Cours de calcul stochastique Master M2 IRFA

1 Cours de calcul stochastique Master M2 IRFA Christophe Chorro Septembre 26 $!!!$!!&!!(!!*!!#!!!#$!!#&!!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! #"# Les évetuelles fautes d orthographe, coquilles ou erreurs sot de mo etière resposabilité, merci de me les sigaler. Vous pouvez me cotacter à l adresse christophe.chorro@gmail.com pour toute remarque sur le coteu et l orgaisatio de ce cours.

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Table des matières.1 Gééralités.............................. 7.1.1 Défiitio........................... 7.2 Notio d idépedace........................ 8.2.1 Evéemets.......................... 8.2.2 Tribu.............................. 9.2.3 Variables aléatoires...................... 9.2.4 Covergece des variables aléatoires............. 1.3 Vecteurs gaussies.......................... 13.4 Notio d espérace coditioelle.................. 15.4.1 Coditioemet par rapport à u évéemet....... 15.4.2 Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire discrète 15.4.3 Coditioemet par rapport à ue tribu.......... 15.4.4 Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire.. 16.4.5 Loi coditioelle....................... 16.4.6 Propriétés de l espérace coditioelle........... 17.4.7 Espérace coditioelle et vecteurs gaussies....... 19.5 Processus stochastiques........................ 19.5.1 Gééralités.......................... 19.5.2 Filtratios, processus adaptés................ 21.5.3 Processus gaussies...................... 24.5.4 Martigales e temps cotiu................ 24.6 Théorème de Rado Nikodym.................... 27 Bibliographie................................ 29 1 Le mouvemet Browie 31 1.1 U peu d histoire........................... 31 1.2 Défiitio, existece, simulatio................... 33 1.2.1 Défiitio........................... 33 1.2.2 Existece, costructio, simulatio............. 35 1.3 Propriétes............................... 38 1.3.1 Propriétés de martigale................... 39 1.3.2 Trasformatios........................ 39 1.3.3 Propriétés trajectorielles................... 4 3

4 TABLE DES MATIÈRES 1.3.4 Variatio et variatio quadratique.............. 41 1.3.5 Caractère Markovie..................... 43 1.3.6 Le mouvemet browie géométrique............ 43 1.3.7 Itégrale de Wieer...................... 44 1.3.8 Formule d Itô pour le M.B.................. 49 1.3.9 Applicatios de l itégrale de Wieer............ 51 2 L itégrale stochastique, les processus d Itô. 59 2.1 Itégrale stochastique sur E([, T ] Ω)............... 59 2.1.1 Défiitio........................... 59 2.1.2 Propriétés........................... 6 2.2 Extesio à L 2 prog(ω [, T ])..................... 62 2.3 Processus d Itô............................ 64 2.4 Calcul d Itô étedu.......................... 65 2.5 Equatios différetielles stochastiques (EDS)............ 67 2.5.1 Le cas du Browie géométrique............... 67 2.5.2 Le cas gééral......................... 69 2.5.3 Propriété de Markov des solutios.............. 71 2.5.4 Commet simuler ue EDS (u premier pas)........ 72 3 Deux résultats importats 77 3.1 Théorème de Girsaov........................ 77 3.2 Théorème de représetatio des martigales Browiees..... 79 4 Applicatios à la fiace (cadre gééral) 85 4.1 Petite itroductio.......................... 85 4.1.1 U peu d histoire....................... 85 4.1.2 De l itégrale stochastique?................. 86 4.1.3 Le calcul stochastique : ue ouvelle mai ivisible?... 87 4.2 Modélisatio d u marché fiacier e temps cotiu....... 88 4.2.1 Les actifs présets sur le marché............... 88 4.2.2 Stratégies fiacières..................... 88 4.2.3 Autofiacemet....................... 89 4.2.4 Arbitrages........................... 9 4.2.5 Mesures martigales équivaletes (MME).......... 91 4.2.6 Les actifs cotigets..................... 91 4.3 Pla d attaque et objectifs...................... 92 5 Modèle de Black et Scholes 97 5.1 Le modèle............................... 97 5.1.1 Dyamique de l actif risqué................. 97 5.1.2 Existece d ue MME.................... 98

TABLE DES MATIÈRES 5 5.2 Les stratégies fiacières P admissibles.............. 99 5.2.1 Défiitio........................... 99 5.2.2 P -complétude du marché.................. 99 5.2.3 A.O.A parmi les stratégies P admissibles......... 11 5.3 Uicité de la probabilité risque eutre................ 11 5.4 Proposer u prix, se couvrir..................... 11 5.5 Evaluatio et couverture das le cas où h = f(s T )......... 12 5.6 Formule de Black et Scholes..................... 14 5.7 Les Grecques............................. 16 5.7.1 Défiitio........................... 16 5.7.2 Cas où le payoff est le la forme h = f(s T )......... 17 5.7.3 Itérêt pratique du et du Γ................ 19 5.8 Black et Scholes e pratique..................... 19 5.8.1 Spécificatio de σ....................... 19 5.8.2 Prix et couverture...................... 111 5.8.3 Calcul du prix, du et du Γ................ 111 5.9 Spledeurs et misères du modèle de Black et Scholes....... 114 5.9.1 Avatages........................... 115 5.9.2 Limites............................. 116

6 TABLE DES MATIÈRES

Rappels de probabilités Ce chapitre e costitue pas u cours élémetaire de probabilité mais cherche à regrouper modestemet certaies otios essetielles qui ous serot idispesables pour la suite. Nous revoyos, par exemple, le lecteur à [1] et [2] pour u exposé bie plus complet. d N, o ote B(R d ) la tribu boréliee sur R d, <, > le produit scalaire aturel sur R d et dx la mesure de Lebesgue sur R d..1 Gééralités.1.1 Défiitio Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité. Défiitio.1.1 Ue variable aléatoire est ue applicatio X : (Ω, A, P ) R d vérifiat E B(R d ), X 1 (E) A. Remarque.1.1 a) Il existe ue tribu aturelle sur Ω redat X mesurable. Cette tribu est otée σ(x) = {X 1 (E); E B(R d )} et est miimale au ses de l iclusio. O peut motrer (exercice) que toute variable aléatoire σ(x) mesurable est de la forme h(x) où h est boréliee. b) La otio de mesurabilité est stable par les opératios élémetaires et par passage à la limite. Lorsque Ω est u espace topologique équipé de sa tribu boréliee, la cotiuité implique la mesurabilité. Défiitio.1.2 Pour A Ω, o ote 1 A la foctio vérifiat 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = si x A c. Si A A, 1 A est mesurable et das ce cas σ(a) = {Ω,, A, A c }. Ue variable aléatoire peut trasporter la structure probabiliste : Propositio.1.1 Si X : (Ω, A, P ) R d est ue variable aléatoire, l applicatio P X : B(R d ) R + défiie, E B(R d ), par P X (E) = P (X 1 (E)) est ue probabilité sur (R d, B(R d )) appelée la loi de X. 7

8 TABLE DES MATIÈRES Défiitio.1.3 O dit qu ue variable aléatoire possède u momet d ordre p N ssi la quatité E[ X p ] = x p dp X (x) R d est fiie. Pour p N, o ote L p = {X; E[ X p ] < } et si X L p, X p = E[ X p ] 1 p. Notos que (L p, X p ) est complet (car toute série absolumet covergete est covergete). Exemple.1.1 Lorsque d = 1, o dit qu ue variable aléatoire suit ue loi ormale de moyee m et de variace σ 2 (otée N (m, σ 2 )) si P X est absolumet cotiue par rapport à dx et si dp X (x) = 1 e (x m)2 2σ 2 dx. 2πσ 2 Das ce cas, X possède des momets de tout ordre, e particulier, E[X] = m et V ar(x) = E[(X E[X]) 2 ] = σ 2. Exercice.1.1 Soit X ue variable aléatoire suivat ue N (, σ 2 ). Motrer que k N, E[X 2k ] = (2k)! 2 k k! σ2k. O a le théorème de caractérisatio suivat : Théorème.1.1 a) La foctio caractéristique Φ X : t R d E[e i<t,x> ] C caractérise la loi de X. b) Si d = 1, la loi de X est caractérisée par la foctio de répartitio F X : t R P (X t) R +. Exemple.1.2 Si X suit ue N (m, σ 2 ), alors Φ X (t) = e itm e σ2 t 2 2..2 Notio d idépedace.2.1 Evéemets Défiitio.2.1 Deux évéemets A et B (das A) sot dits idépedats si P (A B) = P (A)P (B). O ote alors A B (cette otatio géérique sera utilisée égalemet pour les tribus et les variables aléatoires). Défiitio.2.2 Des évéemets (A i ) 1 i sot idépedats si P ( i I A i ) = P (A i ), I {1,..., }. i I

