MPSI 4 Analyse documenaire : Éude d un sismographe La surveillance des mouvemens du sol dus à la sismicié es imporane, dans la mesure où elle perme de déecer l appariion de phénomènes don les conséquences peuven êre ragiques (remblemens de Terre, sunamis...). La déecion es parfois rop ardive pour permere une alere efficace, les enregisremens son alors uilisés à poseriori pour mieux comprendre la naure de l évènemen e ener d aniciper les prochains. L appareil inconournable pour suivre les mouvemens du sol es le sismomère, on se propose ici d en décrire le principe de foncionnemen comme illusraion d une applicaion praique de filrage.. Foncion d un sismomère Un sismomère es un capeur qui perme la déecion e l enregisremen des mouvemens, à une dimension, de la surface sur laquelle il repose. Comme on souhaie en général disposer de la mesure du mouvemen à ou 3 dimensions du sol, on place plusieurs sismomères selon différens axes orhogonaux e on reconsiue, à parir de leurs enregisremens, le mouvemens à 3D. La srucure complèe d un sismomère es complexe e les phénomènes mis en jeu dans son foncionnemen ne peuven pas ous êre décris à ce sade. Faue d élémens héoriques, nous x() s() nous conenerons d une descripion sommaire. Un sismomère es k consiué d un résonaeur mécanique, à l image de l oscillaeur O mécanique éudié dans le chapire sur les résonances ; l exciaion de ce oscillaeur es due aux mouvemens du sol x(). Les mouvemens de la parie mobile dans le référeniel erresre non galiléen engendren un couran élecrique dans un bobinage non représené m α ce qui perme de fournir un signal élecrique de sorie s() qui peu êre aisémen amplifié, enregisré e ransmis. O En résumé, la relaion enre mouvemen de vibraion du sol, décri par une variable x() e le signal élecrique s() récupéré en sorie radui des phénomènes bien connus qu il es possible de mere en équaion.. Modélisaion Tous les phénomènes en jeu son linéaires : l équaion différenielle es donc de ype linéaire à coefficiens consans, les valeurs de ceux-ci éan en effe liées aux différens paramères du sysème (masse, consane de raideur...), qui ne varien pas dans le emps. L équaion différenielle lian x() à s() es linéaire à coefficiens consans : il s agi d une relaion de filrage. Aspec emporel Le phénomène éan principalemen dû à la mise en oscillaion d un ensemble mécanique, l équaion qui le régi es du second ordre, à l image de ce qui a éé obenu dans le chapire sur les résonances. D aure par, l absence de vibraion du sol, c es à dire le cas où x() ne varie pas, n engendre aucune réponse du disposiif, on peu donc exclure un comporemen passe-bas. De la même manière, déplacer le sismomère à viesse consane n engendre aucune deecion : ce son les accéléraions qui provoquen une réponse : un sismomère es un accéléromère. On en dédui que c es la dérivée seconde du signal x() qui ser d exciaion au sysème, ce qui se radui par la relaion : d s d + ξω ds 0 d + d x ω 0s() = H 0 d où ω 0 es la pulsaion propre de l oscillaeur e ξ le coefficien d amorissemen. Le coefficien H 0 es sans grande imporance, car il ne correspond qu à un effe d amplificaion. Le raiemen du signal reçu inrodui de oue manière son propre gain : on adopera dans la suie H 0 = S.I., ce qui revien à effecuer une mise à l échelle.
La courbe suivane fourni le emps de réponse rédui ω 0 R en foncion du coefficien d amorissemen ξ pour un sysème du second ordre : 0 3 Temps de réponse à 5% rédui ω0 R 0 0 0 0 0-0 - 0 0 0 0 Coefficien d amorissemen ξ Aspec fréqueniel - foncion de ranfer Le passage en noaion complexe perme d exprimer la foncion de ransfer du sysème e de représener le diagramme de Bode pour le gain (avec les coefficiens d amorissemen 0,3, 0,7 e ) : H(jω) = ω ω 0 + jξωω 0 ω Le comporemen du sismomère es celui d un filre passe-hau du second ordre. G db 5 ξ = 0, 3 0 log(ω/ω 0 ) ξ = ξ = 0 40
3. Choix des paramères Le concepeur du sismomère doi définir les valeurs à donner aux deux paramères ω 0 e ξ. Il adope alors deux crières liés au domaine d applicaion : la bande passane doi correspondre à la gamme de fréquence des vibraions sismiques à déecer ; le comporemen du sismographe ne doi pas privilégier de fréquence : il ne doi donc pas y avoir de résonance. Le second crière fixe la valeur du coefficien d amorissemen : on adope en praique un amorissemen : ξ = Pour ce qui concerne la bande passane, le sismologue doi enir compe de l environnemen qui es le sien. Les consruceurs proposen de ce fai une large gamme de sismomères, don les propriéés caracérisiques varien sensiblemen. En vue d illusrer la démarche, on raisonne ici sur un exemple : la surveillance sismique d un sie nucléaire siué en bord de mer. La caasrophe de Fukushima a monré combien un séisme peu avoir des conséquences redouables lorsqu il se produi à proximié de sies hébergean des cenrales nucléaires. Divers phénomènes von conribuer à mere en oscillaions le sol e von de ce fai inervenir dans le foncionnemen des sismomères. Cerains son des parasies que le concepeur souhaie ne pas déecer, d aures son à l origine d un signal poreur d informaions uiles. Chacun doi donc êre défini par ses propriéés specrales, afin de permere un choix judicieux de la bande passane du capeur. Cions quelques uns de ces phénomènes : les phénomènes