 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ Exercice 4.4.23 O cosidère N de loi ormale N (0, 1) et ε, idépedate de N, telle que P(ε = 1) = P(ε = 1) = 1/2. 1. Motrer que N := εn a même loi que N (o pourra d'abord motrer que N a même loi que N). 2. Est-ce que N + N est ue v.a. ormale? Solutio. 1. Calculos la foctio de répartitio de N. Pour x R, P(N x) = P(εN x) = P(ε = 1, εn x) + P(ε = 1, εn x) = P(ε = 1, N x) + P(ε = 1, N x) = P(ε = 1)P(N x) + P(ε = 1)P(N x) puisque les variables ε et N sot idépedates. De plus, e utilisat la déitio de ε et la propriété de symétrie de la loi ormale cetrée réduite, P(N x) = 1 2 P(N x) + 1 P(N x) = P(N x). 2 Les 2 v.a. N et N ot doc même foctio de répartitio : elles ot doc même loi. 2. E utilisat l'idépedace de N et ε, o remarque que P(N + N 0) = P((ε + 1)N 0) = P(ε + 1 0)P(N 0) = 1 2 1 = 1 2 (o rappelle que comme N est ue variable à desité, o a P(N 0) = 1 P(N = 0) = 1). O a doc motré que P(N + N = 0) = 1/2. Cette probabilité état o ulle, N + N e peut pas être ue variable à desité et a fortiori pas ue v.a. ormale. Rappel de cours : Si N et N sot deux variables ormales N (µ 1, σ 2 1) et N (µ 2, σ 2 2) idépedates, alors N + N est ue v.a. ormale N (µ 1 + µ 2, σ 2 1 + σ 2 2). Cet exercice fourit doc u cotre-exemple à cette propriété quad les 2 v.a. sot dépedates. Exercice 4.4.24 (dicile) Soiet a et b deux réels strictemet positifs et s ]0, 1[. 1) Etablir la covergece de l'itégrale J = + 1 du. Calculer sa valeur (idicatio calculer 0 e u +a aj). O cosidère ue suite de variables aléatoires (Y k ) k 1 déies sur (Ω, F, P), idépedates et suivat la même loi expoetielle de paramètre b. O cosidère égalemet sur le même espace probabilisé Ω, ue variable aléatoire N idépedates des Y k, suivat ue loi géométrique de paramètre s. O va étudier Z := max{y 1,..., Y N }. 2) Soit j N et t > 0. Calculer la probabilité coditioelle P[Z t N = j] 3) E déduire la foctio de répartitio de Z et détermier ue desité. 4) Motrer que Z a ue espérace et que l'o a E[Z] = l(s) b(1 s). Seul le résultat de la questio 4 est écessaire pour traiter les questios suivates :

4.4. EXERCICES 95 5) Soit g la foctio déie sur [0, [ par g(0) = 1 et g(t) = te t 1 e t pour t > 0. Motrer que g est cotiue et borée sur [0, + [. Etablir que pour tout t > 0 et N, o a l'égalité g(t) = g(t)e (+1)t + te (k+1)t. 6) Justier la covergece de l'itégrale + te (k+1)t dt et la calculer. 0 7) Motrer alors que g(t)dt est covergece et égale à 1 0 k=1 k 2 8) O rappelle que c'est à dire 1 0 l(s) b(1 s) k=1 1 k 2 = π2 6 ds, est égale à π2 k=0 Exercice 4.4.25 O cosidère ue foctio F déie par. Motrer que la valeur moyee de la quatité E[Z] sur ]0, 1[, 6b. F (x) = a si x 1, F (x) = bx + c si x ] 1, 1[, F (x) = d si x 1. 1) Détermier les valeurs de a, b, c et d pour que F soit ue foctio de répartitio d'ue variable aléatoire à desité. 2) Représeter graphiquemet F. 3) Détermier la desité de probabilité associée à F. Exercice 4.4.26 Soit f la foctio de R das R + déie par x [2, 4[ 1 f(x) = λ ; f(x) = 0 x / [2, 4[. (1 x) 2 1) Détermier λ R pour que f soit ue desité de probabilité. 2) Soit X ue variable aléatoire de desité f. Détermier sa foctio de répartitio F. 3) Calculer l'espérace E(X) et la variace V (X) de la variable aléatoire X. O pourra utiliser les égalités x = (x 1) + 1, x 2 = (x 1) 2 + 2(x 1) + 1. Exercice 4.4.27 Soit X ue variable aléatoire réelle de desité p X. Détermier la desité de la variable aléatoire Y das les cas suivats : Y = ax + b où a, b sot des ombres réels et a 0 ; Y = X 2 ; Y = exp(x). Résoudre cet exercice e utilisat les deux méthodes suivates : le calcul de la foctio de répartitio, l'utilisatio du théorème de trasfert. Exercice 4.4.28 Soit X ue variable aléatoire de loi ormale cetrée réduite. Démotrer que pour tout k N, l'itégrale x k e x 2 2 dx est covergete. E déduire que la 0 variable aléatoire X admet des momets de tout ordre. Démotrer que l'applicatio x R p x (x) = 1 2π e x2 2 est bie ue desité de probabilité. Motrer que X admet 0 comme espérace et 1 comme variace.

96 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ Motrer que la variable aléatoire Y = σx + m avec σ, m deux réels o-uls suit ue loi ormale N (m, σ). E déduire que Y admet des momets de tout ordre et a pour espérace m et variace σ 2. Exercice 4.4.29 O cosidère ue variable aléatoire réelle X dot la foctio de répartitio F X (x) est doée par : F X (x) = 0 si x < 0 F X (x) = 1 (1 + x 2 )e x 2 si x 0 1) F X (x) est-elle cotiue sur R? 2) Détermier lim x + F X (x). Iterprétatio? 3) Calculer la desité de probabilité f X (x). Quel est le mode de X? 4) Calculer l'espérace et l'écart-type de X. représetative de F X (x). 5) Calculer P (1 X < 2). Exercice 4.4.30 Soit T ue variable aléatoire réelle, de desité de probabilité : f T (t) = 0 si t / [ 1, +1] f T (t) = λ(1 t 2 ) si t [ 1, +1] 1) Calculer λ et représeter graphiquemet f T (t). 2) Détermier la foctio de répartitio F T (t) et tracer sa courbe représetative. 3) Calculer la probabilité de l'évéemet T 1. Représeter cette probabilité sur chacu des 2 deux graphiques précédets. 4) Calculer l'espérace et la variace de T. Quelle est sa médiae? Exercice 4.4.31 Soit U ue variable aléatoire de loi uiforme sur [0, 1] ( sa desité de probabilité, f U est déie par f U (x) = 1 [0,1] (x)). O pose X = 1 λ l(u) ; F X est la foctio de répartitio de X et f X sa desité de probabilité. 1. Rappeler la foctio de répartitio F U (x) = P (U x), x R, de la variable aléatoire U. 2. Détermier la foctio de répartitio F X et la desité de probabilité de la variable aléatoire X. 3. Quelle est la loi de X? Doer les valeurs de E(X) et V (X). O rappelle que + 0 x e x dx =!. Exercice 4.4.32 La durée e heures de foctioemet d'u ordiateur est ue variable aléatoire cotiue de desité : f : x λe x 100 si x 0; 0 sio. 1) Calculer λ. 2) Quelle est la probabilité que l'ordiateur foctioe etre 50 et 100 heures?

4.4. EXERCICES 97 3) Quelle est la probabilité qu'il foctioe mois de 100 heures? Exercice 4.4.33 (Iégalité de Paley-Zigmud) Soit X ue variable positive, o ulle, ayat u momet d'ordre 2. Motrer pour tout α ]0, 1[. P (X αe[x]) (1 α) 2 (E[X])2 E[X 2 ]

98 CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ

Chapitre 5 Théorèmes limites Das ce chapitre, o s'itéresse au comportemet asymptotique de suites de variables aléatoires. Deux théorèmes majeurs e probabilité sot au programme. La loi des grads ombres. Le théorème de la limite cetrale (ou théorème cetral limite) Il y a plusieurs versios du premier théorème et ous ous boreros à la versio faible. Le premier théorème est qualié de "loi". Ce théorème fait la joctio etre la déitio axiomatique que l'o a doée et l'approche fréquetiste, qui ous a servi de motivatio : ous allos démotrer que si A est u évéemet associé à ue expériece, alors : ombre de fois que A se réalise ombre de fois que l'o fait l'expériece P(A) Le deuxième théorème permet d'étudier les uctuatios de ces quatités autour de la limite. C'est u théorème cetral e statistiques. Nous cosidéros des variables aléatoires soit discrètes, soit à desité. 5.1 Notios de covergece de suites aléatoires 5.1.1 Covergece e probabilité et loi faible des grads ombres. Déitio 5.1.1 Soit (X, 1) ue suite de v.a.r. et X ue v.a.r. déies sur le même espace probabilisé. La suite (X, 1) coverge e probabilité si : a > 0, P[ X X > a] 0. Cela sigie doc que la probabilité que l'écart etre X et X dépasse a ted vers 0. Cette covergece correspod à ue certaie distace sur l'espace L 0 des variables aléatoires, c'est hors programme (voir par exemple Zuily-Quéelec : Aalyse pour l'agrégatio p515) Iégalités de Markov et de Tchebychev Propositio 5.1.1 (Iégalité de Markov) Soit X ue variable possédat u momet d'ordre 1 alors : a > 0, P[ X > a] E[ X ] a 99