.2. NOTION D INDÉPENDANCE 9 Remarque.2.1 Attetio, des évéemets 2 à 2 idépedats e sot pas forcémet idépedats. E effet si o jette deux pièces équilibrées o peut motrer que le évéemets A= la première pièce tombe sur pile B= la deuxième pièce tombe sur face C= les deux pièces tombet du même coté sot idépedats 2 à 2 mais o idépedats..2.2 Tribu Défiitio.2.3 Des sous tribus (A i ) 1 i de A, sot idépedates si P ( 1 i A i ) = P (A i ), A i A i. 1 i.2.3 Variables aléatoires Défiitio.2.4 Les variables aléatoires (X i ) 1 i sot idépedates si les tribus associées (σ(x i )) 1 i sot idépedates. O a alors le théorème de caractérisatio suivat, éocé pour simplifier les choses das le cas d = 1. Théorème.2.1 Les propositios suivates sot équivaletes : a) X 1 X 2 b) P (X1,X 2 ) = P X1 P X2 c) f, g C b (R, R), E[f(X 1 )g(x 2 )] = E[f(X 1 )]E[g(X 2 )] d) Φ (X1,X 2 ) = Φ X1 Φ X2 Propositio.2.1 Si X 1 et X 2 sot deux variables aléatoires réelles idépedates alors V ar(x 1 +X 2 ) = V ar(x 1 )+V ar(x 2 ) et E[X 1 X 2 ] = E[X 1 ]E[X 2 ]. La derière relatio sigifie que deux variables idépedates sot décoréllées, la réciproque est cepedat fausse e gééral ( predre X 1 = X, X 2 = X 2 avec X symétrique). Le lecteur pourra se reporter au paragraphe sur les vecteurs gaussies pour plus de détails. Propositio.2.2 Si X 1 et X 2 sot deux variables aléatoires dot la loi cojoite possède ue desité, alors, X 1 et X 2 sot idépedates ssi la desité de la loi cojoite est égale au produit des desités margiales. Exercice.2.1 (Méthode de Box-Muller) O cosidère deux variables aléatoires U 1 et U 2 idépedates suivat ue loi uiforme sur [, 1]. Motrer que les variables G 1 = 2log(U 1 )cos(2πu 2 ) et G 2 = 2log(U 1 )si(2πu 2 )

1 TABLE DES MATIÈRES sot deux N (, 1) idépedates. Correctio de l exercice : Soit Φ : (x, y) ], 1[ 2 (u = 2log(x)cos(2πy), v = 2log(x)si(2πy)) R 2 (R + {}). O motre que Φ est u C 1 -difféomorphisme et so détermiat jacobie vérifie 2π e u 2 +v 2 J(Φ)(x, y) = 2π. Or x u2 +v 2 = 2log(x) aisi J(Φ 1 )(u, v) = 1 2. D après la formule de chagemet de variables, pour F C b (R 2, R 2 ), F (Φ(x, y))dxdy = F (u, v) 1 u 2 +v 2 ],1[ 2 R 2 (R + {}) 2π e 2 dudv. Simulatio.2.4 Covergece des variables aléatoires Modes et critères de covergece Pour simplifier les choses o se place das le cas d = 1. Lemme.2.1 (Borel-Catelli) Soit (A ) N ue suite d élémets de A. a) Si + P (A ) <, alors =1 P ({ω Ω; ω A pour ue ifiité de }) =. b) Si les A sot idépedats avec + P (A ) = +, alors, =1 P ({ω Ω; ω A pour ue ifiité de }) = 1. Défiitio.2.5 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires coverge presque sûremet vers X (X p.s X) si P ({w ω; X (ω) X(ω)}) = 1 Propositio.2.3 E utilisat B.C, o motre que X p.s X si ε >, + =1 P ( X X > ε) <.

.2. NOTION D INDÉPENDANCE 11 Lemme.2.2 Iégalités classiques : a) (Tchebychev) Si X L p, λ >, P ( X > λ) 1 λ p E[ X p ]. b) (Holder) Si X L p, Y L q avec 1 + 1 p q ab ap + bq...), p q = 1, alors (par cocavité du log E[ XY ] X p Y q. Coséquece, les espaces L p sot emboîtés. c) (Mikowsky) Si X L p, Y L p (par covexité de x p + ruse...) X + Y p X p Y p. Défiitio.2.6 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires das L p coverge vers X das L p (X X) si L p X X p. Défiitio.2.7 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires coverge vers X e probabilité (X p X) si ε > P ( X X > ε). Défiitio.2.8 O dit qu ue suite (X ) de variables aléatoires coverge vers X e loi (X X) si f C b (R, R), L E[f(X ] E[f(X)]. Propositio.2.4 Les propositios suivates sot équivaletes. a) X L X b) F X coverge simplemet vers F X e tout poit où F X est cotiue (d = 1) c) Φ X coverge simplemet vers Φ X Exercice.2.2 Soit (G ) ue suite de variables aléatoires gaussiees qui coverge vers G das L 2. Motrer que G est gaussiee.

12 TABLE DES MATIÈRES Comparaiso des modes de covergece Propositio.2.5 a) X X X p.s p b) X X X X L 1 p c) X X X X p L d) Si q p, X L q X X L p X X Preuve a) Se déduit de la propositio.2.3. b) Se déduit de l iégalité de Tchebychev. c) Soit f C b (R, R) et ε >, E[f(X )] E[f(X)] E[ f(x ) f(x) 1 X X >ε]+e[ f(x ) f(x) 1 X X ε]. Or E[ f(x ) f(x) 1 X X >ε] cstep ( X X > ε). Soit g C K (R, R) telle que f g ε, E[ f(x ) f(x) 1 X X ε] 2ε + E[ g(x ) g(x) 1 X X ε]. La foctio g état uiformémet cotiue, η > tel que aisi, x y η g(x) g(y) ε, E[ g(x ) g(x) 1 X X ε] ε + cstep ( X X η) avec P ( X X η). d) Se déduit de l iégalité de Holder. Remarque.2.2 a) Toutes les autres implicatios sot fausses e gééral. b) Seule la covergece p.s autorise l habituelle stabilité algébrique des covergeces. Aisi, le seul moye de e pas se tromper est de reveir aux défiitios. (cotre-exemple X = X où X est symétrique X coverge e loi vers X et X X coverge e loi vers 2X). Les résultats suivats sot des réciproques partielles de la propositio.2.5. Défiitio.2.9 Ue famille {X i ; i I} de variables aléatoires das L 1 est dite uiformémet itégrable (U.I) si supe[ X i 1 Xi >]. i I

.3. VECTEURS GAUSSIENS 13 Exemple.2.1 a) Si I est fii alors {X i ; i I} est U.I. b) Si Y L 1 telle que i I X i Y, {X i ; i I} est U.I. Théorème.2.2 Si X p X et si la suite (X ) est U.I, alors, X L 1 et X L 1 X. Le résultat suivat est ue coséquece immédiate du critère.2.3. Théorème.2.3 Si X p X. X, alors il existe ue extractio φ telle que X φ() p.s Théorème.2.4 Si X L c, où c est ue costate alors X p c. Deux résultats importats Théorème.2.5 (LFGN) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires i.i.d. a) O suppose X L 1. E otat S = X 1 +... + X, o a S E[X 1 ]. p.s et L 1 b) Si E[ X 1 ] = + la suite S diverge presque sûremet. Théorème.2.6 (TCL) Soit (X ) ue suite de variables aléatoires i.i.d. O suppose X L 2 et l o ote m = E[X] et σ 2 = V ar(x). E posat S = X 1 +... + X, o a S m σ L N (, 1). Simulatio.3 Vecteurs gaussies Les variables aléatoires réelles gaussiees (N (m, σ 2 )) ot été itroduites das l exemple.1.1. E dimesio supérieure, la gééralisatio de cette otio coduit au cocept de vecteurs gaussies. Défiitio.3.1 Soit X = (X 1,..., X ) u vecteur aléatoire de R. O dit que X est u vecteur gaussie, si pour tout élémet x = (x 1,..., x ) de R, la variable aléatoire réelle < x, X > est ue variable gaussiee.