de marée, dus à l aracion de la Lune e du Soleil, inerviennen de manière périodique (une demi-journée ou une journée selon la localisaion à la surface du globe) ; la houle, qui es un rain régulier de vagues formées au large, es égalemen un phénomène périodique auquel von êre sensibles les sismomères. En effe, bien que n exisan qu à la surface de l eau, ces vagues exercen une acion par gravié sur le fond marin ; les sismomères ulrasensibles déecen alors une oscillaion don la périodicié va de quelques secondes à quelques dizaines de secondes ; d aures phénomènes périodiques plus insolies se révèlen dans ces expériences de sismologie : cions par exemple l oscillaion propre de la Terre, d une période de 53 minues e l oscillaion propre de ceraines baies ou lacs fermés (mouvemens de seiche) de quelques dizaines de minue de période ; à proximié d une insallaion indusrielle, les perurbaions liées aux aciviés humaines inerviennen de manière imporane, qu il s agisse de la circulaion de véhicules, de ravaux de errassemen lors de consrucions. Ces causes on un specre éendu e des caracérisiques variables ce qui rend parfois délicae leur idenificaion. Plus simplemen, dans le cadre du foncionnemen d une cenrale élecrique, la roaion des alernaeurs (machines converissans l énergie mécanique en énergie élecrique) s effecue à viesse consane. À raison de 3000 ours par minue par exemple, une fréquence de 50 Hz apparaî, que von déecer les disposiifs rès sensibles siués à proximié. Un diagramme specral perme de siuer quelques-uns des domaines fréqueniels liés à ces diverses causes. Oscillaions erresres Alernaeur Marée Seiche Houle 0 4 0 3 0 0 0 0 Fréquence (Hz) L éude géophysique d un séisme défini diverses ondes se propagean soi à la surface du sol, soi dans le volume de la croûe erresre. Ceraines engendren des vibraions vericales, d aures horizonales. Selon 3
le modèle approprié, le sismologue peu définir dans quel inervalle specral se siue l informaion uile, il défini alors la bande passane des sismomères à uiliser. Le diagramme en fréquence précéden le renseigne sur les causes parasies qui peuven êre à l origine d un brui ; il resera à idenifier signal uile e brui. Dans le cas où les sismomères on une période caracérisique de l ordre de la seconde, c es à dire que la fréquence de coupure f c es de l ordre du herz, on conçoi que la houle va êre déecée par le capeur, de même que l oscillaion à 50 Hz de machines. En revanche, il es probable que les phénomènes de marées ou l oscillaion propre de la Terre pourron êre facilemen éliminés. 4. Examen d oscillogrammes ess On poursui l éude par l examen d un oscillogramme correspondan à un signal es usuel dans le domaine de la sismologie : le rain d onde. Le signal x() correspondan es représené ci-dessous. X m x Il es nul aux insan négaifs puis oscille à la pulsaion ω à parir de = 0. Pour évier une disconinuié peu réalise dans le cadre de phénomènes physiques, on adope l expression : x() = X m sin(ω) Comparons les réponses simulées pour la valeur ξ = / e différenes pulsaions d exciaion (les ordonnées son en uniés arbiraires : X m = ) ω = 0, ω 0 La réponse présene une ampliude rès faible : le signal es en dehors de la bande passane. x() s() ω = ω 0 x() s() On consae qu après un bref régime ransioire, le signal de sorie oscille avec la même pulsaion que l exciaion, mais en quadraure de phase. Cee propriéé es bien conforme aux prévisions, car la foncion de ransfer es alors imaginaire H = j/. ω = 3ω 0 4
.5.5 x() s() La fréquence d exciaion es dans la bande passane : en effe, après amorissemen du régime ransioire, le signal reflèe quasi fidèlemen l oscillaion d exciaion. Le rès léger déphasage ien à ce que ω n es pas rès supérieur à ω 0. On noe par ailleurs que du fai du caracère passe hau, le sysème réagi foremen à l appariion de la première oscillaion : le débu de la réponse es excessif, puis l amorissemen dû au choix du faceur ξ perme d aeindre le régime éabli d ampliude appropriée. On pourra effecuer ses propres acquisiions grâce à l animaion en ligne suivane Quesions. On noe α (en kg.s ) le coefficien de froemen de la force dissipaive responsable de l amorissemen de l oscillaeur. Exprimer les grandeurs ξ e ω 0 en foncions de k, m e α.. On suppose que le séisme se radui par une vibraion sinusoïdale du sol x() = X 0 cos(ω). Rerouver à parir de l équaion différenielle la foncion de ransfer complexe H(jω). 3. Quel es la relaion enre le coefficien d amorissemen ξ e le faceur de qualié Q? 4. On appelle τ la durée du régime ransioire. À quelle condiion poran sur la durée oale T S du séisme, le régime permanen pourra êre correcemen observé? Pourquoi choisir de ravailler avec ξ =? On ciera deux avanages. 5. Si on veu que le signal s() soi le plus fidèle possible aux mouvemens du sol (s() x()), commen doi-on choisir ω 0? 6. Calculer l expression du déphasage ϕ(ω) du signal de sorie s() par rappor à l exciaion x(). Donner sa représenaion graphique. Rerouver que les signaux son en phase lorsque ω ω 0. 7. Proposer une analogie élecrique au foncionnemen d un sismomère. On précisera le circui élecrique, le signal d enrée, le signal de sorie e on vérifiera qu il s agi bien d un filre passe hau en représenan les circuis équivalens à basse e haue fréquence. 5