100 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES Démostratio. Soit A = { X > a}, o a E[1 A ] = P(A). De plus d'où P[ X > a] E[ X ]. a X = X 1 X a + X 1 X >a a1 X >a Propositio 5.1.2 (Iégalité de Tchebychev) Soit X ue variable possédat u momet d'ordre 2, alors a > 0, P[ X E(X) > a] V(X) a 2. Démostratio. C'est immédiat par l'iégalité de Markov appliquée à Y = X E(X) 2. Vous pouvez égalemet suivre le même argumet que précédemmet (à savoir faire). Théorème 5.1.3 (Loi faible des grads ombres I) Soit (X, 1) ue suite de variables aléatoires réelles déies sur u même espace (Ω, F, P) idépedates, de même espérace et variace. O déit la moyee empirique des variables (X ) par Z = 1 i=1 X i. Alors, Z E[X 1 ] e probabilité. Démostratio. L'iégalité de Tchebyche ous doe ( P S ( ) ) ( E S > t = P S ) E[X] > t V ( S ). t 2 D'autre part V ( S ) = 1 t 2 2 t V(S ). 2 Par idépedace, cette derière quatité est égale à O coclut que S 1 2 t 2 i=1 V(X i ) = V(X) t 2. coverge e probabilité vers la costate E[X]. Déitio 5.1.2 Sous réserve d'existece des quatités maipulées, o dit que la suite (X, 1) coverge e moyee vers X si lim E ( X X ) = 0 coverge e moyee quadratique vers X si lim E ( X X 2 ) = 0 Propositio 5.1.4 Si (X, 1) coverge e moyee vers X, alors E[X ] E[X] Démostratio. Par la secode iégalité triagulaire E[X ] E[X] E[ X X ] La quatité à droite ted vers 0 par déitio. O éoce alors le théorème suivat :

5.1. NOTIONS DE CONVERGENCE DE SUITES ALÉATOIRES 101 Théorème 5.1.5 (Covergece e moyee quadratique) Soit (X, 1) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates de même loi et de carré itégrable (i.e possédat u momet d'ordre 2). La suite des moyees empiriques 1 i=1 X i coverge e moyee quadratique vers E[X 1 ]. Démostratio. O a : E ( 1 ) X i E[X 1 ] 2 = V i=1 ( 1 ) X i. Or par idépedace, et car les variables o même loi, o a : ( ) 1 V X i = 1 V(X 2 i ) = 1 V(X 1). i=1 O obtiet la covergece souhaitée. i=1 Propositio 5.1.6 La covergece e moyee quadratique implique la covergece e moyee, qui implique la covergece e probabilité. Démostratio... 5.1.2 Covergece e loi Déitio 5.1.3 Soit (X, 1) ue suite de variables aléatoires. O ote leur foctio de répartitio F. Soit X ue variable aléatoire. de foctio de répartitio F. O dit que (X, 1) coverge e loi vers X et o ote X Si pour tout x poit de cotiuité de F o a L X F (x) F (x). Comme so om l'idique, cette covergece est relative aux lois des variables et pas aux variables elles-mêmes cotrairemet à la covergece e probabilité, o e peut pas muir L 0 d'ue distace pour cette covergece (o peut le faire pour les mesures de probabilités associées). O admet la propositio suivate : Propositio 5.1.7 (Covergece e loi et foctios tests) X L X si et seulemet si, pour toute foctio cotiue borée φ de R d das R, o a E[φ(X )] E[φ(X)]. La propositio ous permet de predre des foctios cotiues borées à la place d'idicatrice de fermés. Sa démostratio (que ous e faisos pas) est basée sur ue approximatio de l'idicatrice par des foctios régulières. La démostratio 'est pas triviale et 'est pas au programme. i=1

102 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES Propositio 5.1.8 O a l'implicatio suivate La réciproque est fausse. X X e probabilité = X X e loi. Démostratio. O va utiliser la propositio précédete. Soit (X, 1) ue suite de v.a qui coverge e probabilité vers X. Si φ est ue foctio cotiue à support compact, alors elle est uiformémet cotiue. Pour tout ɛ > 0, il existe η > 0 tel que si x y η o a φ(x) φ(y) ɛ. O a doc E[φ(X ) φ(x)] E[ φ(x ) φ(x) ] = E[ φ(x ) φ(x) 1 { X X η}] + E[ φ(x ) φ(x) 1 { X X >η}] ɛ + 2 φ P[ X X > η]. O a doc lim sup E[φ(X ) φ(x)] ɛ. Ceci est vrai pour tout ɛ > 0 doc o coclut par la propositio précédete. lim E[φ(X ) φ(x)] = 0, 5.1.3 Approximatios de certaies lois et théorème cetral limite Théorème 5.1.9 (Approximatio loi hypergéométrique-loi biomiale) Soit (X k, k 1) ue suite de variables aléatoires de loi hypergéométrique de paramètres (k,, p). La suite (X k, k 1) coverge e loi vers ue variable X biomiale de paramètre (, p) Remarque 5.1.1 La loi hypergéométrique résulte d'u tirage sas remise alors que la loi biomiale d'u tirage avec remise. A la limite, que l'o "remette les boules" das l'ure ou pas, o obtiet la loi biomiale. Démostratio. Tout d'abord, la variable X k pred ses valeurs das [ max{0; k(1 p)}, mi{, kp} ]. O a de plus ) P[X k = j] = = = ( kp j E remarquat que q! (q l)! = Al q P[X k = j] )( k(1 p) j ( k ) (kp)! j!(kp j)! k(1 p) ( j)!(k(1 p) + j)! ( ) (kp)! j (kp j)! k(1 p) (k(1 p) + j)! k q l, o obtiet q ( ) (Np) k (N(1 p)) k = k N!(k )!! (k )!.! ( ) p k (1 p) k. k

5.1. NOTIONS DE CONVERGENCE DE SUITES ALÉATOIRES 103 A partir d'u certai rag k, k(1 p) 0 et kp, X k pred doc ses valeurs das [ 0, ]. D'après l'équivalece obteue, pour tout j [ 0; ], P[X k = j] P[X = j], où X suit ue k loi biomiale. O e déduit la covergece simple des F k vers F sur l'esemble des poits de cotiuité de F. E eet, si x [0, ] \ [ 0, ], alors x est u poit de cotiuité de F et [x] F k (x) = P[X k x] = P[X k = j] k j=0 [x] j=0 P[X = j] = F (x). Pour coclure, il reste à remarquer F k (x) = F (x) = 0 si x < 0 et F k (x) = F (x) = 1 si x >. Théorème 5.1.10 (Approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso) Soit (X k, k 1) ue suite de variables aléatoires réelles. Chaque X k suit ue loi biomiale de paramètres k, λ k. Le réel λ est xé. Alors la suite (X k, k 1) coverge e loi vers X ue variable aléatoire de Poisso de paramètre λ. démostratio. Das la preuve du théorème précédet, o a vu qu'il était e fait susat pour les variables discrètes de motrer les covergeces des probabilités P[X k = j] vers P[X = j]. O a pour tout k j, ( ) k P[X k = j] = p j (1 p) k j = j ( k j = λj j! La derière lige viet du fait que (à savoir démotrer) et de ) ( λ k k! (k j)! ) j ( 1 λ ) k j k ( ) 1 λ j ( k 1 λ ) k k j k k ( 1 λ k ) k k e λ k! (k j)! ( ) 1 λ j k k j 1. k λ j j! e λ. Théorème 5.1.11 (Théorème cetral limite) Soit (X, 1) ue suite de variables aléatoires réelles idépedates et de même loi, admettat ue espérace (otée m) et ue variace (otée σ 2 ). Soit S = X i. O a E[S ] = m et V (S ) = σ 2. La suite des variables aléatoires cetrées réduites : ( ) S m ; 1 σ coverge e loi vers ue loi gaussiee N (0, 1). Autremet dit : ( P a S ) m 1 b b e t2 /2 dt σ 2π i=1 a

104 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES Démostratio. La preuve la plus ecace repose sur les foctios caractéristiques, outils que ous e développos pas das ce cours. Il existe des preuves élémetaires. Nous verros e problème, u cas particulier. Pour le cas gééral, voir par exemple l'article de Jérôme Depauw 1 Le théorème cetral limite met e avat le caractère uiversel de la loi gaussiee, il justie la modélisatio d'ue erreur aléatoire par ue loi ormale. Souvet, ue erreur aléatoire est modélisée par l'additio d'u grads ombres d'évéemets idépedats. Propositio 5.1.12 (itervalle de coace) Supposos que V(X 1 ) = 1, o déduit du théorème précédet le résultat suivat : la probabilité que E[X 1 ] se trouve das l'itervalle aléatoire est égale à [ 1 X i b, 1 i=1 ] X i a i=1 P(a Z b) = 1 b 2π a e x2 2 dx. Cette derière vaut eviro 0.95 pour b = a = 1.96. O dit alors que l'itervalle [ 1 i=1 X i 1.96, 1 i=1 ] X i + 1.96 est u itervalle de probabilité (o dit aussi itervalle de coace) pour le paramètre de la moyee θ = E[X 1 ] à 95% O termie ce chapitre e metioat la loi forte des grads ombres. Ce théorème dépasse le cadre du cours mais est fodametal e théorie des probabilités. 5.1.4 Covergece presque-sûre et loi forte des grads ombres Déitio 5.1.4 O dit que la suite (X, 1) coverge presque-sûremet vers X, si ( ) P {ω Ω; X (ω) X(ω)} = 1. Cette otio de covergece est très forte. Elle implique la covergece e probabilité (mais 'est pas équivalete). Pour établir la covergece presque-sûre d'ue suite de variables aléatoires des iformatios précises sur la trajectoire de la suite sot écessaires (et raremet accessibles). O peut maiteat éocer la loi forte des grads ombres. Théorème 5.1.13 (Loi forte des grads ombres) Soit (X, 1) ue suite de variables idépedates avec u momet d'ordre 1, alors lim 1 i=1 X i = E[X 1 ] presque sûremet. 1. dispoible ici : www.lmpt.uiv-tours.fr/ depauw/tclrms_web.pdf.