14 TABLE DES MATIÈRES Exemple.3.1 Si (X 1,..., X ) sot des variables aléatoires gaussiees idépedates, alors, X = (X 1,..., X ) est u vecteur gaussie. Comme e dimesio 1, la loi d u vecteur gaussie est caractérisée par deux paramètres : Propositio.3.1 Si X est u vecteur gaussie de R alors, x R, Φ X (x) = e i<x,m> e xt Σx 2 où et m = (E[X 1 ],..., E[X ]) Σ = [cov(x i, X j )] 1 i,j. Das ce cas o dira que X suit ue N (m, Σ). Corollaire.3.1 (cf. prop.2.1 ) Si X = (X 1, X 2 ) est u vecteur gaussie de R 2 alors X 1 X 2 cov(x 1, X 2 ) =. Exercice.3.1 Soit (Z, X 1,..., X ) u vecteur gaussie tel que 1 i, Z X i. Motrer que Z (X 1,..., X ). Exercice.3.2 Soiet G = (G 1,..., G ) u -échatillo de la loi N (, 1), m R et A ue matrice carré de taille. Motrer que m + AG suit ue N (m, AA t ). Proposer esuite u algorithme de simulatio d u vecteur gaussie quelcoque (cf. exercice.2.1). Propositio.3.2 Si X suit ue N (m, Σ) et si Σ est iversible, alors, X est absolumet cotiue par rapport à la mesure de Lebesgue sur R de desité 1 e 1 (2π) 2 (det(σ)) 1 2 (x m)t Σ 1 (x m). 2 Si Σ est pas iversible, la loi de X est portée par u hyperpla et est doc étragère à la mesure de Lebesgue.

.4. NOTION D ESPÉRANCE CONDITIONNELLE 15.4 Notio d espérace coditioelle.4.1 Coditioemet par rapport à u évéemet Soiet A et B das A avec P (B) >. O défiit De même si X L 1, o défiit P (A B) =: P (A B). P (B) E[X B] =: E[X1 B]. P [B].4.2 Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire discrète Soit Y ue variable aléatoire discrète (de support D au plus déombrable). O suppose que y D, P (Y = y) >. Soit A das A, o défiit P (A Y ) =: φ(y ) où y D, φ(y) = P (A {Y = y}). De même si X L 1, o défiit E[X Y ] =: ψ(y ) où y D, ψ(y) = E[X Y = y]. Il est importat de oter que P (A Y ) et E[X Y ] sot des variables aléatoires. Remarque.4.1 : O voit immédiatemet que la défiitio ci-dessus est propre au cas discret, e effet, lorsque Y est ue variable aléatoire de loi absolumet cotiue par rapport à la mesure de Lebesgue P (Y = y) =. Il vaut mieux alors gééraliser, la otio de coditioemet par rapport à u évéemet au cas des tribus..4.3 Coditioemet par rapport à ue tribu Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité, X ue variable aléatoire das L 1 et G ue sous tribu de A. Défiitio.4.1 (Théorème) Il existe ue variable aléatoire Z L 1 telle que i) Z est G-mesurable ii) E[XU] = E[ZU] U G-mesurable et borée. Z est otée E[X G] et est appelée l espérace coditioelle de X sachat G. De plus, Z est uique au ses où si Z vérifie égalemet i) et ii) alors Z = Z P p.s.

16 TABLE DES MATIÈRES Remarque.4.2 : Le résultat d existece précédet est basé sur le puissat théorème de Rado-Nikodym (paragraphe.6). Das le cas où X L 2, l existece de Z peut se démotrer simplemet à l aide de techiques hilbertiees. E effet, e cosidérat la projectio orthogoale Π de L 2 ((Ω, A, P )) sur le covexe fermé L 2 ((Ω, G, P )) o motre facilemet que Π(X) = E[X G]. E[X G] est doc la variable aléatoire G-mesurable la plus proche de X..4.4 Coditioemet par rapport à ue variable aléatoire Soit Y ue variable aléatoire. Défiitio.4.2 Si X L 1 o défiit E[X Y ] par E[X σ(y )]. Aisi d après la remarque.1.1, E[X Y ] est de la forme ψ(y ) où ψ est boréliee. O motre de plus que cette défiitio coïcide avec celle proposée das le paragraphe.4.2 pour le cas discret. Remarque.4.3 Toujours d après la remarque.1.1, la défiitio précédete pred la forme suivate : i) E[X Y ] est σ(y )-mesurable ii) E[Xg(Y )] = E[E[X Y ]g(y )] g boréliee et borée..4.5 Loi coditioelle O cosidère u couple (X, Y ) de variables aléatoires réelles das L 1. O suppose que la loi du couple possède ue desité f (X,Y ) par rapport à la mesure de Lebesgue sur R 2. Les desités margiales de X et Y sot doées par f X (x) = f (X,Y ) (x, y)dy et f Y (y) = f (X,Y ) (x, y)dx. R Lorsque X Y, o a f (X,Y ) = f X f Y. Si l hypothèse d idépedace est relaxée o a la formule de désitégratio suivate : f (X,Y ) (x, y) = f X Y (x, y)f Y (y) où f X Y (x, y) = f (X,Y )(x, y) f Y (y) si f Y (y) et f X Y (x, y) = sio. La foctio f X Y est alors appelée desité coditioelle de X sachat Y. O peut voir, e effet, que si φ vérifie φ(x) L 1, E[φ(X) Y ] = Φ(Y ) avec Φ(y) = φ(x)f X Y (x, y)dx. R R

.4. NOTION D ESPÉRANCE CONDITIONNELLE 17.4.6 Propriétés de l espérace coditioelle Propriétés aalogues à l espérace Propositio.4.1 Soiet X et Y deux variables aléatoires itégrables et G ue sous tribu de A. a) (positivité) Si X P -p.s, E[X G] P -p.s. b) (liéarité) Si (α, β) R 2, E[αX + βy G] = αe[x G] + βe[y G] P -p.s. c) (croissace) Si X Y P -p.s, E[X G] E[Y G] P -p.s. (Cosidérer {E[Y G] E[X G] ε}.) d) (Beppo-lévy) Si X est ue suite de variables aléatoires das L 1 positives avec X X P -p.s, alors E[X G] E[X G] P -p.s. e) (Fatou) Si X est ue suite de variables aléatoires das L 1 positives, alors E[lim if X G] lim ife[x G] P -p.s. f) (Covergece domiée) Si X est ue suite de variables aléatoires das L 1 telle que X X et N, X Y, alors, E[X G] E[X G]. p.s p.s et L 1 g) (Jese) Si ψ : R R est covexe positive, alors, lorsque ψ(x) L 1, ψ(e[x G]) E[ψ(X) G] P -p.s. Remarque.4.4 O déduit de g) que l espérace coditioelle est u opérateur cotractat sur les espaces L p Propriétés spécifiques à l espérace coditioelle Propositio.4.2 Soiet X et Y deux variables aléatoires itégrables et G ue sous tribu de A. a) E[E[X G]] = E[X] b) Si X est G-mesurable, E[X G] = X P -p.s. c) Si Y est G-mesurable borée, E[XY G] = Y E[X G] P -p.s. d) Si σ(x) G, E[X G] = E[X] P -p.s.

18 TABLE DES MATIÈRES e) Si G est ue sous tribu de A telle que G G, alors, E[E[X G] G ] = E[X G ] P -p.s. f) Si (G i ) i I est ue famille de sous tribus de A, la famille (E[X G i ]) i I est U.I. Preuve : O se cotete de f), les autres assertios état laissées e exercice. D après l iégalité de Jese pour l espérace coditioelle, E[ E[X G i ] 1 E[X Gi ] >] E[E[ X G i ]1 E[X Gi ] >] = E[ X 1 E[X Gi ] >]. Or, d après l iégalité de Tchebychev, P ( E[X G i ] > ) E[ E[X G i] ] O coclut e utilisat le lemme suivat : E[E[ X G i]] = E[ X ]. Lemme.4.1 Si X L 1, ε >, δ >, P (A) < δ E[ X 1 A ] < ε. Les propriétés ci-dessus sot souvet essetielles et suffisates pour le calcul d espéraces coditioelles. Le recours à la défiitio est utile que pour les cas les plus délicats, par exemple, la propositio ci-dessous. Le résultat suivat sera utile das otre étude du modèle de Black-Scholes et plus gééralemet pour démotrer le caractère Markovie de certais processus. Propositio.4.3 Si σ(x) G et si Y est G-mesurable, alors, pour toute foctio boréliee Φ : R 2 R telle que E[ Φ(X, Y ) ] <, o a E[Φ(X, Y ) G] = ψ(y ) où ψ(y) = E[Φ(X, y)]. Preuve : O a ψ(y) = Φ(x, y)dp R X(x) et la mesurabilité de ψ est ue coséquece classique du théorème de Fubii. Soit G G, o ote Z = 1 G. O déduit des hypothèses que P (X,Y,Z) = P X P (Y,Z), aisi, E[Φ(X, Y )1 G ] = Φ(x, y)zdp (Y,Z) (y, z)dp X (x). R R 2 D après Fubii, doc E[Φ(X, Y )1 G ] = ψ(y)zdp (Y,Z) (y, z) R 2 E[Φ(X, Y )1 G ] = E[ψ(Y )1 G ].

.5. PROCESSUS STOCHASTIQUES 19.4.7 Espérace coditioelle et vecteurs gaussies Propositio.4.4 Soit (Z, X 1,..., X ) u vecteur gaussie. Alors, il existe des costates réelles (a, b 1,..., b ) telles que E[Z X 1,..., X ] = a + X i b i. Preuve : Cosidéros le sous espace vectoriel fermé (car de dimesio fii) de L 2 egedré par (1, X 1,..., X ). O ote Π la projectio orthogoale sur ce covexe fermé. Il existe doc des costates (a, b 1,..., b ) telles que Π(Z) = a + X i b i. E otat Y = Z Π(Z), o a classiquemet E[Y ] = et E[Y X i ] =. i=1 Aisi, cov(y, X i ) =. Le vecteur (Y, X i ) état gaussie, d après le corollaire.3.1, Y X i. D après l exercice.3.1, Y (X 1,..., X ) doc E[Y X 1,..., X ] = E[Y ] =, aisi, E[Z X 1,..., X ] = Π(Z) = a + X i b i. i=1.5 Processus stochastiques.5.1 Gééralités Pour représeter l état d u système dépedat du temps et du hasard, le modèle mathématique se présete aturellemet sous la forme d u espace de probabilité (Ω, A, P ) et d ue foctio (t, ω) X t (ω) représetat l état du système. Pour t fixé, l état du système est ue variable aléatoire X t (ω), e revache, pour ue évolutio particulière du système (i.e à ω fixé) les états successifs sot représetés par la foctio t X t (ω) que l o omme par abus de lagage ue trajectoire. Défiitio.5.1 U processus aléatoire sur (Ω, A, P ), idicé par u esemble de temps T R +, est ue famille (X t ) t T de variables aléatoires sur (Ω, A, P ) à valeurs das u certai espace E (pour ous E = R). Plusieurs otios permettat de comparer les processus existet et étedet les otios d égalité e loi et p.s des variables aléatoires e preat e compte l évolutio temporelle. Défiitio.5.2 Deux processus (X t ) t T et (Y t ) t T sot dits équivalets ssi, N, (t 1,..., t ) T i=1 (X t1,..., X t ) = L (Y t1,..., Y t ). O dit égalemet que les processus ot même margiales fii-dimesioelles.

2 TABLE DES MATIÈRES Défiitio.5.3 U processus (X t ) t T est ue modificatio d u processus (Y t ) t T ssi, t T, X t = Y t P p.s. Défiitio.5.4 Deux processus (X t ) t T et (Y t ) t T sot dits idistiguables ssi P ({ω t T, X t (ω) = Y t (ω)}) = 1 Remarque.5.1 Les défiitios précédetes sot de plus e plus restrictives (exercices). Défiitio.5.5 O dit que les trajectoires d u processus sot cotiues (ou mootoes, ou cadlag) ssi, pour P presque tout ω, t T X t (ω) est cotiue (ou mootoe, ou cadlag). O dira par abus de lagage que le processus est cotiu (ou mootoe, ou cadlag). Exercice.5.1 Soiet (X t ) t T et (Y t ) t T deux processus stochastiques. 1) E supposat que les deux processus sot cotius à droite, motrer que si (X t ) t T est ue modificatio de (Y t ) t T, les processus sot idistiguables. 2) Sur l espace de probabilités ([, 1], B([, 1]), dx), soit (X t ) t R+ le processus défii par X t (ω) = ω + at et (Y t ) t R+ le processus défii par Y t (ω) = ω + at si t ω et Y t (ω) = sio. Motrer que (X t ) t R+ est ue modificatio de (Y t ) t R+ mais que ces deux processus e sot pas idistiguables. Pour simplifier les choses ous supposeros désormais que T = R +. Soit (X t ) t T u processus. Fixos u ombre fii d istats t 1... t. O ote P t1,...,t la loi du vecteur (X t1,..., X t ). Remarquos très simplemet que pour toute famille (A 1,..., A ) de Borélies, pour t +1 t, o a P t1,...,t (A 1... A ) = P t1,...,t,t +1 (A 1... A R). (1) Le théorème suivat dû à Kolmogorov assure l existece d u processus stochastique associé à ue famille de margiales fii-dimesioelles pourvu qu ue coditio de compatibilité aturelle de type (1) soit vérifiée. Ce théorème se révèle utile pour démotrer de maière abstraite l existece d u processus e particulier. Théorème.5.1 Soit ue famille de probabilités telle que : {P t1,...,t ; 1, t 1... t }

.5. PROCESSUS STOCHASTIQUES 21 a) P t1,...,t est ue probabilité sur R b) Si { s 1... s m } { t 1... t } alors π P t1,...,t = P s1,...,s m où π est la projectio aturelle de R sur R m. Il existe alors u processus (X t ) t R+ sot exactemet les {P t1,...,t }. dot les margiales fii-dimesioelles U processus état ue foctio de deux variables, o a ue défiitio aturelle de la mesurabilité. Défiitio.5.6 U processus (X t ) t R+ est dit mesurable si la foctio (t, ω) (R +, B(R + )) (Ω, A) X t (ω) (R, B(R)) est mesurable i.e T R +, A A, {(t, ω); t T, X t (ω) A} B([, T ]) B(R). Remarque.5.2 Notos que si (X t ) t R+ est mesurable, si f C b (R, R), la variable aléatoire Y t = f(x s)ds est bie défiie. Exercice.5.2 Motrer qu u processus à trajectoire C à droite (ou C à gauche) est mesurable. (Cosidérer X t = X +lim X avec X = 2 1 X 1 k+1 2 ] k 2, k+1 2 ].) Défiitio.5.7 O ote classiquemet { [ T L 2 (Ω [, T ]) = (X t ) t [,T ] mesurable; E k= ] } Xs 2 ds < qui équipé de la orme aturelle associée est u espace de Hilbert..5.2 Filtratios, processus adaptés Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité. Défiitio.5.8 Ue famille croissate (F t ) t R+ de sous-tribus de A s appelle ue filtratio. Cette tribu est dite complète si t R +, F t cotiet les esembles égligeables N de A où N = {N Ω; A A, N A, P (A) = }.