5.2. EXERCICES. 105 La démostratio de ce théorème requiert au miimum le lemme de Borel-Catelli, directemet issu des axiomes posés sur la probabilité P das la déitio. Si o cosidère ue suite d'évéemets (A i, i 1) idépedats de même probabilité p. La variable aléatoire 1 i=1 correspod à la fréquece d'apparitio des évéemets A i pour i etre 1 et, et E[X 1 ] = p. La loi faible des grads ombres ous dit que cette fréquece coverge e probabilité vers p. La loi forte ous dit que cette covergece est presque-sûre et ous permet de reveir à la déitio heuristique d'ue probabilité e tat que limite d'ue fréquece d'apparitio... 5.2 Exercices. Exercice 5.2.1 Soit (X, 1) ue suite de variables aléatoires de loi géométrique sur N de paramètre θ avec θ R +. Motrer que la suite ( X coverge e loi vers ue v.a.r suivat ) 1 la loi expoetielle de paramètre θ. Exercice 5.2.2 Soit (X, 1) ue suite de v.a.r idépedates idetiquemet distribuées de loi uiforme sur [0, 1]. O ote m = mi{x 1,..., X } et M = max{x 1,..., X }, motrer que (m, 1) coverge e probabilité vers 0 et (M, 1) vers 1. Exercice 5.2.3 Soit (X, 1) ue suite de v.a.r telle que E[X ] a et V(X ) 0, motrer que X a e probabilité. Exercice 5.2.4 Soit f ue foctio cotiue borée de R das R. Motrer que lim 1 Ai λ (λ)k e f k! k=0 ( ) k = f(λ). Idicatio : utiliser ue suite de variables de Poisso de paramètre λ, et utiliser la loi faible des grads ombres. La loi forte est hors programme. Exercice 5.2.5 Soit (X ) 1 ue suite de v.a. i.i.d. suivat la loi ormale N(1, 3). Motrer que la suite de terme gééral 1 X i e X i i=1 coverge e probabilités et détermier sa limite. Exercice 5.2.6 1) Soit f ue foctio uiformémet cotiue de R d das R et (X, N) ue suite qui coverge e probabilité vers X, alors (f(x ), 0) coverge e probabilité vers f(x). 2) Motrer que si (X, 0) et (Y, 0) coverget respectivemet vers X et Y e probabilité alors (X + Y, 1) coverge vers X + Y e probabilité.

106 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES 3) Soit (X, 1) ue suite de v.a.r. idépedates de même loi telle que E[ X 1 ] <. Vérier que X = i=1 X i 1 1 i=1 X i 1, e déduire à l'aide de la questio 2), que X coverge e probabilité vers 0. Exercice 5.2.7 Soiet {X } 1 ue suite de variables aléatoires i.i.d telles que X 1 P(1). Pour tout etier aturel o ul o pose S = k=1 X k. { } S 1. Détermier la limite e loi de. 2. Motrer que e 1 k=0 k k! + Exercice 5.2.8 (Ue loi faible des grads ombres pour des variables o idépedates) Soit (X, 1) ue suite de v.a.r. idépedates de même loi admettat u momet d'ordre 2. O pose Y = X X +1 et S = k=1 Y k. 1) Les variables Y sot-elles idépedates? 2) Motrer que pour tout ɛ > 0, ( P S ) E[Y 1] > ɛ 1 ɛ 2 V (S ) 2 3) E déduire que S coverge e probabilité vers E[X 1] 2. Exercice 5.2.9 (Iégalité de Hölder) Soiet p et q deux réels positifs tels que 1 p + 1 q = 1. Soiet X et Y deux variables aléatoires possédat respectivemet u momet d'ordre p et u momet d'ordre q. L'iégalité d'hölder que l'o va démotrer est 1 2. E[ XY ] (E[ X p ]) 1 p (E[ Y q ]) 1 q 1) Soiet x, y deux réels positifs. E utilisat la cocavité de l, c'est-à-dire pour tout λ ]0, 1[ l(λx + (1 λ)y) λ l(x) + (1 λ) l(y), motrer l'iégalité (appelée iégalité de Youg) xy xp p + yq q. 2) E posat X X = et Ỹ = Y, motrer l'iégalité d'hölder. E[ X p ] 1/p E[ Y q ] 1/q 3) O suppose que X a u momet d'ordre s. Soit 0 r s. E appliquat l'iégalité d'hölder aux variables X r et 1 avec p = s r, et q = p p 1 E[ X r ] E[ X s ] 1/p. so cojugué, motrer E déduire que X a u momet d'ordre r pour tout r s.

5.2. EXERCICES. 107 Exercice 5.2.10 [Loi forte des grads ombres] Soit (X, 1) ue suite de variables aléatoires idépedates telles que pour tout k 1, E[X k ] = 0 et E[Xk 4 ] K où K est u réel positif idépedat de k. O pose S = k=1 X k, o va motrer que et S 0 p.s. [ (S ) ] 4 E 0. 1) E utilisat le résultat de la derière questio de l'exercice précédet. Justier que E[Xi 2 ], E[Xi 3 ] ot u ses. Motrer que [ ] E[S] 4 = E Xi 2 Xj 2. 2) Motrer que E[X 2 i ] 2 E[X 4 i ], e déduire 3) Motrer que E déduire que k 1 X 4 k + 6 i<j E[S 4 ] K + 3( 1)K 3K 2. [ ] E (S /) 4 3K 1. 2 1 1 [ (S ) ] 4 E 0. 4) Motrer que E [ 1 (S /) 4] < implique que P[S / 0] = 1. Exercice 5.2.11 Soiet (X i ) ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi de Poisso de paramètre 1. 1) Quelle est la loi de S = i=1 X i? 2) O pose S = S E[S]. E utilisat le théorème cetral limite, détermier V ar(s) 3) E déduire u équivalet de k k=0. k! lim P(S 0). Exercice 5.2.12 O dispose d'u dé. O cherche à savoir s'il est truqué ou o. Pour cela o va étudier la diérece etre la fréquece d'apparitio de 6 lors de lacers de dé et 1/6. Soit N le ombre de 6 obteus parmi lacers. Détermier la loi de N. O déit f par : Détermier l'espérace et la variace de f f = N.

108 CHAPITRE 5. THÉORÈMES LIMITES 1 E utilisat l'iégalité de Bieaymé-Tchebychev, motrer que P ( F 16 ) 0.01 5 36 0.01 2 2) Estimer avec l'iégalité précédete, le ombre de lacers que l'o doit eectuer pour qu'au cours de ces lacers la fréquece d'apparitio de 6 dière de 1/6 d'au plus 1/100 avec u risque d'erreur iférieur à 5/100? 3) Estimer ce ombre avec le théorème cetral limite.

Chapitre 6 Elémets de statistiques Nous ous cocetros sur la statistique iféretielle. La statistique descriptive est égalemet au programme et fait régulièremet l'objet de questios à l'oral. Le lecteur pourra par exemple cosulter le chapitre 5 du livre de Saporta Probabilités, aalyse des doées et Statistique. 6.1 Estimatio L'objectif de la statistique iféretielle est d'estimer les paramètres d'ue loi de probabilité régissat ue expériece aléatoire. Il s'agit de mettre e place les outils pour estimer des paramètres à partir des réalisatios d'ue expériece. Les théorèmes limites vus précédemmet sot fodametaux das la théorie de l'estimatio. Il y a deux types d'estimatio, l'estimatio poctuelle : o approche directemet le paramètre e doat ue valeur umérique et l'estimatio par itervalle : la valeur recherchée est ecadrée par des bores aléatoires avec ue probabilité doée (par exemple 95%). Soit X ue variable aléatoire et X 1, X 2,..., X variables aléatoires de même loi que X. O cherche à partir des valeurs prises par ces variables aléatoires à avoir des reseigemets sur la loi de X. Si par exemple : 1) la variable aléatoire X suit ue loi de Poisso, commet peut o estimer so paramètre λ à partir des observatios? 2) la variable aléatoire X suit ue loi ormale, commet peut o estimer ses paramètres m et σ à partir des observatios? 3) la variable aléatoire est icoue mais possède ue espérace, peut o estimer E[X]? Soit Θ l'esemble des paramètres d'ue loi. Par exemple, Θ = R + pour la loi expoetielle, ou Θ = [0, 1] pour la loi de Beroulli. Déitio 6.1.1 Soit X ue variable aléatoire de loi à paramètres das Θ. U échatillo de taille de X est u vecteur aléatoire (X 1,..., X ) dot les composates ot même loi que X. Etat doé u échatillo de taille, o appelle estimateur de θ, ue variable aléatoire de la forme T = f(x 1,..., X ) La variable aléatoire T est u estimateur coverget de θ si θ Θ, α > 0, P ( T θ > α) 0. O déit maiteat la otio de biais d'u estimateur (au programme e BTS). Déitio 6.1.2 (Biais d'u estimateur) Soit T u estimateur du paramètre θ, 109

110 CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE STATISTIQUES Si pour tout θ Θ, E[T ] = θ, l'estimateur est dit sas biais. Si pour tout θ Θ, E[T ] θ, l'estimateur est dit asymptotiquemet sas biais. Remarque 6.1.1 Il faut oter que la propriété d'être o biaisé 'est pas idispesable. Il arrive même que certais estimateurs biaisés doet de meilleurs résultats! Propositio 6.1.1 Tout estimateur asymptotiquemet sas biais dot la variace ted vers 0 est coverget. Démostratio. Utiliser l'iégalité de Markov. Déitio 6.1.3 Supposos que T a u momet d'ordre 2. Le risque quadratique de l'estimateur T est la quatité R T (θ) := E[(T θ) 2 ] Il mesure l'écart e moyee quadratique etre θ et T. La otio de risque quadratique permet de comparer deux estimateurs : l'estimateur S est meilleur que T si θ Θ, R S (θ) R T (θ). Déitio 6.1.4 Soit (X 1,..., X ) u échatillo de taille de X. La moyee empirique est La variace empirique est La variace empirique corrigée est X := 1 S 2 := 1 X i. i=1 (X i X ) 2. i=1 Σ 2 := 1 1 (X i X ) 2. Propositio 6.1.2 Soit X ue variable aléatoire de moyee m et d'écart-type σ, alors i=1 E[X ] = m, V(X ) = σ2 E[S] 2 = 1 σ2, E[Σ 2 ] = σ 2. Démostratio. Exercice. Propositio 6.1.3 Soit X ue variable aléatoire de moyee m et de variace σ 2.