22 TABLE DES MATIÈRES Remarque.5.3 Du poit de vue de la modélisatio, F t représete l iformatio dispoible à la date t. O peut de plus toujours se rameer au cas d ue tribu complète e chageat F t e σ(n F t ). Doréavat, au vue de la remarque précédete, les tribus que ous cosidéreros serot supposées complètes. Défiitio.5.9 U processus (X t ) t R+ est dit adapté à la filtratio (F t ) t R+ si X t est F t mesurable. est toujours adapté à sa filtratio a- Remarque.5.4 U processus (X t ) t R+ turelle Ft X = σ(x s ; s t). Remarque.5.5 L itérêt de travailler avec des tribus complètes est que a) si X t = P p.p Y t et si X t est F t mesurable Y t est F t mesurable (aisi ue modificatio d u processus adapté est adaptée). b) si X t p.p X t et si, X t est F t mesurable X t est F t mesurable. La otio dyamique (liée à ue filtratio) de mesurabilité itroduite ci-dessus est restrictive. Elle omet le fait qu u processus est ue foctio de deux variables. Défiitio.5.1 U processus (X t ) t R+ T > la foctio est dit progressivemet mesurable si, est mesurable. (t, ω) ([, T ], B([, T ])) (Ω, F T ) X t (ω) (R, B(R)) Exercice.5.3 Pour tout t 1... t = T, soiet F ti des variables aléatoires F ti mesurables. O ote 1 X t = F ti 1 [ti,t i+1 [(t). (2) i=1 Motrer que (X t ) t [,T ] est progressivemet mesurable. O otera E([, T ] Ω) les élémets de la forme (2) avec F ti L 2 (F ti ). Remarque.5.6 U processus progressivemet mesurable est mesurable et adapté. Exercice.5.4 Motrer que lorsque (X t ) t R+ est progressivemet mesurable le processus (Y t ) t R+ défii das la remarque.5.2 est adapté (Utiliser Fubii).

.5. PROCESSUS STOCHASTIQUES 23 Propositio.5.1 Si u processus (X t ) t R+ est C à droite (ou C à gauche) et adapté alors il est progressivemet mesurable. Preuve : Das le cas C à gauche o pose X (t) = X [ t T ] T. O a t, Xt X t. p.p Or B B(R), {(t, ω); t T, X t B} = [, T [ {X B}... B([, T ]) F T d où le résultat. O procède de la même maière das le cas C à droite e posat X (t) = X if(t,([ t T ]+1) T ). Défiitio.5.11 O ote { [ T L 2 prog(ω [, T ]) = (X t ) t [,T ] prog mes; E ] } Xs 2 ds <. Théorème.5.2 L espace L 2 prog(ω [, T ]) muit de sa orme aturelle est u espace de Hilbert. De plus, E([, T ] Ω) est dese das L 2 prog(ω [, T ]). Preuve : Nous démotreros seulemet la deuxième partie du théorème, la première état u résultat classique de théorie des probabilités. O itroduit tout d abord ue procédure d approximatio das le cas détermiiste. Soit f L 2 ([, T ], dx), o ote N, t [, T ], P (f)(t) = i= i i 1 f(s)ds1 ] i, i+1 O peut voir que l opérateur liéaire P est cotractat e effet, si t ] i, i+1 et doc T i [P (f)(t)] 2 f 2 (s)ds i 1 [P (f)(t)] 2 dt T [f(t)] 2 dt. O peut motrer égalemet que, f C K ([, T ], R), P (f) ](t). ] f (3) L 2 ([,T ]) et étedre ce résultat à toute f L 2 ([, T ]) par desité. O éted maiteat cette procédure à L 2 prog(ω [, T ]). O pose X L 2 prog(ω [, T ]), t [, T ], pour presque tout ω, P (X t (w)) = P (X. (ω))(t).

24 TABLE DES MATIÈRES Comme X L 2 prog(ω [, T ]), P (X) E([, T ] Ω) car otammet (exercice.5.4) i i 1 X s ds est F i mesurable. Il est alors très simple e utilisat (3) et le théorème de covergece domiée de démotrer la covergece de P (X) vers X das L 2 prog(ω [, T ]) : X apparteat à L 2 prog(ω [, T ]), pour presque tout ω, X. (ω) L 2 ([, T ]) et doc d après (3), T (P (X s ) X s ) 2 ds p.p e restat majoré (iégalité de Mikowski) par 4 X. (ω) 2 L 2 ([,T ]) L2 (P )..5.3 Processus gaussies Défiitio.5.12 U processus stochastique (X t ) t R+ est gaussie ssi, N, t 1,..., t R +, le vecteur (X t1,..., X t ) est gaussie. La loi d u processus gaussie est caractérisée par deux foctios, sa foctio d espérace m : t E[X t ] et sa foctio de covariace Γ : (s, t) E[(X t m(t))(x s m(s))] qui est ue foctio symétrique de type positif au ses où N, t 1,..., t R +, la matrice carrée [Γ(t i, t j )] 1 i,j est symétrique positive. Nous avos e effet le résultat suivat, simple coséquece du théorème de Kolmogorov. Propositio.5.2 Soiet m : R + R ue foctio quelcoque et Γ : (R + ) 2 R ue foctio de type positif. Alors, il existe u processus gaussie de foctio d espérace m et de foctio de covariace Γ. Exemple.5.1 Motrer que la foctio (s, t) (R + ) 2 if(s, t) est de type positif. (O pourra procéder par récurrece).5.4 Martigales e temps cotiu Nous revoyos le lecteur à? pour ue présetatio cosistate de la théorie des martigales. Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité et (F t ) t R+ ue filtratio de cet espace. Défiitio.5.13 Ue famille adaptée (M t ) t R+ de variables aléatoires das L 1 est :

.5. PROCESSUS STOCHASTIQUES 25 - ue martigale si, t s, E[M t F s ] = M s. (jeu équitable) - ue surmartigale si, t s, E[M t F s ] M s. (jeu perdat) - ue sous-martigale si, t s, E[M t F s ] M s. (jeu gagat) Remarque.5.7 Ue martigale (M t ) vérifie t E[M t ] = E[M ]. Exemple.5.2 Si X L 1, M t = E[X F t ] est, d après la propositio.4.2, ue martigale. Les résultats suivats ous serot utiles par la suite. Propositio.5.3 Soit (M t ) t R+ ue martigale de carré itégrable, alors, s t, o a E[(M t M s ) 2 F s ] = E[M 2 t M 2 s F s ]. Preuve : O a E[(M t M s ) 2 F s ] = E[Mt 2 F s ] 2E[M t M s F s ] + E[Ms 2 F s ]. } {{ } Ms 2 Le résultat découle alors de l égalité E[M t M s F s ] = M 2 s. est à accroisse- Propositio.5.4 Ue martigale de carré itégrable (M t ) t R+ mets orthogoaux. Preuve : Il suffit de prouver que pour t 4 > t 3 t 2 > t 1 E[(M t4 M t3 )(M t2 M t1 )] =. Ce qui s obtiet e coditioat par rapport à F t3. Propositio.5.5 Soit (M t ) t R+ ue martigale cotiue de carré itégrable telle qu il existe (Φ t ) t [,T ] L 2 (Ω [, T ]) vérifiat, t T, M t = Φ sds. Alors P ({ω; t T, M t = }) = 1.

26 TABLE DES MATIÈRES Preuve : O a d après la propositio précédete, ( E[Mt 2 ] = E i=1 M it M (i 1)t Aisi d après l iégalité de Schwartz, ( it E[Mt 2 ] = E i=1 (i 1)t ) 2 Φ s ds = E ) 2 [ i=1 ( M it t E [ M (i 1)t ] Φ 2 sds. Le résultat s obtiet par passage à la limite et e utilisat la cotiuité des trajectoires de (M t ) t R+. Nous aborderos pas ici (par maque de temps) la otio de temps d arrêt et sa relatio fructueuse avec la théorie des martigales. Cepedat, ous éoços le résultat fodametal suivat qui ous assure que pour cotrôler l évolutio d ue martigale sur u segmet il suffit de cotrôler sa valeur termiale. ) 2 ]. Théorème.5.3 (Iégalité de Doob) Soit (M t ) t R+ itégrable et à trajectoires cotiues, alors, T R +, ue martigale de carré E[ sup M t 2 ] 4E[ M T 2 ]. t T O otera doréavat M 2 ([, T ]) l espace des martigales sur [, T ] de carré itégrable et à trajectoires cotiues (quotieté par la relatio d équivalece M M ssi M et M sot idistiguables). Si (M t ) t [,T ] M 2 ([, T ]) o ote M 2 l applicatio défiie par M M 2 = E[ M T 2 ]. O a alors la propositio suivate : Propositio.5.6 L applicatio M 2 défiie sur M 2 ([, T ]) est ue orme. L espace M 2 ([, T ]) mui de M 2 est u espace de Hilbert. Preuve : O admet le secod poit, le premier est ue coséquece immédiate de l iégalité de Doob. Remarque.5.8 Pour la complétude de M 2 ([, T ]), la complétude de la filtratio est idispesable.

.6. THÉORÈME DE RADON NIKODYM 27.6 Théorème de Rado Nikodym Défiitio.6.1 Soiet P et Q deux probabilités défiies sur le même espace de probabilité (Ω, A). a) O dit que P est absolumet cotiue par rapport à Q (ot : P Q) si A A, Q(A) = P (A) =. b) O dit que P et Q sot équivaletes (ot : P Q) si A A, P (A) = Q(A) =. c) O dit que P et Q sot étragères (ot : P Q) si A A, tel que P (A) = et Q(A) = 1. Le théorème suivat ous sera utile pour ue boe compréhesio des chagemets de probabilités das les modèles fiaciers. Théorème.6.1 (Rado-Nikodym) Soiet P et Q deux probabilités défiies sur le même espace de probabilité (Ω, A). Alors P Q si et seulemet si il existe ue variable aléatoire Z Q itégrable (uique à égalité Q p.s près) vérifiat E Q [Z] = 1 telle que, A A, P (A) = E Q [Z1 A ]. O appelle Z la desité de Rado-Nikodym de P par rapport à Q. Elle est gééralemet otée Z =: dp dq. Remarque.6.1 ce cas, dp = 1 dq dq. dp Si P Q o voit facilemet que Z > Q (ou P ) p.s, das Exercice.6.1 le but est ici de démotrer le théorème-défiitio.4.1. Soit X L 1 (Ω, A, P ), o veut démotrer l existece de E[X G]. a) Motrer que l o peut supposer X. b) Motrer que la foctio défiie sur (Ω, A) par Q(A) = XdP est ue mesure positive borée telle que Q P. c) Motrer qu il e est de même pour la restrictio de Q à (Ω, G). d) E utilisat le théorème de Rado-Nikodym, proposer u cadidat aturel pour E[X G]. A

28 TABLE DES MATIÈRES Exemple.6.1 (U premier pas vers Girsaov) O cosidère ue variable aléatoire X suivat, sous ue probabilité P, ue N (m, σ 2 ). Le but est de trouver ue probabilité Q équivalete à P telle que, sous Q, X suit ue N (, σ 2 ). Cosidéros la variable L = e mx σ 2 e + m2 2σ 2. D après l exemple.1.2, o voit facilemet que E P [Z] = 1, o défiit alors la probabilité Q par L = dq dp. Comme o a le résultat. E Q [e itx ] = E P [Le itx ] = e σ2 t 2 2

Bibliographie [1] N. Bouleau : Probabilité de l igéieur, Herma, 1986. [2] J. Jacod, P. Protter : Probability essetials, Spriger, 24. [3] D. Williams, Probability with martigales, Cambridge Uiv. Press, Cambridge, 1991. 29

3 BIBLIOGRAPHIE

Chapitre 1 Le mouvemet Browie Ce chapitre a été rédigé (trop???) rapidemet, merci à vous de me sigaler les coquilles ou erreurs évetuelles. 1.1 U peu d histoire Nous revoyos le lecteur à [9] pour u riche exposé historique couvrat la période 19-195. Le mouvemet Browie est le plus célèbre et le plus importat processus stochastique. Il est u exemple frappat des relatios fructueuses qui uisset par momet les mathématiques et la physique. Avat d être u objet mathématique rigoureux, il a pu être observé sous diverses formes. O peut raisoablemet peser que tout commece aux aletours de 183, lorsque le botaiste Brow observe le mouvemet des particules de polle e suspesio das l eau. Ce mouvemet est e partie expliqué, quelques aées plus tard (1877) par Delsaux, e mettat e lumière l iteractio des particules de polle avec les molécules d eau qui provoque u chagemet icessat de directio de trajectoire via de multiples chocs thermiques (o trouvera ue superbe simulatio de ce phéomèe à l adresse http ://chaos.us.edu.sg/simulatios/ ). E 19, Bachelier, das des travaux pioiers qui serot à la base de la fiace mathématique modere, repred ces idées essetielles pour modéliser le cours d u actif fiacier, souligat par ailleurs so caractère Markovie (voir [2]). C est Eistei qui e 195 ([6])e doe ue défiitio raisoable. O ote X t la positio à l istat t d ue petite particule évoluat das u liquide. O suppose que a) X t+h X t est idépedat de σ(x s ; s t). b) La loi de X t+h X t e déped pas de t. c) Les trajectoires sot cotiues. 31

32 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN La première hypothèse sigifie que l évolutio de la trajectoire sur [t, t + h] est uiquemet due aux chocs que subit la particule durat cette période, le phéomèe d iertie (et doc das u ses la masse de la particule) est égligé. La secode que la situatio est idetique à elle même au cours du temps (pas de variatios de température). La troisième que la particule e saute pas. Notos efi qu aucue précisio sur le caractère gaussie est faite a priori, celle ci état ue coséquece (cf. ifra) des autres hypothèses. Eistei parviet à calculer la desité de trasitio de ce processus P (X t+h dy X h = x) = q(t, x, y) et à relier ses résultats à l équatio de la chaleur (l équatio u(t,x) + 1 2 u(t,x) = de t 2 x 2 coditio iitiale u(,.) = f admet pour solutio u(t, x) = E[f(X t+h ) X h = x]). U pot sas précédet etre l aalyse et les probabilités viet d être amorcé, riche de coséqueces... D u poit de vue mathématique, la preuve rigoureuse de l existece d u tel processus apparaîtra que bie plus tard (1923) das les travaux de N.Wieer [16]. So étude fie, iitiée par P. Lévy [12], occupe ecore aujourd hui de ombreux mathématicies de part le mode. Das le domaie de l igéierie, il s est imposé au cours de ces derières aées comme u outil essetiel voir idispesable. Notos efi, que Wedeli Werer a obteu e 26 la médaille Fields pour ses découvertes cocerat les objets plas aléatoires e liaiso avec la physique statistique (o peut voir à l adresse suivate http ://www.caalu.fr/caalu /chaiev2/utls/programme/324388617/sequece id/1151222/format id/33/ so itervetio à l uiversité de tous les savoirs). Avat de retrer das le vif du sujet et pour justifier la défiitio du mouvemet Browie que ous adopteros das le prochai paragraphe ous démotros le résultat suivat. Lemme 1.1.1 Soit X t vérifiat les hypothèses a), b) et c) ci-dessus. O suppose X =, alors, il existe m et σ 2 tels que X t suive ue N (mt, σ 2 t). Preuve : Nous allos supposer (c est e fait ue coséquece u peu techique des hypothèses, voir par exemple [8]) pour simplifier les choses que supe[xt 2 ] < +. t 1 Das ce cas, les trajectoires du processus sot cotiues das L 1. E effet, soit ε >, o tire de E[ X t X s ] = E[ X t X s 1 Xt X s >ε] + E[ X t X s 1 Xt X s ε] et de l iégalité de Holder que E[ X t X s ] E[ X t X s 2 ] 1 2 P ( Xt X s > ε) 1 2 + ε.