6.1. ESTIMATION 111 1) La moyee empirique X est u estimateur sas biais et coverget de m. Si o se doe ue réalisatio ω, ue estimatio poctuelle de la moyee est doée par x = 1 i=1 x i où x i = X i (ω) sot les doées. 2) La variace empirique σ est u estimateur sas biais de la variace. Si o se doe ue réalisatio ω, ue estimatio poctuelle de la variace est doée par 1 (x i x) 2 i=1 où x i = X i (ω) sot les doées. 3) La variace empirique corrigée Σ est u estimateur sas biais de la variace. Si o se doe ue réalisatio ω, ue estimatio poctuelle de la variace est doée par 1 1 (x i x) 2 où x i = X i (ω) sot les doées. 4) A ces trois estimateurs classiques, o peut rajouter celui du momet d'ordre r : i=1 ˆm r := 1 x r i. i=1 Démostratio. 1) Laissée au lecteur (appliquée la loi faible des grads ombres). 2) Laissée au lecteur. 3) Les variables X i état idépedates de même loi, ous avos Nous avos [ 1 E[Σ ] = E 1 ] (X k X ) 2 k=1 E[(X 1 X ) 2 ] = E[X 2 1] 2 = E[X 2 1] 2 i=1 = 1 E[(X 1 X ) 2 ]. ( ) E[X 1 X i ] + 1 2 E X 2 i E[X 1 X i ] + 1 2 i=1 i=1 i=1 E[X i X j ]. j=1 Les variables aléatoires (X i ) état idépedates et idetiquemet distribuées ous avos : E[X i X j ] = E[X 2 1] si i = j E[X i X j ] = E[X 1 ] 2 si i j.

112 CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE STATISTIQUES O a doc 2 E[X 1 X i ] = 2 i=1 [ E[X 2 1 ] + ( 1)E[X 1 ] 2] 1 2 = 1 [ E[X 2 2 1 ] + ( 1)E[X 1 ] 2] = 1 i=1 [ E[X 2 1 ] + ( 1)E[X 1 ] 2]. i=1 E[X i X j ] j=1 O e déduit : E[(X 1 X ) 2 ] = E[X 2 1] 1 Fialemet E[Σ 2 ] = EX 2 1] E[X 1 ] 2 = σ 2. [ E[X 2 1 ] + ( 1)E[X 1 ] 2] = 1 (E[X2 1] E[X 1 ] 2 ). Ue méthode classique pour costruire u estimateur est la méthode des momets basée sur ue applicatio directe de la loi des grads ombres. La méthode des momets cosiste à exprimer θ e termes des momets E[X], E[X 2 ],... puis de remplacer chaque momet par le momet empirique lui correspodat. Cela fourit u estimateur coverget de θ. L'expressio peut aussi faire iterveir σ 2 que l'o remplace alors par S 2 ou Σ 2. E pratique, o calcule E[X], E[X 2 ] etc jusqu'à obteir à l'aide des momets ue expressio iversible de θ. O iverse alors cette expressio, ce qui doe θ e foctio de E[X], E[X 2 ],... et o remplace E[X] par X, E[X 2 ] par ˆm 2 (ou par Σ 2 + X 2 ) etc. Exemple 6.1.1 Soit X ue variable aléatoire preat les valeurs {0, 1, 2} avec les probabilités P[X = 0] = 1 p 1 p 2, P[X = 1] = p 1, P[X = 2] = p 2 ; alors ˆp 2 = 1 2 (S 2 + X 2 X ) est u estimateur sas biais du paramètre p 2. U estimateur classique est l'estimateur du maximum de vraisemblace (E.M.V). O suppose que la loi a pour paramètre θ R. Soit (X 1,..., X ) u échatillo. Notos L(x 1,..., x ; θ) la desité de (X 1,...X ). Lorsque (x 1,..., x ) est xé, θ L(x 1,..., x, θ) est appelée vraisemblace de θ. Déitio 6.1.5 O appelle estimateur du maximum de vraisemblace la valeur de θ qui red maximale L(x 1,..., x, θ). Puisque le logarithme est ue foctio strictemet croissate, o peut chercher à maximiser la foctio θ l L(x 1,..., x, θ). E pratique, u E.M.V est ue solutio de l'équatio de la vraisemblace : l L(X, θ) = 0. θ

6.1. ESTIMATION 113 Itervalles de coace et lois usuelles e statistiques Nous avos déjà brièvemet itroduit la otio d'itervalle de coace das la propositio 5.1.12. Au lieu de doer ue valeur (estimatio poctuelle) du paramètre θ o cherche deux bores B 1 et B 2 etre lesquelles o espère que se trouve la vraie valeur du paramètre. Les bores sot des foctios des variables aléatoires X 1,..., X. Déitio 6.1.6 Soit B 1 = f 1 (X 1,..., X ) et B 2 = f 2 (X 1,..., X ). O appelle itervalle de probabilité pour le paramètre θ le couple (B 1, B 2 ) et P(B 1 θ B 2 ) est la probabilité de recouvremet (appelée plus souvet iveau de coace). Si cette probabilité est égale à α, [B 1, B 2 ] est appelé itervalle de probabilité 1 α. E gééral o choisit ue valeur faible pour α et o costruit l'itervalle de sorte que la probabilité de recouvremet soit égale à 1 α. O appelle itervalle de coace 1 α (oté souvet IC 1 α (θ) pour θ toute réalisatio [b 1, b 2 ] d'u itervalle de probabilité de recouvremet égale à 1 α [B 1, B 2 ]. Pour compredre le pricipe de costructio d'u itervalle de coace ous allos ous cocetrer das u premier temps sur le cas d'u itervalle de coace pour la moyee das le cas gaussie. Soit (X 1,..., X ) u échatillo de loi ormale N (µ, σ 2 ). O suppose σ cou le paramètre à estimer est µ. Comme l'échatillo est gaussie, X suit ue loi ormale de paramètres (µ, σ 2 /). Pour pouvoir utiliser les tables gaussiees, o déit T = X µ s/ qui suit ue loi gaussiee stadard. La variable T est appelée statistique pivotale, elle déped de X 1,..., X et θ = µ mais sa loi est idépedate de µ. Cette statistique est utile car elle va permettre d'ecadrer le paramètre µ. Das u premier temps, o observe que P[q α/2 < T < q 1 α/2 ] = 1 α, où q p désige le quatile d'ordre p pour la loi ormale N (0, 1). Comme cette loi est symétrique, o a q p = q 1 p et o peut doc écrire que ( P q 1 α/2 X ) µ q 1 α/2 = 1 α. σ E isolat µ pour l'ecadrer, o obtiet ( ) σ P X q 1 α/2 µ X σ + q 1 α/2 = 1 α. O pose B 1 = X q 1 α/2 σ et B 2 = X + q 1 α/2 σ l'itervalle [B 1, B 2 ] est u itervalle de probabilité 1 α pour la moyee µ. Il est importat de compredre que ce sot B 1 et B 2 qui sot aléatoires et o pas µ. E pratique o utilise les réalisatios des variables aléatoires, u itervalle de coace est ue réalisatio [b 1, b 2 ]. Remarque 6.1.2 La largeur de l'itervalle de coace est ue foctio décroissate de α et de.

114 CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE STATISTIQUES Deux lois utiles : la loi du khi-deux et la loi de Studet Déitio 6.1.7 Soit d 1. Par déitio, la loi du Khi-deux à d degrés de liberté est la loi de la variable aléatoire Y d = d i=1 N i 2 où N 1,..., N d sot d variables gaussiees cetrées réduites. Propositio 6.1.4 Soit Y d ue variable aléatoire qui suit ue loi du khi-deux à d degrés de liberté, alors sa desité est doée par f Yd (x) = k d x d/2 1 e x/2 1 1 [0, [ (x) avec k d = 2 d/2 Γ(d/2) Y d est itégrable et E[Y d ] = d Si d 30, P[ Y d 2d 1 I] P[N I] où N est ue Gaussiee stadard. Déitio 6.1.8 O dit que la variable aléatoire T d suit la loi de Studet à d degrés de liberté d si T d = N Y d où N et Y d sot deux variables idépedates de loi respective la loi ormale cetrée réduite, et la loi du khi-deux à d degrés de liberté. Propositio 6.1.5 Soit T d ue variable aléatoire suivat la loi de Studet. Sa desité est f Td (x) = c d (1 + x 2 /d) d+1 2, où c d = Γ( d+1 2 ) Πd e x2/2 p Td (x). d 2π Das les applicatios, si d 30 alors P[T d I] P[N I]. Itervalle de coace pour ue moyee et ue variace. Soiet X 1,..., X variables aléatoires gaussiees, idépedates et de même loi N (µ, σ 2 ). Deux cas sot à evisager pour la détermiatio d'u itervalle de coace : selo que σ soit cou ou o. Das le premier cas, o a motré précédemmet que B 1 = X σ q et 1 α/2 B 2 = X σ + u 1 α/2 formet les bores d'u itervalle de probabilité 1 α. Das le seood cas, où σ est icou. O a que ( 1)Σ 2 σ 2 = 1 σ 2 (X i X ) 2 suit ue loi du khi-deux à 1 degrés de liberté. O déit T = ( X µ Σ. O a ( X µ)/σ T = = N S ( 1) 2 K σ 2 ( 1) avec N de loi N (0, 1) et K idépedate de loi du khi-deux à 1 degrés de liberté. T est ue statistique pivotale puisque sa loi est idépedate des paramètres. O e déduit u itervalle i=1