1.2. DÉFINITION, EXISTENCE, SIMULATION 33 Le résultat est alors prouvé car la cotiuité des trajectoires etraîe leur cotiuité e probabilité. Pour N, o a X t = X t + (X 2t X t ) +... + (X t X ( 1)t ), doc d après b), N, E[X t ] = E[X t ]. Soit (p, q) N N, d après le relatio précédete pe[x 1 ] = E[X p ] = E[X ( p q )q ] = qe[x p q ], doc, s Q, E[X s ] = se[x 1 ]. Et par cotiuité des trajectoires das L 1, o a, t R, E[X t ] = te[x 1 ] = tm. Par u raisoemet aalogue au précédet, o motre que E[(X s ms) 2 ] = se[(x 1 m) 2 ], s Q, cette relatio s étedat à R tout etier car la foctio t E[(X t mt) 2 ] est croissate. E effet d après b), E[(X t+h m(t + h)) 2 ] = E[(X t mt) 2 ] + E[(X h mh) 2 ] E[(X t mt) 2 ]. E écrivat alors, N, où les variables (X kt X t = (X t X ) +...(X t X ) ( 1)t X (k 1)t ) sot i.i.d de moyee tm et de variace tσ2, u argumet aalogue à celui utilisé das la preuve du T.C.L (D.L de la foctio caractéristique) ous doe le résultat (voir [5]). 1.2 Défiitio, existece, simulatio 1.2.1 Défiitio Soit (Ω, A, P ) u espace de probabilité. Pour simplifier les choses, o suppose que otre itervalle d étude est boré (o predra [, T ] avec souvet T = 1 mais cela e chage rie). Le mouvemet Browie est u processus (B t ) t [,1] cotiu dot les accroissemets sot idépedats, statioaires et gaussies. Plus précisémet,

34 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Défiitio 1.2.1 U mouvemet Browie (stadard) (M.B) est u processus (B t ) t [,1] vérifiat : F B s a) B = P -p.s. b) B est cotiu i.e t B t (w) est cotiue pour P presque tout w. c) B est à accroissemets idépedats : Si t > s, B t B s est idépedat de = σ(b u, u s). d) Les accroissemets de B sot statioaires, gaussies : Si t s, B t B s suit ue N (, t s). Remarque 1.2.1 a) Coformémet à ce qui a été précisé das le paragraphe.5, o suppose que la tribu (F B t ) t [,1] est complète. b) Par u raisoemet aalogue à celui formulé das la démostratio du lemme 1.1.1, l assertio d) peut être remplacée par Les accroissemets de B sot statioaires, cetrés, de carré itégrable avec V ar(b 1 ) = 1. c) Par u raisoemet classique de classe mootoe o motre que l assertio c) est équivalete à Pour tout t 1... t s < t, B t B s (B t1,..., B t ) (voir [4]). O peut proposer ue défiitio équivalete e liaiso avec la théorie des processus gaussies. Propositio 1.2.1 U processus (B t ) t [,1] est u M.B ssi c est u processus gaussie, cotiu, cetré, de foctio de covariace Γ[s, t] = if(s, t). Preuve : Pour t 1... t le vecteur (B t1, B t2 B t1,..., B t B t 1 ) costitué de gaussiees idépedates est u vecteur gaussie. Aisi par combiaisos liéaires (B t1,..., B t ) l est égalemet. Le M.B est u processus gaussie cotiu. Il est de plus cetré et si t s cov(b t, B s ) = E[B t B s ] = E[(B t B s )B s ] + E[(B s ) 2 ] = s. O vérifie la défiitio poit par poit. a) E[(B ) 2 ] = doc B = P -p.s. b) B est cotiu par hypothèse. c) Pour t 1... t s < t le vecteur (B t1,...b t, B t B s ) est gaussie avec cov(b t B s, B ti ) =. Aisi (corollaire et exercice.3.1) B t B s (B t1,..., B t ) et doc d après la remarque ci dessus, B t B s est idépedat de Fs B = σ(b u, u s). d) Efi, pour s t, B t B s est gaussiee, cetrée de variace V ar(b t B s ) = t + s 2if(s, t) = t s.

1.2. DÉFINITION, EXISTENCE, SIMULATION 35 1.2.2 Existece, costructio, simulatio Plusieurs méthodes, plus ou mois abstraites, permettet de costruire le M.B. Ces méthodes reposet gééralemet sur des résultats o triviaux. Radomisatio d u espace de Hilbert Soit (g ) N ue famille de variables aléatoires i.i.d suivat la loi ormale cetrée réduite. O cosidère l espace de Hilbert H = L 2 ([, 1], dx) et l o ote (χ ) N ue base orthoormée de H. O ote, t [, 1], B t = = χ (s)ds g (la série covergeat das L 2 ). D après l exercice.2.2, la variable B t est gaussiee, cetrée, de variace V ar(b t ) = ( = χ (s)ds) 2 = t. De la même maière, o motre facilemet que (B t ) t [,1] est u processus gaussie, cetré et de foctio de covariace égale à Γ[s, t] = if(s, t). E vertu de la propositio 1.2.1, reste à démotrer la cotiuité. L étude précise de la série aléatoire peut ous permettre de coclure (e étudiat sa covergece uiforme presque sûre) mais se révèle u peu techique ([13]). U tour de passe-passe est d utiliser le puissat (trop puissat das ce cas???) théorème de Kolmogorov (voir [1]) : Théorème 1.2.1 (Critère de cotiuité) Soit (X t ) t R u processus stochastique vérifiat la relatio suivate, T >, C T, s < t T, E[ X t X s p ] C T t s α (1.1) où p > et α > 1. Alors, il existe ue modificatio de ce processus qui possède des trajectoires cotiues. Das le cas de (B t ), si s < t 1, B t B s suit ue N (, t s) et doc d après l exercice.1.1, E[ B t B s 2k ] = (2k)! 2 k k! (t s)k. D où le résultat e preat par exemple k = 2. Les deux exemples qui suivet sot u cas particulier de la méthode ci-dessus avec u choix explicite pour la base hilbertiee.

36 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Représetatio de Wieer (1923) ([16]) E cosidérat la base trigoométrique, o obtiet ue représetatio explicite du mouvemet Browie à l aide d ue série de Fourier aléatoire qui a été démotré par Wieer. Ce résultat est le premier résultat d existece cocerat le mouvemet Browie. O a B t = 8 π =1 si(t) g (1.2) où la série coverge uiformémet presque sûremet sur [, 1]. Notos que E[B t ] = et qu u résultat classique doe E[(B t ) 2 ] = 8 π 2 =1 si 2 (t) 2 = t. Méthode du poit milieu (costructio de Paul Lévy) E 1939, Paul Lévy propose ue costructio simple du mouvemet Browie. Cette approche ouvelle lui permettra de découvrir des propriétés importates de la trajectoire Browiee. Nous proposos ici ue approche puremet algorithmique de cette costructio, le lecteur état revoyé à [14] pour les détails plus techiques. Le but est ici d obteir à moidre frais ue approche de simulatio. Pour s t o sait (propositio 1.2.1) que le vecteur est gaussie. O pose alors (B t+s, B t, B s ) 2 Z = B t+s 2 1 2 (B t + B s ) qui est ue variable aléatoire gaussiee telle que E[Z] = et V ar(z) = 1 (t s). 4 E utilisat le corollaire.3.1, o motre que Z (B t, B s ) car cov(z, B t ) = et cov(z, B s ) =. O peut doc mettre Z sous la forme Z = t s G 2 s,t où G s,t est ue gaussiee stadard idépedate de (B t, B s ). Remarque 1.2.2 O peut motrer très simplemet qu e fait G s,t B u lorsque u s ou u t. E coclusio B t+s = 1 t s 2 2 (B t + B s ) + G s,t 2 G s,t B u lorsque u s ou u t.