6.2. EXERCICES 115 de probabilité 1 α pour µ car o a P[t 1;α/2 < T < t 1;1 α/2 ] = 1 α, où t 1;α/2 est le quatile d'ordre α pour la loi de Studet à 1 degrés de liberté. O a doc 2 P[t 1:α/2 < X µ Σ < t 1,1 α/2 ] = 1 α, e isolat µ et e remarquat que t 1;α/2 = t 1;1 α/2 car la loi de Studet est symétrique par rapport à 0, o obtiet ( ) Σ P X t 1;1 α/2 < µ < X Σ + t 1;1 α/2 = 1 α; ce qui permet de coclure. Nous termios par la costructio d'u itervalle de coace pour ue variace. La statistique pivotale utilisée est ( 1)S2 T =. σ 2 Elle suit ue loi du Khi-deux à 1 degrés de liberté. Elle est comprise etre les quatiles r 1,α/2 et r 1,1 α/2 avec probabilité 1 α, ce qui permet d'obteir u itervalle de coace 1 α pour σ 2 : IC 1 α (σ 2 ) = [ ( 1)Σ 2 ; ( ] 1)Σ2. r 1,1 α/2 r 1,α/2 Nous ous sommes limités aux variables aléatoires gaussiees. Cepedat e utilisat le théorème cetral limite, si os variables possèdet ue variace, o peut approcher des itervalles de coace par ceux détermiés précédemmet. Evidemmet il s'agira d'approximatio et le iveau de coace e sera pas exactemet respecté mais ces approximatio sot e gééral très boes pour 30. 6.2 Exercices Exercice 6.2.1 (#) O a relevé le ombre de dets cariées chez 100 efats âgés de 7 as das ue régio de Frace. Les résultats obteus sot les suivats : Nb de dets cariées 0 1 2 3 4 5 6 7 Nb d'efats 30 34 14 10 4 5 1 2 Calculer la moyee empirique et la variace empirique du ombre de dets cariées. Solutio. La moyee empirique est et la variace empirique est X = 30 0 + 34 1 + + 2 7 100 = 1, 53. S 2 = 1 1 (X k X) 2 = 1 [ 30 (0 X) 2 + 34 (1 X) 2 + + 2 (7 X) 2] = 2, 36. 99 k=1

116 CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE STATISTIQUES Exercice 6.2.2 (#) U statisticie observe le ombre d'ampoules défaillates à la sortie d'ue chaîe de productio. Il veut estimer la probabilité p qu'ue ampoule soit défaillate. Pour cela, il compte le ombre de N, égaux à zero. Il propose d'estimer par : p = N / 1. Motrer que p est u estimateur sas biais de p. 2. Calculer so risque quadratique. Solutio. O a N = X 1 + + X où X i = 1 si l'ampoule i est défaillate et 0 sio. Les v.a. sot doc toutes de loi de Beroulli de paramètre p. O suppose de plus qu'elles sot idépedates. 1. Si les X i sot i.i.d., N est ue variable biomiale de paramètres p et. O a alors E [ N ] = 1 E[N ] = p = p et l'estimateur est bie sas biais. 2. Le risque quadratique est par déitio E [ [ (N (p p) 2] ) ] 2 = E p = 1 E [ (N 2 p) 2] = 1 V(N ) = 2 p(1 p) 2 = p(1 p). Exercice 6.2.3 (#) Cosidéros u échatillo de taille 1 issu d'ue populatio suivat ue loi de Poisso de paramètre λ > 0 (ceci reviet doc simplemet à cosidérer ue variable aléatoire X avec X P(λ)). 1. Motrer que l'estimateur δ(x) = 1 [X=0] est o biaisé pour e λ. 2. O cherche à préset à estimer e 3λ. Que pouvez-vous dire sur la statistique ( 2) X? 3. Proposer e toute gééralité u estimateur sas biais pour e λ. Solutio. λ λ0 1. O a E[δ(X)] = E[1 {X=0} ] = P(X = 0) = e = e λ. 0! 2. De même, E [ ( 2) X] = k 0 ( 2) k λ λk e k! = e λ e 2λ = e 3λ. 3. O vérie que (1 ) X est u estimateur sas biais de e λ. Exercice 6.2.4 (#) O cosidère u échatillo (X i ) 1 i avec 2 le modèle avec P K et tel que les v.a. sot i.i.d. de loi uiforme sur {1,..., K}. Le but de cet exercice est de proposer deux estimateurs du paramètre K > 0. 1. A l'aide de l'espérace de X P K, proposer u estimateur ˆK de K. Détermier so risque quadratique R K ( ˆK, K). 2. (a) Motrer que l'e.m.v. est K = max(x 1,..., X ). (b) Motrer que sous P K, K vérie P ( K k) = k K

6.2. EXERCICES 117 (c) Soit X ue variable aléatoire à valeurs das {1,..., K}. Motrer que (d) E deduire le biais de K. E[X] = K 1 k=0 P (X > k). Solutio. 1. La moyee empirique est u estimateur sas biais de l'espérace des (X i ) 1 i qui sot uiformes sur {1,..., K}. Or, cette espérace vaut E[X 1 ] = (K + 1)/2. O propose doc comme estimateur de K : ˆK = 2X 1 = 2 X i 1. i=1 Cet estimateur est sas biais (puisque la moyee empirique l'est) doc le risque quadratique de ˆK est sa variace : ( ) ( R K ( ˆK, 2 ) K) = V X i 1 = 4 V X 2 i = 4 V (X 1) i=1 i=1 car les X i sot idépedates et de même loi. De plus, et doc E[X 2 ] = 1 K K k 2 = 1 K k=1 V(X) = et le risque quadratique est 2. (a) O a (b) K(K + 1)(2K + 1) 6 (K + 1)(2K + 1) 6 R K ( ˆK, K) = K2 1 3 = (K + 1)(2K + 1) 6 ( ) 2 K + 1 = K2 1 2 12 L(K, k 1,..., k ) = P(X 1 = k 1 )P(X 2 = k 2 ) P(X = k ) =. { 1/K si i, k i K 0 sio. Or, l'assertio ( i, k i K ) est équivalete à ( max(k 1, k 2,..., k ) K ). La foctio L est doc ulle jusqu'à max(k 1,..., k ) puis est décroissate et strictemet positive. So maximum est doc atteit e max(k 1,..., k ) et l'e.m.v. est K = max(x1,..., X ). P( K k) = P(max(X 1,..., X ) k) = P(X 1 k,..., X k) = P(X 1 k) = k K car les variables sot idépedates et de loi uiforme.

118 CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE STATISTIQUES 3. O a K 1 k=0 P(X > k) = K 1 K k=0 j=k+1 E iversat les 2 siges de sommatio, o a K 1 k=0 P(X > k) = K 1 j=0 j P(X = j+1) = k=0 P(X = j) = K 1 j=0 K 1 K 1 k=0 P(X = j+1) j=k P(X = j + 1) j 1 = k=0 K 1 j=0 P(X = j+1)(j+1) = E[X]. 4. E utilisat iii) et ii), le biais de K est E[ K] K = K 1 k=0 P( K K 1 > k) K = k=0 (1 P( K k)) K = 1 K Le biais est doc strictemet positif : K 'est pas sas biais. Exercice 6.2.5 (#) Pour = 1, o cosidère le modèle des lois biomiales sur l'espace X = {0,..., m}, m N et avec le paramètre θ [0, 1]. f(x, θ) = ( ) m θ x (1 θ) m x, x X, x 1. Motrer qu'ue foctio g(θ) admet u estimateur sas biais si et seulemet si g est u polyôme de degré < m, et das ce cas u tel estimateur est uique. 2. Soit g(θ) = θ 2. Motrer que l'estimateur sas biais associé s'aule e x = 0 et x = 1. Solutio O cosidère ue variable X 1 de loi biomiale de paramètres m et θ avec θ à estimer. 1. Dire que g(θ) admet u estimateur sas biais sigie qu'il existe ue foctio Φ : {0,..., m} R telle que E [Φ(X 1 )] = g(θ). Or, comme X 1 est ue v.a. biomiale de paramètres m et θ, o a E [Φ(X 1 )] = m ( ) m Φ(k) θ k (1 θ) m k k k=0 m ( ) m et doc s'il existe Φ telle qu'o ait l'égalité Φ(k) θ k (1 θ) m k = g(θ), g est k k=0 écessairemet u polyôme de degré strictemet iférieur à m. La réciproque et l'uicité découlet du fait que la famille de polyômes (X k (1 X) m k ) 0 k m est ue base de l'espace vectoriel des polyômes de degrés iférieurs ou égaux à m (c'est ue famille libre et elle a m + 1 élémets). K 1 k=0 k.

6.2. EXERCICES 119 2. D'après ce qui précède, o doit avoir o a Φ(0) = 0. O a alors l'égalité : θ 2 = k=1 m ( ) m Φ(k) θ k (1 θ) m k = θ 2. E preat θ = 0, k k=0 m ( ) m m ( ) m Φ(k) θ k (1 θ) m k = θ Φ(k) θ k 1 (1 θ) m k. k k Comme 0 est racie double du polyôme θ m k=1 Φ(k)( m k ) θ k 1 (1 θ) m k, o doit avoir 0 = k=1 m ( ) m Φ(k) 0 k 1 (1 0) m k = Φ(1). k k=1

120 CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE STATISTIQUES

Chapitre 7 Sujets des exames passés et problèmes Epreuve de probabilités Calculs d'itégrales et otio d'etropie Exercice 7.0.6 Soit (Ω, F, P) u espace probabilisé. 1) Supposos Ω = {1,..., }. O déit l'etropie de la probabilité P par H(P) = p k l(p k ) k=1 où p k = P({k}). Avec pour covetio 0 l(0) = 0. a) Motrer que H est à valeurs das R + et trouver P telle que H(P) = 0. b) Calculer H(P) lorsque P est la loi uiforme sur {1,..., }. c) O va motrer que la probabilité uiforme réalise le maximum de l'etropie sur Ω = {1,..., }. O rappelle que la foctio l est cocave. O admet que pour tous λ k réels positifs tels que k=1 λ k = 1 et tous x 1,..., x k positifs : ( ) λ k l(x k ) l λ k x k. k=1 Soit (q k, k [ 1, ]) et (p k, k [ 1, ]) deux probabilités sur {1,..., }. Démotrer à l'aide de l'iégalité ci-dessus que q k l(p k ) q k l(q k ). k=1 Coclure avec p k = 1/ pour tout k {1,...}. 2) a) Rappeler la déitio d'ue desité de probabilité sur R. k=1 k=1 Soit f ue desité de probabilité sur R. O ote H f = f(x) l(f(x))dx, R 121

122 CHAPITRE 7. SUJETS DES EXAMENS PASSÉS ET PROBLÈMES lorsque cette itégrale a u ses et H f = sio. La quatité H f est appelée etropie de la loi de desité f. b) Calculer l'etropie de la loi ormale N (0, 1). O rappelle que la desité de la loi ormale cetrée réduite est x 1 2π e x2 /2, x variat das R. c) Soiet f et g deux foctios strictemet positives. Ecrire (et justier) l'égalité g(x) f(x) g(x) f(x) = 1 +. f(x) E utilisat l'iégalité l(1 + z) z pour tout z > 1, établir que si f, g sot des desités l(g(x)/f(x))f(x)dx 0. R d) E preat das l'iégalité ci-dessus g la desité de la loi ormale, démotrer que la loi ormale réalise le maximum d'etropie sur les desités vériat xf(x)dx = 0 et R R x2 f(x)dx = 1. E thermodyamique, l'etropie mesure l'état de désorgaisatio itere d'u système. Boltzma (1870) a motré qu'u système isolé évolue spotaémet vers l'état le plus désordoé. La théorie de l'iformatio a été itroduite par Shao (1948) qui associe etropie et iformatio maquate sur le système : toute évolutio spotaée d'u système isolé se fait avec perte d'iformatio sur le système. De faço ituitive, les lois gaussiees reètet u maque d'iformatio. Das ue certaie mesure, cela justie le choix de cette foctio comme "foctio d'erreur". Calculs biomiaux O cosidère u serveur iformatique cosommat 500 watts. Pour améliorer la sûreté de foctioemet d'u serveur iformatique, o evisage d'itroduire de la redodace (*), c'està-dire d'équiper le serveur de plusieurs exemplaires d'u même composat. O étudie deux coguratios : (I) Redodace des alimetatios : O met 3 alimetatios de 300 watts chacue. (II) Redodace des disques durs : Le serveur est coguré e RAID5 (**), c'est-à-dire qu'il dispose de 4 disques durs et cotiue à foctioer avec u disque dur e pae. O suppose que la probabilité qu'ue alimetatio tombe e pae est p et celle d'u disque dur est q. O suppose que tous les composats sot idépedats. 1) Soit u serveur avec la coguratio (I) a) Combie d'alimetatios peuvet tomber e pae sas que le serveur e tombe e pae? b) Pour tout i {1, 2, 3}, o déit A i la variable aléatoire qui vaut 1 si la i-ème alimetatio tombe e pae, 0 sio. Quelle est la loi de A i?

c) O ote N A le ombre d'alimetatios e pae. Exprimer N A e foctio de A 1, A 2, A 3. Quelle est la loi de N a? d) O suppose qu'aucu composat diéret des alimetatios e peut tomber e pae. Justier que la probabilité de pae (otée P a (p)) est doée par P(N a 2) et motrer que P a (p) = p 2 (3 2p). 2) Soit u serveur e coguratio (II). a) Soit N D le ombre de disques durs e pae. Détermier la loi de N D (vous pourrez itroduire des variables aléatoires de Beroulli idépedates de paramètre q). b) O suppose qu'aucu composat diéret des disques durs e peut tomber e pae. Motrer que la probabilité que le serveur tombe e pae (otée P D (q)) vérie P D (q) = q 2 (3q 2 8q + 6). 3) O suppose p = q. E étudiat le sige de la foctio p P A (p) P D (p), décider quelle coguratio parmi (I) et (II) est la plus able. Traport d'iformatio : loi biomiale/loi de Poisso Soit N. O cosidère u système comportat trasmetteurs idépedats : I 1,..., I. O suppose que I 1 porte l'iformatio 0. Il commuique avec I 2 et lui doe l'iformatio qu'il porte (c'est-à-dire 0) avec probabilité p ]0, 1[ ou l'iformatio cotraire (c'est-à-dire 1) avec probabilité 1 p. Soit 2 k, chaque I k reçoit aisi ue iformatio de I k 1 et : 123 I 1 (avec proba p) 0 0 I 2 I 1 0 I 1 (avec proba 1 p) 1 Figure 7.1 Modèle de trasmissio trasmet cette iformatio à I k+1, avec probabilité p ou trasmet l'iformatio cotraire à I k+1, avec probabilité 1 p (o dira qu'il met). O récupère l'iformatio à la sortie de I. 1) O pose T := mi{k {1,..., }; I k met} et T = 0 si aucu trasmetteur e met. Quelles sot les valeurs prises par T? Détermier la loi de T.

124 CHAPITRE 7. SUJETS DES EXAMENS PASSÉS ET PROBLÈMES Les questios qui suivet sot idépedates de la questio 1. O s'itéresse maiteat à la probabilité que l'iformatio reçue coïcide avec l'iformatio de départ (c'est-à-dire 0). Première méthode 2) Soit u la probabilité que I délivre la boe iformatio. Eocer la formule des probabilités totales et prouver la relatio de récurrece suivate u = pu 1 + (1 p)(1 u 1 ). 3) Démotrer par récurrece que pour tout 1, u = 1+(2p 1) 2 et étudier la limite de cette suite lorsque. Deuxième méthode 4) Soit x, y R +. Rappeler la formule du biôme de Newto et à l'aide de celle-ci motrer que 1 2 ((x + y) + (y x) ) = [/2] k=0 ( ) x 2k y 2k 2k [/2] désige la partie etière du réel /2. 5) Pour tout i 1, o ote X i la variable aléatoire déie de la faço suivate. X i = 1 si I i met, X i = 0 sio. E justiat soigeusemet, doer la loi (avec ses paramètres) de la variable aléatoire S = i=1 X i. 6) Justier que la variable aléatoire S est le ombre de trasmetteurs meteurs et justier l'égalité des évéemets I doe 0 = S a ue valeur paire. 7) A l'aide de la questio 4, calculer la probabilité qu'ue variable aléatoire biomiale de paramètres, p ait ue valeur paire. E déduire la probabilité que I délivre la boe iformatio. Approximatio par ue loi de Poisso O suppose maiteat que la probabilité qu'u trasmetteur e mete pas est p = λ/, avec λ > 0. 8) Soit (S ) 1 ue suite de variables aléatoires de loi biomiale (, p ). Démotrer la propriété λ λk du cours suivate : pour tout k N, P(S = k). O rappelle que λ k k! k=0 = e λ. k! 9) Démotrer que e λ + e λ 2 = e k=0 λ 2k (2k)!. 10) Soit Z ue variable aléatoire de loi de Poisso de paramètre λ. O rappelle que cela sigie λ λk P(Z = k) = e. A l'aide de la questio précédete, motrer que P(Z est paire) = e 2λ +1. k! 2 11) Soit (a ) 1 la suite déie par a = P(I doe 0). Détermier sa limite lorsque ted vers l'ii. Etre le modèle où la probabilité de trasmissio est p et e déped pas de et ce modèle, quel est celui qui trasmet le bo message avec la plus grade probabilité lorsque ted vers l'ii?

QCM et loi hypergéométrique 0) Soiet X et Y deux variables aléatoires discrètes à valeurs das {0,..., m}. Rappeler la déitio de E[Y ]. Soit x {0,..., m}, o ote E (X=x) [Y ] l'espérace de Y par rapport à la probabilité coditioelle P (X=x) : c'est-à-dire m m E (X=x) [Y ] = yp (X=x) (Y = y), motrer que E[Y ] = E (X=x) [Y ]P(X = x). y=0 O fait passer u exame sous forme d'u QCM (questios à choix multiples). L'exame se compose de 20 questios tirées au hasard et sas remise parmi 100 questios possibles recouvrat le programme. A chaque questio est proposée 4 réposes possibles, seule ue répose est correcte. Si le cadidat choisit la boe répose il a u poit, sio 0 poit. O cosidère u cadidat ayat appris ue proportio p du programme (100p N). 1) O ote X le ombre de questios gurat parmi les 20 que le cadidat a révisées. Justier brièvemet que X suit ue loi hypergéométrique de paramètres (100, 20, p) ) P[X = x] = ( 100p x )( 100(1 p) 20 x ( 100 20 ). Rappeler la sigicatio du coeciet biomial ( k) et justier brièvemet la formule cidessus. Ces X questios rapportet X poits au cadidat. O suppose das la suite que X(Ω) = {0,..., 20}. 2) Etat doée ue questio o révisée, le cadidat choisit uiformémet au hasard ue répose parmi les 4 possibles. Quelle est la probabilité que le cadidat choisisse la boe répose? 3) Le ombre de questios o révisées par le cadidat est 20 X. O les umérote par {1, 2,..., 20 X}. A toute questio i {1, 2,..., 20 X}, o associe ue variable aléatoire X i suivat ue loi de Beroulli de paramètre 1/4 : X i = 1 si le cadidat répod bie à la questio i, X i = 0 sio. Les variables (X i, i 1) sot idépedates. O ote Y la somme des poits obteus e répodat aux questios o révisées. a) Exprimer Y, à l'aide d'ue somme, e foctio des X i et de X. b) Soit x {0,..., 20}, sachat X = x, justier que Y suit ue loi biomiale de paramètre (20 x, 1/4). c) Que vaut E (X=x) [Y ]? (o rappelle que l'espérace d'ue loi biomiale de paramètre (m, q) est mq). d) E utilisat la formule E[Y ] = 20 x=0 E (X=x)[Y ]P(X = x), motrer que E[Y ] = 5 5p. Idicatio : O rappelle que E[X] = 20p (vu e cours). 4) O ote N la ote du cadidat. Exprimer N e foctio de X et Y et détermier l'espérace de N e foctio de p. Pour quelle valeur de p a-t-o E[N] = 10? x=0 125