1.2. DÉFINITION, EXISTENCE, SIMULATION 37 O simule alors ue trajectoire browiee de la maière suivate : 1) O simule ue famille (G i ) i N de gaussiees stadards idépedates (exercice.2.1). 2) O pose B 1 = G 1 3) O pose B 1 2 4) O pose B 1 4 5) O poseb 3 4 6) Etc... = 1 2 (B 1 + G 2 ) = 1 2 (B 1 2 + 1 2 G 3 ) = 1 2 (B 1 2 + B 1 + 1 2 G 4 ) O obtiet le résultat suivat sous scilab!"$!"!!!"$!!"&!!"(!!"*!#"!!#"$!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! Pricipe d ivariace de Dosker Le pricipe d ivariace de Dosker est ue gééralisatio foctioelle du T.C.L. O se doe ue famille (U k ) k N de variables aléatoires idépedates, cetrées et réduites. Pour tout N, o ote S = U 1 +...+U la -ième somme partielle. D après le T.C.L, S N (, 1) et plus gééralemet, t [, 1], L S [t] L N (, t) (la loi de B t ).

38 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN Cosidéros alors l iterpolatio polygoale de rag de la série des sommes partielles : t [, 1], o pose X (t) = 1 [t] U k + (t [t])u [t]+1. (1.3) k=1 Le résultat suivat (voir par exemple [1]) est dû à Dosker et fourit u outil de simulatio des trajectoires Browiees. Théorème 1.2.2 La suite de processus cotius (X ) coverge e loi das C = C([, 1], R) vers la loi du M.B i.e f C b (C, R), E[f(X )] E[f(B)]. La simulatio suivate a été réalisée sous scilab e choisissat les U i de sorte que P (U i = 1) = P (U i = 1) = 1 et e preat = 1. 2 $!!!$!!&!!(!!*!!#!!!#$!!#&!!"!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+ #"! #"# 1.3 Propriétes Les propriétés que ous voyos das ce paragraphe sot assez rudimetaires. Pour des résultats plus fis o peut cosulter par exemple ([15]) O cosidérera das cette partie que (B t ) t est u M.B sur R +.

1.3. PROPRIÉTES 39 1.3.1 Propriétés de martigale Propositio 1.3.1 Les processus (B t ), ((B t ) 2 t) et (e θbt θ2 t 2 ) (θ R) sot des (F B t ) t R+ martigales. O a la célèbre propositio suivate qui est dû à Paul Lévy. Propositio 1.3.2 Soit (X t ) t ue martigale (par rapport à ue certaie tribu (F t ) t ) cotiue issue de. Alors X est u M.B si l ue des deux coditios suivates est vérifiée : a) Le processus t (X t ) 2 t est ue martigale. b) Le processus t e θxt θ2 t 2 est ue martigale pour tout θ R. Preuve : Nous allos seulemet motrer que a) implique que X t est u M.B (le b) se fait e utilisat la formule d Itô que ous verros ultérieuremet). Pour t > s, o a θ R, et e preat l espérace E[e iθ(xt Xs) t s θ2 F s ] = e 2 E[e iθ(xt Xs) t s θ2 ] = e 2. Ceci motre à la fois que X t X s F s car si Y est F s mesurable, u R E[e iθ(xt Xs)+iuY ] = E[E[e iθ(xt Xs)+iuY F s ]] = E[e iuy t s θ2 ]e 2 = E[e iuy ]E[e iθ(xt Xs) ], et que X t X s suit ue N (, t s). 1.3.2 Trasformatios Propositio 1.3.3 O pose B (s) t = B t+s B s, s fixé, Y t = cb t, c >, Z c 2 t = tb 1, t t >, Z =. Alors, les processus B t, B (s) t, Y t et Z t sot des mouvemets browies stadards. Le fait que Y t soit u M.B est ue propriété fodametale. E effet, le M.B est u processus auto-similaire (ou u fractal aléatoire) i.e u processus dot le comportemet reste le même à différetes échelles. (illustrer par ue simulatio!!!) Preuve de la propositio : Pour B t, B (s) t, Y t la vérificatio est immédiate, reste Z t. Il est facile de voir que Z t est u processus gaussie cetré de foctio de covariace Γ(s, t) = if(s, t). Reste à démotrer la cotiuité de Z (i.e sa

4 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN cotiuité e ). Ce résultat est u peu techique ([14]) et ous allos ous coteter de motrer que B. Comme B = (B B 1 ) +... + (B 1 B ) où les (B i+1 B i ) formet u -échatillo de la loi ormale cetrée réduite, le résultat est ue coséquece de la L.F.G.N. 1.3.3 Propriétés trajectorielles Les trajectoires du mouvemet browie sot caractérisées par ue remarquable irrégularité. Nous ous proposos de mettre e évidece ici quelques ues de ces pathologies. Propositio 1.3.4 Soit (B t ) u mouvemet Browie. Alors P -p.s, B a) lim sup t t + t B = lim sup t t + t = + B b) lim if t t + t B = lim if t t + t = Preuve : Pour a) o cosidère la variable aléatoire R = lim sup t + B t t = lim sup t + B t B s t ( s ). Par idépedace des accroissemets Browies R σ(b u, u s) pour tout s et doc R σ(b u, u ). Aisi R R et doc R est ue costate (fiie ou ifiie). Supposos que R est fiie, aisi par défiitio de la lim sup, P ( Bt t R + 1) quad t +. Or P ( Bt t R + 1) = P (B 1 R + 1) > d où le résultat. La deuxième partie de a) se traîte de la même maière. Le poit b) est ue coséquece immédiate de a) et de la symétrie du Browie. Corollaire 1.3.1 i) P -p.s, (B t ) passe ue ifiité de fois par tout poit. ii) (B t ) est P -p.s dérivable i à droite, i à gauche e tout poit. Preuve : i) est ue coséquece directe de la cotiuité des trajectoires (qui vérifiet doc le T.V.I) et de la propositio précédete. B ii) O peut voir que B t est P -p.s pas dérivable à droite e car lim sup t B t + + P -p.s. E cosidérat esuite (avec les otatios de la propositio 1.3.3) les Browies trasformés Bt s et Z t o motre la o dérivabilité à droite et à gauche e tout poit. t =

1.3. PROPRIÉTES 41 Remarque 1.3.1 Les trajectoires du M.B sot doc des exemples explicites de foctios cotiues ulle part dérivables. Notos que sas faire appel aux probabilités, la costructio explicite d u tel objet est loi d être évidete (cf. foctio de Weierstrass). Du poit de vue de la modélisatio ( 1.1), la o dérivabilité sigifie qu o e peut défiir la vitesse de la particule, ceci est doc physiquemet très imparfait. Le fait d avoir égligé la masse de la particule (pas d iertie) est ue explicatio de ce phéomèe. Propositio 1.3.5 P ({ω; t B t (w) est mootoe sur u itervalle}) = Preuve : O ote F = {ω; il existe u itervalle où t B t (w) est mootoe}. O a F = {ω; t B t (w) est mootoe sur [s, t]}. (s,t) Q 2, s<t Pour s < t fixés das Q, o étudie par exemple Alors A = > et statioarité, A = {ω; t B t (w) est croissate sur [s, t]}. 1 i= A i où A i = {ω; B s+(t s) i+1 1 P ( A i ) = 1 2. i= B s+(t s) i Aisi, >, P (A) 1 2, doc P (A) et P (F ) sot ulles. 1.3.4 Variatio et variatio quadratique La propositio suivate sera fodametale pour le reste du cours. }. Par idépedace Propositio 1.3.6 Soit t >. O pose N, j {,..., 2 }, t j = tj 2. Alors, Z t = 2 j=1 B t j B t j 1 2 p.s et L 2 t. Preuve : O a E[Z t ] = t. Aisi pour la covergece das L 2 il faut motrer que V ar(z t ). Or, V ar(z t ) = 2 j=1 V ar( B t j B t j 1 2 ) = 2 j=1 ( t 2 )2 = 2 t 2,