126 CHAPITRE 7. SUJETS DES EXAMENS PASSÉS ET PROBLÈMES 5) O détermie maiteat la loi de N = X + Y. Motrer les trois égalités P[N = ] = P[X = x, Y = x] = x=0 = P[X = x]p (X=x) [Y = x] x=0 x=0 ( 100p )( 100(1 p) x 20 x ( 100 ) 20 ) ( 20 x x ) ( 1 4 ) x ( ) 20 3. 4 6) (Questio bous) O suppose maiteat que l'o elève 1/3 de poit à chaque mauvaise répose et o ote N la ote obteue. Sas chercher la loi explicite de la ote, mais e itroduisat à la place des X i, la variable aléatoire X i preat comme valeur 1/3 avec probabilité 3/4 et 1 avec probabilité 1/4 démotrer que E[N ] = 20p. * la redodace cosiste à disposer plusieurs exemplaires d'u même équipemet ou d'u même processus ou de tout autre élémet participat à ue solutio électroique, mécaique ou idustrielle. Selo les circostaces elle est utile : 1. pour augmeter la capacité totale ou les performaces d'u système, 2. pour réduire le risque de pae, 3. pour combier ces deux eets. ** E iformatique, le mot RAID désige les techiques permettat de répartir des doées sur plusieurs disques durs a d'améliorer soit la tolérace aux paes, soit la sécurité, soit les performaces de l'esemble, ou ue répartitio de tout cela. La techologie RAID a été élaborée par u groupe de chercheurs de l'uiversité de Califorie à Berkeley e 1987. Ils étudièret la possibilité de faire recoaître deux disques durs ou plus comme ue seule etité par le système. Ils obtiret pour résultat u système de stockage aux performaces bie meilleures que celles des systèmes à disque dur uique, mais doté d'ue très mauvaise abilité. Les chercheurs s'orietèret alors vers des architectures redodates, a d'améliorer la tolérace aux paes du système de stockage. (Source Wikipedia) 7.1 Foctios additives et loi expoetielle Prélimiaire sur les foctios additives Cosidéros Φ ue foctio mootoe additive de R i.e. Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y) pour tous x, y R. a) Motrer que Φ(q) = qφ(1) pour tout q Q. b) Motrer que si Φ(1) = 0 alors Φ est idetiquemet ulle. c) Motrer que si Φ(1) 0 alors Φ(x) = Φ(1)x d) Soit Ψ ue foctio mootoe vériat Ψ(x + y) = Ψ(x)Ψ(y) pour tous x, y R. Démotrer qu'il existe a tel que Ψ(x) = e ax.

7.2. THÉORÈME DE WEIERSTRASS 127 l'objectif de cette partie est de caractériser la loi expoetielle par so absece de mémoire. Soit X ue variable aléatoire telle que : P X>s [X > t + s] = P[X > t] (7.1) e) Motrer que la loi expoetielle vérie (7.1). f) Motrer iversemet que si X vérie (7.1) alors X a ue loi expoetielle. 7.2 Théorème de Weierstrass Weierstrass a démotré que toute foctio cotiue sur le segmet [0, 1] est limite uiforme sur ce segmet d'ue suite de polyômes. Berstei a découvert ue ouvelle démostratio qui utilise les probabilités. O commece par des résultats basiques d'aalyse. Pour toute foctio cotiue f sur [0, 1], f := sup f(x). x [0,1] Soit f ue foctio cotiue sur [0, 1], o déit so module de cotiuité par m : δ sup{ f(u) f(v) ; u v δ}. 1) Motrer que f(x) f(y) 2 f pour tout x, y [0, 1]. 2) Motrer que si x y δ alors f(x) f(y) m(δ). Motrer que m(δ) δ 0 0. 3) Soit (b ) 0 ue suite réelle, rappeler la déitio avec les quaticateurs de b 0. Soit 1, o cosidère le polyôme B (x) = k=0 ( ) x k (1 x) k f k ( ) k. 4) Soiet X 1,..., X des variables aléatoires idépedates de carré itégrable et S = X i. Motrer que ( P S ) E[X] > t V(X) t. 2 E déduire la loi faible des grads ombres. 5) O pred maiteat des variables X i de Beroulli de paramètre x. Motrer que ( P S ) x > t 1 4t. 2 6) Motrer que [ E f i=1 ( )] S = B (x).

128 CHAPITRE 7. SUJETS DES EXAMENS PASSÉS ET PROBLÈMES 7) Motrer que e déduire l'iégalité [ f(x) B (x) = E f(x) f [ f(x) B (x) E f(x) f ( )] S, ( ) ] S. 8) Soit δ > 0, e cosidérat l'évéemet A = {x [0, 1]; x S [ E f(x) f 9 E utilisat la questio (4), déduire que [ E f(x) f 10) Motrer que ( ) ] S m(δ) + 2 f E[1 x S >δ ]. ( S ) ] m(δ) + f 2δ. 2 f B m(δ) + f 2δ. 2 Soit ɛ > 0. 11) Motrer qu'il existe δ ɛ tel que m(δ ɛ ) ɛ/2. 12) Détermier 0 tel que pour tout 0, f B ɛ. Coclure. 7.3 Marche aléatoire δ}, motrer que O se doe u espace probabilisé (Ω, F, P) sur lequel est déie ue suite (X, N ) de variables aléatoires idépedates idetiquemet distribuées. La loi de X 1 est doée par O déit P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1) = 1 2. S 0 = 0 et S = k=1 X k. La suite de variables aléatoires (S, 1) est appelée marche aléatoire symétrique. 2 S 2 +1 1 +1 S 4 1 1 S 1 S 3 S 5 0 1 2 3 4 5

7.3. MARCHE ALÉATOIRE 129 Plusieurs questios aturelles se poset, la marche aléatoire, retoure-t-elle à l'origie? Si oui, combie de temps met-o e moyee pour y reveir? L'objectif du problème est de répodre à ces deux questios. O déit mi{ 1; S = 0} si { 1; S = 0} T = + sio. La variable aléatoire T est le premier temps de retour à 0 de la marche aléatoire. Le problème cotiet trois parties. La troisième partie est puremet aalytique. N'hésitez pas à admettre des questios d'aalyse pour avacer.

130 CHAPITRE 7. SUJETS DES EXAMENS PASSÉS ET PROBLÈMES Etude du temps de retour à l'origie : 1) O cosidère les évéemet E = la marche aléatoire 'a pas touché 0 etre les temps 1 et et A k = La marche aléatoire visite 0 pour la derière fois avat l'istat, à l'istat k. Justier brièvemet les égalités 2) Motrer que E = (T > ) (T = + ) ( ) A k = (S k = 0) (S i 0) P(A k ) = P(S k = 0)P (Sk =0) i=k+1 ( i=k+1 (S i 0) O rappelle que la otatio P (Sk =0)(.) correspod à la probabilité coditioelle sachat S k = 0. 3) Soit k u etier xé, o déit S = S +k pour tout 0. E remarquat que (S, 0) sachat S 0 = 0 a même loi que (S, 0), motrer que 4) Justier que P( k=0 A k) = 1 et motrer que P(A k ) = P(S k = 0)P (E k ). P(S k = 0)P (E k ) = 1. k=0 5) Soit x [0, 1[. O cosidère les suites (a, 0) et (b, 0) déies par a = P[S = 0]x et b = P[E ]x. Justier que les séries de terme gééral (a, 0) et (b, 0) sot covergetes. E utilisat le produit de Cauchy (voir l'ecadré à la du sujet) motrer que ( + ) ( 1 1 x = ) P[S = 0]x P[E ]x. =0 6) Justier que P[S 2+1 = 0] = 0 pour tout. O déit ue suite de variables aléatoires idépedates (Y i, i 1) de la faço suivate : Y i = 1 si X i = 1 et 0 sio. Justier l'idetité des évéemets ) (S 2 = 0) = ( 2 i=1 =0 Y i = Quelles sot les lois respectives de Y i et 2 i=1 Y i? E déduire que ( 2 ) P[S 2 = 0] = 4.. ).

7.3. MARCHE ALÉATOIRE 131 7) E admettat 1 ( 2 ) 4 x2 = motrer que =0 P[E ]x = =0 1 1 x 2, 1 + x 1 x. 8) E remarquat que l'évéemet (T = + ) est iclus das E pour tout, motrer que pour tout x [0, 1[, P[T = + ]x P[E ]x et e déduire que Motrer que pour tout x [0, 1[ P[T = + ]x =0 P[T = + ] 1 x 2. E faisat tedre x vers 1, motrer par ecadremet que P[T = + ] = 0. P[E ]x. Qu'e déduisez vous pour la marche aléatoire, avec quelle probabilité retoure-t-elle à l'origie? Etude de l'espérace du temps de retour à l'origie : 9) Justier que P[T > ] = P[E ] et e déduire que pour tout x [0, 1[, 1 + x P[T > ]x = 1 x. Motrer que =0 P[T > ] =. 0 O rappelle que si 1 a x est ue série etière de rayo de covergece R alors lim x R 10) Justier que pour tout k N, a x = =1 a R R + {+ }. =1 P[T = k] = P[T > k 1] P[T > k]. E utilisat cette relatio, établir que pour tout etier aturel 2, 1 kp[t = k] = P[T > k] P[T > ]. k=0 1. O le démotre das la derière partie du sujet k=0 =0

132 CHAPITRE 7. SUJETS DES EXAMENS PASSÉS ET PROBLÈMES 11) O suppose que E[T ] < +. Motrer que P[T > ] = P[T = k] et k=+1 k=+1 P[T = k] k=+1 E déduire que P[T > ] ted vers 0 lorsque ted vers l'ii, et que E[T ] = P[T > k]. E particulier, si E[T ] < + alors k=0 k=0 P[T > k] <. 12) Motrer à l'aide de la questio précédete et de la questio 9 que E[T ] = +. kp[t = k]. La moyee du temps de retour à l'origie est doc iie. Cette propriété remarquable est liée au faite que si la marche aléatoire s'éloige beaucoup de 0, il lui faut beaucoup de temps pour y reveir. Développemet e série etière de φ : x 1 1 x. La foctio φ : x 1 1 x est de classe C sur [0, 1[. Par la formule de Taylor avec reste itégral à l'ordre, o a au poit x [0, 1[ : φ(x) = k=0 x k k! φ(k) (0) + x 0 (x t) φ (+1) (t)dt.! 13) O ote φ () la dérivée -ième de φ, motrer par récurrece que 14) Soit t [0, x], démotrer que (x t) φ (+1) (t) = ( + 1)! φ () (x) = (2)! 2+1 (1 4 x) 2.! ( 2+2 ) +1 4 +1 ( ) x t 1 t 1 (1 t) 3/2 15) O a 2 l'iégalité suivate : (2+2 +1 ) 1. E étudiat la foctio t x x t, motrer que 4 +1 1 t pour tout t [0, x], 0 x t x. Motrer à partir de ces iégalités que 1 t e déduire 0 x 0 (x t) φ (+1) (t)! (x t)! ( + 1)x (1 x) 3/2, φ (+1) (t)dt + 0. 16) Etablir l'égalité préalablemet admise 1 = 1 x 2 =1 ( 2 ) 4 x2. 2. ( 2+2 +1 ) 4 +1 = P[S 2+2 = 0] 1

7.3. MARCHE ALÉATOIRE 133 Rappel sur le produit de Cauchy : si (a, 1) et (b, 1) sot deux suites positives et formet les termes gééraux de séries covergetes, alors la série de terme gééral coverge et sa somme vaut c = a k b k k=0 ( ) ( ) c = a b. =0 =0 =0 Figure 7.2 Réalisatio d'ue marche aléatoire symétrique, =100 et =1000 Les marches aléatoires jouet u rôle importat e théorie des probabilités. L'échelle de temps das la simulatio à droite est dix fois plus petite que celle de gauche. Cette courbe approche ue foctio aléatoire célèbre : le mouvemet Browie. Cette foctio aléatoire est avec probabilité 1, cotiue, o-dérivable, o mootoe par morceaux. Ces foctios très irrégulières sot typiques e théorie des probabilités (plus précisémet e théorie des processus stochastiques.) Il 'est pas facile de costruire des foctios détermiistes avec de telles propriétés. Le mouvemet Browie est eseigé e M2. Il est impliqué das de ombreux modèles probabilistes pour la physique, la biologie ou la ace.

134 CHAPITRE 7. SUJETS DES EXAMENS PASSÉS ET PROBLÈMES

Chapitre 8 Problèmes d'aalyse pour les probabilités Itégrale de Gauss Soit 1) Motrer que f est itégrable sur R. 2) Soit Motrer que 3) Soit f : x R e x2 /2. G := 0 f(x)dx. f(x)dx = 2G. H := e (x2 +y2) dxdy. R + R + Motrer que H = G 2. 4) Rappeler brièvemet la déitio des coordoées polaires. E passat aux coordoées polaires, motrer que H = rdrdθ. E déduire la valeur de H puis de G. R + [0, π 2 ] e r2 Itégrales de Wallis et la formule de Stirlig La formule de Stirlig est l'équivalet suivat : ( )! 2π. e A de l'établir, o itroduit les itégrales de Wallis : pour N, I = π/2 0 135 si (t)dt.

136 CHAPITRE 8. PROBLÈMES D'ANALYSE POUR LES PROBABILITÉS 1) Motrer que (I ) N est décroissate et covergete. 2) Motrer que pour tout N tel que 2, 3) Calculer I 2 et I 2+1. 4) Démotrer que I 2 I 2+1 1. 5) E déduire que I = 1 2 I 2. [ 1.3.5...(2 1) 2.4.6...2 6) E remarquat que 2.4.6...2 = 2!, motrer que (2)! 2 2 (!) 2 ] 2 1 π, 7) Soit f ue foctio C 2 ([0, 1], R). Motrer qu'il existe ξ [0, 1] tel que : 1 0 1 π. f(x)dx = 1 2 (f(0) + f(1)) 1 12 f (ξ). Idicatio : itroduire φ(x) = 1 2 x(1 x), e particulier remarquer que 1 0 f(x)dx = 1 0 φ (x)f(x). 8) E appliquat la formule précédete, motrer que pour 1 k 1 : avec k ξ k k + 1. 9) Motrer que 10) E déduire que k+1 k 1 l(x)dx = 1 2 (l(k) + l(k + 1)) + 1 12 ξ 2 k l(x)dx = l(!) = l(k) 1 2 l() + 1 12 k=1 ( + 1 ) l() + 1 1 2 12 1. ξ 2 k=1 k 1. ξ 2 k=1 k 11) O pose γ = 1 1 1 12 k=1, justier que γ ξk 2 est ue suite covergete et que! = + 1 2 e e γ. 12) O pose c = e γ, o cherche la limite c de cette suite. Motrer e calculat c2 c 2 c = lim 2 2 2 (!) 2 (2)! 13) E utilisat la questio 6) motrer que c = 2π, e déduire la formule de Stirlig. que

137 Pour Z de loi N(0, 1), Φ(t) = F Z (t) = P (Z t) = t e x2 2 dx 2π t 0, 00 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 0, 06 0, 07 0, 08 0, 09 0, 0 0, 5000 0, 5040 0, 5080 0, 5120 0, 5160 0, 5199 0, 5239 0, 5279 0, 5319 0, 5359 0, 1 0, 5398 0, 5438 0, 5478 0, 5517 0, 5557 0, 5596 0, 5636 0, 5675 0, 5714 0, 5753 0, 2 0, 5793 0, 5832 0, 5871 0, 5910 0, 5948 0, 5987 0, 6026 0, 6064 0, 6103 0, 6141 0, 3 0, 6179 0, 6217 0, 6255 0, 6293 0, 6331 0, 6368 0, 6406 0, 6443 0, 6480 0, 6517 0, 4 0, 6554 0, 6591 0, 6628 0, 6664 0, 6700 0, 6736 0, 6772 0, 6808 0, 6844 0, 6879 0, 5 0, 6915 0, 6950 0, 6985 0, 7019 0, 7054 0, 7088 0, 7123 0, 7157 0, 7190 0, 7224 0, 6 0, 7257 0, 7291 0, 7324 0, 7357 0, 7389 0, 7422 0, 7454 0, 7486 0, 7517 0, 7549 0, 7 0, 7580 0, 7611 0, 7642 0, 7673 0, 7704 0, 7734 0, 7764 0, 7794 0, 7823 0, 7852 0, 8 0, 7881 0, 7910 0, 7939 0, 7967 0, 7995 0, 8023 0, 8051 0, 8078 0, 8106 0, 8133 0, 9 0, 8159 0, 8186 0, 8212 0, 8238 0, 8264 0, 8289 0, 8315 0, 8340 0, 8365 0, 8389 1, 0 0, 8413 0, 8438 0, 8461 0, 8485 0, 8508 0, 8531 0, 8554 0, 8577 0, 8599 0, 8621 1, 1 0, 8643 0, 8665 0, 8686 0, 8708 0, 8729 0, 8749 0, 8770 0, 8790 0, 8810 0, 8830 1, 2 0, 8849 0, 8869 0, 8888 0, 8907 0, 8925 0, 8944 0, 8962 0, 8980 0, 8997 0, 9015 1, 3 0, 9032 0, 9049 0, 9066 0, 9082 0, 9099 0, 9115 0, 9131 0, 9147 0, 9162 0, 9177 1, 4 0, 9192 0, 9207 0, 9222 0, 9236 0, 9251 0, 9265 0, 9279 0, 9292 0, 9306 0, 9319 1, 5 0, 9332 0, 9345 0, 9357 0, 9370 0, 9382 0, 9394 0, 9406 0, 9418 0, 9429 0, 9441 1, 6 0, 9452 0, 9463 0, 9474 0, 9484 0, 9495 0, 9505 0, 9515 0, 9525 0, 9535 0, 9545 1, 7 0, 9554 0, 9564 0, 9573 0, 9582 0, 9591 0, 9599 0, 9608 0, 9616 0, 9625 0, 9633 1, 8 0, 9641 0, 9649 0, 9656 0, 9664 0, 9671 0, 9678 0, 9686 0, 9693 0, 9699 0, 9706 1, 9 0, 9713 0, 9719 0, 9726 0, 9732 0, 9738 0, 9744 0, 9750 0, 9756 0, 9761 0, 9767 2, 0 0, 9772 0, 9778 0, 9783 0, 9788 0, 9793 0, 9798 0, 9803 0, 9808 0, 9812 0, 9817 2, 1 0, 9821 0, 9826 0, 9830 0, 9834 0, 9838 0, 9842 0, 9846 0, 9850 0, 9854 0, 9857 2, 2 0, 9861 0, 9864 0, 9868 0, 9871 0, 9875 0, 9878 0, 9881 0, 9884 0, 9887 0, 9890 2, 3 0, 9893 0, 9896 0, 9898 0, 9901 0, 9904 0, 9906 0, 9909 0, 9911 0, 9913 0, 9916 2, 4 0, 9918 0, 9920 0, 9922 0, 9925 0, 9927 0, 9929 0, 9931 0, 9932 0, 9934 0, 9936 2, 5 0, 9938 0, 9940 0, 9941 0, 9943 0, 9945 0, 9946 0, 9948 0, 9949 0, 9951 0, 9952 2, 6 0, 9953 0, 9955 0, 9956 0, 9957 0, 9959 0, 9960 0, 9961 0, 9962 0, 9963 0, 9964 2, 7 0, 9965 0, 9966 0, 9967 0, 9968 0, 9969 0, 9970 0, 9971 0, 9972 0, 9973 0, 9974 2, 8 0, 9974 0, 9975 0, 9976 0, 9977 0, 9977 0, 9978 0, 9979 0, 9979 0, 9980 0, 9981 2, 9 0, 9981 0, 9982 0, 9982 0, 9983 0, 9984 0, 9984 0, 9985 0, 9985 0, 9986 0, 9986 3, 0 0, 9987 0, 9987 0, 9987 0, 9988 0, 9988 0, 9989 0, 9989 0, 9989 0, 9990 0, 9990 3, 1 0, 9990 0, 9991 0, 9991 0, 9991 0, 9992 0, 9992 0, 9992 0, 9992 0, 9993 0, 9993 3, 2 0, 9993 0, 9993 0, 9994 0, 9994 0, 9994 0, 9994 0, 9994 0, 9995 0, 9995 0, 9995 3, 3 0, 9995 0, 9995 0, 9995 0, 9996 0, 9996 0, 9996 0, 9996 0, 9996 0, 9996 0, 9997 3, 4 0, 9997 0, 9997 0, 9997 0, 9997 0, 9997 0, 9997 0, 9997 0, 9997 0, 9997 0, 9998 3, 5 0, 9998 0, 9998 0, 9998 0, 9998 0, 9998 0, 9998 0, 9998 0, 9998 0, 9998 0, 9998 3, 6 0, 9998 0, 9998 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 3, 7 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 3, 8 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 0, 9999 3, 9 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1, 0000 Exemples : Φ(0, 25) 0, 5987, Φ( 0, 32) = 1 Φ(0, 32) 1 0, 6255 = 0, 3745